Vi multipliserer med 3,6 når vi går fra m/s til km/h.
Tolkning
Alle tre svarene beskriver samme størrelse, bare med andre enheter.
Vanlig feil: Å skrive \(0{,}02\) m i stedet for \(0{,}020\text{ m}^3\).
Fasit: \(20\text{ L}=0{,}020\text{ m}^3\), \(4{,}4\text{ h}=4\text{ h og }24\text{ min}\), og \(200\text{ m/s}=720\text{ km/h}\).
Del 1 · Oppgave 5Prosentpoeng og prosent
Oppgave 5
Oppgave:
Ved forrige valg fikk et parti 40 % av stemmene i en kommune. Partiet har etter valget økt oppslutningen med to prosentpoeng ifølge en meningsmåling.
Hvor mange prosent har økningen vært på?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom prosentpoeng og prosentvis økning.
Steg 1 — Finn ny oppslutning
\[40\,\%+2\text{ prosentpoeng}=42\,\%\]
Prosentpoeng legges direkte til prosenttallet.
Steg 2 — Finn økningen i forhold til startverdien
\[\dfrac{2}{40}=0{,}05\]
Den faktiske økningen sammenliknes med 40 prosent.
Steg 3 — Gjør om til prosent
\[0{,}05\cdot 100\,\%=5\,\%\]
To prosentpoeng av 40 prosent er fem prosent.
Tolkning
Oppslutningen steg fra 40 % til 42 %, men den relative økningen var 5 %.
Vanlig feil: Å svare 2 % når oppgaven spør om prosentvis økning.
Fasit: Økningen har vært \(5\,\%\).
Del 1 · Oppgave 6Økonomi og indeks
Oppgave 6
Oppgave:
Eli hadde en nominell lønn på 500 000 kroner i basisåret. Et annet år var konsumprisindeksen 120.
Hvor mye måtte Eli ha tjent dette året dersom hun skulle hatt samme kjøpekraft som i basisåret?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal justere lønnen etter konsumprisindeksen.
Steg 1 — Tolk indeksen
\[120=120\,\%\text{ av basisåret}\]
Basisåret har indeks 100.
Steg 2 — Multipliser med indeksfaktoren
\[500000\cdot \dfrac{120}{100}=600000\]
Samme kjøpekraft krever at lønnen følger prisnivået.
Steg 3 — Kontroller økningen
\[600000-500000=100000\]
Dette er en økning på 20 %, som passer med indeks 120.
Tolkning
Eli måtte ha tjent mer nominelt for å kunne kjøpe like mye som i basisåret.
Vanlig feil: Å legge til 120 % i stedet for å multiplisere med \(1{,}20\).
Fasit: Eli måtte ha tjent \(600000\) kroner.
Del 1 · Oppgave 7aSannsynlighet
Oppgave 7a
Oppgave:
I klasse 1A er det 25 elever. 12 av elevene har valgt internasjonal engelsk neste skoleår. 14 av elevene har valgt sosialkunnskap. 4 elever har verken valgt internasjonal engelsk eller sosialkunnskap.
Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal organisere overlappet mellom to fagvalg.
Steg 1 — Finn hvor mange som har valgt minst ett av fagene
\[25-4=21\]
Fire elever har ingen av fagene.
Steg 2 — Finn overlappet
\[12+14-21=5\]
De fem elevene er telt dobbelt når vi legger sammen 12 og 14.
Steg 3 — Finn bare ett fag
\[12-5=7\qquad 14-5=9\]
Det er 7 med bare internasjonal engelsk og 9 med bare sosialkunnskap.
Tolkning
Tabellen viser alle 25 elevene én gang.
Vanlig feil: Å glemme de fire som ikke har valgt noen av fagene.
Sosialkunnskap
Ikke sosialkunnskap
Sum
Internasjonal engelsk
5
7
12
Ikke internasjonal engelsk
9
4
13
Sum
14
11
25
Fasit: Krysstabellen er \(5\), \(7\), \(9\), \(4\) i de fire indre rutene.
Del 1 · Oppgave 7bSannsynlighet
Oppgave 7b
Oppgave:
Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. Bestem sannsynligheten for at eleven har valgt både internasjonal engelsk og sosialkunnskap.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for overlappet.
