Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av hvor mye totalprisen øker når antall kjøretimer øker. Det er stigningstallet til linjen.

Steg 1 — Les av to punkter

\[ (0,5000) \quad ext{og} \quad (5,7000) \]

Grafen viser at prisen er 5000 kroner uten kjøretimer og 7000 kroner ved 5 kjøretimer.

Steg 2 — Finn prisøkningen

\[ 7000-5000=2000 \]

Dette er økningen i totalpris for 5 kjøretimer.

Steg 3 — Del på antall timer

\[ \dfrac{2000}{5}=400 \]

Vi deler økningen i kroner på økningen i timer.

Tolkning

Hver ekstra kjøretime øker totalprisen med 400 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne jentedelen av hele klassen når forholdet er gitt.

Steg 1 — Finn totalt antall forholdsdeler

\[ 5+7=12 \]

Klassen er delt i 12 like forholdsdeler.

Steg 2 — Finn verdien av én del

\[ \dfrac{24}{12}=2 \]

Hver forholdsdel svarer til 2 elever.

Steg 3 — Finn antall jenter

\[ 5\cdot 2=10 \]

Jentene utgjør 5 av forholdsdelene.

Tolkning

Det er 10 jenter og 14 gutter, til sammen 24 elever.

Hva spør oppgaven om? Bildet viser at \(1\) L filterkaffe gir 8 kopper. Vi skal finne hvor mange desiliter én kopp rommer.

Steg 1 — Gjør liter om til desiliter

\[ 1 ext{ L}=10 ext{ dL} \]

Det er enklere å finne desiliter per kopp når volumet er i desiliter.

Steg 2 — Del på antall kopper

\[ \dfrac{10}{8}=1{,}25 \]

Vi fordeler 10 dL likt på 8 kopper.

Tolkning

Hver kopp inneholder 1,25 dL filterkaffe.

Hva spør oppgaven om? Bildet viser at \(1\) L filterkaffe krever 6 strøkne måleskjeer. Vi skal skalere opp til \(1{,}5\) L.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[ \dfrac{1{,}5}{1}=1{,}5 \]

Vi lager 1,5 ganger så mye kaffe som på bildet.

Steg 2 — Skaler antall måleskjeer

\[ 6\cdot 1{,}5=9 \]

Mengden kaffe øker proporsjonalt med vannmengden.

Tolkning

Til 1,5 L filterkaffe beregner kalkulatoren 9 strøkne måleskjeer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at arealet av kvadratet og trekanten til sammen blir \(5s^2\).

Steg 1 — Arealet av kvadratet

\[ A_{ ext{kvadrat}}=(2s)^2=4s^2 \]

Kvadratet har sidelengde \(2s\).

Steg 2 — Finn grunnlinjen i trekanten

\[ CD=2s \]

Grunnlinjen i trekanten er like lang som øverste side i kvadratet.

Steg 3 — Finn høyden

\[ FC=s \quad ext{og} \quad EF=s \]

Siden trekanten er likebeint, treffer høyden midt på \(CD\). Når \(ngle ECF=45^\circ\), blir den rettvinklede trekanten \(ECF\) likebeint.

Steg 4 — Arealet av trekanten

\[ A_{ ext{trekant}}=\dfrac{2s\cdot s}{2}=s^2 \]

Vi bruker formelen grunnlinje ganger høyde delt på 2.

Steg 5 — Legg sammen

\[ A_{ ext{hele}}=4s^2+s^2=5s^2 \]

Hele figuren består av kvadratet og trekanten.

Tolkning

Figurens totale areal er fem ganger \(s^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner trekantarealet og skal finne sidelengden \(2s\) i kvadratet.

Steg 1 — Bruk trekantarealet fra oppgave a

\[ A_{ ext{trekant}}=s^2 \]

I forrige del fant vi at trekantens areal er \(s^2\).

Steg 2 — Sett arealet lik 36

\[ s^2=36 \]

Oppgaven sier at trekanten skal ha areal \(36 ext{ cm}^2\).

Steg 3 — Finn \(s\)

\[ s=6 \]

Vi bruker positiv lengde.

