Eksponentialfunksjoner – vekstfaktor, vekst og nedgang

Eksponentialfunksjoner

En eksponentialfunksjon skrives f(x) = a · bˣ, der den variable står i eksponenten. Det skiller den fra en potensfunksjon som x², der den variable står i grunntallet.

Hva a og b betyr

a er startverdien — funksjonsverdien når x = 0. b er vekstfaktoren, og forteller hva verdien ganges med hver gang x øker med 1.

Er b > 1, får du eksponentiell vekst. Er 0 < b < 1, får du eksponentiell nedgang. Er b = 1, er funksjonen konstant.

Forskjellen fra lineær vekst

En lineær funksjon legger til like mye hver gang. En eksponentialfunksjon ganger med like mye hver gang. Derfor vil eksponentiell vekst før eller siden passere enhver lineær vekst, uansett hvor bratt linja er.

Dette er kjernen i mange eksamensoppgaver: avgjør om en tabell viser lineær eller eksponentiell utvikling. Sjekk om differansen mellom verdiene er konstant (lineær), eller om forholdet mellom dem er konstant (eksponentiell).

Finne funksjonsuttrykket

Har du to punkter, deler du dem på hverandre for å finne b. Med f(0) = 200 og f(3) = 1600: 1600/200 = b³ = 8, altså b = 2. Funksjonen er f(x) = 200 · 2ˣ.

Grafen

Grafen skjærer y-aksen i a og nærmer seg x-aksen uten å nå den. x-aksen er en asymptote, og funksjonen har derfor ingen nullpunkter.

Løse eksponentiallikninger

Når den ukjente står i eksponenten, tar du logaritmen på begge sider. For 200 · 2ˣ = 5000 gir det x = ln 25 / ln 2 ≈ 4,64.