Hva spør oppgaven om? Vi skal regne om fra natrium til salt når forholdet mellom dem er kjent.

Steg 1 — Skriv forholdet

\[1{,}0\text{ g salt} \rightarrow 0{,}4\text{ g natrium}\]

Dette betyr at natrium utgjør \(0{,}4\) g for hvert gram salt.

Steg 2 — Del anbefalt natrium på natrium per gram salt

\[\dfrac{2{,}4}{0{,}4}=6\]

Vi finner hvor mange gram salt som gir \(2{,}4\) g natrium.

Tolkning

Du kan maksimalt spise 6 g salt hvis du skal holde deg til anbefalingen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere saltmengden fra 100 g pizza til 300 g pizza.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[\dfrac{300}{100}=3\]

En porsjon er tre ganger så stor som 100 g.

Steg 2 — Multipliser saltmengden

\[0{,}8\cdot 3=2{,}4\]

Saltmengden blir også tre ganger så stor.

Tolkning

En porsjon pizza inneholder 2,4 g salt.

Hva spør oppgaven om? Saltmengden fra pizzaen må først gjøres om til natrium, og deretter sammenliknes med anbefalingen.

Steg 1 — Finn natrium i \(2{,}4\) g salt

\[2{,}4\cdot 0{,}4=0{,}96\]

Hvert gram salt inneholder \(0{,}4\) g natrium.

Steg 2 — Finn prosent av anbefalt mengde

\[\dfrac{0{,}96}{2{,}4}\cdot 100\,\%=40\,\%\]

Vi deler faktisk natriummengde på anbefalt maksimal mengde.

Tolkning

Én porsjon pizza gir 40 % av anbefalt daglig maksimum for natrium.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne to rette linjer og lese av punktet der linjene krysser hverandre.

Steg 1 — Bruk to punkter på hver linje

\[f(0)=0,\quad f(2)=1\]

Dette gir punktene \((0,0)\) og \((2,1)\) for \(f\).

Steg 2 — Bruk to punkter på \(g\)

\[g(0)=3,\quad g(3)=0\]

Dette gir punktene \((0,3)\) og \((3,0)\) for \(g\).

Steg 3 — Les av skjæringspunktet

Fra grafen ser vi at linjene møtes omtrent i \((2,1)\).

Tolkning

Ved \(x=2\) har funksjonene samme verdi, nemlig \(y=1\).

Hva spør oppgaven om? I skjæringspunktet er funksjonsverdiene like. Derfor setter vi \(f(x)=g(x)\).

Steg 1 — Sett funksjonene lik hverandre

\[\dfrac{1}{2}x=-x+3\]

Dette er likningen som gjelder i skjæringspunktet.

Steg 2 — Samle x-leddene

\[\dfrac{1}{2}x+x=3\]

Vi flytter \(-x\) over på venstre side.

Steg 3 — Løs likningen

\[\dfrac{3}{2}x=3\quad\Rightarrow\quad x=2\]

Da har vi funnet x-koordinaten.

Steg 4 — Finn y-koordinaten

\[f(2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1\]

Vi setter \(x=2\) inn i en av funksjonene.

Kontroll

\[g(2)=-2+3=1\]

Begge funksjonene gir samme y-verdi.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne konsumprisindeksen når nominell lønn og reallønn er kjent.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

\[\text{Reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}}{\text{KPI}}\cdot 100\]

Konsumprisindeksen justerer nominell lønn til reallønn.

Steg 2 — Løs for KPI

\[\text{KPI}=\dfrac{450000}{360000}\cdot 100\]

Vi snur formelen slik at indeksen blir ukjent størrelse.

Steg 3 — Regn ut

\[\text{KPI}=125\]

Indeksen er større enn 100 fordi nominell lønn er større enn reallønn.

Tolkning

KPI på 125 betyr at prisnivået er 25 % høyere enn i basisåret.