Steg 4 — Finn sidelengden i kvadratet

\[ 2s=2\cdot 6=12 \]

Kvadratet har sidelengde \(2s\).

Tolkning

Kvadratet må tegnes med side 12 cm for at trekanten skal få areal 36 cm².

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at begge de uttrukne kommer fra de 8 andre elevene.

Steg 1 — Tell gunstige valg

\[ inom{8}{2}=28 \]

Det er 8 elever som verken er Charlotte eller Gunnar.

Steg 2 — Tell alle mulige valg

\[ inom{10}{2}=45 \]

To elever trekkes fra hele gruppen på 10.

Steg 3 — Finn sannsynligheten

\[ P=\dfrac{28}{45}pprox 0{,}622 \]

Sannsynlighet er gunstige valg delt på mulige valg.

Tolkning

Det er omtrent 62,2 % sannsynlighet for at ingen av dem trekkes ut.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for akkurat ett bestemt par.

Steg 1 — Tell gunstige valg

\[ 1 \]

Det finnes bare ett gunstig par: Charlotte og Gunnar.

Steg 2 — Tell alle mulige par

\[ inom{10}{2}=45 \]

Det er 45 mulige par blant 10 elever.

Steg 3 — Finn sannsynligheten

\[ P=\dfrac{1}{45}pprox 0{,}0222 \]

Vi deler ett gunstig par på alle mulige par.

Tolkning

Sannsynligheten er lav, omtrent 2,2 %.

Hva spør oppgaven om? Trekanten \(ABC\) er rettvinklet. Vi skal finne den ukjente kateten \(BC\).

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[ AB^2=AC^2+BC^2 \]

\(AB\) er hypotenusen.

Steg 2 — Sett inn tall

\[ 10^2=6^2+BC^2 \]

Vi bruker lengdene fra oppgaven.

Steg 3 — Løs for \(BC\)

\[ BC^2=100-36=64 \] \[ BC=8 \]

Lengder er positive.

Tolkning

Den andre kateten i trekanten er 8 m.

Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne formlikhet ved å sammenlikne vinkler.

Steg 1 — Se på den rette vinkelen

\[ ngle ACB=90^\circ \quad ext{og} \quad ngle BDC=90^\circ \]

\(CD\) er høyden ned på \(AB\).

Steg 2 — Finn en felles vinkel

\[ ngle ABC=ngle CBD \]

Vinkelen ved \(B\) er den samme i begge trekantene.

Steg 3 — Konkluder med formlikhet

\[ riangle ABC \sim riangle BCD \]

To like vinkler er nok til å vise at trekantene er formlike.

Tolkning

Trekantene har samme form, men ulik størrelse.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne høyden fra den rette vinkelen ned på hypotenusen.

Steg 1 — Bruk arealet av trekant \(ABC\)

\[ A=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24 \]

Vi bruker katetene \(AC=6\) og \(BC=8\).

Steg 2 — Skriv arealet med \(AB\) som grunnlinje

\[ A=\dfrac{10\cdot CD}{2}=5CD \]

Samme trekant kan også ha grunnlinje \(AB=10\).

Steg 3 — Sett arealene like

\[ 5CD=24 \] \[ CD=\dfrac{24}{5}=4{,}8 \]

Vi løser ligningen for høyden.

Tolkning

Høyden fra \(C\) ned på \(AB\) er 4,8 m.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av verdien for menn fra diagrammet.

Steg 1 — Finn riktig kategori

Diagrammet skiller mellom menn og kvinner.

Vi bruker søylen for menn.

Steg 2 — Les av verdien

\[ 5\,\% \]

Søylen for menn er merket med 5.

Tolkning

Omtrent 5 av 100 menn i yrkesaktiv alder er ikke i stand til å arbeide på grunn av uførhet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne differansen mellom to prosentandeler. Da bruker vi prosentpoeng.

Steg 1 — Les av verdiene

\[ ext{Grunnskole}=13\,\%, \quad ext{høyere utdanning}=2\,\% \]

Dette er verdiene fra utdanningsdelen i diagrammet.

Steg 2 — Regn differansen

\[ 13-2=11 \]

Forskjell mellom prosentandeler oppgis i prosentpoeng.

