Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ny pris etter en økning på 10 %. Da kan vi bruke vekstfaktor.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

En økning på 10 % betyr at varen skal koste 110 % av opprinnelig pris.

Steg 2 — Regn ny pris

\[ 640\cdot 1{,}10=704 \]

Vi ganger gammel pris med vekstfaktoren.

Tolkning

Varen vil koste 704 kroner etter prisøkningen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ny pris etter en økning på 15 %. Vi bruker samme metode som i a).

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]

En økning på 15 % betyr at prisen blir 115 % av gammel pris.

Steg 2 — Regn ny pris

\[ 640\cdot 1{,}15=736 \]

Vi ganger prisen med vekstfaktoren.

Tolkning

Varen vil koste 736 kroner dersom prisen settes opp med 15 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne den korte veien med veien om Multemyr. Figuren gir en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Finn den ukjente kateten

\[ 1000^2-800^2=600^2 \]

Den korte veien er 1 km, altså 1000 m. Pytagoras gir den andre korte siden.

Steg 2 — Finn lengden om Multemyr

\[ 800+600=1400 \]

Veien om Multemyr består av to stier.

Steg 3 — Sammenlikn med korteste vei

\[ 1400-1000=400 \]

Vi trekker fra den korte veien.

Tolkning

Noah må gå 400 meter lenger dersom han velger veien om Multemyr.

Hva spør oppgaven om? Økningen er 2 prosentpoeng, men vi skal finne prosentvis økning relativt til 40 %.

Steg 1 — Sett opp relativ økning

\[ \dfrac{2}{40} \]

Vi deler økningen på den opprinnelige oppslutningen.

Steg 2 — Gjør om til prosent

\[ \dfrac{2}{40}=0{,}05=5\,\% \]

0,05 betyr fem hundredeler.

Tolkning

Partiets oppslutning øker med 5 % relativt til den opprinnelige oppslutningen.

Hva spør oppgaven om? Basisåret har indeks 100. Når prisen er 6 % høyere, legger vi 6 til indeksverdien.

Steg 1 — Start med basisindeksen

\[ 100 \]

Indeks i basisåret er alltid 100.

Steg 2 — Legg til 6 %

\[ 100+6=106 \]

Når prisen er 6 % høyere, er indeksen 106.

Tolkning

Prisindeksen 106 betyr at varen er 6 % dyrere enn i basisåret.

Hva spør oppgaven om? Forholdet mel : vann er 10 : 7. Vi skal skalere oppskriften fra 10 deler mel til 50 L mel.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[ 50:10=5 \]

50 L mel er 5 ganger så mye som 10 deler mel.

Steg 2 — Finn vannmengden

\[ 7\cdot 5=35 \]

Vannmengden må skaleres med samme faktor.

Tolkning

Kari trenger 35 L vann når hun bruker 50 L mel.

Hva spør oppgaven om? Den totale mengden mel og vann er 3,4 L. Forholdet 10 : 7 betyr 17 like deler totalt.

Steg 1 — Finn én del

\[ 3{,}4:17=0{,}2 \]

Det er 17 deler til sammen.

Steg 2 — Finn melmengden

\[ 10\cdot 0{,}2=2{,}0 \]

Mel er 10 av de 17 delene.

Steg 3 — Finn vannmengden

\[ 7\cdot 0{,}2=1{,}4 \]

Vann er 7 av de 17 delene.

Tolkning

Hun bruker 2,0 L mel og 1,4 L vann hjemme.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sirkelen til å finne avstanden mellom de parallelle linjene. Den avstanden er høyden i både parallellogrammet og trekanten.

Steg 1 — Finn radius i sirkelen

\[ \pi r^2=9\pi \Rightarrow r=3 \]

Arealet av en sirkel er \(\pi r^2\).

Steg 2 — Finn høyden

\[ h=2r=6 \]

Sirkelen ligger mellom de parallelle linjene, så avstanden er diameteren.

Steg 3 — Finn parallellogramarealet

\[ A=8\cdot 6=48 \]

Areal av parallellogram er grunnlinje ganger høyde.

Steg 4 — Finn trekantarealet

\[ A=\dfrac{4\cdot 6}{2}=12 \]

Areal av trekant er grunnlinje ganger høyde delt på 2.

