Hva spør oppgaven om? Vi kjenner delen, 15 elever, og vet at dette er 60 % av hele klassen. Vi skal derfor finne helheten.

Steg 1 — Skriv prosent som desimaltall

60 % betyr \\(0{,}60\\).

Dette gjør at vi kan sette opp en likning med hele klassen som ukjent.

Steg 2 — Sett opp likningen

La \\(x\\) være antall elever i klassen.

\\[0{,}60x=15\\]

60 % av hele klassen er 15 elever.

Steg 3 — Finn helheten

\\[x=\\dfrac{15}{0{,}60}=25\\]

Vi deler på prosentdelen for å finne hele klassen.

Tolkning

Klassen har 25 elever. Av disse har 15 elever vært på tur.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor Saras metode er feil, og sette opp riktig regnestykke. Når noe går ned med 10 % hvert år, blir nedgangen 10 % av en ny verdi hvert år.

Steg 1 — Forklar feilen

Sara bruker 40 000 kroner som fast årlig verdifall.

Det er ikke riktig, fordi 10 % skal regnes av bilens verdi det aktuelle året, ikke alltid av 400 000 kroner.

Steg 2 — Finn vekstfaktoren

En nedgang på 10 % gir vekstfaktoren

\\[1-0{,}10=0{,}90\\]

Etter hvert år står 90 % av verdien igjen.

Steg 3 — Sett opp riktig likning

La \\(x\\) være verdien da bilen ble kjøpt.

\\[x\\cdot 0{,}90^3=400000\\]

Bilen har falt med 10 % tre ganger.

Steg 4 — Løs likningen

\\[x=\\dfrac{400000}{0{,}90^3}\\approx 548697\\]

Vi deler på samlet vekstfaktor for tre år.

Tolkning

Bilen kostet omtrent 549 000 kroner da mormor kjøpte den.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tiden \\(t\\) når temperaturen \\(T\\) er 52 °C. Derfor setter vi \\(T=52\\) i formelen.

Steg 1 — Sett inn temperaturen

\\[52=9t+7\\]

Temperaturen vi ønsker, er 52 °C.

Steg 2 — Trekk fra starttemperaturen

\\[52-7=9t\\]

Da finner vi hvor mye temperaturen må øke etter strømmen er koblet til.

Steg 3 — Del på økningen per time

\\[45=9t\\]

\\[t=\\dfrac{45}{9}=5\\]

Temperaturen øker med 9 °C per time.

Tolkning

Det tar 5 timer før vannet er 52 °C.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke tallene i den lineære modellen \\(T=9t+7\\). Tallet foran \\(t\\) er stigningstallet, og konstantleddet er startverdien.

Steg 1 — Tolk konstantleddet

\\[T=9t+7\\]

Når \\(t=0\\), er \\(T=7\\). Det betyr at vannet er 7 °C når strømmen blir koblet til.

Steg 2 — Tolk stigningstallet

Tallet 9 står foran \\(t\\).

Det betyr at temperaturen øker med 9 °C per time.

Steg 3 — Sjekk med ett eksempel

Etter 1 time er temperaturen

\\[T=9\\cdot 1+7=16\\]

Temperaturen har da økt fra 7 °C til 16 °C, altså med 9 °C.

Tolkning

Vannet starter på 7 °C og blir 9 °C varmere for hver time strømmen er koblet til.

Hva spør oppgaven om? Tunnelen deles i to like lange deler. Vi finner tiden på hver del og legger tidene sammen.

Steg 1 — Finn lengden av hver del

\\[\\dfrac{24}{2}=12\\]

Audun kjører 12 km med hver fart.

Steg 2 — Finn tiden på første del

\\[t_1=\\dfrac{12}{80}=0{,}15\\text{ timer}\\]

Tid er strekning delt på fart.

Steg 3 — Finn tiden på andre del

\\[t_2=\\dfrac{12}{60}=0{,}20\\text{ timer}\\]

Lavere fart gir lengre tid på samme strekning.

