Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere oppskriften fra posen til 6 dL havregryn.

Steg 1 — Les forholdet i oppskriften

Oppskriften bruker 5 dL vann til 1,5 dL havregryn.

Det betyr at vannmengden må økes i samme forhold som havregrynmengden.

Steg 2 — Finn skaleringsfaktoren

\[\dfrac{6}{1{,}5}=4\]

Bjørn bruker fire ganger så mye havregryn som i oppskriften.

Steg 3 — Regn ut vannmengden

\[4\cdot 5\text{ dL}=20\text{ dL}=2\text{ L}\]

Vi gjør om fra desiliter til liter til slutt.

Tolkning

Bjørn trenger 2 liter vann for at blandingsforholdet skal bli det samme som på posen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne lengden av den skrå siden i en rettvinklet trekant med kateter 5 m og 6 m.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[AB^2=5^2+6^2\]

Den stiplede linjen er hypotenusen.

Steg 2 — Regn ut kvadratsummen

\[AB^2=25+36=61\]

Vi summerer arealene av kvadratene på katetene.

Steg 3 — Finn lengden og rund opp

\[AB=\sqrt{61}\approx 7{,}81\text{ m}\]

Gjerder selges i hele lengder på 1 m, så Kari må runde opp.

Tolkning

Selv om gjerdet er litt under 8 m, må hun kjøpe 8 ferdige lengder.

Hva spør oppgaven om? Først finner vi prosentvis lønnsøkning. Deretter bruker vi samme vekst på KPI fordi reallønnen er uendret.

Steg 1 — Finn lønnsøkningen i kroner

\[184-160=24\]

Lønnen økte med 24 kroner per time.

Steg 2 — Regn prosentvis økning

\[\dfrac{24}{160}=0{,}15=15\,\%\]

Prosentøkning regnes alltid i forhold til startverdien.

Steg 3 — Finn ny KPI ved samme reallønn

\[100\cdot 1{,}15=115\]

Hvis reallønnen er lik, må prisnivået ha økt like mye som lønnen.

Tolkning

Grete fikk 15 % høyere nominell lønn, men kjøpekraften var uendret dersom prisnivået også steg 15 %.

Hva spør oppgaven om? Vi teller først alle pakker, og bruker sannsynlighet uten tilbakelegging.

Steg 1 — Tell alle pakkene

\[1+2+2+3=8\]

Det er 8 pakker totalt, og 2 av dem er kiwigelé.

Steg 2 — Første pakke er kiwi

\[P(\text{kiwi først})=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\]

Vi har to gunstige pakker av åtte mulige.

Steg 3 — To kiwipakker

\[P(\text{to kiwi})=\dfrac{2}{8}\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{28}\]

Etter første kiwipakke er det én kiwi igjen av sju pakker.

Steg 4 — Én kiwi og én blåbær

\[P=\dfrac{2}{8}\cdot\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{14}\]

Kiwi kan komme først eller sist, derfor tar vi med begge rekkefølger.

Tolkning

Det er størst sannsynlighet for kiwi på første trekk, og minst for å få akkurat to kiwi.

Hva spør oppgaven om? Vi må vurdere om prismet fysisk får plass i sylinderen, ikke bare sammenlikne volum.

Steg 1 — Sjekk om pakken kan stå med høyden opp

\[16\text{ cm}>10\text{ cm}\]

Hvis 16 cm-siden står loddrett, er pakken for høy for boksen.

Steg 2 — Sjekk om 16 cm-siden kan ligge i bunnen

\[16\text{ cm}>12\text{ cm}\]

Diameteren i boksen er bare 12 cm, så en 16 cm lang side får ikke plass i bunnflaten.

Steg 3 — Volumkontroll er ikke nok

\[8\cdot 6\cdot 16=768\text{ cm}^3,\qquad \pi\cdot 6^2\cdot 10\approx 1131\text{ cm}^3\]

Boksen har større volum, men formen og målene hindrer at pakken passer.

Tolkning

Pakken får ikke plass fordi en av sidene er for lang i forhold til både høyden og diameteren i boksen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese startverdi og stigningstall fra grafen.

Steg 1 — Les av startverdien

Grafen går gjennom punktet \((0,50)\).

Det betyr at Ivar får 50 kroner uansett hvor mange kilogram han plukker.

Steg 2 — Les av et annet punkt

Grafen går også omtrent gjennom \((20,150)\).

Da kan vi finne hvor mye lønnen øker per kilogram.

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[\dfrac{150-50}{20-0}=5\]

Lønnen øker med 5 kroner for hvert kilogram moreller.

Tolkning

Ivar får en fast timelønn på 50 kroner pluss 5 kroner per kilogram moreller.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare forskjellen mellom proporsjonal og omvendt proporsjonal sammenheng.

Steg 1 — Proporsjonale størrelser

To størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem er konstant, for eksempel \(y=kx\).

Da øker den ene når den andre øker.

Steg 2 — Omvendt proporsjonale størrelser

To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet er konstant, for eksempel \(xy=k\).

Da minker den ene når den andre øker.

Steg 3 — Bruk arealet 36

\[\text{lengde}\cdot \text{bredde}=36\]

Produktet er konstant, derfor er sammenhengen omvendt proporsjonal.

Tolkning

Når et rektangel med areal 36 blir lengre, må bredden bli mindre.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et trapes som oppfyller to krav: areal 18 cm² og parallelle sider som skiller med 2 cm.

Steg 1 — Velg de parallelle sidene

Vi kan velge sidene 4 cm og 6 cm.

Forskjellen er \(6-4=2\) cm.

Steg 2 — Finn en passende høyde

\[A=\dfrac{(4+6)\cdot h}{2}=5h\]

Formelen for arealet av et trapes bruker gjennomsnittet av de parallelle sidene.

Steg 3 — Sett arealet lik 18

\[5h=18\quad\Rightarrow\quad h=3{,}6\]

Høyden må være 3,6 cm.

Tolkning

Et trapes med parallelle sider 4 cm og 6 cm og høyde 3,6 cm har riktig areal.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen to vanlige nedbetalingsformer.

Steg 1 — Lån 1

Lån 1 har omtrent like store årlige terminbeløp.

Dette kjennetegner et annuitetslån.