Tolkning

Parallellogrammet har areal 48, og trekanten har areal 12.

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele hytteleien likt og legge til 1300 kroner per person.

Steg 1 — Regn for 2 personer

\[ \dfrac{3600}{2}+1300=3100 \]

Hver betaler halvparten av hytta pluss mat og transport.

Steg 2 — Regn for 4 personer

\[ \dfrac{3600}{4}+1300=2200 \]

Hytteleien deles på fire.

Steg 3 — Regn for 8 personer

\[ \dfrac{3600}{8}+1300=1750 \]

Hytteleien deles på åtte.

Tolkning

Flere personer gir lavere hytteutgift per person, men mat og transport er fast 1300 kroner per person.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en formel for utgiftene per person når \(x\) personer deltar.

Steg 1 — Del hytteleien

\[ \dfrac{3600}{x} \]

Hytteleien fordeles likt på \(x\) personer.

Steg 2 — Legg til fast personkostnad

\[ U=\dfrac{3600}{x}+1300 \]

Mat og transport kommer i tillegg for hver person.

Tolkning

Formelen gir total utgift per person når vi vet hvor mange som deltar.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\) når utgiften per person er 1600 kroner.

Steg 1 — Sett formelen lik 1600

\[ 1600=\dfrac{3600}{x}+1300 \]

Vi bruker formelen fra b).

Steg 2 — Trekk fra 1300

\[ 300=\dfrac{3600}{x} \]

Da står bare hytteandelen igjen.

Steg 3 — Løs for \(x\)

\[ x=\dfrac{3600}{300}=12 \]

Det må være 12 personer.

Tolkning

12 personer må delta for at utgiftene per person skal bli 1600 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om antall personer og utgift per person er omvendt proporsjonale. Da må produktet være konstant, eller uttrykket må ha formen \(k/x\).

Steg 1 — Se på formelen

\[ U=\dfrac{3600}{x}+1300 \]

Det står et ekstra fast tillegg på 1300 kroner.

Steg 2 — Test produktet

\[ 2\cdot 3100=6200\quad \text{og}\quad 4\cdot 2200=8800 \]

Produktet er ikke konstant.

Tolkning

Størrelsene er ikke omvendt proporsjonale fordi mat og transport gir et fast tillegg per person.

Hva spør oppgaven om? Klassene er like store. Vi kan tenke at hver klasse har \(n\) elever.

Steg 1 — Finn antall med biologi

\[ n+\dfrac{n}{2}=\dfrac{3n}{2} \]

Alle i 2A og halvparten i 2B har biologi.

Steg 2 — Finn totalt antall elever

\[ n+n=2n \]

Det er to like store klasser.

Steg 3 — Regn sannsynligheten

\[ \dfrac{\frac{3n}{2}}{2n}=\dfrac{3}{4} \]

\(n\) forkortes bort.

Tolkning

Sannsynligheten for at en tilfeldig Vg2-elev har valgt biologi er 75 %.

Hva spør oppgaven om? Vi vet at eleven har valgt biologi. Da skal vi bare se på biologielevene.

Steg 1 — Biologielever fra 2A

\[ n \]

Alle i 2A har biologi.

Steg 2 — Biologielever totalt

\[ \dfrac{3n}{2} \]

Dette fant vi i a).

Steg 3 — Regn sannsynligheten

\[ \dfrac{n}{\frac{3n}{2}}=\dfrac{2}{3} \]

Vi deler biologielever i 2A på alle biologielever.

Tolkning

Blant biologielevene går to av tre i klasse 2A.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke to punkter på grafen i den praktiske situasjonen.

Steg 1 — Tolk \((0,-450)\)

\[ \text{Når 0 vafler er solgt, er overskuddet }-450 \]

Dette betyr at innkjøp og utstyr kostet 450 kroner.

Steg 2 — Tolk \((30,0)\)

\[ \text{Når 30 vafler er solgt, er overskuddet }0 \]

Dette betyr at elevene går i null etter 30 solgte vaffelplater.

Tolkning

Elevene har 450 kroner i startkostnader og må selge 30 vaffelplater før de ikke lenger går med underskudd.

Hva spør oppgaven om? Prisen per vaffelplate er stigningstallet til linjen.

Steg 1 — Finn endringen i overskudd

\[ 0-(-450)=450 \]

Overskuddet øker med 450 kroner fra 0 til 30 solgte plater.