Steg 4 — Legg sammen og gjør om til minutter

\\[0{,}15+0{,}20=0{,}35\\text{ timer}\\]

\\[0{,}35\\cdot 60=21\\]

Vi multipliserer med 60 fordi én time er 60 minutter.

Tolkning

Audun bruker 21 minutter gjennom hele tunnelen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne funksjonsuttrykkene til to rette linjer. Fra figuren leser vi punktene \\(f(0)=3\\), \\(g(0)=-2\\), og at linjene møtes i \\((2,-1)\\).

Steg 1 — Finn \\(f\\)

Linjen \\(f\\) går gjennom \\((0,3)\\) og \\((2,-1)\\).

\\[a_f=\\dfrac{-1-3}{2-0}=\\dfrac{-4}{2}=-2\\]

Stigningstallet er endring i \\(y\\) delt på endring i \\(x\\).

Steg 2 — Skriv funksjonen \\(f\\)

Fordi \\(f(0)=3\\), er konstantleddet 3.

\\[f(x)=-2x+3\\]

Steg 3 — Finn \\(g\\)

Linjen \\(g\\) går gjennom \\((0,-2)\\) og \\((2,-1)\\).

\\[a_g=\\dfrac{-1-(-2)}{2-0}=\\dfrac{1}{2}\\]

Linjen stiger med 1 når \\(x\\) øker med 2.

Steg 4 — Skriv funksjonen \\(g\\)

Fordi \\(g(0)=-2\\), er konstantleddet \\(-2\\).

\\[g(x)=\\dfrac{1}{2}x-2\\]

Tolkning

Funksjonen \\(f\\) synker, mens \\(g\\) stiger svakt.

Hva spør oppgaven om? Den grønne trekanten har hjørner i \\((0,3)\\), \\((0,-2)\\) og \\((2,-1)\\). Vi kan bruke grunnlinje og høyde.

Steg 1 — Finn grunnlinjen

Den vertikale siden fra \\((0,-2)\\) til \\((0,3)\\) har lengde

\\[3-(-2)=5\\]

Dette kan brukes som grunnlinje.

Steg 2 — Finn høyden

Punktet \\((2,-1)\\) ligger 2 enheter fra \\(y\\)-aksen.

\\[h=2\\]

Høyden står vinkelrett på den vertikale grunnlinjen.

Steg 3 — Regn arealet

\\[A=\\dfrac{g\\cdot h}{2}=\\dfrac{5\\cdot 2}{2}=5\\]

Vi bruker arealformelen for trekant.

Tolkning

Arealet av trekanten i koordinatsystemet er 5 kvadratenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når \\(S(x)>5000\\) i intervallet \\(0\\le x\\le 52\\). Det gjør vi ved å finne skjæringspunktene med \\(S(x)=5000\\).

Steg 1 — Løs likningen digitalt

Skjæringspunktene deler intervallet i deler der salget er over eller under 5000.

Steg 2 — Finn intervallene der salget er over 5000

Ved å teste et punkt, for eksempel \\(x=6\\), får vi \\(S(6)=5220\\), altså over 5000.

Dermed er salget over 5000 i omtrent

\\[(5{,}624,23{,}710)\\quad\\text{og}\\quad(50,52]\\]

Steg 3 — Regn samlet lengde

\\[(23{,}710-5{,}624)+(52-50)\\approx 20{,}086\\]

Dette er antall uker modellen ligger over 5000.

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Rational, nroots
x = symbols('x')
S = Rational(3, 4)*x**3 - Rational(119, 2)*x**2 + 1200*x
print(nroots(S - 5000))

Tolkning

Ifølge modellen vil butikken selge mer enn 5000 par ski per uke i omtrent 20 uker til sammen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i salget fra uke 0 til uke 12. Det er stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene.

Steg 1 — Finn funksjonsverdiene

\\[S(0)=0\\]

\\[S(12)=0{,}75\\cdot 12^3-59{,}5\\cdot 12^2+1200\\cdot 12=7128\\]

Vi trenger \\(y\\)-verdiene til punktene.