Steg 2 — Lån 2

Lån 2 har like store avdrag hvert år, mens rentene går ned.

Dette kjennetegner et serielån.

Steg 3 — Forklar forskjellen

I et annuitetslån er terminbeløpet fast, men renteandelen minker og avdragsandelen øker. I et serielån er avdraget fast, og terminbeløpet synker.

Tolkning

Lånetypene fordeler nedbetalingen forskjellig, selv om rentefoten er lik.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare renteutviklingen i serielånet og summere avdrag og renter.

Steg 1 — Finn fast årlig avdrag

\[\dfrac{100000}{10}=10000\]

Serielånet har samme avdrag hvert år.

Steg 2 — Forklar renteendringen

Restgjelden minker med 10 000 kroner per år.

Rentene er 10 % av restgjelden, og \(10\,\%\) av 10 000 kroner er 1000 kroner.

Steg 3 — Summer rentene

\[10000+9000+8000+\cdots+1000=55000\]

Rentene blir en aritmetisk rekke.

Steg 4 — Finn total tilbakebetaling

\[100000+55000=155000\]

Totalen er lånebeløpet pluss alle renteutgiftene.

Tolkning

Jonas betaler tilbake hele lånet og 55 000 kroner i renter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne totalbetalingene og forklare hvorfor de blir ulike.

Steg 1 — Les av prinsippet for Lån 1

Lån 1 har like terminbeløp på omtrent 16 300 kroner hvert år.

Over 10 år gir det en total på omtrent 163 000 kroner.

Steg 2 — Sammenlikn med Lån 2

\[163000>155000\]

Lån 2 ble regnet til 155 000 kroner i del b.

Steg 3 — Forklar hvorfor Lån 1 blir dyrere

I Lån 1 betaler Jonas mindre avdrag i starten, så restgjelden holder seg høyere lenger.

Da blir renteutgiftene samlet sett større.

Tolkning

Selv med samme rentefot kan betalingsplanen avgjøre hvor dyrt lånet blir.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne diagonalen i et rektangel. Diagonalen er hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[BD^2=7{,}00^2+5{,}00^2\]

Sidene 7,00 m og 5,00 m står vinkelrett på hverandre.

Steg 2 — Regn ut under rottegnet

\[BD^2=49+25=74\]

Summen av kvadratene på sidene gir kvadratet av diagonalen.

Steg 3 — Ta kvadratroten

\[BD=\sqrt{74}\approx 8{,}60\text{ m}\]

Vi runder til to desimaler fordi målene er gitt med to desimaler.

Tolkning

Diagonalen må være omtrent 8,60 m for at grunnflaten skal bli rektangulær med disse sidene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import sqrt

# Sidelengdene i rektangelet
a = 7.00
b = 5.00

# Diagonalen finnes med Pytagoras
diagonal = sqrt(a**2 + b**2)

# Babylonernes tilnærming for sqrt(74)
T = a**2 + b**2
rot_av_naermeste_kvadrattall = 9
babylon = 0.5 * (rot_av_naermeste_kvadrattall + T / rot_av_naermeste_kvadrattall)

print("Pytagoras:")
print(f"BD = sqrt({T:.0f}) = {diagonal:.4f} m")
print("Babylonernes metode:")
print(f"BD ≈ {babylon:.4f} m")
print(f"Forskjell = {abs(babylon - diagonal):.4f} m")

Pytagoras:
BD = sqrt(74) = 8.6023 m
Babylonernes metode:
BD ≈ 8.6111 m
Forskjell = 0.0088 m

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den babylonske tilnærmingen for \(\sqrt{74}\).

Steg 1 — Finn nærmeste kvadrattall

\[74\text{ ligger nærmest }81=9^2\]

Derfor bruker vi tallet 9 i formelen.

Steg 2 — Sett inn i formelen

\[\sqrt{74}\approx \dfrac{1}{2}\left(9+\dfrac{74}{9}\right)\]

Dette er samme metode som i eksemplet i oppgaven.

Steg 3 — Regn ut tilnærmingen

\[\dfrac{1}{2}\left(9+\dfrac{74}{9}\right)=\dfrac{155}{18}\approx 8{,}61\]

Tilnærmingen gir en verdi svært nær den nøyaktige kvadratroten.

Steg 4 — Sammenlikn

\[8{,}61-8{,}60\approx 0{,}01\text{ m}\]

Forskjellen er omtrent én centimeter.

Tolkning

Metoden gir et godt praktisk overslag for diagonalen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import sqrt

# Sidelengdene i rektangelet
a = 7.00
b = 5.00

# Diagonalen finnes med Pytagoras
diagonal = sqrt(a**2 + b**2)

# Babylonernes tilnærming for sqrt(74)
T = a**2 + b**2
rot_av_naermeste_kvadrattall = 9
babylon = 0.5 * (rot_av_naermeste_kvadrattall + T / rot_av_naermeste_kvadrattall)

print("Pytagoras:")
print(f"BD = sqrt({T:.0f}) = {diagonal:.4f} m")
print("Babylonernes metode:")
print(f"BD ≈ {babylon:.4f} m")
print(f"Forskjell = {abs(babylon - diagonal):.4f} m")

Pytagoras:
BD = sqrt(74) = 8.6023 m
Babylonernes metode:
BD ≈ 8.6111 m
Forskjell = 0.0088 m

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne volum per person for de tre kakene.

Steg 1 — Bruk volumformelen for sylinder

\[V=\pi r^2h\]

Alle kakene har høyde 7 cm.

Steg 2 — Regn volum per person

\[\text{liten: }\dfrac{\pi\cdot10^2\cdot7}{10}=70\pi\approx220\]

\[\text{medium: }\dfrac{\pi\cdot13^2\cdot7}{16}\approx232\]

\[\text{stor: }\dfrac{\pi\cdot15^2\cdot7}{25}=63\pi\approx198\]

Vi deler hvert kakevolum på antall personer.

Steg 3 — Sammenlikn tallene

\[232>220>198\]

Medium kake gir størst volum per person.