Steg 1 — Bruk antallet i begge fag
\[5\]
Fra tabellen ser vi at 5 elever har valgt begge fag.
Steg 2 — Del på totalt antall elever
\[\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0{,}20\]
Vi velger blant alle 25 elever.
Tolkning
Én av fem elever i klassen har valgt begge fag.
Vanlig feil: Å dele på 14 i denne deloppgaven. Her velges eleven fra hele klassen.
Fasit: Sannsynligheten er \(\dfrac{1}{5}=20\,\%\).
Del 1 · Oppgave 7cBetinget sannsynlighet
Oppgave 7c
Oppgave:
Vi velger tilfeldig en elev som har valgt sosialkunnskap. Bestem sannsynligheten for at eleven også har valgt internasjonal engelsk.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Nå vet vi at eleven har valgt sosialkunnskap, så utvalget er mindre.
Steg 1 — Finn antall elever med sosialkunnskap
\[14\]
Vi skal bare se på disse 14 elevene.
Steg 2 — Finn hvor mange av disse som også har internasjonal engelsk
\[5\]
Dette er overlappet i tabellen.
Steg 3 — Regn sannsynligheten
\[\dfrac{5}{14}pprox 0{,}357\]
Vi deler på 14 fordi sosialkunnskap allerede er gitt.
Tolkning
Blant elevene med sosialkunnskap har omtrent 35,7 % også valgt internasjonal engelsk.
Vanlig feil: Å bruke \(25\) som nevner selv om oppgaven sier at eleven har valgt sosialkunnskap.
Fasit: Sannsynligheten er \(\dfrac{5}{14}pprox 35{,}7\,\%\).
Del 1 · Oppgave 8Valuta
Oppgave 8
Oppgave:
Mike fra England og Arne fra Norge møttes i Litauen. Arne sier: Når jeg skal regne om et beløp fra litauiske litas til norske kroner, multipliserer jeg med 2,25. Mike sier: Når jeg skal regne om et beløp fra litauiske litas til pund, dividerer jeg med 4.
Bruk Arnes og Mikes regneregler til å finne ut hvor mange norske kroner et pund svarte til.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne kursen fra pund til norske kroner via litauiske litas.
Steg 1 — Tolk Mikes regel
\[\text{pund}=\dfrac{\text{litas}}{4}\]
Det betyr at 4 litas tilsvarer 1 pund.
Steg 2 — Bruk Arnes regel
\[4\cdot 2{,}25=9{,}00\]
Hver litas tilsvarer 2,25 norske kroner.
Tolkning
Ett pund svarte til 9 norske kroner etter reglene i oppgaven.
Vanlig feil: Å dividere med 2,25 i stedet for å multiplisere fra litas til norske kroner.
Fasit: \(1\) pund svarte til \(9{,}00\) norske kroner.
Del 1 · Oppgave 9Geometri
Oppgave 9
Oppgave:
Gjør beregninger og avgjør om påstandene nedenfor er riktige.
a) \(ngle C=83{,}6^\circ\)
b) Arealet av \(\triangle ABC\) er mindre enn \(20\text{ cm}^2\)
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere to påstander om trekanten.
Vanlig feil: Å bruke 6 cm som høyde. Sidekanten er ikke høyden.
Fasit: a) Riktig. b) Riktig, fordi arealet er omtrent \(17{,}9\text{ cm}^2\).
Del 1 · Oppgave 10aLineær funksjon
Oppgave 10a
Oppgave:
Tabellen viser sammenhengen mellom hvor mye smågodt Stian fyller i et påskeegg, og hvor mye han må betale.
Antall hektogram smågodt
3
5
10
Pris for påskeegg med smågodt (kroner)
48
60
90
Tegn et koordinatsystem med hektogram langs \(x\)-aksen og kroner langs \(y\)-aksen. Marker verdiene fra tabellen som punkter i koordinatsystemet, og tegn en rett linje som går gjennom punktene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne punktene og se at de ligger på en rett linje.
Steg 1 — Marker punktene
\[(3,48),\quad (5,60),\quad (10,90)\]
Førstekoordinaten er hektogram, og andrekoordinaten er kroner.
Steg 2 — Tegn linjen
Punktene ligger på samme rette linje.
Linjen viser at prisen øker med samme beløp per hektogram.
