Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prosentvis økning fra år til år, ikke bare økning i antall bøker.

Steg 1 - Fra 2010 til 2011

\[\dfrac{5000-4000}{4000}=0{,}25=25\,\%\]

Vi deler økningen på startverdien.

Steg 2 - Fra 2011 til 2012

\[\dfrac{6000-5000}{5000}=0{,}20=20\,\%\]

Samme økning i antall gir lavere prosent når startverdien er større.

Steg 3 - Fra 2012 til 2013

\[\dfrac{7000-6000}{6000}\approx 0{,}167=16{,}7\,\%\]

Dette er lavere enn de to andre prosentøkningene.

Tolkning

Den største relative økningen kom tidligst, selv om økningen i antall bøker var 1000 hvert år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere oppskriften proporsjonalt fra 4 til 9 personer.

Steg 1 - Finn kjøttdeig per person

\[\dfrac{500}{4}=125\]

Oppskriften bruker 125 g kjøttdeig per person.

Steg 2 - Gang med 9 personer

\[125\cdot 9=1125\]

Vi bruker samme mengde per person.

Tolkning

Du må ha litt over 1 kg kjøttdeig.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne indeks når basisåret har indeks 100.

Steg 1 - Bruk indeksformelen

\[\text{indeks}=\dfrac{\text{ny pris}}{\text{basispris}}\cdot 100\]

Indeks sammenlikner ny pris med prisen i basisåret.

Steg 2 - Sett inn tall

\[\dfrac{720}{600}\cdot 100=120\]

Prisen er 1,20 ganger basisprisen.

Tolkning

Indeks 120 betyr at prisen har økt med 20 % fra basisåret.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for to rekkefølger: gutt-jente eller jente-gutt.

Steg 1 - Første rekkefølge: gutt så jente

\[P(GJ)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{24}{90}\]

Etter at én gutt er valgt, er det 9 elever igjen.

Steg 2 - Andre rekkefølge: jente så gutt

\[P(JG)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}=\dfrac{24}{90}\]

Dette er den andre mulige rekkefølgen.

Steg 3 - Legg sammen

\[P=\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{48}{90}=\dfrac{8}{15}\]

Hendelsene kan ikke skje samtidig, derfor legger vi dem sammen.

Tolkning

Det er litt over 50 % sannsynlighet for å få én gutt og én jente.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere om pris og antall kiwi har et fast forhold.

Steg 1 - Tronds argument

\[\dfrac{10}{4}=2{,}50\quad\text{og}\quad\dfrac{20}{8}=2{,}50\]

Begge tilbudene gir samme pris per kiwi.

Steg 2 - Hva dette kan tyde på

\[\text{pris}=2{,}50\cdot\text{antall kiwi}\]

Hvis dette gjelder for alle antall kiwi, er størrelsene proporsjonale.

Steg 3 - Thereses argument

To tilbud er ikke nok til å bevise at alle mulige antall kiwi følger samme regel.

Butikken kan for eksempel bare ha pakketilbud på 4 og 8 kiwi.

Tolkning

Trond har et godt tegn på proporsjonalitet, men Therese har rett i at vi ikke har nok informasjon til å være sikre.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare begrepet lineær økning.

Steg 1 - Se på tidsrommet

Fra 2006 til 2014 er det 8 år.

Prisen går fra 600 kroner til 1000 kroner.

Steg 2 - Forklar lineær økning

Lineær økning betyr at prisen øker med samme kronebeløp hvert år.

Steg 3 - Finn økning per år

\[\dfrac{1000-600}{8}=50\]

Her betyr lineær økning at prisen øker med 50 kroner per år.

Tolkning

Grafen til prisen vil være en rett linje.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell med startverdi og stigningstall.

Steg 1 - Startverdien

\[f(0)=600\]

Når \(x=0\), er året 2006.

Steg 2 - Stigningstallet

\[a=50\]

Fra oppgave a øker prisen med 50 kroner per år.

Steg 3 - Skriv funksjonen

\[f(x)=600+50x\]

Dette gir pris \(x\) år etter 2006.

Tolkning

Funksjonen legger til 50 kroner for hvert år etter 2006.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\)-verdien for 2018 og sette den inn i modellen.

Steg 1 - Finn antall år etter 2006

\[2018-2006=12\]

Dermed er \(x=12\).

