Funksjonsanalyse med derivasjon og integrasjon

Full funksjonsanalyse

En funksjonsanalyse er den systematiske gjennomgangen som gir deg hele bildet av en graf. Rekkefølgen under er den som gir minst arbeid.

1. Definisjonsmengde

Hvilke x-verdier er tillatt? Nevneren kan ikke være null, og uttrykk under kvadratrot må være positive.

2. Skjæringspunkter

Nullpunkter finner du ved f(x) = 0. Skjæring med y-aksen er f(0).

3. Førstederiverte

Sett f'(x) = 0 for å finne stasjonære punkter. Lag et fortegnsskjema for f'(x):

• Fortegnsskifte fra + til −: toppunkt
• Fortegnsskifte fra − til +: bunnpunkt
• Ingen fortegnsskifte: terrassepunkt

Fortegnsskjemaet gir deg også hvor funksjonen vokser og avtar.

4. Andrederiverte

f''(x) beskriver krumningen. Positiv gir kurve som vender oppover, negativ gir kurve som vender nedover. Der f''(x) skifter fortegn, ligger et vendepunkt.

5. Asymptoter

Loddrette asymptoter finner du der nevneren er null. Vannrette finner du ved å regne ut grenseverdien når x går mot uendelig.

6. Skisse

Sett sammen alt: skjæringspunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter, asymptoter og hvor grafen vokser.

Sammenhengen med integrasjon

Der derivasjon beskriver endring, beskriver integrasjon samlet mengde. Er f'(x) en vekstfart, gir integralet av den samlet vekst i perioden.

Er f positiv, vokser arealfunksjonen. Der f skifter fortegn, har arealfunksjonen et ekstremalpunkt. Grafen til f er altså fortegnsskjemaet til integralet.