Tolkning
Grafen kan brukes til å lese av pris og mengde smågodt.
Vanlig feil: Å bytte om aksene slik at kroner kommer på \(x\)-aksen.
Fasit: Punktene \((3,48)\), \((5,60)\) og \((10,90)\) ligger på en rett linje.
Del 2 — med hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 10bLineær funksjon
Oppgave 10b
Oppgave:
Bruk linjen i a) til å bestemme prisen for det tomme påskeegget og prisen per hektogram smågodt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstall og konstantledd.
Steg 1 — Finn prisøkning per hektogram
\[\dfrac{60-48}{5-3}=\dfrac{12}{2}=6\]
Prisen øker med 6 kroner per hektogram.
Steg 2 — Finn prisen uten smågodt
\[48-3\cdot 6=30\]
Vi trekker fra prisen for 3 hektogram smågodt.
Steg 3 — Skriv modellen
\[P(x)=6x+30\]
Her er 30 kroner prisen for det tomme egget.
Tolkning
Påskeegget koster 30 kroner tomt, og smågodtet koster 6 kroner per hektogram.
Vanlig feil: Å tro at 48 kroner er prisen for det tomme egget.
Fasit: Det tomme påskeegget koster \(30\) kroner, og smågodtet koster \(6\) kroner per hektogram.
Del 1 · Oppgave 10cLineær funksjon
Oppgave 10c
Oppgave:
Hvor mye smågodt er det i et påskeegg som koster 81 kroner?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\) når prisen er 81 kroner.
Steg 1 — Sett modellen lik 81
\[6x+30=81\]
Prisen består av tomt egg og smågodt.
Steg 2 — Trekk fra 30
\[6x=51\]
Da står bare prisen for smågodtet igjen.
Steg 3 — Del på 6
\[x=\dfrac{51}{6}=8{,}5\]
Dette er antall hektogram.
Tolkning
Et påskeegg til 81 kroner inneholder 8,5 hektogram smågodt.
Vanlig feil: Å dele 81 direkte på 6 uten å trekke fra prisen for det tomme egget.
Fasit: Det er \(8{,}5\) hektogram smågodt i egget.
Del 2 · Oppgave 1Lønn og skatt
Oppgave 1
Oppgave:
Sindre er lærling. Han har en timelønn på 90 kroner. Ved overtid får han et tillegg på 60 %. Sindre betaler 18 % skatt av alt han tjener.
En måned arbeidet Sindre 160 timer. 10 av disse timene var overtid.
Hvor mye betalte Sindre i skatt denne måneden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne brutto lønn med overtidsbetaling og deretter beregne 18 % skatt.
Steg 1 — Finn ordinære timer
\[160-10=150\]
Ti av timene er overtid, resten er ordinære timer.
Steg 2 — Finn overtidslønn per time
\[90\cdot 1{,}60=144\]
Et tillegg på 60 % gir vekstfaktor 1,60.
Steg 3 — Finn bruttolønn
\[150\cdot 90+10\cdot 144=14940\]
Vi legger sammen ordinær lønn og overtidslønn.
Steg 4 — Finn skatt
\[14940\cdot 0{,}18=2689{,}20\]
Skatten er 18 % av alt han tjener.
Tolkning
Sindre betalte 2689,20 kroner i skatt denne måneden.
Vanlig feil: Å regne 60 % tillegg på alle 160 timene.
Startbeløp: 12000 kr
Rente per år: 4.5 %
Vekstfaktor: 1.045
Beløp etter 15 år: 23223.39 kr
Fasit: Hun vil ha omtrent \(23223{,}39\) kroner på kontoen.
Del 2 · Oppgave 3aGeometri og areal
Oppgave 3a
Oppgave:
Svein skal bygge hytte. Han skal lage grunnmur og gulv av betong. Se figuren nedenfor. Det mørkeblå området er grunnmuren. Denne skal være 0,25 m bred.
Bestem arealet av det lyseblå og av det mørkeblå området på figuren.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne arealet inni grunnmuren og arealet av selve grunnmuren.
Steg 1 — Finn ytre areal
\[14\cdot 7+4\cdot 1=102\]
Figuren kan deles i et rektangel og et lite rektangel på toppen.
Fasit: Verdien har økt med omtrent \(158{,}7\,\%\).
