Matematikk R1 · Potenser og logaritmer

Potenser og logaritmer – oppgaver med trinnvis løsning

Oppgaver med trinnvis løsning, vanlige feil, sensorpunkt, grafer, GeoGebra og Python-kontroll.

📘 GeoGebra & Python-guide

Fag

Matematikk R1

Kapittel

Potenser og logaritmer

Antall oppgaver

Nivå

VG2 · LK20

Potenser og logaritmer

60 oppgaver

Oppgave 1 · LettPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^2}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^2}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^3\cdot x^5=x^{3+5}=x^8$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^8}{x^2}=x^{8-2}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{8-2}=x^6$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^6$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^6=64$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^6$ . Når $x=2$ , blir verdien 64.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x³*x⁵/x²)

→

x^6

SettInn(x⁶, x, 2)

→

64

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**3 * x**5 / x**2
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^6

, og verdien for

x=2

64

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 2 · LettPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^4\cdot x^7}{x^3}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^4\cdot x^7}{x^3}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^4\cdot x^7=x^{4+7}=x^11$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^11}{x^3}=x^{11-3}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{11-3}=x^8$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^8$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^8=256$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^8$ . Når $x=2$ , blir verdien 256.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁴*x⁷/x³)

→

x^8

SettInn(x⁸, x, 2)

→

256

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**4 * x**7 / x**3
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^8

, og verdien for

x=2

256

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 3 · LettPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^5\cdot x^4}{x^1}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^5\cdot x^4}{x^1}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^5\cdot x^4=x^{5+4}=x^9$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^9}{x^1}=x^{9-1}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{9-1}=x^8$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^8$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^8=256$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^8$ . Når $x=2$ , blir verdien 256.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁵*x⁴/x¹)

→

x^8

SettInn(x⁸, x, 2)

→

256

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**5 * x**4 / x**1
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^8

, og verdien for

x=2

256

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 4 · LettPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^6\cdot x^6}{x^2}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^6\cdot x^6}{x^2}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^6\cdot x^6=x^{6+6}=x^12$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^12}{x^2}=x^{12-2}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{12-2}=x^10$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^10$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^10=1024$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^10$ . Når $x=2$ , blir verdien 1024.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁶*x⁶/x²)

→

x^10

SettInn(x¹⁰, x, 2)

→

1024

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**6 * x**6 / x**2
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^10

, og verdien for

x=2

1024

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 5 · LettPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^2\cdot x^3}{x^3}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^2\cdot x^3}{x^3}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^5}{x^3}=x^{5-3}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{5-3}=x^2$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^2$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^2=4$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^2$ . Når $x=2$ , blir verdien 4.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x²*x³/x³)

→

x^2

SettInn(x², x, 2)

→

4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**2 * x**3 / x**3
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^2

, og verdien for

x=2

4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 6 · LettPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^1}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^1}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^3\cdot x^5=x^{3+5}=x^8$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^8}{x^1}=x^{8-1}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{8-1}=x^7$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^7$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^7=128$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^7$ . Når $x=2$ , blir verdien 128.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x³*x⁵/x¹)

→

x^7

SettInn(x⁷, x, 2)

→

128

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**3 * x**5 / x**1
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^7

, og verdien for

x=2

128

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 7 · LettPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^4\cdot x^7}{x^2}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^4\cdot x^7}{x^2}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^4\cdot x^7=x^{4+7}=x^11$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^11}{x^2}=x^{11-2}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{11-2}=x^9$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^9$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^9=512$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^9$ . Når $x=2$ , blir verdien 512.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁴*x⁷/x²)

→

x^9

SettInn(x⁹, x, 2)

→

512

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**4 * x**7 / x**2
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^9

, og verdien for

x=2

512

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 8 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^5\cdot x^4}{x^3}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^5\cdot x^4}{x^3}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^5\cdot x^4=x^{5+4}=x^9$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^9}{x^3}=x^{9-3}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{9-3}=x^6$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^6$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^6=64$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^6$ . Når $x=2$ , blir verdien 64.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁵*x⁴/x³)

→

x^6

SettInn(x⁶, x, 2)

→

64

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**5 * x**4 / x**3
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^6

, og verdien for

x=2

64

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 9 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^6\cdot x^6}{x^1}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^6\cdot x^6}{x^1}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^6\cdot x^6=x^{6+6}=x^12$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^12}{x^1}=x^{12-1}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{12-1}=x^11$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^11$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^11=2048$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^11$ . Når $x=2$ , blir verdien 2048.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁶*x⁶/x¹)

→

x^11

SettInn(x¹¹, x, 2)

→

2048

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**6 * x**6 / x**1
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^11

, og verdien for

x=2

2048

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 10 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^2\cdot x^3}{x^2}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^2\cdot x^3}{x^2}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^5}{x^2}=x^{5-2}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{5-2}=x^3$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^3$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^3=8$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^3$ . Når $x=2$ , blir verdien 8.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x²*x³/x²)

→

x^3

SettInn(x³, x, 2)

→

8

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**2 * x**3 / x**2
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^3

, og verdien for

x=2

8

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 11 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^3}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^3}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^3\cdot x^5=x^{3+5}=x^8$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^8}{x^3}=x^{8-3}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{8-3}=x^5$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^5$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^5=32$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^5$ . Når $x=2$ , blir verdien 32.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x³*x⁵/x³)

→

x^5

SettInn(x⁵, x, 2)

→

32

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**3 * x**5 / x**3
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^5

, og verdien for

x=2

32

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 12 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^4\cdot x^7}{x^1}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^4\cdot x^7}{x^1}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^4\cdot x^7=x^{4+7}=x^11$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^11}{x^1}=x^{11-1}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{11-1}=x^10$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^10$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^10=1024$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^10$ . Når $x=2$ , blir verdien 1024.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁴*x⁷/x¹)

→

x^10

SettInn(x¹⁰, x, 2)

→

1024

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**4 * x**7 / x**1
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^10

, og verdien for

x=2

1024

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 13 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^5\cdot x^4}{x^2}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^5\cdot x^4}{x^2}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^5\cdot x^4=x^{5+4}=x^9$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^9}{x^2}=x^{9-2}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{9-2}=x^7$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^7$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^7=128$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^7$ . Når $x=2$ , blir verdien 128.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁵*x⁴/x²)

→

x^7

SettInn(x⁷, x, 2)

→

128

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**5 * x**4 / x**2
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^7

, og verdien for

x=2

128

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 14 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^6\cdot x^6}{x^3}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^6\cdot x^6}{x^3}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^6\cdot x^6=x^{6+6}=x^12$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^12}{x^3}=x^{12-3}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{12-3}=x^9$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^9$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^9=512$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^9$ . Når $x=2$ , blir verdien 512.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x⁶*x⁶/x³)

→

x^9

SettInn(x⁹, x, 2)

→

512

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**6 * x**6 / x**3
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^9

, og verdien for

x=2

512

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 15 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^2\cdot x^3}{x^1}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^2\cdot x^3}{x^1}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^5}{x^1}=x^{5-1}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{5-1}=x^4$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^4$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^4=16$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^4$ . Når $x=2$ , blir verdien 16.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x²*x³/x¹)

→

x^4

SettInn(x⁴, x, 2)

→

16

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**2 * x**3 / x**1
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^4

, og verdien for

x=2

16

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 16 · MiddelsPotenser

Forenkling med potensregler

Oppgave:

Forenkle uttrykket $A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^2}$ , og regn ut $A$ når $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se etter samme grunntall

$A=\dfrac{x^3\cdot x^5}{x^2}$

Alle faktorene har samme grunntall. Derfor kan vi bruke potensreglene i stedet for å multiplisere ut.

Steg 2 — Samle teller

$x^3\cdot x^5=x^{3+5}=x^8$

Når potenser har samme grunntall og multipliseres, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Del på potensen i nevner

$\dfrac{x^8}{x^2}=x^{8-2}$

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Forenkle eksponenten

$x^{8-2}=x^6$

Nå står uttrykket som én potens. Dette er den mest kompakte algebraiske formen.

Steg 5 — Sett inn verdien

$A(2)=2^6$

For å finne tallverdien bytter vi ut $x$ med $2$ .

Steg 6 — Regn ut

$2^6=64$

Til slutt regner vi ut potensen som et vanlig tall.

Vanlig feil: Ikke legg sammen eksponenter når du adderer potenser. Her multipliserer og dividerer vi, derfor kan potensreglene brukes.

Tolkning

Uttrykket betyr at hele regnestykket oppfører seg som $x^6$ . Når $x=2$ , blir verdien 64.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(x³*x⁵/x²)

→

x^6

SettInn(x⁶, x, 2)

→

64

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
A = x**3 * x**5 / x**2
print(simplify(A))
print(simplify(A).subs(x, 2))

Fasit:

x^6

, og verdien for

x=2

64

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i potenser er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 17 · KrevendeTierpotenser og tall på standardform

Standardform med multiplikasjon

Oppgave:

Regn ut og skriv på standardform: $(5\cdot 10^4)(8\cdot 10^4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Multipliser tallfaktorene

$5\cdot 8=40$

Vi begynner med tallene foran tierpotensene.

Steg 2 — Multipliser tierpotensene

$10^4\cdot 10^4=10^{4+4}=10^8$

Tierpotensene har samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Steg 3 — Sett sammen uttrykket

$(5\cdot 8)\cdot 10^8=40\cdot 10^8$

Nå har vi ett tall foran og én tierpotens.

Steg 4 — Normaliser koeffisienten

$40\cdot 10^8=4{,}0\cdot 10^9$

På standardform må tallet foran tierpotensen være minst $1$ og mindre enn $10$ .

Steg 5 — Sjekk størrelsesorden

$10^9$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Steg 6 — Skriv svaret tydelig

$4{,}0\cdot 10^9$

Dette er standardformen.

Vanlig feil: Ikke la tallet foran tierpotensen være større enn eller lik

10

. Da er det ikke standardform.

Tolkning

Svaret viser både størrelsen og plasseringen av kommaet: $10^9$ dominerer størrelsen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

(5*10⁴)(8*10⁴)

→

4{,}0\cdot 10^9

Kontroll i Python

Python

from sympy import Rational
verdi = 5*10**4*8*10**4
print(verdi)
print('4{,}0*10**9')

Fasit:

4{,}0\cdot 10^9

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i tierpotenser og tall på standardform er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 18 · KrevendeTierpotenser og tall på standardform

Standardform med multiplikasjon

Oppgave:

Regn ut og skriv på standardform: $(6\cdot 10^5)(3\cdot 10^2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Multipliser tallfaktorene

$6\cdot 3=18$

Vi begynner med tallene foran tierpotensene.

Steg 2 — Multipliser tierpotensene

$10^5\cdot 10^2=10^{5+2}=10^7$

Tierpotensene har samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Steg 3 — Sett sammen uttrykket

$(6\cdot 3)\cdot 10^7=18\cdot 10^7$

Nå har vi ett tall foran og én tierpotens.

Steg 4 — Normaliser koeffisienten

$18\cdot 10^7=1{,}8\cdot 10^8$

På standardform må tallet foran tierpotensen være minst $1$ og mindre enn $10$ .

Steg 5 — Sjekk størrelsesorden

$10^8$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Steg 6 — Skriv svaret tydelig

$1{,}8\cdot 10^8$

Dette er standardformen.

Vanlig feil: Ikke la tallet foran tierpotensen være større enn eller lik

10

. Da er det ikke standardform.

Tolkning

Svaret viser både størrelsen og plasseringen av kommaet: $10^8$ dominerer størrelsen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

(6*10⁵)(3*10²)

→

1{,}8\cdot 10^8

Kontroll i Python

Python

from sympy import Rational
verdi = 6*10**5*3*10**2
print(verdi)
print('1{,}8*10**8')

Fasit:

1{,}8\cdot 10^8

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i tierpotenser og tall på standardform er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 19 · KrevendeTierpotenser og tall på standardform

Standardform med multiplikasjon

Oppgave:

Regn ut og skriv på standardform: $(7\cdot 10^6)(4\cdot 10^3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Multipliser tallfaktorene

$7\cdot 4=28$

Vi begynner med tallene foran tierpotensene.

Steg 2 — Multipliser tierpotensene

$10^6\cdot 10^3=10^{6+3}=10^9$

Tierpotensene har samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Steg 3 — Sett sammen uttrykket

$(7\cdot 4)\cdot 10^9=28\cdot 10^9$

Nå har vi ett tall foran og én tierpotens.

Steg 4 — Normaliser koeffisienten

$28\cdot 10^9=2{,}8\cdot 10^10$

På standardform må tallet foran tierpotensen være minst $1$ og mindre enn $10$ .

Steg 5 — Sjekk størrelsesorden

$10^10$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Steg 6 — Skriv svaret tydelig

$2{,}8\cdot 10^10$

Dette er standardformen.

Vanlig feil: Ikke la tallet foran tierpotensen være større enn eller lik

10

. Da er det ikke standardform.

Tolkning

Svaret viser både størrelsen og plasseringen av kommaet: $10^10$ dominerer størrelsen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

(7*10⁶)(4*10³)

→

2{,}8\cdot 10^10

Kontroll i Python

Python

from sympy import Rational
verdi = 7*10**6*4*10**3
print(verdi)
print('2{,}8*10**10')

Fasit:

2{,}8\cdot 10^10

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i tierpotenser og tall på standardform er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 20 · KrevendeTierpotenser og tall på standardform

Standardform med multiplikasjon

Oppgave:

Regn ut og skriv på standardform: $(8\cdot 10^3)(5\cdot 10^4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Multipliser tallfaktorene

$8\cdot 5=40$

Vi begynner med tallene foran tierpotensene.

Steg 2 — Multipliser tierpotensene

$10^3\cdot 10^4=10^{3+4}=10^7$

Tierpotensene har samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Steg 3 — Sett sammen uttrykket

$(8\cdot 5)\cdot 10^7=40\cdot 10^7$

Nå har vi ett tall foran og én tierpotens.

Steg 4 — Normaliser koeffisienten

$40\cdot 10^7=4{,}0\cdot 10^8$

På standardform må tallet foran tierpotensen være minst $1$ og mindre enn $10$ .

