Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et raskt og rimelig overslag, ikke finne en helt nøyaktig pris.

Steg 1 — Rund av tallene

\[210 \approx 200 \quad \text{og} \quad 8{,}33 \approx 8\]

Overslag blir enklere når vi runder til tall som er lette å regne med.

Steg 2 — Multipliser

\[200\cdot 8=1600\]

Vi multipliserer antall euro med kursen i kroner per euro.

Steg 3 — Vurder størrelsen

Den nøyaktige verdien ligger litt over \(1600\), fordi både \(210\) og \(8{,}33\) er litt større enn avrundingene.

Tolkning

Mp3-spilleren koster omtrent \(1600\)–\(1800\) kroner.

Kontroll

Presist regnet er \(210\cdot 8{,}33=1749{,}3\), så overslaget er rimelig.

Hva spør oppgaven om? Vi skal anslå volumet av tilhengeren i kubikkmeter.

Steg 1 — Gjør høyden om til meter

\[45\text{ cm}=0{,}45\text{ m}\]

Alle lengdene må være i samme enhet når vi regner volum.

Steg 2 — Rund av til enkle tall

\[3{,}2\approx 3,\quad 1{,}9\approx 2,\quad 0{,}45\approx 0{,}5\]

Dette passer godt for overslagsregning.

Steg 3 — Regn overslaget

\[3\cdot 2\cdot 0{,}5=3\]

Volumet er omtrent lengde ganger bredde ganger høyde.

Tolkning

Tilhengeren rommer omtrent \(3\) kubikkmeter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere om mengdene passer til forholdet \(1:4\).

Steg 1 — Finn antall deler

\[1+4=5\]

Forholdet betyr \(1\) del saft og \(4\) deler vann.

Steg 2 — Gjør \(1\) liter om til dL

\[1\text{ L}=10\text{ dL}\]

Påstanden er gitt i desiliter.

Steg 3 — Finn én del

\[\dfrac{10}{5}=2\]

Én del er \(2\) dL.

Steg 4 — Finn saft og vann

\[\text{saft}=2\text{ dL},\qquad \text{vann}=4\cdot 2=8\text{ dL}\]

Dette gir forholdet \(2:8=1:4\).

Tolkning

Siri skal bruke mindre saft og mer vann enn påstanden sier.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at forholdet \(\dfrac{s}{t}\) er konstant.

Steg 1 — Finn konstanten

\[\dfrac{s}{t}=\dfrac{3}{0{,}6}=5\]

Bilen kjører \(5\) meter per sekund.

Steg 2 — Finn tidene når \(s=5\) og \(s=9\)

\[t=\dfrac{s}{5}\]

Vi deler strekningen på farten.

\[t=\dfrac{5}{5}=1 \quad \text{og} \quad t=\dfrac{9}{5}=1{,}8\]

Steg 3 — Finn strekningen når \(t=12\)

\[s=5\cdot 12=60\]

Vi multipliserer farten med tiden.

Tolkning

Bilen holder konstant fart: \(5\) meter per sekund.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilken regulær mangekant som fyller vinkelen som mangler rundt hjørnet.

Steg 1 — Finn vinklene som allerede ligger i hjørnet

En likesidet trekant har vinkel \(60^\circ\). Hvert kvadrat har vinkel \(90^\circ\).

Steg 2 — Summer vinklene

\[60^\circ+90^\circ+90^\circ=240^\circ\]

Disse figurene dekker allerede \(240^\circ\) rundt punktet.

Steg 3 — Finn vinkelen som mangler

\[360^\circ-240^\circ=120^\circ\]

Rundt et punkt er det \(360^\circ\).

Steg 4 — Knytt vinkelen til en regulær mangekant

En regulær sekskant har innvendig vinkel \(120^\circ\).

Tolkning

Kari kan fylle hjørnet med en regulær sekskant.

Hva spør oppgaven om? Tauet er hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[\text{tau}^2=7^2+5^2\]

Stolpen og bakken danner de to katetene.

Steg 2 — Regn ut

\[\text{tau}^2=49+25=74\]

Vi summerer kvadratene av katetene.

