En rett linje grafen nærmer seg uten å nå. Loddrette der nevneren er null, vannrette via grenseverdien når x går mot uendelig.

Matematikk R1 · Grenseverdi, kontinuitet, vekstfart og derivasjon

Grenseverdi, kontinuitet, vekstfart og derivasjon – oppgaver med trinnvis løsning

Q: Hva er en grenseverdi?

En grenseverdi beskriver hvilken verdi en funksjon nærmer seg når variabelen nærmer seg et tall. Den kan finnes selv om funksjonen ikke er definert der, og er grunnlaget for kontinuitet og derivasjon.

Q: Hva vil det si at en funksjon er kontinuerlig?

At grafen henger sammen uten brudd, hopp eller hull. Formelt er grenseverdien i punktet lik funksjonsverdien.

Q: Hvordan regner jeg ut en grenseverdi?

Ofte kan du sette inn verdien direkte. Gir det null delt på null, må du forenkle først, for eksempel faktorisere og forkorte.

Q: Hva betyr det å derivere?

Å finne den momentane vekstfarten. Den deriverte er grenseverdien til gjennomsnittlig vekstfart og gir stigningstallet til tangenten.

Q: Hva er derivasjonsreglene i R1?

Potensregelen, produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen. Med disse deriverer du polynom, rasjonale og sammensatte funksjoner.

Q: Hva er kjerneregelen?

For sammensatte funksjoner: deriver den ytre funksjonen og gang med den deriverte av den indre kjernen.

Q: Hva er produkt- og kvotientregelen?

Produktregelen: u-derivert gange v pluss u gange v-derivert. Kvotientregelen: (u-derivert gange v minus u gange v-derivert) delt på v i andre.

Q: Hvordan finner jeg topp- og bunnpunkt?

Løs f'(x) = 0 og sett opp fortegnsskjema. Fortegnsskiftet avgjør om punktet er topp, bunn eller terrasse.

Q: Hva er den andrederiverte, og hva brukes den til?

Den deriverte av den deriverte. Positiv gir hul side opp, negativ hul side ned. Der den skifter fortegn er det et vendepunkt.

Derivasjon og grenseverdier er kjernen i Matematikk R1 og selve inngangen til matematisk analyse. Grenseverdier lar deg beskrive hva som skjer med en funksjon når variabelen nærmer seg en bestemt verdi, og derivasjon bygger direkte på dette for å måle momentan vekstfart. Her finner du oppgaver med fullstendig, trinnvis løsning som dekker hele pensumet, fra grenseverdier og kontinuitet til derivasjonsregler og funksjonsdrøfting. Alle løsninger ligger bak «Vis løsning».

Dette lærer du. Du starter med grenseverdier: hvordan en funksjon oppfører seg når x nærmer seg en verdi, både der funksjonen er definert og der den ikke er det. Du lærer om kontinuitet — når en graf henger sammen uten brudd — og om asymptoter. Derfra bygger du opp den deriverte som grenseverdien til gjennomsnittlig vekstfart, og lærer derivasjonsreglene: potensregelen, produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen.

Bruk av den deriverte. En stor del av R1 handler om hva den deriverte forteller. Du finner stasjonære punkter, avgjør om de er topp-, bunn- eller terrassepunkter, og drøfter funksjoner fullstendig med fortegnsskjema. Du bruker også den andrederiverte til å avgjøre krumming og finne vendepunkter, og løser optimeringsproblemer.

Rasjonale funksjoner og asymptoter. I R1 møter du rasjonale funksjoner, der du bruker grenseverdier til å finne loddrette og vannrette asymptoter, og til å beskrive hvordan grafen oppfører seg langt ute. Dette knytter grenseverdier og derivasjon sammen i en fullstendig funksjonsanalyse.

Digitale verktøy. På Del 2 er GeoGebra og CAS uunnværlige. Med CAS deriverer du symbolsk, løser den deriverte lik null eksakt, og finner grenseverdier. Med grafverktøyet ser du sammenhengen mellom grafen til funksjonen og fortegnet til den deriverte. Oppgavene viser både den manuelle metoden (Del 1) og den digitale (Del 2).

Vanlige fallgruver. Mange regner grenseverdier feil ved uttrykk som gir null delt på null, bommer på produkt-, kvotient- eller kjerneregelen, eller trekker feil konklusjon fra fortegnsskjemaet. En annen klassisk feil er å tro at f'(x) = 0 alltid gir et topp- eller bunnpunkt. Løsningene peker på disse feilene.

Slik jobber du best. Start med grenseverdier og kontinuitet, gå videre til derivasjonsreglene, og avslutt med funksjonsdrøfting, asymptoter og optimering. Målet er ikke bare å regne riktig, men å forstå sammenhengen mellom grenseverdi, kontinuitet og derivasjon — det er det sensor ser etter i R1.

Oppgaver med trinnvis løsning, vanlige feil, sensorpunkt, grafer, GeoGebra og Python-kontroll.