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste om produktet av pris og antall er konstant.

Steg 1 — Regn produktet for hver kiosk

\[20\cdot 200=4000\]

Produktet er samlet inntekt for kiosken.

Steg 2 — Sjekk de andre produktene

\[25\cdot 160=4000,\quad 40\cdot 100=4000\]

Alle produktene er like.

Tolkning

Når prisen øker, går antallet ned slik at produktet er konstant.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette foreldrenes høyder inn i de to formlene.

Steg 1 — Finn gjennomsnittet av foreldrenes høyder

\[(180+160)\cdot 0{,}5=170\]

Begge formlene starter med gjennomsnittlig foreldrehøyde.

Steg 2 — Bruk gutteformelen

\[170+7=177\]

For gutt legger vi til 7 cm.

Steg 3 — Bruk jenteformelen

\[170-7=163\]

For jente trekker vi fra 7 cm.

Tolkning

Formlene gir et anslag, ikke en sikker fasit for barnas høyde.

Hva spør oppgaven om? Nå kjenner vi sønnens høyde og farens høyde, og skal finne mors høyde.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[(186+m)\cdot 0{,}5+7=189\]

Vi bruker gutteformelen fordi Per er sønn.

Steg 2 — Trekk fra 7

\[(186+m)\cdot 0{,}5=182\]

Vi isolerer gjennomsnittsleddet.

Steg 3 — Multipliser med 2

\[186+m=364\]

Dette fjerner faktoren \(0{,}5\).

Steg 4 — Finn mors høyde

\[m=364-186=178\]

Vi trekker fra farens høyde.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av en sylinder og gjøre om fra kubikkmeter til liter.

Steg 1 — Finn radius

\[r=\dfrac{1{,}2}{2}=0{,}6\]

Radius er halvparten av diameteren.

Steg 2 — Bruk sylindervolum

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot 0{,}6^2\cdot 1{,}2\]

Rundballen modelleres som en sylinder.

Steg 3 — Regn og gjør overslag

\[V\approx 1{,}36\text{ m}^3\approx 1{,}4\text{ m}^3\]

Vi runder fordi oppgaven ber om overslag.

Steg 4 — Gjør om til liter

\[1{,}4\text{ m}^3\approx 1400\text{ L}\]

Én kubikkmeter er 1000 liter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne overflaten av en sylinder med to sirkelflater og én krum sideflate.

Steg 1 — Skriv formelen

\[O=2\pi r^2+2\pi rh\]

Første ledd er topp og bunn, andre ledd er sideflaten.

Steg 2 — Sett inn \(r=0{,}6\) og \(h=1{,}2\)

\[O=2\pi\cdot 0{,}6^2+2\pi\cdot 0{,}6\cdot 1{,}2\]

Vi bruker samme mål som i oppgave a.

Steg 3 — Regn ut og rund av

\[O\approx 6{,}8\text{ m}^2\approx 7\text{ m}^2\]

Siden dette er et overslag, passer det å runde til omtrent \(7\text{ m}^2\).

Tolkning

Rundballen trenger omtrent \(7\text{ m}^2\) plast dersom hele overflaten skal dekkes.

Hva spør oppgaven om? Vi skal fordele personene i en krysstabell etter smitte og testresultat.

Steg 1 — Finn smittede som tester positivt

\[68-10=58\]

Av de positive testene er 10 falske positive.

Steg 2 — Finn smittede som ikke tester positivt

\[60-58=2\]

Det er 60 smittede totalt.

Steg 3 — Finn ikke-smittede som ikke tester positivt

\[300-10=290\]

Det er 300 ikke-smittede totalt.

Tolkning

Tabellen viser både riktige og feilaktige testresultater.

Hva spør oppgaven om? Vi skal se bare på de 60 smittede personene.

Steg 1 — Bruk gunstige over mulige

\[P=\dfrac{58}{60}\]

58 av 60 smittede tester positivt.