Steg 3 — Ta kvadratroten

\[\text{tau}=\sqrt{74}\approx 8{,}6\]

Dette er lengden tauet minst må ha.

Steg 4 — Sammenlikn med \(9\) meter

\[8{,}6<9\]

Tauet er litt lengre enn nødvendig.

Tolkning

Frode har nok tau, med omtrent \(0{,}4\) meter ekstra.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstall og konstantledd for linjen.

Steg 1 — Les av skjæringene

Linjen skjærer omtrent y-aksen i \(3\) og x-aksen i \(2\).

Steg 2 — Bruk to punkter

\[(0,3) \quad \text{og} \quad (2,0)\]

Disse punktene kan brukes til å finne stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{0-3}{2-0}=-\dfrac{3}{2}\]

Stigningstallet viser hvor mye \(y\) endrer seg når \(x\) øker med \(1\).

Steg 4 — Skriv likningen

\[y=-\dfrac{3}{2}x+3\]

Konstantleddet er \(3\), fordi linjen skjærer y-aksen der.

Tolkning

Linjen synker med \(1{,}5\) for hver gang \(x\) øker med \(1\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke perspektivlinjene i gjerdet til å finne forsvinningspunkt og horisontlinje.

Steg 1 — Forleng kantlinjene

Forleng rette kanter i gjerdet som egentlig er parallelle i virkeligheten.

Der linjene møtes på tegningen, ligger forsvinningspunktet.

Steg 2 — Tegn horisontlinjen

Horisontlinjen går gjennom forsvinningspunktet.

I ettpunktsperspektiv er dette øyehøyden til personen som ser.

Steg 3 — Tolk plasseringen

På bildet ser vi gjerdet omtrent fra normal ståhøyde, og horisontlinjen ligger omtrent i øyehøyden for gjerdets retning.

Tolkning

Mia ser omtrent rett på gjerdet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise arealet for et trapes, en sammensatt figur og en trekant.

Steg 1 — Trapeset

\[A=\dfrac{(6+12)\cdot 6}{2}=54\]

Trapeset har parallelle sider \(6\) og \(12\), og høyde \(6\).

Steg 2 — Den sammensatte figuren

\[A=10\cdot 7-4\cdot 4=70-16=54\]

Vi kan se figuren som et stort rektangel minus et utskåret rektangel.

Steg 3 — Trekanten

\[A=\dfrac{18\cdot 6}{2}=54\]

Trekanten har grunnlinje \(18\) og høyde \(6\).

Tolkning

Figurene ser ulike ut, men har samme areal.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage ett mulig trapes med areal \(54\) og høyde \(9\).

Steg 1 — Bruk arealformelen

\[A=\dfrac{(a+b)h}{2}\]

Her er \(a\) og \(b\) de parallelle sidene.

Steg 2 — Sett inn areal og høyde

\[54=\dfrac{(a+b)\cdot 9}{2}\]

Vi trenger bare at summen av de parallelle sidene blir riktig.

Steg 3 — Finn summen

\[a+b=\dfrac{54\cdot 2}{9}=12\]

De parallelle sidene må altså ha sum \(12\).

Steg 4 — Velg to sider

Et mulig valg er \(a=4\) og \(b=8\).

Tolkning

Et trapes med parallelle sider \(4\) og \(8\), og høyde \(9\), passer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal koble hver praktisk situasjon til riktig graf-form.

Steg 1 — Folketall som avtar med fast antall

Fast nedgang per år gir en rett linje som synker.

Det passer med graf C.

Steg 2 — Bilverdi som synker med \(15\%\) per år

Prosentvis nedgang gir eksponentiell nedgang.

Det passer med graf F.

Steg 3 — Arealet av et kvadrat

\[A=x^2\]

Arealet øker raskere og raskere når siden øker. Det passer med graf A.

Steg 4 — Ball som kastes opp

\[h(x)=-4{,}9x^2+12x+1{,}8\]

Dette er en parabel som vender nedover. Den passer best med graf E.

Tolkning

Vi bruker formen på funksjonen, ikke nøyaktig målestokk på y-aksen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne lengdepoeng, stilpoeng og total poengsum.

