Rekker og matematiske bevis R2 – oppgaver

Oppgave 1 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=3$ og fast differanse $d=3$ . Finn $a_n$ , $a_{9}$ og $S_{9}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=3,\quad d=3$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=3+(n-1)\cdot3$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{9}=3+(9-1)\cdot3=27$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{9}=\dfrac{9(3+27)}{2}=135$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 3

→

a_1=3

2

d := 3

→

d=3

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=3+3(n-1)

4

9 (a1 + a(9)) / 2

→

135

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 3
d = 3
n = 9
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=3+3(n-1)

,

a_{9}=27

og

S_{9}=135

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 2 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=6$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{8}$ og $S_{8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{8}=6\cdot3^{7}=13122$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{8}=6\cdot\dfrac{3^{8}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{8}=19680$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^8-1

→

13122

4

a1*(k⁸-1)/(k-1)

→

19680

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 6
k = 3
n = 8
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{8}=13122

og

S_{8}=19680

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 3 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=6$ og $k=\dfrac{1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{6}{1-\dfrac{1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=12$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=6,\quad S=12$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 1/2

→

k=\dfrac{1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(6, 1)
k = Fraction(1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 4 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=9$ og fast differanse $d=4$ . Finn $a_n$ , $a_{15}$ og $S_{15}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=9,\quad d=4$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=9+(n-1)\cdot4$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{15}=9+(15-1)\cdot4=65$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{15}=\dfrac{15(9+65)}{2}=555$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 9

→

a_1=9

2

d := 4

→

d=4

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=9+4(n-1)

4

15 (a1 + a(15)) / 2

→

555

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 9
d = 4
n = 15
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=9+4(n-1)

,

a_{15}=65

og

S_{15}=555

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 5 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=7$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{9}$ og $S_{9}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{9}=7\cdot3^{8}=45927$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{9}=7\cdot\dfrac{3^{9}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{9}=68887$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 7

→

a_1=7

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^9-1

→

45927

4

a1*(k⁹-1)/(k-1)

→

68887

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 7
k = 3
n = 9
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{9}=45927

og

S_{9}=68887

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 6 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=12$ og $k=\dfrac{2}{3}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{2}{3}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{2}{3}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{12}{1-\dfrac{2}{3}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=36$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=12,\quad S=36$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 12

→

a_1=12

2

k := 2/3

→

k=\dfrac{2}{3}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

36

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(12, 1)
k = Fraction(2, 3)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=36

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 7 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=7$ og fast differanse $d=5$ . Finn $a_n$ , $a_{12}$ og $S_{12}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=7,\quad d=5$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=7+(n-1)\cdot5$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{12}=7+(12-1)\cdot5=62$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{12}=\dfrac{12(7+62)}{2}=414$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 7

→

a_1=7

2

d := 5

→

d=5

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=7+5(n-1)

4

12 (a1 + a(12)) / 2

→

414

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 7
d = 5
n = 12
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=7+5(n-1)

,

a_{12}=62

og

S_{12}=414

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 8 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=3$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{5}$ og $S_{5}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{5}=3\cdot3^{4}=243$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{5}=3\cdot\dfrac{3^{5}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{5}=363$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 3

→

a_1=3

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^5-1

→

243

4

a1*(k⁵-1)/(k-1)

→

363

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 3
k = 3
n = 5
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{5}=243

og

S_{5}=363

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 9 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=9$ og $k=\dfrac{1}{3}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{3}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{3}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{9}{1-\dfrac{1}{3}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=\dfrac{27}{2}$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=9,\quad S=\dfrac{27}{2}$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 9

→

a_1=9

2

k := 1/3

→

k=\dfrac{1}{3}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

\dfrac{27}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(9, 1)
k = Fraction(1, 3)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=\dfrac{27}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 10 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=5$ og fast differanse $d=6$ . Finn $a_n$ , $a_{9}$ og $S_{9}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=5,\quad d=6$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=5+(n-1)\cdot6$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{9}=5+(9-1)\cdot6=53$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{9}=\dfrac{9(5+53)}{2}=261$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 5