📘 GeoGebra & Python-guide

Fag

Matematikk R1

Kapittel

Grenseverdi, kontinuitet, vekstfart og derivasjon

Antall oppgaver

Nivå

VG2 · LK20

Grenseverdi, kontinuitet, vekstfart og derivasjon

90 oppgaver

Oppgave 1 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{6^2-36}{6-6}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-36=(x-6)(x+6)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-6)(x+6)}{x-6}=x+6$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 6}(x+6)=6+6$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$6+6=12$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}=12$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $12$ når $x$ nærmer seg $6$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-36)/(x-6), x, 6)

→

12

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-36)/(x-6)
print(limit(uttrykk, x, 6))

Fasit:

12

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+3}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-4\ne 0\Rightarrow x\ne 4$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=4$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+3=0\Rightarrow x=-3$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=4,\quad y=1,\quad x=-3$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+3)/(x-4)

→

f(x):=\dfrac{x+3}{x-4}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-3

Asymptote(f)

→

x=4,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+3)/(x-4)
print('nullpunkt', solve(x+3, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-3

. Vertikal asymptote:

x=4

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{8^2-64}{8-8}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-64=(x-8)(x+8)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-8)(x+8)}{x-8}=x+8$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 8}(x+8)=8+8$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$8+8=16$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}=16$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $16$ når $x$ nærmer seg $8$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-64)/(x-8), x, 8)

→

16

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-64)/(x-8)
print(limit(uttrykk, x, 8))

Fasit:

16

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+5}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-6\ne 0\Rightarrow x\ne 6$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=6$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+5=0\Rightarrow x=-5$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{5}{-6}=-\dfrac{5}{6}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=6,\quad y=1,\quad x=-5$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+5)/(x-6)

→

f(x):=\dfrac{x+5}{x-6}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-5

Asymptote(f)

→

x=6,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+5)/(x-6)
print('nullpunkt', solve(x+5, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-5

. Vertikal asymptote:

x=6

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{2^2-4}{2-2}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$2+2=4$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $4$ når $x$ nærmer seg $2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-4)/(x-2), x, 2)

→

4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-4)/(x-2)
print(limit(uttrykk, x, 2))

Fasit:

4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 6 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-3\ne 0\Rightarrow x\ne 3$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=3$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=3,\quad y=1,\quad x=-2$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)/(x-3)

→

f(x):=\dfrac{x+2}{x-3}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-2

Asymptote(f)

→

x=3,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+2)/(x-3)
print('nullpunkt', solve(x+2, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-2

. Vertikal asymptote:

x=3

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{4^2-16}{4-4}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-16=(x-4)(x+4)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 4}(x+4)=4+4$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$4+4=8$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}=8$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $8$ når $x$ nærmer seg $4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-16)/(x-4), x, 4)

→

8

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-16)/(x-4)
print(limit(uttrykk, x, 4))

Fasit:

8

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 8 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+4}{x-5}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-5\ne 0\Rightarrow x\ne 5$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=5$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+4=0\Rightarrow x=-4$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{4}{-5}=-\dfrac{4}{5}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=5,\quad y=1,\quad x=-4$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+4)/(x-5)

→

f(x):=\dfrac{x+4}{x-5}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-4

Asymptote(f)

→

x=5,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+4)/(x-5)
print('nullpunkt', solve(x+4, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-4

. Vertikal asymptote:

x=5

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{6^2-36}{6-6}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-36=(x-6)(x+6)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-6)(x+6)}{x-6}=x+6$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 6}(x+6)=6+6$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$6+6=12$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}=12$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $12$ når $x$ nærmer seg $6$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-36)/(x-6), x, 6)

→

12

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-36)/(x-6)
print(limit(uttrykk, x, 6))

Fasit:

12

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 10 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-2\ne 0\Rightarrow x\ne 2$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=2$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+1=0\Rightarrow x=-1$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=2,\quad y=1,\quad x=-1$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+1)/(x-2)

→

f(x):=\dfrac{x+1}{x-2}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-1

Asymptote(f)

→

x=2,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+1)/(x-2)
print('nullpunkt', solve(x+1, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-1

. Vertikal asymptote:

x=2

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 11 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{8^2-64}{8-8}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-64=(x-8)(x+8)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-8)(x+8)}{x-8}=x+8$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 8}(x+8)=8+8$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$8+8=16$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}=16$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $16$ når $x$ nærmer seg $8$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-64)/(x-8), x, 8)

→

16

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-64)/(x-8)
print(limit(uttrykk, x, 8))

Fasit:

16

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 12 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+3}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-4\ne 0\Rightarrow x\ne 4$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=4$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+3=0\Rightarrow x=-3$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=4,\quad y=1,\quad x=-3$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+3)/(x-4)

→

f(x):=\dfrac{x+3}{x-4}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-3

Asymptote(f)

→

x=4,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+3)/(x-4)
print('nullpunkt', solve(x+3, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-3

. Vertikal asymptote:

x=4

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{2^2-4}{2-2}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$2+2=4$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $4$ når $x$ nærmer seg $2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-4)/(x-2), x, 2)

→

4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-4)/(x-2)
print(limit(uttrykk, x, 2))

Fasit:

4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+5}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-6\ne 0\Rightarrow x\ne 6$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=6$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+5=0\Rightarrow x=-5$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{5}{-6}=-\dfrac{5}{6}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=6,\quad y=1,\quad x=-5$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+5)/(x-6)

→

f(x):=\dfrac{x+5}{x-6}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-5

Asymptote(f)

→

x=6,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+5)/(x-6)
print('nullpunkt', solve(x+5, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-5

. Vertikal asymptote:

x=6

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{4^2-16}{4-4}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-16=(x-4)(x+4)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 4}(x+4)=4+4$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$4+4=8$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}=8$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $8$ når $x$ nærmer seg $4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-16)/(x-4), x, 4)

→

8

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-16)/(x-4)
print(limit(uttrykk, x, 4))

Fasit:

8

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 16 · MiddelsGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-3\ne 0\Rightarrow x\ne 3$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=3$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=3,\quad y=1,\quad x=-2$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)/(x-3)

→

f(x):=\dfrac{x+2}{x-3}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-2

Asymptote(f)

→

x=3,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+2)/(x-3)
print('nullpunkt', solve(x+2, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-2