Steg 2 — Del på antall vaffelplater

\[ \dfrac{450}{30}=15 \]

Dette er økning i overskudd per solgte vaffelplate.

Tolkning

De tar 15 kroner per vaffelplate.

Hva spør oppgaven om? De kan lage 120 vaffelplater. Vi bruker pris per plate og trekker fra startkostnaden.

Steg 1 — Finn inntekten

\[ 120\cdot 15=1800 \]

De får 15 kroner for hver av 120 plater.

Steg 2 — Trekk fra kostnadene

\[ 1800-450=1350 \]

Overskudd er inntekt minus kostnader.

Tolkning

Dersom alle vaffelplatene blir solgt, får elevene 1350 kroner i overskudd.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen til modellen for antall tusen artikler. Grafen skal bare tegnes på det gyldige intervallet.

Steg 1 — Legg inn funksjonen

\[ f(x)=-2{,}34x^3+50x^2+129x+19{,}7 \]

Dette er modellen i oppgaven.

Steg 2 — Begrens intervallet

\[ 0\le x\le 15 \]

Modellen gjelder fra 1. januar 2002 og 15 år framover.

Steg 3 — Kontroller noen verdier

\[ f(0)=19{,}7,\quad f(15)=5307{,}2 \]

Siden \(f\) måler tusen artikler, er dette omtrent 19 700 og 5 307 200 artikler.

from sympy import symbols, nroots

x = symbols('x')
f = -2.34*x**3 + 50*x**2 + 129*x + 19.7

print("Modell for antall tusen artikler:")
print("f(x) =", f)
print()
print("Vi løser f(x) = 4000, fordi 4000 tusen betyr 4 000 000 artikler.")
solutions = nroots(f - 4000)
for solution in solutions:
    print("x =", round(float(solution), 4))
print()
print("Gyldig løsning i intervallet 0 <= x <= 15:")
print("x ≈ 10.0712")
print("Dette er litt etter 1. januar 2012.")

Modell for antall tusen artikler:
f(x) = -2.34*x**3 + 50*x**2 + 129*x + 19.7

Vi løser f(x) = 4000, fordi 4000 tusen betyr 4 000 000 artikler.
x = -8.5221
x = 10.0712
x = 19.8185

Gyldig løsning i intervallet 0 <= x <= 15:
x ≈ 10.0712
Dette er litt etter 1. januar 2012.

Tolkning

Grafen viser kraftig vekst i antall artikler gjennom perioden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når antall artikler passerte 4 000 000. Siden \(f(x)\) er i tusen artikler, løser vi \(f(x)=4000\).

Steg 1 — Sett opp likningen

\[ -2{,}34x^3+50x^2+129x+19{,}7=4000 \]

4000 tusen er 4 000 000.

Steg 2 — Løs digitalt

\[ x\approx 10{,}071 \]

Dette er den eneste løsningen i intervallet \(0\le x\le 15\).

Steg 3 — Tolk tidspunktet

\[ 2002+10{,}071\approx 2012{,}071 \]

Det er litt etter 1. januar 2012.

from sympy import symbols, nroots

x = symbols('x')
f = -2.34*x**3 + 50*x**2 + 129*x + 19.7

print("Modell for antall tusen artikler:")
print("f(x) =", f)
print()
print("Vi løser f(x) = 4000, fordi 4000 tusen betyr 4 000 000 artikler.")
solutions = nroots(f - 4000)
for solution in solutions:
    print("x =", round(float(solution), 4))
print()
print("Gyldig løsning i intervallet 0 <= x <= 15:")
print("x ≈ 10.0712")
print("Dette er litt etter 1. januar 2012.")

Modell for antall tusen artikler:
f(x) = -2.34*x**3 + 50*x**2 + 129*x + 19.7

Vi løser f(x) = 4000, fordi 4000 tusen betyr 4 000 000 artikler.
x = -8.5221
x = 10.0712
x = 19.8185

Gyldig løsning i intervallet 0 <= x <= 15:
x ≈ 10.0712
Dette er litt etter 1. januar 2012.

Tolkning

Ifølge modellen passerte engelsk Wikipedia 4 000 000 artikler tidlig i 2012.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kartavstand og virkelig avstand i samme enhet.

