Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hele elevtallet når vi vet at 15 elever utgjør 60 %.

Steg 1 — Skriv prosent som desimaltall

Vi bruker at \(60\,\% = 0{,}60\).

Steg 2 — Sett opp likningen

Hvis \(x\) er antall elever i klassen, får vi

\[0{,}60x=15\]

Dette betyr at 60 % av klassen er 15 elever.

Steg 3 — Løs likningen

\[x=\dfrac{15}{0{,}60}=25\]

Vi deler på 0,60 for å finne 100 %.

Tolkning

Klassen må ha 25 elever, fordi 60 % av 25 er 15.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor Sara ikke kan trekke fra like mange kroner hvert år, og finne riktig opprinnelig verdi.

Steg 1 — Forklar feilen

Et verdifall på 10 % hvert år betyr 10 % av verdien bilen har akkurat det året, ikke 10 % av dagens verdi hvert år.

Steg 2 — Bruk vekstfaktor

Når verdien går ned med 10 %, er vekstfaktoren

\[1-0{,}10=0{,}90\]

Etter tre år er verdien multiplisert med \(0{,}90^3\).

Steg 3 — Sett opp riktig regnestykke

La \(V\) være bilens verdi da mormor kjøpte den.

\[V\cdot 0{,}90^3=400000\]

Dette regnestykket tar hensyn til prosentvis nedgang år for år.

Steg 4 — Finn startverdien

\[V=\dfrac{400000}{0{,}90^3}\approx 548697\]

Vi deler på den samlede vekstfaktoren for tre år.

Tolkning

Bilen kostet omtrent 548 700 kroner for tre år siden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formelen \(T=9t+7\) til å finne tiden når temperaturen er 52 °C, og tolke tallene i modellen.

Steg 1 — Sett inn ønsket temperatur

\[52=9t+7\]

Vi setter \(T=52\), fordi vi skal finne tidspunktet for 52 °C.

Steg 2 — Løs likningen

\[52-7=9t\]

\[45=9t\]

\[t=5\]

Vi isolerer \(t\).

Steg 3 — Tolk tallene 9 og 7

Tallet \(7\) er temperaturen i vannet da strømmen ble koblet til. Tallet \(9\) betyr at temperaturen øker med 9 °C per time.

Tolkning

Det tar 5 timer før vannet er 52 °C.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet kjøretid gjennom tunnelen når farten er ulik på de to halvdelene.

Steg 1 — Finn lengden av hver halvdel

\[\dfrac{24}{2}=12\]

Audun kjører 12 km med hver fart.

Steg 2 — Finn tiden for første halvdel

\[\dfrac{12}{80}=0{,}15\text{ timer}=9\text{ minutter}\]

Vi bruker \(\text{tid}=\dfrac{\text{strekning}}{\text{fart}}\).

Steg 3 — Finn tiden for andre halvdel

\[\dfrac{12}{60}=0{,}20\text{ timer}=12\text{ minutter}\]

Lavere fart gir lengre tid på samme strekning.

Steg 4 — Legg sammen tidene

\[9+12=21\]

Vi summerer tiden for de to delene.

Tolkning

Audun bruker 21 minutter gjennom hele tunnelen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bestemme to lineære funksjoner fra punktene i koordinatsystemet og finne arealet av trekanten.

Steg 1 — Finn funksjonen \(f\)

Grafen til \(f\) går gjennom \((0,3)\) og \((2,-1)\). Stigningstallet er

\[a_f=\dfrac{-1-3}{2-0}=-2\]

Konstantleddet er \(3\), fordi grafen skjærer y-aksen i \((0,3)\).

Steg 2 — Skriv \(f(x)\)

\[f(x)=-2x+3\]

Steg 3 — Finn funksjonen \(g\)

Grafen til \(g\) går gjennom \((0,-2)\) og \((2,-1)\). Stigningstallet er

\[a_g=\dfrac{-1-(-2)}{2-0}=\dfrac{1}{2}\]

Konstantleddet er \(-2\).

Steg 4 — Skriv \(g(x)\) og finn arealet

\[g(x)=\dfrac{1}{2}x-2\]

Den grønne trekanten har grunnlinje \(3-(-2)=5\) langs y-aksen og høyde \(2\).

\[A=\dfrac{5\cdot 2}{2}=5\]

Tolkning

Arealet av trekanten er 5 arealenheter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen for ukentlig skisalg til å finne når salget er over 5000 par, og tolke gjennomsnittlig endring de første 12 ukene.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

Vi må løse

\[0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x>5000\]

Dette finner ukene der modellen ligger over 5000 par ski.