. Vertikal asymptote:

x=3

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 17 · KrevendeGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{6^2-36}{6-6}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-36=(x-6)(x+6)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-6)(x+6)}{x-6}=x+6$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 6}(x+6)=6+6$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$6+6=12$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}=12$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $12$ når $x$ nærmer seg $6$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-36)/(x-6), x, 6)

→

12

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-36)/(x-6)
print(limit(uttrykk, x, 6))

Fasit:

12

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 18 · KrevendeGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+4}{x-5}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-5\ne 0\Rightarrow x\ne 5$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=5$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+4=0\Rightarrow x=-4$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{4}{-5}=-\dfrac{4}{5}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=5,\quad y=1,\quad x=-4$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+4)/(x-5)

→

f(x):=\dfrac{x+4}{x-5}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-4

Asymptote(f)

→

x=5,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+4)/(x-5)
print('nullpunkt', solve(x+4, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-4

. Vertikal asymptote:

x=5

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 19 · KrevendeGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{8^2-64}{8-8}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-64=(x-8)(x+8)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-8)(x+8)}{x-8}=x+8$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 8}(x+8)=8+8$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$8+8=16$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}=16$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $16$ når $x$ nærmer seg $8$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-64)/(x-8), x, 8)

→

16

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-64)/(x-8)
print(limit(uttrykk, x, 8))

Fasit:

16

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 20 · KrevendeGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-2\ne 0\Rightarrow x\ne 2$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=2$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+1=0\Rightarrow x=-1$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=2,\quad y=1,\quad x=-1$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+1)/(x-2)

→

f(x):=\dfrac{x+1}{x-2}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-1

Asymptote(f)

→

x=2,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+1)/(x-2)
print('nullpunkt', solve(x+1, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-1

. Vertikal asymptote:

x=2

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 21 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{2^2-4}{2-2}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$2+2=4$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $4$ når $x$ nærmer seg $2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-4)/(x-2), x, 2)

→

4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-4)/(x-2)
print(limit(uttrykk, x, 2))

Fasit:

4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 22 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+3}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-4\ne 0\Rightarrow x\ne 4$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=4$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+3=0\Rightarrow x=-3$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=4,\quad y=1,\quad x=-3$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+3)/(x-4)

→

f(x):=\dfrac{x+3}{x-4}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-3

Asymptote(f)

→

x=4,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+3)/(x-4)
print('nullpunkt', solve(x+3, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-3

. Vertikal asymptote:

x=4

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 23 · LettGrenseverdier og rasjonale funksjoner

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{4^2-16}{4-4}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-16=(x-4)(x+4)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 4}(x+4)=4+4$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$4+4=8$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}=8$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $8$ når $x$ nærmer seg $4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-16)/(x-4), x, 4)

→

8

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-16)/(x-4)
print(limit(uttrykk, x, 4))

Fasit:

8

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i grenseverdier og rasjonale funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24 · LettKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt 6\\ 3x+19,&x\ge 6\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=6$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 6^-}f(x)=6^2+1=37$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 6^+}f(x)=3\cdot 6+19=37$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$37=37$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(6)=3\cdot 6+19=37$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 6}f(x)=f(6)=37$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=6$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+1, x, 6)

→

37

GrenseHøyre(3x+19, x, 6)

→

37

3*6+19

→

37

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=6
left=limit(x**2+1, x, a, dir='-')
right=limit(3*x+19, x, a, dir='+')
print(left, right, 3*a+19)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=6

, og

f(6)=37

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25 · LettKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+2,&x\lt 2\\ 4x+-2,&x\ge 2\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+2=6$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 2^+}f(x)=4\cdot 2+-2=6$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$6=6$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(2)=4\cdot 2+-2=6$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)=6$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+2, x, 2)

→

6

GrenseHøyre(4x+-2, x, 2)

→

6

4*2+-2

→

6

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=2
left=limit(x**2+2, x, a, dir='-')
right=limit(4*x+-2, x, a, dir='+')
print(left, right, 4*a+-2)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=2

, og

f(2)=6

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26 · LettKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+3,&x\lt 3\\ 5x+-3,&x\ge 3\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 3^-}f(x)=3^2+3=12$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 3^+}f(x)=5\cdot 3+-3=12$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$12=12$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=5\cdot 3+-3=12$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 3}f(x)=f(3)=12$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+3, x, 3)

→

12

GrenseHøyre(5x+-3, x, 3)

→

12

5*3+-3

→

12

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=3
left=limit(x**2+3, x, a, dir='-')
right=limit(5*x+-3, x, a, dir='+')
print(left, right, 5*a+-3)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=3

, og

f(3)=12

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27 · LettKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+4,&x\lt 4\\ 6x+-4,&x\ge 4\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=4$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 4^-}f(x)=4^2+4=20$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 4^+}f(x)=6\cdot 4+-4=20$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$20=20$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(4)=6\cdot 4+-4=20$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 4}f(x)=f(4)=20$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+4, x, 4)

→

20

GrenseHøyre(6x+-4, x, 4)

→

20

6*4+-4

→

20

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=4
left=limit(x**2+4, x, a, dir='-')
right=limit(6*x+-4, x, a, dir='+')
print(left, right, 6*a+-4)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=4

, og

f(4)=20

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28 · MiddelsKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt 5\\ 3x+11,&x\ge 5\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=5$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 5^-}f(x)=5^2+1=26$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 5^+}f(x)=3\cdot 5+11=26$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$26=26$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(5)=3\cdot 5+11=26$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 5}f(x)=f(5)=26$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=5$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+1, x, 5)

