Trigonometri R2 – oppgaver med løsning

Oppgave 1 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $315^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$315^\circ=315\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$315\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{7\pi}{4}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{7\pi}{4})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

315*pi/180

→

\dfrac{7\pi}{4}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(315*pi/180))

Fasit:

315^\circ=\dfrac{7\pi}{4}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 2 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 3 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $60^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$60^\circ=60\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$60\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{\pi}{3}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{\pi}{3})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

60*pi/180

→

\dfrac{\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(60*pi/180))

Fasit:

60^\circ=\dfrac{\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 4 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 5 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $210^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$210^\circ=210\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$210\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{7\pi}{6}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

210*pi/180

→

\dfrac{7\pi}{6}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(210*pi/180))

Fasit:

210^\circ=\dfrac{7\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 6 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 7 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $315^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$315^\circ=315\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$315\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{7\pi}{4}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{7\pi}{4})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

315*pi/180

→

\dfrac{7\pi}{4}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(315*pi/180))

Fasit:

315^\circ=\dfrac{7\pi}{4}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 8 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 9 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $60^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$60^\circ=60\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$60\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{\pi}{3}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{\pi}{3})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

60*pi/180

→

\dfrac{\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(60*pi/180))

Fasit:

60^\circ=\dfrac{\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 10 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 11 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $210^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$210^\circ=210\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$210\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{7\pi}{6}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

210*pi/180

→

\dfrac{7\pi}{6}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(210*pi/180))

Fasit:

210^\circ=\dfrac{7\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 12 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 13 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $315^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$315^\circ=315\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$315\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{7\pi}{4}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{7\pi}{4})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

315*pi/180

→

\dfrac{7\pi}{4}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(315*pi/180))

Fasit:

315^\circ=\dfrac{7\pi}{4}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 14 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 15 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $60^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$60^\circ=60\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$60\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{\pi}{3}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{\pi}{3})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

60*pi/180

→

\dfrac{\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(60*pi/180))

Fasit:

60^\circ=\dfrac{\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 16 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 17 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $210^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$210^\circ=210\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$210\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{7\pi}{6}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

210*pi/180

→

\dfrac{7\pi}{6}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(210*pi/180))

Fasit:

210^\circ=\dfrac{7\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 18 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 19 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $315^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$315^\circ=315\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$315\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{7\pi}{4}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{7\pi}{4})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

315*pi/180

→

\dfrac{7\pi}{4}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(315*pi/180))

Fasit:

315^\circ=\dfrac{7\pi}{4}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 20 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = (1)(2), x)

→

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{π}{6}$ ', ' $\dfrac{5π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 21 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $60^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$60^\circ=60\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$60\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{\pi}{3}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{\pi}{3})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

60*pi/180

→

\dfrac{\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(60*pi/180))

Fasit:

60^\circ=\dfrac{\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 22 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(2x)-1$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{2}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=-1,\quad T=\dfrac{2\pi}{2}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(2 x) + (-1)

→

f(x)=5\sin(2x)-1

2

2*pi/2

→

\dfrac{2\pi}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 2
D = -1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=-1

, periode

\dfrac{2\pi}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 23 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(1x)+0$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=1x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=1$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(1x)=1\cos(1x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=3\cos(1x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}0=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=3\cos(1x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(1 x) + 0

→

f(x)=3\sin(1x)+0

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=3\cos(1x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(1*x) + 0
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=3\cos(1x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 24 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(3x)-2$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-2$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=-2,\quad T=\dfrac{2\pi}{3}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(3 x) + (-2)

→

f(x)=5\sin(3x)-2

2

2*pi/3

→

\dfrac{2\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 3
D = -2
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=-2

, periode

\dfrac{2\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(2x)+1$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=2x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=2$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=6\cos(2x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}1=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=6\cos(2x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(2 x) + 1

→

f(x)=3\sin(2x)+1

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=6\cos(2x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(2*x) + 1
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=6\cos(2x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 26 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(1x)+2$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=2$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=2,\quad T=2\pi$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(1 x) + (2)

→

f(x)=5\sin(1x)+2

2

2*pi/1

→

2\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 1
D = 2
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=2

, periode

2\pi

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(3x)+2$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=3x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=3$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=9\cos(3x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}2=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=9\cos(3x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(3 x) + 2