Steg 1 — Lengdepoeng

\[P=(130-120)\cdot 1{,}8+60=78\]

Hoppet er \(10\) meter over K-punktet.

Steg 2 — Stilpoeng

Laveste og høyeste karakter strykes. Da bruker vi \(18,18,19\).

\[18+18+19=55\]

Steg 3 — Total poengsum

\[78+55=133\]

Totalen er lengdepoeng pluss stilpoeng.

Tolkning

Hoppet gir \(133\) poeng totalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Kontroll av skihopp, oppgave 4a
h = 130
k = 120
m = 1.8
stilkarakterer = [18, 18, 18, 19, 19]

lengdepoeng = (h - k) * m + 60
sorterte = sorted(stilkarakterer)
stilpoeng = sum(sorterte[1:-1])
total = lengdepoeng + stilpoeng

print("Lengdepoeng:", lengdepoeng)
print("Stilpoeng:", stilpoeng)
print("Total poengsum:", total)

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner totalpoeng og stilkarakterer, og skal finne hopplengden.

Steg 1 — Finn stilpoeng

Laveste \(17\) og høyeste \(19\) strykes.

\[18+18+18=54\]

Steg 2 — Finn lengdepoeng

\[136-54=82\]

Resten av poengene må komme fra lengden.

Steg 3 — Løs for \(h\)

\[(h-120)\cdot 1{,}8+60=82\]

Vi setter lengdepoengene lik \(82\).

\[h=120+\dfrac{22}{1{,}8}\approx 132{,}2\]

Tolkning

Roar hoppet litt over \(132\) meter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Kontroll av skihopp, oppgave 4b
from sympy import symbols, Eq, solve

h = symbols('h')
k = 120
m = 1.8
totalpoeng = 136
stilkarakterer = [17, 18, 18, 18, 19]

sorterte = sorted(stilkarakterer)
stilpoeng = sum(sorterte[1:-1])
lengdepoeng = totalpoeng - stilpoeng
losning = solve(Eq((h - k) * m + 60, lengdepoeng), h)[0]

print("Stilpoeng:", stilpoeng)
print("Lengdepoeng:", lengdepoeng)
print("Hopplengde:", float(losning), "meter")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne kostnadsfunksjonen for \(0\le x\le 800\).

Steg 1 — Skriv inn funksjonen

\[K(x)=12000+60x+0{,}2x^2\]

Dette er en andregradsfunksjon som vender oppover.

Steg 2 — Velg intervall

\[0\le x\le 800\]

Oppgaven bestemmer x-området.

Steg 3 — Tegn i GeoGebra

Bruk funksjonen og begrens visningen til intervallet.

Tolkning

Kostnadene øker mer og mer fordi leddet \(0{,}2x^2\) blir større når produksjonen øker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Kontrollpunkter for grafen til K
from sympy import symbols

x = symbols('x')
K = 12000 + 60*x + 0.2*x**2
punkter = [0, 200, 400, 600, 800]

print("Kostnadsfunksjon:", K)
for verdi in punkter:
    print("x =", verdi, "gir K(x) =", K.subs(x, verdi))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\) når kostnaden er \(68000\).

Steg 1 — Sett opp likningen

\[12000+60x+0{,}2x^2=68000\]

Kostnaden skal være \(68000\) kroner.

Steg 2 — Flytt alt til én side

\[0{,}2x^2+60x-56000=0\]

Da kan vi løse andregradslikningen.

Steg 3 — Løs likningen

\[x=400 \quad \text{eller} \quad x=-700\]

Negativ produksjon gir ikke mening.

Tolkning

Fabrikken kan produsere \(400\) stativer for \(68000\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Løser kostnadslikningen K(x) = 68000
from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols('x')
K = 12000 + 60*x + 0.2*x**2
losninger = solve(Eq(K, 68000), x)
praktiske_losninger = [verdi for verdi in losninger if verdi >= 0]

print("Alle løsninger:", losninger)
print("Praktisk mulig løsning:", praktiske_losninger[0])

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne inntektsgrafen sammen med kostnadsgrafen.