→

26

GrenseHøyre(3x+11, x, 5)

→

26

3*5+11

→

26

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=5
left=limit(x**2+1, x, a, dir='-')
right=limit(3*x+11, x, a, dir='+')
print(left, right, 3*a+11)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=5

, og

f(5)=26

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29 · MiddelsKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+2,&x\lt 6\\ 4x+14,&x\ge 6\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=6$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 6^-}f(x)=6^2+2=38$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 6^+}f(x)=4\cdot 6+14=38$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$38=38$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(6)=4\cdot 6+14=38$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 6}f(x)=f(6)=38$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=6$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+2, x, 6)

→

38

GrenseHøyre(4x+14, x, 6)

→

38

4*6+14

→

38

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=6
left=limit(x**2+2, x, a, dir='-')
right=limit(4*x+14, x, a, dir='+')
print(left, right, 4*a+14)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=6

, og

f(6)=38

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 30 · MiddelsKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+3,&x\lt 2\\ 5x+-3,&x\ge 2\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+3=7$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 2^+}f(x)=5\cdot 2+-3=7$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$7=7$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(2)=5\cdot 2+-3=7$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)=7$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+3, x, 2)

→

7

GrenseHøyre(5x+-3, x, 2)

→

7

5*2+-3

→

7

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=2
left=limit(x**2+3, x, a, dir='-')
right=limit(5*x+-3, x, a, dir='+')
print(left, right, 5*a+-3)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=2

, og

f(2)=7

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31 · MiddelsKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+4,&x\lt 3\\ 6x+-5,&x\ge 3\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 3^-}f(x)=3^2+4=13$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 3^+}f(x)=6\cdot 3+-5=13$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$13=13$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=6\cdot 3+-5=13$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 3}f(x)=f(3)=13$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+4, x, 3)

→

13

GrenseHøyre(6x+-5, x, 3)

→

13

6*3+-5

→

13

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=3
left=limit(x**2+4, x, a, dir='-')
right=limit(6*x+-5, x, a, dir='+')
print(left, right, 6*a+-5)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=3

, og

f(3)=13

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32 · MiddelsKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt 4\\ 3x+5,&x\ge 4\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=4$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 4^-}f(x)=4^2+1=17$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 4^+}f(x)=3\cdot 4+5=17$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$17=17$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(4)=3\cdot 4+5=17$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 4}f(x)=f(4)=17$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+1, x, 4)

→

17

GrenseHøyre(3x+5, x, 4)

→

17

3*4+5

→

17

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=4
left=limit(x**2+1, x, a, dir='-')
right=limit(3*x+5, x, a, dir='+')
print(left, right, 3*a+5)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=4

, og

f(4)=17

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33 · MiddelsKontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet i delt forskrift

Oppgave:

Undersøk om funksjonen $f(x)=\begin{cases}x^2+2,&x\lt 5\\ 4x+7,&x\ge 5\end{cases}$ er kontinuerlig i $x=5$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn venstre grense

$\lim_{x\to 5^-}f(x)=5^2+2=27$

Til venstre for delingspunktet bruker vi uttrykket $x^2+{p}$ .

Steg 2 — Finn høyre grense

$\lim_{x\to 5^+}f(x)=4\cdot 5+7=27$

Til høyre for og i delingspunktet bruker vi uttrykket ${k}x+{q}$ .

Steg 3 — Sammenlign grensene

$27=27$

Venstre og høyre grense er like.

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

$f(5)=4\cdot 5+7=27$

Fordi $x={a}$ hører til den nederste linja, bruker vi den lineære delen.

Steg 5 — Sjekk kontinuitetskriteriet

$\lim_{x\to 5}f(x)=f(5)=27$

En funksjon er kontinuerlig når grenseverdien er lik funksjonsverdien.

Steg 6 — Konkluder

$f$ er kontinuerlig.

Alle kravene er oppfylt.

Vanlig feil: Ikke bruk samme uttrykk på begge sider av delingspunktet. Hver side har sin egen forskrift.

Tolkning

Grafisk betyr kontinuitet at grafen ikke får hull eller hopp i $x=5$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

GrenseVenstre(x²+2, x, 5)

→

27

GrenseHøyre(4x+7, x, 5)

→

27

4*5+7

→

27

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
a=5
left=limit(x**2+2, x, a, dir='-')
right=limit(4*x+7, x, a, dir='+')
print(left, right, 4*a+7)

Fasit:

f

er kontinuerlig i

x=5

, og

f(5)=27

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 34 · MiddelsVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=3x^2-6x+5$ i punktet der $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3+5=14$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=6x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(3)=6\cdot 3-6=12$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-14=12(x-3)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-14=12x-36$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=12x-22$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x²-6x+5

→

f(x):=3x^2-6x+5

Tangent(3, f)

→

y=12x-22

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=3*x**2+(-6)*x+5
r=3
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=12x-22

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35 · MiddelsVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+7x^2-1x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(7x^2)\prime=14x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+14x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=3\cdot 4^2+14\cdot 4-1=103$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=103$ betyr at grafen har stigningstall $103$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+7x²+(-1)x+3

→

f(x):=1x^3+7x^2-1x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+14x-1

f'(4)

→

103

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+7*x**2+(-1)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+14x-1

f\prime(4)=103

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 36 · MiddelsVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=1x^2-3x+1$ i punktet der $x=1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(1)=1\cdot 1^2-3\cdot 1+1=-1$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=2x-3$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(1)=2\cdot 1-3=-1$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y--1=-1(x-1)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y--1=-1x--1$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=-1x+0$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x²-3x+1

