Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange små bokser som trengs når hver boks rommer \(\dfrac{2}{3}\) L.

Steg 1 — Del total mengde på mengde per boks

\[ 8:\dfrac{2}{3} \]

Antall bokser er total mengde delt på volum per boks.

Steg 2 — Regn med omvendt brøk

\[ 8\cdot\dfrac{3}{2}=12 \]

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken.

Steg 3 — Kontroller

\[ 12\cdot\dfrac{2}{3}=8 \]

Tolv bokser rommer akkurat 8 L.

Tolkning

Du trenger 12 bokser for å få plass til all malingen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive forholdet mellom avstand på kart og avstand i virkeligheten.

Steg 1 — Gjør om til samme enhet

\[ 1{,}5\text{ km}=150000\text{ cm} \]

Målestokk må sammenlikne samme enhet.

Steg 2 — Sett opp forholdet

\[ 5{,}0:150000 \]

Dette er kartavstand mot virkelig avstand.

Steg 3 — Forkort

\[ 1:30000 \]

Vi deler begge sider på 5,0.

Tolkning

Målestokken betyr at 1 cm på kartet svarer til 30 000 cm i virkeligheten.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke forholdet \(2:5\) til å finne antall basketballer og totalen.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[ 2\text{ deler}=6\text{ fotballer} \]

Da er én del lik 3 baller.

Steg 2 — Finn basketballene

\[ 5\cdot 3=15 \]

Basketballene utgjør 5 deler.

Steg 3 — Finn totalen

\[ 6+15=21 \]

Vi legger sammen fotballer og basketballer.

Tolkning

Det ligger 21 baller i kassen til sammen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre brøker om til prosent ved å gange med 100.

Steg 1 — Første brøk

\[ \dfrac{1}{5}=0{,}20=20\% \]

En femdel er 20 hundredeler.

Steg 2 — Andre brøk

\[ \dfrac{135}{250}=0{,}54=54\% \]

Vi kan enten dele eller utvide til hundredeler.

Steg 3 — Kontroller

\[ 54\% = \dfrac{54}{100}=\dfrac{135}{250} \]

Brøken stemmer etter forkorting/utviding.

Tolkning

Svarene er prosentandeler av en helhet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 20 % av den delen av klassen som er jenter.

Steg 1 — Skriv 20 % som brøk

\[ 20\%=\dfrac{1}{5} \]

Det gjør multiplikasjonen enkel.

Steg 2 — Finn andelen av hele klassen

\[ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{20} \]

Bare jentene kan bidra til håndballandelen.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ \dfrac{3}{20}=0{,}15=15\% \]

Andelen av hele klassen er 15 %.

Tolkning

15 % av alle elevene i klassen spiller håndball.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare sammenhengen mellom prisnivå og hvor mye én krone er verdt.

Steg 1 — Bruk definisjonen

\[ \text{kroneverdi}\sim\dfrac{1}{\text{konsumprisindeks}} \]

Når prisnivået øker, får vi mindre for én krone.

Steg 2 — Se på produktet

\[ \text{kroneverdi}\cdot\text{konsumprisindeks}=\text{konstant} \]

Produktet holder seg fast når størrelsene er omvendt proporsjonale.

Steg 3 — Forklar med ord

Dobles konsumprisindeksen, halveres kroneverdien.

Tolkning

Høyere konsumprisindeks betyr lavere kroneverdi.

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste påstanden med vekstfaktor.

Steg 1 — KPI øker med 20 %

\[ 1{,}20 \]

Konsumprisindeksen blir 1,20 ganger så stor.

Steg 2 — Kroneverdien får omvendt faktor

\[ \dfrac{1}{1{,}20}=0{,}8333\ldots \]

Kroneverdi og KPI er omvendt proporsjonale.

Steg 3 — Finn nedgangen

\[ 1-0{,}8333\ldots=0{,}1667\ldots\approx 16{,}7\% \]

Kroneverdien minker ikke med 20 %.

Tolkning

Påstanden er feil. Kroneverdien minker med omtrent 16,7 %.

Hva spør oppgaven om? Figuren danner en rettvinklet trekant. Vi skal finne den rette avstanden fra A til B.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[ AB^2=7{,}0^2+6{,}0^2 \]

AB er hypotenusen.

Steg 2 — Regn ut kvadratet

\[ AB^2=49+36=85 \]

Vi legger sammen kvadratene av katetene.

Steg 3 — Finn lengden

\[ AB=\sqrt{85}\approx 9{,}22 \]

Dette er større enn 9,0.

Tolkning

Avstanden fra A til B er lengre enn 9,0 m.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at prisen per kilogram er den samme i alle radene.

Steg 1 — Regn pris per kg

\[ \dfrac{350}{50}=7 \]

Første rad gir 7 kroner per kg.

Steg 2 — Kontroller flere rader

\[ \dfrac{700}{100}=7,\quad \dfrac{1750}{250}=7,\quad \dfrac{2800}{400}=7 \]

Alle radene har samme forhold mellom pris og mengde.

Steg 3 — Konkluder

Når forholdet \(\dfrac{\text{pris}}{\text{mengde}}\) er konstant, er størrelsene proporsjonale.

Tolkning

Prisen er 7 kroner per kg uansett mengde.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive prisen som en funksjon av mengden poteter.

Steg 1 — Bruk kiloprisen

\[ 7\text{ kr per kg} \]

Fra oppgave 7a fant vi prisen per kg.

