S2 kapittel 2 – Integrasjon

Innhold: eksempler og oppgaver, full trinnvis løsning, fasit, regler, vanlige feil, sensorpunkt, høy måloppnåelse, SVG-illustrasjoner, Python-kode der det passer og Ifingo-lærer-knapp.

Eksempler – forklart

Oppgave Eksempel 1Antiderivasjon av potensfunksjon

Oppgave Eksempel 1 – Antiderivasjon av potensfunksjon

Finn det ubestemte integralet ∫(6x²−4x+5) dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi integrerer ledd for ledd: ∫6x² dx=2x³, ∫−4x dx=−2x² og ∫5 dx=5x. Husk konstanten C.

Fasit
2x³−2x²+5x+C.

Regel/huskeregel
Når vi integrerer xⁿ, får vi xⁿ⁺¹/(n+1), n≠−1.

Vanlige feil
Å glemme +C i ubestemte integral.

Sensor ser etter
Sensor ser etter leddvis integrasjon og konstant.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 2Bestemt integral

Oppgave Eksempel 2 – Bestemt integral

Regn ut ∫₁³(2x+4) dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
En antiderivert er F(x)=x²+4x. Da er integralet F(3)−F(1)=(9+12)−(1+4)=16.

Fasit
16.

Regel/huskeregel
Bestemt integral: ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a).

Vanlige feil
Å sette inn nedre grense først og få feil fortegn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig antiderivert og innsetting.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 3Areal under graf

Oppgave Eksempel 3 – Areal under graf

Finn arealet mellom grafen til f(x)=x²+1 og x-aksen fra x=0 til x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er positiv på intervallet. Arealet er ∫₀²(x²+1)dx=[x³/3+x]₀²=8/3+2=14/3.

Fasit
14/3.

Regel/huskeregel
Når f(x)≥0, er arealet lik det bestemte integralet.

Vanlige feil
Å skrive areal som negativt eller glemme at areal alltid er positivt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter fortegnsvurdering.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 4Fortegnsareal

Oppgave Eksempel 4 – Fortegnsareal

Finn arealet mellom f(x)=x−2 og x-aksen fra x=0 til x=5.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nullpunktet er x=2. På [0,2] er f negativ, og på [2,5] er f positiv. Arealet blir −∫₀²(x−2)dx+∫₂⁵(x−2)dx=2+4,5=6,5.

Fasit
6,5.

Regel/huskeregel
Areal under x-aksen må tas med positivt areal.

Vanlige feil
Å bruke bare ∫₀⁵ og få nettoareal.

Sensor ser etter
Sensor ser etter oppdeling ved nullpunkt.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 5Integral og fart

Oppgave Eksempel 5 – Integral og fart

Farten til en syklist er v(t)=3t+4 m/s i de første 6 sekundene. Finn strekningen.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Strekningen er integralet av fart: ∫₀⁶(3t+4)dt=[1,5t²+4t]₀⁶=54+24=78 m.

Fasit
78 m.

Regel/huskeregel
Strekning = integral av fart når farten er ikke-negativ.

Vanlige feil
Å sette inn t=6 i farten og kalle det strekning.

Sensor ser etter
Sensor ser etter praktisk tolkning av integral.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave Eksempel 6Fundamentalteoremet

Oppgave Eksempel 6 – Fundamentalteoremet

La A(x)=∫₁ˣ(t²+2t)dt. Finn A'(x) og A(3).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Analysens fundamentalteorem gir A'(x)=x²+2x. Videre er A(3)=∫₁³(t²+2t)dt=[t³/3+t²]₁³=(9+9)−(1/3+1)=50/3.

Fasit
A'(x)=x²+2x, A(3)=50/3.

Regel/huskeregel
Hvis A(x)=∫ₐˣ f(t)dt, er A'(x)=f(x).

Vanlige feil
Å integrere med x som om den var konstant.

Sensor ser etter
Sensor ser etter variabelskille og teorembruk.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave Eksempel 7Substitusjon

Oppgave Eksempel 7 – Substitusjon

Regn ut ∫2x(x²+3)⁴ dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=x²+3. Da er du=2x dx. Integral blir ∫u⁴du=u⁵/5+C=(x²+3)⁵/5+C.

Fasit
(x²+3)⁵/5+C.

Regel/huskeregel
Substitusjon brukes når indre funksjons deriverte finnes som faktor.

Vanlige feil
Å glemme å bytte tilbake til x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig u og du.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave Eksempel 8Delvis integrasjon

Oppgave Eksempel 8 – Delvis integrasjon

Regn ut ∫x·eˣ dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Velg u=x og v'=eˣ. Da er u'=1 og v=eˣ. Delvis integrasjon gir x eˣ−∫eˣdx=x eˣ−eˣ+C=eˣ(x−1)+C.