→

f(x):=1x^2-3x+1

Tangent(1, f)

→

y=-1x+0

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=1*x**2+(-3)*x+1
r=1
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=-1x+0

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37 · KrevendeVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=3x^3+3x^2-3x+1$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(3x^3)\prime=9x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(3x^2)\prime=6x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-3x)\prime=-3$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(1)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=9x^2+6x-3$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=9\cdot 2^2+6\cdot 2-3=45$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(2)=45$ betyr at grafen har stigningstall $45$ når $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x³+3x²+(-3)x+1

→

f(x):=3x^3+3x^2-3x+1

Derivert(f)

→

f\prime(x)=9x^2+6x-3

f'(2)

→

45

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=3*x**3+3*x**2+(-3)*x+1
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=9x^2+6x-3

f\prime(2)=45

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 38 · KrevendeVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=3x^2-5x+3$ i punktet der $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=3\cdot 3^2-5\cdot 3+3=15$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=6x-5$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(3)=6\cdot 3-5=13$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-15=13(x-3)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-15=13x-39$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=13x-24$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x²-5x+3

→

f(x):=3x^2-5x+3

Tangent(3, f)

→

y=13x-24

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=3*x**2+(-5)*x+3
r=3
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=13x-24

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 39 · KrevendeVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=5x^3+5x^2-5x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(5x^3)\prime=15x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(5x^2)\prime=10x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-5x)\prime=-5$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=15x^2+10x-5$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=15\cdot 4^2+10\cdot 4-5=275$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=275$ betyr at grafen har stigningstall $275$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x³+5x²+(-5)x+3

→

f(x):=5x^3+5x^2-5x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=15x^2+10x-5

f'(4)

→

275

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=5*x**3+5*x**2+(-5)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=15x^2+10x-5

f\prime(4)=275

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 40 · KrevendeVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=1x^2-2x+5$ i punktet der $x=1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(1)=1\cdot 1^2-2\cdot 1+5=4$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=2x-2$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(1)=2\cdot 1-2=0$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-4=0(x-1)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-4=0x-0$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=0x+4$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x²-2x+5

→

f(x):=1x^2-2x+5

Tangent(1, f)

→

y=0x+4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=1*x**2+(-2)*x+5
r=1
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=0x+4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 41 · LettVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=2x^3+7x^2-2x+1$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(2x^3)\prime=6x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(7x^2)\prime=14x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-2x)\prime=-2$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(1)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=6x^2+14x-2$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=6\cdot 2^2+14\cdot 2-2=50$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(2)=50$ betyr at grafen har stigningstall $50$ når $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x³+7x²+(-2)x+1

→

f(x):=2x^3+7x^2-2x+1

Derivert(f)

→

f\prime(x)=6x^2+14x-2

f'(2)

→

50

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=2*x**3+7*x**2+(-2)*x+1
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=6x^2+14x-2

f\prime(2)=50

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 42 · LettVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=3x^2-4x+1$ i punktet der $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=3\cdot 3^2-4\cdot 3+1=16$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=6x-4$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(3)=6\cdot 3-4=14$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-16=14(x-3)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-16=14x-42$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=14x-26$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x²-4x+1

→

f(x):=3x^2-4x+1

Tangent(3, f)

→

y=14x-26

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=3*x**2+(-4)*x+1
r=3
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=14x-26

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 43 · LettVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=4x^3+3x^2-4x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(4x^3)\prime=12x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(3x^2)\prime=6x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-4x)\prime=-4$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=12x^2+6x-4$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=12\cdot 4^2+6\cdot 4-4=212$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=212$ betyr at grafen har stigningstall $212$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x³+3x²+(-4)x+3

→

f(x):=4x^3+3x^2-4x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=12x^2+6x-4

f'(4)

→

212

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=4*x**3+3*x**2+(-4)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=12x^2+6x-4

f\prime(4)=212

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 44 · LettVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=1x^2-6x+3$ i punktet der $x=1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(1)=1\cdot 1^2-6\cdot 1+3=-2$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=2x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(1)=2\cdot 1-6=-4$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y--2=-4(x-1)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y--2=-4x--4$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=-4x+2$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x²-6x+3

→

f(x):=1x^2-6x+3

Tangent(1, f)

→

y=-4x+2

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=1*x**2+(-6)*x+3
r=1
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=-4x+2

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 45 · LettVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+5x^2-1x+1$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(5x^2)\prime=10x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(1)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+10x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=3\cdot 2^2+10\cdot 2-1=31$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(2)=31$ betyr at grafen har stigningstall $31$ når $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+5x²+(-1)x+1

→

f(x):=1x^3+5x^2-1x+1

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+10x-1

f'(2)

→

31

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+5*x**2+(-1)*x+1
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+10x-1

f\prime(2)=31

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 46 · LettVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=3x^2-3x+5$ i punktet der $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=3\cdot 3^2-3\cdot 3+5=23$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=6x-3$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(3)=6\cdot 3-3=15$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-23=15(x-3)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-23=15x-45$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=15x-22$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x²-3x+5

→

f(x):=3x^2-3x+5

Tangent(3, f)

→

y=15x-22

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=3*x**2+(-3)*x+5
r=3
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=15x-22

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 47 · LettVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=3x^3+7x^2-3x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(3x^3)\prime=9x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(7x^2)\prime=14x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-3x)\prime=-3$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=9x^2+14x-3$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=9\cdot 4^2+14\cdot 4-3=197$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=197$ betyr at grafen har stigningstall $197$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x³+7x²+(-3)x+3

→

f(x):=3x^3+7x^2-3x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=9x^2+14x-3

f'(4)