Steg 2 — La \(x\) være mengde i kg

\[ P=7x \]

Prisen er kilopris ganger antall kg.

Steg 3 — Test formelen

\[ P(100)=7\cdot 100=700 \]

Dette stemmer med prislisten.

Tolkning

Formelen gir prisen i kroner når mengden er \(x\) kg.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet omkrets og samlet areal av tre deler.

Steg 1 — Finn trekantens høyde

\[ h=\sqrt{10^2-6^2}=8 \]

Den likebeinte trekanten deles i to rettvinklede trekanter.

Steg 2 — Finn omkretsen

\[ 10+10+12+12+\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot 6=44+18=62 \]

Ytre kant består av to trekantsider, to kvadratsider og halvsirkelbuen.

Steg 3 — Finn arealet

\[ \dfrac{12\cdot 8}{2}+12^2+\dfrac{\pi\cdot 6^2}{2}=48+144+54=246 \]

Vi legger sammen trekant, kvadrat og halvsirkel.

Tolkning

Figuren har omkrets omtrent 62 cm og areal omtrent 246 cm².

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(x=0\) inn i kostnadsfunksjonen.

Steg 1 — Sett inn \(x=0\)

\[ K(0)=0^2+b\cdot 0+20000 \]

Alle ledd med \(x\) blir 0.

Steg 2 — Regn ut

\[ K(0)=20000 \]

Dette er kostnaden når produksjonen er 0 enheter.

Steg 3 — Tolk

Bedriften har faste kostnader på 20 000 kroner.

Tolkning

Kostnadene er 20 000 kroner selv om bedriften ikke produserer varer.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker opplysningen \(K(50)=30000\) til å finne \(b\).

Steg 1 — Sett inn \(x=50\)

\[ 50^2+b\cdot 50+20000=30000 \]

Kostnaden er 30 000 kroner ved 50 enheter.

Steg 2 — Forenkle

\[ 2500+50b+20000=30000 \]

Vi regner ut \(50^2\).

Steg 3 — Løs likningen

\[ 50b=7500\quad\Rightarrow\quad b=150 \]

Vi trekker fra 22 500 og deler på 50.

Tolkning

Tallet \(b=150\) er den lineære delen av kostnadsmodellen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for akkurat rekkefølgen blå, rød, rød.

Steg 1 — Første nisse blå

\[ \dfrac{4}{8} \]

Det er 4 blå av 8 nisser.

Steg 2 — Deretter rød og rød

\[ \dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{3}{6} \]

Etter hvert trekk er det én nisse færre i esken.

Steg 3 — Multipliser

\[ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{7} \]

Vi ganger fordi alle tre hendelsene skal skje i bestemt rekkefølge.

Tolkning

Sannsynligheten for akkurat blå-rød-rød er \(\dfrac{1}{7}\).

Hva spør oppgaven om? Nå spiller rekkefølgen ingen rolle, bare at det blir én blå og to røde.

Steg 1 — Sannsynlighet for én bestemt rekkefølge

\[ P(BRR)=\dfrac{1}{7} \]

Dette fant vi i oppgave 10a.

Steg 2 — Tell mulige plasseringer

\[ 3 \]

Den blå nissen kan stå på plass 1, 2 eller 3.

Steg 3 — Multipliser

\[ 3\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{7} \]

De tre rekkefølgene har samme sannsynlighet.

Tolkning

Sannsynligheten for én blå og to røde er \(\dfrac{3}{7}\).

Hva spør oppgaven om? Det er enklest å bruke komplementet: ingen blå betyr tre røde.

Steg 1 — Finn sannsynlighet for ingen blå

\[ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{14} \]

Ingen blå betyr at alle tre er røde.

Steg 2 — Bruk komplement

\[ 1-\dfrac{1}{14}=\dfrac{13}{14} \]

Minst én blå er motsatt av ingen blå.

Steg 3 — Kontroller

Sannsynligheten bør være stor, fordi halvparten av nissene er blå.

Tolkning

Sannsynligheten for minst én blå nisse er \(\dfrac{13}{14}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage prisfunksjon for engangsbegre.

Steg 1 — Finn pris per beger

\[ 35\text{ kroner} \]

Hvert beger koster like mye.

Steg 2 — Lag funksjonen

\[ f(x)=35x \]

Totalprisen er pris per beger ganger antall beger.

Steg 3 — Test

\[ f(2)=70 \]

To begre koster 70 kroner.

Tolkning

Funksjonen gir totalpris i kroner for \(x\) begre slush.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage prisfunksjon for koppordningen.

Steg 1 — Første slush koster 90 kroner

\[ 90 \]

Dette er kjøp av kopp med første fylling.

Steg 2 — De neste koster 15 kroner

\[ 15(x-1) \]

Når du har \(x\) slush totalt, er det \(x-1\) påfyll.

Steg 3 — Forenkle

\[ g(x)=90+15(x-1)=15x+75 \]

Dette gjelder for \(x\ge 1\).

Tolkning

Koppfunksjonen har høy startpris, men lav pris per ekstra slush.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne grafene til \(f(x)=35x\) og \(g(x)=15x+75\).

Steg 1 — Sett funksjonene like

\[ 35x=15x+75 \]

Skjæringspunktet viser samme pris.

Steg 2 — Løs

\[ 20x=75\quad\Rightarrow\quad x=3{,}75 \]

Etter dette er koppgrafen lavest.

