Fullstendig, trinnvis og originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten digitale hjelpemidler. Del 2 viser relevante kontrollsteg med GeoGebra og Python.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1aOverslag og enheter
Oppgave 1a
Oppgave:
Andersen kjøper fem bord. I enden av hvert bord står det et tall som forteller hvor mange centimeter bordet er. Se bildet til høyre.
Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mye Andersen må betale når bordene koster 8,95 kroner per meter.
På bildet står lengdene 506 cm, 422 cm, 353 cm, 487 cm og 309 cm.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et overslag. Derfor runder vi både lengdene og prisen per meter.
Hvilken av de tre funksjonene beskriver lineær vekst? Lag et eksempel der du bruker denne lineære funksjonen til å beskrive en praktisk situasjon.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne funksjonen på formen \(ax+b\).
Steg 1 — Vurder funksjonene
\[f(x)=5x^2+100\]
Dette er en andregradsfunksjon.
\[g(x)=100\cdot5^x\]
Dette er eksponentialvekst.
Steg 2 — Finn den lineære
\[h(x)=5x+100\]
Dette er på formen \(ax+b\), altså lineær.
Steg 3 — Praktisk eksempel
En drosjetur koster 100 kroner i startpris og 5 kroner per kilometer. Da er prisen \(h(x)=5x+100\).
Tolkning
Lineær vekst betyr fast økning hver gang \(x\) øker med 1.
Vanlig feil: Å tro at alle uttrykk med \(x\) er lineære.
Fasit: \(h(x)=5x+100\).
Del 1 · Oppgave 1hSirkel og overslag
Oppgave 1h
Oppgave:
Rune trenger 61 m kabel. Han har en kabel som er rullet opp på en trommel. Trommelen har en diameter på 50 cm, og kabelen går 40 ganger rundt trommelen.
Gjør overslag og finn ut om det er nok kabel på trommelen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal anslå kabelens lengde ved å bruke omkretsen av trommelen.
Steg 1 — Gjør diameteren om til meter
\[50\text{ cm}=0{,}50\text{ m}\]
Behovet er oppgitt i meter.
Steg 2 — Finn omkretsen
\[O\approx \pi\cdot0{,}50\approx1{,}6\text{ m}\]
Én runde er omtrent 1,6 m.
Steg 3 — Gang med 40
\[40\cdot1{,}6=64\text{ m}\]
Det er omtrent 64 m kabel.
Tolkning
Rune trenger 61 m, så overslaget tyder på at det er nok kabel.
Vanlig feil: Å bruke radius i stedet for diameter i omkretsformelen.
Fasit: Ja, omtrent \(64\text{ m}\), så det er nok.
Del 1 · Oppgave 1iGrafisk tolkning
Oppgave 1i
Oppgave:
Jens og far har løpt 100-meteren. Far fikk starte tre sekunder før Jens. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av løpet til Jens og av løpet til far.
Hva kan du si om de to løpene ut fra den grafiske framstillingen ovenfor?
Forenklet skisse: Far starter først, men Jens øker farten og tar igjen far.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke start, fart og målgang fra grafene.
Steg 1 — Starten
Far starter ved \(t=0\), mens Jens starter omtrent tre sekunder senere.
Dette stemmer med teksten.
Steg 2 — Farten
Grafen til Jens blir brattere enn grafen til far.
Brattere graf betyr større fart.
Steg 3 — Målgang
Jens tar igjen far før mål og kommer omtrent samtidig eller litt før far til 100 meter.
Tolkning
Far ledet i starten, men Jens løp raskere.
Vanlig feil: Å sammenlikne bare hvem som startet først.
Fasit: Jens startet senere, men løp raskere og tok igjen far mot slutten.
Del 1 · Oppgave 1jSannsynlighet
Oppgave 1j
Oppgave:
I en twistpose er det 30 twistbiter. Per liker 18 av disse. Vi trekker tilfeldig én twistbit fra posen.
1) Finn sannsynligheten for at Per liker denne twistbiten.
Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig valgt twistbit fra posen, er 0,4.