Steg 2 — Bruk graf/CAS til skjæringspunktene

Grafen viser at \(S(x)>5000\) fra omtrent \(5{,}6\) til \(23{,}7\), og igjen fra \(50\) til \(52\).

Steg 3 — Finn antall uker

\[(23{,}710-5{,}624)+(52-50)\approx 20{,}1\]

Vi legger sammen lengdene av intervallene i modellens gyldighetsområde.

Steg 4 — Finn stigningstallet mellom \((0,S(0))\) og \((12,S(12))\)

\[S(0)=0\]

\[S(12)=0{,}75\cdot 12^3-59{,}5\cdot 12^2+1200\cdot 12=7128\]

\[a=\dfrac{7128-0}{12-0}=594\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational, nroots

x = symbols('x')
S = Rational(3, 4)*x**3 - Rational(119, 2)*x**2 + 1200*x
likning = S - 5000

print("Røtter til S(x) = 5000:")
for rot in nroots(likning):
    print(rot)

S0 = S.subs(x, 0)
S12 = S.subs(x, 12)
stigningstall = (S12 - S0) / 12

print("S(0) =", S0)
print("S(12) =", S12)
print("Stigningstall =", stigningstall)

Røtter til S(x) = 5000:
5.62356002249964
23.7097733108337
50.0000000000000
S(0) = 0
S(12) = 7128
Stigningstall = 594

Tolkning

Butikken selger mer enn 5000 par ski i omtrent 20 uker ifølge modellen. Stigningstallet 594 betyr at det ukentlige salget i gjennomsnitt øker med 594 par per uke fra uke 0 til uke 12.

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne energiinnhold fra gram næringsstoffer, og deretter finne hvor stor del av dagsbehovet eggene dekker.

Steg 1 — Regn energi i 100 g kokt egg

\[10{,}2\cdot 9+12{,}4\cdot 4+0{,}3\cdot 4=142{,}6\]

Vi bruker kcal per gram fra tabellen.

Steg 2 — Finn spiselig masse

\[125\cdot 0{,}88=110\]

Bare 88 % av vekten er spiselig.

Steg 3 — Finn energi i 110 g egg

\[142{,}6\cdot \dfrac{110}{100}=156{,}86\]

Energiinnholdet skaleres fra 100 g til 110 g.

Steg 4 — Finn prosent av energibehovet

\[\dfrac{156{,}86}{3000}\cdot 100\approx 5{,}23\,\%\]

Python-kontroll

fett = 10.2
protein = 12.4
karbohydrater = 0.3

kcal_per_100g = fett*9 + protein*4 + karbohydrater*4
spiselig_masse = 125*0.88
kcal_egg = kcal_per_100g * spiselig_masse / 100
prosent_av_behov = kcal_egg / 3000 * 100

print("Energi i 100 g kokt egg:", kcal_per_100g, "kcal")
print("Spiselig masse:", spiselig_masse, "g")
print("Energi i eggene:", kcal_egg, "kcal")
print("Andel av dagsbehov:", prosent_av_behov, "%")

Energi i 100 g kokt egg: 142.6 kcal
Spiselig masse: 110.0 g
Energi i eggene: 156.86 kcal
Andel av dagsbehov: 5.228666666666667 %

Tolkning

De to eggene dekker litt over 5 % av Tobias sitt energibehov denne dagen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær og en eksponentiell modell for samme situasjon og undersøke forskjellen mellom dem.

Steg 1 — Lag lineær modell

Bestanden går fra 500 til 1000 dyr på 10 år. Økningen per år blir

\[\dfrac{1000-500}{10}=50\]

Dermed er

\[L(x)=500+50x\]

Steg 2 — Lag eksponentiell modell

Dobling på 10 år betyr at vekstfaktoren over 10 år er \(2\).

\[E(x)=500\cdot 2^{\frac{x}{10}}\]

Dette gir \(E(0)=500\) og \(E(10)=1000\).

Steg 3 — Definer forskjellsfunksjonen

\[F(x)=L(x)-E(x)\]

Grafen viser hvor mange flere dyr den lineære modellen gir enn den eksponentielle modellen.