Del 2 · Oppgave 4bIndeks
Oppgave 4b
Oppgave:
Familien Hansen kjøpte en enebolig for 1 700 000 kroner i år 2000. Hvor mye ville en tilsvarende bolig kostet i 2006 dersom prisen hadde fulgt indeksen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke indeks 100 i 2000 og indeks 139,7 i 2006.
Pris i 2000: 1700000 kr
Indeks 2000: 100.0
Indeks 2006: 139.7
Beregnet pris i 2006: 2374900 kr
Fasit: Boligen ville kostet omtrent \(2374900\) kroner.
Del 2 · Oppgave 4cIndeks og realverdi
Oppgave 4c
Oppgave:
I 2010 solgte familien Hansen boligen for 3 400 000 kroner. Sønnen i huset mente at de da hadde tjent 1 700 000 kroner på salget av huset, mens faren påsto at de egentlig ikke hadde tjent mer enn ca. 400 000 kroner på salget.
Gjør beregninger og forklar hvordan faren har kommet fram til dette.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare forskjellen mellom nominell gevinst og gevinst justert for prisstigning.
Steg 1 — Finn hva kjøpesummen tilsvarer i 2010
\[1700000\cdot \dfrac{177{,}2}{100}=3012400\]
Indeksen viser hva samme bolig omtrent ville kostet i 2010.
Steg 2 — Sammenlikn med salgsprisen
\[3400000-3012400=387600\]
Dette er gevinsten utover prisstigningen i markedet.
Steg 3 — Avrund
\[387600pprox 400000\]
Faren avrunder til omtrent 400 000 kroner.
Tolkning
Sønnen ser på nominell gevinst, mens faren sammenlikner med indeksjustert verdi.
Vanlig feil: Å blande nominell gevinst og realgevinst.
Fasit: Faren har indeksjustert kjøpesummen og fått en gevinst på omtrent \(400000\) kroner.
Del 2 · Oppgave 5aSannsynlighet
Oppgave 5a
Oppgave:
En dag fikk elevene ved en skole servert lunsj. De fikk velge mellom pizza og pølser. \(\dfrac{3}{4}\) av elevene valgte pizza. Resten valgte pølser. I tillegg fikk alle tilbud om salat. Halvparten av elevene som valgte pizza, ønsket også salat, mens bare \(\dfrac{1}{5}\) av elevene som valgte pølser, ønsket salat.
Vi velger tilfeldig en elev ved skolen. Bestem sannsynligheten for at eleven valgte pølser, men ikke ønsket salat.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen som valgte pølser og samtidig ikke ønsket salat.
Steg 1 — Finn andelen som valgte pølser
\[1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\]
Resten av elevene valgte pølser.
Steg 2 — Finn andelen pølseelever uten salat
\[1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\]
Hvis \(\dfrac{1}{5}\) ønsket salat, ønsket \(\dfrac{4}{5}\) ikke salat.
Samlet andel salat: 17/40
Samlet andel salat i prosent: 42.5 %
Antall elever som ønsket salat: 85
Fasit: \(85\) elever ønsket salat. Sannsynligheten er \(\dfrac{17}{40}=42{,}5\,\%\).
Del 2 · Oppgave 6aAndregradsfunksjon
Oppgave 6a
Oppgave:
Frank deltar i et friidrettsmesterskap. Han kaster et spyd. Grafen til funksjonen \(f\) gitt ved
\[f(x)=-0{,}01x^2+0{,}85x+2{,}20\]
beskriver banen spydet følger gjennom luften. Her er \(x\) meter målt langs bakken fra stedet hvor Frank står, og \(f(x)\) meter er høyden spydet har over bakken.
Tegn grafen til \(f\) for \(x\ge 0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en parabel som viser spydets bane.
Steg 1 — Legg inn funksjonen
\[f(x)=-0{,}01x^2+0{,}85x+2{,}20\]
Dette er en andregradsfunksjon med negativt \(x^2\)-ledd.
Steg 2 — Velg passende område
\[0\le x\le 90\]
Grafen er relevant fra kaststedet til spydet treffer bakken.
Steg 3 — Tegn grafen
Grafen starter ved \(2{,}20\) m, går opp til et toppunkt og ned til bakken.