2) Hvor mange av twistbitene i posen liker Ola?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynlighet for Per og antall biter for Ola.
Steg 1 — Sannsynlighet for Per
\[P=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}=0{,}60\]
Per liker 18 av 30 twistbiter.
Steg 2 — Antall for Ola
\[0{,}4\cdot30=12\]
Ola liker 40 % av posen.
Tolkning
Per har 60 % sjanse for å få en bit han liker, og Ola liker 12 biter.
Vanlig feil: Å skrive 18 som 18 %.
Fasit: 1) \(60\%\). 2) \(12\) twistbiter.
Del 1 · Oppgave 1kPerspektivtegning
Oppgave 1k
Oppgave:
Tenk deg at du ser en kasse skrått ovenfra. Tegn kassen i ettpunktsperspektiv. Forsvinningspunkt og perspektivlinjer skal være med på tegningen.
Eksempel på kasse sett skrått ovenfra i ettpunktsperspektiv.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Tegningen skal vise en kasse i ettpunktsperspektiv.
Steg 1 — Tegn forsiden
Start med et rektangel som front.
Steg 2 — Marker forsvinningspunkt
Sett ett punkt bak kassen og trekk perspektivlinjer dit.
Steg 3 — Fullfør kassen
Tegn topp og side slik at vi ser kassen skrått ovenfra.
Tolkning
Perspektivlinjene skal peke mot samme forsvinningspunkt.
Vanlig feil: Å bruke flere forsvinningspunkter.
Fasit: En korrekt tegning har ett forsvinningspunkt og tydelige perspektivlinjer.
Del 2 — med hjelpemidler
Del 2 · Oppgave 2aØkonomi
Oppgave 2a
Oppgave:
Byens beste bilpakke – Pakkepris: 16 900 kroner. Pakken består av 13 kjøretimer, sikkerhetskurs på bane, sikkerhetskurs på vei, 2 veiledningstimer og leie av bil på 1 førerprøve. Kjøretimer utover pakken koster 550 kroner per time.
Anne hadde til sammen 21 kjøretimer. Hvor mye betalte hun for kjøreopplæringen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ekstra kjøretimer og legge til prisen for dem.
Vanlig feil: Å bruke 250 som prosent i stedet for gram.
Fasit: \(30^\circ\).
Del 2 · Oppgave 5aKrysstabell
Oppgave 5a
Oppgave:
Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette.
Alle de 240 medlemmene i idrettslaget blir spurt. 45 % av medlemmene er kvinner. 63 av mennene ønsker ballbinge. Til sammen 110 av medlemmene ønsker ikke ballbinge.
Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal fylle ut en krysstabell.
Steg 1 — Kvinner og menn
\[0{,}45\cdot240=108\]
Det er 108 kvinner og \(240-108=132\) menn.
Steg 2 — Ønsker ballbinge
\[240-110=130\]
130 medlemmer ønsker ballbinge.
Steg 3 — Fyll ut tabellen
Mann
Kvinne
Totalt
Ønsker ballbinge
63
67
130
Ønsker ikke ballbinge
69
41
110
Totalt
132
108
240
Kvinnene som ønsker ballbinge er \(130-63=67\).
Kontroll (Python)
💻 Python
medlemmer = 240
kvinner_totalt = 0.45 * medlemmer
menn_totalt = medlemmer - kvinner_totalt
menn_som_onsker = 63
onsker_ikke_totalt = 110
onsker_totalt = medlemmer - onsker_ikke_totalt
kvinner_som_onsker = onsker_totalt - menn_som_onsker
menn_som_ikke = menn_totalt - menn_som_onsker
kvinner_som_ikke = kvinner_totalt - kvinner_som_onsker
print("Menn totalt:", int(menn_totalt))
print("Kvinner totalt:", int(kvinner_totalt))
print("Ønsker ballbinge totalt:", int(onsker_totalt))
print("Kvinner som ønsker:", int(kvinner_som_onsker))
print("Menn som ikke ønsker:", int(menn_som_ikke))
print("Kvinner som ikke ønsker:", int(kvinner_som_ikke))
Tolkning
Tabellen viser at 130 av 240 ønsker ballbinge.