Steg 5 — Sjekk størrelsesorden

$10^8$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Steg 6 — Skriv svaret tydelig

$4{,}0\cdot 10^8$

Dette er standardformen.

Vanlig feil: Ikke la tallet foran tierpotensen være større enn eller lik

10

. Da er det ikke standardform.

Tolkning

Svaret viser både størrelsen og plasseringen av kommaet: $10^8$ dominerer størrelsen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

(8*10³)(5*10⁴)

→

4{,}0\cdot 10^8

Kontroll i Python

Python

from sympy import Rational
verdi = 8*10**3*5*10**4
print(verdi)
print('4{,}0*10**8')

Fasit:

4{,}0\cdot 10^8

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i tierpotenser og tall på standardform er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 21 · LettTierpotenser og tall på standardform

Standardform med multiplikasjon

Oppgave:

Regn ut og skriv på standardform: $(2\cdot 10^4)(6\cdot 10^2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Multipliser tallfaktorene

$2\cdot 6=12$

Vi begynner med tallene foran tierpotensene.

Steg 2 — Multipliser tierpotensene

$10^4\cdot 10^2=10^{4+2}=10^6$

Tierpotensene har samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Steg 3 — Sett sammen uttrykket

$(2\cdot 6)\cdot 10^6=12\cdot 10^6$

Nå har vi ett tall foran og én tierpotens.

Steg 4 — Normaliser koeffisienten

$12\cdot 10^6=1{,}2\cdot 10^7$

På standardform må tallet foran tierpotensen være minst $1$ og mindre enn $10$ .

Steg 5 — Sjekk størrelsesorden

$10^7$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Steg 6 — Skriv svaret tydelig

$1{,}2\cdot 10^7$

Dette er standardformen.

Vanlig feil: Ikke la tallet foran tierpotensen være større enn eller lik

10

. Da er det ikke standardform.

Tolkning

Svaret viser både størrelsen og plasseringen av kommaet: $10^7$ dominerer størrelsen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

(2*10⁴)(6*10²)

→

1{,}2\cdot 10^7

Kontroll i Python

Python

from sympy import Rational
verdi = 2*10**4*6*10**2
print(verdi)
print('1{,}2*10**7')

Fasit:

1{,}2\cdot 10^7

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i tierpotenser og tall på standardform er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 22 · LettTierpotenser og tall på standardform

Standardform med multiplikasjon

Oppgave:

Regn ut og skriv på standardform: $(3\cdot 10^5)(7\cdot 10^3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Multipliser tallfaktorene

$3\cdot 7=21$

Vi begynner med tallene foran tierpotensene.

Steg 2 — Multipliser tierpotensene

$10^5\cdot 10^3=10^{5+3}=10^8$

Tierpotensene har samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Steg 3 — Sett sammen uttrykket

$(3\cdot 7)\cdot 10^8=21\cdot 10^8$

Nå har vi ett tall foran og én tierpotens.

Steg 4 — Normaliser koeffisienten

$21\cdot 10^8=2{,}1\cdot 10^9$

På standardform må tallet foran tierpotensen være minst $1$ og mindre enn $10$ .

Steg 5 — Sjekk størrelsesorden

$10^9$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Steg 6 — Skriv svaret tydelig

$2{,}1\cdot 10^9$

Dette er standardformen.

Vanlig feil: Ikke la tallet foran tierpotensen være større enn eller lik

10

. Da er det ikke standardform.

Tolkning

Svaret viser både størrelsen og plasseringen av kommaet: $10^9$ dominerer størrelsen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

(3*10⁵)(7*10³)

→

2{,}1\cdot 10^9

Kontroll i Python

Python

from sympy import Rational
verdi = 3*10**5*7*10**3
print(verdi)
print('2{,}1*10**9')

Fasit:

2{,}1\cdot 10^9

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i tierpotenser og tall på standardform er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 23 · LettTierpotenser og tall på standardform

Standardform med multiplikasjon

Oppgave:

Regn ut og skriv på standardform: $(4\cdot 10^6)(8\cdot 10^4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Multipliser tallfaktorene

$4\cdot 8=32$

Vi begynner med tallene foran tierpotensene.

Steg 2 — Multipliser tierpotensene

$10^6\cdot 10^4=10^{6+4}=10^10$

Tierpotensene har samme grunntall, så eksponentene legges sammen.

Steg 3 — Sett sammen uttrykket

$(4\cdot 8)\cdot 10^10=32\cdot 10^10$

Nå har vi ett tall foran og én tierpotens.

Steg 4 — Normaliser koeffisienten

$32\cdot 10^10=3{,}2\cdot 10^11$

På standardform må tallet foran tierpotensen være minst $1$ og mindre enn $10$ .

Steg 5 — Sjekk størrelsesorden

$10^11$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Steg 6 — Skriv svaret tydelig

$3{,}2\cdot 10^11$

Dette er standardformen.

Vanlig feil: Ikke la tallet foran tierpotensen være større enn eller lik

10

. Da er det ikke standardform.

Tolkning

Svaret viser både størrelsen og plasseringen av kommaet: $10^11$ dominerer størrelsen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

(4*10⁶)(8*10⁴)

→

3{,}2\cdot 10^11

Kontroll i Python

Python

from sympy import Rational
verdi = 4*10**6*8*10**4
print(verdi)
print('3{,}2*10**11')

Fasit:

3{,}2\cdot 10^11

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i tierpotenser og tall på standardform er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 24 · LettKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=5x^3+2x^2-5x+0$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(5x^3)\prime=15x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(2x^2)\prime=4x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-5x)\prime=-5$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(0)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=15x^2+4x-5$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(1)=15\cdot 1^2+4\cdot 1-5=14$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(1)=14$ betyr at grafen har stigningstall $14$ når $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x³+2x²+(-5)x+0

→

f(x):=5x^3+2x^2-5x+0

Derivert(f)

→

f\prime(x)=15x^2+4x-5

f'(1)

→

14

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=5*x**3+2*x**2+(-5)*x+0
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=15x^2+4x-5

f\prime(1)=14

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25 · LettKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+3x^2-1x+1$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(3x^2)\prime=6x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(1)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+6x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=3\cdot 2^2+6\cdot 2-1=23$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(2)=23$ betyr at grafen har stigningstall $23$ når $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+3x²+(-1)x+1

→

f(x):=1x^3+3x^2-1x+1

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+6x-1

f'(2)

→

23

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+3*x**2+(-1)*x+1
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+6x-1

f\prime(2)=23

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26 · LettKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=2x^3+4x^2-2x+2$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(2x^3)\prime=6x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(4x^2)\prime=8x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-2x)\prime=-2$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(2)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=6x^2+8x-2$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(3)=6\cdot 3^2+8\cdot 3-2=76$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(3)=76$ betyr at grafen har stigningstall $76$ når $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x³+4x²+(-2)x+2

→

f(x):=2x^3+4x^2-2x+2

Derivert(f)

→

f\prime(x)=6x^2+8x-2

f'(3)

→

76

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=2*x**3+4*x**2+(-2)*x+2
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,3))

Fasit:

f\prime(x)=6x^2+8x-2

f\prime(3)=76

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27 · LettKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=3x^3+5x^2-3x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(3x^3)\prime=9x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(5x^2)\prime=10x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-3x)\prime=-3$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=9x^2+10x-3$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=9\cdot 4^2+10\cdot 4-3=181$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=181$ betyr at grafen har stigningstall $181$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x³+5x²+(-3)x+3

→

f(x):=3x^3+5x^2-3x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=9x^2+10x-3

f'(4)

→

181

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=3*x**3+5*x**2+(-3)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=9x^2+10x-3

f\prime(4)=181

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28 · MiddelsKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=4x^3+6x^2-4x+0$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(4x^3)\prime=12x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(6x^2)\prime=12x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-4x)\prime=-4$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(0)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=12x^2+12x-4$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(1)=12\cdot 1^2+12\cdot 1-4=20$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(1)=20$ betyr at grafen har stigningstall $20$ når $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x³+6x²+(-4)x+0

→

f(x):=4x^3+6x^2-4x+0

Derivert(f)

→

f\prime(x)=12x^2+12x-4

f'(1)

→

20

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=4*x**3+6*x**2+(-4)*x+0
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=12x^2+12x-4

f\prime(1)=20

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29 · MiddelsKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=5x^3+7x^2-5x+1$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(5x^3)\prime=15x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(7x^2)\prime=14x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-5x)\prime=-5$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(1)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=15x^2+14x-5$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=15\cdot 2^2+14\cdot 2-5=83$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(2)=83$ betyr at grafen har stigningstall $83$ når $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x³+7x²+(-5)x+1

→

f(x):=5x^3+7x^2-5x+1

Derivert(f)

→

f\prime(x)=15x^2+14x-5

f'(2)

→

83

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=5*x**3+7*x**2+(-5)*x+1
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=15x^2+14x-5

f\prime(2)=83

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 30 · MiddelsKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+2x^2-1x+2$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(2x^2)\prime=4x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(2)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+4x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(3)=3\cdot 3^2+4\cdot 3-1=38$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(3)=38$ betyr at grafen har stigningstall $38$ når $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+2x²+(-1)x+2

→

f(x):=1x^3+2x^2-1x+2

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+4x-1

f'(3)

→

38

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+2*x**2+(-1)*x+2
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,3))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+4x-1

f\prime(3)=38

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31 · MiddelsKvadratrøtter og n-te røtter

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=2x^3+3x^2-2x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(2x^3)\prime=6x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(3x^2)\prime=6x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-2x)\prime=-2$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=6x^2+6x-2$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=6\cdot 4^2+6\cdot 4-2=118$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=118$ betyr at grafen har stigningstall $118$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x³+3x²+(-2)x+3

→

f(x):=2x^3+3x^2-2x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=6x^2+6x-2

f'(4)

→

118

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=2*x**3+3*x**2+(-2)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=6x^2+6x-2

f\prime(4)=118

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kvadratrøtter og n-te røtter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32 · MiddelsLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-3)=4$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-3)=4$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-3=2^4$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^4=16$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=3+16$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=19$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$19-3=16>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 3 må være nøyaktig $16$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-3)=4)

→

x=19

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-3,2)-4, x))

Fasit:

x=19

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 33 · MiddelsLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(7)-\ln(x-4)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(7)-\ln(x-4)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(7)=\ln(7x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(7x^2)-\ln(x-4)=\ln\left(\dfrac{7x^2}{x-4}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-4>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>4$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>4$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(7)-ln(x-4))

→

\ln\left(\dfrac{7x^2}{x-4}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(7)-log(x-4)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{7x^2}{x-4}\right)

, der

x>4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 34 · MiddelsLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-5)=6$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-5)=6$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-5=2^6$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^6=64$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=5+64$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=69$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$69-5=64>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 5 må være nøyaktig $64$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-5)=6)

→

x=69

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-5,2)-6, x))

Fasit:

x=69

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 35 · MiddelsLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(2)-\ln(x-1)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(2)-\ln(x-1)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(2)=\ln(2x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(2x^2)-\ln(x-1)=\ln\left(\dfrac{2x^2}{x-1}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-1>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>1$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>1$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(2)-ln(x-1))

→

\ln\left(\dfrac{2x^2}{x-1}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(2)-log(x-1)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{2x^2}{x-1}\right)

, der

x>1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 36 · MiddelsLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-1)=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-1)=3$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-1=2^3$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^3=8$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=1+8$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=9$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$9-1=8>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 1 må være nøyaktig $8$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-1)=3)

→

x=9

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-1,2)-3, x))

Fasit:

x=9

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 37 · KrevendeLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(4)-\ln(x-3)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(4)-\ln(x-3)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(4)=\ln(4x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(4x^2)-\ln(x-3)=\ln\left(\dfrac{4x^2}{x-3}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-3>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>3$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>3$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(4)-ln(x-3))

→

\ln\left(\dfrac{4x^2}{x-3}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(4)-log(x-3)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{4x^2}{x-3}\right)

, der

x>3

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 38 · KrevendeLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-3)=5$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-3)=5$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-3=2^5$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^5=32$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=3+32$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=35$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$35-3=32>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 3 må være nøyaktig $32$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-3)=5)

→

x=35

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-3,2)-5, x))

Fasit:

x=35

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 39 · KrevendeLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(6)-\ln(x-5)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(6)-\ln(x-5)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(6)=\ln(6x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(6x^2)-\ln(x-5)=\ln\left(\dfrac{6x^2}{x-5}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-5>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>5$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>5$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(6)-ln(x-5))

→

\ln\left(\dfrac{6x^2}{x-5}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(6)-log(x-5)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{6x^2}{x-5}\right)

, der

x>5

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 40 · KrevendeLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-5)=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-5)=2$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-5=2^2$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^2=4$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=5+4$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=9$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$9-5=4>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 5 må være nøyaktig $4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-5)=2)

→

x=9

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-5,2)-2, x))

Fasit:

x=9

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 41 · LettLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(8)-\ln(x-2)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(8)-\ln(x-2)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(8)=\ln(8x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(8x^2)-\ln(x-2)=\ln\left(\dfrac{8x^2}{x-2}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-2>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>2$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>2$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(8)-ln(x-2))

→

\ln\left(\dfrac{8x^2}{x-2}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(8)-log(x-2)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{8x^2}{x-2}\right)

, der

x>2

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 42 · LettLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-1)=4$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-1)=4$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-1=2^4$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^4=16$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=1+16$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=17$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$17-1=16>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 1 må være nøyaktig $16$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-1)=4)

→

x=17

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-1,2)-4, x))

Fasit:

x=17

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 43 · LettLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(3)-\ln(x-4)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(3)-\ln(x-4)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(3)=\ln(3x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(3x^2)-\ln(x-4)=\ln\left(\dfrac{3x^2}{x-4}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-4>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>4$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>4$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(3)-ln(x-4))

→

\ln\left(\dfrac{3x^2}{x-4}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(3)-log(x-4)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{3x^2}{x-4}\right)

, der

x>4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 44 · LettLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-3)=6$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-3)=6$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-3=2^6$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^6=64$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=3+64$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=67$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$67-3=64>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 3 må være nøyaktig $64$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-3)=6)

→

x=67

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-3,2)-6, x))

Fasit:

x=67

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 45 · LettLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(5)-\ln(x-1)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(5)-\ln(x-1)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(5)=\ln(5x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(5x^2)-\ln(x-1)=\ln\left(\dfrac{5x^2}{x-1}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-1>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>1$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>1$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(5)-ln(x-1))

→

\ln\left(\dfrac{5x^2}{x-1}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(5)-log(x-1)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{5x^2}{x-1}\right)

, der

x>1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 46 · LettLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmelikning med grunntall $2$

Oppgave:

Løs likningen $\log_2(x-5)=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Skriv hva logaritmen betyr

$\log_2(x-5)=3$

Logaritmen spør: hvilken eksponent må $2$ opphøyes i for å få $x-{a}$ ?