Tolkning

Forskjellen er 11 prosentpoeng.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne antall kvinner og menn. Siden det er like mange menn og kvinner, kan vi sammenlikne prosentandelene direkte.

Steg 1 — Les av andelene

\[ ext{Menn}=5\,\%, \quad ext{kvinner}=9\,\% \]

Dette er andelene i diagrammet.

Steg 2 — Finn økningen fra menn til kvinner

\[ 9-5=4 \]

Kvinner ligger 4 prosentpoeng over menn.

Steg 3 — Regn prosentvis flere

\[ \dfrac{4}{5}\cdot 100\,\%=80\,\% \]

Vi sammenlikner økningen med nivået for menn.

Tolkning

Når det er like mange menn og kvinner, er det 80 % flere kvinner enn menn i denne gruppen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne funksjonen i det oppgitte intervallet. I Del 2 dokumenterer vi med digitalt verktøy.

Steg 1 — Skriv inn funksjonen

\[ P(x)=0{,}001x^3-0{,}09x^2+2{,}4x+74 \]

Funksjonen gjelder bare for \(0\le x\le 50\).

Steg 2 — Tegn grafen på intervallet

Bruk GeoGebra og avgrens \(x\)-aksen fra 0 til 50.

Steg 3 — Les grafens hovedform

Grafen starter ved \(74\), stiger til rundt \(94\), og synker mot slutten.

Dette passer med en puls som øker i starten og går ned igjen senere i løpet.

Kontroll (GeoGebra)

from sympy import symbols, Rational

x = symbols("x")
P = Rational(1, 1000)*x**3 - Rational(9, 100)*x**2 + Rational(24, 10)*x + 74

print("Funksjonen som tegnes er:")
print(P)
print("Startverdi P(0):", P.subs(x, 0))
print("Sluttverdi P(50):", P.subs(x, 50))

Funksjonen som tegnes er:
x**3/1000 - 9*x**2/100 + 12*x/5 + 74
Startverdi P(0): 74
Sluttverdi P(50): 74

Tolkning

Grafen viser at pulsen først øker, deretter avtar mot slutten av intervallet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor lenge \(P(x)>92\). Det gjør vi ved å finne skjæringspunktene med linjen \(y=92\).

Steg 1 — Sett opp ligningen

\[ 0{,}001x^3-0{,}09x^2+2{,}4x+74=92 \]

Skjæringspunktene markerer når pulsen er akkurat 92 %.

Steg 2 — Løs digitalt

GeoGebra/Python gir skjæringspunktene \(xpprox 12{,}68\), \(x=30\) og \(xpprox 47{,}32\).

Steg 3 — Velg intervallet der grafen ligger over 92

\[ 12{,}68

Grafen ligger over linjen \(y=92\) mellom første og siste skjæring.

Steg 4 — Finn varigheten

\[ 47{,}32-12{,}68=34{,}64 \]

Vi trekker starttidspunktet fra sluttidspunktet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, Rational, nroots

x = symbols("x")
P = Rational(1, 1000)*x**3 - Rational(9, 100)*x**2 + Rational(24, 10)*x + 74
likning = P - 92
rotter = nroots(likning)

print("Løsningene av P(x)=92 er:")
for r in rotter:
    print(round(float(r), 4))

varighet = float(rotter[2] - rotter[0])
print("Pulsen er over 92 prosent i omtrent", round(varighet, 1), "minutter")

Løsningene av P(x)=92 er:
12.6795
30.0
47.3205
Pulsen er over 92 prosent i omtrent 34.6 minutter

Tolkning

Ole hadde puls over 92 % av makspuls i omtrent 34,6 minutter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i pulsprosent per minutt mellom 5 og 20 minutter.

Steg 1 — Finn funksjonsverdiene

\[ P(5)=83{,}875 \quad ext{og} \quad P(20)=94 \]

Dette er pulsprosentene ved 5 og 20 minutter.

Steg 2 — Bruk stigningstallformelen

\[ a=\dfrac{P(20)-P(5)}{20-5} \]

Stigningstall er endring i \(y\) delt på endring i \(x\).