Steg 1 — Gjør om mil til centimeter

\[ 4{,}8\text{ mil}=48\text{ km}=4\,800\,000\text{ cm} \]

Målestokk må ha samme enhet på begge sider.

Steg 2 — Sett opp forholdet

\[ 2{,}4:4\,800\,000 \]

Dette er kartavstand : virkelig avstand.

Steg 3 — Del på 2,4

\[ 1:2\,000\,000 \]

Vi forenkler forholdet.

from sympy import Rational

kart_cm = Rational(24, 10)
virkelig_cm = Rational(48, 10) * 10 * 1000 * 100
malestokkstall = virkelig_cm / kart_cm

print("Avstand på kartet:", float(kart_cm), "cm")
print("Avstand i virkeligheten:", int(virkelig_cm), "cm")
print("Målestokkstall:", int(malestokkstall))
print("Målestokk: 1 :", int(malestokkstall))

Avstand på kartet: 2.4 cm
Avstand i virkeligheten: 4800000 cm
Målestokkstall: 2000000
Målestokk: 1 : 2000000

Tolkning

Målestokken betyr at 1 cm på kartet svarer til 2 000 000 cm i virkeligheten, altså 20 km.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne total overflate av sylinderen med overflaten av kula.

Steg 1 — Finn sylinderens overflate

\[ 2\pi rh+2\pi r^2=2\pi\cdot 10\cdot 10+2\pi\cdot 10^2=400\pi \]

En lukket boks har både sideflate, topp og bunn.

Steg 2 — Finn kulas overflate

\[ 4\pi r^2=4\pi\cdot 10^2=400\pi \]

Dette er formelen for kuleoverflate.

Steg 3 — Finn forholdet

\[ 400\pi:400\pi=1:1 \]

Overflatene er like store.

from sympy import pi, simplify

r = 10
h = 10
sylinder = 2*pi*r*h + 2*pi*r**2
kule = 4*pi*r**2
forhold = simplify(sylinder/kule)

print("Overflate sylinder =", sylinder)
print("Overflate kule =", kule)
print("Forhold sylinder : kule =", forhold, ": 1")
print("Begge overflatene er like store.")

Overflate sylinder = 400*pi
Overflate kule = 400*pi
Forhold sylinder : kule = 1 : 1
Begge overflatene er like store.

Tolkning

Hermetikkboksen og kula har like stor overflate i denne situasjonen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne om fra gammelt basisår til nytt basisår. Når 2015 er nytt basisår, settes 2015 lik 100.

Steg 1 — Bruk forholdet mellom basisårene

\[ \dfrac{100}{139{,}8}\cdot 100 \]

I gammel indeks var 2015 lik 139,8 når 1998 var 100.

Steg 2 — Regn ut

\[ \dfrac{100}{139{,}8}\cdot 100\approx 71{,}5 \]

Dette er 1998-indeksen når 2015 er 100.

from sympy import Rational

kpi_2015_old = Rational(1398, 10)
kpi_2016_old = Rational(1448, 10)

kpi_1998_new = 100 / kpi_2015_old * 100
kpi_2016_new = kpi_2016_old / kpi_2015_old * 100

print("Ny KPI for 1998:", round(float(kpi_1998_new), 1))
print("Ny KPI for 2016:", round(float(kpi_2016_new), 1))

Ny KPI for 1998: 71.5
Ny KPI for 2016: 103.6

Tolkning

KPI for 1998 blir 71,5 i den nye indeksserien.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 2016-indeksen når 2015 er 100.

Steg 1 — Sett opp forholdet

\[ \dfrac{144{,}8}{139{,}8}\cdot 100 \]

Vi sammenlikner 2016 med 2015 i den gamle indeksserien.

Steg 2 — Regn ut

\[ \dfrac{144{,}8}{139{,}8}\cdot 100\approx 103{,}6 \]

Dette gir ny KPI for 2016.

from sympy import Rational

kpi_2015_old = Rational(1398, 10)
kpi_2016_old = Rational(1448, 10)

kpi_1998_new = 100 / kpi_2015_old * 100
kpi_2016_new = kpi_2016_old / kpi_2015_old * 100

print("Ny KPI for 1998:", round(float(kpi_1998_new), 1))
print("Ny KPI for 2016:", round(float(kpi_2016_new), 1))

Ny KPI for 1998: 71.5
Ny KPI for 2016: 103.6

Tolkning

KPI 103,6 betyr at prisnivået i 2016 var omtrent 3,6 % høyere enn i 2015.