Steg 2 - Sett inn i funksjonen

\[f(12)=600+50\cdot 12\]

Vi bruker modellen fra oppgave b.

Steg 3 - Regn ut

\[f(12)=1200\]

Dette er modellens pris i 2018.

Tolkning

Hvis den lineære utviklingen fortsetter, koster varen 1200 kroner i 2018.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare oversettingen fra tekst til algebra.

Steg 1 - Før lunsj

\[\text{inne}=x,\quad \text{ute}=5x\]

Det var fem ganger så mange ute som inne.

Steg 2 - Etter lunsj

\[\text{inne}=x-3,\quad \text{ute}=5x+3\]

Tre barn går ut, derfor minker antallet inne med 3 og øker antallet ute med 3.

Steg 3 - Lag likningen

\[5x+3=8(x-3)\]

Etter lunsj er antallet ute åtte ganger antallet inne.

Tolkning

Likningen uttrykker situasjonen etter lunsj.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse likningen og finne totalt antall barn.

Steg 1 - Start med likningen

\[8(x-3)=5x+3\]

Dette er likningen Julie satte opp.

Steg 2 - Løs opp parentesen

\[8x-24=5x+3\]

Vi multipliserer 8 inn i parentesen.

Steg 3 - Samle \(x\)-ledd

\[3x=27\]

Vi flytter \(5x\) og \(-24\) til hver sin side.

Steg 4 - Finn \(x\)

\[x=9\]

Det var 9 barn inne før lunsj.

Steg 5 - Finn totalt antall barn

\[x+5x=6x=6\cdot 9=54\]

Totalt antall barn endres ikke.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom to vanlige lånetyper.

Steg 1 - Annuitetslån

Et annuitetslån har like store terminbeløp gjennom nedbetalingstiden, hvis renten er uendret.

I starten betaler man mest renter og lite avdrag.

Steg 2 - Serielån

Et serielån har like store avdrag hver termin.

Terminbeløpet er høyest i starten og blir lavere etter hvert.

Tolkning

Annuitetslån gir jevnere betaling, mens serielån gir raskere nedbetaling av gjelden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor lånetypene gir ulik samlet rentekostnad.

Steg 1 - Sammenlikn gjeld over tid

I et serielån betaler Solveig like store avdrag, så gjelden går raskere ned i starten.

Steg 2 - Renter regnes av restgjelden

Når restgjelden er høyere, blir rentebeløpet høyere.

Steg 3 - Konklusjon

Siv har høyere restgjeld i større del av låneperioden enn Solveig.

Tolkning

Derfor betaler Siv mer renter totalt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor noen velger annuitetslån selv om det ofte koster mer totalt.

Steg 1 - Terminbeløpet er jevnere

Annuitetslån gir omtrent samme betaling hver termin.

Steg 2 - Lavere betaling i starten

Sammenliknet med serielån er betalingene ofte lavere i starten.

Steg 3 - Praktisk vurdering

Det kan være gunstig for personer som trenger bedre likviditet tidlig i låneperioden.

Tolkning

Annuitetslån kan være lettere å håndtere i et månedlig budsjett.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke Pytagoras på trekanten i figur 2.

Steg 1 - Finn katetene

Den minste halvsirkelen har diameter \(2\cdot 2{,}5=5\), og den største har diameter \(2\cdot 6=12\).

Disse er katetene i den rettvinklede trekanten.

Steg 2 - Bruk Pytagoras

\[PQ^2=5^2+12^2\]

\(PQ\) er hypotenusen.

Steg 3 - Regn ut

\[PQ^2=25+144=169\]

\[PQ=\sqrt{169}=13\]

Lengden er positiv, derfor bruker vi \(13\).

Tolkning

Trekanten i figur 2 er en 5-12-13-trekant.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne omkretsen av begge figurene og sammenlikne.

Steg 1 - Figur 1

Halvsirkelen har radius \(5{,}5\), så diameteren er \(11\). Trekanten har vinkler på \(60^\circ\), og er likesidet.

\[O_1=11+11+\pi\cdot 5{,}5\approx 39{,}3\]

Vi tar med to trekantsider og buen i halvsirkelen.

Steg 2 - Figur 2

\[O_2=13+\pi\cdot 2{,}5+\pi\cdot 6\]

Omkretsen består av \(PQ\) og de to halvsirkelbuene.