Steg 2 — Forkort eller gjør om til prosent

\[\dfrac{58}{60}=\dfrac{29}{30}\approx 0{,}967\]

Dette er omtrent \(96{,}7\,\%\).

Tolkning

Testen finner de fleste som faktisk er smittet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal se bare på de 68 personene som tester positivt.

Steg 1 — Bruk gunstige over mulige

\[P=\dfrac{10}{68}\]

10 positive tester kommer fra personer som ikke er smittet.

Steg 2 — Forkort og gjør om til prosent

\[\dfrac{10}{68}=\dfrac{5}{34}\approx 0{,}147\]

Det tilsvarer omtrent \(14{,}7\,\%\).

Tolkning

Omtrent 15 % av de positive testene er falske positive.

Hva spør oppgaven om? Vi skal koble hver funksjon til riktig graf ved å se på stigningstall, konstantledd og form.

Steg 1 — Finn grafen til \(f(x)=-x\)

\[f(0)=0\quad\text{og stigningstall }-1\]

Grafen går gjennom origo og faller med stigningstall \(-1\). Dette passer med graf B.

Steg 2 — Finn grafen til \(g(x)=-x^2+x+2\)

\[g(0)=2\]

Dette er en parabel som vender nedover, har y-skjæring 2 og nullpunktene \(-1\) og \(2\). Dette passer med graf F.

Steg 3 — Finn grafen til \(h(x)=\dfrac{1}{2}x+1\)

\[h(0)=1\quad\text{og stigningstall }\dfrac{1}{2}\]

Grafen er en svakt stigende linje som skjærer y-aksen i 1. Dette passer med graf E.

Tolkning

Funksjonsuttrykket forteller både form og plassering for grafen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise hvordan kostnader og inntekter utvikler seg når antall produserte enheter endres.

Steg 1 — Legg inn funksjonene

\[K(x)=8{,}5x^2+25x+11900\]

Kostnadsfunksjonen er en parabel.

Steg 2 — Legg inn inntektsfunksjonen

\[I(x)=790x\]

Inntekten er lineær fordi inntekt per enhet er konstant.

Steg 3 — Bruk riktig intervall

\[10\le x\le 100\]

Grafene skal bare tolkes i dette intervallet.

Kontroll (GeoGebra)

Tolkning

Der inntektsgrafen ligger over kostnadsgrafen, har bedriften overskudd.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne produksjonsmengdene der \(K(x)=I(x)\).

Steg 1 — Sett kostnad lik inntekt

\[8{,}5x^2+25x+11900=790x\]

Dette gir nullpunktene til overskuddsfunksjonen.

Steg 2 — Samle alt på én side

\[8{,}5x^2-765x+11900=0\]

En andregradslikning kan løses digitalt.

Steg 3 — Løs digitalt

from sympy import symbols, solve, Eq

x = symbols('x')
K = 8.5*x**2 + 25*x + 11900
I = 790*x
losninger = solve(Eq(K, I), x)

print("Skjæringspunkter mellom kostnad og inntekt:")
for losning in losninger:
    print(f"x = {float(losning):.2f}")

Skjæringspunkter mellom kostnad og inntekt:
x = 18.20
x = 71.80

Tolkning

Ved omtrent 18 og 72 enheter er bedriften i balanse.

Hva spør oppgaven om? Overskudd er inntekt minus kostnad. Vi skal finne toppunktet til overskuddsfunksjonen.

Steg 1 — Lag overskuddsfunksjonen

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Overskudd betyr penger inn minus penger ut.

Steg 2 — Sett inn uttrykkene

\[O(x)=790x-\left(8{,}5x^2+25x+11900\right)\]

Dette gir en parabel som vender nedover.