Steg 3 — Bruk hele slush

\[ x=4 \]

Du kan ikke kjøpe 3,75 slush i denne sammenhengen.

Tolkning

Det lønner seg å kjøpe koppen fra og med 4 slush.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen til modellen på intervallet fra 0 til 180 minutter.

Steg 1 — Skriv inn funksjonen

\[ T(x)=0{,}0001x^3-0{,}03x^2+2{,}4x+25 \]

Funksjonen legges inn i graftegneren.

Steg 2 — Bruk riktig intervall

\[ 0\le x\le 180 \]

Tellingen varer fra kl. 06.00 til kl. 09.00.

Steg 3 — Les grafens form

Grafen stiger først, når en topp, faller og stiger litt mot slutten.

from sympy import symbols, diff, solve, N

x = symbols('x')
T = 0.0001*x**3 - 0.03*x**2 + 2.4*x + 25
T_derivert = diff(T, x)
kritiske_punkt = solve(T_derivert, x)
likning_70 = solve(T - 70, x)

print("Funksjon T(x):", T)
print("Derivert T'(x):", T_derivert)
print("Kritiske punkt i intervallet:")
for punkt in kritiske_punkt:
    if 0 <= float(punkt) <= 180:
        print("x =", round(float(punkt), 2), "T(x) =", round(float(T.subs(x, punkt)), 2))
print("Løsninger av T(x) = 70:")
for punkt in likning_70:
    numerisk = complex(N(punkt))
    if abs(numerisk.imag) < 1e-9:
        print(round(numerisk.real, 2))

Funksjon T(x): 0.0001*x**3 - 0.03*x**2 + 2.4*x + 25
Derivert T'(x): 0.0003*x**2 - 0.06*x + 2.4
Kritiske punkt i intervallet:
x = 55.28 T(x) = 82.89
x = 144.72 T(x) = 47.11
Løsninger av T(x) = 70:
27.1
91.57
181.33

Tolkning

Grafen viser antall biler per minutt gjennom morgenrushet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimumspunktet til \(T\) i intervallet.

Steg 1 — Finn toppunkt digitalt

\[ x\approx 55{,}28 \]

Graftegner/CAS gir toppunktet.

Steg 2 — Finn funksjonsverdien

\[ T(55{,}28)\approx 82{,}89 \]

Dette er antall biler per minutt.

Steg 3 — Gjør om til klokkeslett

\[ 06{:}00+55\text{ min}\approx 06{:}55 \]

\(x\) er minutter etter kl. 06.00.

from sympy import symbols, diff, solve, N

x = symbols('x')
T = 0.0001*x**3 - 0.03*x**2 + 2.4*x + 25
T_derivert = diff(T, x)
kritiske_punkt = solve(T_derivert, x)
likning_70 = solve(T - 70, x)

print("Funksjon T(x):", T)
print("Derivert T'(x):", T_derivert)
print("Kritiske punkt i intervallet:")
for punkt in kritiske_punkt:
    if 0 <= float(punkt) <= 180:
        print("x =", round(float(punkt), 2), "T(x) =", round(float(T.subs(x, punkt)), 2))
print("Løsninger av T(x) = 70:")
for punkt in likning_70:
    numerisk = complex(N(punkt))
    if abs(numerisk.imag) < 1e-9:
        print(round(numerisk.real, 2))

Funksjon T(x): 0.0001*x**3 - 0.03*x**2 + 2.4*x + 25
Derivert T'(x): 0.0003*x**2 - 0.06*x + 2.4
Kritiske punkt i intervallet:
x = 55.28 T(x) = 82.89
x = 144.72 T(x) = 47.11
Løsninger av T(x) = 70:
27.1
91.57
181.33

Tolkning

Flest biler passerer omtrent kl. 06.55, med omtrent 83 biler per minutt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når grafen ligger over linjen \(T(x)=70\).

Steg 1 — Løs likningen

\[ T(x)=70 \]

Skjæringspunktene med 70-linjen avgrenser tidsrommet.

Steg 2 — Finn løsningene i intervallet

\[ x\approx 27{,}10\quad\text{og}\quad x\approx 91{,}57 \]

Den tredje løsningen ligger utenfor intervallet.

Steg 3 — Tolk som klokkeslett

\[ 06{:}27\text{ til }07{:}32 \]

Vi legger minuttene til kl. 06.00.

from sympy import symbols, diff, solve, N

x = symbols('x')
T = 0.0001*x**3 - 0.03*x**2 + 2.4*x + 25
T_derivert = diff(T, x)
kritiske_punkt = solve(T_derivert, x)
likning_70 = solve(T - 70, x)

print("Funksjon T(x):", T)
print("Derivert T'(x):", T_derivert)
print("Kritiske punkt i intervallet:")
for punkt in kritiske_punkt:
    if 0 <= float(punkt) <= 180:
        print("x =", round(float(punkt), 2), "T(x) =", round(float(T.subs(x, punkt)), 2))
print("Løsninger av T(x) = 70:")
for punkt in likning_70:
    numerisk = complex(N(punkt))
    if abs(numerisk.imag) < 1e-9:
        print(round(numerisk.real, 2))

Funksjon T(x): 0.0001*x**3 - 0.03*x**2 + 2.4*x + 25
Derivert T'(x): 0.0003*x**2 - 0.06*x + 2.4
Kritiske punkt i intervallet:
x = 55.28 T(x) = 82.89
x = 144.72 T(x) = 47.11
Løsninger av T(x) = 70:
27.1
91.57
181.33

Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne at trekantene har samme form.