Hva spør oppgaven om? Helene skal ha samme kjøpekraft i begge år. Derfor må lønnen følge samme forhold som konsumprisindeksen.

Steg 1 — Sett opp forholdet

\[ \dfrac{L_{2010}}{92{,}1}=\dfrac{540\,000}{97{,}9} \]

Like kjøpekraft betyr at lønn delt på indeks er lik.

Steg 2 — Løs for lønnen i 2010

\[ L_{2010}=540\,000\cdot\dfrac{92{,}1}{97{,}9} \]

Vi justerer 2014-lønnen tilbake til 2010-prisnivå.

Steg 3 — Regn ut

\[ L_{2010}\approx 508\,008 \]

Rundet til nærmeste krone.

from sympy import Rational

salary_2014 = 540000
kpi_2010 = Rational(921, 10)
kpi_2014 = Rational(979, 10)
salary_2010 = salary_2014 * kpi_2010 / kpi_2014

print("Nominell lønn i 2014:", salary_2014)
print("KPI 2010:", float(kpi_2010))
print("KPI 2014:", float(kpi_2014))
print("Nominell lønn i 2010:", round(float(salary_2010)))

Nominell lønn i 2014: 540000
KPI 2010: 92.1
KPI 2014: 97.9
Nominell lønn i 2010: 508008

Tolkning

Hun måtte hatt omtrent 508 000 kroner i nominell lønn i 2010 for å ha samme kjøpekraft.

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner sluttprisen og samlet vekstfaktor. Da finner vi startprisen ved å dele på samlet vekstfaktor.

Steg 1 — Finn vekstfaktorer

\[ 0{,}70^2\cdot 1{,}20^3 \]

Ned 30 % gir 0,70. Opp 20 % gir 1,20.

Steg 2 — Finn samlet vekstfaktor

\[ 0{,}70^2\cdot 1{,}20^3=0{,}84672 \]

Alle prisendringene virker etter hverandre.

Steg 3 — Finn startprisen

\[ \dfrac{2646}{0{,}84672}=3125 \]

Vi deler sluttprisen på samlet vekstfaktor.

from sympy import symbols, Eq, solve

startpris = symbols('startpris')
sluttpris = 2646
samlet_vekstfaktor = 0.70**2 * 1.20**3

print("Samlet vekstfaktor:", samlet_vekstfaktor)
print("Likning: startpris * samlet_vekstfaktor = 2646")
losning = solve(Eq(startpris * samlet_vekstfaktor, sluttpris), startpris)[0]
print("Startpris:", round(float(losning), 2))

Samlet vekstfaktor: 0.8467199999999999
Likning: startpris * samlet_vekstfaktor = 2646
Startpris: 3125.0

Tolkning

Varen kostet 3125 kroner før prisendringene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal trekke to kuler uten tilbakelegging og finne sannsynligheten for at begge ikke er ødelagt.

Steg 1 — Tell kuler som ikke er ødelagt

\[ 12-5=7 \]

Det er 1 hvit og 4 røde ødelagte, altså 5 ødelagte totalt.

Steg 2 — Sannsynlighet for første hele kule

\[ \dfrac{7}{12} \]

Det er 7 hele kuler av 12.

Steg 3 — Sannsynlighet for andre hele kule

\[ \dfrac{6}{11} \]

Når én hel kule er tatt, er 6 hele igjen av 11 kuler.

Steg 4 — Multipliser

\[ \dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{6}{11}=\dfrac{7}{22} \]

Begge hendelsene skal skje.

from fractions import Fraction

totalt = 12
ikke_odelagt = 7
p_to_hele = Fraction(ikke_odelagt, totalt) * Fraction(ikke_odelagt - 1, totalt - 1)
p_minst_en_odelagt = 1 - p_to_hele

print("Sannsynlighet for to som ikke er ødelagt:", p_to_hele)
print("Som prosent:", round(float(p_to_hele) * 100, 2), "%")
print("Sannsynlighet for minst én ødelagt:", p_minst_en_odelagt)
print("Som prosent:", round(float(p_minst_en_odelagt) * 100, 2), "%")

Sannsynlighet for to som ikke er ødelagt: 7/22
Som prosent: 31.82 %
Sannsynlighet for minst én ødelagt: 15/22
Som prosent: 68.18 %

Tolkning

Sannsynligheten for å ta to kuler som ikke er ødelagt er omtrent 31,8 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for minst én ødelagt kule. Det enkleste er å bruke komplementet: ikke minst én ødelagt betyr to hele kuler.