Steg 3 - Regn ut

\[O_2=13+8{,}5\pi\approx 39{,}7\]

Dette er litt større enn omkretsen til figur 1.

Tolkning

Figurene har nesten lik omkrets, men figur 2 er størst.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om fra pålogginger per sekund til pålogginger per time.

Steg 1 - Finn antall sekunder i én time

\[60\cdot 60=3600\]

En time har 3600 sekunder.

Steg 2 - Multipliser med 45

\[45\cdot 3600=162000\]

Det er 45 pålogginger hvert sekund.

Kontroll (Python)

# Pålogginger per sekund og per time
paalogginger_per_sekund = 45
sekunder_per_minutt = 60
minutter_per_time = 60

sekunder_per_time = sekunder_per_minutt * minutter_per_time
paalogginger_per_time = paalogginger_per_sekund * sekunder_per_time

print("Pålogginger per sekund:", paalogginger_per_sekund)
print("Sekunder i én time:", sekunder_per_time)
print("Pålogginger i løpet av én time:", paalogginger_per_time)

Pålogginger per sekund: 45
Sekunder i én time: 3600
Pålogginger i løpet av én time: 162000

Tolkning

Hvis pågangen var konstant, logget 162 000 personer seg på per time.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor lang tid 900 000 pålogginger tar når det skjer 45 per sekund.

Steg 1 - Del antall pålogginger på farten

\[\dfrac{900000}{45}=20000\]

Dette gir tid i sekunder.

Steg 2 - Gjør om til timer

\[20000\text{ s}=5\text{ h }33\text{ min }20\text{ s}\]

Vi deler på 3600 for å få timer.

Kontroll (Python)

# Tid for at 900 000 personer skal logge seg på
antall_personer = 900_000
paalogginger_per_sekund = 45

sekunder = antall_personer / paalogginger_per_sekund
hele_timer = int(sekunder // 3600)
rest = sekunder - hele_timer * 3600
hele_minutter = int(rest // 60)
restsekunder = int(rest - hele_minutter * 60)

print("Antall personer:", antall_personer)
print("Pålogginger per sekund:", paalogginger_per_sekund)
print("Tid i sekunder:", sekunder)
print(f"Tid: {hele_timer} timer, {hele_minutter} minutter og {restsekunder} sekunder")

Antall personer: 900000
Pålogginger per sekund: 45
Tid i sekunder: 20000.0
Tid: 5 timer, 33 minutter og 20 sekunder

Tolkning

Det ville tatt litt over fem og en halv time.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen e-brukere av alle skattytere.

Steg 1 - Finn totalt antall skattytere

\[900000+3700000=4600000\]

Vi legger sammen e-brukere og resten.

Steg 2 - Finn prosentandelen

\[\dfrac{900000}{4600000}\cdot 100\approx 19{,}6\]

Vi deler e-brukere på totalen.

Kontroll (Python)

# Andel elektroniske brukere
brukere_elektronisk = 900_000
andre_skattytere = 3_700_000

totalt = brukere_elektronisk + andre_skattytere
andel_prosent = brukere_elektronisk / totalt * 100

print("Elektroniske brukere:", brukere_elektronisk)
print("Andre skattytere:", andre_skattytere)
print("Totalt antall skattytere:", totalt)
print("Andel elektroniske brukere i prosent:", round(andel_prosent, 1))

Elektroniske brukere: 900000
Andre skattytere: 3700000
Totalt antall skattytere: 4600000
Andel elektroniske brukere i prosent: 19.6

Tolkning

Omtrent én av fem skattytere var elektroniske brukere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne funksjonen i riktig intervall.

Steg 1 - Legg inn funksjonen

\[f(x)=-0{,}003x^3-0{,}005x^2+0{,}8x\]

Funksjonen er en tredjegradsfunksjon.

Steg 2 - Bruk riktig intervall

\[0\le x\le 18\]

Grafen skal ikke tolkes utenfor dette intervallet.

Kontroll (GeoGebra)

Tolkning

Grafen starter i \((0,0)\), øker til et toppunkt og synker deretter mot null igjen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor grafen skjærer x-aksen, og hvor snødybden er størst.

Steg 1 - Nullpunkter

Det negative nullpunktet ligger utenfor modellen og brukes ikke.

Steg 2 - Toppunkt

Toppunktet gir størst \(f(x)\) i intervallet.