Tolkning

Hvis målet er mest kake per person, er medium kake best.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import pi, ceil

h = 7
kaker = {
    "liten": {"diameter": 20, "personer": 10},
    "medium": {"diameter": 26, "personer": 16},
    "stor": {"diameter": 30, "personer": 25},
}

print("Kakevolum per person:")
for navn, data in kaker.items():
    r = data["diameter"] / 2
    volum = pi * r**2 * h
    per_person = volum / data["personer"]
    print(f"{navn}: volum = {volum:.1f} cm^3, per person = {per_person:.1f} cm^3")

# Marsipan på stor kake: topp og side, tykkelse 3 mm = 0,3 cm
r = 15
tykkelse = 0.3
overflate = pi * r**2 + 2 * pi * r * h
marsipan_volum = overflate * tykkelse
polse_volum = pi * 2**2 * 20
antall_polser = ceil(marsipan_volum / polse_volum)

print("Marsipan:")
print(f"overflate = {overflate:.1f} cm^2")
print(f"marsipanvolum = {marsipan_volum:.1f} cm^3")
print(f"volum per marsipanpølse = {polse_volum:.1f} cm^3")
print(f"antall pølser = {antall_polser}")

Kakevolum per person:
liten: volum = 2199.1 cm^3, per person = 219.9 cm^3
medium: volum = 3716.3 cm^3, per person = 232.3 cm^3
stor: volum = 4948.0 cm^3, per person = 197.9 cm^3
Marsipan:
overflate = 1366.6 cm^2
marsipanvolum = 410.0 cm^3
volum per marsipanpølse = 251.3 cm^3
antall pølser = 2

Hva spør oppgaven om? Vi skal anslå volumet av marsipanlaget på toppen og rundt siden av den store kaken.

Steg 1 — Finn målene

Den store kaken har radius \(15\text{ cm}\), høyde \(7\text{ cm}\), og marsipantykkelse \(0{,}3\text{ cm}\).

Vi gjør om 3 mm til 0,3 cm.

Steg 2 — Finn arealet som dekkes

\[A=\pi\cdot15^2+2\pi\cdot15\cdot7=435\pi\text{ cm}^2\]

Dette er topparealet pluss sidearealet.

Steg 3 — Multipliser med tykkelsen

\[V\approx435\pi\cdot0{,}3=130{,}5\pi\approx410\text{ cm}^3\]

Et tynt lag kan anslås som areal ganger tykkelse.

Tolkning

Det går med omtrent 410 cm³ marsipan.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import pi, ceil

h = 7
kaker = {
    "liten": {"diameter": 20, "personer": 10},
    "medium": {"diameter": 26, "personer": 16},
    "stor": {"diameter": 30, "personer": 25},
}

print("Kakevolum per person:")
for navn, data in kaker.items():
    r = data["diameter"] / 2
    volum = pi * r**2 * h
    per_person = volum / data["personer"]
    print(f"{navn}: volum = {volum:.1f} cm^3, per person = {per_person:.1f} cm^3")

# Marsipan på stor kake: topp og side, tykkelse 3 mm = 0,3 cm
r = 15
tykkelse = 0.3
overflate = pi * r**2 + 2 * pi * r * h
marsipan_volum = overflate * tykkelse
polse_volum = pi * 2**2 * 20
antall_polser = ceil(marsipan_volum / polse_volum)

print("Marsipan:")
print(f"overflate = {overflate:.1f} cm^2")
print(f"marsipanvolum = {marsipan_volum:.1f} cm^3")
print(f"volum per marsipanpølse = {polse_volum:.1f} cm^3")
print(f"antall pølser = {antall_polser}")

Kakevolum per person:
liten: volum = 2199.1 cm^3, per person = 219.9 cm^3
medium: volum = 3716.3 cm^3, per person = 232.3 cm^3
stor: volum = 4948.0 cm^3, per person = 197.9 cm^3
Marsipan:
overflate = 1366.6 cm^2
marsipanvolum = 410.0 cm^3
volum per marsipanpølse = 251.3 cm^3
antall pølser = 2

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange sylindre med marsipan som trengs for å dekke behovet fra b).

Steg 1 — Finn volumet av én pølse

\[V=\pi\cdot2^2\cdot20=80\pi\approx251\text{ cm}^3\]

Radius er halvparten av diameteren 4 cm.

Steg 2 — Del behovet på volumet per pølse

\[\dfrac{410}{251}\approx1{,}63\]

Dette viser at én pølse ikke er nok.

Steg 3 — Rund opp

\[1{,}63\Rightarrow2\]

Kari må kjøpe hele marsipanpølser.

Tolkning

To pølser gir nok marsipan, med litt til overs.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import pi, ceil

h = 7
kaker = {
    "liten": {"diameter": 20, "personer": 10},
    "medium": {"diameter": 26, "personer": 16},
    "stor": {"diameter": 30, "personer": 25},
}

print("Kakevolum per person:")
for navn, data in kaker.items():
    r = data["diameter"] / 2
    volum = pi * r**2 * h
    per_person = volum / data["personer"]
    print(f"{navn}: volum = {volum:.1f} cm^3, per person = {per_person:.1f} cm^3")

# Marsipan på stor kake: topp og side, tykkelse 3 mm = 0,3 cm
r = 15
tykkelse = 0.3
overflate = pi * r**2 + 2 * pi * r * h
marsipan_volum = overflate * tykkelse
polse_volum = pi * 2**2 * 20
antall_polser = ceil(marsipan_volum / polse_volum)

print("Marsipan:")
print(f"overflate = {overflate:.1f} cm^2")
print(f"marsipanvolum = {marsipan_volum:.1f} cm^3")
print(f"volum per marsipanpølse = {polse_volum:.1f} cm^3")
print(f"antall pølser = {antall_polser}")

Kakevolum per person:
liten: volum = 2199.1 cm^3, per person = 219.9 cm^3
medium: volum = 3716.3 cm^3, per person = 232.3 cm^3
stor: volum = 4948.0 cm^3, per person = 197.9 cm^3
Marsipan:
overflate = 1366.6 cm^2
marsipanvolum = 410.0 cm^3
volum per marsipanpølse = 251.3 cm^3
antall pølser = 2

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skatt og trekke skatten fra personinntekten.

Steg 1 — Erik: skatt

\[0{,}28(409700-72800)+0{,}078\cdot409700=126288{,}60\]

Erik har ikke toppskatt fordi inntekten er lavere enn 456 900 kroner.

