Andregradsfunksjoner – parabel, nullpunkter og toppunkt

Andregradsfunksjoner

En andregradsfunksjon skrives f(x) = ax² + bx + c der a ≠ 0. Grafen er en parabel.

Fortegnet til a bestemmer formen: er a positiv, vender parabelen oppover og har et bunnpunkt. Er a negativ, vender den nedover og har et toppunkt. Jo større |a|, desto smalere blir parabelen.

Nullpunkter

Nullpunktene er der grafen skjærer x-aksen, altså der f(x) = 0. Dem finner du med abc-formelen eller ved faktorisering.

Diskriminanten b² − 4ac avgjør antallet: positiv gir to nullpunkter, null gir ett, negativ gir ingen.

Topp- og bunnpunkt

Symmetrilinja ligger midt mellom nullpunktene, ved x = −b / 2a. Setter du den verdien inn i funksjonen, får du y-koordinaten.

For f(x) = x² − 6x + 5 er x = 6/2 = 3, og f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Bunnpunktet er (3, −4).

Du kan også derivere og sette f'(x) = 0 — det gir samme svar, siden f'(x) = 2ax + b.

Skjæring med y-aksen

Sett x = 0. Da står du igjen med c. Konstantleddet er altså alltid y-verdien der grafen krysser y-aksen.

Praktisk bruk

Andregradsfunksjoner modellerer kast og fall, inntekt som funksjon av pris, og areal som funksjon av en sidelengde. I slike oppgaver er toppunktet nesten alltid svaret: den høyeste banen, den største inntekten, det største arealet.