Fasit
eˣ(x−1)+C.

Regel/huskeregel
∫u v' dx = u v − ∫u' v dx.

Vanlige feil
Å derivere eˣ feil eller glemme minusleddet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig valg av u og v'.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgaver 2.1–2.60

Oppgave 2.1Ubestemte integral

Oppgave 2.1 – Ubestemte integral

Finn ∫(4x³−6x+7)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integrer leddvis: ∫4x³dx=x⁴, ∫−6xdx=−3x², ∫7dx=7x. Legg til C.

Fasit
x⁴−3x²+7x+C.

Regel/huskeregel
Potensregelen for integrasjon brukes leddvis.

Vanlige feil
Å glemme +C.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensøkning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.2Kontroller ved derivasjon

Oppgave 2.2 – Kontroller ved derivasjon

Finn ∫(9x²+2)dx og kontroller svaret.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integral: 3x³+2x+C. Deriverer vi, får vi 9x²+2, som stemmer med integranden.

Fasit
3x³+2x+C.

Regel/huskeregel
Derivasjon kontrollerer integrasjon.

Vanlige feil
Å ikke kontrollere koeffisientene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både integral og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.3Integral med brøkpotens

Oppgave 2.3 – Integral med brøkpotens

Finn ∫(√x+3/x)dx for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2. Integral blir (2/3)x^3/2+3ln|x|+C. Siden x>0 kan vi skrive 3ln x.

Fasit
(2/3)x^3/2+3ln x+C.

Regel/huskeregel
∫1/x dx=ln|x|+C.

Vanlige feil
Å bruke potensregelen på 1/x og få x⁰/0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter logaritmeleddet.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.4Eksponentialintegral

Oppgave 2.4 – Eksponentialintegral

Finn ∫5e^2xdx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden den deriverte av 2x er 2, får vi ∫5e^2xdx=(5/2)e^2x+C.

Fasit
(5/2)e^2x+C.

Regel/huskeregel
∫e^kxdx=(1/k)e^kx+C.

Vanlige feil
Å glemme å dele på k.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kjerneregel baklengs.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.5Bestemt integral av polynom

Oppgave 2.5 – Bestemt integral av polynom

Regn ut ∫₀²(3x²−2x+1)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Antiderivert er F(x)=x³−x²+x. F(2)=8−4+2=6 og F(0)=0. Integral =6.

Fasit
6.

Regel/huskeregel
Bestemt integral regnes med F(b)−F(a).

Vanlige feil
Å sette inn b og a i integranden, ikke i F.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig antiderivert.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.6Bestemt integral med ln

Oppgave 2.6 – Bestemt integral med ln

Regn ut ∫₁⁴(2/x)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Antiderivert er 2ln x. Integral =2ln4−2ln1=2ln4.

Fasit
2ln4.

Regel/huskeregel
ln1=0.

Vanlige feil
Å bruke logaritme uten absoluttverdi i generelle uttrykk; her er intervallet positivt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter logaritmeregning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.7Areal fra graf over x-aksen

Oppgave 2.7 – Areal fra graf over x-aksen

Finn arealet under f(x)=−x²+4 fra x=0 til x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er positiv på [0,2]. Arealet er ∫₀²(−x²+4)dx=[−x³/3+4x]₀²=−8/3+8=16/3.

Fasit
16/3.

Regel/huskeregel
Areal = integral når grafen ligger over x-aksen.

Vanlige feil
Å tro at parabelens toppunkt er arealet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter integral og positivitet.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.8Areal med negativ del

Oppgave 2.8 – Areal med negativ del

Finn arealet mellom f(x)=x²−4 og x-aksen fra x=0 til x=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nullpunkt i intervallet er x=2. På [0,2] er f negativ, på [2,3] positiv. Areal =−∫₀²(x²−4)dx+∫₂³(x²−4)dx=16/3+7/3=23/3.

Fasit
23/3.

Regel/huskeregel
Del opp ved nullpunkter for å finne areal.

Vanlige feil
Å regne nettointegralet i stedet for areal.

Sensor ser etter
Sensor ser etter fortegn og oppdeling.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.9Areal mellom to grafer

Oppgave 2.9 – Areal mellom to grafer

Finn arealet mellom f(x)=x+4 og g(x)=x² fra x=0 til x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
På intervallet er f over g. Arealet er ∫₀²[(x+4)−x²]dx=[x²/2+4x−x³/3]₀²=2+8−8/3=22/3.

Fasit
22/3.

Regel/huskeregel
Areal mellom grafer = ∫(øverst−nederst)dx.

Vanlige feil
Å ta nederst−øverst og få negativt areal.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig rekkefølge.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.10Skjæringspunkter først

Oppgave 2.10 – Skjæringspunkter først

Finn arealet mellom f(x)=x² og g(x)=2x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skjæring: x²=2x gir x=0 eller x=2. På [0,2] er 2x over x². Areal=∫₀²(2x−x²)dx=[x²−x³/3]₀²=4−8/3=4/3.