Steg 3 — Finn maksimum digitalt

from sympy import symbols, expand, diff, solve

x = symbols('x')
K = 8.5*x**2 + 25*x + 11900
I = 790*x
O = expand(I - K)

kritisk_punkt = solve(diff(O, x), x)[0]
maks_overskudd = O.subs(x, kritisk_punkt)

print("Overskuddsfunksjon:")
print(O)
print("\nMaksimalt overskudd:")
print(f"x = {float(kritisk_punkt):.0f} enheter")
print(f"O(x) = {float(maks_overskudd):.2f} kroner")

Overskuddsfunksjon:
-8.5*x**2 + 765*x - 11900

Maksimalt overskudd:
x = 45 enheter
O(x) = 5312.50 kroner

Tolkning

Bedriften bør produsere og selge omtrent 45 enheter for størst overskudd.

Hva spør oppgaven om? Verdien faller med samme prosent hvert år. Da bruker vi vekstfaktor.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[1-0{,}15=0{,}85\]

Et fall på 15 % betyr at 85 % av verdien er igjen hvert år.

Steg 2 — Regn to år fram

\[8600\cdot 0{,}85^2\]

Vi bruker to faktorer fordi det går to år.

Steg 3 — Regn ut

\[8600\cdot 0{,}85^2=6213{,}5\]

Dette rundes naturlig til omtrent 6200 kroner.

Kontroll (Python)

verdi_i_dag = 8600
vekstfaktor = 0.85
antall_ar = 2

verdi_om_to_ar = verdi_i_dag * vekstfaktor**antall_ar

print("Scooterens verdi om 2 år:")
print(f"{verdi_om_to_ar:.2f} kroner")
print(f"Avrundet: {round(verdi_om_to_ar, -2):.0f} kroner")

Scooterens verdi om 2 år:
6213.50 kroner
Avrundet: 6200 kroner

Tolkning

Verdien synker videre og blir rundt 6200 kroner om to år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne tre år bakover fra dagens verdi.

Steg 1 — Bruk dagens verdi

\[\text{nypris}\cdot 0{,}85^3=8600\]

Verdien har falt med 15 % i tre år.

Steg 2 — Løs for nyprisen

\[\text{nypris}=\dfrac{8600}{0{,}85^3}\]

Vi deler på samlet vekstfaktor for tre år.

Steg 3 — Regn ut

\[\dfrac{8600}{0{,}85^3}\approx 14002\]

Dette er omtrent 14 000 kroner.

Kontroll (Python)

verdi_i_dag = 8600
vekstfaktor = 0.85
antall_ar_siden_ny = 3

nypris = verdi_i_dag / vekstfaktor**antall_ar_siden_ny

print("Beregnet nypris:")
print(f"{nypris:.2f} kroner")
print(f"Avrundet: {round(nypris, -2):.0f} kroner")

Beregnet nypris:
14002.15 kroner
Avrundet: 14000 kroner

Tolkning

Scooteren kostet omtrent 14 000 kroner da den var ny.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av start- og sluttverdi for oljeprisen i USD og finne endringen.

Steg 1 — Les av diagrammet

\[\text{start}\approx 85\text{ USD},\quad \text{slutt}\approx 49\text{ USD}\]

Avlesning fra diagram gir omtrentlige verdier.

Steg 2 — Finn nedgangen i USD

\[85-49=36\]

Prisen har gått ned med omtrent 36 USD.

Steg 3 — Finn prosentvis nedgang

\[\dfrac{36}{85}\cdot 100\,\%\approx 42\,\%\]

Vi sammenlikner nedgangen med startverdien.

Tolkning

Oljeprisen i dollar falt kraftig i perioden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om oljepris fra USD til NOK med dollarkursen i starten.

Steg 1 — Les av startverdier

\[85\text{ USD},\quad 1\text{ USD}\approx 6{,}6\text{ NOK}\]

Begge tallene leses fra diagrammet.

Steg 2 — Multipliser

\[85\cdot 6{,}6=561\]

Dollarpris multipliseres med kroner per dollar.