Steg 2 — Erik: nettolønn

\[409700-126288{,}60=283411{,}40\]

Nettolønn er inntekt minus skatt.

Steg 3 — Elin: skatt

\[0{,}28(518000-72800)+0{,}078\cdot518000+0{,}09(518000-456900)=170559\]

Elin betaler toppskatt fordi inntekten er over grensen.

Steg 4 — Elin: nettolønn

\[518000-170559=347441\]

Vi trekker samlet skatt fra personinntekten.

Tolkning

Elin tjener mer enn Erik, men betaler også en større del i skatt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def skatt(personinntekt):
    alminnelig = personinntekt - 72800
    inntektsskatt = 0.28 * alminnelig
    trygdeavgift = 0.078 * personinntekt
    toppgrunnlag = max(0, personinntekt - 456900)
    toppskatt = 0.09 * toppgrunnlag
    skatt_totalt = inntektsskatt + trygdeavgift + toppskatt
    nettolonn = personinntekt - skatt_totalt
    return skatt_totalt, nettolonn

for navn, inntekt in [("Erik", 409700), ("Elin", 518000)]:
    total_skatt, netto = skatt(inntekt)
    prosent = total_skatt / inntekt * 100
    etter_tillegg, _ = skatt(inntekt + 20000)
    marginalskatt = (etter_tillegg - total_skatt) / 20000 * 100
    print(f"{navn}:")
    print(f"  skatt = {total_skatt:.2f} kr")
    print(f"  nettolønn = {netto:.2f} kr")
    print(f"  skatt i prosent = {prosent:.2f} %")
    print(f"  skatt av lønnstillegg = {marginalskatt:.1f} %")

lon_2007 = 441300
kpi_2007 = 118.6
kpi_2010 = 128.8
lon_2010 = lon_2007 * kpi_2010 / kpi_2007
print("KPI-justert lønn:")
print(f"{lon_2010:.2f} kr")

Erik:
  skatt = 126288.60 kr
  nettolønn = 283411.40 kr
  skatt i prosent = 30.82 %
  skatt av lønnstillegg = 35.8 %
Elin:
  skatt = 170559.00 kr
  nettolønn = 347441.00 kr
  skatt i prosent = 32.93 %
  skatt av lønnstillegg = 44.8 %
KPI-justert lønn:
479253.29 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette skatten i forhold til personinntekten.

Steg 1 — Erik

\[\dfrac{126288{,}60}{409700}\cdot100\,\%\approx30{,}82\,\%\]

Vi deler skatt på inntekt.

Steg 2 — Elin

\[\dfrac{170559}{518000}\cdot100\,\%\approx32{,}93\,\%\]

Elin får høyere prosent fordi hun betaler toppskatt.

Tolkning

Erik betaler omtrent 31 % av inntekten i skatt, mens Elin betaler omtrent 33 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def skatt(personinntekt):
    alminnelig = personinntekt - 72800
    inntektsskatt = 0.28 * alminnelig
    trygdeavgift = 0.078 * personinntekt
    toppgrunnlag = max(0, personinntekt - 456900)
    toppskatt = 0.09 * toppgrunnlag
    skatt_totalt = inntektsskatt + trygdeavgift + toppskatt
    nettolonn = personinntekt - skatt_totalt
    return skatt_totalt, nettolonn

for navn, inntekt in [("Erik", 409700), ("Elin", 518000)]:
    total_skatt, netto = skatt(inntekt)
    prosent = total_skatt / inntekt * 100
    etter_tillegg, _ = skatt(inntekt + 20000)
    marginalskatt = (etter_tillegg - total_skatt) / 20000 * 100
    print(f"{navn}:")
    print(f"  skatt = {total_skatt:.2f} kr")
    print(f"  nettolønn = {netto:.2f} kr")
    print(f"  skatt i prosent = {prosent:.2f} %")
    print(f"  skatt av lønnstillegg = {marginalskatt:.1f} %")

lon_2007 = 441300
kpi_2007 = 118.6
kpi_2010 = 128.8
lon_2010 = lon_2007 * kpi_2010 / kpi_2007
print("KPI-justert lønn:")
print(f"{lon_2010:.2f} kr")

Erik:
  skatt = 126288.60 kr
  nettolønn = 283411.40 kr
  skatt i prosent = 30.82 %
  skatt av lønnstillegg = 35.8 %
Elin:
  skatt = 170559.00 kr
  nettolønn = 347441.00 kr
  skatt i prosent = 32.93 %
  skatt av lønnstillegg = 44.8 %
KPI-justert lønn:
479253.29 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skatten på akkurat lønnstillegget, ikke gjennomsnittsskatten.

Steg 1 — Erik

\[(0{,}28+0{,}078)\cdot20000=7160\]

Erik betaler inntektsskatt og trygdeavgift av tillegget, men ikke toppskatt.

Steg 2 — Prosent for Erik

\[\dfrac{7160}{20000}\cdot100\,\%=35{,}8\,\%\]

Dette er skatteprosenten på tillegget.

Steg 3 — Elin

\[(0{,}28+0{,}078+0{,}09)\cdot20000=8960\]

Elin betaler også toppskatt av hele tillegget.

Steg 4 — Prosent for Elin

\[\dfrac{8960}{20000}\cdot100\,\%=44{,}8\,\%\]

Dette er større fordi toppskatten kommer i tillegg.