Dette passer med en spydkastbane.
Tolkning
Grafen viser høyden til spydet ved ulike avstander fra Frank.
Vanlig feil: Å tegne grafen også for negative \(x\)-verdier, selv om \(x\) er avstand langs bakken.
Kontroll (GeoGebra / Python)
GeoGebra · CAS
1
f(x) := -0.01x^2 + 0.85x + 2.20
→ \(f(x)=-0{,}01x^2+0{,}85x+2{,}20\)
2
Funksjon(f, 0, 90)
→ graf for \(0\le x\le 90\)
Python
# Tegner punkter for spydkastbanen
def f(x):
return -0.01*x**2 + 0.85*x + 2.20
print("x-verdi | høyde f(x)")
print("--------------------")
for x in [0, 20, 40, 60, 80, 87.5]:
print(f"{x:6.1f} | {f(x):10.2f}")
Fasit: Grafen er en nedovervendt parabel for \(x\ge 0\), med start omtrent \((0,2{,}20)\) og treffpunkt omtrent \((87{,}5,0)\).
Del 2 · Oppgave 6bAndregradsfunksjon
Oppgave 6b
Oppgave:
Bestem skjæringspunktene mellom grafen til \(f\) og aksene. Bestem toppunktet på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæring med aksene og høyeste punkt på grafen.
Steg 1 — Skjæring med \(y\)-aksen
\[f(0)=2{,}20\]
Dette gir punktet \((0,2{,}20)\).
Steg 2 — Skjæring med \(x\)-aksen
\[-0{,}01x^2+0{,}85x+2{,}20=0\]
Digital løsning gir \(xpprox -2{,}51\) og \(xpprox 87{,}51\). Bare positiv verdi er praktisk relevant.
Steg 3 — Finn toppunktets \(x\)-verdi
\[x=\dfrac{-0{,}85}{2\cdot (-0{,}01)}=42{,}5\]
Toppunktet ligger på symmetrilinjen.
Steg 4 — Finn toppunktets høyde
\[f(42{,}5)=20{,}2625pprox 20{,}3\]
Dette er maksimal høyde.
Tolkning
Spydet starter 2,20 m over bakken, treffer bakken etter omtrent 87,5 m og er høyest etter 42,5 m.
Vanlig feil: Å bruke det negative nullpunktet som fysisk svar.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Løs(-0.01x^2 + 0.85x + 2.20 = 0)
→ \(xpprox -2{,}51\lor xpprox 87{,}51\)
2
Ekstremalpunkt(-0.01x^2 + 0.85x + 2.20)
→ \((42{,}5,20{,}26)\)
Python
# Skjæringspunkter og toppunkt for spydkastbanen
from sympy import symbols, solve, Eq
x = symbols('x')
f = -0.01*x**2 + 0.85*x + 2.20
nullpunkter = solve(Eq(f, 0), x)
y_skjaring = f.subs(x, 0)
topp_x = -0.85/(2*(-0.01))
topp_y = f.subs(x, topp_x)
print("Skjæring med y-aksen: (0,", round(float(y_skjaring), 2), ")")
print("Nullpunkter:")
for punkt in nullpunkter:
print("x =", round(float(punkt), 2))
print("Toppunkt: (", round(float(topp_x), 2), ",", round(float(topp_y), 2), ")")
Skjæring med y-aksen: (0, 2.2 )
Nullpunkter:
x = -2.51
x = 87.51
Toppunkt: ( 42.5 , 20.26 )
Fasit: Skjæring med \(y\)-aksen: \((0,2{,}20)\). Praktisk skjæring med \(x\)-aksen: \((87{,}51,0)\). Toppunkt: omtrent \((42{,}5,20{,}3)\).
Del 2 · Oppgave 6cModelltolkning
Oppgave 6c
Oppgave:
Hva forteller svarene i b) om spydkastet?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke matematiske punkter i en praktisk situasjon.
Steg 1 — Tolk \(y\)-skjæringen
\[(0,2{,}20)\]
Spydet er 2,20 meter over bakken når det slippes.
Steg 2 — Tolk det positive nullpunktet
\[(87{,}51,0)\]
Spydet treffer bakken omtrent 87,5 meter fra Frank.