Tolkning

I starten kostet ett fat olje omtrent 560 norske kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne oljeprisen i norske kroner i starten og slutten av perioden.

Steg 1 — Finn sluttpris i NOK

\[49\cdot 7{,}65\approx 375\]

Sluttverdien i USD multipliseres med sluttkursen.

Steg 2 — Finn nedgangen i NOK

\[561-375=186\]

Dette er omtrent hvor mye prisen falt i norske kroner.

Steg 3 — Finn prosentvis nedgang

\[\dfrac{186}{561}\cdot 100\,\%\approx 33\,\%\]

Vi sammenlikner med startprisen i NOK.

Kontroll (Python)

olje_usd_start = 85
olje_usd_slutt = 49
kurs_start = 6.6
kurs_slutt = 7.65

start_nok = olje_usd_start * kurs_start
slutt_nok = olje_usd_slutt * kurs_slutt
nedgang_nok = start_nok - slutt_nok
prosent_nedgang = nedgang_nok / start_nok * 100

print("Oljepris i NOK:")
print(f"Start: {start_nok:.2f} NOK")
print(f"Slutt: {slutt_nok:.2f} NOK")
print(f"Nedgang: {nedgang_nok:.2f} NOK")
print(f"Prosentvis nedgang: {prosent_nedgang:.1f} %")

Oljepris i NOK:
Start: 561.00 NOK
Slutt: 374.85 NOK
Nedgang: 186.15 NOK
Prosentvis nedgang: 33.2 %

Tolkning

Nedgangen i kroner er mindre prosentvis enn nedgangen i dollar fordi dollaren ble dyrere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor prosentnedgangen blir ulik i USD og NOK.

Steg 1 — Sammenlikn prosentene

\[42\,\%\text{ i USD},\quad 33\,\%\text{ i NOK}\]

Oljeprisen falt mer målt i USD enn målt i NOK.

Steg 2 — Bruk dollarkursen

Dollarkursen økte fra omtrent \(6{,}6\) til omtrent \(7{,}65\) NOK.

Hver dollar ble altså mer verdt i norske kroner.

Tolkning

Økt dollarkurs dempet prisfallet målt i norske kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne ordinær lønn, overtidslønn, trekk og nettolønn.

Steg 1 — Finn timer

\[\text{ordinære timer}=4\cdot 37{,}5=150\]

Alt over \(37{,}5\) timer per uke er overtid.

\[\text{overtid}=2{,}5+3{,}5+0+1{,}5=7{,}5\]

Steg 2 — Finn lønn før trekk

\[150\cdot 160=24000\]

Dette er ordinær lønn.

\[7{,}5\cdot 240=1800\]

Dette er overtidslønn.

Steg 3 — Finn trekk og netto

\[\text{brutto}=24000+1800=25800\]

Deretter trekker vi pensjon, fagforening og skatt.

Kontroll (Python)

timer = [40, 41, 37.5, 39]
ordinar_grense = 37.5
ordinar_timelonn = 160
overtid_timelonn = 240
pensjon_prosent = 0.02
skatt_prosent = 0.38
fagforening = 470

ordinar_timer = len(timer) * ordinar_grense
overtid_timer = sum(max(t - ordinar_grense, 0) for t in timer)
ordinar_lonn = ordinar_timer * ordinar_timelonn
overtid_lonn = overtid_timer * overtid_timelonn
bruttolonn = ordinar_lonn + overtid_lonn
pensjon = ordinar_lonn * pensjon_prosent
trekkgrunnlag = bruttolonn - pensjon - fagforening
skatt = trekkgrunnlag * skatt_prosent
netto = bruttolonn - pensjon - fagforening - skatt

print("Lønnsberegning for Sofie:")
print(f"Ordinære timer: {ordinar_timer:.1f}")
print(f"Overtidstimer: {overtid_timer:.1f}")
print(f"Ordinær lønn: {ordinar_lonn:.2f} kr")
print(f"Overtidslønn: {overtid_lonn:.2f} kr")
print(f"Bruttolønn: {bruttolonn:.2f} kr")
print(f"Pensjonstrekk: {pensjon:.2f} kr")
print(f"Fagforeningskontingent: {fagforening:.2f} kr")
print(f"Skattetrekk: {skatt:.2f} kr")
print(f"Netto månedslønn: {netto:.2f} kr")