→

f(x)=3\sin(3x)+2

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=9\cos(3x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(3*x) + 2
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=9\cos(3x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 28 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(2x)+1$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{2}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=1,\quad T=\dfrac{2\pi}{2}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(2 x) + (1)

→

f(x)=5\sin(2x)+1

2

2*pi/2

→

\dfrac{2\pi}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 2
D = 1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=1

, periode

\dfrac{2\pi}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(1x)+0$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=1x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=1$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(1x)=1\cos(1x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=3\cos(1x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}0=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=3\cos(1x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(1 x) + 0

→

f(x)=3\sin(1x)+0

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=3\cos(1x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(1*x) + 0
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=3\cos(1x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 30 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(3x)$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=0$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=0,\quad T=\dfrac{2\pi}{3}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(3 x) + (0)

→

f(x)=5\sin(3x)

2

2*pi/3

→

\dfrac{2\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 3
D = 0
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=0

, periode

\dfrac{2\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(2x)+1$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=2x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=2$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=6\cos(2x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}1=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=6\cos(2x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(2 x) + 1

→

f(x)=3\sin(2x)+1

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=6\cos(2x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(2*x) + 1
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=6\cos(2x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 32 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(1x)-1$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=-1,\quad T=2\pi$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(1 x) + (-1)

→

f(x)=5\sin(1x)-1

2

2*pi/1

→

2\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 1
D = -1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=-1

, periode

2\pi

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(3x)+2$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=3x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=3$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=9\cos(3x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}2=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=9\cos(3x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(3 x) + 2

→

f(x)=3\sin(3x)+2

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=9\cos(3x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(3*x) + 2
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=9\cos(3x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 34 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(2x)-2$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-2$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{2}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=-2,\quad T=\dfrac{2\pi}{2}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(2 x) + (-2)

→

f(x)=5\sin(2x)-2

2

2*pi/2

→

\dfrac{2\pi}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 2
D = -2
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=-2

, periode

\dfrac{2\pi}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(1x)+0$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=1x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=1$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(1x)=1\cos(1x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=3\cos(1x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}0=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=3\cos(1x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(1 x) + 0

→

f(x)=3\sin(1x)+0

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=3\cos(1x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(1*x) + 0
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=3\cos(1x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 36 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(3x)+2$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=2$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=2,\quad T=\dfrac{2\pi}{3}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(3 x) + (2)

→

f(x)=5\sin(3x)+2

2

2*pi/3

→

\dfrac{2\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 3
D = 2
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=2

, periode

\dfrac{2\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=3\sin(2x)+1$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=2x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=2$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=6\cos(2x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}1=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=6\cos(2x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 sin(2 x) + 1

→

f(x)=3\sin(2x)+1

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=6\cos(2x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 3*sin(2*x) + 1
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=6\cos(2x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 38 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(1x)+1$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=1,\quad T=2\pi$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(1 x) + (1)

→

f(x)=5\sin(1x)+1

2

2*pi/1

→

2\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 1
D = 1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=1

, periode

2\pi

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 39 · KrevendeTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=1+\cos x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=1+\cos x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{\sin<sup>2</sup> x}{1-\cos x}

)

→

1+\cos x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: 1+\cos x')

Fasit: Uttrykket blir

1+\cos x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 40 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 41 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $1+\tan^2 x$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=1+\tan^2 x$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(1+\tan² x)

→

\dfrac{1}{\cos^2 x}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form:  $\dfrac{1}{\cos<sup>2</sup> x}$ ')

Fasit: Uttrykket blir

\dfrac{1}{\cos^2 x}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 42 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 43 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\sin x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\sin x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{1-\cos<sup>2</sup> x}{\sin x}

)

→

\sin x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: \sin x')

Fasit: Uttrykket blir

\sin x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 44 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 45 · KrevendeTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=1+\cos x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=1+\cos x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{\sin<sup>2</sup> x}{1-\cos x}

)

→

1+\cos x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: 1+\cos x')

Fasit: Uttrykket blir

1+\cos x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 46 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 47 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $1+\tan^2 x$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=1+\tan^2 x$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(1+\tan² x)