Steg 2 — Gå til eksponentialform

$x-5=2^3$

Definisjonen av logaritme gir en eksponentiallikning.

Steg 3 — Regn ut potensen

$2^3=8$

Nå har vi et vanlig tall.

Steg 4 — Isoler $x$

$x=5+8$

Vi legger til {a} på begge sider.

Steg 5 — Finn løsningen

$x=13$

Dette er kandidaten til løsning.

Steg 6 — Sjekk definisjonsmengden

$13-5=8>0$

Argumentet til logaritmen er positivt, så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Ikke skriv

x-{a}={m}^2

. Grunntallet er

2

, derfor blir høyresiden

2^{m}

Tolkning

Løsningen betyr at avstanden fra $x$ til 5 må være nøyaktig $8$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(log(2, x-5)=3)

→

x=13

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, log
x=symbols('x')
print(solve(log(x-5,2)-3, x))

Fasit:

x=13

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 47 · LettLogaritmer og logaritmesetninger

Logaritmesetningene i ett uttrykk

Oppgave:

Skriv uttrykket $2\ln(x)+\ln(7)-\ln(x-3)$ som én logaritme. Oppgi også definisjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Bruk potensregelen

$2\ln(x)=\ln(x^2)$

Koeffisienten foran logaritmen kan flyttes opp som eksponent.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

$\ln(x^2)+\ln(7)-\ln(x-3)$

Nå er alle ledd logaritmer uten tall foran.

Steg 3 — Samle pluss-leddene

$\ln(x^2)+\ln(7)=\ln(7x^2)$

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet.

Steg 4 — Trekk fra logaritmen

$\ln(7x^2)-\ln(x-3)=\ln\left(\dfrac{7x^2}{x-3}\right)$

Differanse av logaritmer blir logaritmen til en brøk.

Steg 5 — Finn kravene

$x>0\quad\text{og}\quad x-3>0$

Logaritmer krever positivt argument.

Steg 6 — Kombiner kravene

$x>3$

Kravet $x>{c}$ er strengest og sikrer også $x>0$ .

Vanlig feil: Ikke bruk logaritmesetningene uten å sjekke at argumentene er positive.

Tolkning

Det samlede uttrykket gjelder bare for $x>3$ . Uten dette kravet kan logaritmen være udefinert.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Forenkle(2 ln(x)+ln(7)-ln(x-3))

→

\ln\left(\dfrac{7x^2}{x-3}\right)

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, log, expand_log
x=symbols('x', positive=True)
uttrykk = 2*log(x)+log(7)-log(x-3)
print(expand_log(uttrykk, force=True))

Fasit:

\ln\left(\dfrac{7x^2}{x-3}\right)

, der

x>3

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i logaritmer og logaritmesetninger er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 48 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $3\cdot 2^x=12$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$2^x=\dfrac{12}{3}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{12}{3}=4$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$2^x=2^2$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=2$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$3\cdot 2^2=12$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=2$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $2$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $12$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(3*2^x=12)

→

x=2

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(3*2**x-12, x))

Fasit:

x=2

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 49 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $4\cdot 3^x=108$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$3^x=\dfrac{108}{4}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{108}{4}=27$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$3^x=3^3$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=3$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$4\cdot 3^3=108$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=3$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $3$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $108$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(4*3^x=108)

→

x=3

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(4*3**x-108, x))

Fasit:

x=3

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 50 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $5\cdot 4^x=1280$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$4^x=\dfrac{1280}{5}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{1280}{5}=256$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$4^x=4^4$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=4$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$5\cdot 4^4=1280$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=4$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $4$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $1280$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(5*4^x=1280)

→

x=4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(5*4**x-1280, x))

Fasit:

x=4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 51 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $6\cdot 2^x=192$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$2^x=\dfrac{192}{6}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{192}{6}=32$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$2^x=2^5$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=5$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$6\cdot 2^5=192$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=5$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $5$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $192$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(6*2^x=192)

→

x=5

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(6*2**x-192, x))

Fasit:

x=5

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 52 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $7\cdot 3^x=63$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$3^x=\dfrac{63}{7}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{63}{7}=9$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$3^x=3^2$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=2$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$7\cdot 3^2=63$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=2$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $2$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $63$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(7*3^x=63)

→

x=2

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(7*3**x-63, x))

Fasit:

x=2

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 53 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $8\cdot 4^x=512$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$4^x=\dfrac{512}{8}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{512}{8}=64$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$4^x=4^3$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=3$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$8\cdot 4^3=512$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=3$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $3$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $512$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(8*4^x=512)

→

x=3

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(8*4**x-512, x))

Fasit:

x=3

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 54 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $3\cdot 2^x=48$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$2^x=\dfrac{48}{3}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{48}{3}=16$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$2^x=2^4$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=4$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$3\cdot 2^4=48$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=4$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $4$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $48$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(3*2^x=48)

→

x=4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(3*2**x-48, x))

Fasit:

x=4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 55 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $4\cdot 3^x=972$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$3^x=\dfrac{972}{4}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{972}{4}=243$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$3^x=3^5$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=5$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$4\cdot 3^5=972$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=5$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $5$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $972$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(4*3^x=972)

→

x=5

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(4*3**x-972, x))

Fasit:

x=5

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 56 · MiddelsEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $5\cdot 4^x=80$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$4^x=\dfrac{80}{5}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{80}{5}=16$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$4^x=4^2$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=2$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$5\cdot 4^2=80$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=2$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $2$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $80$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(5*4^x=80)

→

x=2

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(5*4**x-80, x))

Fasit:

x=2

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 57 · KrevendeEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $6\cdot 2^x=48$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$2^x=\dfrac{48}{6}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{48}{6}=8$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$2^x=2^3$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=3$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$6\cdot 2^3=48$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=3$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $3$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $48$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(6*2^x=48)

→

x=3

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(6*2**x-48, x))

Fasit:

x=3

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 58 · KrevendeEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $7\cdot 3^x=567$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$3^x=\dfrac{567}{7}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{567}{7}=81$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$3^x=3^4$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=4$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$7\cdot 3^4=567$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=4$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $4$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $567$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(7*3^x=567)

→

x=4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(7*3**x-567, x))

Fasit:

x=4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 59 · KrevendeEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $8\cdot 4^x=8192$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$4^x=\dfrac{8192}{8}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{8192}{8}=1024$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$4^x=4^5$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=5$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$8\cdot 4^5=8192$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=5$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $5$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $8192$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(8*4^x=8192)

→

x=5

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(8*4**x-8192, x))

Fasit:

x=5

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Oppgave 60 · KrevendeEksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter

Eksponentiallikning

Oppgave:

Løs likningen $3\cdot 2^x=12$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Del på koeffisienten

$2^x=\dfrac{12}{3}$

Vi må først få potensen alene.

Steg 2 — Forenkle høyresiden

$\dfrac{12}{3}=4$

Nå ser vi at høyresiden er en potens med samme grunntall.

Steg 3 — Skriv som potens

$2^x=2^2$

Begge sider har nå samme grunntall.

Steg 4 — Sammenlign eksponentene

$x=2$

Når grunntallet er positivt og ikke $1$ , må eksponentene være like.

Steg 5 — Kontroller

$3\cdot 2^2=12$

Setter vi inn løsningen, får vi høyresiden i startlikningen.

Steg 6 — Konkluder

$x=2$

Dette er den eneste løsningen.

Vanlig feil: Ikke ta logaritme før potensen er isolert, med mindre du er svært ryddig. Her kan vi løse enklere ved å kjenne igjen potensen.

Tolkning

Eksponenten $2$ er tidspunktet/stegnummeret der uttrykket når verdien $12$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(3*2^x=12)

→

x=2

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve
x=symbols('x')
print(solve(3*2**x-12, x))

Fasit:

x=2

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i eksponentiallikninger, logaritmelikninger og ulikheter er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

Matematikk R1

Flere R1-oppgaver fra kapittelsamlingen

Innhold: eksempler, Snakk-/Utforsk-pregede forklaringer og oppgaver, full trinnvis løsning, fasit, regler, vanlige feil, sensorpunkt, høy måloppnåelse, SVG-illustrasjoner, kodebokser og Ifingo-lærer-knapp.

Eksempler – forklart

Eksempel 1n-terøtterEksempel

Eksempel 1 - n-terøtter

Finn ∛(-216) og ⁴√1296.

Vis løsning

Trinnvis løsning
∛(-216)=-6 fordi (-6)³=-216. For ⁴√1296 ser vi at 6⁴=1296, og en partallsrot skal være positiv.

Fasit
∛(-216)=-6 og ⁴√1296=6.

Regel/huskeregel
n-teroten av a er tallet som opphøyd i n blir a. Ved partallsrot bruker vi positiv hovedrot.

Vanlige feil
Å svare ±6 på ⁴√1296, eller å avvise oddetallsrot av negativt tall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig fortegn og begrunnelse med potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 2Potenser med rasjonale eksponenterEksempel

Eksempel 2 - Potenser med rasjonale eksponenter

Skriv x³·(y²)⁴/(x^-2·y³) så enkelt som mulig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først (y²)⁴=y⁸. Da får vi x³y⁸/(x^-2y³)=x^3-(-2)y^8-3=x⁵y⁵.

Fasit
x⁵y⁵.

Regel/huskeregel
a^p·a^q=a^p+q, a^p/a^q=a^p-q, (a^p)^q=a^pq.

Vanlige feil
Å trekke eksponentene i feil rekkefølge i brøk.

Sensor ser etter
Sensor ser etter systematisk bruk av potensreglene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 3Brøkeksponenter og røtterEksempel

Eksempel 3 - Brøkeksponenter og røtter

Skriv 81^3/4 som et helt tall.

Vis løsning

Trinnvis løsning
81^3/4=(⁴√81)³. Siden ⁴√81=3, får vi 3³=27.

Fasit
27.

Regel/huskeregel
a^m/n=(ⁿ√a)^m=ⁿ√(a^m), når uttrykket er definert.

Vanlige feil
Å tolke 3/4 som 3:4 eller bruke kvadratrot i stedet for fjerderot.

Sensor ser etter
Sensor ser etter overgang mellom potens og rot.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 4Programmering med potenserEksempel

Eksempel 4 - Programmering med potenser

Lag et kort program som regner ut 64^1/3, 125^2/3 og 10^1/2.

print(64**(1/3))
print(125**(2/3))
print(10**(1/2))

Vis løsning

Trinnvis løsning
I Python skriver vi brøkeksponenter med parentes. 64^1/3=4, 125^2/3=25 og 10^1/2=√10.

Fasit
Programmet skriver omtrent 4, 25 og 3,162.

Regel/huskeregel
I Python brukes ** for potens.

Vanlige feil
Å skrive 1/3 uten parentes i mer kompliserte uttrykk eller bruke ^ i Python.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt syntaks og tolkning av utskrift.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 5Regning med røtterEksempel

Eksempel 5 - Regning med røtter

Vis at ³√(250x⁶)=5x²·³√2 for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv 250x⁶=125·2·x⁶. Da blir ³√(250x⁶)=³√125·³√2·³√(x⁶)=5·³√2·x².

Fasit
5x²·³√2.

Regel/huskeregel
ⁿ√(ab)=ⁿ√a·ⁿ√b når uttrykkene er definert.

Vanlige feil
Å ta ut x⁶ som x⁶ i stedet for x².

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering i perfekte potenser.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 6Briggske logaritmerEksempel

Eksempel 6 - Briggske logaritmer

Finn 10^{lg 8}, lg 10^-3 og lg √10.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir 10^{lg 8}=8. Videre er lg 10^-3=-3. Til slutt er √10=10^1/2, så lg √10=1/2.

Fasit
8, -3 og 1/2.

Regel/huskeregel
10^{lg p}=p og lg(10^k)=k for p>0.

Vanlige feil
Å blande lg og ln, eller tro at lg √10=√(lg10).

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 7Naturlige logaritmerEksempel

Eksempel 7 - Naturlige logaritmer

Finn e^{ln 5}, ln(e^-4) og ln(∛(e²)).

Vis løsning

Trinnvis løsning
e^{ln 5}=5. ln(e^-4)=-4. ∛(e²)=e^2/3, så ln(∛(e²))=2/3.

Fasit
5, -4 og 2/3.

Regel/huskeregel
e^{ln p}=p og ln(e^k)=k for p>0.

Vanlige feil
Å bruke 10-regler på e-regler uten å se grunntallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at e og ln er inverse funksjoner.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 8Første logaritmesetningEksempel

Eksempel 8 - Første logaritmesetning

Gitt at lg 2≈0,301 og lg 7≈0,845. Finn lg 14.

Vis løsning

Trinnvis løsning
14=2·7, så lg14=lg2+lg7≈0,301+0,845=1,146.

Fasit
lg14≈1,146.

Regel/huskeregel
log(ab)=log a+log b for positive a og b.

Vanlige feil
Å skrive lg(2+7).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 9Bevis for produktsetningenEksempel

Eksempel 9 - Bevis for produktsetningen

Bevis ideen bak ln(ab)=ln a+ln b.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden a=e^{ln a} og b=e^{ln b}, får vi ab=e^{ln a}e^{ln b}=e^{ln a+ln b}. Samtidig er ab=e^ln(ab). Like potenser med grunntall e gir ln(ab)=ln a+ln b.

Fasit
ln(ab)=ln a+ln b.

Regel/huskeregel
Definisjonen av ln og potensregelen e^u·e^v=e^u+v.

Vanlige feil
Å bruke regelen som skal bevises i selve beviset.