Steg 1 — Se på rette vinkler

\[ \angle ABC=\angle DEC=90^\circ \]

Begge trekantene er rettvinklede.

Steg 2 — Se på vinkelen ved \(C\)

Vinklene ved \(C\) er toppvinkler og derfor like store.

Steg 3 — Bruk vinkel-vinkel

To like vinkler er nok til å vise formlikhet.

Tolkning

Trekantene er formlike fordi de har to og to like vinkler.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formlikhet og Pytagoras.

Steg 1 — Finn \(DE\)

\[ DE=\sqrt{53^2-28^2}=45 \]

I den lille trekanten er \(CD\) hypotenusen.

Steg 2 — Finn skalafaktoren

\[ \dfrac{AC}{CD}=\dfrac{74{,}2}{53}=1{,}4 \]

Hypotenusene svarer til hverandre.

Steg 3 — Finn lengdene

\[ BC=1{,}4\cdot 28=39{,}2,\quad AB=1{,}4\cdot 45=63 \]

Tilsvarende sider har samme forhold.

from sympy import sqrt, Rational, simplify

AC = Rational(742, 10)
CD = Rational(53, 1)
CE = Rational(28, 1)
DE = sqrt(CD**2 - CE**2)
skalafaktor = AC / CD
BC = skalafaktor * CE
AB = skalafaktor * DE
arealforhold = simplify(skalafaktor**2)

print("DE =", DE)
print("Skalafaktor AC/CD =", float(skalafaktor))
print("BC =", float(BC))
print("AB =", float(AB))
print("Arealforhold stor : liten =", float(arealforhold), ": 1")

DE = 45
Skalafaktor AC/CD = 1.4
BC = 39.2
AB = 63.0
Arealforhold stor : liten = 1.96 : 1

Tolkning

Lengdene i den store trekanten er 1,4 ganger tilsvarende lengder i den lille trekanten.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sammenhengen mellom lengdeforhold og arealforhold.

Steg 1 — Bruk skalafaktoren

\[ k=1{,}4 \]

Dette fant vi fra hypotenusene.

Steg 2 — Kvadrer skalafaktoren

\[ k^2=1{,}4^2=1{,}96 \]

Arealforholdet er kvadratet av lengdeforholdet.

Steg 3 — Skriv forholdet

\[ 1{,}96:1 \]

Den store trekanten har 1,96 ganger så stort areal.

from sympy import sqrt, Rational, simplify

AC = Rational(742, 10)
CD = Rational(53, 1)
CE = Rational(28, 1)
DE = sqrt(CD**2 - CE**2)
skalafaktor = AC / CD
BC = skalafaktor * CE
AB = skalafaktor * DE
arealforhold = simplify(skalafaktor**2)

print("DE =", DE)
print("Skalafaktor AC/CD =", float(skalafaktor))
print("BC =", float(BC))
print("AB =", float(AB))
print("Arealforhold stor : liten =", float(arealforhold), ": 1")

DE = 45
Skalafaktor AC/CD = 1.4
BC = 39.2
AB = 63.0
Arealforhold stor : liten = 1.96 : 1

Tolkning

Arealet av \(\triangle ABC\) er 1,96 ganger arealet av \(\triangle CDE\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne reallønnen som svarer til samme kjøpekraft.

Steg 1 — Bruk formelen for reallønn

\[ \text{reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}}{\text{KPI}}\cdot 100 \]

Reallønn justerer for prisnivå.

Steg 2 — Sett inn tall

\[ \dfrac{520800}{139{,}8}\cdot 100 \]

Vi bruker KPI for 2015.

Steg 3 — Regn ut

\[ \approx 372532 \]

Rundet til nærmeste krone.

from sympy import Rational

nominell_lonn = 520800
kpi_2015 = Rational(1398, 10)
reallonn = nominell_lonn * 100 / kpi_2015

print("Nominell lønn i 2015:", nominell_lonn)
print("Konsumprisindeks 2015:", float(kpi_2015))
print("Reallønn målt i basisår-kroner:", round(float(reallonn), 2))
print("Avrundet reallønn:", round(float(reallonn)))

Nominell lønn i 2015: 520800
Konsumprisindeks 2015: 139.8
Reallønn målt i basisår-kroner: 372532.19
Avrundet reallønn: 372532

Tolkning

For å ha samme kjøpekraft må reallønnen være omtrent 372 500 kroner målt i basisår-kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke vekstfaktorer for verdifall.

Steg 1 — Første år

\[ 850000\cdot 0{,}80 \]

Ned 20 % gir vekstfaktor 0,80.

Steg 2 — De neste fem årene

\[ 0{,}965^5 \]

Ned 3,5 % per år gir vekstfaktor 0,965 hvert år.

Steg 3 — Regn samlet

\[ 850000\cdot 0{,}80\cdot 0{,}965^5\approx 569044 \]

Vi bruker fem nye år etter det første året.

startverdi = 850000
verdi_etter_forste_ar = startverdi * 0.80
verdi_etter_seks_ar = verdi_etter_forste_ar * 0.965**5

print("Startverdi:", startverdi)
print("Etter første år:", round(verdi_etter_forste_ar, 2))
print("Etter seks år:", round(verdi_etter_seks_ar, 2))
print("Avrundet til nærmeste hele krone:", round(verdi_etter_seks_ar))

Startverdi: 850000
Etter første år: 680000.0
Etter seks år: 569043.52
Avrundet til nærmeste hele krone: 569044

Tolkning

Båten vil være verdt omtrent 569 000 kroner etter 6 år ifølge modellen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne utvendig overflate og gjøre den om til liter maling.