Tolkning

Elin må betale en større andel av lønnstillegget i skatt enn Erik.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def skatt(personinntekt):
    alminnelig = personinntekt - 72800
    inntektsskatt = 0.28 * alminnelig
    trygdeavgift = 0.078 * personinntekt
    toppgrunnlag = max(0, personinntekt - 456900)
    toppskatt = 0.09 * toppgrunnlag
    skatt_totalt = inntektsskatt + trygdeavgift + toppskatt
    nettolonn = personinntekt - skatt_totalt
    return skatt_totalt, nettolonn

for navn, inntekt in [("Erik", 409700), ("Elin", 518000)]:
    total_skatt, netto = skatt(inntekt)
    prosent = total_skatt / inntekt * 100
    etter_tillegg, _ = skatt(inntekt + 20000)
    marginalskatt = (etter_tillegg - total_skatt) / 20000 * 100
    print(f"{navn}:")
    print(f"  skatt = {total_skatt:.2f} kr")
    print(f"  nettolønn = {netto:.2f} kr")
    print(f"  skatt i prosent = {prosent:.2f} %")
    print(f"  skatt av lønnstillegg = {marginalskatt:.1f} %")

lon_2007 = 441300
kpi_2007 = 118.6
kpi_2010 = 128.8
lon_2010 = lon_2007 * kpi_2010 / kpi_2007
print("KPI-justert lønn:")
print(f"{lon_2010:.2f} kr")

Erik:
  skatt = 126288.60 kr
  nettolønn = 283411.40 kr
  skatt i prosent = 30.82 %
  skatt av lønnstillegg = 35.8 %
Elin:
  skatt = 170559.00 kr
  nettolønn = 347441.00 kr
  skatt i prosent = 32.93 %
  skatt av lønnstillegg = 44.8 %
KPI-justert lønn:
479253.29 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal justere lønnen med samme faktor som KPI.

Steg 1 — Sett opp forholdet

\[\text{lønn i 2010}=441300\cdot\dfrac{128{,}8}{118{,}6}\]

Samme reallønn betyr at nominell lønn følger prisnivået.

Steg 2 — Regn ut

\[441300\cdot\dfrac{128{,}8}{118{,}6}\approx479253\]

Vi bruker KPI-forholdet som vekstfaktor.

Steg 3 — Rund av

\[479253\approx479000\]

I praktisk økonomi er det naturlig å runde til nærmeste hele krone eller tusen kroner.

Tolkning

Elin måtte tjent omtrent 479 000 kroner i 2010 for å ha samme kjøpekraft som i 2007.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def skatt(personinntekt):
    alminnelig = personinntekt - 72800
    inntektsskatt = 0.28 * alminnelig
    trygdeavgift = 0.078 * personinntekt
    toppgrunnlag = max(0, personinntekt - 456900)
    toppskatt = 0.09 * toppgrunnlag
    skatt_totalt = inntektsskatt + trygdeavgift + toppskatt
    nettolonn = personinntekt - skatt_totalt
    return skatt_totalt, nettolonn

for navn, inntekt in [("Erik", 409700), ("Elin", 518000)]:
    total_skatt, netto = skatt(inntekt)
    prosent = total_skatt / inntekt * 100
    etter_tillegg, _ = skatt(inntekt + 20000)
    marginalskatt = (etter_tillegg - total_skatt) / 20000 * 100
    print(f"{navn}:")
    print(f"  skatt = {total_skatt:.2f} kr")
    print(f"  nettolønn = {netto:.2f} kr")
    print(f"  skatt i prosent = {prosent:.2f} %")
    print(f"  skatt av lønnstillegg = {marginalskatt:.1f} %")

lon_2007 = 441300
kpi_2007 = 118.6
kpi_2010 = 128.8
lon_2010 = lon_2007 * kpi_2010 / kpi_2007
print("KPI-justert lønn:")
print(f"{lon_2010:.2f} kr")

Erik:
  skatt = 126288.60 kr
  nettolønn = 283411.40 kr
  skatt i prosent = 30.82 %
  skatt av lønnstillegg = 35.8 %
Elin:
  skatt = 170559.00 kr
  nettolønn = 347441.00 kr
  skatt i prosent = 32.93 %
  skatt av lønnstillegg = 44.8 %
KPI-justert lønn:
479253.29 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal sortere elevene etter kjønn og om de kjører moped.

Steg 1 — Finn jenter som ikke kjører moped

\[12-8=4\]

Det er 4 jenter som ikke kjører moped.

Steg 2 — Finn gutter som ikke kjører moped

\[15-9=6\]

Det er 6 gutter som ikke kjører moped.

Steg 3 — Sett opp tabellen

Tabellen skal ha totalsummer både vannrett og loddrett.

Tolkning

Det er 17 elever som kjører moped og 10 som ikke gjør det.

Kontroll (Python)

jenter = 12
gutter = 15
jenter_moped = 8
gutter_moped = 9
jenter_ikke = jenter - jenter_moped
gutter_ikke = gutter - gutter_moped
moped = jenter_moped + gutter_moped
ikke_moped = jenter_ikke + gutter_ikke
total = jenter + gutter

print("Krysstabell:")
print(f"jenter: moped {jenter_moped}, ikke moped {jenter_ikke}, sum {jenter}")
print(f"gutter: moped {gutter_moped}, ikke moped {gutter_ikke}, sum {gutter}")
print(f"sum: moped {moped}, ikke moped {ikke_moped}, total {total}")
print("Sannsynligheter:")
print(f"P(ikke moped) = {ikke_moped}/{total} = {ikke_moped/total:.4f}")
print(f"P(gutt | moped) = {gutter_moped}/{moped} = {gutter_moped/moped:.4f}")

p_presis_alle_jenter = 0.9**8 * 0.95**4
p_ingen_for_sen = 0.9**17 * 0.95**10
p_minst_en_for_sen = 1 - p_ingen_for_sen
print(f"P(alle jenter presis) = {p_presis_alle_jenter:.4f}")
print(f"P(minst en elev for sent) = {p_minst_en_for_sen:.4f}")

Krysstabell:
jenter: moped 8, ikke moped 4, sum 12
gutter: moped 9, ikke moped 6, sum 15
sum: moped 17, ikke moped 10, total 27
Sannsynligheter:
P(ikke moped) = 10/27 = 0.3704
P(gutt | moped) = 9/17 = 0.5294
P(alle jenter presis) = 0.3488
P(minst en elev for sent) = 0.9001

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for å trekke en elev fra gruppen som ikke kjører moped.

Steg 1 — Finn antall som ikke kjører moped

\[4+6=10\]

Fra tabellen er det 10 elever som ikke kjører moped.

Steg 2 — Del på totalt antall elever

\[P=\dfrac{10}{27}\approx0{,}370\]

Vi trekker fra hele klassen med 27 elever.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 37,0 %.