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\\[a=\\dfrac{S(12)-S(0)}{12-0}=\\dfrac{7128-0}{12}=594\\]

Stigningstallet er endring i salg delt på endring i tid.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

Fra salgsstart til uke 12 øker salget i gjennomsnitt med 594 par ski per uke.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne energien fra fett, protein og karbohydrater i 100 g kokt egg. Vi bruker kcal per gram.

Steg 1 — Regn energi fra fett

\\[10{,}2\\cdot 9=91{,}8\\]

Fett gir 9 kcal per gram.

Steg 2 — Regn energi fra protein og karbohydrater

\\[12{,}4\\cdot 4=49{,}6\\]

\\[0{,}3\\cdot 4=1{,}2\\]

Protein og karbohydrater gir 4 kcal per gram.

Steg 3 — Legg sammen

\\[91{,}8+49{,}6+1{,}2=142{,}6\\]

Resten av egget inneholder ikke energi ifølge oppgaven.

Kontroll (Python)

energi = 10.2*9 + 12.4*4 + 0.3*4
print(energi)

Tolkning

100 g kokt egg inneholder 142,6 kcal.

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne spiselig masse egg, deretter energien i denne massen, og til slutt prosent av 3000 kcal.

Steg 1 — Finn spiselig masse

\\[125\\cdot 0{,}88=110\\]

Den spiselige delen veier 110 g.

Steg 2 — Finn energien i 110 g egg

Fra oppgave a er 100 g kokt egg \\(142{,}6\\) kcal.

\\[110\\cdot \\dfrac{142{,}6}{100}=156{,}86\\]

Vi skalerer fra 100 g til 110 g.

Steg 3 — Finn prosent av dagsbehovet

\\[\\dfrac{156{,}86}{3000}\\cdot 100\\approx 5{,}23\\]

Vi deler på totalt energibehov og gjør om til prosent.

Kontroll (Python)

kcal_per_100g = 142.6
spiselig = 125*0.88
energi = spiselig/100*kcal_per_100g
prosent = energi/3000*100
print(spiselig, energi, prosent)

Tolkning

Eggene utgjorde litt over 5 % av dagsbehovet til Tobias.

Hva spør oppgaven om? En lineær modell har fast økning per år. Bestanden går fra 500 til 1000 dyr på 10 år.

Steg 1 — Finn økningen på 10 år

\\[1000-500=500\\]

Dobling betyr at 500 dyr blir 1000 dyr.

Steg 2 — Finn økning per år

\\[\\dfrac{500}{10}=50\\]

Lineær vekst betyr samme økning hvert år.

Steg 3 — Sett opp modellen

\\[L(x)=500+50x\\]

Startverdien er 500, og stigningstallet er 50.

Tolkning

Modellen sier at bestanden øker med 50 dyr per år.

Hva spør oppgaven om? En eksponentiell modell har fast vekstfaktor. Siden bestanden dobles på 10 år, skal faktoren over 10 år være 2.

Steg 1 — Start med eksponentiell form

\\[E(x)=500\\cdot a^x\\]

Startverdien er 500 dyr.

Steg 2 — Bruk at bestanden dobles etter 10 år

\\[500\\cdot a^{10}=1000\\]

Dette gir

\\[a^{10}=2\\]

Steg 3 — Skriv modellen

\\[a=2^{1/10}\\]

\\[E(x)=500\\cdot 2^{x/10}\\]

Dette gir dobling når \\(x=10\\).

Tolkning

Bestanden øker med samme prosentvise vekst hvert år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne forskjellen mellom lineær og eksponentiell modell. Positiv \\(F(x)\\) betyr at den lineære modellen gir flest dyr.

Steg 1 — Sett inn modellene

\\[F(x)=500+50x-500\\cdot 2^{x/10}\\]

Vi bruker uttrykkene fra oppgave a og b.

