Hva spør oppgaven om? Vi skal finne relativ økning, ikke bare økningen i prosentpoeng.

Steg 1 — Finn ny oppslutning

Oppslutningen går fra 5 % til 7 %, fordi 2 prosentpoeng legges til.

Steg 2 — Bruk formelen for prosentvis økning

\[\dfrac{ ext{økning}}{ ext{gammel verdi}}\cdot 100 = \dfrac{2}{5}\cdot 100\]

Vi deler økningen på startverdien.

Steg 3 — Regn ut

\[\dfrac{2}{5}\cdot 100=40\]

Økningen er 40 % av den gamle oppslutningen.

Tolkning

Partiet økte med 2 prosentpoeng, men dette tilsvarer 40 % relativ økning.

gammel_oppslutning = 5
ny_oppslutning = 7
okning_prosentpoeng = ny_oppslutning - gammel_oppslutning
okning_i_prosent = okning_prosentpoeng / gammel_oppslutning * 100

print("Gammel oppslutning:", gammel_oppslutning, "%")
print("Ny oppslutning:", ny_oppslutning, "%")
print("Økning i prosentpoeng:", okning_prosentpoeng)
print("Økning i prosent:", okning_i_prosent, "%")

Hva spør oppgaven om? Totalprisen er den samme, men den deles på flere personer.

Steg 1 — Finn totalprisen

\[4\cdot 600=2400\]

Fire personer betaler 600 kroner hver.

Steg 2 — Del totalprisen på 12 personer

\[\dfrac{2400}{12}=200\]

Når flere personer deler samme pris, blir prisen per person lavere.

Tolkning

Hvis 12 personer blir med, betaler hver person 200 kroner.

antall_personer_1 = 4
pris_per_person_1 = 600
antall_personer_2 = 12

totalpris = antall_personer_1 * pris_per_person_1
pris_per_person_2 = totalpris / antall_personer_2

print("Totalpris:", totalpris, "kroner")
print("Pris per person når", antall_personer_2, "personer blir med:", pris_per_person_2, "kroner")

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare løkka og tolke utskriften.

Steg 1 — Se på startverdiene

Beløpet starter på \(10000\), vekstfaktoren er \(1{,}03\), og \(år=0\).

Vekstfaktor \(1{,}03\) betyr 3 % vekst per år.

Steg 2 — Forklar while-løkka

Programmet gjentar så lenge verdien er mindre enn det dobbelte av beløpet.

Grensen er \(2\cdot 10000=20000\).

Steg 3 — Tolk linje 7 og 8

Hvert år multipliseres verdien med \(1{,}03\), og antall år øker med 1.

Steg 4 — Kjøring gir tallene

Programmet skriver ut omtrent \(20327{,}94\) og \(24\).

Det betyr at verdien passerer 20 000 etter 24 år.

Tolkning

Et beløp på 10 000 kroner som vokser med 3 % per år, blir mer enn doblet etter 24 år.

beløp = 10000
verdi = beløp
vekstfaktor = 1.03
år = 0

while verdi < beløp * 2:
    verdi = verdi * vekstfaktor
    år = år + 1

print(verdi)
print(år)

Hva spør oppgaven om? Det største kvadratet ligger på hypotenusen. Vi finner først hypotenusen, og bruker deretter Pytagoras.

Steg 1 — Finn siden i det største kvadratet

\[BC=\sqrt{100}=10\, ext{dm}\]

Siden i kvadratet er kvadratroten av arealet.

Steg 2 — Gjør om \(AB\) til desimeter

\[0{,}8\, ext{m}=8\, ext{dm}\]

Vi bruker samme enhet i Pytagoras.

Steg 3 — Bruk Pytagoras

\[AC^2+AB^2=BC^2\]

\[AC^2+8^2=10^2\]

Steg 4 — Regn ut \(AC\)

\[AC^2=100-64=36\]

\[AC=6\, ext{dm}=60\, ext{cm}\]

Tolkning

Den ukjente kateten er 60 cm lang.

from math import sqrt

areal_storste_kvadrat_dm2 = 100
BC_dm = sqrt(areal_storste_kvadrat_dm2)
AB_dm = 0.8 * 10
AC_dm = sqrt(BC_dm**2 - AB_dm**2)
AC_cm = AC_dm * 10

print("BC:", BC_dm, "dm")
print("AB:", AB_dm, "dm")
print("AC:", AC_dm, "dm")
print("AC:", AC_cm, "cm")

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstallet \(a\) og konstantleddet \(b\) i en lineær modell.