Steg 1 — Del overflaten i deler

\[ 2\cdot 95\cdot 62+95\cdot 41+\pi\cdot 20{,}5\cdot 95+\pi\cdot 20{,}5^2 \]

Vi tar med to langsider, bunn, buet halv sylinder og to halvsirkelender.

Steg 2 — Regn ut overflaten

\[ \approx 23113{,}5\text{ cm}^2=2{,}311\text{ m}^2 \]

Vi deler på 10 000 for å gjøre om til m².

Steg 3 — Finn liter maling

\[ \dfrac{2{,}311}{10}\approx 0{,}231 \]

1 L dekker 10 m².

from math import pi

lengde = 95
bredde = 41
hoyde = 62
radius = bredde / 2

overflate_cm2 = 2*lengde*hoyde + lengde*bredde + pi*radius*lengde + pi*radius**2
overflate_m2 = overflate_cm2 / 10000
liter_maling = overflate_m2 / 10

indre_lengde = lengde - 3
indre_bredde = bredde - 3
indre_radius = radius - 1.5
indre_rektangelhoyde = hoyde - 1.5
indre_volum_cm3 = indre_lengde * (indre_bredde*indre_rektangelhoyde + 0.5*pi*indre_radius**2)
indre_volum_liter = indre_volum_cm3 / 1000

print("Utvendig overflate i cm^2:", round(overflate_cm2, 2))
print("Utvendig overflate i m^2:", round(overflate_m2, 3))
print("Maling i liter:", round(liter_maling, 3))
print("Innvendig volum i cm^3:", round(indre_volum_cm3, 2))
print("Innvendig volum i liter:", round(indre_volum_liter, 1))

Utvendig overflate i cm^2: 23113.51
Utvendig overflate i m^2: 2.311
Maling i liter: 0.231
Innvendig volum i cm^3: 263677.29
Innvendig volum i liter: 263.7

Tolkning

Han trenger omtrent 0,23 L maling, men i praksis må han kjøpe en passende større mengde.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne innvendige mål og beregne volumet av prisme og halv sylinder.

Steg 1 — Finn innvendige mål

\[ l=92,\quad b=38,\quad r=19,\quad h=60{,}5 \]

Tykkelsen 1,5 cm trekkes fra på relevante sider.

Steg 2 — Sett opp volumet

\[ V=92(38\cdot 60{,}5+\dfrac{1}{2}\pi\cdot 19^2) \]

Tverrsnittet består av et rektangel og en halvsirkel.

Steg 3 — Regn om til liter

\[ V\approx 263677\text{ cm}^3\approx 263{,}7\text{ L} \]

\(1000\text{ cm}^3=1\text{ L}\).

from math import pi

lengde = 95
bredde = 41
hoyde = 62
radius = bredde / 2

overflate_cm2 = 2*lengde*hoyde + lengde*bredde + pi*radius*lengde + pi*radius**2
overflate_m2 = overflate_cm2 / 10000
liter_maling = overflate_m2 / 10

indre_lengde = lengde - 3
indre_bredde = bredde - 3
indre_radius = radius - 1.5
indre_rektangelhoyde = hoyde - 1.5
indre_volum_cm3 = indre_lengde * (indre_bredde*indre_rektangelhoyde + 0.5*pi*indre_radius**2)
indre_volum_liter = indre_volum_cm3 / 1000

print("Utvendig overflate i cm^2:", round(overflate_cm2, 2))
print("Utvendig overflate i m^2:", round(overflate_m2, 3))
print("Maling i liter:", round(liter_maling, 3))
print("Innvendig volum i cm^3:", round(indre_volum_cm3, 2))
print("Innvendig volum i liter:", round(indre_volum_liter, 1))

Utvendig overflate i cm^2: 23113.51
Utvendig overflate i m^2: 2.311
Maling i liter: 0.231
Innvendig volum i cm^3: 263677.29
Innvendig volum i liter: 263.7

Tolkning

Det innvendige volumet er omtrent 264 L.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp budsjettposter og beregne bensinutgiften.

Steg 1 — Regn bensinmengden

\[ 15000\text{ km}=1500\text{ mil},\quad 1500\cdot 0{,}6=900\text{ L} \]

Bilen bruker 0,6 L per mil.

Steg 2 — Finn bensinkostnaden

\[ 900\cdot 13{,}50=12150 \]

Dette er budsjett for bensin.

Steg 3 — Summer budsjettet

\[ 3135+5250+10000+1000+3000+12150=34535 \]

Alle postene legges sammen.