→

a_1=5

2

d := 6

→

d=6

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=5+6(n-1)

4

9 (a1 + a(9)) / 2

→

261

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 5
d = 6
n = 9
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=5+6(n-1)

,

a_{9}=53

og

S_{9}=261

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 11 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=4$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{6}$ og $S_{6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{6}=4\cdot3^{5}=972$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{6}=4\cdot\dfrac{3^{6}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{6}=1456$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 4

→

a_1=4

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^6-1

→

972

4

a1*(k⁶-1)/(k-1)

→

1456

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 4
k = 3
n = 6
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{6}=972

og

S_{6}=1456

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 12 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=15$ og $k=\dfrac{2}{5}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{2}{5}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{2}{5}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{15}{1-\dfrac{2}{5}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=25$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=15,\quad S=25$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 15

→

a_1=15

2

k := 2/5

→

k=\dfrac{2}{5}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

25

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(15, 1)
k = Fraction(2, 5)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=25

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 13 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=3$ og fast differanse $d=2$ . Finn $a_n$ , $a_{15}$ og $S_{15}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=3,\quad d=2$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=3+(n-1)\cdot2$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{15}=3+(15-1)\cdot2=31$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{15}=\dfrac{15(3+31)}{2}=255$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 3

→

a_1=3

2

d := 2

→

d=2

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=3+2(n-1)

4

15 (a1 + a(15)) / 2

→

255

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 3
d = 2
n = 15
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=3+2(n-1)

,

a_{15}=31

og

S_{15}=255

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 14 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=5$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{7}$ og $S_{7}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{7}=5\cdot3^{6}=3645$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{7}=5\cdot\dfrac{3^{7}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{7}=5465$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 5

→

a_1=5

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^7-1

→

3645

4

a1*(k⁷-1)/(k-1)

→

5465

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 5
k = 3
n = 7
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{7}=3645

og

S_{7}=5465

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 15 · KrevendeUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=10$ og $k=\dfrac{-1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{-1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{-1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{10}{1-\dfrac{-1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=\dfrac{20}{3}$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=10,\quad S=\dfrac{20}{3}$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 10

→

a_1=10

2

k := -1/2

→

k=\dfrac{-1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

\dfrac{20}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(10, 1)
k = Fraction(-1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=\dfrac{20}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 16 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=9$ og fast differanse $d=3$ . Finn $a_n$ , $a_{12}$ og $S_{12}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=9,\quad d=3$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=9+(n-1)\cdot3$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{12}=9+(12-1)\cdot3=42$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{12}=\dfrac{12(9+42)}{2}=306$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 9

→

a_1=9

2

d := 3

→

d=3

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=9+3(n-1)

4

12 (a1 + a(12)) / 2

→

306

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 9
d = 3
n = 12
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=9+3(n-1)

,

a_{12}=42

og

S_{12}=306

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 17 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=6$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{8}$ og $S_{8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{8}=6\cdot3^{7}=13122$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{8}=6\cdot\dfrac{3^{8}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{8}=19680$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^8-1

→

13122

4

a1*(k⁸-1)/(k-1)

→

19680

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 6
k = 3
n = 8
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{8}=13122

og

S_{8}=19680

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 18 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=6$ og $k=\dfrac{1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{6}{1-\dfrac{1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=12$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=6,\quad S=12$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 1/2

→

k=\dfrac{1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(6, 1)
k = Fraction(1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 19 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=7$ og fast differanse $d=4$ . Finn $a_n$ , $a_{9}$ og $S_{9}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=7,\quad d=4$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=7+(n-1)\cdot4$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{9}=7+(9-1)\cdot4=39$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{9}=\dfrac{9(7+39)}{2}=207$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 7