Sensor ser etter
Sensor ser etter logisk argumentasjon.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 10Andre logaritmesetningEksempel

Eksempel 10 - Andre logaritmesetning

Skriv ln(x/e⁴)-ln(xe²) enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(x/e⁴)=ln x-4. ln(xe²)=ln x+2. Differansen blir (ln x-4)-(ln x+2)=-6.

Fasit
-6.

Regel/huskeregel
log(a/b)=log a-log b og log(ab)=log a+log b.

Vanlige feil
Å miste parentes når et helt logaritmeuttrykk trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parenteskontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 11Tredje logaritmesetningEksempel

Eksempel 11 - Tredje logaritmesetning

Skriv 4lg(x³)+2lg√x enklest mulig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
4lg(x³)=12lgx. 2lg√x=2·(1/2)lgx=lgx. Sum =13lgx.

Fasit
13lg x.

Regel/huskeregel
log(a^r)=r log a.

Vanlige feil
Å tolke (lg x)³ som lg(x³).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt skille mellom log av potens og potens av log.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 12Samle logaritmerEksempel

Eksempel 12 - Samle logaritmer

Skriv 2lg5+3lg2 som én logaritme.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg5=lg(5²)=lg25. 3lg2=lg(2³)=lg8. Summen er lg(25·8)=lg200.

Fasit
lg 200.

Regel/huskeregel
Bruk tredje setning først, deretter produktsetningen.

Vanlige feil
Å samle til lg(10) uten å opphøye først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter rekkefølgen i reglene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 13Eksponentiallikning med 10Eksempel

Eksempel 13 - Eksponentiallikning med 10

Løs 10^x+1=250.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Ta lg på begge sider: x+1=lg250. Dermed x=lg250-1≈2,398-1=1,398.

Fasit
x≈1,398.

Regel/huskeregel
Hvis 10^u=a, er u=lg a.

Vanlige feil
Å ta lg av bare ett ledd.

Sensor ser etter
Sensor ser etter logaritmebruk på begge sider.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 14Eksponentiallikning med eEksempel

Eksempel 14 - Eksponentiallikning med e

Løs e^2x-3=12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Ta ln på begge sider: 2x-3=ln12. Da er x=(ln12+3)/2≈2,742.

Fasit
x≈2,742.

Regel/huskeregel
Hvis e^u=a, er u=ln a.

Vanlige feil
Å skrive x=ln12 uten å løse for x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter isolering etter logaritmering.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 15LogaritmelikningEksempel

Eksempel 15 - Logaritmelikning

Løs lg(x-2)=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir x-2=10¹=10. Dermed x=12. Sjekk: x-2>0, og 12 er lovlig.

Fasit
x=12.

Regel/huskeregel
lg A=k betyr A=10^k, men A må være positiv.

Vanlige feil
Å glemme definisjonsmengden x>2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontroll av lovlig løsning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 16Logaritmelikning med setningerEksempel

Eksempel 16 - Logaritmelikning med setninger

Løs ln x+ln(x-3)=ln 10.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre side er ln(x(x-3)). Da får vi x(x-3)=10. x²-3x-10=0 gir x=5 eller x=-2. Definisjonsmengden krever x>3, så x=5.

Fasit
x=5.

Regel/huskeregel
ln a+ln b=ln(ab), men a og b må være positive.

Vanlige feil
Å beholde x=-2 selv om logaritmen ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde og forkasting av ugyldig løsning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 17LogaritmefunksjonerEksempel

Eksempel 17 - Logaritmefunksjoner

Forklar hvorfor f(x)=lg x bare er definert for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg x er tallet vi må opphøye 10 i for å få x. Alle potenser 10^t er positive. Derfor kan x ikke være 0 eller negativ.

Fasit
D_f=(0,∞).

Regel/huskeregel
Logaritmefunksjoner med positivt grunntall er definert for positive argumenter.

Vanlige feil
Å tro at lg(-10)=-1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenheng med eksponentialfunksjonen.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 18Grafisk tolkningEksempel

Eksempel 18 - Grafisk tolkning

Hva betyr punktet (2, lg2) på grafen til y=lg x?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Punktet betyr at når x=2, er funksjonsverdien lg2. Dette er eksponenten som gjør at 10^lg2=2.

Fasit
Punktet viser logaritmen til 2.

Regel/huskeregel
Logaritme og eksponentialfunksjon er inverse.

Vanlige feil
Å lese punktet som 2^lg2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter presis grafisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 19Generelle logaritmerEksempel

Eksempel 19 - Generelle logaritmer

Finn log_3 81.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi spør: hvilken eksponent må 3 opphøyes i for å få 81? Siden 3⁴=81, er log_3 81=4.

Fasit
4.

Regel/huskeregel
log_a b=c betyr a^c=b.

Vanlige feil
Å bruke 10-logaritme uten å se grunntallet 3.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjon av generell logaritme.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 20Skifte av grunntallEksempel

Eksempel 20 - Skifte av grunntall

Regn ut log_5 40 med lg.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skifteformelen gir log_5 40=lg40/lg5≈1,602/0,699≈2,292.

Fasit
≈2,292.

Regel/huskeregel
log_a b=lg b/lg a=ln b/ln a.

Vanlige feil
Å snu brøken.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig teller og nevner.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 21Likning med generell logaritmeEksempel

Eksempel 21 - Likning med generell logaritme

Løs log_2(x+1)=5.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir x+1=2⁵=32, så x=31. Sjekk: x+1>0.

Fasit
x=31.

Regel/huskeregel
log_a U=k betyr U=a^k.

Vanlige feil
Å svare x=32 uten å trekke fra 1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjon og sjekk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 22EksponentialmodellEksempel

Eksempel 22 - Eksponentialmodell

En mengde følger M(t)=80·1,12^t. Når passerer den 200?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Løs 80·1,12^t=200. Da er 1,12^t=2,5. t=ln2,5/ln1,12≈8,09.

Fasit
Etter ca. 8,1 tidsenheter.

Regel/huskeregel
a·b^t=c løses med logaritmer: t=ln(c/a)/ln b.

Vanlige feil
Å dele eksponentene eller trekke 1,12 fra 2,5.

Sensor ser etter
Sensor ser etter logaritmisk løsning og praktisk avrunding.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

Eksempel 23HalveringstidEksempel

Eksempel 23 - Halveringstid

Et stoff følger N(t)=500·0,86^t. Finn halveringstiden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Halvering betyr N(t)=250. Da er 0,86^t=0,5, og t=ln0,5/ln0,86≈4,59.

Fasit
Ca. 4,6 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Halveringstid løses ved å sette vekstfaktoren opphøyd i t lik 0,5.

Vanlige feil
Å bruke 0,86t i stedet for 0,86^t.

Sensor ser etter
Sensor ser etter eksponentiell modell.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

Eksempel 24DefinisjonsmengdeEksempel

Eksempel 24 - Definisjonsmengde

Finn definisjonsmengden til f(x)=ln(2x-6).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Argumentet må være positivt: 2x-6>0, altså x>3.

Fasit
D_f=(3,∞).

Regel/huskeregel
Logaritmens argument må være større enn 0.

Vanlige feil
Å løse 2x-6≥0 og inkludere x=3.

Sensor ser etter
Sensor ser etter streng ulikhet.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 25Forenkle med flere logaritmesetningerEksempel

Eksempel 25 - Forenkle med flere logaritmesetninger

Skriv ln(a²b³)-ln(ab) enklest mulig for a,b>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Første uttrykk minus andre gir ln((a²b³)/(ab))=ln(ab²). Alternativt: 2ln a+3ln b-(ln a+ln b)=ln a+2ln b.

Fasit
ln(ab²) eller ln a+2ln b.

Regel/huskeregel
Kombiner produkt-, brøk- og potenssetningen.

Vanlige feil
Å trekke bare siste leddet på grunn av manglende parentes.

Sensor ser etter
Sensor ser etter struktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 26Likning med flere logaritmerEksempel

Eksempel 26 - Likning med flere logaritmer

Løs lg x+lg(x+9)=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Samle: lg(x(x+9))=2, så x(x+9)=100. x²+9x-100=0 gir x=(-9±√481)/2. Bare positiv løsning er lovlig: x≈6,46.

Fasit
x≈6,46.

Regel/huskeregel
Argumentene i logaritmer må være positive.

Vanlige feil
Å beholde negativ løsning.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde og løsing.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 27Brøkeksponent i likningEksempel

Eksempel 27 - Brøkeksponent i likning

Løs x^3/2=27 for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Opphøy begge sider i 2/3: x=27^2/3=(∛27)²=3²=9.

Fasit
x=9.

Regel/huskeregel
Hvis x^m/n=a og x>0, kan vi bruke motsatt eksponent n/m.

Vanlige feil
Å ta kvadratrot i stedet for kubikkrot først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontroll med x>0.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 28CAS/Python for logaritmerEksempel

Eksempel 28 - CAS/Python for logaritmer

Lag et program som skriver ut lg 7, ln 7 og log_2 7.

from math import log, log10
print(log10(7))
print(log(7))
print(log(7)/log(2))

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk log10, log og skifteformelen log(7)/log(2).

Fasit
Programmet gir omtrent 0,845, 1,946 og 2,807.

Regel/huskeregel
I Python betyr log vanligvis naturlig logaritme.

Vanlige feil
Å bruke log for lg uten å vite bibliotekets definisjon.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt funksjonsvalg.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Eksempel 29Sammensatt eksamensoppgaveEksempel

Eksempel 29 - Sammensatt eksamensoppgave

Løs ln(x²-4)=ln(3x) for x>2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden ln er én-til-én, får vi x²-4=3x. Da x²-3x-4=0, altså x=4 eller x=-1. Kravet x>2 gir x=4.

Fasit
x=4.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å dele bort ln eller beholde x=-1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og én-til-én-argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Oppgaver 1.1-1.127

1.1n-terøtter1A

1.1 - n-terøtter

Regn ut 3. roten av 64 og forklar hvorfor svaret er positivt eller negativt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden (4)³=64, er 3. roten av 64 lik 4. Når roten er av partallsgrad, bruker vi positiv hovedrot.

Fasit
4.

Regel/huskeregel
n-teroten av a er tallet som opphøyd i n blir a.

Vanlige feil
Å glemme at partallsrot har positiv hovedverdi.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begrunnelse med potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.2Potenser med rasjonale eksponenter1A

1.2 - Potenser med rasjonale eksponenter

Skriv (4^5/2)² og 4^-5 som enklere potenser.

Vis løsning

Trinnvis løsning
((4)^5/2)²=4⁵. Videre er 4^-5=1/4⁵.

Fasit
4⁵ og 1/4⁵.

Regel/huskeregel
(a^p)^q=a^pq, og a^-n=1/aⁿ.

Vanlige feil
Å multiplisere grunntallene i stedet for eksponentene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.3Røtter som potenser1A

1.3 - Røtter som potenser

Skriv ⁵√(x³) og x^7/4 som rotuttrykk/potenser på to måter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
⁵√(x³)=x^3/5. Videre er x^7/4=⁴√(x⁷)=(⁴√x)⁷ for x>0.

Fasit
x^3/5 og ⁴√(x⁷).

Regel/huskeregel
x^m/n=ⁿ√(x^m).

Vanlige feil
Å bytte teller og nevner i brøkeksponenten.

Sensor ser etter
Sensor ser etter presis oversettelse mellom rot og potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.4Forenkling med røtter1A

1.4 - Forenkling med røtter

Skriv √(29·x²) enklest mulig når x>0, og forklar metoden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer ut kvadrattall hvis mulig og bruker √(x²)=x når x>0. Dersom tallet ikke har perfekt kvadratfaktor, lar vi tallfaktoren stå under roten.

Fasit
Forenkles ved å ta ut kvadratiske faktorer og x.

Regel/huskeregel
√(ab)=√a·√b, og √(x²)=|x|.

Vanlige feil
Å skrive √(x²)=x uten å vite fortegnet; her er x>0, så det går bra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og fortegnskontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.5Sammenlikning av rotuttrykk1A

1.5 - Sammenlikning av rotuttrykk

Skriv 8^2/3, 16^3/4, 25^1/2 og 4^-1/2 i stigende rekkefølge.

Vis løsning

Trinnvis løsning
8^2/3=(∛8)²=4. 16^3/4=(⁴√16)³=8. 25^1/2=5. 4^-1/2=1/√4=1/2. Rekkefølgen blir 1/2, 4, 5, 8.

Fasit
4^-1/2, 8^2/3, 25^1/2, 16^3/4.

Regel/huskeregel
Gjør om til vanlige tall før du sammenlikner.

Vanlige feil
Å sammenlikne eksponentene uten å se grunntallene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter systematisk omregning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.6n-terøtter1A

1.6 - n-terøtter

Regn ut 4. roten av 6561 og forklar hvorfor svaret er positivt eller negativt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden (9)⁴=6561, er 4. roten av 6561 lik 9. Når roten er av partallsgrad, bruker vi positiv hovedrot.

Fasit
9.

Regel/huskeregel
n-teroten av a er tallet som opphøyd i n blir a.

Vanlige feil
Å glemme at partallsrot har positiv hovedverdi.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begrunnelse med potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.7Potenser med rasjonale eksponenter1A

1.7 - Potenser med rasjonale eksponenter

Skriv (9^6/2)² og 9^-6 som enklere potenser.

Vis løsning

Trinnvis løsning
((9)^6/2)²=9⁶. Videre er 9^-6=1/9⁶.

Fasit
9⁶ og 1/9⁶.

Regel/huskeregel
(a^p)^q=a^pq, og a^-n=1/aⁿ.

Vanlige feil
Å multiplisere grunntallene i stedet for eksponentene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.8Røtter som potenser1A

1.8 - Røtter som potenser

Skriv ⁵√(x³) og x^7/4 som rotuttrykk/potenser på to måter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
⁵√(x³)=x^3/5. Videre er x^7/4=⁴√(x⁷)=(⁴√x)⁷ for x>0.

Fasit
x^3/5 og ⁴√(x⁷).

Regel/huskeregel
x^m/n=ⁿ√(x^m).

Vanlige feil
Å bytte teller og nevner i brøkeksponenten.

