Fullstendig, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser praktisk bruk av digitale kontrollsteg med GeoGebra og Python der det passer.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1Prosent
Oppgave 1
Oppgave:
Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 30 % av sidene i boka.
Hvor mange sider er det i boka?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Skriv 30 % som desimaltall
\[30\,\% = 0{,}30\]
Da kan vi regne med prosent som en vanlig faktor.
Steg 2 — Sett opp sammenhengen
\[0{,}30\cdot x = 150\]
Hele boka er ukjent, derfor kaller vi sidetallet for \(x\).
Steg 3 — Del på prosentfaktoren
\[x=\dfrac{150}{0{,}30}=500\]
Vi deler for å finne 100 % av sidene.
Tolkning
Boka har 500 sider totalt.
Vanlig feil: Å svare 45 sider fordi man tar 30 % av 150, i stedet for å finne hele boka.
Fasit: \(500\) sider.
Del 1 · Oppgave 2Målestokk
Oppgave 2
Oppgave:
På et kart er avstanden fra et punkt \(A\) til et punkt \(B\) \(2{,}0\) cm. I virkeligheten er avstanden i luftlinje mellom disse to punktene 10 km.
Bestem målestokken til kartet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
\(4{,}2\text{ h}=4\text{ h og }\underline{\hspace{2cm}}\text{ min}\)
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Gjør kubikkmeter om til liter
\[1\text{ m}^3=1000\text{ L}\]
Én kubikkmeter inneholder 1000 liter.
Steg 2 — Regn ut liter
\[15\text{ m}^3=15\cdot1000=15\,000\text{ L}\]
Vi multipliserer med 1000.
Steg 3 — Gjør desimaltimer om til minutter
\[0{,}2\text{ h}=0{,}2\cdot60=12\text{ min}\]
Resten etter 4 timer er 0,2 time.
Tolkning
15 kubikkmeter er mye væske, og 0,2 time er 12 minutter.
Vanlig feil: Å tro at 4,2 h betyr 4 timer og 20 minutter.
Fasit: \(15\text{ m}^3=15\,000\text{ L}\) og \(4{,}2\text{ h}=4\text{ h og }12\text{ min}\).
Del 1 · Oppgave 7aLineær modell
Oppgave 7a
Oppgave:
Sammenhengen mellom maksimal puls \(M\) (antall slag/min) og alder \(A\) (antall år) er gitt ved formelen \[M=211-0{,}64\cdot A\] Hva er maksimal puls til en person som er 20 år, ifølge formelen ovenfor?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Sett inn alderen
\[M=211-0{,}64\cdot20\]
Vi bruker \(A=20\) i modellen.
Steg 2 — Regn ut fratrekket
\[0{,}64\cdot20=12{,}8\]
Dette er hvor mye modellen trekker fra 211.
Steg 3 — Finn pulsen
\[M=211-12{,}8=198{,}2\]
Svaret er i slag per minutt.
Tolkning
Modellen anslår maksimal puls til cirka 198 slag per minutt for en 20-åring.
Vanlig feil: Å bruke 20 som prosent i stedet for alder.
Fasit: \(198{,}2\) slag/min, omtrent \(198\) slag/min.
Del 1 · Oppgave 7bLineær modell
Oppgave 7b
Oppgave:
Svein har en maksimal puls på 179 slag/min.
Hvor gammel er Svein ifølge formelen ovenfor?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Sett maksimal puls inn i formelen
\[179=211-0{,}64A\]
Nå er alderen ukjent.
Steg 2 — Flytt ledd
\[0{,}64A=211-179=32\]
Vi samler aldersleddet på én side.
Steg 3 — Del på 0,64
\[A=\dfrac{32}{0{,}64}=50\]
Da finner vi alderen modellen gir.
Tolkning
Ifølge modellen er Svein 50 år.
Vanlig feil: Å regne \(179-211\) og få negativ alder.
Fasit: \(50\) år.
Del 1 · Oppgave 8aSannsynlighet
Oppgave 8a
Oppgave:
Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet. Én av de blå og tre av de svarte buksene passer ikke lenger.
Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene.
Blå bukser
Svarte bukser
Sum
Bukser som passer
3
3
6
Bukser som ikke passer
1
3
4
Sum
4
6
10
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Finn bukser som passer
\[\text{blå som passer}=4-1=3\qquad \text{svarte som passer}=6-3=3\]
Når vi vet at buksen passer, er halvparten av de aktuelle buksene blå.