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, nroots, Rational

x = symbols('x')
f = -Rational(3, 1000)*x**3 - Rational(5, 1000)*x**2 + Rational(8, 10)*x

nullpunkter = nroots(f)
derivert = diff(f, x)
kritiske_punkter = nroots(derivert)

print("Funksjon:", f)
print("Nullpunkter:")
for punkt in nullpunkter:
    print(" ", punkt)

print("Derivert:", derivert)
print("Kritiske punkter:")
for punkt in kritiske_punkter:
    print(" ", punkt)

x_topp = 8.88888888888889
y_topp = f.subs(x, x_topp).evalf()
print("Toppunkt i modellintervallet:")
print(" x =", round(x_topp, 2))
print(" f(x) =", round(float(y_topp), 2))

Funksjon: -3*x**3/1000 - x**2/200 + 4*x/5
Nullpunkter:
  -17.1845140586238
  0
  15.5178473919572
Derivert: -9*x**2/1000 - x/100 + 4/5
Kritiske punkter:
  -10.0000000000000
  8.88888888888889
Toppunkt i modellintervallet:
 x = 8.89
 f(x) = 4.61

Tolkning

Snødybden er størst omtrent 8,9 timer etter midnatt, og da er den omtrent 4,6 cm.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke nullpunktene og toppunktet praktisk.

Steg 1 - Første nullpunkt

\[x=0\]

Ved midnatt var snødybden 0 cm.

Steg 2 - Toppunktet

\[(8{,}89,4{,}61)\]

Omtrent klokka 08.53 var snødybden størst, omtrent 4,6 cm.

Steg 3 - Andre nullpunkt

\[x\approx 15{,}52\]

Omtrent 15,5 timer etter midnatt var snøen borte igjen.

Tolkning

Det snødde og la seg snø om natten, snødybden økte først, og deretter smeltet snøen bort.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange prosent som abonnerer på begge avisene.

Steg 1 - Finn andelen som abonnerer på minst én avis

\[100\,\%-41\,\%=59\,\%\]

Dette er unionen av lokalavis og regionavis.

Steg 2 - Finn begge avisene

\[39\,\%+32\,\%-59\,\%=12\,\%\]

Når vi legger sammen 39 % og 32 %, teller vi de som har begge aviser to ganger.

Steg 3 - Fyll tabell

Tolkning

12 % av husstandene abonnerer på begge avisene.

Hva spør oppgaven om? Vi vet at husstanden har regionavisen, og skal finne andelen som også har lokalavisen.

Steg 1 - Bruk tall fra tabellen

\[P(\text{lokal} \mid \text{region})=\dfrac{12}{32}\]

Av de 32 % som har regionavisen, har 12 % også lokalavisen.

Steg 2 - Regn om til prosent

\[\dfrac{12}{32}=0{,}375=37{,}5\,\%\]

Dette er en betinget sannsynlighet.

Tolkning

Blant regionavis-abonnentene abonnerer litt over en tredel også på lokalavisen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for akkurat én lokalavis-abonnent av tre.

Steg 1 - Sett sannsynligheten for lokalavis

\[p=0{,}39\]

39 % abonnerer på lokalavisen.

Steg 2 - Bruk binomisk modell

\[P=\binom{3}{1}\cdot 0{,}39\cdot 0{,}61^2\]

Vi velger hvilken av de tre husstandene som abonnerer.

Steg 3 - Regn ut

\[P\approx 0{,}435\]

Det tilsvarer omtrent 43,5 %.

Kontroll (Python)

from math import comb

p_lokalavis = 0.39
p_ikke_lokalavis = 1 - p_lokalavis
antall_husstander = 3
onsket_antall = 1

sannsynlighet = comb(antall_husstander, onsket_antall) * p_lokalavis**onsket_antall * p_ikke_lokalavis**(antall_husstander - onsket_antall)

print("Sannsynlighet for lokalavis:", p_lokalavis)
print("Sannsynlighet for ikke lokalavis:", p_ikke_lokalavis)
print("Sannsynlighet for akkurat én av tre:", sannsynlighet)
print("I prosent:", round(sannsynlighet * 100, 1))

Sannsynlighet for lokalavis: 0.39
Sannsynlighet for ikke lokalavis: 0.61
Sannsynlighet for akkurat én av tre: 0.43535699999999994
I prosent: 43.5

Tolkning

Det er omtrent 44 % sannsynlighet for at akkurat én av tre abonnerer på lokalavisen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke målestokken mellom de to formlike trekantene.