Steg 2 — Tegn i GeoGebra

Steg 3 — Kontroller viktige punkter

\\[F(0)=0\\quad\\text{og}\\quad F(10)=0\\]

Begge modellene gir 500 dyr ved start og 1000 dyr etter 10 år.

Tolkning

Grafen viser hvor mange flere dyr den lineære modellen gir enn den eksponentielle modellen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke graftegner til å finne et toppunkt og skjæringspunkter. Deretter skal vi forklare hva punktene betyr i dyrebestanden.

Steg 1 — Finn toppunktet digitalt

Toppunktet viser størst forskjell mellom modellene.

Steg 2 — Skjæring med \\(x=12\\)

\\[F(12)\\approx -48{,}7\\]

Skjæringspunktet er derfor omtrent \\((12,-48{,}7)\\).

Steg 3 — Skjæring med \\(y=12\\)

Skjæringspunktene med \\(y=12\\) er omtrent \\((0{,}838,12)\\) og \\((9{,}323,12)\\).

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, nsolve
x = symbols('x')
F = 500 + 50*x - 500*2**(x/10)
print(nsolve(F.diff(x), 5))
print(F.subs(x, 12).evalf())
print(nsolve(F - 12, 1))
print(nsolve(F - 12, 9))

Tolkning

Etter omtrent 5,3 år gir den lineære modellen ca. 43 flere dyr enn den eksponentielle modellen. Etter 12 år gir den eksponentielle modellen ca. 49 flere dyr enn den lineære. Ved ca. 0,84 år og 9,32 år gir den lineære modellen 12 flere dyr enn den eksponentielle.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere fire påstander om proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser. Vi må sjekke definisjonene, ikke bare om noe øker eller minker.

Steg 1 — Vurder påstand 1

Hvis totalutgiften er fast, og \\(n\\) elever deler den, betaler hver elev

\\[B=\\dfrac{k}{n}\\]

Da er beløpet omvendt proporsjonalt med antall elever. Påstand 1 er riktig dersom utgiftene er faste.

Steg 2 — Vurder påstand 2

At to størrelser øker samtidig, betyr ikke nødvendigvis proporsjonalitet.

For proporsjonalitet må forholdet \\(\\dfrac{y}{x}\\) være konstant. Påstand 2 er feil.

Steg 3 — Vurder påstand 3

Hvis den ene dobles når den andre halveres, passer det med \\(xy=k\\).

Det er kjennetegnet på omvendt proporsjonalitet. Påstand 3 er riktig.

Steg 4 — Vurder påstand 4

For en sirkel er

\\[A=\\pi r^2\\quad\\text{og}\\quad O=2\\pi r\\]

Arealet er ikke proporsjonalt med omkretsen, fordi arealet avhenger av \\(r^2\\), mens omkretsen avhenger av \\(r\\). Påstand 4 er feil.

Tolkning

Riktige påstander er 1 og 3. De bygger på fast produkt eller fast totalbeløp.

Hva spør oppgaven om? Vi skal øke sukkerinnholdet 10 % med 50 %. Det betyr 50 % mer enn den opprinnelige sukkerprosenten, ikke 50 prosentpoeng mer.

Steg 1 — Finn 50 % av 10 %

\\[0{,}50\\cdot 10\\%=5\\%\\]

Dette er økningen i sukkerinnholdet.

Steg 2 — Legg til økningen

\\[10\\%+5\\%=15\\%\\]

Den nye blandingen får 5 prosentpoeng mer sukker.

Steg 3 — Kontroller med vekstfaktor

\\[10\\%\\cdot 1{,}50=15\\%\\]

Å øke med 50 % betyr å multiplisere med 1,50.

Tolkning

Den nye saften inneholder 15 % sukker.

Hva spør oppgaven om? Celle C4 viser samlet verdifall etter to år sammenliknet med nypris. Vi må kombinere 20 % fall første år og 14 % fall andre år.

Steg 1 — Finn verdien etter første år

Et fall på 20 % betyr at 80 % av verdien står igjen.