Regnearkformel for bensin kan skrives som =15000/10*0,6*13,50.

budsjett = {
    "Årsavgift": 3135,
    "Forsikring": 5250,
    "Vedlikehold og service": 10000,
    "Parkering": 1000,
    "Bompenger": 3000,
    "Bensin": 15000/10 * 0.6 * 13.50,
}
virkelig = {
    "Årsavgift": 3135,
    "Forsikring": 5510,
    "Vedlikehold og service": 10000 + 3450,
    "Parkering": 1000,
    "Bompenger": 3000,
    "Bensin": 14500/10 * 0.6 * 13.80,
}

print("Post | Budsjett | Virkelig | Avvik kr | Avvik prosent")
for post in budsjett:
    avvik = virkelig[post] - budsjett[post]
    prosent = avvik / budsjett[post] * 100
    print(post, round(budsjett[post], 2), round(virkelig[post], 2), round(avvik, 2), round(prosent, 1))

sum_budsjett = sum(budsjett.values())
sum_virkelig = sum(virkelig.values())
sum_avvik = sum_virkelig - sum_budsjett
print("Sum budsjett:", round(sum_budsjett, 2))
print("Sum virkelig:", round(sum_virkelig, 2))
print("Sum avvik:", round(sum_avvik, 2))
print("Sum avvik prosent:", round(sum_avvik/sum_budsjett*100, 1))

Post | Budsjett | Virkelig | Avvik kr | Avvik prosent
Årsavgift 3135 3135 0 0.0
Forsikring 5250 5510 260 5.0
Vedlikehold og service 10000 13450 3450 34.5
Parkering 1000 1000 0 0.0
Bompenger 3000 3000 0 0.0
Bensin 12150.0 12006.0 -144.0 -1.2
Sum budsjett: 34535.0
Sum virkelig: 38101.0
Sum avvik: 3566.0
Sum avvik prosent: 10.3

Tolkning

Budsjetterte bilutgifter er 34 535 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal legge inn virkelige tall ved siden av budsjettet.

Steg 1 — Regn virkelig bensin

\[ 14500\text{ km}=1450\text{ mil},\quad 1450\cdot 0{,}6\cdot 13{,}80=12006 \]

Vi bruker faktisk kjørelengde og faktisk bensinpris.

Steg 2 — Oppdater endrede poster

\[ 5510\text{ og }10000+3450=13450 \]

Forsikring og vedlikehold endret seg.

Steg 3 — Summer virkelig

\[ 38101 \]

Dette er summen av de virkelige utgiftene.

Regnearkformel for faktisk bensin kan skrives som =14500/10*0,6*13,80.

budsjett = {
    "Årsavgift": 3135,
    "Forsikring": 5250,
    "Vedlikehold og service": 10000,
    "Parkering": 1000,
    "Bompenger": 3000,
    "Bensin": 15000/10 * 0.6 * 13.50,
}
virkelig = {
    "Årsavgift": 3135,
    "Forsikring": 5510,
    "Vedlikehold og service": 10000 + 3450,
    "Parkering": 1000,
    "Bompenger": 3000,
    "Bensin": 14500/10 * 0.6 * 13.80,
}

print("Post | Budsjett | Virkelig | Avvik kr | Avvik prosent")
for post in budsjett:
    avvik = virkelig[post] - budsjett[post]
    prosent = avvik / budsjett[post] * 100
    print(post, round(budsjett[post], 2), round(virkelig[post], 2), round(avvik, 2), round(prosent, 1))

sum_budsjett = sum(budsjett.values())
sum_virkelig = sum(virkelig.values())
sum_avvik = sum_virkelig - sum_budsjett
print("Sum budsjett:", round(sum_budsjett, 2))
print("Sum virkelig:", round(sum_virkelig, 2))
print("Sum avvik:", round(sum_avvik, 2))
print("Sum avvik prosent:", round(sum_avvik/sum_budsjett*100, 1))

Post | Budsjett | Virkelig | Avvik kr | Avvik prosent
Årsavgift 3135 3135 0 0.0
Forsikring 5250 5510 260 5.0
Vedlikehold og service 10000 13450 3450 34.5
Parkering 1000 1000 0 0.0
Bompenger 3000 3000 0 0.0
Bensin 12150.0 12006.0 -144.0 -1.2
Sum budsjett: 34535.0
Sum virkelig: 38101.0
Sum avvik: 3566.0
Sum avvik prosent: 10.3

Tolkning

De virkelige utgiftene ble 38 101 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne virkelig utgift med budsjett for hver post.

Steg 1 — Avvik i kroner

\[ \text{avvik}=\text{virkelig}-\text{budsjett} \]

Positivt avvik betyr dyrere enn planlagt.

Steg 2 — Avvik i prosent

\[ \dfrac{\text{avvik}}{\text{budsjett}}\cdot 100\% \]

Dette viser avviket relativt til budsjettet.

Steg 3 — Totalavvik

\[ 38101-34535=3566,\quad \dfrac{3566}{34535}\cdot 100\%\approx 10{,}3\% \]

Totalt ble bilholdet dyrere enn planlagt.

Regnearkformler kan være =C2-B2 for avvik i kroner og =D2/B2 for avvik i prosent.

budsjett = {
    "Årsavgift": 3135,
    "Forsikring": 5250,
    "Vedlikehold og service": 10000,
    "Parkering": 1000,
    "Bompenger": 3000,
    "Bensin": 15000/10 * 0.6 * 13.50,
}
virkelig = {
    "Årsavgift": 3135,
    "Forsikring": 5510,
    "Vedlikehold og service": 10000 + 3450,
    "Parkering": 1000,
    "Bompenger": 3000,
    "Bensin": 14500/10 * 0.6 * 13.80,
}

print("Post | Budsjett | Virkelig | Avvik kr | Avvik prosent")
for post in budsjett:
    avvik = virkelig[post] - budsjett[post]
    prosent = avvik / budsjett[post] * 100
    print(post, round(budsjett[post], 2), round(virkelig[post], 2), round(avvik, 2), round(prosent, 1))

sum_budsjett = sum(budsjett.values())
sum_virkelig = sum(virkelig.values())
sum_avvik = sum_virkelig - sum_budsjett
print("Sum budsjett:", round(sum_budsjett, 2))
print("Sum virkelig:", round(sum_virkelig, 2))
print("Sum avvik:", round(sum_avvik, 2))
print("Sum avvik prosent:", round(sum_avvik/sum_budsjett*100, 1))