Kontroll (Python)

jenter = 12
gutter = 15
jenter_moped = 8
gutter_moped = 9
jenter_ikke = jenter - jenter_moped
gutter_ikke = gutter - gutter_moped
moped = jenter_moped + gutter_moped
ikke_moped = jenter_ikke + gutter_ikke
total = jenter + gutter

print("Krysstabell:")
print(f"jenter: moped {jenter_moped}, ikke moped {jenter_ikke}, sum {jenter}")
print(f"gutter: moped {gutter_moped}, ikke moped {gutter_ikke}, sum {gutter}")
print(f"sum: moped {moped}, ikke moped {ikke_moped}, total {total}")
print("Sannsynligheter:")
print(f"P(ikke moped) = {ikke_moped}/{total} = {ikke_moped/total:.4f}")
print(f"P(gutt | moped) = {gutter_moped}/{moped} = {gutter_moped/moped:.4f}")

p_presis_alle_jenter = 0.9**8 * 0.95**4
p_ingen_for_sen = 0.9**17 * 0.95**10
p_minst_en_for_sen = 1 - p_ingen_for_sen
print(f"P(alle jenter presis) = {p_presis_alle_jenter:.4f}")
print(f"P(minst en elev for sent) = {p_minst_en_for_sen:.4f}")

Krysstabell:
jenter: moped 8, ikke moped 4, sum 12
gutter: moped 9, ikke moped 6, sum 15
sum: moped 17, ikke moped 10, total 27
Sannsynligheter:
P(ikke moped) = 10/27 = 0.3704
P(gutt | moped) = 9/17 = 0.5294
P(alle jenter presis) = 0.3488
P(minst en elev for sent) = 0.9001

Hva spør oppgaven om? Nå vet vi at eleven kjører moped, så vi skal bare se på mopedgruppen.

Steg 1 — Finn antall mopedførere

\[8+9=17\]

Det er 17 elever som kjører moped.

Steg 2 — Finn hvor mange av dem som er gutter

\[9\]

Tabellen viser 9 gutter som kjører moped.

Steg 3 — Regn sannsynligheten

\[P=\dfrac{9}{17}\approx0{,}529\]

Vi deler på 17, ikke på 27, fordi utvalget er begrenset til mopedførere.

Tolkning

Blant mopedførerne er litt over halvparten gutter.

Kontroll (Python)

jenter = 12
gutter = 15
jenter_moped = 8
gutter_moped = 9
jenter_ikke = jenter - jenter_moped
gutter_ikke = gutter - gutter_moped
moped = jenter_moped + gutter_moped
ikke_moped = jenter_ikke + gutter_ikke
total = jenter + gutter

print("Krysstabell:")
print(f"jenter: moped {jenter_moped}, ikke moped {jenter_ikke}, sum {jenter}")
print(f"gutter: moped {gutter_moped}, ikke moped {gutter_ikke}, sum {gutter}")
print(f"sum: moped {moped}, ikke moped {ikke_moped}, total {total}")
print("Sannsynligheter:")
print(f"P(ikke moped) = {ikke_moped}/{total} = {ikke_moped/total:.4f}")
print(f"P(gutt | moped) = {gutter_moped}/{moped} = {gutter_moped/moped:.4f}")

p_presis_alle_jenter = 0.9**8 * 0.95**4
p_ingen_for_sen = 0.9**17 * 0.95**10
p_minst_en_for_sen = 1 - p_ingen_for_sen
print(f"P(alle jenter presis) = {p_presis_alle_jenter:.4f}")
print(f"P(minst en elev for sent) = {p_minst_en_for_sen:.4f}")

Krysstabell:
jenter: moped 8, ikke moped 4, sum 12
gutter: moped 9, ikke moped 6, sum 15
sum: moped 17, ikke moped 10, total 27
Sannsynligheter:
P(ikke moped) = 10/27 = 0.3704
P(gutt | moped) = 9/17 = 0.5294
P(alle jenter presis) = 0.3488
P(minst en elev for sent) = 0.9001

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare produktet i uttrykket.

Steg 1 — Jenter med moped

Det er 8 jenter som kjører moped. Sannsynligheten for at én av dem kommer presis, er \(1-0{,}10=0{,}90\).

For 8 slike jenter får vi faktoren \(0{,}9^8\).

Steg 2 — Jenter uten moped

Det er 4 jenter som ikke kjører moped. Sannsynligheten for at én av dem kommer presis, er \(1-0{,}05=0{,}95\).

For 4 slike jenter får vi faktoren \(0{,}95^4\).

Steg 3 — Bruk uavhengighet

\[P(\text{alle jenter presis})=0{,}9^8\cdot0{,}95^4\]

Når hendelsene er uavhengige, multipliserer vi sannsynlighetene.

Tolkning

Uttrykket tar hensyn til at mopedførere og ikke-mopedførere har ulik sannsynlighet for å komme for sent.

Kontroll (Python)

jenter = 12
gutter = 15
jenter_moped = 8
gutter_moped = 9
jenter_ikke = jenter - jenter_moped
gutter_ikke = gutter - gutter_moped
moped = jenter_moped + gutter_moped
ikke_moped = jenter_ikke + gutter_ikke
total = jenter + gutter

print("Krysstabell:")
print(f"jenter: moped {jenter_moped}, ikke moped {jenter_ikke}, sum {jenter}")
print(f"gutter: moped {gutter_moped}, ikke moped {gutter_ikke}, sum {gutter}")
print(f"sum: moped {moped}, ikke moped {ikke_moped}, total {total}")
print("Sannsynligheter:")
print(f"P(ikke moped) = {ikke_moped}/{total} = {ikke_moped/total:.4f}")
print(f"P(gutt | moped) = {gutter_moped}/{moped} = {gutter_moped/moped:.4f}")

p_presis_alle_jenter = 0.9**8 * 0.95**4
p_ingen_for_sen = 0.9**17 * 0.95**10
p_minst_en_for_sen = 1 - p_ingen_for_sen
print(f"P(alle jenter presis) = {p_presis_alle_jenter:.4f}")
print(f"P(minst en elev for sent) = {p_minst_en_for_sen:.4f}")

Krysstabell:
jenter: moped 8, ikke moped 4, sum 12
gutter: moped 9, ikke moped 6, sum 15
sum: moped 17, ikke moped 10, total 27
Sannsynligheter:
P(ikke moped) = 10/27 = 0.3704
P(gutt | moped) = 9/17 = 0.5294
P(alle jenter presis) = 0.3488
P(minst en elev for sent) = 0.9001

Hva spør oppgaven om? Det er enklest å bruke komplementet: ingen elever kommer for sent.