\\[0{,}80\\]

Steg 2 — Finn verdien etter andre år

Andre år faller bilen 14 % av bruktprisen, altså står 86 % igjen.

\\[0{,}80\\cdot 0{,}86=0{,}688\\]

Etter to år er bilen verdt 68,8 % av nypris.

Steg 3 — Finn samlet verdifall

\\[1-0{,}688=0{,}312=31{,}2\\%\\]

Avrundet til hele prosent blir dette 31 %.

Tolkning

C4 viser at bilen har falt omtrent 31 % i verdi fra den var ny til etter år 2.

Hva spør oppgaven om? De grønne cellene er samlet verdifall sammenliknet med nypris for år 3 til 6. Vi kan bruke forrige samlede verdifall og årets verdifall.

Steg 1 — Bruk en rekursiv regnearkformel

I C5 kan vi skrive:

=1-(1-C4)*(1-B5)

Formelen finner først hvor stor del av nyverdien som står igjen, og trekker fra 1.

Steg 2 — Kopier formelen nedover

Kopier formelen fra C5 til C6:C8.

Da bruker regnearket automatisk riktig år på hver rad.

Steg 3 — Resultater avrundet til hele prosent

Kontroll (Python)

rates = [0.20, 0.14, 0.13, 0.12, 0.11, 0.10]
remaining = 1
for r in rates:
    remaining *= (1-r)
    print(round((1-remaining)*100, 1))

Tolkning

Etter seks år har bilen falt omtrent 58 % i verdi sammenliknet med nypris.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en kroneoversikt basert på nypris 390 000 kroner og de årlige verdifallene. Regnearket bør vise både årets verdifall og samlet verdifall fra ny.

Steg 1 — Bruk nyprisen i en fast celle

Sett nypris i for eksempel celle F2:

390000

Da kan formlene hente nyprisen fra samme sted.

Steg 2 — Lag verdikolonne

Hvis verdien etter år 1 står i D3, kan formelen være:

=$F$2*(1-C3)

Her bruker vi samlet verdifall fra ny.

Steg 3 — Lag kronefall fra året før og fra ny

For år 1 kan verdifall fra året før være:

=$F$2-D3

For senere år kan verdifall fra året før være:

=D4-D5

Samlet verdifall fra ny kan være:

=$F$2-D5

Steg 4 — Eksempel på ferdige verdier

Tolkning

Etter seks år er bilen verdt omtrent 164 546 kroner, og samlet verdifall fra ny er omtrent 225 454 kroner.

Hva spør oppgaven om? Figur 1 viser et trekanttårn: 1 boks øverst, så 2, 3 og videre nedover. For 20 etasjer summerer vi tallene fra 1 til 20.

Steg 1 — Sett opp summen

\\[1+2+3+\\cdots+20\\]

Hver ny etasje har én boks mer enn etasjen over.

Steg 2 — Bruk sumformelen

\\[S=\\dfrac{20(20+1)}{2}\\]

Dette er formelen for summen av de første \\(n\\) naturlige tallene.

Steg 3 — Regn ut

\\[S=\\dfrac{20\\cdot 21}{2}=210\\]

Dette er totalt antall bokser.

Tolkning

Marius trenger 210 bokser for et tårn med 20 etasjer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne størst mulig \\(n\\) slik at trekanttallet \\(\\dfrac{n(n+1)}{2}\\) ikke blir større enn 400.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

\\[\\dfrac{n(n+1)}{2}\\le 400\\]

Antall bokser må være høyst 400.

Steg 2 — Test aktuelle etasjetall

For 27 etasjer:

\\[\\dfrac{27\\cdot 28}{2}=378\\]

For 28 etasjer:

\\[\\dfrac{28\\cdot 29}{2}=406\\]

Steg 3 — Velg største mulige

\\[378\\le 400\\quad\\text{men}\\quad 406>400\\]

Derfor er 27 etasjer størst mulig.

Tolkning

Marius kan lage 27 etasjer og får 22 bokser til overs.