Sensor ser etter
Sensor ser etter presis oversettelse mellom rot og potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.9Forenkling med røtter1A

1.9 - Forenkling med røtter

Skriv √(34·x²) enklest mulig når x>0, og forklar metoden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer ut kvadrattall hvis mulig og bruker √(x²)=x når x>0. Dersom tallet ikke har perfekt kvadratfaktor, lar vi tallfaktoren stå under roten.

Fasit
Forenkles ved å ta ut kvadratiske faktorer og x.

Regel/huskeregel
√(ab)=√a·√b, og √(x²)=|x|.

Vanlige feil
Å skrive √(x²)=x uten å vite fortegnet; her er x>0, så det går bra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og fortegnskontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.10Sammenlikning av rotuttrykk1A

1.10 - Sammenlikning av rotuttrykk

Skriv 8^2/3, 16^3/4, 25^1/2 og 4^-1/2 i stigende rekkefølge.

Vis løsning

Trinnvis løsning
8^2/3=(∛8)²=4. 16^3/4=(⁴√16)³=8. 25^1/2=5. 4^-1/2=1/√4=1/2. Rekkefølgen blir 1/2, 4, 5, 8.

Fasit
4^-1/2, 8^2/3, 25^1/2, 16^3/4.

Regel/huskeregel
Gjør om til vanlige tall før du sammenlikner.

Vanlige feil
Å sammenlikne eksponentene uten å se grunntallene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter systematisk omregning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.11n-terøtter1A

1.11 - n-terøtter

Regn ut 5. roten av 537824 og forklar hvorfor svaret er positivt eller negativt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden (14)⁵=537824, er 5. roten av 537824 lik 14. Når roten er av partallsgrad, bruker vi positiv hovedrot.

Fasit
14.

Regel/huskeregel
n-teroten av a er tallet som opphøyd i n blir a.

Vanlige feil
Å glemme at partallsrot har positiv hovedverdi.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begrunnelse med potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.12Potenser med rasjonale eksponenter1A

1.12 - Potenser med rasjonale eksponenter

Skriv (14^3/2)² og 14^-3 som enklere potenser.

Vis løsning

Trinnvis løsning
((14)^3/2)²=14³. Videre er 14^-3=1/14³.

Fasit
14³ og 1/14³.

Regel/huskeregel
(a^p)^q=a^pq, og a^-n=1/aⁿ.

Vanlige feil
Å multiplisere grunntallene i stedet for eksponentene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.13Røtter som potenser1A

1.13 - Røtter som potenser

Skriv ⁵√(x³) og x^7/4 som rotuttrykk/potenser på to måter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
⁵√(x³)=x^3/5. Videre er x^7/4=⁴√(x⁷)=(⁴√x)⁷ for x>0.

Fasit
x^3/5 og ⁴√(x⁷).

Regel/huskeregel
x^m/n=ⁿ√(x^m).

Vanlige feil
Å bytte teller og nevner i brøkeksponenten.

Sensor ser etter
Sensor ser etter presis oversettelse mellom rot og potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.14Forenkling med røtter1A

1.14 - Forenkling med røtter

Skriv √(39·x²) enklest mulig når x>0, og forklar metoden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer ut kvadrattall hvis mulig og bruker √(x²)=x når x>0. Dersom tallet ikke har perfekt kvadratfaktor, lar vi tallfaktoren stå under roten.

Fasit
Forenkles ved å ta ut kvadratiske faktorer og x.

Regel/huskeregel
√(ab)=√a·√b, og √(x²)=|x|.

Vanlige feil
Å skrive √(x²)=x uten å vite fortegnet; her er x>0, så det går bra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og fortegnskontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.15Sammenlikning av rotuttrykk1A

1.15 - Sammenlikning av rotuttrykk

Skriv 8^2/3, 16^3/4, 25^1/2 og 4^-1/2 i stigende rekkefølge.

Vis løsning

Trinnvis løsning
8^2/3=(∛8)²=4. 16^3/4=(⁴√16)³=8. 25^1/2=5. 4^-1/2=1/√4=1/2. Rekkefølgen blir 1/2, 4, 5, 8.

Fasit
4^-1/2, 8^2/3, 25^1/2, 16^3/4.

Regel/huskeregel
Gjør om til vanlige tall før du sammenlikner.

Vanlige feil
Å sammenlikne eksponentene uten å se grunntallene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter systematisk omregning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.16n-terøtter1A

1.16 - n-terøtter

Regn ut 2. roten av 361 og forklar hvorfor svaret er positivt eller negativt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Siden (19)²=361, er 2. roten av 361 lik 19. Når roten er av partallsgrad, bruker vi positiv hovedrot.

Fasit
19.

Regel/huskeregel
n-teroten av a er tallet som opphøyd i n blir a.

Vanlige feil
Å glemme at partallsrot har positiv hovedverdi.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begrunnelse med potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.17Potenser med rasjonale eksponenter1A

1.17 - Potenser med rasjonale eksponenter

Skriv (19^4/2)² og 19^-4 som enklere potenser.

Vis løsning

Trinnvis løsning
((19)^4/2)²=19⁴. Videre er 19^-4=1/19⁴.

Fasit
19⁴ og 1/19⁴.

Regel/huskeregel
(a^p)^q=a^pq, og a^-n=1/aⁿ.

Vanlige feil
Å multiplisere grunntallene i stedet for eksponentene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.18Røtter som potenser1A

1.18 - Røtter som potenser

Skriv ⁵√(x³) og x^7/4 som rotuttrykk/potenser på to måter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
⁵√(x³)=x^3/5. Videre er x^7/4=⁴√(x⁷)=(⁴√x)⁷ for x>0.

Fasit
x^3/5 og ⁴√(x⁷).

Regel/huskeregel
x^m/n=ⁿ√(x^m).

Vanlige feil
Å bytte teller og nevner i brøkeksponenten.

Sensor ser etter
Sensor ser etter presis oversettelse mellom rot og potens.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.19Forenkling med røtter1A

1.19 - Forenkling med røtter

Skriv √(44·x²) enklest mulig når x>0, og forklar metoden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer ut kvadrattall hvis mulig og bruker √(x²)=x når x>0. Dersom tallet ikke har perfekt kvadratfaktor, lar vi tallfaktoren stå under roten.

Fasit
Forenkles ved å ta ut kvadratiske faktorer og x.

Regel/huskeregel
√(ab)=√a·√b, og √(x²)=|x|.

Vanlige feil
Å skrive √(x²)=x uten å vite fortegnet; her er x>0, så det går bra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og fortegnskontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.20Sammenlikning av rotuttrykk1A

1.20 - Sammenlikning av rotuttrykk

Skriv 8^2/3, 16^3/4, 25^1/2 og 4^-1/2 i stigende rekkefølge.

Vis løsning

Trinnvis løsning
8^2/3=(∛8)²=4. 16^3/4=(⁴√16)³=8. 25^1/2=5. 4^-1/2=1/√4=1/2. Rekkefølgen blir 1/2, 4, 5, 8.

Fasit
4^-1/2, 8^2/3, 25^1/2, 16^3/4.

Regel/huskeregel
Gjør om til vanlige tall før du sammenlikner.

Vanlige feil
Å sammenlikne eksponentene uten å se grunntallene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter systematisk omregning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.21Briggske logaritmer1B

1.21 - Briggske logaritmer

Finn 10^{lg 3}, lg(10¹) og lg(10^1/2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
10^{lg 3}=3. Videre er lg(10¹)=1, og lg(10^1/2)=1/2.

Fasit
3, 1, 1/2.

Regel/huskeregel
10^{lg a}=a og lg(10^r)=r.

Vanlige feil
Å blande sammen grunntall 10 og e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.22Naturlige logaritmer1B

1.22 - Naturlige logaritmer

Finn e^{ln 3}, ln(e²) og ln(e^-2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
e^{ln 3}=3. ln(e²)=2. ln(e^-2)=-2.

Fasit
3, 2, -2.

Regel/huskeregel
e^{ln a}=a og ln(e^r)=r.

Vanlige feil
Å bruke lg-regler når uttrykket har e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at ln og e er inverse.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.23Logaritmefunksjon1B

1.23 - Logaritmefunksjon

Forklar hvorfor lg 0 og lg(-5) ikke er definert i de reelle tallene.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg a er eksponenten vi må opphøye 10 i for å få a. Men 10^x er alltid positivt. Derfor kan a ikke være 0 eller negativ.

Fasit
Ikke definert for 0 eller negative tall.

Regel/huskeregel
Logaritmens argument må være positivt.

Vanlige feil
Å tro at lg(-10)=-1 fordi lg10=1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter argument med eksponentialfunksjonen.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.24Programmering med logaritmer1B

1.24 - Programmering med logaritmer

Lag et program som skriver ut lg 12 og ln 12.

from math import log, log10
print(log10(12))
print(log(12))

Vis løsning

Trinnvis løsning
I Python bruker vi log10 for briggske logaritmer og log for naturlige logaritmer når vi importerer fra math.

Fasit
Programmet skriver omtrent 1,079 og 2,485.

Regel/huskeregel
log10(x)=lg x, log(x)=ln x i Python sitt math-bibliotek.

Vanlige feil
Å bruke log og tro at det alltid betyr lg.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig funksjon og import.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.25Briggske logaritmer1B

1.25 - Briggske logaritmer

Finn 10^{lg 7}, lg(10⁵) og lg(10^5/2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
10^{lg 7}=7. Videre er lg(10⁵)=5, og lg(10^5/2)=5/2.

Fasit
7, 5, 5/2.

Regel/huskeregel
10^{lg a}=a og lg(10^r)=r.

Vanlige feil
Å blande sammen grunntall 10 og e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.26Naturlige logaritmer1B

1.26 - Naturlige logaritmer

Finn e^{ln 7}, ln(e⁶) og ln(e^-6).

Vis løsning

Trinnvis løsning
e^{ln 7}=7. ln(e⁶)=6. ln(e^-6)=-6.

Fasit
7, 6, -6.

Regel/huskeregel
e^{ln a}=a og ln(e^r)=r.

Vanlige feil
Å bruke lg-regler når uttrykket har e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at ln og e er inverse.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.27Logaritmefunksjon1B

1.27 - Logaritmefunksjon

Forklar hvorfor lg 0 og lg(-5) ikke er definert i de reelle tallene.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg a er eksponenten vi må opphøye 10 i for å få a. Men 10^x er alltid positivt. Derfor kan a ikke være 0 eller negativ.

Fasit
Ikke definert for 0 eller negative tall.

Regel/huskeregel
Logaritmens argument må være positivt.

Vanlige feil
Å tro at lg(-10)=-1 fordi lg10=1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter argument med eksponentialfunksjonen.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.28Programmering med logaritmer1B

1.28 - Programmering med logaritmer

Lag et program som skriver ut lg 12 og ln 12.

from math import log, log10
print(log10(12))
print(log(12))

Vis løsning

Trinnvis løsning
I Python bruker vi log10 for briggske logaritmer og log for naturlige logaritmer når vi importerer fra math.

Fasit
Programmet skriver omtrent 1,079 og 2,485.

Regel/huskeregel
log10(x)=lg x, log(x)=ln x i Python sitt math-bibliotek.

Vanlige feil
Å bruke log og tro at det alltid betyr lg.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig funksjon og import.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.29Briggske logaritmer1B

1.29 - Briggske logaritmer

Finn 10^{lg 11}, lg(10⁹) og lg(10^9/2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
10^{lg 11}=11. Videre er lg(10⁹)=9, og lg(10^9/2)=9/2.

Fasit
11, 9, 9/2.

Regel/huskeregel
10^{lg a}=a og lg(10^r)=r.

Vanlige feil
Å blande sammen grunntall 10 og e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.30Naturlige logaritmer1B

1.30 - Naturlige logaritmer

Finn e^{ln 11}, ln(e¹⁰) og ln(e^-10).

Vis løsning

Trinnvis løsning
e^{ln 11}=11. ln(e¹⁰)=10. ln(e^-10)=-10.

Fasit
11, 10, -10.

Regel/huskeregel
e^{ln a}=a og ln(e^r)=r.

Vanlige feil
Å bruke lg-regler når uttrykket har e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at ln og e er inverse.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.31Logaritmefunksjon1B

1.31 - Logaritmefunksjon

Forklar hvorfor lg 0 og lg(-5) ikke er definert i de reelle tallene.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg a er eksponenten vi må opphøye 10 i for å få a. Men 10^x er alltid positivt. Derfor kan a ikke være 0 eller negativ.

Fasit
Ikke definert for 0 eller negative tall.

Regel/huskeregel
Logaritmens argument må være positivt.

Vanlige feil
Å tro at lg(-10)=-1 fordi lg10=1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter argument med eksponentialfunksjonen.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.32Programmering med logaritmer1B

1.32 - Programmering med logaritmer

Lag et program som skriver ut lg 12 og ln 12.

from math import log, log10
print(log10(12))
print(log(12))

Vis løsning

Trinnvis løsning
I Python bruker vi log10 for briggske logaritmer og log for naturlige logaritmer når vi importerer fra math.

Fasit
Programmet skriver omtrent 1,079 og 2,485.

Regel/huskeregel
log10(x)=lg x, log(x)=ln x i Python sitt math-bibliotek.

Vanlige feil
Å bruke log og tro at det alltid betyr lg.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig funksjon og import.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.33Briggske logaritmer1B

1.33 - Briggske logaritmer

Finn 10^{lg 15}, lg(10¹³) og lg(10^13/2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
10^{lg 15}=15. Videre er lg(10¹³)=13, og lg(10^13/2)=13/2.

Fasit
15, 13, 13/2.

Regel/huskeregel
10^{lg a}=a og lg(10^r)=r.

Vanlige feil
Å blande sammen grunntall 10 og e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.34Naturlige logaritmer1B

1.34 - Naturlige logaritmer

Finn e^{ln 15}, ln(e¹⁴) og ln(e^-14).

Vis løsning

Trinnvis løsning
e^{ln 15}=15. ln(e¹⁴)=14. ln(e^-14)=-14.

Fasit
15, 14, -14.

Regel/huskeregel
e^{ln a}=a og ln(e^r)=r.