Post | Budsjett | Virkelig | Avvik kr | Avvik prosent
Årsavgift 3135 3135 0 0.0
Forsikring 5250 5510 260 5.0
Vedlikehold og service 10000 13450 3450 34.5
Parkering 1000 1000 0 0.0
Bompenger 3000 3000 0 0.0
Bensin 12150.0 12006.0 -144.0 -1.2
Sum budsjett: 34535.0
Sum virkelig: 38101.0
Sum avvik: 3566.0
Sum avvik prosent: 10.3

Tolkning

Vilde brukte 3566 kroner mer enn budsjettert, som er omtrent 10,3 % over budsjettet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese omtrentlige verdier fra diagrammet og regne prosentvis økning.

Steg 1 — Les av diagrammet

\[ 1970: ca. 38\text{ kg},\quad 2000: ca. 58\text{ kg} \]

Avlesning fra diagram gir omtrentlige tall.

Steg 2 — Finn økningen

\[ 58-38=20 \]

Personen spiste omtrent 20 kg mer.

Steg 3 — Regn prosent

\[ \dfrac{20}{38}\cdot 100\%\approx 52{,}6\% \]

Vi sammenlikner med verdien i 1970.

gronnsaker_1970 = 38
frukt_1954 = 40
frukt_1974 = 70

gronnsaker_2000 = 58
prosent_mer = (gronnsaker_2000 - gronnsaker_1970) / gronnsaker_1970 * 100

a = (frukt_1974 - frukt_1954) / (1974 - 1954)
b = frukt_1954

print("Grønnsaker 1970, omtrent:", gronnsaker_1970)
print("Grønnsaker 2000, omtrent:", gronnsaker_2000)
print("Prosent mer:", round(prosent_mer, 1))
print("a:", a)
print("b:", b)
print("Modell: f(x) =", a, "* x +", b)

Grønnsaker 1970, omtrent: 38
Grønnsaker 2000, omtrent: 58
Prosent mer: 52.6
a: 1.5
b: 40
Modell: f(x) = 1.5 * x + 40

Tolkning

En person spiste omtrent 50–55 % mer grønnsaker i 2000 enn i 1970.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare lineær vekst ut fra grafen.

Steg 1 — Se på grafens form

Fruktkurven er omtrent en rett linje fra 1954 til 1974.

Steg 2 — Se på like store økninger

På like lange tidsintervaller øker antall kg med omtrent like mye.

Steg 3 — Konkluder

Rett linje og konstant økning per år betyr lineær utvikling.

Tolkning

Fra 1954 til 1974 kan fruktforbruket beskrives omtrent med en lineær modell.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstall og konstantledd fra diagrammet.

Steg 1 — Les to punkter

\[ (0,40)\quad\text{og}\quad (20,70) \]

\(x=0\) er 1954, og \(x=20\) er 1974.

Steg 2 — Finn stigningstallet

\[ a=\dfrac{70-40}{20-0}=1{,}5 \]

Forbruket økte omtrent 1,5 kg per år.

Steg 3 — Finn konstantleddet

\[ b=40 \]

Når \(x=0\), er forbruket omtrent 40 kg.

gronnsaker_1970 = 38
frukt_1954 = 40
frukt_1974 = 70

gronnsaker_2000 = 58
prosent_mer = (gronnsaker_2000 - gronnsaker_1970) / gronnsaker_1970 * 100

a = (frukt_1974 - frukt_1954) / (1974 - 1954)
b = frukt_1954

print("Grønnsaker 1970, omtrent:", gronnsaker_1970)
print("Grønnsaker 2000, omtrent:", gronnsaker_2000)
print("Prosent mer:", round(prosent_mer, 1))
print("a:", a)
print("b:", b)
print("Modell: f(x) =", a, "* x +", b)

Grønnsaker 1970, omtrent: 38
Grønnsaker 2000, omtrent: 58
Prosent mer: 52.6
a: 1.5
b: 40
Modell: f(x) = 1.5 * x + 40

Tolkning

En rimelig modell er \(f(x)=1{,}5x+40\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal fylle ut alle feltene i venndiagrammet.

Steg 1 — Håndball-basketball bare

\[ 90-30-35-10=15 \]

Vi bruker totalsummen for håndball.

Steg 2 — Basketball bare og fotball-basketball bare

\[ 40-15-10-10=5 \]

Basketball totalt er 40. Feltet fotball-basketball bare blir 10 når totalen skal stemme.