→

a_1=7

2

d := 4

→

d=4

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=7+4(n-1)

4

9 (a1 + a(9)) / 2

→

207

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 7
d = 4
n = 9
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=7+4(n-1)

,

a_{9}=39

og

S_{9}=207

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 20 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=7$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{9}$ og $S_{9}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{9}=7\cdot3^{8}=45927$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{9}=7\cdot\dfrac{3^{9}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{9}=68887$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 7

→

a_1=7

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^9-1

→

45927

4

a1*(k⁹-1)/(k-1)

→

68887

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 7
k = 3
n = 9
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{9}=45927

og

S_{9}=68887

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 21 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=12$ og $k=\dfrac{2}{3}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{2}{3}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{2}{3}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{12}{1-\dfrac{2}{3}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=36$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=12,\quad S=36$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 12

→

a_1=12

2

k := 2/3

→

k=\dfrac{2}{3}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

36

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(12, 1)
k = Fraction(2, 3)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=36

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 22 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=5$ og fast differanse $d=5$ . Finn $a_n$ , $a_{15}$ og $S_{15}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=5,\quad d=5$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=5+(n-1)\cdot5$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{15}=5+(15-1)\cdot5=75$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{15}=\dfrac{15(5+75)}{2}=600$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 5

→

a_1=5

2

d := 5

→

d=5

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=5+5(n-1)

4

15 (a1 + a(15)) / 2

→

600

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 5
d = 5
n = 15
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=5+5(n-1)

,

a_{15}=75

og

S_{15}=600

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 23 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=3$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{5}$ og $S_{5}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{5}=3\cdot3^{4}=243$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{5}=3\cdot\dfrac{3^{5}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{5}=363$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 3

→

a_1=3

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^5-1

→

243

4

a1*(k⁵-1)/(k-1)

→

363

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 3
k = 3
n = 5
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{5}=243

og

S_{5}=363

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 24 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=9$ og $k=\dfrac{1}{3}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{3}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{3}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{9}{1-\dfrac{1}{3}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=\dfrac{27}{2}$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=9,\quad S=\dfrac{27}{2}$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 9

→

a_1=9

2

k := 1/3

→

k=\dfrac{1}{3}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

\dfrac{27}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(9, 1)
k = Fraction(1, 3)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=\dfrac{27}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 25 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=3$ og fast differanse $d=6$ . Finn $a_n$ , $a_{12}$ og $S_{12}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=3,\quad d=6$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=3+(n-1)\cdot6$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{12}=3+(12-1)\cdot6=69$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{12}=\dfrac{12(3+69)}{2}=432$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 3

→

a_1=3

2

d := 6

→

d=6

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=3+6(n-1)

4

12 (a1 + a(12)) / 2

→

432

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 3
d = 6
n = 12
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=3+6(n-1)

,

a_{12}=69

og

S_{12}=432

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 26 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=4$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{6}$ og $S_{6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{6}=4\cdot3^{5}=972$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{6}=4\cdot\dfrac{3^{6}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{6}=1456$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 4

→

a_1=4

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^6-1

→

972

4

a1*(k⁶-1)/(k-1)

→

1456

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 4
k = 3
n = 6
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{6}=972

og

S_{6}=1456

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 27 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=15$ og $k=\dfrac{2}{5}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{2}{5}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{2}{5}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{15}{1-\dfrac{2}{5}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=25$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=15,\quad S=25$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 15

→

a_1=15

2

k := 2/5

→

k=\dfrac{2}{5}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

25

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(15, 1)
k = Fraction(2, 5)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=25

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 28 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=9$ og fast differanse $d=2$ . Finn $a_n$ , $a_{9}$ og $S_{9}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=9,\quad d=2$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=9+(n-1)\cdot2$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{9}=9+(9-1)\cdot2=25$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{9}=\dfrac{9(9+25)}{2}=153$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 9

→

a_1=9

2

d := 2

→

d=2

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=9+2(n-1)