Fasit
4/3.

Regel/huskeregel
Finn skjæringspunkter før areal mellom grafer.

Vanlige feil
Å bruke tilfeldige grenser.

Sensor ser etter
Sensor ser etter likning for skjæring.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.11Riemannsum

Oppgave 2.11 – Riemannsum

Forklar hvorfor rektangelsummer kan nærme seg et bestemt integral.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når intervallet deles i mange små deler, blir hvert rektangel smalt. Summen av rektangelarealene nærmer seg arealet under grafen. I grensen får vi integralet.

Fasit
Integral er grenseverdien av summer.

Regel/huskeregel
Bestemt integral kan defineres som grense av rektangelsummer.

Vanlige feil
Å tro at rektangelsum alltid er eksakt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begrepsforståelse.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.12Numerisk tilnærming

Oppgave 2.12 – Numerisk tilnærming

Bruk venstresummer med fire delintervaller til å anslå ∫₀⁴(x²+1)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bredden er Δx=1. Venstre punkter: 0,1,2,3. Verdier: 1,2,5,10. Sum=(1+2+5+10)·1=18.

Fasit
18.

Regel/huskeregel
Venstresum bruker funksjonsverdien i venstre ende av hvert delintervall.

Vanlige feil
Å bruke fem punkter når det er fire rektangler.

Sensor ser etter
Sensor ser etter Δx og punktvalg.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.13Trapesmetoden

Oppgave 2.13 – Trapesmetoden

Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å anslå ∫₀⁴(x²+1)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Verdier ved 0,1,2,3,4 er 1,2,5,10,17. Trapesmetoden: (1/2)(1+2·2+2·5+2·10+17)=26.

Fasit
26.

Regel/huskeregel
Trapesmetoden vekter første og siste verdi én gang, de indre to ganger.

Vanlige feil
Å doble endepunktene også.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt formel.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.14Fart til strekning

Oppgave 2.14 – Fart til strekning

Farten er v(t)=2t+3 m/s. Finn strekningen fra t=0 til t=10.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Strekningen er ∫₀¹⁰(2t+3)dt=[t²+3t]₀¹⁰=100+30=130 m.

Fasit
130 m.

Regel/huskeregel
Strekning er integral av fart.

Vanlige feil
Å bruke sluttfart som strekning.

Sensor ser etter
Sensor ser etter enhet og integral.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.15Akselerasjon til fart

Oppgave 2.15 – Akselerasjon til fart

Akselerasjonen er a(t)=6t−4, og v(0)=10. Finn v(t).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Fart er integral av akselerasjon: v(t)=∫(6t−4)dt=3t²−4t+C. Siden v(0)=10, er C=10.

Fasit
v(t)=3t²−4t+10.

Regel/huskeregel
Integrasjon av akselerasjon gir fart pluss konstant.

Vanlige feil
Å glemme startbetingelsen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter bruk av initialverdi.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.16Vannmagasin

Oppgave 2.16 – Vannmagasin

Innstrømningen er I(t)=40+5t og utstrømningen er U(t)=25. Hvor mye øker vannmengden fra t=0 til t=6?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Netto endring er ∫₀⁶(I(t)−U(t))dt=∫₀⁶(15+5t)dt=[15t+2,5t²]₀⁶=90+90=180.

Fasit
180 enheter.

Regel/huskeregel
Endring = integral av endringsfart.

Vanlige feil
Å integrere bare innstrømning og glemme utstrømning.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nettofunksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.17Kostnad fra grensekostnad

Oppgave 2.17 – Kostnad fra grensekostnad

Grensekostnaden er K'(x)=0,04x+60, og K(0)=12 000. Finn K(x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integrer: K(x)=0,02x²+60x+C. K(0)=12000 gir C=12000.

Fasit
K(x)=0,02x²+60x+12000.

Regel/huskeregel
Kostnadsfunksjon er antiderivert av grensekostnad.

Vanlige feil
Å tro at K'(x) er totalkostnaden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter konstantledd fra startkostnad.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.18Inntekt fra grenseinntekt

Oppgave 2.18 – Inntekt fra grenseinntekt

Grenseinntekten er I'(x)=500−0,2x. Finn inntekten for de første 1000 enhetene når I(0)=0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
I(x)=500x−0,1x². I(1000)=500000−100000=400000.

Fasit
400 000 kr.

Regel/huskeregel
Integrer grenseinntekt for å få inntekt.

Vanlige feil
Å bruke I'(1000) som totalinntekt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.19Fundamentalteoremet med variabel øvre grense

Oppgave 2.19 – Fundamentalteoremet med variabel øvre grense

La H(x)=∫₂ˣ(3t²−1)dt. Finn H'(x) og H(4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
H'(x)=3x²−1. H(4)=[t³−t]₂⁴=(64−4)−(8−2)=54.