Lønnsberegning for Sofie:
Ordinære timer: 150.0
Overtidstimer: 7.5
Ordinær lønn: 24000.00 kr
Overtidslønn: 1800.00 kr
Bruttolønn: 25800.00 kr
Pensjonstrekk: 480.00 kr
Fagforeningskontingent: 470.00 kr
Skattetrekk: 9443.00 kr
Netto månedslønn: 15407.00 kr

Tolkning

Sofie får 15 407 kr utbetalt etter trekk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke nettolønnen fra oppgave a og beregne sparingen.

Steg 1 — Beregn 20 % av nettolønn

\[0{,}20\cdot 15407=3081{,}40\]

Dette er fast spareandel.

Steg 2 — Beregn ekstra sparing over 15 000 kr

\[0{,}60\cdot (15407-15000)=244{,}20\]

Ekstra sparing gjelder bare beløpet over 15 000 kr.

Steg 3 — Rund nedover

\[3081{,}40+244{,}20=3325{,}60\]

Rundet nedover blir dette 3325 kr.

Tolkning

Sofie overfører litt ekstra fordi nettolønnen er over 15 000 kr.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjenta beregningen uten overtid.

Steg 1 — Finn bruttolønn uten overtid

\[150\cdot 160=24000\]

Hun jobber bare ordinære timer.

Steg 2 — Finn netto

\[\text{pensjon}=0{,}02\cdot 24000=480\]

Skatt beregnes etter pensjon og fagforening.

\[\text{skatt}=0{,}38\cdot (24000-480-470)=8759\]

\[\text{netto}=24000-480-470-8759=14291\]

Steg 3 — Finn sparing

\[0{,}20\cdot 14291=2858{,}20\]

Netto er under 15 000 kr, så det blir ingen ekstra sparing.

Kontroll (Python)

ordinar_timer = 4 * 37.5
ordinar_timelonn = 160
pensjon_prosent = 0.02
skatt_prosent = 0.38
fagforening = 470

bruttolonn = ordinar_timer * ordinar_timelonn
pensjon = bruttolonn * pensjon_prosent
skatt = (bruttolonn - pensjon - fagforening) * skatt_prosent
netto = bruttolonn - pensjon - fagforening - skatt
sparing_20 = netto * 0.20
ekstra_sparing = max(0, (netto - 15000) * 0.60)
sum_sparing = int(sparing_20 + ekstra_sparing)

print("Sparing uten overtid:")
print(f"Bruttolønn: {bruttolonn:.2f} kr")
print(f"Netto månedslønn: {netto:.2f} kr")
print(f"20 % sparing: {sparing_20:.2f} kr")
print(f"Ekstra sparing: {ekstra_sparing:.2f} kr")
print(f"Overføring til sparekonto: {sum_sparing} kr")

Sparing uten overtid:
Bruttolønn: 24000.00 kr
Netto månedslønn: 14291.00 kr
20 % sparing: 2858.20 kr
Ekstra sparing: 0.00 kr
Overføring til sparekonto: 2858 kr

Tolkning

Uten overtid blir netto lavere, og hun overfører mindre til sparekonto.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formlikhet og Pytagoras i trekantene.

Steg 1 — Finn \(AB\)

\[AB=AD+BD=5+10=15\]

Hele siden fra \(A\) til \(B\) er summen av delene.