Steg 1 — Bruk resultatet fra a)

\[ P(\text{to hele})=\dfrac{7}{22} \]

Dette er komplementet til minst én ødelagt.

Steg 2 — Trekk fra 1

\[ 1-\dfrac{7}{22}=\dfrac{15}{22} \]

Da får vi sannsynligheten for minst én ødelagt.

from fractions import Fraction

totalt = 12
ikke_odelagt = 7
p_to_hele = Fraction(ikke_odelagt, totalt) * Fraction(ikke_odelagt - 1, totalt - 1)
p_minst_en_odelagt = 1 - p_to_hele

print("Sannsynlighet for to som ikke er ødelagt:", p_to_hele)
print("Som prosent:", round(float(p_to_hele) * 100, 2), "%")
print("Sannsynlighet for minst én ødelagt:", p_minst_en_odelagt)
print("Som prosent:", round(float(p_minst_en_odelagt) * 100, 2), "%")

Sannsynlighet for to som ikke er ødelagt: 7/22
Som prosent: 31.82 %
Sannsynlighet for minst én ødelagt: 15/22
Som prosent: 68.18 %

Tolkning

Sannsynligheten for at minst én kule er ødelagt er omtrent 68,2 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av treklossen etter at ett hjørne er avrundet. Vi finner først arealet av tverrsnittet og ganger med lengden 36 cm.

Steg 1 — Start med kvadratisk tverrsnitt

\[ 12\cdot 12=144 \]

Prismet hadde tverrsnitt 12 cm × 12 cm før avrunding.

Steg 2 — Finn arealet som er skåret bort

\[ 6\cdot 6-\dfrac{\pi\cdot 6^2}{4}=36-9\pi \]

Et hjørne på 6 cm × 6 cm er erstattet av en kvart sirkel.

Steg 3 — Finn nytt tverrsnitt

\[ 144-(36-9\pi)=108+9\pi \]

Dette er arealet av tverrsnittet etter avrunding.

Steg 4 — Finn volum

\[ (108+9\pi)\cdot 36=3888+324\pi\approx 4905{,}9 \]

Volum er tverrsnitt ganger lengde.

from sympy import pi, N

lengde = 36
radius = 6
kvadrat_areal = 12 * 12
bortskaret_hjorne = radius * radius - pi * radius**2 / 4
tverrsnitt = kvadrat_areal - bortskaret_hjorne
volum = tverrsnitt * lengde

perimeter_tverrsnitt = 12 + 12 + 6 + 6 + (pi * radius / 2)
overflate = perimeter_tverrsnitt * lengde + 2 * tverrsnitt

print("Tverrsnittsareal =", tverrsnitt)
print("Volum =", volum)
print("Volum, avrundet =", round(float(N(volum)), 1), "cm^3")
print("Overflate =", overflate)
print("Overflate, avrundet =", round(float(N(overflate)), 1), "cm^2")

Tverrsnittsareal = 9*pi + 108
Volum = 324*pi + 3888
Volum, avrundet = 4905.9 cm^3
Overflate = 126*pi + 1512
Overflate, avrundet = 1907.8 cm^2

Tolkning

Volumet av treklossen er omtrent 4906 kubikkcentimeter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet overflate. Det kan gjøres ved å bruke omkretsen av tverrsnittet ganger lengden, og legge til de to endeflatene.

Steg 1 — Finn omkrets av tverrsnitt

\[ 12+12+6+6+\dfrac{2\pi\cdot 6}{4}=36+3\pi \]

De rette delene og sirkelbuen utgjør omkretsen.

Steg 2 — Finn sideflaten

\[ 36(36+3\pi)=1296+108\pi \]

Sideflaten er omkrets ganger lengde.

Steg 3 — Legg til to endeflater

\[ 2(108+9\pi)=216+18\pi \]

Treklossen har to like endeflater.