Vanlig feil: Å beregne 45 % menn i stedet for 45 % kvinner.
Fasit: Tabellen er utfylt med \(63\), \(67\), \(130\), \(69\), \(41\), \(110\), \(132\), \(108\), \(240\).
Del 2 · Oppgave 5bSannsynlighet
Oppgave 5b
Oppgave:
Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen som ønsker ballbinge.
Litt over halvparten av medlemmene ønsker ballbinge.
Vanlig feil: Å bruke 110 i telleren.
Fasit: \(\dfrac{130}{240}\approx54{,}2\%\).
Del 2 · Oppgave 5cBetinget sannsynlighet
Oppgave 5c
Oppgave:
Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at dette medlemmet ønsker ballbinge.
Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi vet at medlemmet ønsker ballbinge, så vi ser bare på de 130 som ønsker det.
Steg 1 — Gunstige utfall
\[63\text{ menn ønsker ballbinge}\]
Steg 2 — Mulige utfall
\[130\text{ medlemmer ønsker ballbinge}\]
Steg 3 — Sannsynlighet
\[P=\dfrac{63}{130}\approx0{,}485=48{,}5\%\]
Tolkning
Blant dem som ønsker ballbinge, er omtrent 49 % menn.
Vanlig feil: Å dele på 240 i stedet for 130.
Fasit: \(\dfrac{63}{130}\approx48{,}5\%\).
Del 2 · Oppgave 5dLikning og prosent
Oppgave 5d
Oppgave:
Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene.
Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge.
Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa verve for at kravet fra styret skal innfris?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange nye medlemmer som må komme inn når alle de nye ønsker ballbinge.
Steg 1 — Sett opp modellen
La \(x\) være antall nye medlemmer.
\[\dfrac{130+x}{240+x}\ge0{,}75\]
Steg 2 — Løs ulikheten
\[130+x\ge0{,}75(240+x)\]
\[130+x\ge180+0{,}75x\]
\[0{,}25x\ge50\]
\[x\ge200\]
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Løs((130 + x)/(240 + x) >= 0.75)
→ \(x\ge200\)
💻 Python
onsker_gammelt = 130
medlemmer_gammelt = 240
krav = 0.75
for nye in range(0, 1000):
andel = (onsker_gammelt + nye) / (medlemmer_gammelt + nye)
if andel >= krav:
print("Minste antall nye medlemmer:", nye)
print("Ny andel:", round(andel * 100, 1), "%")
break
Tolkning
Fotballgruppa må verve 200 nye medlemmer som ønsker ballbinge.
Vanlig feil: Å glemme at totalantallet medlemmer også øker.
Fasit: Minst \(200\) nye medlemmer.
Del 2 · Oppgave 6aFunksjonsmodell
Oppgave 6a
Oppgave:
Aud arbeider ved et laboratorium. En dag samler hun fluer i en kasse. Hun mater fluene og holder dem isolert i to måneder. Hun finner ut at en god tilnærming for antall fluer i kassen etter \(t\) dager er gitt ved
\[f(t)=-0{,}007t^3+0{,}5t^2-3t+20\]
Bruk opplysningene i teksten ovenfor til å avgjøre hvilke \(t\)-verdier du bør bruke når du tegner grafen til \(f\). Tegn grafen for disse verdiene av \(t\).
Graf for modellen på intervallet \(0\le t\le60\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge et fornuftig intervall for \(t\) og tegne grafen.
Steg 1 — Tolk tidsperioden
To måneder er omtrent 60 dager.
Steg 2 — Skriv intervallet
\[0\le t\le60\]
Dag 0 er starten, og dag 60 er slutten.
Steg 3 — Digital graf
Grafen tegnes for funksjonen \(f(t)=-0{,}007t^3+0{,}5t^2-3t+20\) på dette intervallet.