Steg 2 — Finn \(AG\) med Pytagoras

\[AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{15^2-9^2}\]

\(\triangle ABG\) er rettvinklet.

Steg 3 — Regn ut \(AG\)

\[AG=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\]

Høyden i den store trekanten er 12.

Steg 4 — Bruk forholdet mellom trekantene

\[\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\]

Den lille trekanten er en tredel av den store.

\[AF=\dfrac{1}{3}\cdot 12=4\]

Da blir \(FG=12-4=8\).

Kontroll

\[\dfrac{DF}{BG}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\]

Dette bekrefter samme målestokk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av en rettavkortet kjegle. Høyden fra figuren er \(FG=8\) m.

Steg 1 — Bruk formelen for rettavkortet kjegle

\[V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\]

Her er \(h=8\), \(R=9\) og \(r=3\).

Steg 2 — Sett inn tall

\[V=\dfrac{\pi\cdot 8}{3}\left(9^2+9\cdot 3+3^2\right)\]

Alle mål er i meter.

Steg 3 — Regn ut volumet

\[V=312\pi\approx 980{,}2\text{ m}^3\]

Dette er volum i kubikkmeter.

Steg 4 — Gjør om til liter

\[980{,}2\text{ m}^3\approx 980200\text{ L}\]

Én kubikkmeter er 1000 liter.

Kontroll (Python)

from math import pi

h = 8
R = 9
r = 3

volum_m3 = pi * h / 3 * (R**2 + R*r + r**2)
volum_liter = volum_m3 * 1000

print("Volum av rettavkortet kjegle:")
print(f"{volum_m3:.1f} m^3")
print(f"{volum_liter:.0f} liter")

Volum av rettavkortet kjegle:
980.2 m^3
980177 liter

Tolkning

Tanken rommer omtrent 980 000 liter vann.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forstå hvordan vannhøyden endres når tanken blir bredere oppover.

Steg 1 — Se på formen

Tanken er smal nederst og bred øverst.

I starten skal det lite vann til for å øke høyden.

Steg 2 — Bruk konstant innstrømming

Like mye vann kommer inn per tidsenhet.

Når tanken blir bredere, gir samme vannmengde mindre høydeøkning.

Steg 3 — Velg graf

Grafen må stige raskt først og langsommere etter hvert.

Det passer med graf 3.

Tolkning

Vannhøyden øker hele tiden, men økningen per tidsenhet blir mindre når tanken blir bredere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at valg dag 2 og dag 3 blir samme som dag 1.

Steg 1 — Første dag kan være hvilket som helst par

\[P=1\]

Det første valget setter bare hvilket par som skal gjentas.

Steg 2 — Dag 2 og 3 må være samme par

\[P=1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}\]

Hver av de neste to dagene må treffe ett bestemt skopar.

Tolkning

Det er ganske lite sannsynlig at alle tre valg blir samme skopar.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at alle tre valgene blir forskjellige.

Steg 1 — Første dag er fri

\[P=1\]

Første skopar kan være hvilket som helst.

Steg 2 — Andre dag må være et annet par

\[\dfrac{2}{3}\]

Det finnes to skopar som er forskjellige fra det første.

Steg 3 — Tredje dag må være det siste paret

\[1\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}\]

Når to ulike par er brukt, er bare ett par igjen.

Tolkning

Sannsynligheten for tre ulike skopar er dobbelt så stor som sannsynligheten for tre like.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om fart fra kilometer per time til meter per sekund.

Steg 1 — Gjør kilometer om til meter

\[40\text{ km}=40000\text{ m}\]

Én kilometer er 1000 meter.

Steg 2 — Gjør timer om til sekunder

\[1\text{ h}=3600\text{ s}\]

Farten per sekund fås ved å dele på 3600.

Steg 3 — Regn om

\[40\text{ km/h}=\dfrac{40000}{3600}\text{ m/s}\approx 11{,}1\text{ m/s}\]

Dermed stemmer påstanden i oppgaven.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formelen med to fartsverdier og to friksjonsfaktorer.