Fasit
H'(x)=3x²−1, H(4)=54.

Regel/huskeregel
Hvis øvre grense er x, blir derivert lik integranden med x.

Vanlige feil
Å integrere med feil variabel.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt teorembruk.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.20Variabel nedre grense

Oppgave 2.20 – Variabel nedre grense

La G(x)=∫ₓ³(t²+1)dt. Finn G'(x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når x er nedre grense, får vi G'(x)=−(x²+1). Det kommer av at ∫ₓ³=−∫₃ˣ.

Fasit
G'(x)=−x²−1.

Regel/huskeregel
Variabel nedre grense gir minus foran integranden.

Vanlige feil
Å glemme minustegnet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter fortegn.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.21Kjede med integral

Oppgave 2.21 – Kjede med integral

La F(x)=∫₁ˣ² cos(t)dt. Finn F'(x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk kjerneregel: F'(x)=cos(x²)·2x.

Fasit
F'(x)=2x cos(x²).

Regel/huskeregel
Når øvre grense er u(x), er derivert f(u(x))·u'(x).

Vanlige feil
Å svare bare cos(x²).

Sensor ser etter
Sensor ser etter kjerneregel.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.22Delvis integrasjon 1

Oppgave 2.22 – Delvis integrasjon 1

Regn ut ∫x sin x dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Velg u=x og v'=sin x. Da er u'=1 og v=−cos x. Integral =−x cos x+∫cos x dx=−x cos x+sin x+C.

Fasit
−x cos x+sin x+C.

Regel/huskeregel
Delvis integrasjon: ∫u v'=uv−∫u'v.

Vanlige feil
Å sette v=cos x i stedet for −cos x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig v.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.23Delvis integrasjon 2

Oppgave 2.23 – Delvis integrasjon 2

Regn ut ∫x ln x dx for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Velg u=ln x og v'=x. Da er u'=1/x og v=x²/2. Integral=(x²/2)ln x−∫(x²/2)(1/x)dx=(x²/2)ln x−x²/4+C.

Fasit
(x²/2)ln x−x²/4+C.

Regel/huskeregel
Velg ofte u=ln x fordi den blir enklere ved derivasjon.

Vanlige feil
Å prøve vanlig potensregel på ln x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter fornuftig valg av u.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.24Substitusjon 1

Oppgave 2.24 – Substitusjon 1

Regn ut ∫3x²(x³+5)⁶dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=x³+5. Da er du=3x²dx. Integral =u⁷/7+C=(x³+5)⁷/7+C.

Fasit
(x³+5)⁷/7+C.

Regel/huskeregel
Substitusjon er kjerneregel baklengs.

Vanlige feil
Å glemme at 3x²dx må være med.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig u-substitusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.25Substitusjon med bestemt integral

Oppgave 2.25 – Substitusjon med bestemt integral

Regn ut ∫₀² 2x(x²+1)³ dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=x²+1. Når x=0, u=1. Når x=2, u=5. Integral =∫₁⁵u³du=[u⁴/4]₁⁵=(625−1)/4=156.

Fasit
156.

Regel/huskeregel
Ved bestemt integral kan grensene byttes til u-verdier.

Vanlige feil
Å beholde gamle grenser etter substitusjon.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nye grenser.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.26Integral av brøk

Oppgave 2.26 – Integral av brøk

Finn ∫ 4/(2x+3) dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden derivert av 2x+3 er 2, blir integralet 2ln|2x+3|+C.

Fasit
2ln|2x+3|+C.

Regel/huskeregel
∫ a/(bx+c)dx=(a/b)ln|bx+c|+C.

Vanlige feil
Å skrive 4ln|2x+3| uten å dele på 2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter koeffisientjustering.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.27Rasjonalt integral

Oppgave 2.27 – Rasjonalt integral

Finn ∫(6x)/(3x²+2)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=3x²+2. Da er du=6x dx. Integral =ln|u|+C=ln(3x²+2)+C.

Fasit
ln(3x²+2)+C.

Regel/huskeregel
Når telleren er derivert av nevneren, får vi ln av nevneren.

Vanlige feil
Å bruke kvotientregelen for derivasjon.

Sensor ser etter
Sensor ser etter mønstergjenkjenning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.28Bestemt integral med e-funksjon

Oppgave 2.28 – Bestemt integral med e-funksjon

Regn ut ∫₀³ 4e^0,5x dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Antiderivert er 8e^0,5x. Integral =8e¹,5−8.

Fasit
8(e¹,5−1).

Regel/huskeregel
Del på koeffisienten i eksponenten.