Vanlig feil: Å bruke \(3/10\), selv om vi vet at buksen passer.
Fasit: \(50\,\%\).
Del 1 · Oppgave 9aLineær funksjon
Oppgave 9a
Oppgave:
Terje kjøper en skål og fyller den med sjokolade. Den rette linjen i koordinatsystemet ovenfor viser sammenhengen mellom antall hektogram sjokolade Terje kjøper, og hvor mye han må betale for skålen med sjokolade.
Hvor mye koster selve skålen? Hvor mye koster 1 hg sjokolade?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Les av startverdien
\[y=150\quad\text{når}\quad x=0\]
Når Terje kjøper 0 hg sjokolade, betaler han bare for skålen.
Steg 2 — Les av et nytt punkt
\[(40,450)\]
Grafen går tydelig gjennom punktet 40 hg og 450 kroner.
Steg 3 — Finn pris per hektogram
\[\dfrac{450-150}{40-0}=\dfrac{300}{40}=7{,}5\]
Stigningstallet er prisøkningen per hg sjokolade.
Tolkning
Terje betaler først 150 kroner for skålen og deretter 7,50 kroner for hvert hektogram sjokolade.
Vanlig feil: Å lese stigningstallet som 150 fordi linjen starter ved 150.
Fasit: Skålen koster \(150\) kroner, og sjokoladen koster \(7{,}50\) kroner per hg.
Del 1 · Oppgave 9bLineær funksjon
Oppgave 9b
Oppgave:
Bestem likningen for den rette linjen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Bruk formen til en rett linje
\[y=ax+b\]
Her er \(a\) stigningstall og \(b\) konstantledd.
Steg 2 — Sett inn verdiene fra grafen
\[a=7{,}5,\qquad b=150\]
Stigningstallet er 7,5 og startverdien er 150.
Steg 3 — Skriv likningen
\[y=7{,}5x+150\]
Dette gir prisen når \(x\) er antall hektogram.
Tolkning
Likningen viser totalpris som skålpris pluss sjokoladepris.
Vanlig feil: Å skrive \(y=150x+7{,}5\), som bytter om startverdi og stigningstall.
Fasit: \(y=7{,}5x+150\).
Del 1 · Oppgave 10Proporsjonalitet
Oppgave 10
Oppgave:
Ovenfor ser du hvor mye tre ulike pakker kjøttdeig koster i en butikk.
Er vekt og pris proporsjonale størrelser her?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Regn pris per gram for 400 g
\[\dfrac{24}{400}=0{,}06\]
Ved proporsjonalitet må pris per gram være lik.
Steg 2 — Regn pris per gram for 500 g
\[\dfrac{30}{500}=0{,}06\]
Denne pakken har samme forhold.
Steg 3 — Regn pris per gram for 600 g
\[\dfrac{36}{600}=0{,}06\]
Denne pakken har også samme forhold.
Steg 4 — Konkluder
\[0{,}06=0{,}06=0{,}06\]
Forholdet mellom pris og vekt er konstant.
Tolkning
Alle pakkene koster 0,06 kroner per gram, altså 60 kroner per kilogram.
Vanlig feil: Å se bare på at prisene øker og ikke kontrollere om forholdet er konstant.
Fasit: Ja, vekt og pris er proporsjonale.
Del 2 — med hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 11Sirkel og overslag
Oppgave 11
Oppgave:
Maria lurer på hvor stor diameter en ball har. Hun måler langs ballens overflate og finner at det er ca. 100 cm fra \(A\) til \(B\). Se bildet ovenfor.
Gjør overslag, og bestem omtrent hvor stor diameter ballen har.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Tolk målingen
\[\text{fra }A\text{ til }B\text{ langs overflaten}\approx\text{en halv omkrets}\]
Målingen går omtrent over halve ballen langs en storsirkel.
Steg 2 — Finn omkretsen
\[O\approx2\cdot100=200\text{ cm}\]
Hele omkretsen er omtrent dobbelt så lang.
Steg 3 — Bruk sammenhengen mellom omkrets og diameter
\[O=\pi d\]
For en sirkel er omkretsen \(\pi\) ganger diameteren.
Steg 4 — Gjør overslag
\[d\approx\dfrac{200}{\pi}\approx64\text{ cm}\]
Dette gir diameteren til ballen.
Tolkning
Ballen har diameter rundt 60-65 cm, som passer for en stor treningsball.
Vanlig feil: Å bruke 100 cm som hele omkretsen i stedet for omtrent halve omkretsen.