4

9 (a1 + a(9)) / 2

→

153

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 9
d = 2
n = 9
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=9+2(n-1)

,

a_{9}=25

og

S_{9}=153

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 29 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=5$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{7}$ og $S_{7}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{7}=5\cdot3^{6}=3645$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{7}=5\cdot\dfrac{3^{7}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{7}=5465$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 5

→

a_1=5

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^7-1

→

3645

4

a1*(k⁷-1)/(k-1)

→

5465

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 5
k = 3
n = 7
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{7}=3645

og

S_{7}=5465

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 30 · KrevendeUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=10$ og $k=\dfrac{-1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{-1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{-1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{10}{1-\dfrac{-1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=\dfrac{20}{3}$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=10,\quad S=\dfrac{20}{3}$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 10

→

a_1=10

2

k := -1/2

→

k=\dfrac{-1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

\dfrac{20}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(10, 1)
k = Fraction(-1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=\dfrac{20}{3}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 31 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=7$ og fast differanse $d=3$ . Finn $a_n$ , $a_{15}$ og $S_{15}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=7,\quad d=3$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=7+(n-1)\cdot3$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{15}=7+(15-1)\cdot3=49$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{15}=\dfrac{15(7+49)}{2}=420$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 7

→

a_1=7

2

d := 3

→

d=3

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=7+3(n-1)

4

15 (a1 + a(15)) / 2

→

420

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 7
d = 3
n = 15
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=7+3(n-1)

,

a_{15}=49

og

S_{15}=420

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 32 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 500 kr første måned og øker beløpet med 35 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 10 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=500,\quad d=35,\quad n=10$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{10}=500+(10-1)\cdot35=815$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{10}=\dfrac{10(500+815)}{2}=6575$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{10}=6575\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 500

→

500

2

d := 35

→

35

3

n := 10

→

10

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

6575

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 500
d = 35
n = 10
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

6575\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 33 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 600 kr første måned og øker beløpet med 45 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 12 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=600,\quad d=45,\quad n=12$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{12}=600+(12-1)\cdot45=1095$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{12}=\dfrac{12(600+1095)}{2}=10170$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{12}=10170\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 600

→

600

2

d := 45

→

45

3

n := 12

→

12

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

10170

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 600
d = 45
n = 12
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

10170\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 34 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 400 kr første måned og øker beløpet med 30 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 14 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=400,\quad d=30,\quad n=14$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{14}=400+(14-1)\cdot30=790$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{14}=\dfrac{14(400+790)}{2}=8330$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{14}=8330\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 400

→

400

2

d := 30

→

30

3

n := 14

→

14

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

8330

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 400
d = 30
n = 14
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

8330\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 35 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 500 kr første måned og øker beløpet med 40 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 16 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=500,\quad d=40,\quad n=16$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{16}=500+(16-1)\cdot40=1100$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{16}=\dfrac{16(500+1100)}{2}=12800$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{16}=12800\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 500

→

500

2

d := 40

→

40

3

n := 16

→

16

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

12800

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 500
d = 40
n = 16
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

12800\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 36 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 600 kr første måned og øker beløpet med 25 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 10 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=600,\quad d=25,\quad n=10$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{10}=600+(10-1)\cdot25=825$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{10}=\dfrac{10(600+825)}{2}=7125$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{10}=7125\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 600

→

600

2

d := 25

→

25

3

n := 10

→

10

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

7125

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 600
d = 25
n = 10
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

7125\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 37 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 400 kr første måned og øker beløpet med 35 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 12 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=400,\quad d=35,\quad n=12$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{12}=400+(12-1)\cdot35=785$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{12}=\dfrac{12(400+785)}{2}=7110$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{12}=7110\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 400

→

400

2

d := 35

→

35

3

n := 12

→

12

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

7110

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 400
d = 35
n = 12
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