Vanlige feil
Å skrive 4e^0,5x som antiderivert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt faktor.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.29Areal mellom kurver med skjæring

Oppgave 2.29 – Areal mellom kurver med skjæring

Finn arealet mellom f(x)=4−x² og g(x)=x+2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skjæring: 4−x²=x+2 gir x²+x−2=0, x=−2 eller x=1. På intervallet er f over g. Areal=∫₋₂¹[(4−x²)−(x+2)]dx=∫₋₂¹(2−x−x²)dx=[2x−x²/2−x³/3]₋₂¹=4,5.

Fasit
4,5.

Regel/huskeregel
Finn skjæringspunkter og øverst−nederst.

Vanlige feil
Å velge feil øvre graf.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grafisk/fortegnsmessig kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.30Nettoareal

Oppgave 2.30 – Nettoareal

Regn ut ∫₋₂² x³ dx og forklar geometrisk.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen x³ er oddetallsfunksjon. Arealet på venstre side er like stort og negativt som arealet på høyre side er positivt. Integral =0.

Fasit
0.

Regel/huskeregel
Oddetallsfunksjon over symmetrisk intervall gir nettointegral 0.

Vanlige feil
Å tro at arealet mellom graf og akse er 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter forskjell på nettoareal og areal.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.31Absolutt areal

Oppgave 2.31 – Absolutt areal

Finn arealet mellom f(x)=x³ og x-aksen fra −2 til 2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Arealet er 2∫₀²x³dx=2·[x⁴/4]₀²=2·4=8.

Fasit
8.

Regel/huskeregel
Areal bruker absoluttverdi når funksjonen skifter fortegn.

Vanlige feil
Å bruke nettointegralet og få 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter fortegnsdeling.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.32Gjennomsnittsverdi

Oppgave 2.32 – Gjennomsnittsverdi

Finn gjennomsnittsverdien til f(x)=x² på [0,3].

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittsverdien er (1/(3−0))∫₀³x²dx=(1/3)·9=3.

Fasit
3.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittsverdi: f̄=1/(b−a)∫ₐᵇf(x)dx.

Vanlige feil
Å dele på antall ledd i stedet for intervallengde.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formel og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.33Volum med tverrsnitt

Oppgave 2.33 – Volum med tverrsnitt

Et legeme har tverrsnittsareal A(x)=x²+4 cm² fra x=0 til x=5. Finn volumet.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Volum =∫₀⁵A(x)dx=∫₀⁵(x²+4)dx=[x³/3+4x]₀⁵=125/3+20=185/3 cm³.

Fasit
185/3 cm³.

Regel/huskeregel
Volum kan finnes som integral av tverrsnittsareal.

Vanlige feil
Å bruke bare A(5).

Sensor ser etter
Sensor ser etter integralmodell og enhet.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.34Vekstrate og total økning

Oppgave 2.34 – Vekstrate og total økning

En plante vokser med rate r(t)=0,8e^0,2t cm/dag. Hvor mye vokser den de første 10 dagene?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Total vekst er ∫₀¹⁰0,8e^0,2tdt=4(e²−1)≈25,6 cm.

Fasit
Ca. 25,6 cm.

Regel/huskeregel
Total endring = integral av vekstrate.

Vanlige feil
Å tolke r(10) som total vekst.

Sensor ser etter
Sensor ser etter praktisk integralbruk.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.35Temperatur og energi

Oppgave 2.35 – Temperatur og energi

Effekten til en ovn er P(t)=1200−20t watt i 30 sekunder. Finn energien.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Energi =∫₀³⁰P(t)dt=[1200t−10t²]₀³⁰=36 000−9000=27 000 J.

Fasit
27 000 J.

Regel/huskeregel
Energi = integral av effekt over tid.

Vanlige feil
Å bruke watt som energi uten å gange med tid/integrere.

Sensor ser etter
Sensor ser etter enhet joule.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.36Smittemodell

Oppgave 2.36 – Smittemodell

Antall nye smittede per dag er s(t)=30e^{−0,05(t−10}²). Forklar hva ∫₀²⁰s(t)dt betyr.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integral fra 0 til 20 summerer antall nye smittede per dag over 20 dager. Det gir omtrent totalt antall smittede i perioden.

Fasit
Totalt antall nye smittede i perioden.

Regel/huskeregel
Integral av rate gir total mengde.

Vanlige feil
Å tolke integralet som smittede på én dag.

Sensor ser etter
Sensor ser etter konteksttolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.37Finn konstant fra areal

Oppgave 2.37 – Finn konstant fra areal

Bestem k slik at ∫₀²kx dx=12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integral =k[x²/2]₀²=2k. Sett 2k=12, så k=6.

Fasit
k=6.

Regel/huskeregel
Ukjent parameter kan finnes ved å sette integral lik gitt areal.

Vanlige feil
Å sette kx=12 direkte.

