Logaritmer – lg, ln, logaritmeregler og eksponentiallikninger

Hva en logaritme er

Logaritmen svarer på spørsmålet: hvilken eksponent må jeg opphøye grunntallet i for å få dette tallet? Den er den omvendte operasjonen av potens.

Fordi 10³ = 1000, er lg 1000 = 3. Fordi 2⁵ = 32, er log₂ 32 = 5.

De to vanlige logaritmene

lg x har grunntall 10 og kalles den briggske logaritmen. ln x har grunntall e ≈ 2,718 og kalles den naturlige logaritmen. På eksamen brukes ln mest, fordi den oppfører seg enklest ved derivasjon.

Logaritmereglene

• ln(a · b) = ln a + ln b — produkt blir sum
• ln(a / b) = ln a − ln b — kvotient blir differanse
• ln(aⁿ) = n · ln a — eksponenten kan flyttes ned foran

Den siste regelen er grunnen til at logaritmer i det hele tatt brukes: den henter ukjente ned fra eksponentplass.

Merk at ln(a + b) ikke kan skrives om. Bare produkt, kvotient og potens har regler.

Løse eksponentiallikninger

For 2ˣ = 50 tar du logaritmen på begge sider: x · ln 2 = ln 50, altså x = ln 50 / ln 2 ≈ 5,64.

Framgangsmåten er alltid den samme: isoler potensen, ta ln på begge sider, flytt eksponenten ned, og del.

Doblingstid og halveringstid

Med vekstfaktor v finner du doblingstiden av v^t = 2, altså t = ln 2 / ln v. Samme metode gir halveringstid med 0,5 i stedet for 2.