7110\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 38 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n^2)+2(n+1)-1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n^2)+2(n+1)-1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n²) + (2(n+1)-1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 39 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $2+4+\cdots+2n=n(n+1)$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n(n+1))+2(n+1)$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n(n+1))+2(n+1)=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n(n+1)) + (2(n+1)))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 40 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((

\dfrac{n(n+1)}{2}

) + (n+1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 41 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n^2)+2(n+1)-1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n^2)+2(n+1)-1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n²) + (2(n+1)-1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 42 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $2+4+\cdots+2n=n(n+1)$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n(n+1))+2(n+1)$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n(n+1))+2(n+1)=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n(n+1)) + (2(n+1)))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 43 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((

\dfrac{n(n+1)}{2}

) + (n+1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 44 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n^2)+2(n+1)-1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n^2)+2(n+1)-1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n²) + (2(n+1)-1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 45 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $2+4+\cdots+2n=n(n+1)$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n(n+1))+2(n+1)$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n(n+1))+2(n+1)=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n(n+1)) + (2(n+1)))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 46 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((

\dfrac{n(n+1)}{2}

) + (n+1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 47 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n^2)+2(n+1)-1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n^2)+2(n+1)-1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n²) + (2(n+1)-1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 48 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $2+4+\cdots+2n=n(n+1)$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n(n+1))+2(n+1)$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n(n+1))+2(n+1)=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n(n+1)) + (2(n+1)))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 49 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((

\dfrac{n(n+1)}{2}

) + (n+1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 50 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n^2)+2(n+1)-1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n^2)+2(n+1)-1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n²) + (2(n+1)-1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 51 · MiddelsAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=5$ og fast differanse $d=3$ . Finn $a_n$ , $a_{14}$ og $S_{14}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=5,\quad d=3$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=5+(n-1)\cdot3$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{14}=5+(14-1)\cdot3=44$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{14}=\dfrac{14(5+44)}{2}=343$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 5

→

a_1=5

2

d := 3

→

d=3

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=5+3(n-1)

4

14 (a1 + a(14)) / 2

→

343

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 5
d = 3
n = 14
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=5+3(n-1)

,

a_{14}=44

og

S_{14}=343

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 52 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=6$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{8}$ og $S_{8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{8}=6\cdot3^{7}=13122$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{8}=6\cdot\dfrac{3^{8}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{8}=19680$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^8-1

→

13122

4

a1*(k⁸-1)/(k-1)

→

19680

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 6
k = 3
n = 8
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{8}=13122

og

S_{8}=19680

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 53 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=6$ og $k=\dfrac{1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{6}{1-\dfrac{1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=12$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=6,\quad S=12$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 1/2

→

k=\dfrac{1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(6, 1)
k = Fraction(1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 54 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 550 kr første måned og øker beløpet med 35 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 11 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=550,\quad d=35,\quad n=11$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{11}=550+(11-1)\cdot35=900$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{11}=\dfrac{11(550+900)}{2}=7975$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{11}=7975\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 550

→

550

2

d := 35

→

35

3

n := 11

→

11

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

7975

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 550
d = 35
n = 11
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

7975\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 55 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n^2)+2(n+1)-1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n^2)+2(n+1)-1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n²) + (2(n+1)-1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 56 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=7$ og fast differanse $d=3$ . Finn $a_n$ , $a_{15}$ og $S_{15}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=7,\quad d=3$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=7+(n-1)\cdot3$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{15}=7+(15-1)\cdot3=49$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{15}=\dfrac{15(7+49)}{2}=420$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 7

→

a_1=7

2

d := 3

→

d=3

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=7+3(n-1)

4

15 (a1 + a(15)) / 2

→

420

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 7
d = 3
n = 15
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=7+3(n-1)

,

a_{15}=49

og

S_{15}=420

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 57 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=6$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{8}$ og $S_{8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{8}=6\cdot3^{7}=13122$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{8}=6\cdot\dfrac{3^{8}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{8}=19680$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^8-1