Steg 1 - Finn målestokken

\[\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{20{,}0}{4{,}0}=5\]

Den store trekanten er 5 ganger så stor som den lille.

Steg 2 - Bruk tilsvarende sider

\[DE=5\cdot AC\]

Siden \(DE\) svarer til \(AC\).

Steg 3 - Regn ut

\[DE=5\cdot 2{,}4=12{,}0\]

Lengden må bli større enn \(AC\).

Tolkning

Den store trekanten har tilsvarende sider fem ganger så lange.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at \(BC\) og \(BD\) er tilsvarende sider, og at \(CD=BC+BD\).

Steg 1 - Bruk målestokken

\[BD=5\cdot BC\]

Den store trekanten er fem ganger den lille.

Steg 2 - Bruk hele lengden \(CD\)

\[CD=BC+BD=BC+5BC=6BC\]

Punktene \(C\), \(B\) og \(D\) ligger på samme linje.

Steg 3 - Sett inn \(CD=16{,}8\)

\[6BC=16{,}8\]

Dermed kan vi dele på 6.

Steg 4 - Regn ut

\[BC=2{,}8\]

Dette gir \(BD=14{,}0\), og summen blir \(16{,}8\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at areal vokser med kvadratet av målestokken.

Steg 1 - Målestokken er 5

\[k=5\]

Alle lengder i den store trekanten er 5 ganger tilsvarende lengder i den lille.

Steg 2 - Arealfaktoren

\[k^2=5^2=25\]

Areal skaleres med kvadratet av lengdefaktoren.

Steg 3 - Regn ut arealet

\[A_{BDE}=3{,}3\cdot 25=82{,}5\]

Vi ganger arealet av den lille trekanten med 25.

Tolkning

Den store trekanten har mye større areal fordi både grunnlinje og høyde blir 5 ganger større.

Hva spør oppgaven om? Vi skal legge sammen volumet av sylinderen og volumet av halvkulen.

Steg 1 - Volum av sylinderen

\[V_s=\pi\cdot 2^2\cdot 4=16\pi\]

Sylinderhøyden er 4 dm.

Steg 2 - Volum av halvkulen

\[V_h=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi\cdot 4^3=\dfrac{128}{3}\pi\]

Halvkulen er halvparten av en kule med radius 4 dm.

Steg 3 - Legg sammen

\[V=16\pi+\dfrac{128}{3}\pi=\dfrac{176}{3}\pi\approx 184{,}3\]

Enheten blir kubikkdesimeter.

Kontroll (Python)

from math import pi

radius_sylinder = 2.0
radius_halvkule = 4.0
hoyde_sylinder = radius_halvkule

volum_sylinder = pi * radius_sylinder**2 * hoyde_sylinder
volum_halvkule = 0.5 * (4/3) * pi * radius_halvkule**3
volum_totalt = volum_sylinder + volum_halvkule

print("Volum sylinder i dm^3:", round(volum_sylinder, 2))
print("Volum halvkule i dm^3:", round(volum_halvkule, 2))
print("Totalt volum i dm^3:", round(volum_totalt, 2))

Volum sylinder i dm^3: 50.27
Volum halvkule i dm^3: 134.04
Totalt volum i dm^3: 184.31

Tolkning

Soppen har volum omtrent 184 liter, siden \(1\text{ dm}^3=1\) liter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne omtrent hvor stor synlig overflate som skal males, og deretter dele på dekkevnen.

Steg 1 - Krum overflate av halvkulen

\[A_h=2\pi\cdot 4^2=32\pi\text{ dm}^2\]

En halvkule har krum overflate \(2\pi r^2\).

Steg 2 - Sideflate av sylinderen

\[A_s=2\pi\cdot 2\cdot 4=16\pi\text{ dm}^2\]

Dette er den runde sideflaten.

Steg 3 - Synlig ring under hatten

\[A_r=\pi\cdot 4^2-\pi\cdot 2^2=12\pi\text{ dm}^2\]

Halvkula har større radius enn stammen, så en ringflate under hatten er synlig.