Steg 1 — Skriv inn inntektsfunksjonen

\[I(x)=200x\]

Inntekten øker lineært med antall solgte stativer.

Steg 2 — Bruk samme akser

Bruk samme x-intervall som for kostnaden: \(0\le x\le 800\).

Steg 3 — Sammenlikn grafene

Der \(I(x)\) ligger over \(K(x)\), er inntekten større enn kostnaden.

Tolkning

Grafene gjør det mulig å lese av når produksjonen gir overskudd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Kontrollpunkter for inntektsgrafen I
from sympy import symbols

x = symbols('x')
I = 200*x
punkter = [0, 200, 400, 600, 800]

print("Inntektsfunksjon:", I)
for verdi in punkter:
    print("x =", verdi, "gir I(x) =", I.subs(x, verdi))

Hva spør oppgaven om? Overskudd betyr at inntekten er større enn kostnaden.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

\[200x>12000+60x+0{,}2x^2\]

Inntekten må være større enn kostnaden.

Steg 2 — Finn nullpunktene for forskjellen

\[200x=12000+60x+0{,}2x^2\]

Dette gir skjæringspunktene mellom grafene.

Steg 3 — Løs likningen

\[x=100 \quad \text{eller} \quad x=600\]

Dette er punktene der fabrikken går akkurat i null.

Steg 4 — Velg intervallet med overskudd

\[100

Mellom skjæringspunktene ligger inntektsgrafen over kostnadsgrafen.

Tolkning

Fabrikken bør produsere mer enn \(100\), men mindre enn \(600\), stativer per måned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Finner produksjonsintervallet som gir overskudd
from sympy import symbols, solve, Eq

x = symbols('x')
K = 12000 + 60*x + 0.2*x**2
I = 200*x
overskudd = I - K
nullpunkter = solve(Eq(overskudd, 0), x)

print("Overskuddsfunksjon:", overskudd)
print("Nullpunkter:", nullpunkter)
print("Overskudd når produksjonen er mellom", nullpunkter[0], "og", nullpunkter[1])

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne skatt og trekke den fra personinntekten.

Steg 1 — Alminnelig inntekt og toppskattegrunnlag

\[450000-63800=386200\]

\[450000-400000=50000\]

Steg 2 — Regn skattene

\[0{,}28\cdot 386200=108136\]

\[0{,}078\cdot 450000=35100\]

\[0{,}09\cdot 50000=4500\]

Steg 3 — Finn total skatt og nettolønn

\[108136+35100+4500=147736\]

\[450000-147736=302264\]

Tolkning

Etter skatt sitter Per igjen med \(302264\) kroner.

Kontroll (Python)

# Skatteutregning for Per i 2006
personinntekt = 450000
fradrag = 63800

alminnelig_inntekt = personinntekt - fradrag
grunnlag_toppskatt = max(0, personinntekt - 400000)
inntektsskatt = 0.28 * alminnelig_inntekt
trygdeavgift = 0.078 * personinntekt
toppskatt = 0.09 * grunnlag_toppskatt
skatt_totalt = inntektsskatt + trygdeavgift + toppskatt
nettolonn = personinntekt - skatt_totalt

print("Alminnelig inntekt:", alminnelig_inntekt)
print("Grunnlag for toppskatt:", grunnlag_toppskatt)
print("Inntektsskatt:", inntektsskatt)
print("Trygdeavgift:", trygdeavgift)
print("Toppskatt:", toppskatt)
print("Skatt totalt:", skatt_totalt)
print("Nettolønn:", nettolonn)

Hva spør oppgaven om? Vi må først øke personinntekten, og deretter bruke samme skatteregler.

Steg 1 — Finn personinntekt i 2007

\[450000\cdot 1{,}055=474750\]

Vekstfaktoren for \(5{,}5\%\) økning er \(1{,}055\).

Steg 2 — Finn skattegrunnlag

\[474750-63800=410950\]

\[474750-400000=74750\]

Steg 3 — Regn skatt og nettolønn

\[0{,}28\cdot 410950=115066\]

\[0{,}078\cdot 474750=37030{,}5\]

\[0{,}09\cdot 74750=6727{,}5\]

\[474750-(115066+37030{,}5+6727{,}5)=315926\]

Tolkning

Nettolønnen økte, men ikke med hele \(5{,}5\%\), fordi skatten også økte.