→

13122

4

a1*(k⁸-1)/(k-1)

→

19680

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 6
k = 3
n = 8
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{8}=13122

og

S_{8}=19680

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 58 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=6$ og $k=\dfrac{1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{6}{1-\dfrac{1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=12$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=6,\quad S=12$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 1/2

→

k=\dfrac{1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(6, 1)
k = Fraction(1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 59 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 450 kr første måned og øker beløpet med 35 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 13 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=450,\quad d=35,\quad n=13$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{13}=450+(13-1)\cdot35=870$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{13}=\dfrac{13(450+870)}{2}=8580$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{13}=8580\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 450

→

450

2

d := 35

→

35

3

n := 13

→

13

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

8580

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 450
d = 35
n = 13
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

8580\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 60 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(\dfrac{n(n+1)}{2})+n+1=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((

\dfrac{n(n+1)}{2}

) + (n+1))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 61 · LettAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=9$ og fast differanse $d=3$ . Finn $a_n$ , $a_{16}$ og $S_{16}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=9,\quad d=3$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=9+(n-1)\cdot3$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{16}=9+(16-1)\cdot3=54$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{16}=\dfrac{16(9+54)}{2}=504$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 9

→

a_1=9

2

d := 3

→

d=3

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=9+3(n-1)

4

16 (a1 + a(16)) / 2

→

504

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 9
d = 3
n = 16
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=9+3(n-1)

,

a_{16}=54

og

S_{16}=504

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 62 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=6$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{8}$ og $S_{8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{8}=6\cdot3^{7}=13122$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{8}=6\cdot\dfrac{3^{8}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{8}=19680$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^8-1

→

13122

4

a1*(k⁸-1)/(k-1)

→

19680

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 6
k = 3
n = 8
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{8}=13122

og

S_{8}=19680

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 63 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=6$ og $k=\dfrac{1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{6}{1-\dfrac{1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=12$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=6,\quad S=12$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 1/2

→

k=\dfrac{1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(6, 1)
k = Fraction(1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 64 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 650 kr første måned og øker beløpet med 35 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 15 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=650,\quad d=35,\quad n=15$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{15}=650+(15-1)\cdot35=1140$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{15}=\dfrac{15(650+1140)}{2}=13425$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{15}=13425\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 650

→

650

2

d := 35

→

35

3

n := 15

→

15

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

13425

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 650
d = 35
n = 15
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

13425\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.

Oppgave 65 · KrevendeMatematiske bevis

Induksjonsbevis

Oppgave:

Bevis ved induksjon at $2+4+\cdots+2n=n(n+1)$ for alle heltall $n\ge 1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Formuler påstanden

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi gir påstanden et navn slik at beviset blir ryddig.

Steg 2 — Starttilfellet

$n=1$

Vi sjekker at formelen stemmer for første verdi.

Steg 3 — Sjekk begge sider

$\text{venstre side}=\text{høyre side}$

Starttilfellet gjør at induksjonskjeden har et første ledd.

Steg 4 — Induksjonsantakelsen

$P(n):\quad 2+4+\cdots+2n=n(n+1)$

Vi antar påstanden sann for et vilkårlig n.

Vanlig feil: Noen eksempler er ikke et bevis. Induksjon må vise overgangen fra n til n pluss 1.

Steg 5 — Legg til neste ledd

$\text{sum til }n+1=(n(n+1))+2(n+1)$

For å gå fra n til n pluss 1 legger vi til neste ledd i rekken.

Steg 6 — Få ønsket form

$(n(n+1))+2(n+1)=\text{formelen med }n+1$

Når vi får formelen med n pluss 1, er steget bevist.

Steg 7 — Konkluder

$P(1)\text{ sann og }P(n)\Rightarrow P(n+1)$

Da gjelder påstanden for alle positive heltall.