Fasit: Omtrent \(64\text{ cm}\).
Del 2 · Oppgave 1aKPI og prosent
Oppgave 1a
Oppgave:
Tabellen ovenfor viser konsumprisindeksen (KPI) hvert år fra 2008 til 2012.
Hvor mange prosent har konsumprisindeksen økt med i denne perioden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Finn økningen i indeks
\[131{,}4-123{,}1=8{,}3\]
Vi sammenlikner 2012 med 2008.
Steg 2 — Del på startverdien
\[\dfrac{8{,}3}{123{,}1}\approx0{,}0674\]
Prosentvis endring regnes alltid i forhold til startverdien.
Steg 3 — Gjør om til prosent
\[0{,}0674\cdot100\,\%\approx6{,}7\,\%\]
Vi multipliserer med 100 for prosent.
Tolkning
Prisnivået økte med cirka 6,7 % fra 2008 til 2012.
Vanlig feil: Å dele på sluttverdien 131,4 i stedet for startverdien 123,1.
Areal av trekant er grunnlinje ganger høyde delt på 2.
Steg 2 — Ganger med seks
\[A=6\cdot3{,}897\approx23{,}38\]
Sekskanten består av seks like trekanter.
Steg 3 — Rund av
\[A\approx23{,}4\text{ cm}^2\]
Arealet bør oppgis med passende antall desimaler.
Tolkning
Hele sekskanten dekker omtrent 23,4 kvadratcentimeter.
Vanlig feil: Å finne arealet av bare én trekant og glemme å gange med 6.
Kontroll
GeoGebra · CAS
1
6*(3*sqrt(3^2-1.5^2)/2)
→ \(23{,}3826859\)
💻 Python
from math import sqrt
side = 3.0
hoyde = sqrt(side**2 - (side / 2)**2)
areal_trekant = side * hoyde / 2
areal_sekskant = 6 * areal_trekant
print("Høyde i trekant:", round(hoyde, 4), "cm")
print("Areal av én trekant:", round(areal_trekant, 4), "cm^2")
print("Areal av sekskant:", round(areal_sekskant, 4), "cm^2")
Fasit: Omtrent \(23{,}4\text{ cm}^2\).
Del 2 · Oppgave 5aFunksjoner
Oppgave 5a
Oppgave:
Funksjonen \(f\) gitt ved \[f(x)=3x^3-48x^2+162x+300\] viser hvor mange tonn fisk \(f(x)\) det var i en fiskebestand \(x\) år etter år 2000.
Tegn grafen til \(f\) for \(0\le x\le10\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Skriv inn funksjonen
\[f(x)=3x^3-48x^2+162x+300\]
Funksjonen legges inn i GeoGebra eller Python.
Steg 2 — Velg riktig intervall
\[0\le x\le10\]
Vi skal bare vise årene 2000 til 2010.
Steg 3 — Tegn grafen
\[\text{grafen stiger først, synker deretter og øker litt mot slutten}\]
Grafen viser utviklingen i fiskebestanden.
Tolkning
Grafen viser at bestanden først øker, deretter faller kraftig, og til slutt øker litt.
Vanlig feil: Å tegne grafen uten å begrense vinduet til \(0\le x\le10\).
Kontroll
GeoGebra · CAS
1
f(x):=3x^3-48x^2+162x+300
→ \(f(x)=3x^3-48x^2+162x+300\)
2
Funksjon(f,0,10)
→ Graf på intervallet \(0\le x\le10\)
💻 Python
import numpy as np
# Lager verdier til grafen på intervallet 0 til 10
xverdier = np.linspace(0, 10, 11)
def f(x):
return 3*x**3 - 48*x**2 + 162*x + 300
print("x f(x)")
for x in xverdier:
print(f"{x:4.1f} {f(x):8.2f}")
print("Grafen tegnes med x fra 0 til 10 og f(x) på y-aksen.")
Fasit: Grafen er tegnet for \(0\le x\le10\).
Del 2 · Oppgave 5bMinimum
Oppgave 5b
Oppgave:
Når var fiskebestanden minst? Hvor mange tonn fisk var det i fiskebestanden da?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Bruk digitalt verktøy til minimum på intervallet
\[0\le x\le10\]
Dette er en tredjegradsfunksjon, så grafverktøy er hensiktsmessig.
Steg 2 — Les av minimumspunktet
\[x\approx8{,}57,\qquad f(x)\approx51{,}25\]
Minimumspunktet ligger inne i intervallet.