Steg 4 — Bruk graftegner/CAS

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, nsolve

x = symbols('x')
L = 500 + 50*x
E = 500*2**(x/10)
F = L - E

topp_x = nsolve(diff(F, x), 5)
topp_y = F.subs(x, topp_x)
y12_1 = nsolve(F - 12, 1)
y12_2 = nsolve(F - 12, 9)
F12 = F.subs(x, 12)

print("L(x) =", L)
print("E(x) = 500*2**(x/10)")
print("Toppunkt:", float(topp_x), float(topp_y))
print("Skjæring med y = 12:", float(y12_1), float(y12_2))
print("Skjæring med x = 12: y =", float(F12))

L(x) = 50*x + 500
E(x) = 500*2**(x/10)
Toppunkt: 5.287663729448975 43.035666027967125
Skjæring med y = 12: 0.8382205380879483 9.322507842341416
Skjæring med x = 12: y = -48.698354997035004

Tolkning

Toppunktet betyr at den lineære modellen gir størst overskudd sammenliknet med den eksponentielle modellen etter omtrent 5,3 år, med cirka 43 flere dyr. Ved \(x=12\) gir den eksponentielle modellen omtrent 49 flere dyr enn den lineære. Når \(F(x)=12\), gir lineær modell 12 flere dyr enn eksponentiell modell.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere fire påstander om proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet.

Steg 1 — Vurder påstand 1

Hvis totalutgiften er fast, og \(n\) elever deler utgiften \(U\), betaler hver elev

\[\dfrac{U}{n}\]

Dette er omvendt proporsjonalt med antall elever. Påstand 1 er riktig.

Steg 2 — Vurder påstand 2

At to størrelser øker samtidig, betyr ikke at forholdet mellom dem er konstant. For eksempel øker både \(x\) og \(x+10\), men de er ikke proporsjonale. Påstand 2 er feil.

Steg 3 — Vurder påstand 3

For omvendt proporsjonale størrelser er produktet konstant. Da vil den ene størrelsen dobles når den andre halveres. Påstand 3 er riktig når dette gjelder som fast sammenheng mellom størrelsene.

Steg 4 — Vurder påstand 4

For en sirkel er

\[A=\pi r^2\]

og

\[O=2\pi r\]

Arealet vokser med \(r^2\), mens omkretsen vokser med \(r\). Påstand 4 er feil.

Tolkning

Riktige påstander er 1 og 3.

Hva spør oppgaven om? Vi skal øke sukkerinnholdet med 50 % av det opprinnelige sukkerinnholdet.

Steg 1 — Finn økningen

\[50\,\%\text{ av }10\,\%=5\,\%\]

Økningen er 5 prosentpoeng.

Steg 2 — Legg til økningen

\[10\,\%+5\,\%=15\,\%\]

Den nye saften har 50 % mer sukker enn før.

Tolkning

Sukkerandelen blir 15 %, ikke 60 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise hvordan regnearket beregner samlet verdifall i prosent, og deretter utvide det med kroner.

Steg 1 — Vis hvordan celle C4 kan bli 31 %

Etter første år er bilen verdt 80 % av ny verdi. Etter andre år er den verdt 86 % av verdien året før.

\[1-0{,}80\cdot 0{,}86=0{,}312\]

Dette er \(31{,}2\,\%\), som rundes til 31 %.

Steg 2 — Regnearkformler for prosentdelen

En mulig løsning er å skrive satsene i kolonne B. I C3 kan vi skrive =B3. I C4 kan vi skrive =1-(1-C3)*(1-B4) og kopiere nedover.

Da får vi samlet verdifall fra ny verdi.

Steg 3 — Utvid med kroner

Hvis nypris står i for eksempel celle E2, kan vi bruke disse kolonnene:

Verdi etter år, Verdifall fra året før og Verdifall fra ny.