Steg 1 — Finn økningen i pris og lengde

\[650-450=200\]

\[50-25=25\]

Steg 2 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{200}{25}=8\]

Prisen øker med 8 kroner per meter slange.

Steg 3 — Bruk ett punkt til å finne \(b\)

\[450=8\cdot 25+b\]

\[450=200+b\]

\[b=250\]

Tolkning

Modellen blir \(y=8x+250\).

from sympy import symbols, Eq, solve

a, b = symbols('a b')
likning1 = Eq(450, a*25 + b)
likning2 = Eq(650, a*50 + b)
losning = solve((likning1, likning2), (a, b))

print("Likning 1:", likning1)
print("Likning 2:", likning2)
print("Løsning:", losning)
print("Modell: y =", losning[a], "* x +", losning[b])

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva tallene i modellen betyr i situasjonen.

Steg 1 — Tolk \(a=8\)

Stigningstallet forteller hvor mye prisen øker når lengden øker med 1 meter.

Her betyr \(a=8\) at hver ekstra meter slange koster 8 kroner.

Steg 2 — Tolk \(b=250\)

Konstantleddet er prisen når \(x=0\).

Her kan \(b=250\) tolkes som fast pris for selve vognen uten slange.

Tolkning

Prisen består av en fast del på 250 kroner og 8 kroner per meter hageslange.

Hva spør oppgaven om? Vi må skalere oppskriften fra 1 kg appelsiner til 26 kg appelsiner og runde opp til hele poser.

Steg 1 — Finn sukker i desiliter

\[26\cdot 5=130\, ext{dL}\]

Oppskriften bruker 5 dL sukker per kg appelsiner.

Steg 2 — Gjør om til liter

\[130\, ext{dL}=13\, ext{L}\]

Steg 3 — Finn massen av sukkeret

\[13\cdot 0{,}8=10{,}4\, ext{kg}\]

Steg 4 — Rund opp til hele poser

Hun trenger 10,4 poser, og må derfor kjøpe 11 poser.

Tolkning

Hun kan ikke kjøpe 0,4 pose, derfor må svaret rundes opp.

import math

kg_appelsiner = 26
sukker_dl_per_kg = 5
kg_per_liter_sukker = 0.8
kg_per_pose = 1

sukker_dl = kg_appelsiner * sukker_dl_per_kg
sukker_liter = sukker_dl / 10
sukker_kg = sukker_liter * kg_per_liter_sukker
poser = math.ceil(sukker_kg / kg_per_pose)

print("Sukker i dL:", sukker_dl)
print("Sukker i liter:", sukker_liter)
print("Sukker i kg:", sukker_kg)
print("Minste antall poser:", poser)

Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom en temperatur og en temperaturendring.

Steg 1 — Regn om selve temperaturen \(5\,^{\circ} ext{C}\)

\[F=\dfrac{9}{5}\cdot 5+32=41\]

Dette viser at 5 °C er det samme som 41 °F.

Steg 2 — Regn om en endring på \(5\,^{\circ} ext{C}\)

Ved en endring skal vi ikke legge til 32, fordi startpunktet ikke er med.

\[\Delta F=\dfrac{9}{5}\cdot \Delta C=\dfrac{9}{5}\cdot 5=9\]

Steg 3 — Vurder påstanden

Påstanden blander temperatur og temperaturendring.

Tolkning

En temperatur på 5 °C tilsvarer 41 °F, men en temperaturendring på 5 °C tilsvarer 9 °F.

C = 5
F_temperatur = 9/5 * C + 32
F_endring = 9/5 * C

print("5 grader Celsius som temperatur:", F_temperatur, "grader Fahrenheit")
print("5 grader Celsius som temperaturendring:", F_endring, "grader Fahrenheit")
print("Påstanden er derfor feil.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange poster som gir 2 poeng og hvor mange som gir 5 poeng.

Steg 1 — Sett opp variabler

La \(x\) være antall 2-poengsposter og \(y\) antall 5-poengsposter.