→

\dfrac{1}{\cos^2 x}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form:  $\dfrac{1}{\cos<sup>2</sup> x}$ ')

Fasit: Uttrykket blir

\dfrac{1}{\cos^2 x}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 48 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 49 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\sin x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\sin x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{1-\cos<sup>2</sup> x}{\sin x}

)

→

\sin x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: \sin x')

Fasit: Uttrykket blir

\sin x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 50 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 51 · KrevendeTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=1+\cos x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=1+\cos x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{\sin<sup>2</sup> x}{1-\cos x}

)

→

1+\cos x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: 1+\cos x')

Fasit: Uttrykket blir

1+\cos x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 52 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 53 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $1+\tan^2 x$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=1+\tan^2 x$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(1+\tan² x)

→

\dfrac{1}{\cos^2 x}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form:  $\dfrac{1}{\cos<sup>2</sup> x}$ ')

Fasit: Uttrykket blir

\dfrac{1}{\cos^2 x}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 54 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 55 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\sin x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\sin x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{1-\cos<sup>2</sup> x}{\sin x}

)

→

\sin x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: \sin x')

Fasit: Uttrykket blir

\sin x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 56 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 57 · KrevendeTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=1+\cos x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=1+\cos x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{\sin<sup>2</sup> x}{1-\cos x}

)

→

1+\cos x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: 1+\cos x')

Fasit: Uttrykket blir

1+\cos x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 58 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 59 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $1+\tan^2 x$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=1+\tan^2 x$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(1+\tan² x)

→

\dfrac{1}{\cos^2 x}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form:  $\dfrac{1}{\cos<sup>2</sup> x}$ ')

Fasit: Uttrykket blir

\dfrac{1}{\cos^2 x}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 60 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 61 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\sin x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\sin x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{1-\cos<sup>2</sup> x}{\sin x}

)

→

\sin x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: \sin x')

Fasit: Uttrykket blir

\sin x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 62 · MiddelsTrigonometriske likninger

Løs trigonometrisk likning

Oppgave:

Løs likningen $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ for 0≤ x<2π.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Vi bruker kjente verdier fra enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk fortegnet

$\text{fortegn bestemmer kvadrant}$

Sinus er y-koordinat og cosinus er x-koordinat.

Steg 3 — Respekter intervallet

0≤ x<2π

Vi tar med løsningene i én hel periode.

Steg 4 — Skriv løsningene

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

Begge vinklene gir riktig verdi.

Vanlig feil: Ikke stopp etter første vinkel. Sjekk hele intervallet.

Steg 5 — Kontroller en løsning

$\sin(\dfrac{7\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}$

Innsetting viser at løsningen stemmer.

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

$x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$

I en hel periode får vi to løsninger for disse verdiene.

Tolkning

Løsningene er vinkler der grafen/enhetssirkelen har riktig verdi.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Solve(sin(x) = -(1)(2), x)

→

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
solutions = [' $\dfrac{7π}{6}$ ', ' $\dfrac{11π}{6}$ ']
print(solutions)

Fasit:

x=\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk enhetssirkelen og riktig kvadrant.

Vanlige feil

Å miste den andre løsningen.

Dette ser sensor etter

Alle løsninger i intervallet.

For høy måloppnåelse

Forklar både grafisk og med enhetssirkelen.

Oppgave 63 · KrevendeTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=1+\cos x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=1+\cos x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{\sin<sup>2</sup> x}{1-\cos x}

)

→

1+\cos x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: 1+\cos x')

Fasit: Uttrykket blir

1+\cos x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 64 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $45^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$45^\circ=45\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$45\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{\pi}{4}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{\pi}{4})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

45*pi/180

→

\dfrac{\pi}{4}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(45*pi/180))

Fasit:

45^\circ=\dfrac{\pi}{4}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 65 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(1x)-2$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-2$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=-2,\quad T=2\pi$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(1 x) + (-2)

→

f(x)=5\sin(1x)-2

2

2*pi/1

→

2\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 1
D = -2
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=-2

, periode

2\pi

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 66 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\sin x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\sin x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{1-\cos<sup>2</sup> x}{\sin x}

)

→

\sin x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: \sin x')

Fasit: Uttrykket blir

\sin x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 67 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=5\sin(2x)+1$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=2x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=2$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=10\cos(2x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}1=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=10\cos(2x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(2 x) + 1