Eksempel: Første år blir verdifallet

\[390000\cdot 0{,}20=78000\]

Steg 4 — Kontroller med Python

pris_ny = 390000
satser = [0.20, 0.14, 0.13, 0.12, 0.11, 0.10]
verdi = pris_ny

print("År | Verditap fra året før | Verdi etter året | Verditap fra ny")
for aar, sats in enumerate(satser, start=1):
    tap_forrige = verdi * sats
    verdi = verdi - tap_forrige
    tap_fra_ny = pris_ny - verdi
    print(aar, round(tap_forrige, 2), round(verdi, 2), round(tap_fra_ny, 2))

År | Verditap fra året før | Verdi etter året | Verditap fra ny
1 78000.0 312000.0 78000.0
2 43680.0 268320.0 121680.0
3 34881.6 233438.4 156561.6
4 28012.61 205425.79 184574.21
5 22596.84 182828.95 207171.05
6 18282.9 164546.06 225453.94

Tolkning

Etter seks år er bilen verdt omtrent 164 546 kroner. Samlet verdifall fra nypris er omtrent 225 454 kroner, altså omtrent 58 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen to mønstre for stabling av bokser og bruke dem til å finne antall bokser og største mulige antall etasjer.

Steg 1 — Marius sitt mønster

Figur 1 viser trekanttall: \(1+2+3+\cdots+n\).

For 20 etasjer får vi

\[\dfrac{20\cdot 21}{2}=210\]

Steg 2 — Marius med 400 bokser

\[\dfrac{27\cdot 28}{2}=378\]

\[\dfrac{28\cdot 29}{2}=406\]

Han kan derfor lage 27 etasjer, men ikke 28.

Steg 3 — Maria sitt mønster

Figur 2 viser kvadrattall i lag: \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\).

For 20 etasjer får vi

\[1^2+2^2+\cdots+20^2=2870\]

Steg 4 — Maria med 4000 bokser

\[1^2+2^2+\cdots+22^2=3795\]

\[1^2+2^2+\cdots+23^2=4324\]

Hun kan derfor lage 22 etasjer, men ikke 23.

Python-kontroll

from math import floor, sqrt

marius_20 = 20*21//2
marius_max = floor((sqrt(1 + 8*400) - 1)/2)

maria_20 = sum(k*k for k in range(1, 21))
maria_max = 0
while sum(k*k for k in range(1, maria_max + 2)) <= 4000:
    maria_max += 1

print("Marius 20 etasjer:", marius_20)
print("Marius maks med 400 bokser:", marius_max)
print("Maria 20 etasjer:", maria_20)
print("Maria maks med 4000 bokser:", maria_max)

Marius 20 etasjer: 210
Marius maks med 400 bokser: 27
Maria 20 etasjer: 2870
Maria maks med 4000 bokser: 22

Tolkning

Marius sitt tårn vokser som trekanttall, mens Maria sitt tårn vokser mye raskere fordi lagene er kvadrater.

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke et tallmønster i en 10-ganger-10-tabell og argumentere for hvorfor mønsteret gjelder.

Steg 1 — Regn ut for de to viste kvadratene

For det blå kvadratet:

\[(11-2)\cdot(12-1)=9\cdot 11=99\]

For det grønne kvadratet:

\[(37-28)\cdot(38-27)=9\cdot 11=99\]

Steg 2 — Forklar samme størrelse

I et \(2\times2\)-kvadrat er tallet nederst til venstre alltid 10 større enn tallet øverst til venstre, mens tallet øverst til høyre er 1 større.

Derfor blir den ene differansen alltid \(10-1=9\), og den andre alltid \(11\). Produktet blir alltid \(99\).

Steg 3 — Undersøk større kvadrater

Hvis avstanden mellom hjørnene er \(k\) ruter bortover og nedover, blir differansene

\[10k-k=9k\]

og

\[11k\]

Produktet blir

\[(9k)(11k)=99k^2\]

Steg 4 — Lag oversikt

For \(k=1,2,3,4,5\) får vi produktene \(99\), \(396\), \(891\), \(1584\) og \(2475\).

Python-kontroll

def produkt_for_kvadrat(k):
    # k er avstanden i ruter mellom hjørnene.
    # k=1 gir et 2 x 2-kvadrat, k=2 gir et 3 x 3-kvadrat.
    return (10*k - k) * (11*k)

for k in range(1, 6):
    print("k =", k, "produkt =", produkt_for_kvadrat(k))

k = 1 produkt = 99
k = 2 produkt = 396
k = 3 produkt = 891
k = 4 produkt = 1584
k = 5 produkt = 2475

Tolkning

Produktet av differansene er bestemt av størrelsen på kvadratet, ikke av hvor i tabellen kvadratet ligger.