Kontroll (Python)

# Skatteutregning for Per i 2007
personinntekt_2006 = 450000
vekst = 1.055
fradrag = 63800

personinntekt_2007 = personinntekt_2006 * vekst
alminnelig_inntekt = personinntekt_2007 - fradrag
grunnlag_toppskatt = max(0, personinntekt_2007 - 400000)
inntektsskatt = 0.28 * alminnelig_inntekt
trygdeavgift = 0.078 * personinntekt_2007
toppskatt = 0.09 * grunnlag_toppskatt
skatt_totalt = inntektsskatt + trygdeavgift + toppskatt
nettolonn_2007 = personinntekt_2007 - skatt_totalt

print("Personinntekt 2007:", personinntekt_2007)
print("Alminnelig inntekt:", alminnelig_inntekt)
print("Grunnlag for toppskatt:", grunnlag_toppskatt)
print("Skatt totalt:", skatt_totalt)
print("Nettolønn 2007:", nettolonn_2007)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis endring fra \(302264\) til \(315926\).

Steg 1 — Finn økningen i kroner

\[315926-302264=13662\]

Dette er den absolutte økningen.

Steg 2 — Del på startverdien

\[\dfrac{13662}{302264}\approx 0{,}0452\]

Prosentvis økning måles i forhold til gammel verdi.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}0452\cdot 100\%\approx 4{,}5\%\]

Tolkning

Nettolønnen økte med omtrent \(4{,}5\%\).

Kontroll (Python)

# Prosentvis økning i nettolønn
netto_2006 = 302264
netto_2007 = 315926

okning_kroner = netto_2007 - netto_2006
prosent_okning = okning_kroner / netto_2006 * 100

print("Økning i kroner:", okning_kroner)
print("Prosentvis økning:", prosent_okning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne lønnsøkningen med prisøkningen.

Steg 1 — Finn prisveksten

\[\dfrac{118{,}6}{117{,}7}\approx 1{,}00765\]

Prisene økte med omtrent \(0{,}765\%\).

Steg 2 — Finn 2006-lønn målt i 2007-priser

\[302264\cdot 1{,}00765\approx 304577\]

Per måtte hatt omtrent \(304577\) kroner i 2007 for å ha samme kjøpekraft som i 2006.

Steg 3 — Sammenlikn

\[315926>304577\]

Nettolønnen i 2007 var høyere enn det som trengtes for å dekke prisveksten.

Tolkning

Per hadde mer penger å handle for i 2007 enn i 2006.

Kontroll (Python)

# Kjøpekraft fra 2006 til 2007
netto_2006 = 302264
netto_2007 = 315926
kpi_2006 = 117.7
kpi_2007 = 118.6

prisfaktor = kpi_2007 / kpi_2006
samme_kjopekraft = netto_2006 * prisfaktor
forskjell = netto_2007 - samme_kjopekraft

print("Prisfaktor:", prisfaktor)
print("2006-nettolønn omregnet til 2007-priser:", samme_kjopekraft)
print("Forskjell i kroner:", forskjell)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne personinntekten som gir nettolønn med samme kjøpekraft som i 2006.

Steg 1 — Finn nødvendig nettolønn

\[302264\cdot \dfrac{118{,}6}{117{,}7}\approx 304577\]

Dette er nettolønn i 2007-kroner med samme kjøpekraft som i 2006.

Steg 2 — Sett opp nettolønn som funksjon av personinntekt

Når personinntekten er over \(400000\), blir

\[\text{netto}=x-\left(0{,}28(x-63800)+0{,}078x+0{,}09(x-400000)\right)\]

Steg 3 — Løs likningen

\[x-\left(0{,}28(x-63800)+0{,}078x+0{,}09(x-400000)\right)=304577\]

\[x\approx 454190\]

Tolkning

Per måtte hatt omtrent \(454000\) kroner i personinntekt i 2007 for å ha samme kjøpekraft som i 2006.