Steg 3 — Tolk årstallet
\[2000+8{,}57\approx2008{,}6\]
Det svarer til omtrent midt/slutten av 2008.
Tolkning
Modellen viser en svært lav bestand rundt 8,6 år etter 2000.
Vanlig feil: Å velge laveste punkt bare blant heltallene uten å undersøke grafens bunnpunkt.
Kontroll
GeoGebra · CAS
1
Ekstremalpunkt(f,0,10)
→ \((2{,}10,456{,}30),\ (8{,}57,51{,}25)\)
💻 Python
from sympy import symbols, diff, solve, N
x = symbols('x')
f = 3*x**3 - 48*x**2 + 162*x + 300
kritiske_punkt = solve(diff(f, x), x)
print("Funksjon:", f)
print("Derivert:", diff(f, x))
print("Kritiske punkt og funksjonsverdier:")
for punkt in kritiske_punkt:
print("x =", N(punkt, 6), "f(x) =", N(f.subs(x, punkt), 6))
print("Endepunkter:")
print("f(0) =", f.subs(x, 0))
print("f(10) =", f.subs(x, 10))
print("Minimum på intervallet er ved x ca. 8.565 med f(x) ca. 51.25.")
Fasit: Bestanden var minst omtrent i \(2008\) / \(2009\), med ca. \(51\) tonn fisk.
Del 2 · Oppgave 5cSkjæringspunkt
Oppgave 5c
Oppgave:
Bestem skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og linjen med likning \(y=200\). Hva forteller koordinatene til dette punktet om fiskebestanden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Sett funksjonen lik 200
\[3x^3-48x^2+162x+300=200\]
Skjæringspunktet med linjen \(y=200\) finnes når funksjonsverdien er 200.
Steg 2 — Løs digitalt i intervallet
\[x\approx5{,}91\]
Det relevante skjæringspunktet i intervallet \(0\le x\le10\) er dette.
Steg 3 — Finn y-verdien
\[y=200\]
Linjen har fast y-verdi 200.
Tolkning
Fiskebestanden var 200 tonn omtrent 5,9 år etter 2000, altså sent i 2005 eller tidlig i 2006.
Vanlig feil: Å ta med løsninger utenfor det aktuelle intervallet.
Kontroll
GeoGebra · CAS
1
Skjæring(f,y=200)
→ \((5{,}91,200)\) i intervallet \(0\le x\le10\)
💻 Python
from sympy import symbols, nroots
x = symbols('x')
f = 3*x**3 - 48*x**2 + 162*x + 300
likning = f - 200
losninger = nroots(likning)
print("Løser f(x) = 200")
print("Likning:", likning, "= 0")
print("Alle numeriske løsninger:")
for losning in losninger:
print(losning)
print("Relevant løsning i intervallet 0 <= x <= 10 er x ≈ 5.9116.")
print("Skjæringspunkt: (5.9116, 200)")
Fasit: Skjæringspunktet er omtrent \((5{,}91,200)\).
Del 2 · Oppgave 5dGjennomsnittlig endring
Oppgave 5d
Oppgave:
Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i fiskebestanden per år i perioden 1. januar 2003 – 1. januar 2007?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Jonny er rørlegger. Han har en timelønn på 215 kroner. Jonny betaler 2 % av bruttolønna til en pensjonskasse. I tillegg betaler han hver måned 250 kroner i fagforeningskontingent. En måned arbeidet Jonny 150 timer.
Hvor mye betalte Jonny til pensjonskassen denne måneden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
Steg 1 — Finn bruttolønna
\[215\cdot150=32\,250\]
Bruttolønn er timelønn ganger antall timer.
Steg 2 — Finn 2 % av bruttolønna
\[0{,}02\cdot32\,250=645\]
Pensjonsinnskuddet er 2 % av bruttolønna.
Steg 3 — Oppgi med kroner
\[645\text{ kroner}\]
Dette er beløpet han betaler til pensjonskassen.
Tolkning
Jonny betalte 645 kroner til pensjonskassen denne måneden.
Vanlig feil: Å ta 2 % av nettolønn i stedet for bruttolønn.
Tore har laget en stor modell av en kuleis. Modellen har tilnærmet form som en kjegle med en halvkule i enden. Toppen av kjeglen har radius \(0{,}60\) m, og modellen er \(3{,}2\) m lang. Se skissen ovenfor.
Regn ut volumet av modellen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret med praktisk regning og kontrollere at enhetene og størrelsene er rimelige.