Steg 1 — Finn antall elever i hver gruppe

Det er 17 mopedførere og 10 elever som ikke kjører moped.

Dette henter vi fra krysstabellen.

Steg 2 — Sannsynlighet for at ingen kommer for sent

\[P(\text{ingen for sent})=0{,}9^{17}\cdot0{,}95^{10}\]

Mopedførere har 90 % sjanse for å komme presis, andre har 95 %.

Steg 3 — Bruk komplementet

\[P(\text{minst én for sent})=1-0{,}9^{17}\cdot0{,}95^{10}\approx0{,}900\]

Minst én for sent er det motsatte av at alle kommer presis.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 90,0 %, altså ganske stor for hele klassen samlet.

Kontroll (Python)

jenter = 12
gutter = 15
jenter_moped = 8
gutter_moped = 9
jenter_ikke = jenter - jenter_moped
gutter_ikke = gutter - gutter_moped
moped = jenter_moped + gutter_moped
ikke_moped = jenter_ikke + gutter_ikke
total = jenter + gutter

print("Krysstabell:")
print(f"jenter: moped {jenter_moped}, ikke moped {jenter_ikke}, sum {jenter}")
print(f"gutter: moped {gutter_moped}, ikke moped {gutter_ikke}, sum {gutter}")
print(f"sum: moped {moped}, ikke moped {ikke_moped}, total {total}")
print("Sannsynligheter:")
print(f"P(ikke moped) = {ikke_moped}/{total} = {ikke_moped/total:.4f}")
print(f"P(gutt | moped) = {gutter_moped}/{moped} = {gutter_moped/moped:.4f}")

p_presis_alle_jenter = 0.9**8 * 0.95**4
p_ingen_for_sen = 0.9**17 * 0.95**10
p_minst_en_for_sen = 1 - p_ingen_for_sen
print(f"P(alle jenter presis) = {p_presis_alle_jenter:.4f}")
print(f"P(minst en elev for sent) = {p_minst_en_for_sen:.4f}")

Krysstabell:
jenter: moped 8, ikke moped 4, sum 12
gutter: moped 9, ikke moped 6, sum 15
sum: moped 17, ikke moped 10, total 27
Sannsynligheter:
P(ikke moped) = 10/27 = 0.3704
P(gutt | moped) = 9/17 = 0.5294
P(alle jenter presis) = 0.3488
P(minst en elev for sent) = 0.9001

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage kostnadsfunksjoner for hver maskin og bruke dem på to måter.

Steg 1 — Skriv kostnadsmodellene

\[K_1(x)=1500+2{,}71x\]

\[K_2(x)=700+3{,}12x\]

\[K_3(x)=9000+1{,}27x\]

Her er \(x\) antall kopper.

Steg 2 — Kostnad for 1000 kopper

\[K_1(1000)=4210,\quad K_2(1000)=3820,\quad K_3(1000)=10270\]

Vi legger sammen innkjøpspris og driftskostnader.

Steg 3 — Kopper for 10 000 kroner

\[x_1=\dfrac{10000-1500}{2{,}71}\approx3137\]

\[x_2=\dfrac{10000-700}{3{,}12}\approx2981\]

\[x_3=\dfrac{10000-9000}{1{,}27}\approx787\]

Vi trekker først fra maskinprisen og deler resten på pris per kopp.

Tolkning

For 1000 kopper er maskin 2 billigst, men for et budsjett på 10 000 kroner gir maskin 1 flest kopper.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import floor, ceil

maskiner = {
    "Maskin 1": {"pris": 1500, "per_kopp": 2.71},
    "Maskin 2": {"pris": 700, "per_kopp": 3.12},
    "Maskin 3": {"pris": 9000, "per_kopp": 1.27},
}

print("Kostnad for 1000 kopper og kopper for 10000 kr:")
for navn, data in maskiner.items():
    pris = data["pris"]
    per_kopp = data["per_kopp"]
    kostnad_1000 = pris + 1000 * per_kopp
    kopper_10000 = (10000 - pris) / per_kopp
    print(f"{navn}: 1000 kopper = {kostnad_1000:.2f} kr")
    print(f"{navn}: kopper for 10000 kr = {kopper_10000:.2f}")

x12 = (1500 - 700) / (3.12 - 2.71)
x13 = (9000 - 1500) / (2.71 - 1.27)
x23 = (9000 - 700) / (3.12 - 1.27)
print("Skjæringspunkter:")
print(f"Maskin 1 = Maskin 2 ved {x12:.2f} kopper")
print(f"Maskin 1 = Maskin 3 ved {x13:.2f} kopper")
print(f"Maskin 2 = Maskin 3 ved {x23:.2f} kopper")

kopper_3_ar = 6 * 365 * 3
print("Tre år med seks kopper per dag:")
print(f"kopper = {kopper_3_ar}")
for navn, data in maskiner.items():
    total = data["pris"] + kopper_3_ar * data["per_kopp"]
    print(f"{navn}: {total:.2f} kr")

Kostnad for 1000 kopper og kopper for 10000 kr:
Maskin 1: 1000 kopper = 4210.00 kr
Maskin 1: kopper for 10000 kr = 3136.53
Maskin 2: 1000 kopper = 3820.00 kr
Maskin 2: kopper for 10000 kr = 2980.77
Maskin 3: 1000 kopper = 10270.00 kr
Maskin 3: kopper for 10000 kr = 787.40
Skjæringspunkter:
Maskin 1 = Maskin 2 ved 1951.22 kopper
Maskin 1 = Maskin 3 ved 5208.33 kopper
Maskin 2 = Maskin 3 ved 4486.49 kopper
Tre år med seks kopper per dag:
kopper = 6570
Maskin 1: 19304.70 kr
Maskin 2: 21198.40 kr
Maskin 3: 17343.90 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilke intervaller hver maskin er billigst i.

Steg 1 — Sammenlikn maskin 1 og 2

\[1500+2{,}71x=700+3{,}12x\]

\[x\approx1951\]

Maskin 2 er billigst før dette, og maskin 1 er billigere etter dette.

Steg 2 — Sammenlikn maskin 1 og 3

\[1500+2{,}71x=9000+1{,}27x\]

\[x\approx5208\]

Etter dette blir maskin 3 billigere enn maskin 1.