→

f(x)=5\sin(2x)+1

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=10\cos(2x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 5*sin(2*x) + 1
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=10\cos(2x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 68 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $300^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$300^\circ=300\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$300\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{3}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{5\pi}{3}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{5\pi}{3})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

300*pi/180

→

\dfrac{5\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(300*pi/180))

Fasit:

300^\circ=\dfrac{5\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 69 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(3x)+1$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=1,\quad T=\dfrac{2\pi}{3}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(3 x) + (1)

→

f(x)=5\sin(3x)+1

2

2*pi/3

→

\dfrac{2\pi}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 3
D = 1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=1

, periode

\dfrac{2\pi}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 70 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $1+\tan^2 x$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=1+\tan^2 x$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(1+\tan² x)

→

\dfrac{1}{\cos^2 x}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form:  $\dfrac{1}{\cos<sup>2</sup> x}$ ')

Fasit: Uttrykket blir

\dfrac{1}{\cos^2 x}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 71 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=5\sin(1x)+0$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=1x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=1$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(1x)=1\cos(1x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=5\cos(1x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}0=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=5\cos(1x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(1 x) + 0

→

f(x)=5\sin(1x)+0

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=5\cos(1x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 5*sin(1*x) + 0
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=5\cos(1x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 72 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $150^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$150^\circ=150\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$150\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{5\pi}{6}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{5\pi}{6})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

150*pi/180

→

\dfrac{5\pi}{6}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(150*pi/180))

Fasit:

150^\circ=\dfrac{5\pi}{6}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 73 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(2x)-1$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{2}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=-1,\quad T=\dfrac{2\pi}{2}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(2 x) + (-1)

→

f(x)=5\sin(2x)-1

2

2*pi/2

→

\dfrac{2\pi}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 2
D = -1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=-1

, periode

\dfrac{2\pi}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 74 · KrevendeTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=1+\cos x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=1+\cos x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{\sin<sup>2</sup> x}{1-\cos x}

)

→

1+\cos x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: 1+\cos x')

Fasit: Uttrykket blir

1+\cos x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Oppgave 75 · MiddelsDerivasjon av trigonometriske funksjoner

Deriver sinusmodell

Oppgave:

La $f(x)=5\sin(3x)+2$ . Finn $f\prime(x)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=3x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=3$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=15\cos(3x)$

Tallet foran sinus blir med.

Vanlig feil: Ikke glem å gange med faktoren inni sinus.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}2=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=15\cos(3x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(3 x) + 2

→

f(x)=5\sin(3x)+2

2

Derivative(f)

→

f\prime(x)=15\cos(3x)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 5*sin(3*x) + 2
print(diff(f, x))

Fasit:

f\prime(x)=15\cos(3x)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Kjerneregelen: deriver ytre funksjon og gang med indre derivert.

Vanlige feil

Å glemme faktoren foran x.

Dette ser sensor etter

Riktig bruk av kjerneregelen.

For høy måloppnåelse

Forklar den deriverte som stigningstall.

Oppgave 76 · LettRadianer

Fra grader til radianer

Oppgave:

Gjør vinkelen $45^\circ$ om til radianer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

$180^\circ=\pi$

Dette er koblingen mellom grader og radianer.

Steg 2 — Finn én grad

$1^\circ=\dfrac{\pi}{180}$

Vi deler på 180.

Steg 3 — Multipliser

$45^\circ=45\cdot\dfrac{\pi}{180}$

Vi ganger én grad med antall grader.

Steg 4 — Forkort

$45\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}$

Forkorting gir eksakt og ryddig svar.

Vanlig feil: Ikke mist pi-symbolet når du gjør om til radianer.

Steg 5 — Behold eksakt form

$x=\dfrac{\pi}{4}$

I R2 er eksakt form ofte bedre enn desimal.

Steg 6 — Knytt til analyse

$\sin(\dfrac{\pi}{4})$

Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner forutsetter radianer.

Tolkning

Vinkelen er den samme rotasjonen, men målt med en annen enhet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

45*pi/180

→

\dfrac{\pi}{4}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi, simplify
print(simplify(45*pi/180))

Fasit:

45^\circ=\dfrac{\pi}{4}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$x^\circ=x\dfrac{\pi}{180}$ .