Kontroll (GeoGebra)
GeoGebra · CAS
1
f(t) := -0.007*t^3 + 0.5*t^2 - 3*t + 20
→ \(f(t)=-0{,}007t^3+0{,}5t^2-3t+20\)
2
Funksjon(f, 0, 60)
→ graf for \(0\le t\le60\)
💻 Python
from sympy import symbols
t = symbols('t')
f = -0.007*t**3 + 0.5*t**2 - 3*t + 20
print("Funksjon:", f)
print("Gyldig intervall: 0 til 60 dager")
print("Noen punkter på grafen:")
for dag in [0, 10, 20, 30, 40, 50, 60]:
print("t =", dag, "gir f(t) =", round(float(f.subs(t, dag)), 1))
Tolkning
Grafen skal bare tolkes for de to månedene eksperimentet varer.
Vanlig feil: Å tegne grafen for negative dager.
Fasit: Bruk \(0\le t\le60\).
Del 2 · Oppgave 6bFunksjonsverdi
Oppgave 6b
Oppgave:
Finn grafisk og ved regning hvor mange fluer det var i kassen ved starten og ved slutten av eksperimentet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(f(0)\) og \(f(60)\).
from sympy import symbols, diff, solve
t = symbols('t')
f = -0.007*t**3 + 0.5*t**2 - 3*t + 20
f_derivert = diff(f, t)
kritiske_punkter = solve(f_derivert, t)
print("f(t) =", f)
print("f'(t) =", f_derivert)
print("Kritiske punkter:")
for punkt in kritiske_punkter:
print("t =", round(float(punkt), 4), "gir f(t) =", round(float(f.subs(t, punkt)), 2))
t_start = kritiske_punkter[0]
t_slutt = kritiske_punkter[1]
gjennomsnittlig_okning = (f.subs(t, t_slutt) - f.subs(t, t_start)) / (t_slutt - t_start)
print("Øker omtrent fra dag", round(float(t_start), 1), "til dag", round(float(t_slutt), 1))
print("Gjennomsnittlig økning per dag:", round(float(gjennomsnittlig_okning), 1), "fluer per dag")
Tolkning
Bestanden øker omtrent fra dag 3,2 til dag 44,4, med omtrent 6 fluer per dag i gjennomsnitt.
Vanlig feil: Å bruke hele perioden 0–60 dager.
Fasit: Øker omtrent fra dag \(3{,}2\) til dag \(44{,}4\). Gjennomsnittlig økning er omtrent \(5{,}9\) fluer per dag.
Del 2 · Oppgave 7 Alternativ I aTelefonabonnement
Oppgave 7 Alternativ I a
Oppgave:
I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.
Alternativ I: Et telefonabonnement har ofte en fast månedspris. I tillegg betaler du for hvert minutt du ringer.
Grafen til høyre viser kostnader per måned med et gitt telefonabonnement. Bruk grafen og finn den faste månedsprisen og prisen for hvert minutt du ringer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lese startverdi og stigningstall fra grafen.
Steg 1 — Fast pris
Grafen skjærer \(y\)-aksen omtrent ved 100 kroner.
Steg 2 — Pris per minutt
Fra grafen kan vi lese omtrent \((0,100)\) og \((200,300)\).
\[\dfrac{300-100}{200}=1\]
Tolkning
Abonnementet har omtrent 100 kroner fastpris og omtrent 1 krone per minutt.
Vanlig feil: Å lese av totalpris som minuttpris.
Fasit: Fast månedspris omtrent \(100\) kroner, og omtrent \(1\) krone per minutt.
Del 2 · Oppgave 7 Alternativ I bGrafer
Oppgave 7 Alternativ I b
Oppgave:
Tabellen nedenfor viser kostnader per måned med tre ulike telefonabonnementer, A, B og C.
Abonnement
Fast månedspris
Pris per minutt du ringer
A
0 kroner
1,59 kroner per minutt
B
100 kroner
De første 100 minuttene er gratis, deretter 1,19 kroner per minutt
C
250 kroner
0,49 kroner per minutt
Tegn grafer som viser de månedlige kostnadene med hvert av de tre telefonabonnementene i ett nytt koordinatsystem. Velg \(x\)-verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter.
Skisse av kostnadsfunksjonene for A, B og C.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage tre kostnadsfunksjoner og tegne dem.