Steg 3 — Oppsummer billigste valg

Maskin 2 lønner seg til og med omtrent 1951 kopper.

Maskin 1 lønner seg fra omtrent 1952 til 5208 kopper.

Maskin 3 lønner seg fra omtrent 5209 kopper og oppover.

Tolkning

Billig maskin lønner seg ved lite bruk, mens lav driftskostnad lønner seg ved stort bruk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import floor, ceil

maskiner = {
    "Maskin 1": {"pris": 1500, "per_kopp": 2.71},
    "Maskin 2": {"pris": 700, "per_kopp": 3.12},
    "Maskin 3": {"pris": 9000, "per_kopp": 1.27},
}

print("Kostnad for 1000 kopper og kopper for 10000 kr:")
for navn, data in maskiner.items():
    pris = data["pris"]
    per_kopp = data["per_kopp"]
    kostnad_1000 = pris + 1000 * per_kopp
    kopper_10000 = (10000 - pris) / per_kopp
    print(f"{navn}: 1000 kopper = {kostnad_1000:.2f} kr")
    print(f"{navn}: kopper for 10000 kr = {kopper_10000:.2f}")

x12 = (1500 - 700) / (3.12 - 2.71)
x13 = (9000 - 1500) / (2.71 - 1.27)
x23 = (9000 - 700) / (3.12 - 1.27)
print("Skjæringspunkter:")
print(f"Maskin 1 = Maskin 2 ved {x12:.2f} kopper")
print(f"Maskin 1 = Maskin 3 ved {x13:.2f} kopper")
print(f"Maskin 2 = Maskin 3 ved {x23:.2f} kopper")

kopper_3_ar = 6 * 365 * 3
print("Tre år med seks kopper per dag:")
print(f"kopper = {kopper_3_ar}")
for navn, data in maskiner.items():
    total = data["pris"] + kopper_3_ar * data["per_kopp"]
    print(f"{navn}: {total:.2f} kr")

Kostnad for 1000 kopper og kopper for 10000 kr:
Maskin 1: 1000 kopper = 4210.00 kr
Maskin 1: kopper for 10000 kr = 3136.53
Maskin 2: 1000 kopper = 3820.00 kr
Maskin 2: kopper for 10000 kr = 2980.77
Maskin 3: 1000 kopper = 10270.00 kr
Maskin 3: kopper for 10000 kr = 787.40
Skjæringspunkter:
Maskin 1 = Maskin 2 ved 1951.22 kopper
Maskin 1 = Maskin 3 ved 5208.33 kopper
Maskin 2 = Maskin 3 ved 4486.49 kopper
Tre år med seks kopper per dag:
kopper = 6570
Maskin 1: 19304.70 kr
Maskin 2: 21198.40 kr
Maskin 3: 17343.90 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste fars påstand ved å finne antall kopper på tre år og sammenlikne kostnadene.

Steg 1 — Finn antall kopper på tre år

\[6\cdot365\cdot3=6570\]

Familien lager omtrent 6570 kopper på tre år.

Steg 2 — Sammenlikn maskin 1 og 3

\[K_1(6570)=1500+2{,}71\cdot6570=19304{,}70\]

\[K_3(6570)=9000+1{,}27\cdot6570=17343{,}90\]

Den dyreste maskinen har høy innkjøpspris, men mye lavere driftskostnad.

Steg 3 — Ta med maskin 2 også

\[K_2(6570)=700+3{,}12\cdot6570=21198{,}40\]

Maskin 3 er billigst av alle tre ved 6570 kopper.

Steg 4 — Vurder påstanden

Siden maskin 3 allerede lønner seg etter omtrent 5209 kopper, og tre år gir 6570 kopper, stemmer påstanden.

Tolkning

Hvis familien faktisk bruker maskinen mer enn tre år, vil den dyreste maskinen være billigst totalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import floor, ceil

maskiner = {
    "Maskin 1": {"pris": 1500, "per_kopp": 2.71},
    "Maskin 2": {"pris": 700, "per_kopp": 3.12},
    "Maskin 3": {"pris": 9000, "per_kopp": 1.27},
}

print("Kostnad for 1000 kopper og kopper for 10000 kr:")
for navn, data in maskiner.items():
    pris = data["pris"]
    per_kopp = data["per_kopp"]
    kostnad_1000 = pris + 1000 * per_kopp
    kopper_10000 = (10000 - pris) / per_kopp
    print(f"{navn}: 1000 kopper = {kostnad_1000:.2f} kr")
    print(f"{navn}: kopper for 10000 kr = {kopper_10000:.2f}")

x12 = (1500 - 700) / (3.12 - 2.71)
x13 = (9000 - 1500) / (2.71 - 1.27)
x23 = (9000 - 700) / (3.12 - 1.27)
print("Skjæringspunkter:")
print(f"Maskin 1 = Maskin 2 ved {x12:.2f} kopper")
print(f"Maskin 1 = Maskin 3 ved {x13:.2f} kopper")
print(f"Maskin 2 = Maskin 3 ved {x23:.2f} kopper")

kopper_3_ar = 6 * 365 * 3
print("Tre år med seks kopper per dag:")
print(f"kopper = {kopper_3_ar}")
for navn, data in maskiner.items():
    total = data["pris"] + kopper_3_ar * data["per_kopp"]
    print(f"{navn}: {total:.2f} kr")

Kostnad for 1000 kopper og kopper for 10000 kr:
Maskin 1: 1000 kopper = 4210.00 kr
Maskin 1: kopper for 10000 kr = 3136.53
Maskin 2: 1000 kopper = 3820.00 kr
Maskin 2: kopper for 10000 kr = 2980.77
Maskin 3: 1000 kopper = 10270.00 kr
Maskin 3: kopper for 10000 kr = 787.40
Skjæringspunkter:
Maskin 1 = Maskin 2 ved 1951.22 kopper
Maskin 1 = Maskin 3 ved 5208.33 kopper
Maskin 2 = Maskin 3 ved 4486.49 kopper
Tre år med seks kopper per dag:
kopper = 6570
Maskin 1: 19304.70 kr
Maskin 2: 21198.40 kr
Maskin 3: 17343.90 kr