Steg 3 — Regn ut

\[ a=\dfrac{94-83{,}875}{15}=0{,}675 \]

Dette er gjennomsnittlig økning per minutt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, Rational

x = symbols("x")
P = Rational(1, 1000)*x**3 - Rational(9, 100)*x**2 + Rational(24, 10)*x + 74
P_5 = P.subs(x, 5)
P_20 = P.subs(x, 20)
stigningstall = (P_20 - P_5)/(20 - 5)

print("P(5) =", float(P_5))
print("P(20) =", float(P_20))
print("Stigningstallet er", float(stigningstall))
print("Tolkning: pulsen økte i gjennomsnitt med 0.675 prosentpoeng per minutt")

P(5) = 83.875
P(20) = 94.0
Stigningstallet er 0.675
Tolkning: pulsen økte i gjennomsnitt med 0.675 prosentpoeng per minutt

Tolkning

Mellom 5 og 20 minutter økte pulsen i gjennomsnitt med 0,675 prosentpoeng per minutt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette inn \(d=20\), \(v=240\) og \(t=2\) i formelen.

Steg 1 — Sett inn i formelen

\[ H=\dfrac{20\cdot 240}{60\cdot 2} \]

Alle tallene kommer direkte fra oppgaven.

Steg 2 — Regn teller og nevner

\[ H=\dfrac{4800}{120} \]

Dette gir antall dråper per minutt.

Steg 3 — Regn ferdig

\[ H=40 \]

Enheten er dråper per minutt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import Rational

d = 20
v = 240
t = 2
H = Rational(d*v, 60*t)

print("d =", d, "dråper per milliliter")
print("v =", v, "milliliter")
print("t =", t, "timer")
print("H =", H, "dråper per minutt")

d = 20 dråper per milliliter
v = 240 milliliter
t = 2 timer
H = 40 dråper per minutt

Tolkning

Dryppet skal stilles inn på 40 dråper per minutt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere formelen når bare tiden \(t\) endres.

Steg 1 — Se på formelen

\[ H=\dfrac{d\cdot v}{60\cdot t} \]

\(t\) står i nevneren.

Steg 2 — Doble \(t\)

\[ H_{ ext{ny}}=\dfrac{d\cdot v}{60\cdot 2t} \]

Nevneren blir dobbelt så stor.

Steg 3 — Sammenlikn

\[ H_{ ext{ny}}=\dfrac{1}{2}H \]

Når nevneren dobles, halveres brøken.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, simplify

d, v, t = symbols("d v t", positive=True)
H = d*v/(60*t)
H_ny = d*v/(60*(2*t))
forhold = simplify(H_ny/H)

print("Opprinnelig H:", H)
print("Ny H når t dobles:", H_ny)
print("Ny H delt på gammel H:", forhold)

Opprinnelig H: d*v/(60*t)
Ny H når t dobles: d*v/(120*t)
Ny H delt på gammel H: 1/2

Tolkning

Hvis samme væskemengde skal gis over dobbelt så lang tid, blir drypphastigheten halvparten så stor.

Hva spør oppgaven om? Nå kjenner vi \(H\), \(d\) og \(t\), og skal løse formelen for \(v\).

Steg 1 — Start med formelen

\[ H=\dfrac{d\cdot v}{60\cdot t} \]

Volumet \(v\) står i telleren.

Steg 2 — Løs for \(v\)

\[ v=\dfrac{H\cdot 60\cdot t}{d} \]

Vi ganger med \(60t\) og deler på \(d\).

Steg 3 — Sett inn tall

\[ v=\dfrac{50\cdot 60\cdot 3}{25}=360 \]

Enheten er milliliter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, Eq, solve

v = symbols("v")
H = 50
d = 25
t = 3
likning = Eq(H, d*v/(60*t))
løsning = solve(likning, v)[0]

print("Likningen som løses er:")
print(likning)
print("Volumet v er", løsning, "mL")

Likningen som løses er:
Eq(50, 5*v/36)
Volumet v er 360 mL

Tolkning

Pasienten skal ha 360 mL intravenøs væske.