Steg 4 - Total malt flate og maling

\[A=(32\pi+16\pi+12\pi)\text{ dm}^2=60\pi\text{ dm}^2\approx 1{,}885\text{ m}^2\]

\[\dfrac{1{,}885}{6}\approx 0{,}314\]

Vi deler arealet i kvadratmeter på \(6\text{ m}^2\) per liter.

Tolkning

Han trenger litt over 0,3 L maling. I praksis bør han kjøpe minst en liten boks, og gjerne ha litt ekstra.

Hva spør oppgaven om? Vi skal justere husleien fra 2011 til 2012 ved hjelp av konsumprisindeks.

Steg 1 - Bruk KPI-forholdet

\[\text{ny leie}=8000\cdot\dfrac{130{,}4}{128{,}8}\]

Vi bruker indeksen for 2011 sammenliknet med 2010.

Steg 2 - Regn ut

\[8000\cdot\dfrac{130{,}4}{128{,}8}\approx 8099{,}38\]

Dette er før avrunding.

Steg 3 - Rund opp

\[8099{,}38\rightarrow 8100\]

Kontrakten sier at beløpet alltid rundes opp.

Tolkning

Dermed stemmer det at husleien ble 8100 kroner per måned.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne husleie for 2012 og 2013 og legge sammen 24 måneders leie.

Steg 1 - Husleie i 2012

\[12\cdot 8100=97200\]

2012 har 12 måneder med leie 8100 kroner.

Steg 2 - Juster til 2013

\[8100\cdot\dfrac{131{,}4}{130{,}4}\approx 8162{,}12\]

Beløpet rundes opp til 8163 kroner.

Steg 3 - Husleie i 2013

\[12\cdot 8163=97956\]

Dette er totalen for 2013.

Steg 4 - Legg sammen

\[97200+97956=195156\]

Dette dekker januar 2012 til desember 2013.

Kontroll (Python)

import math

leie_2011 = 8000
kpi_2010 = 128.8
kpi_2011 = 130.4
kpi_2012 = 131.4

leie_2012 = math.ceil(leie_2011 * kpi_2011 / kpi_2010)
leie_2013 = math.ceil(leie_2012 * kpi_2012 / kpi_2011)

total_2012 = 12 * leie_2012
total_2013 = 12 * leie_2013
total = total_2012 + total_2013

print("Månedsleie 2012:", leie_2012)
print("Månedsleie 2013:", leie_2013)
print("Husleie i 2012:", total_2012)
print("Husleie i 2013:", total_2013)
print("Til sammen:", total)

Månedsleie 2012: 8100
Månedsleie 2013: 8163
Husleie i 2012: 97200
Husleie i 2013: 97956
Til sammen: 195156

Tolkning

Per betalte litt under 200 000 kroner i husleie i løpet av de to årene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne renters rente i tre år.

Steg 1 - Vekstfaktor

\[1+\dfrac{1{,}75}{100}=1{,}0175\]

Dette er vekstfaktoren per år.

Steg 2 - Tre år

\[75000\cdot 1{,}0175^3\approx 79006{,}81\]

Fra 1. januar 2014 til 1. januar 2017 er det tre renteår.

Kontroll (Python)

startbelop = 75_000
rente = 0.0175
antall_ar = 3

sluttbelop = startbelop * (1 + rente)**antall_ar
rentegevinst = sluttbelop - startbelop

print("Startbeløp:", startbelop)
print("Rente per år:", rente * 100, "%")
print("Antall år:", antall_ar)
print("Beløp 1. januar 2017:", round(sluttbelop, 2))
print("Renter opptjent:", round(rentegevinst, 2))

Startbeløp: 75000
Rente per år: 1.7500000000000002 %
Antall år: 3
Beløp 1. januar 2017: 79006.81
Renter opptjent: 4006.81

Tolkning

Arne har litt over 79 000 kroner på kontoen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne renter på tre innskudd som står inne ulik tid.

Steg 1 - Første innskudd står i tre år

\[25000\cdot 1{,}045^3\]

Innskuddet fra 2014 får rente i 2014, 2015 og 2016.

Steg 2 - Andre og tredje innskudd

\[25000\cdot 1{,}045^2+25000\cdot 1{,}045\]

Innskuddet i 2015 står i to år, og innskuddet i 2016 står i ett år.

Steg 3 - Legg sammen

\[25000\cdot 1{,}045^3+25000\cdot 1{,}045^2+25000\cdot 1{,}045\approx 81954{,}78\]

Dette er beløpet 1. januar 2017.