Vanlige feil

Å svare med avrundet desimal når eksakt form er mulig.

Dette ser sensor etter

Riktig omregningsfaktor og forkorting.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor radianer brukes i R2-analyse.

Oppgave 77 · MiddelsTrigonometriske modeller

Amplitude og periode

Oppgave:

Funksjonen $f(x)=5\sin(1x)+2$ er en periodisk modell. Finn amplitude, midtlinje og periode.

Sinusmodell

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|5|=5$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=2$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Vanlig feil: Perioden er ikke tallet inni sinus, men 2 pi delt på dette tallet.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=5,\quad y=2,\quad T=2\pi$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 sin(1 x) + (2)

→

f(x)=5\sin(1x)+2

2

2*pi/1

→

2\pi

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import pi
A = 5
B = 1
D = 2
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Fasit: Amplitude

5

, midtlinje

y=2

, periode

2\pi

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For sinusmodell: amplitude er absoluttverdien av koeffisienten, periode er 2 pi delt på faktor inni sinus.

Vanlige feil

Å blande amplitude og periode.

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing av alle tre størrelser.

For høy måloppnåelse

Knytt tallene til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 78 · MiddelsTrigonometriske identiteter

Forenkling med identiteter

Oppgave:

Forenkle uttrykket $\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$ så langt som mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv uttrykket

$E=\dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x}$

Vi navngir uttrykket for ryddig føring.

Steg 2 — Velg identitet

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Pytagoras-identiteten er nøkkelen.

Steg 3 —

$E=\text{ med identitet}$

Vi bytter ut uttrykk slik at faktorer blir synlige.

Steg 4 — Forkort faktorer

$E=\sin x$

Vi forkorter bare faktorer, ikke ledd i en sum.

Vanlig feil: Du kan ikke forkorte ledd i en sum. Bare faktorer kan forkortes.

Steg 5 — Sjekk nevner

$\text{nevner}\ne 0$

Opprinnelige nevnere må ikke være null.

Steg 6 — Skriv sluttform

$E=\sin x$

Dette er enklere form av uttrykket.

Tolkning

Forenklingen viser at to ulike uttrykk kan beskrive samme funksjonsverdi der de er definert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify(

\dfrac{1-\cos<sup>2</sup> x}{\sin x}

)

→

\sin x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, sin, cos, tan, simplify
x = symbols('x')
print('Forenklet form: \sin x')

Fasit: Uttrykket blir

\sin x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Bruk Pytagoras-identiteten og skriv tan som sin delt på cos ved behov.

Vanlige feil

Ulovlig forkorting.

Dette ser sensor etter

Gyldige algebraiske overganger.

For høy måloppnåelse

Kommenter definisjonsmengden når det finnes nevner.

Trigonometri

Grunnleggende definisjoner 21 oppgaver

Fra grader til radianer

Steg 1 — Bruk sammenhengen

Steg 2 — Finn én grad

Steg 3 — Multipliser

Steg 4 — Forkort

Steg 5 — Behold eksakt form

Steg 6 — Knytt til analyse

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Løs trigonometrisk likning

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

Steg 2 — Bruk fortegnet

Steg 3 — Respekter intervallet

Steg 4 — Skriv løsningene

Steg 5 — Kontroller en løsning

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Fra grader til radianer

Steg 1 — Bruk sammenhengen

Steg 2 — Finn én grad

Steg 3 — Multipliser

Steg 4 — Forkort

Steg 5 — Behold eksakt form

Steg 6 — Knytt til analyse

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Løs trigonometrisk likning

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

Steg 2 — Bruk fortegnet

Steg 3 — Respekter intervallet

Steg 4 — Skriv løsningene

Steg 5 — Kontroller en løsning

Steg 6 — Sjekk fullstendighet

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Fra grader til radianer

Steg 1 — Bruk sammenhengen

Steg 2 — Finn én grad

Steg 3 — Multipliser

Steg 4 — Forkort

Steg 5 — Behold eksakt form

Steg 6 — Knytt til analyse

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Løs trigonometrisk likning

Steg 1 — Finn grunnvinkelen

Steg 2 — Bruk fortegnet