Vanlige feil
Å bruke lg-regler når uttrykket har e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at ln og e er inverse.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.35Logaritmefunksjon1B

1.35 - Logaritmefunksjon

Forklar hvorfor lg 0 og lg(-5) ikke er definert i de reelle tallene.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg a er eksponenten vi må opphøye 10 i for å få a. Men 10^x er alltid positivt. Derfor kan a ikke være 0 eller negativ.

Fasit
Ikke definert for 0 eller negative tall.

Regel/huskeregel
Logaritmens argument må være positivt.

Vanlige feil
Å tro at lg(-10)=-1 fordi lg10=1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter argument med eksponentialfunksjonen.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.36Programmering med logaritmer1B

1.36 - Programmering med logaritmer

Lag et program som skriver ut lg 12 og ln 12.

from math import log, log10
print(log10(12))
print(log(12))

Vis løsning

Trinnvis løsning
I Python bruker vi log10 for briggske logaritmer og log for naturlige logaritmer når vi importerer fra math.

Fasit
Programmet skriver omtrent 1,079 og 2,485.

Regel/huskeregel
log10(x)=lg x, log(x)=ln x i Python sitt math-bibliotek.

Vanlige feil
Å bruke log og tro at det alltid betyr lg.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig funksjon og import.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.37Briggske logaritmer1B

1.37 - Briggske logaritmer

Finn 10^{lg 19}, lg(10¹⁷) og lg(10^17/2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
10^{lg 19}=19. Videre er lg(10¹⁷)=17, og lg(10^17/2)=17/2.

Fasit
19, 17, 17/2.

Regel/huskeregel
10^{lg a}=a og lg(10^r)=r.

Vanlige feil
Å blande sammen grunntall 10 og e.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.38Potenssetningen1C

1.38 - Potenssetningen

Skriv 3ln(x²)+2ln√x enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3ln(x²)=6lnx. 2ln√x=2·(1/2)lnx=lnx. Sum =7lnx.

Fasit
7ln x.

Regel/huskeregel
ln(x^r)=r ln x.

Vanlige feil
Å blande ln(x²) og (ln x)².

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av tredje logaritmesetning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.39Samle logaritmer1C

1.39 - Samle logaritmer

Skriv 2lg a+3lg b-lg c som én logaritme, der a,b,c>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg a=lg(a²), 3lg b=lg(b³). Summen minus lg c blir lg(a²b³/c).

Fasit
lg(a²b³/c).

Regel/huskeregel
Bruk potenssetningen før produkt- og brøksetningen.

Vanlige feil
Å skrive lg(2a+3b-c).

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig samlet argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.40Produktsetningen1C

1.40 - Produktsetningen

Forenkle lg(4x)+lg(25x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(4x)+lg(25x)=lg(100x²)=lg100+lg(x²)=2+2lgx.

Fasit
2+2lg x.

Regel/huskeregel
lg(ab)=lg a+lg b og lg(x^r)=r lg x.

Vanlige feil
Å skrive lg(4x+25x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.41Brøksetningen1C

1.41 - Brøksetningen

Forenkle ln(8x³)-ln(2x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(8x³)-ln(2x)=ln((8x³)/(2x))=ln(4x²)=ln4+2lnx.

Fasit
ln(4x²), eller ln4+2lnx.

Regel/huskeregel
ln(a/b)=ln a-ln b.

Vanlige feil
Å glemme at hele nevneren skal trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parentes og positivt domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.42Potenssetningen1C

1.42 - Potenssetningen

Skriv 3ln(x²)+2ln√x enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3ln(x²)=6lnx. 2ln√x=2·(1/2)lnx=lnx. Sum =7lnx.

Fasit
7ln x.

Regel/huskeregel
ln(x^r)=r ln x.

Vanlige feil
Å blande ln(x²) og (ln x)².

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av tredje logaritmesetning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.43Samle logaritmer1C

1.43 - Samle logaritmer

Skriv 2lg a+3lg b-lg c som én logaritme, der a,b,c>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg a=lg(a²), 3lg b=lg(b³). Summen minus lg c blir lg(a²b³/c).

Fasit
lg(a²b³/c).

Regel/huskeregel
Bruk potenssetningen før produkt- og brøksetningen.

Vanlige feil
Å skrive lg(2a+3b-c).

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig samlet argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.44Produktsetningen1C

1.44 - Produktsetningen

Forenkle lg(4x)+lg(25x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(4x)+lg(25x)=lg(100x²)=lg100+lg(x²)=2+2lgx.

Fasit
2+2lg x.

Regel/huskeregel
lg(ab)=lg a+lg b og lg(x^r)=r lg x.

Vanlige feil
Å skrive lg(4x+25x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.45Brøksetningen1C

1.45 - Brøksetningen

Forenkle ln(8x³)-ln(2x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(8x³)-ln(2x)=ln((8x³)/(2x))=ln(4x²)=ln4+2lnx.

Fasit
ln(4x²), eller ln4+2lnx.

Regel/huskeregel
ln(a/b)=ln a-ln b.

Vanlige feil
Å glemme at hele nevneren skal trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parentes og positivt domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.46Potenssetningen1C

1.46 - Potenssetningen

Skriv 3ln(x²)+2ln√x enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3ln(x²)=6lnx. 2ln√x=2·(1/2)lnx=lnx. Sum =7lnx.

Fasit
7ln x.

Regel/huskeregel
ln(x^r)=r ln x.

Vanlige feil
Å blande ln(x²) og (ln x)².

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av tredje logaritmesetning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.47Samle logaritmer1C

1.47 - Samle logaritmer

Skriv 2lg a+3lg b-lg c som én logaritme, der a,b,c>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg a=lg(a²), 3lg b=lg(b³). Summen minus lg c blir lg(a²b³/c).

Fasit
lg(a²b³/c).

Regel/huskeregel
Bruk potenssetningen før produkt- og brøksetningen.

Vanlige feil
Å skrive lg(2a+3b-c).

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig samlet argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.48Produktsetningen1C

1.48 - Produktsetningen

Forenkle lg(4x)+lg(25x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(4x)+lg(25x)=lg(100x²)=lg100+lg(x²)=2+2lgx.

Fasit
2+2lg x.

Regel/huskeregel
lg(ab)=lg a+lg b og lg(x^r)=r lg x.

Vanlige feil
Å skrive lg(4x+25x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.49Brøksetningen1C

1.49 - Brøksetningen

Forenkle ln(8x³)-ln(2x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(8x³)-ln(2x)=ln((8x³)/(2x))=ln(4x²)=ln4+2lnx.

Fasit
ln(4x²), eller ln4+2lnx.

Regel/huskeregel
ln(a/b)=ln a-ln b.

Vanlige feil
Å glemme at hele nevneren skal trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parentes og positivt domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.50Potenssetningen1C

1.50 - Potenssetningen

Skriv 3ln(x²)+2ln√x enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3ln(x²)=6lnx. 2ln√x=2·(1/2)lnx=lnx. Sum =7lnx.

Fasit
7ln x.

Regel/huskeregel
ln(x^r)=r ln x.

Vanlige feil
Å blande ln(x²) og (ln x)².

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av tredje logaritmesetning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.51Samle logaritmer1C

1.51 - Samle logaritmer

Skriv 2lg a+3lg b-lg c som én logaritme, der a,b,c>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg a=lg(a²), 3lg b=lg(b³). Summen minus lg c blir lg(a²b³/c).

Fasit
lg(a²b³/c).

Regel/huskeregel
Bruk potenssetningen før produkt- og brøksetningen.

Vanlige feil
Å skrive lg(2a+3b-c).

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig samlet argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.52Produktsetningen1C

1.52 - Produktsetningen

Forenkle lg(4x)+lg(25x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(4x)+lg(25x)=lg(100x²)=lg100+lg(x²)=2+2lgx.

Fasit
2+2lg x.

Regel/huskeregel
lg(ab)=lg a+lg b og lg(x^r)=r lg x.

Vanlige feil
Å skrive lg(4x+25x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.53Brøksetningen1C

1.53 - Brøksetningen

Forenkle ln(8x³)-ln(2x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(8x³)-ln(2x)=ln((8x³)/(2x))=ln(4x²)=ln4+2lnx.

Fasit
ln(4x²), eller ln4+2lnx.

Regel/huskeregel
ln(a/b)=ln a-ln b.

Vanlige feil
Å glemme at hele nevneren skal trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parentes og positivt domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.54Potenssetningen1C

1.54 - Potenssetningen

Skriv 3ln(x²)+2ln√x enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3ln(x²)=6lnx. 2ln√x=2·(1/2)lnx=lnx. Sum =7lnx.

Fasit
7ln x.

Regel/huskeregel
ln(x^r)=r ln x.

Vanlige feil
Å blande ln(x²) og (ln x)².

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av tredje logaritmesetning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.55Samle logaritmer1C

1.55 - Samle logaritmer

Skriv 2lg a+3lg b-lg c som én logaritme, der a,b,c>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg a=lg(a²), 3lg b=lg(b³). Summen minus lg c blir lg(a²b³/c).

Fasit
lg(a²b³/c).

Regel/huskeregel
Bruk potenssetningen før produkt- og brøksetningen.

Vanlige feil
Å skrive lg(2a+3b-c).

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig samlet argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.56Produktsetningen1C

1.56 - Produktsetningen

Forenkle lg(4x)+lg(25x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(4x)+lg(25x)=lg(100x²)=lg100+lg(x²)=2+2lgx.

Fasit
2+2lg x.

Regel/huskeregel
lg(ab)=lg a+lg b og lg(x^r)=r lg x.

Vanlige feil
Å skrive lg(4x+25x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.57Brøksetningen1C

1.57 - Brøksetningen

Forenkle ln(8x³)-ln(2x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(8x³)-ln(2x)=ln((8x³)/(2x))=ln(4x²)=ln4+2lnx.

Fasit
ln(4x²), eller ln4+2lnx.

Regel/huskeregel
ln(a/b)=ln a-ln b.

Vanlige feil
Å glemme at hele nevneren skal trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parentes og positivt domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.58Potenssetningen1C

1.58 - Potenssetningen

Skriv 3ln(x²)+2ln√x enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3ln(x²)=6lnx. 2ln√x=2·(1/2)lnx=lnx. Sum =7lnx.

Fasit
7ln x.

Regel/huskeregel
ln(x^r)=r ln x.

Vanlige feil
Å blande ln(x²) og (ln x)².

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av tredje logaritmesetning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.59Samle logaritmer1C

1.59 - Samle logaritmer

Skriv 2lg a+3lg b-lg c som én logaritme, der a,b,c>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg a=lg(a²), 3lg b=lg(b³). Summen minus lg c blir lg(a²b³/c).

Fasit
lg(a²b³/c).

Regel/huskeregel
Bruk potenssetningen før produkt- og brøksetningen.

Vanlige feil
Å skrive lg(2a+3b-c).

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig samlet argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.60Produktsetningen1C

1.60 - Produktsetningen

Forenkle lg(4x)+lg(25x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(4x)+lg(25x)=lg(100x²)=lg100+lg(x²)=2+2lgx.

Fasit
2+2lg x.

Regel/huskeregel
lg(ab)=lg a+lg b og lg(x^r)=r lg x.

Vanlige feil
Å skrive lg(4x+25x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.61Brøksetningen1C

1.61 - Brøksetningen

Forenkle ln(8x³)-ln(2x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(8x³)-ln(2x)=ln((8x³)/(2x))=ln(4x²)=ln4+2lnx.

Fasit
ln(4x²), eller ln4+2lnx.

Regel/huskeregel
ln(a/b)=ln a-ln b.

Vanlige feil
Å glemme at hele nevneren skal trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parentes og positivt domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.62Potenssetningen1C

1.62 - Potenssetningen

Skriv 3ln(x²)+2ln√x enklest mulig for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3ln(x²)=6lnx. 2ln√x=2·(1/2)lnx=lnx. Sum =7lnx.

Fasit
7ln x.

Regel/huskeregel
ln(x^r)=r ln x.

Vanlige feil
Å blande ln(x²) og (ln x)².

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av tredje logaritmesetning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.63Samle logaritmer1C

1.63 - Samle logaritmer

Skriv 2lg a+3lg b-lg c som én logaritme, der a,b,c>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2lg a=lg(a²), 3lg b=lg(b³). Summen minus lg c blir lg(a²b³/c).

Fasit
lg(a²b³/c).

Regel/huskeregel
Bruk potenssetningen før produkt- og brøksetningen.

Vanlige feil
Å skrive lg(2a+3b-c).

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig samlet argument.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.64Produktsetningen1C

1.64 - Produktsetningen

Forenkle lg(4x)+lg(25x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(4x)+lg(25x)=lg(100x²)=lg100+lg(x²)=2+2lgx.

Fasit
2+2lg x.

Regel/huskeregel
lg(ab)=lg a+lg b og lg(x^r)=r lg x.

Vanlige feil
Å skrive lg(4x+25x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter produktstruktur og domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.65Brøksetningen1C

1.65 - Brøksetningen

Forenkle ln(8x³)-ln(2x) for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln(8x³)-ln(2x)=ln((8x³)/(2x))=ln(4x²)=ln4+2lnx.

Fasit
ln(4x²), eller ln4+2lnx.

Regel/huskeregel
ln(a/b)=ln a-ln b.

Vanlige feil
Å glemme at hele nevneren skal trekkes fra.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parentes og positivt domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.66Eksponentiallikning1D

1.66 - Eksponentiallikning

Løs 4^x= 64.

Vis løsning

Trinnvis løsning
4^x=4³, derfor x=3. Alternativt kan vi ta logaritme på begge sider.

Fasit
x=3.

Regel/huskeregel
Like potenser med samme positive grunntall ulik 1 har like eksponenter.

Vanlige feil
Å ta logaritme feil når grunntallene allerede er like.

Sensor ser etter
Sensor ser etter rask og korrekt metode.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.67Eksponentiallikning med logaritmer1D

1.67 - Eksponentiallikning med logaritmer

Løs 3·1,08^x=12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Del på 3: 1,08^x=4. Ta ln: x ln1,08=ln4. Derfor x=ln4/ln1,08≈18,01.

Fasit
x≈18,01.

Regel/huskeregel
a·b^x=c gir x=ln(c/a)/ln b.