Kontroll (Python)

innskudd = 25_000
rente = 0.045

forste_innskudd = innskudd * (1 + rente)**3
andre_innskudd = innskudd * (1 + rente)**2
tredje_innskudd = innskudd * (1 + rente)
sluttbelop = forste_innskudd + andre_innskudd + tredje_innskudd

print("Første innskudd etter tre år:", round(forste_innskudd, 2))
print("Andre innskudd etter to år:", round(andre_innskudd, 2))
print("Tredje innskudd etter ett år:", round(tredje_innskudd, 2))
print("Beløp 1. januar 2017:", round(sluttbelop, 2))

Første innskudd etter tre år: 28529.15
Andre innskudd etter to år: 27300.62
Tredje innskudd etter ett år: 26125.0
Beløp 1. januar 2017: 81954.78

Tolkning

Eirik har nesten 82 000 kroner på BSU-kontoen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 20 % av hvert årlige innskudd.

Steg 1 - Skattefradrag per år

\[0{,}20\cdot 25000=5000\]

Hvert år gir innskuddet 5000 kroner i skattefradrag.

Steg 2 - Tre år

\[3\cdot 5000=15000\]

Eirik setter inn penger i 2014, 2015 og 2016.

Tolkning

Skattefradraget gjør BSU-sparingen mye mer lønnsom enn vanlig rente alene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne gevinstene, ikke bare sluttbeløpene.

Steg 1 - Arnes gevinst

\[79006{,}81-75000=4006{,}81\]

Arne tjener renter på høyrentekontoen.

Steg 2 - Eiriks gevinst

\[81954{,}78-75000+15000=21954{,}78\]

Eirik får både renter og skattefradrag.

Steg 3 - Sammenlikn gevinstene

\[\dfrac{21954{,}78-4006{,}81}{4006{,}81}\cdot 100\approx 448\,\%\]

Vi finner hvor mye større Eiriks gevinst er enn Arnes gevinst.

Kontroll (Python)

arne_start = 75_000
arne_slutt = arne_start * 1.0175**3
arne_gevinst = arne_slutt - arne_start

eirik_innskudd_totalt = 75_000
eirik_slutt = 25_000*1.045**3 + 25_000*1.045**2 + 25_000*1.045
skattefradrag = 15_000
eirik_gevinst = eirik_slutt - eirik_innskudd_totalt + skattefradrag

prosent_mer = (eirik_gevinst - arne_gevinst) / arne_gevinst * 100

print("Arnes gevinst:", round(arne_gevinst, 2))
print("Eiriks rentegevinst og skattefradrag:", round(eirik_gevinst, 2))
print("Eirik tjener prosent mer enn Arne:", round(prosent_mer, 1), "%")

Arnes gevinst: 4006.81
Eiriks rentegevinst og skattefradrag: 21954.78
Eirik tjener prosent mer enn Arne: 447.9 %

Tolkning

BSU gir mye større økonomisk gevinst i denne perioden fordi skattefradraget er stort.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at Jensen får en fast pris uansett hvor mange timer han bruker.

Steg 1 - Les av fastprisen fra grafen

Grafen viser for eksempel omtrent \(1000\) kroner per time når Jensen bruker \(28\) timer.

\[\text{fastpris}\approx 28\cdot 1000=28000\]

Timelønn ganger timer gir fastpris.

Steg 2 - Finn timelønn ved 64 timer

\[\dfrac{28000}{64}=437{,}5\]

Den samme fastprisen fordeles på flere timer.

Kontroll (Python)

# Fastpris leses av fra grafen
antall_timer_lest_av = 28
timelonn_lest_av = 1000
fastpris = antall_timer_lest_av * timelonn_lest_av

antall_timer_ny = 64
timelonn_64_timer = fastpris / antall_timer_ny

print("Avlest punkt fra grafen: 28 timer og 1000 kr/time")
print("Fastpris:", fastpris, "kroner")
print("Antall timer:", antall_timer_ny)
print("Timelønn ved 64 timer:", timelonn_64_timer, "kroner per time")

Avlest punkt fra grafen: 28 timer og 1000 kr/time
Fastpris: 28000 kroner
Antall timer: 64
Timelønn ved 64 timer: 437.5 kroner per time

Tolkning

Når han bruker flere timer på samme fastpris, blir timelønnen lavere.