Sensor ser etter
Sensor ser etter likning med integral.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.38Symmetri og areal

Oppgave 2.38 – Symmetri og areal

Finn ∫₋₃³(x²+2)dx raskt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er partall. Integral =2∫₀³(x²+2)dx=2([x³/3+2x]₀³)=2(9+6)=30.

Fasit
30.

Regel/huskeregel
Partallsfunksjon over symmetrisk intervall kan dobles fra 0 til a.

Vanlige feil
Å tro alle symmetriske integral blir 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig symmetritype.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.39Delbrøkoppspalting enkel

Oppgave 2.39 – Delbrøkoppspalting enkel

Regn ut ∫ 1/(x(x+1)) dx for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv 1/(x(x+1))=1/x−1/(x+1). Integral =ln x−ln(x+1)+C.

Fasit
ln x−ln(x+1)+C.

Regel/huskeregel
Delbrøkoppspalting gjør brøker lettere å integrere.

Vanlige feil
Å integrere nevneren som ett uttrykk uten kjerneregelgrunnlag.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt oppspalting.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.40Delbrøk med koeffisienter

Oppgave 2.40 – Delbrøk med koeffisienter

Regn ut ∫ (3x+5)/((x+1)(x+2)) dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett (3x+5)/((x+1)(x+2))=A/(x+1)+B/(x+2). Da 3x+5=A(x+2)+B(x+1). Løser vi, får vi A=2 og B=1. Integral =2ln|x+1|+ln|x+2|+C.

Fasit
2ln|x+1|+ln|x+2|+C.

Regel/huskeregel
Finn A og B før integrasjon.

Vanlige feil
Å sette A og B tilfeldig.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenlikning av koeffisienter.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.41Integrasjon med CAS/Python

Oppgave 2.41 – Integrasjon med CAS/Python

Lag et kort Python-program som anslår ∫₀¹(x²+1)dx med rektangelsum.

n = 100000
a = 0
b = 1
dx = (b-a)/n
s = 0
for i in range(n): x = a + i*dx s += (x**2 + 1)*dx
print(s)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Del intervallet i mange biter. Summer f(xᵢ)·Δx. Når n er stor, blir summen nær eksakt verdi 4/3.

Fasit
Ca. 1,333.

Regel/huskeregel
Numerisk integrasjon summerer små rektangler.

Vanlige feil
Å bruke for grov oppdeling uten å kommentere usikkerhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kode og sammenlikning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.42Trapesprogram

Oppgave 2.42 – Trapesprogram

Skriv hvordan du ville brukt trapesmetoden i Python for ∫₀²e^x dx.

from math import exp
n = 10000
a = 0
b = 2
dx = (b-a)/n
s = 0.5*exp(a) + 0.5*exp(b)
for i in range(1,n): x = a + i*dx s += exp(x)
print(s*dx)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi bruker endepunktene med halv vekt og alle indre punkter med full vekt. Jo større n, desto bedre anslag.

Fasit
Metoden gir et tall nær e²−1.

Regel/huskeregel
Trapesmetoden forbedrer ofte rektangelsum ved å bruke linjestykker.

Vanlige feil
Å telle endepunktene dobbelt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter algoritmisk forståelse.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.43Ubestemt integral med parameter

Oppgave 2.43 – Ubestemt integral med parameter

Finn ∫(ax²+bx+c)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integrer leddvis: a·x³/3+b·x²/2+cx+C.

Fasit
(a/3)x³+(b/2)x²+cx+C.

Regel/huskeregel
Konstanter kan stå foran integralet.

Vanlige feil
Å behandle a, b og c som variabler i x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter generell integrasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.44Bestem konstant C

Oppgave 2.44 – Bestem konstant C

En funksjon F er antiderivert til f(x)=4x−1, og F(2)=10. Finn F(x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
F(x)=2x²−x+C. Sett inn x=2: 8−2+C=10, så C=4. Dermed F(x)=2x²−x+4.

Fasit
F(x)=2x²−x+4.

Regel/huskeregel
Startbetingelse bestemmer konstanten C.

Vanlige feil
Å glemme at alle antideriverte har +C.

Sensor ser etter
Sensor ser etter bruk av F(2).

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.45Integral som funksjon

Oppgave 2.45 – Integral som funksjon

La A(x)=∫₀ˣ(4−t²)dt. Finn når A har toppunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
A'(x)=4−x². Topp/bunn når A'=0: x=±2. Sjekk fortegn: A' går fra positiv til negativ ved x=2, så A har toppunkt der.

Fasit
Toppunkt ved x=2.

Regel/huskeregel
Derivert av akkumuleringsfunksjon er integranden.

Vanlige feil
Å analysere integranden som om den var A selv uten teorem.