Vanlige feil
Å ta ln av 1,08 og x hver for seg som ln(1,08x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter isolering før logaritme.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.68Logaritmelikning1D

1.68 - Logaritmelikning

Løs lg(x+4)=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(x+4)=2 betyr x+4=10²=100. Dermed x=96. Sjekk: x+4>0.

Fasit
x=96.

Regel/huskeregel
lg U=k betyr U=10^k.

Vanlige feil
Å svare x+4=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.69Logaritmelikning med to argumenter1D

1.69 - Logaritmelikning med to argumenter

Løs ln x+ln(x-2)=ln 15.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Samle venstre side: ln(x(x-2))=ln15. Da x(x-2)=15, altså x²-2x-15=0. Løsninger er x=5 og x=-3. Kravet x>2 gir x=5.

Fasit
x=5.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å beholde x=-3 selv om logaritmene ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og forkasting av ugyldig løsning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.70Eksponentiell modell1D

1.70 - Eksponentiell modell

En bakteriekultur følger B(t)=200·1,18^t. Når passerer den 1000?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett 200·1,18^t=1000. Da 1,18^t=5, og t=ln5/ln1,18≈9,73.

Fasit
Etter ca. 9,7 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Eksponentiallikninger løses med logaritmer.

Vanlige feil
Å bruke lineær vekst 18 % som 18 bakterier per time.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modellforståelse og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.71Eksponentiallikning1D

1.71 - Eksponentiallikning

Løs 5^x= 125.

Vis løsning

Trinnvis løsning
5^x=5³, derfor x=3. Alternativt kan vi ta logaritme på begge sider.

Fasit
x=3.

Regel/huskeregel
Like potenser med samme positive grunntall ulik 1 har like eksponenter.

Vanlige feil
Å ta logaritme feil når grunntallene allerede er like.

Sensor ser etter
Sensor ser etter rask og korrekt metode.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.72Eksponentiallikning med logaritmer1D

1.72 - Eksponentiallikning med logaritmer

Løs 3·1,08^x=12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Del på 3: 1,08^x=4. Ta ln: x ln1,08=ln4. Derfor x=ln4/ln1,08≈18,01.

Fasit
x≈18,01.

Regel/huskeregel
a·b^x=c gir x=ln(c/a)/ln b.

Vanlige feil
Å ta ln av 1,08 og x hver for seg som ln(1,08x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter isolering før logaritme.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.73Logaritmelikning1D

1.73 - Logaritmelikning

Løs lg(x+4)=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(x+4)=2 betyr x+4=10²=100. Dermed x=96. Sjekk: x+4>0.

Fasit
x=96.

Regel/huskeregel
lg U=k betyr U=10^k.

Vanlige feil
Å svare x+4=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.74Logaritmelikning med to argumenter1D

1.74 - Logaritmelikning med to argumenter

Løs ln x+ln(x-2)=ln 15.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Samle venstre side: ln(x(x-2))=ln15. Da x(x-2)=15, altså x²-2x-15=0. Løsninger er x=5 og x=-3. Kravet x>2 gir x=5.

Fasit
x=5.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å beholde x=-3 selv om logaritmene ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og forkasting av ugyldig løsning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.75Eksponentiell modell1D

1.75 - Eksponentiell modell

En bakteriekultur følger B(t)=200·1,18^t. Når passerer den 1000?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett 200·1,18^t=1000. Da 1,18^t=5, og t=ln5/ln1,18≈9,73.

Fasit
Etter ca. 9,7 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Eksponentiallikninger løses med logaritmer.

Vanlige feil
Å bruke lineær vekst 18 % som 18 bakterier per time.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modellforståelse og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.76Eksponentiallikning1D

1.76 - Eksponentiallikning

Løs 2^x= 8.

Vis løsning

Trinnvis løsning
2^x=2³, derfor x=3. Alternativt kan vi ta logaritme på begge sider.

Fasit
x=3.

Regel/huskeregel
Like potenser med samme positive grunntall ulik 1 har like eksponenter.

Vanlige feil
Å ta logaritme feil når grunntallene allerede er like.

Sensor ser etter
Sensor ser etter rask og korrekt metode.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.77Eksponentiallikning med logaritmer1D

1.77 - Eksponentiallikning med logaritmer

Løs 3·1,08^x=12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Del på 3: 1,08^x=4. Ta ln: x ln1,08=ln4. Derfor x=ln4/ln1,08≈18,01.

Fasit
x≈18,01.

Regel/huskeregel
a·b^x=c gir x=ln(c/a)/ln b.

Vanlige feil
Å ta ln av 1,08 og x hver for seg som ln(1,08x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter isolering før logaritme.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.78Logaritmelikning1D

1.78 - Logaritmelikning

Løs lg(x+4)=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(x+4)=2 betyr x+4=10²=100. Dermed x=96. Sjekk: x+4>0.

Fasit
x=96.

Regel/huskeregel
lg U=k betyr U=10^k.

Vanlige feil
Å svare x+4=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.79Logaritmelikning med to argumenter1D

1.79 - Logaritmelikning med to argumenter

Løs ln x+ln(x-2)=ln 15.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Samle venstre side: ln(x(x-2))=ln15. Da x(x-2)=15, altså x²-2x-15=0. Løsninger er x=5 og x=-3. Kravet x>2 gir x=5.

Fasit
x=5.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å beholde x=-3 selv om logaritmene ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og forkasting av ugyldig løsning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.80Eksponentiell modell1D

1.80 - Eksponentiell modell

En bakteriekultur følger B(t)=200·1,18^t. Når passerer den 1000?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett 200·1,18^t=1000. Da 1,18^t=5, og t=ln5/ln1,18≈9,73.

Fasit
Etter ca. 9,7 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Eksponentiallikninger løses med logaritmer.

Vanlige feil
Å bruke lineær vekst 18 % som 18 bakterier per time.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modellforståelse og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.81Eksponentiallikning1D

1.81 - Eksponentiallikning

Løs 3^x= 27.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3^x=3³, derfor x=3. Alternativt kan vi ta logaritme på begge sider.

Fasit
x=3.

Regel/huskeregel
Like potenser med samme positive grunntall ulik 1 har like eksponenter.

Vanlige feil
Å ta logaritme feil når grunntallene allerede er like.

Sensor ser etter
Sensor ser etter rask og korrekt metode.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.82Eksponentiallikning med logaritmer1D

1.82 - Eksponentiallikning med logaritmer

Løs 3·1,08^x=12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Del på 3: 1,08^x=4. Ta ln: x ln1,08=ln4. Derfor x=ln4/ln1,08≈18,01.

Fasit
x≈18,01.

Regel/huskeregel
a·b^x=c gir x=ln(c/a)/ln b.

Vanlige feil
Å ta ln av 1,08 og x hver for seg som ln(1,08x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter isolering før logaritme.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.83Logaritmelikning1D

1.83 - Logaritmelikning

Løs lg(x+4)=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(x+4)=2 betyr x+4=10²=100. Dermed x=96. Sjekk: x+4>0.

Fasit
x=96.

Regel/huskeregel
lg U=k betyr U=10^k.

Vanlige feil
Å svare x+4=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.84Logaritmelikning med to argumenter1D

1.84 - Logaritmelikning med to argumenter

Løs ln x+ln(x-2)=ln 15.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Samle venstre side: ln(x(x-2))=ln15. Da x(x-2)=15, altså x²-2x-15=0. Løsninger er x=5 og x=-3. Kravet x>2 gir x=5.

Fasit
x=5.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å beholde x=-3 selv om logaritmene ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og forkasting av ugyldig løsning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.85Eksponentiell modell1D

1.85 - Eksponentiell modell

En bakteriekultur følger B(t)=200·1,18^t. Når passerer den 1000?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett 200·1,18^t=1000. Da 1,18^t=5, og t=ln5/ln1,18≈9,73.

Fasit
Etter ca. 9,7 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Eksponentiallikninger løses med logaritmer.

Vanlige feil
Å bruke lineær vekst 18 % som 18 bakterier per time.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modellforståelse og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.86Eksponentiallikning1D

1.86 - Eksponentiallikning

Løs 4^x= 64.

Vis løsning

Trinnvis løsning
4^x=4³, derfor x=3. Alternativt kan vi ta logaritme på begge sider.

Fasit
x=3.

Regel/huskeregel
Like potenser med samme positive grunntall ulik 1 har like eksponenter.

Vanlige feil
Å ta logaritme feil når grunntallene allerede er like.

Sensor ser etter
Sensor ser etter rask og korrekt metode.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.87Eksponentiallikning med logaritmer1D

1.87 - Eksponentiallikning med logaritmer

Løs 3·1,08^x=12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Del på 3: 1,08^x=4. Ta ln: x ln1,08=ln4. Derfor x=ln4/ln1,08≈18,01.

Fasit
x≈18,01.

Regel/huskeregel
a·b^x=c gir x=ln(c/a)/ln b.

Vanlige feil
Å ta ln av 1,08 og x hver for seg som ln(1,08x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter isolering før logaritme.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.88Logaritmelikning1D

1.88 - Logaritmelikning

Løs lg(x+4)=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
lg(x+4)=2 betyr x+4=10²=100. Dermed x=96. Sjekk: x+4>0.

Fasit
x=96.

Regel/huskeregel
lg U=k betyr U=10^k.

Vanlige feil
Å svare x+4=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.89Logaritmelikning med to argumenter1D

1.89 - Logaritmelikning med to argumenter

Løs ln x+ln(x-2)=ln 15.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Samle venstre side: ln(x(x-2))=ln15. Da x(x-2)=15, altså x²-2x-15=0. Løsninger er x=5 og x=-3. Kravet x>2 gir x=5.

Fasit
x=5.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å beholde x=-3 selv om logaritmene ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og forkasting av ugyldig løsning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.90Eksponentiell modell1D

1.90 - Eksponentiell modell

En bakteriekultur følger B(t)=200·1,18^t. Når passerer den 1000?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett 200·1,18^t=1000. Da 1,18^t=5, og t=ln5/ln1,18≈9,73.

Fasit
Etter ca. 9,7 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Eksponentiallikninger løses med logaritmer.

Vanlige feil
Å bruke lineær vekst 18 % som 18 bakterier per time.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modellforståelse og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.91Logaritmelikning med generelt grunntall1E

1.91 - Logaritmelikning med generelt grunntall

Løs log_5(x-1)=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir x-1=5³=125. Dermed x=126. Sjekk: x>1.

Fasit
x=126.

Regel/huskeregel
log_a U=k betyr U=a^k.

Vanlige feil
Å svare x=125 uten å ta hensyn til -1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.92Sammenlikning av grunntall1E

1.92 - Sammenlikning av grunntall

Forklar hvorfor log_2 16 er større enn log_4 16.

Vis løsning

Trinnvis løsning
log_2 16=4 fordi 2⁴=16. log_4 16=2 fordi 4²=16. Med større grunntall trengs lavere eksponent for samme tall.

Fasit
log_2 16=4 og log_4 16=2.

Regel/huskeregel
Logaritmen er eksponenten som trengs for å nå tallet.

Vanlige feil
Å tro at større grunntall alltid gir større logaritme.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenlikning med potenser.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.93Generelle logaritmer1E

1.93 - Generelle logaritmer

Finn log_5 125.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi spør hvilken eksponent 5 må opphøyes i for å få 125. Siden 5³=125, er log_5 125=3.

Fasit
3.

Regel/huskeregel
log_a b=c betyr a^c=b.

Vanlige feil
Å bruke lg uten å se grunntallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjon.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.94Skifte av grunntall1E

1.94 - Skifte av grunntall

Regn ut log_4 30 med naturlige logaritmer.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skifteformelen gir log_4 30=ln30/ln4≈3,401/1,386≈2,453.

Fasit
≈2,453.

Regel/huskeregel
log_a b=ln b/ln a.

Vanlige feil
Å snu brøken til ln4/ln30.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig formel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.95Logaritmelikning med generelt grunntall1E

1.95 - Logaritmelikning med generelt grunntall

Løs log_5(x-1)=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir x-1=5³=125. Dermed x=126. Sjekk: x>1.

Fasit
x=126.

Regel/huskeregel
log_a U=k betyr U=a^k.

Vanlige feil
Å svare x=125 uten å ta hensyn til -1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.96Sammenlikning av grunntall1E

1.96 - Sammenlikning av grunntall

Forklar hvorfor log_2 16 er større enn log_4 16.

Vis løsning

Trinnvis løsning
log_2 16=4 fordi 2⁴=16. log_4 16=2 fordi 4²=16. Med større grunntall trengs lavere eksponent for samme tall.

Fasit
log_2 16=4 og log_4 16=2.

Regel/huskeregel
Logaritmen er eksponenten som trengs for å nå tallet.

Vanlige feil
Å tro at større grunntall alltid gir større logaritme.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenlikning med potenser.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.97Generelle logaritmer1E

1.97 - Generelle logaritmer

Finn log_4 64.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi spør hvilken eksponent 4 må opphøyes i for å få 64. Siden 4³=64, er log_4 64=3.

Fasit
3.

Regel/huskeregel
log_a b=c betyr a^c=b.

Vanlige feil
Å bruke lg uten å se grunntallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjon.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.98Skifte av grunntall1E

1.98 - Skifte av grunntall

Regn ut log_4 30 med naturlige logaritmer.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skifteformelen gir log_4 30=ln30/ln4≈3,401/1,386≈2,453.

Fasit
≈2,453.

Regel/huskeregel
log_a b=ln b/ln a.

Vanlige feil
Å snu brøken til ln4/ln30.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig formel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.99Logaritmelikning med generelt grunntall1E

1.99 - Logaritmelikning med generelt grunntall

Løs log_5(x-1)=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir x-1=5³=125. Dermed x=126. Sjekk: x>1.

Fasit
x=126.

Regel/huskeregel
log_a U=k betyr U=a^k.

Vanlige feil
Å svare x=125 uten å ta hensyn til -1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.100Sammenlikning av grunntall1E

1.100 - Sammenlikning av grunntall

Forklar hvorfor log_2 16 er større enn log_4 16.

Vis løsning

Trinnvis løsning
log_2 16=4 fordi 2⁴=16. log_4 16=2 fordi 4²=16. Med større grunntall trengs lavere eksponent for samme tall.