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne brutto månedslønn og deretter dele på antall arbeidstimer.

Steg 1 — Finn provisjonen

\[ 0{,}5\,\%=0{,}005 \] \[ 0{,}005\cdot 5\,300\,000=26\,500 \]

Provisjonen er 0,5 % av salgssummen.

Steg 2 — Finn brutto månedslønn

\[ 12\,000+26\,500=38\,500 \]

Brutto lønn er grunnbeløp pluss provisjon.

Steg 3 — Del på arbeidstimer

\[ \dfrac{38\,500}{186}pprox 206{,}99 \]

Timelønn er månedslønn delt på antall timer.

Kontroll (Python)

grunnbeløp = 12000
salgssum = 5300000
provisjonssats = 0.005
timer = 186

provisjon = provisjonssats * salgssum
brutto_månedslønn = grunnbeløp + provisjon
brutto_timelønn = brutto_månedslønn / timer

print("Provisjon:", round(provisjon, 2), "kr")
print("Brutto månedslønn:", round(brutto_månedslønn, 2), "kr")
print("Brutto timelønn:", round(brutto_timelønn, 2), "kr per time")

Provisjon: 26500.0 kr
Brutto månedslønn: 38500.0 kr
Brutto timelønn: 206.99 kr per time

Tolkning

Saras brutto timelønn i september var omtrent 207 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal trekke pensjon først. Trekkgrunnlaget for skatt blir brutto lønn minus pensjonstrekk.

Steg 1 — Bruk brutto månedslønn fra a

\[ 38\,500 ext{ kr} \]

Dette er lønnen før trekk.

Steg 2 — Finn pensjonstrekket

\[ 0{,}02\cdot 38\,500=770 \]

Pensjonstrekket er 2 % av brutto månedslønn.

Steg 3 — Finn trekkgrunnlaget

\[ 38\,500-770=37\,730 \]

Skatten beregnes av dette grunnlaget.

Steg 4 — Finn skatt og nettolønn

\[ 0{,}36\cdot 37\,730=13\,582{,}80 \] \[ 38\,500-770-13\,582{,}80=24\,147{,}20 \]

Nettolønn er det som er igjen etter pensjon og skatt.

Kontroll (Python)

brutto_månedslønn = 38500
pensjonssats = 0.02
skattesats = 0.36

pensjonstrekk = brutto_månedslønn * pensjonssats
trekkgrunnlag = brutto_månedslønn - pensjonstrekk
skattetrekk = trekkgrunnlag * skattesats
nettolønn = brutto_månedslønn - pensjonstrekk - skattetrekk

print("Pensjonstrekk:", round(pensjonstrekk, 2), "kr")
print("Trekkgrunnlag:", round(trekkgrunnlag, 2), "kr")
print("Skattetrekk:", round(skattetrekk, 2), "kr")
print("Nettolønn:", round(nettolønn, 2), "kr")

Pensjonstrekk: 770.0 kr
Trekkgrunnlag: 37730.0 kr
Skattetrekk: 13582.8 kr
Nettolønn: 24147.2 kr

Tolkning

Trekkgrunnlaget er 37 730 kroner, og Sara får 24 147,20 kroner utbetalt.

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner timelønn og timer. Først finner vi brutto månedslønn, deretter salgssummen som gir riktig provisjon.

Steg 1 — Finn brutto månedslønn

\[ 282\cdot 180=50\,760 \]

Brutto månedslønn er timelønn ganger timer.

Steg 2 — Finn provisjonen

\[ 50\,760-12\,000=38\,760 \]

Dette er delen av lønnen som kommer fra 0,5 % provisjon.

Steg 3 — Finn salgssummen

\[ 0{,}005\cdot x=38\,760 \] \[ x=\dfrac{38\,760}{0{,}005}=7\,752\,000 \]

Vi deler provisjonen på provisjonssatsen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols("x")
timelønn = 282
timer = 180
grunnbeløp = 12000
provisjonssats = 0.005

brutto_månedslønn = timelønn * timer
likning = Eq(grunnbeløp + provisjonssats*x, brutto_månedslønn)
løsning = solve(likning, x)[0]

print("Brutto månedslønn i oktober:", brutto_månedslønn, "kr")
print("Likning:", likning)
print("Salgssum:", int(løsning), "kr")

Brutto månedslønn i oktober: 50760 kr
Likning: Eq(0.005*x + 12000, 50760)
Salgssum: 7752000 kr

Tolkning

Sara solgte eiendommer for 7 752 000 kroner i oktober.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis økning fra 5,3 til 110,8.