Steg 2 — Sett opp likningene

\[x+y=13\]

\[2x+5y=38\]

Steg 3 — Løs systemet

Fra første likning får vi \(x=13-y\).

\[2(13-y)+5y=38\]

\[26+3y=38\]

\[y=4\]

Steg 4 — Finn \(x\)

\[x=13-4=9\]

Tolkning

Adil fant 9 poster som gir 2 poeng og 4 poster som gir 5 poeng.

from sympy import symbols, Eq, solve

x, y = symbols('x y')
likning_antall = Eq(x + y, 13)
likning_poeng = Eq(2*x + 5*y, 38)
losning = solve((likning_antall, likning_poeng), (x, y))

print("Likning for antall poster:", likning_antall)
print("Likning for poeng:", likning_poeng)
print("Løsning:", losning)
print("Antall poster som gir 2 poeng:", losning[x])

Hva spør oppgaven om? Vi skal gi en begrunnelse som gjelder for alle negative \(x\), ikke bare ett eksempel.

Steg 1 — Bruk fortegn

Når \(x<0\), er \(x^2\) positivt fordi et negativt tall ganget med seg selv blir positivt.

Steg 2 — Se på \(x^3\)

Når \(x<0\), er \(x^3\) negativt fordi tre negative faktorer gir negativt resultat.

Steg 3 — Sammenlikn

Et positivt tall er alltid større enn et negativt tall.

Derfor er \(x^2>x^3\) når \(x<0\).

Tolkning

Ulikheten handler om fortegn: andre potens blir positiv, tredje potens blir negativ.

for x in [-1, -2, -5, -10]:
    x2 = x**2
    x3 = x**3
    print("x =", x, "x^2 =", x2, "x^3 =", x3, "x^2 > x^3:", x2 > x3)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke regresjon på raden «Temperatur - 20» og deretter legge til 20 igjen.

Steg 1 — Bruk dataene for \(T-20\)

Vi modellerer avstanden ned til romtemperaturen med \(a\cdot b^x\).

Steg 2 — Utfør eksponentiell regresjon

Regresjon på punktene gir omtrent

\[approx 75{,}05 \quad ext{og} \quad bpprox 0{,}985\]

Steg 3 — Legg til romtemperaturen

\[T(x)pprox 75{,}05\cdot 0{,}985^x+20\]

Tolkning

Modellen sier at temperaturen synker raskt først, og nærmer seg 20 °C etter hvert.

import numpy as np

x = np.array([4, 8, 16, 20, 40, 60, 75, 90], dtype=float)
T_minus_20 = np.array([70.6, 66.5, 58.9, 55.4, 41.0, 30.3, 24.1, 19.2], dtype=float)

# Eksponentiell regresjon: ln(T-20) = ln(a) + x*ln(b)
ln_b, ln_a = np.polyfit(x, np.log(T_minus_20), 1)
a = np.exp(ln_a)
b = np.exp(ln_b)

print("a =", a)
print("b =", b)
print("Modell: T(x) =", a, "*", b, "** x + 20")
print("Avrundet modell: T(x) = 75.05 * 0.985**x + 20")

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere når modellen er rimelig å bruke.

Steg 1 — Se på datagrunnlaget

Dataene går fra \(x=4\) til \(x=90\) minutter.

Steg 2 — Vurder praktisk situasjon

Modellen kan også gi mening fra \(x=0\), altså når geléen settes til avkjøling.

Steg 3 — Ikke bruk modellen ukritisk langt fram i tid

På lang sikt nærmer modellen seg 20 °C, men vi vet ikke om andre forhold endrer seg.

Tolkning

Et rimelig gyldighetsområde er omtrent \(0\le x\le 90\), eller mer forsiktig \(4\le x\le 90\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange figurer i stigende størrelse som kan lages med 10 000 fyrstikker.

Steg 1 — Finn fyrstikker i figur \(n\)

Figur \(n\) er et \(n imes n\)-rutenett.

Antall fyrstikker er

\[2n(n+1)\]

Det er \(n(n+1)\) horisontale og \(n(n+1)\) vertikale fyrstikker.

Steg 2 — Summer fra figur 1 til figur \(N\)

\[2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2\cdot 3+\cdots+2N(N+1)\]

Steg 3 — Prøv med digital kontroll

Summen til og med figur 23 er \(9200\), mens summen til og med figur 24 er \(10400\).

Tolkning

Du kan lage figurene 1 til 23, men ikke figur 24.

antall_fyrstikker = 10000
sum_fyrstikker = 0
antall_figurer = 0

for n in range(1, 1000):
    fyrstikker_i_figur = 2 * n * (n + 1)
    if sum_fyrstikker + fyrstikker_i_figur > antall_fyrstikker:
        break
    sum_fyrstikker += fyrstikker_i_figur
    antall_figurer = n

print("Antall figurer som kan lages:", antall_figurer)
print("Fyrstikker brukt:", sum_fyrstikker)
print("Fyrstikker igjen:", antall_fyrstikker - sum_fyrstikker)
print("Fyrstikker i neste figur:", 2*(antall_figurer+1)*(antall_figurer+2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne rest etter at figurene 1 til 23 er laget.