Fasit
log_2 16=4 og log_4 16=2.

Regel/huskeregel
Logaritmen er eksponenten som trengs for å nå tallet.

Vanlige feil
Å tro at større grunntall alltid gir større logaritme.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenlikning med potenser.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.101Generelle logaritmer1E

1.101 - Generelle logaritmer

Finn log_3 27.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi spør hvilken eksponent 3 må opphøyes i for å få 27. Siden 3³=27, er log_3 27=3.

Fasit
3.

Regel/huskeregel
log_a b=c betyr a^c=b.

Vanlige feil
Å bruke lg uten å se grunntallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjon.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.102Skifte av grunntall1E

1.102 - Skifte av grunntall

Regn ut log_4 30 med naturlige logaritmer.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skifteformelen gir log_4 30=ln30/ln4≈3,401/1,386≈2,453.

Fasit
≈2,453.

Regel/huskeregel
log_a b=ln b/ln a.

Vanlige feil
Å snu brøken til ln4/ln30.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig formel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.103Logaritmelikning med generelt grunntall1E

1.103 - Logaritmelikning med generelt grunntall

Løs log_5(x-1)=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir x-1=5³=125. Dermed x=126. Sjekk: x>1.

Fasit
x=126.

Regel/huskeregel
log_a U=k betyr U=a^k.

Vanlige feil
Å svare x=125 uten å ta hensyn til -1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.104Sammenlikning av grunntall1E

1.104 - Sammenlikning av grunntall

Forklar hvorfor log_2 16 er større enn log_4 16.

Vis løsning

Trinnvis løsning
log_2 16=4 fordi 2⁴=16. log_4 16=2 fordi 4²=16. Med større grunntall trengs lavere eksponent for samme tall.

Fasit
log_2 16=4 og log_4 16=2.

Regel/huskeregel
Logaritmen er eksponenten som trengs for å nå tallet.

Vanlige feil
Å tro at større grunntall alltid gir større logaritme.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenlikning med potenser.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.105Generelle logaritmer1E

1.105 - Generelle logaritmer

Finn log_2 8.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi spør hvilken eksponent 2 må opphøyes i for å få 8. Siden 2³=8, er log_2 8=3.

Fasit
3.

Regel/huskeregel
log_a b=c betyr a^c=b.

Vanlige feil
Å bruke lg uten å se grunntallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjon.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.106Skifte av grunntall1E

1.106 - Skifte av grunntall

Regn ut log_4 30 med naturlige logaritmer.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skifteformelen gir log_4 30=ln30/ln4≈3,401/1,386≈2,453.

Fasit
≈2,453.

Regel/huskeregel
log_a b=ln b/ln a.

Vanlige feil
Å snu brøken til ln4/ln30.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig formel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.107Logaritmelikning med generelt grunntall1E

1.107 - Logaritmelikning med generelt grunntall

Løs log_5(x-1)=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonen gir x-1=5³=125. Dermed x=126. Sjekk: x>1.

Fasit
x=126.

Regel/huskeregel
log_a U=k betyr U=a^k.

Vanlige feil
Å svare x=125 uten å ta hensyn til -1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene og definisjonsbruk.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.108Sammenlikning av grunntall1E

1.108 - Sammenlikning av grunntall

Forklar hvorfor log_2 16 er større enn log_4 16.

Vis løsning

Trinnvis løsning
log_2 16=4 fordi 2⁴=16. log_4 16=2 fordi 4²=16. Med større grunntall trengs lavere eksponent for samme tall.

Fasit
log_2 16=4 og log_4 16=2.

Regel/huskeregel
Logaritmen er eksponenten som trengs for å nå tallet.

Vanlige feil
Å tro at større grunntall alltid gir større logaritme.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenlikning med potenser.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.109Generelle logaritmer1E

1.109 - Generelle logaritmer

Finn log_6 216.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi spør hvilken eksponent 6 må opphøyes i for å få 216. Siden 6³=216, er log_6 216=3.

Fasit
3.

Regel/huskeregel
log_a b=c betyr a^c=b.

Vanlige feil
Å bruke lg uten å se grunntallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjon.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.110Skifte av grunntall1E

1.110 - Skifte av grunntall

Regn ut log_4 30 med naturlige logaritmer.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skifteformelen gir log_4 30=ln30/ln4≈3,401/1,386≈2,453.

Fasit
≈2,453.

Regel/huskeregel
log_a b=ln b/ln a.

Vanlige feil
Å snu brøken til ln4/ln30.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig formel.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.111Blandet: røtter og logaritmerBlandet

1.111 - Blandet: røtter og logaritmer

Skriv ln(√(e⁶))+lg(10²) enklest mulig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
√(e⁶)=e³, så ln(√(e⁶))=3. Videre er lg(10²)=2. Sum =5.

Fasit
5.

Regel/huskeregel
Kombiner rot som brøkeksponent og logaritmedefinisjon.

Vanlige feil
Å skrive √(e⁶)=e⁶/2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter samspill mellom temaer.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.112Blandet: likningBlandet

1.112 - Blandet: likning

Løs ln(x²)=4ln2 for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
4ln2=ln(2⁴)=ln16. Da ln(x²)=ln16. Siden x>0, får vi x²=16 og x=4.

Fasit
x=4.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å ta med x=-4 selv om x>0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.113Blandet: programBlandet

1.113 - Blandet: program

Lag et program som finner log_3 100 og kontrollerer at 3^svaret≈100.

from math import log
svar = log(100)/log(3)
print(svar)
print(3**svar)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi bruker skifteformelen log(100)/log(3). Deretter kan vi regne 3**svar for å kontrollere.

Fasit
Programmet gir ca. 4,192 og kontrollen gir 100.

Regel/huskeregel
Skifteformelen gjør alle logaritmer regnbare med ln eller lg.

Vanlige feil
Å bruke log(3)/log(100).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både beregning og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.114Blandet: eksponentialmodellBlandet

1.114 - Blandet: eksponentialmodell

En verdi minker etter modellen V(t)=900·0,92^t. Når er verdien under 400?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Løs 900·0,92^t=400. Da 0,92^t=400/900. t=ln(400/900)/ln0,92≈9,74. Verdien blir under 400 etter omtrent 9,8 tidsenheter.

Fasit
Ca. 9,8 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Når 0

Vanlige feil
Å snu ulikheten uten å forstå at logaritmedivisjon med negativt tall kan endre retning; her finner vi grensepunkt først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter trygg håndtering av nedgang.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.115Blandet: definisjonsmengdeBlandet

1.115 - Blandet: definisjonsmengde

Finn definisjonsmengden til f(x)=lg(x-2)+ln(7-x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Begge argumenter må være positive: x-2>0 gir x>2, og 7-x>0 gir x<7. Samlet får vi 2

Fasit
D_f=(2,7).

Regel/huskeregel
Alle logaritmeargumenter må være positive samtidig.

Vanlige feil
Å bruke union i stedet for snitt av vilkårene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter to ulikheter og samlet intervall.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.116Blandet: røtter og logaritmerBlandet

1.116 - Blandet: røtter og logaritmer

Skriv ln(√(e⁶))+lg(10²) enklest mulig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
√(e⁶)=e³, så ln(√(e⁶))=3. Videre er lg(10²)=2. Sum =5.

Fasit
5.

Regel/huskeregel
Kombiner rot som brøkeksponent og logaritmedefinisjon.

Vanlige feil
Å skrive √(e⁶)=e⁶/2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter samspill mellom temaer.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.117Blandet: likningBlandet

1.117 - Blandet: likning

Løs ln(x²)=4ln2 for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
4ln2=ln(2⁴)=ln16. Da ln(x²)=ln16. Siden x>0, får vi x²=16 og x=4.

Fasit
x=4.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å ta med x=-4 selv om x>0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.118Blandet: programBlandet

1.118 - Blandet: program

Lag et program som finner log_3 100 og kontrollerer at 3^svaret≈100.

from math import log
svar = log(100)/log(3)
print(svar)
print(3**svar)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi bruker skifteformelen log(100)/log(3). Deretter kan vi regne 3**svar for å kontrollere.

Fasit
Programmet gir ca. 4,192 og kontrollen gir 100.

Regel/huskeregel
Skifteformelen gjør alle logaritmer regnbare med ln eller lg.

Vanlige feil
Å bruke log(3)/log(100).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både beregning og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.119Blandet: eksponentialmodellBlandet

1.119 - Blandet: eksponentialmodell

En verdi minker etter modellen V(t)=900·0,92^t. Når er verdien under 400?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Løs 900·0,92^t=400. Da 0,92^t=400/900. t=ln(400/900)/ln0,92≈9,74. Verdien blir under 400 etter omtrent 9,8 tidsenheter.

Fasit
Ca. 9,8 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Når 0

Vanlige feil
Å snu ulikheten uten å forstå at logaritmedivisjon med negativt tall kan endre retning; her finner vi grensepunkt først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter trygg håndtering av nedgang.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.120Blandet: definisjonsmengdeBlandet

1.120 - Blandet: definisjonsmengde

Finn definisjonsmengden til f(x)=lg(x-2)+ln(7-x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Begge argumenter må være positive: x-2>0 gir x>2, og 7-x>0 gir x<7. Samlet får vi 2

Fasit
D_f=(2,7).

Regel/huskeregel
Alle logaritmeargumenter må være positive samtidig.

Vanlige feil
Å bruke union i stedet for snitt av vilkårene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter to ulikheter og samlet intervall.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.121Blandet: røtter og logaritmerBlandet

1.121 - Blandet: røtter og logaritmer

Skriv ln(√(e⁶))+lg(10²) enklest mulig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
√(e⁶)=e³, så ln(√(e⁶))=3. Videre er lg(10²)=2. Sum =5.

Fasit
5.

Regel/huskeregel
Kombiner rot som brøkeksponent og logaritmedefinisjon.

Vanlige feil
Å skrive √(e⁶)=e⁶/2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter samspill mellom temaer.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.122Blandet: likningBlandet

1.122 - Blandet: likning

Løs ln(x²)=4ln2 for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
4ln2=ln(2⁴)=ln16. Da ln(x²)=ln16. Siden x>0, får vi x²=16 og x=4.

Fasit
x=4.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å ta med x=-4 selv om x>0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.123Blandet: programBlandet

1.123 - Blandet: program

Lag et program som finner log_3 100 og kontrollerer at 3^svaret≈100.

from math import log
svar = log(100)/log(3)
print(svar)
print(3**svar)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi bruker skifteformelen log(100)/log(3). Deretter kan vi regne 3**svar for å kontrollere.

Fasit
Programmet gir ca. 4,192 og kontrollen gir 100.

Regel/huskeregel
Skifteformelen gjør alle logaritmer regnbare med ln eller lg.

Vanlige feil
Å bruke log(3)/log(100).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både beregning og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.124Blandet: eksponentialmodellBlandet

1.124 - Blandet: eksponentialmodell

En verdi minker etter modellen V(t)=900·0,92^t. Når er verdien under 400?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Løs 900·0,92^t=400. Da 0,92^t=400/900. t=ln(400/900)/ln0,92≈9,74. Verdien blir under 400 etter omtrent 9,8 tidsenheter.

Fasit
Ca. 9,8 tidsenheter.

Regel/huskeregel
Når 0

Vanlige feil
Å snu ulikheten uten å forstå at logaritmedivisjon med negativt tall kan endre retning; her finner vi grensepunkt først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter trygg håndtering av nedgang.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

📊 Utforsk i GeoGebra

1.125Blandet: definisjonsmengdeBlandet

1.125 - Blandet: definisjonsmengde

Finn definisjonsmengden til f(x)=lg(x-2)+ln(7-x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Begge argumenter må være positive: x-2>0 gir x>2, og 7-x>0 gir x<7. Samlet får vi 2

Fasit
D_f=(2,7).

Regel/huskeregel
Alle logaritmeargumenter må være positive samtidig.

Vanlige feil
Å bruke union i stedet for snitt av vilkårene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter to ulikheter og samlet intervall.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.126Blandet: røtter og logaritmerBlandet

1.126 - Blandet: røtter og logaritmer

Skriv ln(√(e⁶))+lg(10²) enklest mulig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
√(e⁶)=e³, så ln(√(e⁶))=3. Videre er lg(10²)=2. Sum =5.

Fasit
5.

Regel/huskeregel
Kombiner rot som brøkeksponent og logaritmedefinisjon.

Vanlige feil
Å skrive √(e⁶)=e⁶/2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter samspill mellom temaer.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

1.127Blandet: likningBlandet

1.127 - Blandet: likning

Løs ln(x²)=4ln2 for x>0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
4ln2=ln(2⁴)=ln16. Da ln(x²)=ln16. Siden x>0, får vi x²=16 og x=4.

Fasit
x=4.

Regel/huskeregel
ln A=ln B betyr A=B når A,B>0.

Vanlige feil
Å ta med x=-4 selv om x>0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter domene.

Høy måloppnåelse
Du forklarer hvorfor metoden passer, viser mellomregning, kontrollerer definisjonsmengde og tolker svaret presist.

Regler og huskeregler

n-terot: (ⁿ√a)ⁿ=a. Ved partallsrot bruker vi positiv hovedrot.

Brøkeksponent: a^m/n=ⁿ√(a^m)=(ⁿ√a)^m når uttrykket er definert.

Potensregler: a^p·a^q=a^p+q, a^p/a^q=a^p-q, (a^p)^q=a^pq, a⁰=1, a^-n=1/aⁿ.

Briggske logaritmer: lg p er eksponenten vi må opphøye 10 i for å få p. 10^{lg p}=p og lg(10^k)=k.

Naturlige logaritmer: ln p er eksponenten vi må opphøye e i for å få p. e^{ln p}=p og ln(e^k)=k.

Logaritmesetningene: log(ab)=log a+log b, log(a/b)=log a-log b, log(a^r)=r log a.

Definisjonsmengde: Argumentet i en logaritme må alltid være positivt.

Eksponentiallikninger: a·b^x=c løses ofte med x=log(c/a)/log(b).

Generell logaritme: log_a b=c betyr a^c=b, der a>0, a≠1 og b>0.

Skifte av grunntall: log_a b=ln b/ln a=lg b/lg a.