Alle derivasjonsreglene med eksempler: kjerneregelen, produktregelen, kvotientregelen (brøkregelen), potensregelen, implisitt og numerisk derivasjon – steg for
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-05
Kjernen i derivasjon: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹. Du ganger ned eksponenten som faktor og reduserer den med 1. Så (x³)' = 3x² og (x²)' = 2x.
Tre støtteregler gjør resten: en konstant deriveres til 0, en konstantfaktor blir stående ((5x)' = 5), og et polynom deriveres ledd for ledd. Så (x³ + 2x²)' = 3x² + 4x.
Når to funksjoner ganges sammen, kan du ikke bare derivere hver for seg. Produktregelen sier (u · v)' = u'v + uv': deriver den første og behold den andre, legg til den første beholdt ganger den andre derivert.
For f(x) = x² sin x blir u = x² og v = sin x, altså f'(x) = 2x sin x + x² cos x.
En brøk deriveres med (u/v)' = (u'v − uv') / v². Merk minus i telleren — rekkefølgen betyr noe her, i motsetning til produktregelen — og at nevneren kvadreres.
For f(x) = x/(x+1) får du f'(x) = (1·(x+1) − x·1) / (x+1)² = 1/(x+1)².
En sammensatt funksjon er en funksjon inni en annen. Kjerneregelen sier (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x): deriver det ytre og la det indre stå, gang så med den deriverte av det indre.
For f(x) = (3x + 2)⁵ er det ytre u⁵ og det indre 3x + 2. Da blir f'(x) = 5(3x + 2)⁴ · 3 = 15(3x + 2)⁴. En vanlig feil er å glemme å gange med den indre deriverte.
Noen ganger er y ikke skrevet som en funksjon av x alene, for eksempel x² + y² = 25. Da deriverer du begge sider med hensyn på x og bruker kjerneregelen hver gang du deriverer et ledd med y: (y²)' = 2y · y'.
Her gir det 2x + 2y y' = 0, altså y' = −x/y.
Når du ikke har et formeluttrykk, men målte verdier, kan du regne ut den deriverte tilnærmet. Den sentrale differansen f'(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / 2h gir et godt estimat for små h, og er metoden GeoGebra og Python bruker når de deriverer numerisk.