→

197

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=3*x**3+7*x**2+(-3)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=9x^2+14x-3

f\prime(4)=197

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 48 · MiddelsVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=1x^2-5x+1$ i punktet der $x=1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(1)=1\cdot 1^2-5\cdot 1+1=-3$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=2x-5$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(1)=2\cdot 1-5=-3$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y--3=-3(x-1)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y--3=-3x--3$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=-3x+0$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x²-5x+1

→

f(x):=1x^2-5x+1

Tangent(1, f)

→

y=-3x+0

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=1*x**2+(-5)*x+1
r=1
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=-3x+0

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 49 · MiddelsVekstfart og derivasjon i punkt

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=5x^3+3x^2-5x+1$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(5x^3)\prime=15x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(3x^2)\prime=6x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-5x)\prime=-5$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(1)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=15x^2+6x-5$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=15\cdot 2^2+6\cdot 2-5=67$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(2)=67$ betyr at grafen har stigningstall $67$ når $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x³+3x²+(-5)x+1

→

f(x):=5x^3+3x^2-5x+1

Derivert(f)

→

f\prime(x)=15x^2+6x-5

f'(2)

→

67

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=5*x**3+3*x**2+(-5)*x+1
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=15x^2+6x-5

f\prime(2)=67

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 50 · MiddelsVekstfart og derivasjon i punkt

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=3x^2-2x+3$ i punktet der $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=3\cdot 3^2-2\cdot 3+3=24$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=6x-2$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(3)=6\cdot 3-2=16$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-24=16(x-3)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-24=16x-48$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=16x-24$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x²-2x+3

→

f(x):=3x^2-2x+3

Tangent(3, f)

→

y=16x-24

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=3*x**2+(-2)*x+3
r=3
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=16x-24

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i vekstfart og derivasjon i punkt er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 51 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Produktregelen

Oppgave:

La $f(x)=(x+2)(x^2+5)$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Identifiser faktorene

$u=x+2,\quad v=x^2+5$

Funksjonen er et produkt, derfor passer produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

$u\prime=1,\quad v\prime=2x$

Vi trenger både faktorene og de deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

$f\prime=u\prime v+uv\prime$

Produktregelen sier at begge faktorene må bidra.

Steg 4 — Sett inn

$f\prime(x)=1\cdot(x^2+5)+(x+2)\cdot 2x$

Nå er regelen brukt på de konkrete faktorene.

Steg 5 — Forenkle

$f\prime(x)=x^2+5+2x(x+2)$

Dette er en ryddig form som er lett å sette inn i.

Steg 6 — Regn ut punktverdien

$f\prime(1)=1+5+2\cdot 1(1+2)=12$

Dette er stigningstallet i $x={r}$ .

Vanlig feil: Ikke deriver produktet som om det var en sum.

(uv)\prime

er ikke bare

u\prime v\prime

Tolkning

Stigningstallet $12$ forteller hvor raskt funksjonsverdien endrer seg akkurat ved $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)(x²+5)

→

f(x):=(x+2)(x^2+5)

Derivert(f)

→

3x^2+4x+5

f'(1)

→

12

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=(x+2)*(x**2+5)
fp=diff(f,x)
print(expand(fp))
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=x^2+5+2x(x+2)

, og

f\prime(1)=12

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 52 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Brøkregelen

Oppgave:

La $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+1}$ . Finn $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Velg teller og nevner

$u=x^2+4,\quad v=x+1$

Brøkregelen brukes når en funksjon er en brøk av to uttrykk.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

$u\prime=2x,\quad v\prime=1$

Vi trenger disse i brøkregelen.

Steg 3 — Skriv brøkregelen

$f\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$

Vi må trekke produktet $uv\prime$ fra $u\prime v$ .

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

$f\prime(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2+4)}{(x+1)^2}$

Nå har vi en generell formel.

Steg 5 — Sett inn $x={r}$

$f\prime(2)=\dfrac{2\cdot 2(2+1)-(2^2+4)}{(2+1)^2}$

Punktverdien finnes ved direkte innsetting.

Steg 6 — Regn ut

$f\prime(2)=\dfrac{4}{9}$

Brøken er stigningstallet til tangenten i punktet.

Vanlig feil: Pass på rekkefølgen i telleren:

u\prime v-uv\prime

, ikke motsatt.

Tolkning

Verdien $\dfrac{4}{9}$ er den momentane vekstfarten ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x²+4)/(x+1)

→

f(x):=\dfrac{x^2+4}{x+1}

Derivert(f)

→

\dfrac{2x(x+1)-(x^2+4)}{(x+1)^2}

f'(2)

→

\dfrac{4}{9}

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=(x**2+4)/(x+1)
print(simplify(diff(f,x)))
print(simplify(diff(f,x).subs(x,2)))

Fasit:

f\prime(2)=\dfrac{4}{9}

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 53 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Kjerneregelen

Oppgave:

La $f(x)=(3x+4)^5$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se ytre og indre funksjon

$f(x)=(3x+4)^5$

Dette er en sammensatt funksjon.

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

$u^5\mapsto 5u^4$

Potensregelen brukes på den ytre funksjonen.

Steg 3 — Deriver indre funksjon

$(3x+4)\prime=3$

Kjerneregelen krever at vi multipliserer med den deriverte av kjernen.

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

$f\prime(x)=5(3x+4)^4\cdot 3$

Ytre derivert multipliseres med indre derivert.

Steg 5 — Forenkle koeffisienten

$f\prime(x)=15(3x+4)^4$

Tallfaktorene samles.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(3)=15(3\cdot 3+4)^4=428415$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke glem å multiplisere med den deriverte av kjernen. Det er akkurat dette som er kjerneregelen.