Steg 4 — Summer

\[ 1296+108\pi+216+18\pi=1512+126\pi\approx 1907{,}8 \]

Dette er hele overflaten.

from sympy import pi, N

lengde = 36
radius = 6
kvadrat_areal = 12 * 12
bortskaret_hjorne = radius * radius - pi * radius**2 / 4
tverrsnitt = kvadrat_areal - bortskaret_hjorne
volum = tverrsnitt * lengde

perimeter_tverrsnitt = 12 + 12 + 6 + 6 + (pi * radius / 2)
overflate = perimeter_tverrsnitt * lengde + 2 * tverrsnitt

print("Tverrsnittsareal =", tverrsnitt)
print("Volum =", volum)
print("Volum, avrundet =", round(float(N(volum)), 1), "cm^3")
print("Overflate =", overflate)
print("Overflate, avrundet =", round(float(N(overflate)), 1), "cm^2")

Tverrsnittsareal = 9*pi + 108
Volum = 324*pi + 3888
Volum, avrundet = 4905.9 cm^3
Overflate = 126*pi + 1512
Overflate, avrundet = 1907.8 cm^2

Tolkning

Overflaten av treklossen er omtrent 1908 kvadratcentimeter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne skattetrekk og nettolønn for begge alternativer når inntekten er 60 000 kroner.

Steg 1 — Frikortskatt

\[ 0{,}50(60\,000-55\,000)=2500 \]

Bare delen over 55 000 kroner skattlegges med 50 %.

Steg 2 — Frikort nettolønn

\[ 60\,000-2500=57\,500 \]

Nettolønn er inntekt minus skatt.

Steg 3 — Prosentkort

\[ 0{,}10\cdot 60\,000=6000 \]

Her trekkes 10 % av hele inntekten.

Steg 4 — Prosentkort nettolønn

\[ 60\,000-6000=54\,000 \]

Vi trekker skatten fra inntekten.

from sympy import symbols, Eq, solve

inntekt = 60000
skatt_frikort = max(0, 0.50 * (inntekt - 55000))
skatt_prosentkort = 0.10 * inntekt
netto_frikort = inntekt - skatt_frikort
netto_prosentkort = inntekt - skatt_prosentkort

print("Når inntekten er 60 000 kr:")
print("Skatt med frikort:", skatt_frikort)
print("Nettolønn med frikort:", netto_frikort)
print("Skatt med prosentkort:", skatt_prosentkort)
print("Nettolønn med prosentkort:", netto_prosentkort)
print()

x = symbols('x')
losning = solve(Eq(0.50*(x - 55000), 0.10*x), x)[0]
print("Lik skatt når inntekten er:", losning)

Når inntekten er 60 000 kr:
Skatt med frikort: 2500.0
Nettolønn med frikort: 57500.0
Skatt med prosentkort: 6000.0
Nettolønn med prosentkort: 54000.0

Lik skatt når inntekten er: 68750.0000000000

Tolkning

Ved 60 000 kroner i inntekt gir frikort størst nettolønn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise hvordan regnearket kan settes opp med formler. Inntektene legges i kolonne A.

Steg 1 — Legg inn inntekter i kolonne A

For eksempel kan A2, A3, A4 osv. inneholde mulige inntekter.

Steg 2 — Bruk HVIS-formel for frikort

Frikortet gir 0 skatt opp til 55 000 kr og 50 % skatt på resten.

Steg 3 — Trekk skatt fra inntekt

Nettolønn er alltid inntekt minus skattetrekk.

Tolkning

Formlene kan kopieres nedover i regnearket for å beregne alle radene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne inntekten der skattetrekket blir likt for frikort og prosentkort.

Steg 1 — Sett skattene like

\[ 0{,}50(x-55\,000)=0{,}10x \]

Dette gjelder når inntekten er over 55 000 kroner.

Steg 2 — Løs likningen

\[ 0{,}50x-27\,500=0{,}10x \]

Vi ganger ut parentesen.