Kontroll (Python)

# Personinntekt som gir samme kjøpekraft i 2007
from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols('x')
fradrag = 63800
netto_2006 = 302264
kpi_2006 = 117.7
kpi_2007 = 118.6

nodvendig_netto = netto_2006 * kpi_2007 / kpi_2006
skatt = 0.28*(x - fradrag) + 0.078*x + 0.09*(x - 400000)
netto = x - skatt
losning = solve(Eq(netto, nodvendig_netto), x)[0]

print("Nødvendig nettolønn i 2007:", float(nodvendig_netto))
print("Nødvendig personinntekt:", float(losning))

Hva spør oppgaven om? Vi skal fordele elevene i et venndiagram.

Steg 1 — Finn bare kjemi og bare matematikk

\[\text{bare kjemi}=12-7=5\]

\[\text{bare matematikk}=21-7=14\]

Steg 2 — Finn antall som har minst ett fag

\[5+7+14=26\]

Steg 3 — Finn verken matematikk eller kjemi

\[30-26=4\]

Tolkning

Fire elever har ikke valgt noen av disse to fagene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for området «bare matematikk».

Steg 1 — Finn antall gunstige

\[21-7=14\]

Det er \(14\) elever som har matematikk, men ikke kjemi.

Steg 2 — Del på antall elever

\[P=\dfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15}\]

Steg 3 — Gjør om til desimaltall om ønskelig

\[\dfrac{7}{15}\approx 0{,}467\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(46{,}7\%\).

Kontroll (Python)

# Sannsynlighet for matematikk, men ikke kjemi
fractions_resultat = 14 / 30

print("Gunstige elever:", 14)
print("Mulige elever:", 30)
print("Sannsynlighet:", fractions_resultat)
print("Prosent:", fractions_resultat * 100)

Hva spør oppgaven om? Vi trekker to elever uten tilbakelegging.

Steg 1 — Første elev

\[P(\text{matematikk først})=\dfrac{21}{30}\]

Steg 2 — Andre elev

Hvis første elev hadde matematikk, er det \(20\) matematikk-elever igjen av \(29\).

\[P(\text{matematikk nummer to})=\dfrac{20}{29}\]

Steg 3 — Multipliser

\[P=\dfrac{21}{30}\cdot \dfrac{20}{29}=\dfrac{14}{29}\approx 0{,}483\]

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(48{,}3\%\).

Kontroll (Python)

# To elever trekkes uten tilbakelegging
from fractions import Fraction

sannsynlighet = Fraction(21, 30) * Fraction(20, 29)

print("Eksakt sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Desimaltall:", float(sannsynlighet))
print("Prosent:", float(sannsynlighet) * 100)

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner sannsynligheten og skal finne klassestørrelsen.

Steg 1 — Sett \(n\) for antall elever

Da er sannsynligheten for to matematikk-elever

\[\dfrac{4}{n}\cdot \dfrac{3}{n-1}=0{,}05\]

Steg 2 — Forenkle

\[\dfrac{12}{n(n-1)}=0{,}05\]

Steg 3 — Løs

\[n(n-1)=240\]

\[16\cdot 15=240\]

Tolkning

Klassen må ha \(16\) elever.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Finner antall elever i klasse 1B
from sympy import symbols, Eq, solve

n = symbols('n')
losninger = solve(Eq((4/n) * (3/(n - 1)), 0.05), n)
praktiske = [verdi for verdi in losninger if verdi > 4]

print("Alle løsninger:", losninger)
print("Praktisk mulig klassestørrelse:", praktiske[0])

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formelen for volum av en kule.

Steg 1 — Finn radiene

\[r_{stor}=1{,}0\text{ cm},\qquad r_{liten}=0{,}75\text{ cm}\]

Radius er halvparten av diameteren.

Steg 2 — Bruk kuleformelen

\[V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\]

Steg 3 — Regn volumene

\[V_{stor}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 1^3\approx 4{,}19\text{ cm}^3\]

\[V_{liten}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 0{,}75^3\approx 1{,}77\text{ cm}^3\]

Tolkning

Den store kulen har mer enn dobbelt så stort volum som den lille.