Tolkning

Svaret viser at endringen blir forsterket av både potensen og stigningstallet til kjernen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(3x+4)⁵

→

f(x):=(3x+4)^5

Derivert(f)

→

15(3x+4)^4

f'(3)

→

428415

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=(3*x+4)**5
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,3))

Fasit:

f\prime(x)=15(3x+4)^4

f\prime(3)=428415

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 54 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=3x^2-6x+1$ i punktet der $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3+1=10$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=6x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(3)=6\cdot 3-6=12$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-10=12(x-3)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-10=12x-36$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=12x-26$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x²-6x+1

→

f(x):=3x^2-6x+1

Tangent(3, f)

→

y=12x-26

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=3*x**2+(-6)*x+1
r=3
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=12x-26

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 55 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+3x^2-1x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(3x^2)\prime=6x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+6x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=3\cdot 4^2+6\cdot 4-1=71$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=71$ betyr at grafen har stigningstall $71$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+3x²+(-1)x+3

→

f(x):=1x^3+3x^2-1x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+6x-1

f'(4)

→

71

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+3*x**2+(-1)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+6x-1

f\prime(4)=71

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 56 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Produktregelen

Oppgave:

La $f(x)=(x+2)(x^2+4)$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Identifiser faktorene

$u=x+2,\quad v=x^2+4$

Funksjonen er et produkt, derfor passer produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

$u\prime=1,\quad v\prime=2x$

Vi trenger både faktorene og de deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

$f\prime=u\prime v+uv\prime$

Produktregelen sier at begge faktorene må bidra.

Steg 4 — Sett inn

$f\prime(x)=1\cdot(x^2+4)+(x+2)\cdot 2x$

Nå er regelen brukt på de konkrete faktorene.

Steg 5 — Forenkle

$f\prime(x)=x^2+4+2x(x+2)$

Dette er en ryddig form som er lett å sette inn i.

Steg 6 — Regn ut punktverdien

$f\prime(3)=9+4+2\cdot 3(3+2)=43$

Dette er stigningstallet i $x={r}$ .

Vanlig feil: Ikke deriver produktet som om det var en sum.

(uv)\prime

er ikke bare

u\prime v\prime

Tolkning

Stigningstallet $43$ forteller hvor raskt funksjonsverdien endrer seg akkurat ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)(x²+4)

→

f(x):=(x+2)(x^2+4)

Derivert(f)

→

3x^2+4x+4

f'(3)

→

43

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=(x+2)*(x**2+4)
fp=diff(f,x)
print(expand(fp))
print(fp.subs(x,3))

Fasit:

f\prime(x)=x^2+4+2x(x+2)

, og

f\prime(3)=43

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 57 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Brøkregelen

Oppgave:

La $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$ . Finn $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Velg teller og nevner

$u=x^2+4,\quad v=x+2$

Brøkregelen brukes når en funksjon er en brøk av to uttrykk.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

$u\prime=2x,\quad v\prime=1$

Vi trenger disse i brøkregelen.

Steg 3 — Skriv brøkregelen

$f\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$

Vi må trekke produktet $uv\prime$ fra $u\prime v$ .

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

$f\prime(x)=\dfrac{2x(x+2)-(x^2+4)}{(x+2)^2}$

Nå har vi en generell formel.

Steg 5 — Sett inn $x={r}$

$f\prime(3)=\dfrac{2\cdot 3(3+2)-(3^2+4)}{(3+2)^2}$

Punktverdien finnes ved direkte innsetting.

Steg 6 — Regn ut

$f\prime(3)=\dfrac{17}{25}$

Brøken er stigningstallet til tangenten i punktet.

Vanlig feil: Pass på rekkefølgen i telleren:

u\prime v-uv\prime

, ikke motsatt.

Tolkning

Verdien $\dfrac{17}{25}$ er den momentane vekstfarten ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x²+4)/(x+2)

→

f(x):=\dfrac{x^2+4}{x+2}

Derivert(f)

→

\dfrac{2x(x+2)-(x^2+4)}{(x+2)^2}

f'(3)

→

\dfrac{17}{25}

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=(x**2+4)/(x+2)
print(simplify(diff(f,x)))
print(simplify(diff(f,x).subs(x,3)))

Fasit:

f\prime(3)=\dfrac{17}{25}

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 58 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Kjerneregelen

Oppgave:

La $f(x)=(4x+4)^4$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se ytre og indre funksjon

$f(x)=(4x+4)^4$

Dette er en sammensatt funksjon.

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

$u^4\mapsto 4u^3$

Potensregelen brukes på den ytre funksjonen.

Steg 3 — Deriver indre funksjon

$(4x+4)\prime=4$

Kjerneregelen krever at vi multipliserer med den deriverte av kjernen.

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

$f\prime(x)=4(4x+4)^3\cdot 4$

Ytre derivert multipliseres med indre derivert.

Steg 5 — Forenkle koeffisienten

$f\prime(x)=16(4x+4)^3$

Tallfaktorene samles.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=16(4\cdot 2+4)^3=27648$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke glem å multiplisere med den deriverte av kjernen. Det er akkurat dette som er kjerneregelen.