Steg 3 — Finn \(x\)

\[ 0{,}40x=27\,500\Rightarrow x=68\,750 \]

Dette er inntekten som gir likt skattetrekk.

from sympy import symbols, Eq, solve

inntekt = 60000
skatt_frikort = max(0, 0.50 * (inntekt - 55000))
skatt_prosentkort = 0.10 * inntekt
netto_frikort = inntekt - skatt_frikort
netto_prosentkort = inntekt - skatt_prosentkort

print("Når inntekten er 60 000 kr:")
print("Skatt med frikort:", skatt_frikort)
print("Nettolønn med frikort:", netto_frikort)
print("Skatt med prosentkort:", skatt_prosentkort)
print("Nettolønn med prosentkort:", netto_prosentkort)
print()

x = symbols('x')
losning = solve(Eq(0.50*(x - 55000), 0.10*x), x)[0]
print("Lik skatt når inntekten er:", losning)

Når inntekten er 60 000 kr:
Skatt med frikort: 2500.0
Nettolønn med frikort: 57500.0
Skatt med prosentkort: 6000.0
Nettolønn med prosentkort: 54000.0

Lik skatt når inntekten er: 68750.0000000000

Tolkning

Per må tjene 68 750 kroner for at skattetrekket skal bli likt i de to alternativene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne at to trekanter er formlike ved å sammenlikne vinkler.

Steg 1 — Se på vinklene ved \(D\)

Siden \(BC\) er parallell med \(y\)-aksen og \(AD\) er vannrett, er vinklene ved \(D\) rette vinkler.

Steg 2 — Se på vinklene ved \(A\)

Trekantene ligger mellom de samme to linjene \(f\) og \(g\), så de har en lik spiss vinkel ved \(A\).

Steg 3 — Bruk vinkellikhet

To like vinkler er nok til å vise at trekantene er formlike.

Tolkning

Trekantene har samme form, men ulik størrelse.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at \(BD=0{,}5\). Først finner vi \(AC\) fra stigningstallet til \(f\).

Steg 1 — Bruk stigningstallet til \(f\)

\[ f(x)=2x-4 \]

Stigningstallet er 2, så når \(x\) øker med 1, øker \(f(x)\) med 2.

Steg 2 — Finn \(AC\)

\[ AC=2\cdot AD=2\cdot 1=2 \]

Punktet C ligger én enhet til høyre for A på grafen til \(f\).

Steg 3 — Bruk formlikhet

\[ \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AD}{BD} \]

Trekantene er formlike fra a).

Steg 4 — Sett inn og løs

\[ \dfrac{2}{1}=\dfrac{1}{BD}\Rightarrow BD=0{,}5 \]

Da er \(BD\) en halv enhet.

Tolkning

Den loddrette avstanden fra D ned til B er 0,5.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bestemme \(a\) og \(b\) i \(g(x)=ax+b\). Vi får \(b\) direkte fra \(g(0)=3{,}5\).

Steg 1 — Finn \(b\)

\[ g(0)=b=3{,}5 \]

Konstantleddet er verdien når \(x=0\).

Steg 2 — Bruk at \(A\) ligger på begge linjer

\[ g(x_A)=f(x_A) \]

I skjæringspunktet har funksjonene samme verdi.

Steg 3 — Bruk \(BD=0{,}5\)

\[ f(x_A)-g(x_A+1)=0{,}5 \]

D ligger vannrett fra A, og B ligger på \(g\) én x-enhet til høyre.

Steg 4 — Løs digitalt

\[ x_A=3,\quad a=-0{,}5 \]

Dette gir stigningstallet til \(g\).

from sympy import symbols, Eq, solve

x_A, a = symbols('x_A a')
b = 3.5
f = lambda x: 2*x - 4
g = lambda x: a*x + b

# A ligger på begge linjer:
likning_1 = Eq(g(x_A), f(x_A))

# AD = 1, og fra del b er BD = 0.5:
likning_2 = Eq(f(x_A) - g(x_A + 1), 0.5)

print("Likning 1:", likning_1)
print("Likning 2:", likning_2)
losning = solve((likning_1, likning_2), (x_A, a), dict=True)[0]
print("Løsning:", losning)
print("a =", losning[a])
print("b =", b)

Likning 1: Eq(3.5 + a*x_A, 2*x_A - 4)
Likning 2: Eq(2*x_A - a*(x_A + 1) - 7.5, 0.5)
Løsning: {a: -0.500000000000000, x_A: 3.00000000000000}
a = -0.500000000000000
b = 3.5

Tolkning

Funksjonen er \(g(x)=-0{,}5x+3{,}5\).