Hva spør oppgaven om? Figur 2 viser et tårn der etasjene er kvadrater: \\(1^2\\), \\(2^2\\), \\(3^2\\) og videre. For 20 etasjer summerer vi kvadrattallene.

Steg 1 — Sett opp summen

\\[1^2+2^2+3^2+\\cdots+20^2\\]

Hver etasje har et kvadratisk antall bokser.

Steg 2 — Bruk sumformelen for kvadrattall

\\[S=\\dfrac{20(20+1)(2\\cdot 20+1)}{6}\\]

Dette gir summen av kvadratene fra \\(1^2\\) til \\(20^2\\).

Steg 3 — Regn ut

\\[S=\\dfrac{20\\cdot 21\\cdot 41}{6}=2870\\]

Tolkning

Maria trenger 2870 bokser for et tårn med 20 etasjer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne størst mulig \\(n\\) slik at summen av kvadrattallene ikke overstiger 4000.

Steg 1 — Sett opp modellen

\\[S_n=\\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\]

Dette er antall bokser i et kvadratisk tårn med \\(n\\) etasjer.

Steg 2 — Test 22 etasjer

\\[S_{22}=\\dfrac{22\\cdot 23\\cdot 45}{6}=3795\\]

Dette er mulig med 4000 bokser.

Steg 3 — Test 23 etasjer

\\[S_{23}=\\dfrac{23\\cdot 24\\cdot 47}{6}=4324\\]

Dette er for mange bokser.

Tolkning

Maria kan lage 22 etasjer, men ikke 23.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut to produkter basert på differanser i to \\(2\\times 2\\)-kvadrater i talltabellen.

Steg 1 — Regn for det blå kvadratet

\\[(11-2)\\cdot(12-1)=9\\cdot 11=99\\]

Vi følger uttrykket oppgaven gir.

Steg 2 — Regn for det grønne kvadratet

\\[(37-28)\\cdot(38-27)=9\\cdot 11=99\\]

Differansene blir de samme fordi tabellen øker med 1 bortover og 10 nedover.

Tolkning

Begge kvadratene gir produktet 99.

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste flere \\(2\\times 2\\)-kvadrater og forklare hvorfor svaret alltid blir det samme.

Steg 1 — Test et nytt kvadrat

For kvadratet med tallene 45, 46, 55 og 56 får vi

\\[(55-46)\\cdot(56-45)=9\\cdot 11=99\\]

Dette gir samme produkt som i oppgave a.

Steg 2 — Test enda et kvadrat

For kvadratet med tallene 72, 73, 82 og 83 får vi

\\[(82-73)\\cdot(83-72)=9\\cdot 11=99\\]

Steg 3 — Forklar med et generelt tall

La tallet øverst til venstre være \\(n\\). Da er de fire tallene

\\[n,\\quad n+1,\\quad n+10,\\quad n+11\\]

Produktet blir

\\[(n+10-(n+1))\\cdot(n+11-n)=9\\cdot 11=99\\]

Tolkning

Alle \\(2\\times 2\\)-kvadrater i tabellen gir produktet 99.

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke større kvadrater i 10-kolonne-tabellen. Vi ser etter et mønster for produktet når sidelengden endres.

Steg 1 — Lag en oversikt

Produktet øker når kvadratet blir større.

Steg 2 — Finn mønsteret

Når sidelengden er \\(s\\), flytter vi \\(s-1\\) steg bortover og \\(s-1\\) steg nedover.

Første differanse blir \\(9(s-1)\\), og andre differanse blir \\(11(s-1)\\).

Steg 3 — Lag generell formel

\\[9(s-1)\\cdot 11(s-1)=99(s-1)^2\\]

Formelen passer med tabellen: For \\(s=3\\) får vi \\(99\\cdot 2^2=396\\).

Kontroll (Python)

for s in range(2, 6):
    produkt = 99*(s-1)**2
    print(s, produkt)

Tolkning

For kvadrater med ulik størrelse bestemmes produktet bare av sidelengden, ikke av hvor i tabellen kvadratet ligger.