Sensor ser etter
Sensor ser etter fortegnslinje.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.46Areal mellom graf og linje

Oppgave 2.46 – Areal mellom graf og linje

Finn arealet mellom y=6 og y=x² fra x=0 til x=√6.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Linjen y=6 ligger over y=x². Areal=∫₀√6(6−x²)dx=[6x−x³/3]₀√6=6√6−2√6=4√6.

Fasit
4√6.

Regel/huskeregel
Øverst−nederst gir areal.

Vanlige feil
Å bruke feil øvre grense eller feil rekkefølge.

Sensor ser etter
Sensor ser etter eksakt svar.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.47Løs integral-likning

Oppgave 2.47 – Løs integral-likning

Finn a>0 slik at ∫₀ᵃ2x dx=18.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integral =a². Dermed a²=18 og a=3√2 siden a>0.

Fasit
a=3√2.

Regel/huskeregel
Bestemt integral kan brukes som likning.

Vanlige feil
Å ta både positiv og negativ løsning selv om a>0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter vilkåret a>0.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.48Integral av absoluttverdi

Oppgave 2.48 – Integral av absoluttverdi

Regn ut ∫₋₁²|x−1|dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Del ved x=1. På [-1,1] er |x−1|=1−x. På [1,2] er |x−1|=x−1. Integral =∫₋₁¹(1−x)dx+∫₁²(x−1)dx=2+0,5=2,5.

Fasit
2,5.

Regel/huskeregel
Absoluttverdi krever oppdeling der uttrykket skifter fortegn.

Vanlige feil
Å bare fjerne absoluttverditegnet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter oppdeling.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.49Praktisk areal av graf

Oppgave 2.49 – Praktisk areal av graf

Grafen til en produksjonsrate ligger over x-aksen. Forklar hvorfor arealet under grafen gir total produksjon.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Raten forteller hvor mye som produseres per tidsenhet. Når vi summerer rate·tid over små tidsintervaller og lar intervallene bli små, får vi integralet. Dette er total produksjon.

Fasit
Arealet under rategrafen er total mengde.

Regel/huskeregel
Rate integrert over tid gir mengde.

Vanlige feil
Å forveksle rate med total mengde.

Sensor ser etter
Sensor ser etter verbal matematisk forklaring.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.50Delvis integrasjon bestemt

Oppgave 2.50 – Delvis integrasjon bestemt

Regn ut ∫₀¹ x e^x dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Fra delvis integrasjon er ∫x e^x dx=e^x(x−1)+C. Sett inn: F(1)=0, F(0)=−1. Integral =1.

Fasit
1.

Regel/huskeregel
Finn antiderivert først, deretter F(b)−F(a).

Vanlige feil
Å glemme at e⁰=1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt innsetting.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.51Substitusjon bestemt 2

Oppgave 2.51 – Substitusjon bestemt 2

Regn ut ∫₀¹ 6x(3x²+2)²dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=3x²+2, du=6x dx. Grenser: x=0 gir u=2, x=1 gir u=5. Integral =∫₂⁵u²du=[u³/3]₂⁵=(125−8)/3=39.

Fasit
39.

Regel/huskeregel
Substitusjon med bestemte grenser gir ofte enklere regning.

Vanlige feil
Å bruke x-grenser etter at du har byttet til u.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nye grenser.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.52Areal med to skjæringer

Oppgave 2.52 – Areal med to skjæringer

Finn arealet mellom f(x)=x²−1 og g(x)=1−x².

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skjæring: x²−1=1−x² gir 2x²=2, x=±1. På [-1,1] er g over f. Areal=∫₋₁¹[(1−x²)−(x²−1)]dx=∫₋₁¹(2−2x²)dx=8/3.

Fasit
8/3.

Regel/huskeregel
Areal mellom grafer krever skjæringspunkter og øverst−nederst.

Vanlige feil
Å integrere over feil intervall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter symmetri eller korrekt integral.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.53Bestem arealparameter

Oppgave 2.53 – Bestem arealparameter

For f(x)=kx(4−x) på [0,4] skal arealet under grafen være 32. Finn k.

Vis løsning

Trinnvis løsning
∫₀⁴kx(4−x)dx=k∫₀⁴(4x−x²)dx=k[2x²−x³/3]₀⁴=k(32−64/3)=k·32/3. Sett lik 32: k=3.

Fasit
k=3.

Regel/huskeregel
Parameter finnes ved å sette integral lik gitt areal.

Vanlige feil
Å sette toppunktet lik 32.

Sensor ser etter
Sensor ser etter integralmodell.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.54Differensialliknende tolkning

Oppgave 2.54 – Differensialliknende tolkning

En størrelse har endringsfart f'(t)=12e^−0,3t, og f(0)=50. Finn f(t).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integrer: f(t)=12·(−1/0,3)e^−0,3t+C=−40e^−0,3t+C. Bruk f(0)=50: −40+C=50, C=90. f(t)=90−40e^−0,3t.