Steg 1 — Bruk summen fra a)

Figurene 1 til 23 bruker \(9200\) fyrstikker.

Steg 2 — Trekk fra 10 000

\[10000-9200=800\]

Steg 3 — Sjekk at neste figur ikke kan lages

Figur 24 krever

\[2\cdot 24\cdot 25=1200\]

Det er mer enn 800.

Tolkning

Etter siste mulige figur har du 800 fyrstikker igjen, men det er ikke nok til figur 24.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise et regnearkoppsett med formler som beregner sum, rabatt, levering og totalpris.

Steg 1 — Total for hver rett

I totalcellene kan vi multiplisere antall porsjoner med pris per porsjon.

Steg 2 — Summer antall og pris

Steg 3 — Rabatt

Rabatt gis bare hvis antallet er større enn 4.

=HVIS(B12>4;D12*F2;0)

Steg 4 — Levering og total

Levering kan beregnes med

=HVIS(B19<8;F3;F4)

Total betaling kan beregnes med

=D12-D15+F18

Tolkning

Regnearket gjør at firmaet bare trenger å skrive inn kundenavn, antall porsjoner og avstand. Resten beregnes automatisk.

def beregn_bestilling(pasta, suppe, bagett, avstand_km):
    pris_pasta = 100
    pris_suppe = 80
    pris_bagett = 110
    rabatt_sats = 0.10

    antall = pasta + suppe + bagett
    sum_lunsj = pasta*pris_pasta + suppe*pris_suppe + bagett*pris_bagett

    if antall > 4:
        rabatt = sum_lunsj * rabatt_sats
    else:
        rabatt = 0

    if avstand_km < 8:
        levering = 70
    else:
        levering = 150

    total = sum_lunsj - rabatt + levering
    return antall, sum_lunsj, rabatt, levering, total

antall, sum_lunsj, rabatt, levering, total = beregn_bestilling(2, 2, 1, 9)
print("Antall lunsjretter:", antall)
print("Sum lunsj:", sum_lunsj, "kroner")
print("Rabatt:", rabatt, "kroner")
print("Levering:", levering, "kroner")
print("Å betale totalt:", total, "kroner")

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prisreglene og sammenlikne når hvert selskap er billigst.

Steg 1 — Finn modellen til Taxi A

Taxi A har startpris 75 kroner.

\[\dfrac{77}{11}=7\]

\[\dfrac{140}{10}=14\]

Dermed er

\[A(t,s)=75+7t+14s\]

Steg 2 — Finn modellen til Taxi B

Taxi B har startpris 66 kroner. Vi bruker de variable kostnadene:

\[6a+5b=120\]

\[18a+20b=435\]

Løsning gir \(a=7{,}5\) og \(b=15\).

Dermed er

\[B(t,s)=66+7{,}5t+15s\]

Steg 3 — Sammenlikn modellene

\[B(t,s)-A(t,s)=-9+0{,}5t+s\]

Taxi B har lavere startpris, men høyere pris per minutt og per kilometer.

Steg 4 — Vurder når de er like dyre

\[-9+0{,}5t+s=0\]

\[0{,}5t+s=9\]

For korte turer kan Taxi B være billigst. For lengre turer blir Taxi A billigst.

Tolkning

Taxi A har høyere startpris, men lavere løpende pris. Taxi B passer best for korte turer.

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify

t, s, a, b = symbols('t s a b')

# Taxi A
start_A = 75
pris_per_minutt_A = 77 / 11
pris_per_km_A = 140 / 10
A = start_A + pris_per_minutt_A*t + pris_per_km_A*s

# Taxi B
likning1 = Eq(6*a + 5*b, 120)
likning2 = Eq(18*a + 20*b, 435)
losning_B = solve((likning1, likning2), (a, b))
B = 66 + losning_B[a]*t + losning_B[b]*s

differanse = simplify(B - A)

print("Taxi A, pris per minutt:", pris_per_minutt_A)
print("Taxi A, pris per kilometer:", pris_per_km_A)
print("Taxi A-modell:", A)
print("Taxi B-løsning:", losning_B)
print("Taxi B-modell:", B)
print("Taxi B minus Taxi A:", differanse)
print("De er like dyre når 0.5*t + s = 9")