Steg 1 — Gjør fartene om til m/s

\[40\text{ km/h}\approx 11{,}1\text{ m/s}\]

Dobbel fart gir \(80\text{ km/h}\approx 22{,}2\text{ m/s}\).

Steg 2 — Regn sommerføre

\[s=\dfrac{11{,}1^2}{19{,}6\cdot 0{,}8}\approx 7{,}9\text{ m}\]

For \(80\text{ km/h}\):

\[s=\dfrac{22{,}2^2}{19{,}6\cdot 0{,}8}\approx 31{,}5\text{ m}\]

Steg 3 — Regn vinterføre

\[s=\dfrac{11{,}1^2}{19{,}6\cdot 0{,}2}\approx 31{,}5\text{ m}\]

For \(80\text{ km/h}\):

\[s=\dfrac{22{,}2^2}{19{,}6\cdot 0{,}2}\approx 126{,}0\text{ m}\]

Kontroll (Python)

def kmh_til_ms(kmh):
    return kmh * 1000 / 3600

def bremselengde(kmh, friksjon):
    v = kmh_til_ms(kmh)
    return v**2 / (19.6 * friksjon)

for fore, f in [("Sommerføre", 0.8), ("Vinterføre", 0.2)]:
    print(fore)
    for fart in [40, 80]:
        s = bremselengde(fart, f)
        print(f"  {fart} km/h: {s:.1f} m")

Sommerføre
  40 km/h: 7.9 m
  80 km/h: 31.5 m
Vinterføre
  40 km/h: 31.5 m
  80 km/h: 126.0 m

Tolkning

Lav friksjon og høy fart gir mye lengre bremselengde.

Hva spør oppgaven om? Vi skal se hvordan \(s\) endres når \(v\) dobles.

Steg 1 — Se på formelen

\[s=\dfrac{v^2}{19{,}6\cdot f}\]

Farten står opphøyd i andre.

Steg 2 — Dobbel fart

\[(2v)^2=4v^2\]

Når farten dobles, blir \(v^2\) fire ganger så stor.

Steg 3 — Svar på proporsjonalitet

Hvis størrelsene var proporsjonale, ville dobbel fart gitt dobbel bremselengde.

Her gir dobbel fart fire ganger så lang bremselengde.

Tolkning

Bremselengden vokser kvadratisk med farten, ikke proporsjonalt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne bremselengde på vinterføre og sommerføre.

Steg 1 — Sett bremselengdene like

\[\dfrac{v_v^2}{19{,}6\cdot 0{,}2}=\dfrac{v_s^2}{19{,}6\cdot 0{,}8}\]

Her er \(v_v\) vinterfart og \(v_s\) sommerfart.

Steg 2 — Forkort bort \(19{,}6\)

\[\dfrac{v_v^2}{0{,}2}=\dfrac{v_s^2}{0{,}8}\]

Samme faktor står i begge nevnerne.

Steg 3 — Løs for vinterfarten

\[v_v^2=\dfrac{0{,}2}{0{,}8}v_s^2=0{,}25v_s^2\]

Vi tar kvadratroten på begge sider.

\[v_v=0{,}5v_s\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, Eq, solve

vv, vs = symbols('vv vs', positive=True)
likning = Eq(vv**2/(19.6*0.2), vs**2/(19.6*0.8))
losning = solve(likning, vv)[0]

print("Regel for samme bremselengde:")
print(f"vinterfart = {losning} * sommerfart")
print("Det betyr: kjør med halv fart på glatt vinterføre.")

Regel for samme bremselengde:
vinterfart = 0.5 * sommerfart
Det betyr: kjør med halv fart på glatt vinterføre.

Tolkning

På glatt vinterføre med \(f=0{,}2\) må du kjøre med halvparten av sommerfarten for å få samme bremselengde.