Fasit
f(t)=90−40e^−0,3t.

Regel/huskeregel
Integrer endringsfart og bruk startverdi.

Vanlige feil
Å glemme negativ faktor ved integrasjon av e^−0,3t.

Sensor ser etter
Sensor ser etter startbetingelse.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.55Kapitteltest – blandet integral

Oppgave 2.55 – Kapitteltest – blandet integral

Regn ut ∫₁⁴(2x+3/x)dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Antiderivert er x²+3ln x. Integral =16+3ln4−(1+0)=15+3ln4.

Fasit
15+3ln4.

Regel/huskeregel
Kombiner potensintegral og logaritmeintegral.

Vanlige feil
Å skrive ln4−ln1 feil; ln1=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter eksakt uttrykk.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.56Kapitteltest – areal mellom grafer

Oppgave 2.56 – Kapitteltest – areal mellom grafer

f(x)=2x og g(x)=x²−3. Finn arealet mellom grafene fra x=0 til x=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
På [0,3] er f−g=2x−x²+3. Arealet =∫₀³(−x²+2x+3)dx=[−x³/3+x²+3x]₀³=−9+9+9=9.

Fasit
9.

Regel/huskeregel
Areal mellom grafer: integrer differansen hvis samme graf er øverst.

Vanlige feil
Å ikke sjekke hvilken graf som er øverst.

Sensor ser etter
Sensor ser etter struktur og areal.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.57Kapitteltest – grensekostnad

Oppgave 2.57 – Kapitteltest – grensekostnad

K'(x)=0,03x²−2x+90 og K(0)=40 000. Finn K(100).

Vis løsning

Trinnvis løsning
K(x)=0,01x³−x²+90x+40000. K(100)=10000−10000+9000+40000=49 000.

Fasit
49 000 kr.

Regel/huskeregel
Antideriver K' og bruk fast kostnad.

Vanlige feil
Å bruke K'(100) som kostnad.

Sensor ser etter
Sensor ser etter økonomisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.58Kapitteltest – akkumuleringsfunksjon

Oppgave 2.58 – Kapitteltest – akkumuleringsfunksjon

A(x)=∫₀ˣ(9−t²)dt. Finn x>0 når A'(x)=0, og forklar.

Vis løsning

Trinnvis løsning
A'(x)=9−x². A'(x)=0 gir x=3. Det betyr at akkumuleringen A slutter å øke og kan få toppunkt der.

Fasit
x=3.

Regel/huskeregel
Fundamentalteoremet knytter A'(x) til integranden.

Vanlige feil
Å løse A(x)=0 i stedet for A'(x)=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.59Kapitteltest – metodevalg

Oppgave 2.59 – Kapitteltest – metodevalg

Forklar hvilken metode du ville brukt for ∫x(x²+1)⁷dx og for ∫x ln x dx.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Første passer med substitusjon fordi indre funksjon x²+1 har derivert 2x, som ligner faktor x. Andre passer med delvis integrasjon fordi ln x blir enklere ved derivasjon.

Fasit
Substitusjon først, delvis integrasjon andre.

Regel/huskeregel
Velg metode ut fra struktur i integranden.

Vanlige feil
Å prøve samme metode på alt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodebegrunnelse.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

Oppgave 2.60Kapitteltest – netto og areal

Oppgave 2.60 – Kapitteltest – netto og areal

Forklar forskjellen på ∫ₐᵇf(x)dx og arealet mellom grafen og x-aksen.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Integral regner med fortegn: områder over x-aksen er positive, under x-aksen negative. Areal er alltid positivt og krever ofte oppdeling eller absoluttverdi.

Fasit
Integral er nettoareal; geometrisk areal er positivt.

Regel/huskeregel
Fortegn er avgjørende i integrasjon.

Vanlige feil
Å bruke ordene integral og areal som alltid samme ting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter presis begrepsforklaring.

Høy måloppnåelse
Du viser mellomregning, bruker riktig integrasjonsmetode, begrunner fortegn/areal og tolker svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Regler og huskeregler

Ubestemt integral: ∫f(x)dx=F(x)+C, der F'(x)=f(x).

Bestemt integral: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a).

Potensregelen: ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, når n≠−1.

Logaritmeregel: ∫1/x dx=ln|x|+C.

Areal: Areal mellom graf og x-akse er positivt. Del opp ved nullpunkter.

Areal mellom grafer: ∫(øverst−nederst)dx.

Fundamentalteoremet: Hvis A(x)=∫ₐˣf(t)dt, så er A'(x)=f(x).

Substitusjon: brukes når integranden inneholder en indre funksjon og den deriverte av den indre funksjonen.

Delvis integrasjon: ∫u·v' dx=u·v−∫u'·v dx.