Steg 1 — Finn økningen

\[ 110{,}8-5{,}3=105{,}5 \]

Dette er endringen i indeksverdi.

Steg 2 — Del på startverdien

\[ \dfrac{105{,}5}{5{,}3}\cdot 100\,\%pprox 1990{,}6\,\% \]

Prosentvis økning regnes alltid i forhold til startverdien.

Kontroll (Python)

kpi_1950 = 5.3
kpi_2019 = 110.8
økning_prosent = (kpi_2019 - kpi_1950) / kpi_1950 * 100

print("KPI 1950:", kpi_1950)
print("KPI 2019:", kpi_2019)
print("Prosentvis økning:", round(økning_prosent, 1), "%")

KPI 1950: 5.3
KPI 2019: 110.8
Prosentvis økning: 1990.6 %

Tolkning

KPI ble omtrent 20,9 ganger så stor, altså en økning på omtrent 1991 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal justere prisen fra 1950 til 2019 ved hjelp av forholdet mellom KPI-verdiene.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren fra KPI

\[ \dfrac{110{,}8}{5{,}3}pprox 20{,}9057 \]

Dette viser hvor mange ganger prisnivået har økt ifølge KPI.

Steg 2 — Gang 1950-prisen med vekstfaktoren

\[ 0{,}45\cdot \dfrac{110{,}8}{5{,}3}pprox 9{,}41 \]

Prisen følger samme relative utvikling som KPI.

Kontroll (GeoGebra CAS)

pris_1950 = 0.45
kpi_1950 = 5.3
kpi_2019 = 110.8
pris_2019 = pris_1950 * kpi_2019 / kpi_1950

print("Pris i 1950:", pris_1950, "kr")
print("Pris justert med KPI:", round(pris_2019, 2), "kr")

Pris i 1950: 0.45 kr
Pris justert med KPI: 9.41 kr

Tolkning

Dersom melkeprisen fulgte KPI, ville én liter melk kostet omtrent 9,41 kroner i 2019.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange som bare er med i idrettslaget, og deretter dele på 20.

Steg 1 — Finn hvor mange som er med i minst én aktivitet

\[ 20-2=18 \]

To elever er verken med i idrettslag eller korps.

Steg 2 — Finn overlappet

\[ 14+7-x=18 \]

Tre elever må være med i både idrettslaget og korpset.

Steg 3 — Finn bare idrettslaget

\[ 14-3=11 \]

Vi trekker fra dem som også er med i korpset.

Steg 4 — Finn sannsynligheten

\[ P=\dfrac{11}{20}=0{,}55=55\,\% \]

Én elev trekkes tilfeldig blant 20 elever.

Kontroll (Python)

antall_elever = 20
idrett = 14
korps = 7
verken = 2

minst_en = antall_elever - verken
overlapp = idrett + korps - minst_en
bare_idrett = idrett - overlapp
sannsynlighet = bare_idrett / antall_elever

print("Elever med minst én aktivitet:", minst_en)
print("Elever i både idrettslag og korps:", overlapp)
print("Elever bare i idrettslaget:", bare_idrett)
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Sannsynlighet i prosent:", round(sannsynlighet*100), "%")

Elever med minst én aktivitet: 18
Elever i både idrettslag og korps: 3
Elever bare i idrettslaget: 11
Sannsynlighet: 0.55
Sannsynlighet i prosent: 55 %

Tolkning

Det er 55 % sannsynlighet for å trekke en elev som er med i idrettslaget, men ikke i korpset.

Hva spør oppgaven om? Vi skal legge sammen volumet av en sylinder og en halvkule.

Steg 1 — Finn radius

\[ r=\dfrac{76}{2}=38 ext{ mm} \]

Radius er halvparten av diameteren.