Steg 3 — Fotball bare

\[ 200-35-10-10=145 \]

Vi trekker fra alle fotballmedlemmer som også er i andre felt.

totalt = 250
fotball = 200
handball = 90
basketball = 40
FH_bare = 35
H_bare = 30
alle_tre = 10
HB_bare = handball - H_bare - FH_bare - alle_tre
FB_bare = 10
B_bare = basketball - HB_bare - FB_bare - alle_tre
F_bare = fotball - FH_bare - FB_bare - alle_tre
p_alle = alle_tre / totalt
p_f_gitt_h = (FH_bare + alle_tre) / handball

print("Bare fotball:", F_bare)
print("Bare håndball:", H_bare)
print("Bare basketball:", B_bare)
print("Bare fotball og håndball:", FH_bare)
print("Bare håndball og basketball:", HB_bare)
print("Bare fotball og basketball:", FB_bare)
print("Alle tre:", alle_tre)
print("Sannsynlighet alle tre:", p_alle)
print("Sannsynlighet fotball gitt håndball:", p_f_gitt_h)

Bare fotball: 145
Bare håndball: 30
Bare basketball: 5
Bare fotball og håndball: 35
Bare håndball og basketball: 15
Bare fotball og basketball: 10
Alle tre: 10
Sannsynlighet alle tre: 0.04
Sannsynlighet fotball gitt håndball: 0.5

Tolkning

Tallene summerer til 250 medlemmer og stemmer med aktivitetssummene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen av 250 medlemmer som deltar i alle tre aktiviteter.

Steg 1 — Les av antall i alle tre

\[ 10 \]

Venndiagrammet viser 10 i fellesfeltet.

Steg 2 — Del på totalen

\[ \dfrac{10}{250}=0{,}04 \]

Alle 250 medlemmer kan velges.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ 0{,}04=4\% \]

Dette er sannsynligheten i prosent.

totalt = 250
fotball = 200
handball = 90
basketball = 40
FH_bare = 35
H_bare = 30
alle_tre = 10
HB_bare = handball - H_bare - FH_bare - alle_tre
FB_bare = 10
B_bare = basketball - HB_bare - FB_bare - alle_tre
F_bare = fotball - FH_bare - FB_bare - alle_tre
p_alle = alle_tre / totalt
p_f_gitt_h = (FH_bare + alle_tre) / handball

print("Bare fotball:", F_bare)
print("Bare håndball:", H_bare)
print("Bare basketball:", B_bare)
print("Bare fotball og håndball:", FH_bare)
print("Bare håndball og basketball:", HB_bare)
print("Bare fotball og basketball:", FB_bare)
print("Alle tre:", alle_tre)
print("Sannsynlighet alle tre:", p_alle)
print("Sannsynlighet fotball gitt håndball:", p_f_gitt_h)

Bare fotball: 145
Bare håndball: 30
Bare basketball: 5
Bare fotball og håndball: 35
Bare håndball og basketball: 15
Bare fotball og basketball: 10
Alle tre: 10
Sannsynlighet alle tre: 0.04
Sannsynlighet fotball gitt håndball: 0.5

Tolkning

Sannsynligheten er 4 %.

Hva spør oppgaven om? Vi vet at medlemmet spiller håndball. Derfor skal vi bare se blant de 90 håndballspillerne.

Steg 1 — Finn håndballspillere som også spiller fotball

\[ 35+10=45 \]

Det gjelder både bare fotball-håndball og alle tre.

Steg 2 — Del på antall håndballspillere

\[ \dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2} \]

Utvalget er begrenset til håndballspillerne.

Steg 3 — Skriv som prosent

\[ \dfrac{1}{2}=50\% \]

Halvparten av håndballspillerne spiller også fotball.

totalt = 250
fotball = 200
handball = 90
basketball = 40
FH_bare = 35
H_bare = 30
alle_tre = 10
HB_bare = handball - H_bare - FH_bare - alle_tre
FB_bare = 10
B_bare = basketball - HB_bare - FB_bare - alle_tre
F_bare = fotball - FH_bare - FB_bare - alle_tre
p_alle = alle_tre / totalt
p_f_gitt_h = (FH_bare + alle_tre) / handball

print("Bare fotball:", F_bare)
print("Bare håndball:", H_bare)
print("Bare basketball:", B_bare)
print("Bare fotball og håndball:", FH_bare)
print("Bare håndball og basketball:", HB_bare)
print("Bare fotball og basketball:", FB_bare)
print("Alle tre:", alle_tre)
print("Sannsynlighet alle tre:", p_alle)
print("Sannsynlighet fotball gitt håndball:", p_f_gitt_h)

Bare fotball: 145
Bare håndball: 30
Bare basketball: 5
Bare fotball og håndball: 35
Bare håndball og basketball: 15
Bare fotball og basketball: 10
Alle tre: 10
Sannsynlighet alle tre: 0.04
Sannsynlighet fotball gitt håndball: 0.5

Tolkning

Når vi vet at medlemmet spiller håndball, er sannsynligheten 50 % for at medlemmet også spiller fotball.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese/bruke grafen for en omvendt proporsjonal sammenheng.

Steg 1 — Finn totalprisen fra grafen

\[ 10\cdot 1200=12000 \]

Grafen viser for eksempel omtrent 1200 kroner når 10 personer betaler.

Steg 2 — Del totalprisen på 25

\[ \dfrac{12000}{25}=480 \]

Alle betaler like mye.

Steg 3 — Kontroller mot grafen

Ved flere innbyggere skal beløpet per innbygger bli lavere, og 480 kroner er rimelig.

totalpris = 12000
antall = 25
belop_per_person = totalpris / antall

print("Totalpris for trampolinen:", totalpris)
print("Antall innbyggere:", antall)
print("Beløp per innbygger:", belop_per_person)

Totalpris for trampolinen: 12000
Antall innbyggere: 25
Beløp per innbygger: 480.0

Tolkning

Hvis 25 innbyggere går sammen, må hver betale omtrent 480 kroner.