Tolkning

Beviset viser at formelen gjelder for uendelig mange heltall, ikke bare for tallene vi tester.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Simplify((n(n+1)) + (2(n+1)))

→

\text{uttrykk for }n+1

2

Simplify(ans - ans)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
print('Induksjonssteget kontrolleres ved at differansen forenkles til 0')

Fasit: Påstanden er bevist ved induksjon. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Induksjon består av starttilfelle, antakelse og induksjonssteg.

Vanlige feil

Å mangle konklusjon eller legge til feil neste ledd.

Dette ser sensor etter

Klar struktur i bevisføringen.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor induksjonen dekker alle positive heltall.

Oppgave 66 · MiddelsAritmetiske rekker

Aritmetisk følge og sum

Oppgave:

En aritmetisk følge har $a_1=3$ og fast differanse $d=3$ . Finn $a_n$ , $a_{8}$ og $S_{8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Kjenn igjen typen

$a_1=3,\quad d=3$

Fast differanse betyr at følgen er aritmetisk.

Steg 2 — Skriv leddformelen

$a_n=a_1+(n-1)d$

Formelen bruker n minus 1 fordi første ledd allerede står der.

Steg 3 — Sett inn tall

$a_n=3+(n-1)\cdot3$

Nå får vi en formel som passer akkurat denne følgen.

Steg 4 — Finn ønsket ledd

$a_{8}=3+(8-1)\cdot3=24$

Vi setter inn plassnummeret i formelen.

Vanlig feil: Det er lett å skrive n i stedet for n minus 1 i leddformelen.

Steg 5 — Bruk sumformelen

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 6 — Regn summen

$S_{8}=\dfrac{8(3+24)}{2}=108$

Dette gir totalen av de første leddene.

Tolkning

Resultatet viser både enkeltleddet og totalen av de første leddene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 3

→

a_1=3

2

d := 3

→

d=3

3

a(n) := a1 + (n - 1) d

→

a(n)=3+3(n-1)

4

8 (a1 + a(8)) / 2

→

108

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 3
d = 3
n = 8
an = a1 + (n - 1)*d
S = n*(a1 + an)/2
print(an, S)

Fasit:

a_n=3+3(n-1)

,

a_{8}=24

og

S_{8}=108

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1+(n-1)d$ og $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil indeks i leddformelen.

Dette ser sensor etter

Formel før innsetting og tydelig sumutregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor gjennomsnittet av første og siste ledd brukes.

Oppgave 67 · MiddelsGeometriske rekker

Geometrisk følge og sum

Oppgave:

En geometrisk følge har $a_1=6$ og kvotient $k=3$ . Finn $a_{8}$ og $S_{8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Se at veksten er multiplikativ

$k=3$

Samme faktor brukes fra ett ledd til det neste.

Steg 2 — Bruk leddformelen

$a_n=a_1k^{n-1}$

Eksponenten er antall ganger vi multipliserer etter første ledd.

Steg 3 — Regn leddet

$a_{8}=6\cdot3^{7}=13122$

Vi setter inn n og regner potensen.

Steg 4 — Velg sumformel

$S_n=a_1\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}$

Dette er formelen for endelig geometrisk rekke når k ikke er 1.

Vanlig feil: Ikke bruk aritmetisk sumformel når det er fast kvotient.

Steg 5 — Sett inn

$S_{8}=6\cdot\dfrac{3^{8}-1}{3-1}$

Innsettingen viser nøyaktig hvilken potens som brukes.

Steg 6 — Regn ferdig

$S_{8}=19680$

Summen omfatter alle ledd fra første til n-te ledd.

Tolkning

Geometriske rekker vokser raskt når kvotienten er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 3

→

k=3

3

a1*k^8-1

→

13122

4

a1*(k⁸-1)/(k-1)

→

19680

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 6
k = 3
n = 8
an = a1*k**(n-1)
S = a1*(k**n - 1)/(k - 1)
print(an, S)

Fasit:

a_{8}=13122

og

S_{8}=19680

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a_n=a_1k^{n-1}$ og $S_n=a_1\dfrac{k^n-1}{k-1}$ .