Steg 3 — Tolk toppunktet
\[(42{,}5,20{,}3)\]
Spydet er høyest etter 42,5 meter og maksimal høyde er omtrent 20,3 meter.
Tolkning
Modellen beskriver både utgangshøyde, kastlengde og maksimal høyde.
Vanlig feil: Å tolke det negative nullpunktet som en virkelig avstand.
Fasit: Spydet slippes fra \(2{,}20\) m høyde, når høyest omtrent \(20{,}3\) m, og lander omtrent \(87{,}5\) m fra Frank.
Del 2 · Oppgave 7aKjegle og Pytagoras
Oppgave 7a
Oppgave:
Til venstre i oppgaven ser du et glass med stett. Vi regner at den delen av glasset som fylles med drikke, har form som en kjegle. Diameteren i toppen av kjeglen er 9,0 cm, og sidekantene er 6,0 cm.
Bestem høyden i kjeglen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne høyden i en kjegle der sidekanten og radiusen er kjent.
Steg 1 — Finn radiusen
\[r=\dfrac{9{,}0}{2}=4{,}5\text{ cm}\]
Radius er halvparten av diameteren.
Steg 2 — Bruk Pytagoras
\[h^2+4{,}5^2=6{,}0^2\]
Høyden, radiusen og sidekanten danner en rettvinklet trekant.
Vanlig feil: Å glemme å dele på 3 i kjegleformelen.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
pi*4.5^2*sqrt(6^2-4.5^2)/3
→ \(84{,}16\)
2
pi*4.5^2*sqrt(6^2-4.5^2)/30
→ \(8{,}42\)
Python
# Volum av glasset, modellert som en kjegle
from math import sqrt, pi
diameter = 9.0
radius = diameter / 2
sidekant = 6.0
hoyde = sqrt(sidekant**2 - radius**2)
volum_cm3 = pi * radius**2 * hoyde / 3
volum_cl = volum_cm3 / 10
print("Radius:", radius, "cm")
print("Høyde:", round(hoyde, 2), "cm")
print("Volum:", round(volum_cm3, 2), "cm^3")
print("Volum:", round(volum_cl, 2), "cL")
Radius: 4.5 cm
Høyde: 3.97 cm
Volum: 84.16 cm^3
Volum: 8.42 cL
Fasit: Glasset rommer omtrent \(8{,}4\text{ cL}\).
Del 2 · Oppgave 8aFart, vei og tid
Oppgave 8a
Oppgave:
Per og Kari skal ut og reise. Per skal kjøre en strekning på 300 km med bil. Kari skal reise samme strekning. Hun tar buss første del av turen og deretter tog.
Per starter klokka 10.00 og holder en gjennomsnittsfart på 60 km/h.
Karis buss går klokka 10.30 og holder en gjennomsnittsfart på 50 km/h. Etter 100 km skifter Kari til tog. Hun må vente 15 minutter på toget. Toget har en gjennomsnittsfart på 100 km/h.
Vis at Kari når først fram.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne ankomsttidene til Per og Kari.
Selv om Kari starter senere og venter på toget, er toget raskt nok til at hun kommer først.
Vanlig feil: Å glemme Karis ventetid på 15 minutter.
Kontroll (Python)
GeoGebra · CAS
1
300/60
→ \(5\)
2
2 + 0.25 + 2
→ \(4{,}25\) timer etter 10.30
Python
# Sammenlikner ankomsttidene til Per og Kari
per_strekning = 300
per_fart = 60
per_start = 10.00
kari_buss_strekning = 100
kari_buss_fart = 50
kari_start = 10.50 # 10.30 skrevet som klokkeslett brukes ikke direkte videre
ventetid = 15/60
kari_tog_strekning = 200
kari_tog_fart = 100
per_reisetid = per_strekning / per_fart
kari_busstid = kari_buss_strekning / kari_buss_fart
kari_togtid = kari_tog_strekning / kari_tog_fart
kari_total_fra_1030 = kari_busstid + ventetid + kari_togtid
print("Pers reisetid:", per_reisetid, "timer")
print("Per kommer fram kl. 15.00")
print("Karis busstid:", kari_busstid, "timer")
print("Karis ventetid:", ventetid, "timer")
print("Karis togtid:", kari_togtid, "timer")
print("Kari kommer fram kl. 14.45")
Pers reisetid: 5.0 timer
Per kommer fram kl. 15.00
Karis busstid: 2.0 timer
Karis ventetid: 0.25 timer
Karis togtid: 2.0 timer
Kari kommer fram kl. 14.45
Fasit: Kari når fram først, kl. 14.45. Per kommer fram kl. 15.00.
