Den deriverte og vekstfart – gjennomsnittlig og momentan

Hva den deriverte er

Den deriverte f'(x) er den momentane vekstfarten til funksjonen — hvor bratt grafen er i ett bestemt punkt. Geometrisk er den stigningstallet til tangenten der.

Fra gjennomsnitt til øyeblikk

Stigningstallet mellom to punkter er (f(x+h) − f(x)) / h. Lar du avstanden h krympe mot null, nærmer sekanten seg tangenten, og du får definisjonen:

f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) − f(x)) / h

Dette kalles den deriverte som grenseverdi, og er grunnlaget alle derivasjonsreglene er utledet fra.

Hva fortegnet forteller

• f'(x) > 0: funksjonen vokser — grafen stiger
• f'(x) < 0: funksjonen avtar — grafen faller
• f'(x) = 0: grafen er vannrett — mulig topp-, bunn- eller terrassepunkt

Topp- og bunnpunkt

Sett f'(x) = 0 og løs. Skifter den deriverte fra positiv til negativ, har du et toppunkt. Skifter den fra negativ til positiv, har du et bunnpunkt. Skifter den ikke fortegn, er det et terrassepunkt.

Et fortegnsskjema for f'(x) er den ryddigste måten å vise dette på til eksamen.

Den dobbeltderiverte

Deriverer du en gang til, får du f''(x), som beskriver krumningen. Er f''(x) > 0, krummer grafen oppover. Der f''(x) skifter fortegn, ligger et vendepunkt.

Praktisk betydning

Er f(x) en posisjon, er f'(x) farten og f''(x) akselerasjonen. Er f(x) en kostnad, er f'(x) grensekostnaden. Derivasjon brukes overalt der en endringsrate er interessant.