Steg 2 — Skriv volumet

\[ V=\pi r^2h+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 \]

Dette er sylinder pluss halvkule.

Steg 3 — Sett inn og regn

\[ V=\pi\cdot 38^2\cdot 43+\dfrac{2}{3}\pi\cdot 38^3pprox 309\,991 ext{ mm}^3 \]

Volumet er foreløpig i kubikkmillimeter.

Steg 4 — Gjør om til milliliter

\[ 309\,991 ext{ mm}^3pprox 310 ext{ mL} \]

\(1000 ext{ mm}^3=1 ext{ mL}\).

Kontroll (Python)

from math import pi

r = 38
h = 43
volum_sylinder = pi * r**2 * h
volum_halvkule = (2/3) * pi * r**3
volum_mm3 = volum_sylinder + volum_halvkule
volum_ml = volum_mm3 / 1000

print("Volum sylinder:", round(volum_sylinder, 1), "mm^3")
print("Volum halvkule:", round(volum_halvkule, 1), "mm^3")
print("Samlet volum:", round(volum_mm3, 1), "mm^3")
print("Samlet volum:", round(volum_ml, 1), "mL")

Volum sylinder: 195100.6 mm^3
Volum halvkule: 114890.8 mm^3
Samlet volum: 309991.4 mm^3
Samlet volum: 310.0 mL

Tolkning

Beholderen rommer omtrent 310 mL.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne utvendig areal: sylinderens sideflate, halvkulas krumme flate og bunnen av sylinderen.

Steg 1 — Skriv arealene

\[ A=2\pi rh+2\pi r^2+\pi r^2 \]

Dette er sideflate sylinder, halvkule og bunnsirkel.

Steg 2 — Sett inn \(r=38\) og \(h=43\)

\[ A=2\pi\cdot 38\cdot 43+2\pi\cdot 38^2+\pi\cdot 38^2 \]

Alle lengdene er i millimeter.

Steg 3 — Regn ut i \( ext{mm}^2\)

\[ Approx 23\,876 ext{ mm}^2 \]

Dette er overflatearealet i kvadratmillimeter.

Steg 4 — Gjør om til \( ext{cm}^2\)

\[ 23\,876 ext{ mm}^2pprox 239 ext{ cm}^2 \]

\(100 ext{ mm}^2=1 ext{ cm}^2\).

Kontroll (Python)

from math import pi

r = 38
h = 43
sideflate_sylinder = 2*pi*r*h
krum_flate_halvkule = 2*pi*r**2
bunn = pi*r**2
areal_mm2 = sideflate_sylinder + krum_flate_halvkule + bunn
areal_cm2 = areal_mm2 / 100

print("Sideflate sylinder:", round(sideflate_sylinder, 1), "mm^2")
print("Krum flate halvkule:", round(krum_flate_halvkule, 1), "mm^2")
print("Bunn:", round(bunn, 1), "mm^2")
print("Samlet overflateareal:", round(areal_cm2, 1), "cm^2")

Sideflate sylinder: 10264.1 mm^2
Krum flate halvkule: 9072.9 mm^2
Bunn: 4539.1 mm^2
Samlet overflateareal: 238.8 cm^2

Tolkning

Beholderens overflateareal er omtrent 239 cm².

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at salget gir høy sats og deretter beregne provisjonen.

Steg 1 — Finn differanse per kilogram

\[ 80-65=15 \]

Firmaet tjener 15 kroner mer per kilogram enn kostprisen.

Steg 2 — Finn prosentvis differanse

\[ \dfrac{15}{65}\cdot 100\,\%pprox 23{,}1\,\% \]

Dette er mer enn 10 %, derfor brukes høy sats.

Steg 3 — Finn total differanse i kroner

\[ 1000\cdot 15=15\,000 \]

Partiet er på 1000 kg.

Steg 4 — Finn provisjonen

\[ 0{,}08\cdot 15\,000=1200 \]

Høy sats er 8 % av differansen.