Del 2 · Oppgave 8bFart, vei og tid
Oppgave 8b
Oppgave:
Hvor langt vil Per ha kjørt når Kari går på toget? Når tar toget igjen bilen til Per?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne Pers posisjon når toget starter, og deretter når toget tar igjen bilen.
Steg 1 — Finn tidspunktet Kari går på toget
Bussen bruker 2 timer fra 10.30, og Kari venter 15 minutter.
Toget starter 65 km bak bilen og tar inn 40 km per time.
Steg 5 — Gjør tiden om til klokkeslett
\[1{,}625\text{ h}=1\text{ h }37\text{ min }30\text{ s}\]
12.45 pluss 1 time 37 minutter 30 sekunder blir 14.22.30.
Tolkning
Toget tar igjen bilen før begge er framme.
Vanlig feil: Å bruke 100 km/h alene i stedet for relativ fart \(100-60\).
Kontroll (Python)
GeoGebra · CAS
1
(165-100)/(100-60)
→ \(1{,}625\)
Python
# Når tar toget igjen bilen?
per_fart = 60
kari_tog_fart = 100
per_tid_til_togstart = 2 + 45/60
per_posisjon_togstart = per_fart * per_tid_til_togstart
kari_posisjon_togstart = 100
avstand_mellom = per_posisjon_togstart - kari_posisjon_togstart
relativ_fart = kari_tog_fart - per_fart
tid_til_igjen = avstand_mellom / relativ_fart
minutter = tid_til_igjen * 60
print("Per har kjørt:", per_posisjon_togstart, "km")
print("Avstand mellom tog og bil ved togstart:", avstand_mellom, "km")
print("Relativ fart:", relativ_fart, "km/h")
print("Tid til toget tar igjen bilen:", tid_til_igjen, "timer")
print("Tid i minutter:", minutter, "min")
print("Klokkeslett: ca. 14.22.30")
Per har kjørt: 165.0 km
Avstand mellom tog og bil ved togstart: 65.0 km
Relativ fart: 40 km/h
Tid til toget tar igjen bilen: 1.625 timer
Tid i minutter: 97.5 min
Klokkeslett: ca. 14.22.30
Fasit: Per har kjørt \(165\) km når Kari går på toget. Toget tar igjen bilen omtrent kl. 14.22.30.
Del 2 · Oppgave 8cGjennomsnittsfart
Oppgave 8c
Oppgave:
Hvilken gjennomsnittsfart må Per holde hvis han skal nå fram samtidig med Kari?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne farten Per må holde for å kjøre 300 km fra 10.00 til 14.45.
Steg 1 — Finn tilgjengelig tid
Fra 10.00 til 14.45 er det 4 timer og 45 minutter.
\[4\text{ h }45\text{ min}=4{,}75\text{ h}\]
Steg 2 — Bruk formelen for fart
\[v=\dfrac{s}{t}\]
Fart er strekning delt på tid.
Steg 3 — Regn ut farten
\[v=\dfrac{300}{4{,}75}pprox 63{,}16\]
Dette er kilometer per time.
Tolkning
Per måtte kjørt litt raskere enn 60 km/h for å komme fram samtidig med Kari.
Vanlig feil: Å bruke 4,45 som desimaltid. 45 minutter er \(0{,}75\) timer, ikke \(0{,}45\) timer.
Kontroll (Python)
GeoGebra · CAS
1
300/4.75
→ \(63{,}16\)
Python
# Farten Per må holde for å komme fram kl. 14.45
strekning = 300
tid_timer = 4 + 45/60
fart = strekning / tid_timer
print("Strekning:", strekning, "km")
print("Tid:", tid_timer, "timer")
print("Nødvendig gjennomsnittsfart:", round(fart, 2), "km/h")
Strekning: 300 km
Tid: 4.75 timer
Nødvendig gjennomsnittsfart: 63.16 km/h
Fasit: Per må holde omtrent \(63{,}2\text{ km/h}\).
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