Grafene viser hvilken avtale som er billigst ved ulike ringetider.
Vanlig feil: Å la B koste per minutt fra første minutt.
Fasit: Tegn \(A(x)=1{,}59x\), stykkevis \(B(x)\), og \(C(x)=250+0{,}49x\) for \(0\le x\le500\).
Del 2 · Oppgave 7 Alternativ I cSammenlikning
Oppgave 7 Alternativ I c
Oppgave:
Hvor mye må du ringe for at det skal lønne seg å bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne intervallene der hvert abonnement er billigst.
Steg 1 — A mot B
\[1{,}59x=100\]
\[x\approx62{,}9\]
A er billigst før omtrent 63 minutter.
Steg 2 — B mot C
\[100+1{,}19(x-100)=250+0{,}49x\]
\[x\approx384{,}3\]
Steg 3 — Intervaller
A: 0 til ca. 63 minutter. B: ca. 63 til ca. 384 minutter. C: mer enn ca. 384 minutter.
Kontroll (Python)
💻 Python
from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
A = 1.59*x
B_etter_100 = 100 + 1.19*(x - 100)
C = 250 + 0.49*x
grense_A_B = solve(Eq(A, 100), x)[0]
grense_B_C = solve(Eq(B_etter_100, C), x)[0]
print("Grense mellom A og B:", round(float(grense_A_B), 1), "minutter")
print("Grense mellom B og C:", round(float(grense_B_C), 1), "minutter")
print("A billigst: 0 til ca.", round(float(grense_A_B), 1), "minutter")
print("B billigst: ca.", round(float(grense_A_B), 1), "til ca.", round(float(grense_B_C), 1), "minutter")
print("C billigst: mer enn ca.", round(float(grense_B_C), 1), "minutter")
Tolkning
A passer for lite bruk, B for middels bruk, C for mye bruk.
Vanlig feil: Å sammenlikne bare fastprisene.
Fasit: A: ca. \(0\)–\(63\) min. B: ca. \(63\)–\(384\) min. C: mer enn ca. \(384\) min.
Del 2 · Oppgave 7 Alternativ II aAreal og prosent
Oppgave 7 Alternativ II a
Oppgave:
Alternativ II: Trine tegner et kvadrat der sidene er 8 cm lange. Hun tegner også et rektangel. To av sidene i rektangelet er 10 % lengre enn sidene i kvadratet, og to av sidene er 10 % kortere enn sidene i kvadratet.
Hun regner ut arealet av kvadratet og arealet av rektangelet. Så finner hun forholdet mellom de to arealene. Resultatene setter hun opp i en tabell.
Tegn av tabellen. Velg to ulike kvadrater som er forskjellige fra kvadratet til Trine. For hvert av kvadratene skal du gjøre de samme beregningene som Trine gjorde. Skriv resultatene på de to neste radene i tabellen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge to kvadrater og gjøre samme type beregning.
Steg 1 — Side 10 cm
\[10^2=100\]
Rektangel: \(11\) cm og \(9\) cm, areal \(11\cdot9=99\).
Steg 2 — Side 20 cm
\[20^2=400\]
Rektangel: \(22\) cm og \(18\) cm, areal \(22\cdot18=396\).
Uansett side blir rektangelets areal 1 % mindre enn kvadratets areal.
Vanlig feil: Å kommentere at arealet er uendret.
Fasit: Siste rad: \(a\), \(a^2\), \(1{,}10a\) og \(0{,}90a\), \(0{,}99a^2\), forhold \(0{,}99\).
Del 2 · Oppgave 7 Alternativ II cAreal og prosent
Oppgave 7 Alternativ II c
Oppgave:
Øyvind har bygget en mur. Planen var at muren skulle være like høy som den var lang, men under byggingen bestemte Øyvind seg for å redusere høyden med 10 % og øke lengden med 10 %. Arealet av sideflaten til muren han bygget, ble 8,91 m2.
Hvor lang og hvor høy ble muren?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne opprinnelig side og deretter den nye lengden og høyden.