Kontroll (Python)

# Volum av store og små marsipankuler
from math import pi

radius_stor = 1.0
radius_liten = 0.75

volum_stor = 4/3 * pi * radius_stor**3
volum_liten = 4/3 * pi * radius_liten**3

print("Volum stor kule:", volum_stor, "cm^3")
print("Volum liten kule:", volum_liten, "cm^3")

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne volum per krone.

Steg 1 — Stor kule per krone

\[\dfrac{4{,}19}{2}\approx 2{,}09\text{ cm}^3/\text{kr}\]

Steg 2 — Liten kule per krone

\[\dfrac{1{,}77}{1}=1{,}77\text{ cm}^3/\text{kr}\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[2{,}09>1{,}77\]

Store kuler gir mer marsipan per krone.

Tolkning

Det lønner seg å kjøpe store marsipankuler dersom målet er mest marsipan for pengene.

Kontroll (Python)

# Sammenlikner volum per krone
from math import pi

volum_stor = 4/3 * pi * 1.0**3
volum_liten = 4/3 * pi * 0.75**3
pris_stor = 2
pris_liten = 1

per_krone_stor = volum_stor / pris_stor
per_krone_liten = volum_liten / pris_liten

print("Stor kule, cm^3 per krone:", per_krone_stor)
print("Liten kule, cm^3 per krone:", per_krone_liten)
print("Mest marsipan per krone:", "stor kule" if per_krone_stor > per_krone_liten else "liten kule")

Hva spør oppgaven om? Når sjokoladelaget er tynt, kan vi sammenlikne total overflate.

Steg 1 — Bruk overflateformelen

\[O=4\pi r^2\]

Steg 2 — Total overflate for små kuler

\[64\cdot 4\pi\cdot 0{,}75^2=144\pi\]

Steg 3 — Total overflate for store kuler

\[27\cdot 4\pi\cdot 1^2=108\pi\]

Steg 4 — Sammenlikn

\[144\pi>108\pi\]

Esken med små kuler har størst samlet overflate.

Tolkning

Det er mest sjokolade i esken med \(64\) små kuler.

Kontroll (Python)

# Sammenlikner sjokolademengde via samlet overflate
from math import pi

radius_stor = 1.0
radius_liten = 0.75

flate_liten_eske = 64 * 4 * pi * radius_liten**2
flate_stor_eske = 27 * 4 * pi * radius_stor**2

print("Samlet overflate, små kuler:", flate_liten_eske)
print("Samlet overflate, store kuler:", flate_stor_eske)
print("Mest sjokolade:", "små kuler" if flate_liten_eske > flate_stor_eske else "store kuler")

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke sammenhengen mellom stigningstallene til vinkelrette linjer.

Steg 1 — Velg tre linjer

\[l_1:y=2x+1,\quad l_2:y=-x+3,\quad l_3:y=0{,}5x-2\]

Stigningstallene er \(2\), \(-1\) og \(0{,}5\).

Steg 2 — Tegn vinkelrette linjer

\[m_1:y=-0{,}5x+1,\quad m_2:y=x+1,\quad m_3:y=-2x+1\]

Disse har stigningstall \(-0{,}5\), \(1\) og \(-2\).

Steg 3 — Multipliser stigningstallene

\[2\cdot (-0{,}5)=-1\]

\[(-1)\cdot 1=-1\]

\[0{,}5\cdot (-2)=-1\]

Steg 4 — Lag hypotese

Hvis to ikke-loddrette linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene \(-1\).

Tolkning

En vinkelrett linje har negativt omvendt stigningstall.

Kontroll (GeoGebra / Python)

# Undersøker stigningstall for vinkelrette linjer
linjer = [
    ("l1", 2, "m1", -0.5),
    ("l2", -1, "m2", 1),
    ("l3", 0.5, "m3", -2),
]

for navn1, a1, navn2, a2 in linjer:
    produkt = a1 * a2
    print(navn1, "har stigningstall", a1)
    print(navn2, "har stigningstall", a2)
    print("Produkt:", produkt)
    print("---")

print("Hypotese: For vinkelrette linjer er produktet av stigningstallene -1.")