Vanlige feil

Å bruke k i stedet for k opphøyd i n minus 1.

Dette ser sensor etter

Riktig skille mellom differanse og kvotient.

For høy måloppnåelse

Tolk hvorfor summen vokser så raskt.

Oppgave 68 · MiddelsUendelige rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1=6$ og $k=\dfrac{1}{2}$ . Avgjør om den konvergerer, og finn summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sjekk kravet

$|k|=|\dfrac{1}{2}|$

Uendelige geometriske rekker har sum bare når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn 1.

Steg 2 — Vurder kvotienten

| $\dfrac{1}{2}$ |<1

Dermed blir leddene mindre i størrelse etter hvert.

Steg 3 — Velg formel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$

Dette er grenseverdien for en konvergent geometrisk rekke.

Steg 4 — Sett inn

$S=\dfrac{6}{1-\dfrac{1}{2}}$

Vi setter inn både første ledd og kvotient.

Vanlig feil: Formelen kan ikke brukes hvis absoluttverdien til k er større enn eller lik 1.

Steg 5 — Forenkle

$S=12$

Brøken gir den endelige summen rekken nærmer seg.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$a_1=6,\quad S=12$

Summen skal passe med fortegnet og størrelsen på kvotienten.

Tolkning

Summen er en grenseverdi: tallet rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 6

→

a_1=6

2

k := 1/2

→

k=\dfrac{1}{2}

3

Abs(k) < 1

→

true

4

a1/(1-k)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(6, 1)
k = Fraction(1, 2)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og summen er

S=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$S=\dfrac{a_1}{1-k}$ når |k|<1.

Vanlige feil

Å hoppe over konvergenssjekken.

Dette ser sensor etter

Tydelig vurdering av absoluttverdi før sumformelen.

For høy måloppnåelse

Forklar summen som en grenseverdi.

Oppgave 69 · MiddelsPraktisk bruk av rekker

Spareplan som aritmetisk rekke

Oppgave:

En elev sparer 550 kr første måned og øker beløpet med 35 kr hver måned. Hvor mye er spart etter 17 måneder?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Lag rekke

$a_1=550,\quad d=35,\quad n=17$

Fast økning betyr aritmetisk rekke.

Steg 2 — Finn siste ledd

$a_n=a_1+(n-1)d$

Vi trenger siste månedsbeløp.

Steg 3 — Regn siste beløp

$a_{17}=550+(17-1)\cdot35=1110$

Dette er innbetalingen i siste måned.

Steg 4 — Sett opp total

$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Totalen er antall måneder ganger gjennomsnittet.

Vanlig feil: Ikke multipliser første månedsbeløp med antall måneder når beløpet øker.

Steg 5 — Regn total

$S_{17}=\dfrac{17(550+1110)}{2}=14110$

Vi setter inn første og siste månedsbeløp.

Steg 6 — Svar med enhet

$S_{17}=14110\text{ kr}$

En tekstoppgave om penger må ha kroneenhet.

Tolkning

Svaret er totalen over hele perioden, ikke bare siste innbetaling.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

a1 := 550

→

550

2

d := 35

→

35

3

n := 17

→

17

4

n*(a1+(a1+(n-1)*d))/2

→

14110

Kontroll i Python

Python-kontroll

a1 = 550
d = 35
n = 17
last = a1 + (n-1)*d
total = n*(a1 + last)/2
print(total)

Fasit: Eleven har spart

14110\text{ kr}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Fast økning gir aritmetisk rekke.

Vanlige feil

Å bruke samme beløp for alle måneder.

Dette ser sensor etter

God oversettelse fra tekst til matematisk modell.

For høy måloppnåelse

Forklar hva a1, d og n betyr i situasjonen.