Kontroll (Python)

kg = 1000
kostpris = 65
salgspris = 80
høy_sats = 0.08

differanse_per_kg = salgspris - kostpris
differanse_prosent = differanse_per_kg / kostpris * 100
differanse_total = kg * differanse_per_kg
provisjon = høy_sats * differanse_total

print("Differanse per kg:", differanse_per_kg, "kr")
print("Differanse i prosent:", round(differanse_prosent, 1), "%")
print("Differanse totalt:", differanse_total, "kr")
print("Provisjon:", round(provisjon), "kr")

Differanse per kg: 15 kr
Differanse i prosent: 23.1 %
Differanse totalt: 15000 kr
Provisjon: 1200 kr

Tolkning

Provisjonen blir 1200 kroner fordi salgsprisen er mer enn 10 % høyere enn kostprisen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage formler som beregner differanse, prosent, sats og provisjon for hver rad.

Steg 1 — Legg inn satser

I regnearket legges lav sats i B2 og høy sats i B3.

Da kan formlene kopieres nedover uten å skrive satsene på nytt.

Steg 2 — Bruk formler i rad 6

Steg 3 — Kopier formlene nedover

Kopier formlene fra rad 6 til rad 10.

Da beregnes alle kundene automatisk.

Kontroll (Python)

rader = [
    ("Sørfisk", 2000, 80.60, 88.10),
    ("Nordfisk", 500, 97.90, 115.70),
    ("Østfisk", 3400, 89.00, 95.50),
    ("Vestfisk", 1000, 65.00, 80.00),
    ("Havfisk", 1200, 105.00, 115.50),
]

lav_sats = 0.05
høy_sats = 0.08
samlet = 0

for kunde, kg, kostpris, salgspris in rader:
    differanse_kr = (salgspris - kostpris) * kg
    differanse_prosent = (salgspris - kostpris) / kostpris
    sats = høy_sats if differanse_prosent >= 0.10 else lav_sats
    provisjon = differanse_kr * sats
    samlet += provisjon
    print(kunde, "provisjon:", round(provisjon, 2), "kr")

print("Samlet provisjon:", round(samlet, 2), "kr")

Sørfisk provisjon: 750.0 kr
Nordfisk provisjon: 712.0 kr
Østfisk provisjon: 1105.0 kr
Vestfisk provisjon: 1200.0 kr
Havfisk provisjon: 1008.0 kr
Samlet provisjon: 4775.0 kr

Tolkning

Regnearket beregner provisjonen rad for rad og gir samlet provisjon automatisk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke samme regneark, men endre satsene til 4 % og 10 %.

Steg 1 — Endre satsene i regnearket

B2=4% og B3=10%.

Formlene i provisjonskolonnen trenger ikke endres.

Steg 2 — Beregn ny provisjon for hver kunde

Steg 3 — Summer

\[ 600+890+884+1500+1260=5134 \]

Dette er samlet provisjon med de nye satsene.

Kontroll (Python)

rader = [
    ("Sørfisk", 2000, 80.60, 88.10),
    ("Nordfisk", 500, 97.90, 115.70),
    ("Østfisk", 3400, 89.00, 95.50),
    ("Vestfisk", 1000, 65.00, 80.00),
    ("Havfisk", 1200, 105.00, 115.50),
]

lav_sats = 0.04
høy_sats = 0.10
samlet = 0

for kunde, kg, kostpris, salgspris in rader:
    differanse_kr = (salgspris - kostpris) * kg
    differanse_prosent = (salgspris - kostpris) / kostpris
    sats = høy_sats if differanse_prosent >= 0.10 else lav_sats
    provisjon = differanse_kr * sats
    samlet += provisjon
    print(kunde, "ny provisjon:", round(provisjon, 2), "kr")

print("Samlet provisjon med nye satser:", round(samlet, 2), "kr")

Sørfisk ny provisjon: 600.0 kr
Nordfisk ny provisjon: 890.0 kr
Østfisk ny provisjon: 884.0 kr
Vestfisk ny provisjon: 1500.0 kr
Havfisk ny provisjon: 1260.0 kr
Samlet provisjon med nye satser: 5134.0 kr

Tolkning

Med nye satser blir samlet provisjon 5134 kroner.