Tolkning

Svaret viser at endringen blir forsterket av både potensen og stigningstallet til kjernen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(4x+4)⁴

→

f(x):=(4x+4)^4

Derivert(f)

→

16(4x+4)^3

f'(2)

→

27648

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=(4*x+4)**4
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=16(4x+4)^3

f\prime(2)=27648

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 59 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=4x^2-6x+6$ i punktet der $x=4$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(4)=4\cdot 4^2-6\cdot 4+6=46$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=8x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(4)=8\cdot 4-6=26$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-46=26(x-4)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-46=26x-104$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=26x-58$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x²-6x+6

→

f(x):=4x^2-6x+6

Tangent(4, f)

→

y=26x-58

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=4*x**2+(-6)*x+6
r=4
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=26x-58

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 60 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+2x^2-1x+0$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(2x^2)\prime=4x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(0)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+4x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(1)=3\cdot 1^2+4\cdot 1-1=6$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(1)=6$ betyr at grafen har stigningstall $6$ når $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+2x²+(-1)x+0

→

f(x):=1x^3+2x^2-1x+0

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+4x-1

f'(1)

→

6

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+2*x**2+(-1)*x+0
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+4x-1

f\prime(1)=6

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 61 · LettDerivasjonsregler og deriverbarhet

Produktregelen

Oppgave:

La $f(x)=(x+2)(x^2+3)$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Identifiser faktorene

$u=x+2,\quad v=x^2+3$

Funksjonen er et produkt, derfor passer produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

$u\prime=1,\quad v\prime=2x$

Vi trenger både faktorene og de deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

$f\prime=u\prime v+uv\prime$

Produktregelen sier at begge faktorene må bidra.

Steg 4 — Sett inn

$f\prime(x)=1\cdot(x^2+3)+(x+2)\cdot 2x$

Nå er regelen brukt på de konkrete faktorene.

Steg 5 — Forenkle

$f\prime(x)=x^2+3+2x(x+2)$

Dette er en ryddig form som er lett å sette inn i.

Steg 6 — Regn ut punktverdien

$f\prime(2)=4+3+2\cdot 2(2+2)=23$

Dette er stigningstallet i $x={r}$ .

Vanlig feil: Ikke deriver produktet som om det var en sum.

(uv)\prime

er ikke bare

u\prime v\prime

Tolkning

Stigningstallet $23$ forteller hvor raskt funksjonsverdien endrer seg akkurat ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)(x²+3)

→

f(x):=(x+2)(x^2+3)

Derivert(f)

→

3x^2+4x+3

f'(2)

→

23

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=(x+2)*(x**2+3)
fp=diff(f,x)
print(expand(fp))
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=x^2+3+2x(x+2)

, og

f\prime(2)=23

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 62 · LettDerivasjonsregler og deriverbarhet

Brøkregelen

Oppgave:

La $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+3}$ . Finn $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Velg teller og nevner

$u=x^2+4,\quad v=x+3$

Brøkregelen brukes når en funksjon er en brøk av to uttrykk.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

$u\prime=2x,\quad v\prime=1$

Vi trenger disse i brøkregelen.

Steg 3 — Skriv brøkregelen

$f\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$

Vi må trekke produktet $uv\prime$ fra $u\prime v$ .

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

$f\prime(x)=\dfrac{2x(x+3)-(x^2+4)}{(x+3)^2}$

Nå har vi en generell formel.

Steg 5 — Sett inn $x={r}$

$f\prime(4)=\dfrac{2\cdot 4(4+3)-(4^2+4)}{(4+3)^2}$

Punktverdien finnes ved direkte innsetting.

Steg 6 — Regn ut

$f\prime(4)=\dfrac{36}{49}$

Brøken er stigningstallet til tangenten i punktet.

Vanlig feil: Pass på rekkefølgen i telleren:

u\prime v-uv\prime

, ikke motsatt.

Tolkning

Verdien $\dfrac{36}{49}$ er den momentane vekstfarten ved $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x²+4)/(x+3)

→

f(x):=\dfrac{x^2+4}{x+3}

Derivert(f)

→

\dfrac{2x(x+3)-(x^2+4)}{(x+3)^2}

f'(4)

→

\dfrac{36}{49}

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=(x**2+4)/(x+3)
print(simplify(diff(f,x)))
print(simplify(diff(f,x).subs(x,4)))

Fasit:

f\prime(4)=\dfrac{36}{49}

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 63 · LettDerivasjonsregler og deriverbarhet

Kjerneregelen

Oppgave:

La $f(x)=(5x+4)^3$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se ytre og indre funksjon

$f(x)=(5x+4)^3$

Dette er en sammensatt funksjon.

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

$u^3\mapsto 3u^2$

Potensregelen brukes på den ytre funksjonen.

Steg 3 — Deriver indre funksjon

$(5x+4)\prime=5$

Kjerneregelen krever at vi multipliserer med den deriverte av kjernen.

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

$f\prime(x)=3(5x+4)^2\cdot 5$

Ytre derivert multipliseres med indre derivert.

Steg 5 — Forenkle koeffisienten

$f\prime(x)=15(5x+4)^2$

Tallfaktorene samles.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(1)=15(5\cdot 1+4)^2=1215$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke glem å multiplisere med den deriverte av kjernen. Det er akkurat dette som er kjerneregelen.

Tolkning

Svaret viser at endringen blir forsterket av både potensen og stigningstallet til kjernen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(5x+4)³

→

f(x):=(5x+4)^3

Derivert(f)

→

15(5x+4)^2

f'(1)

→

1215

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=(5*x+4)**3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=15(5x+4)^2

f\prime(1)=1215

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 64 · LettDerivasjonsregler og deriverbarhet

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=1x^2-6x+5$ i punktet der $x=1$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(1)=1\cdot 1^2-6\cdot 1+5=0$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=2x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(1)=2\cdot 1-6=-4$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-0=-4(x-1)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-0=-4x--4$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=-4x+4$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x²-6x+5

→

f(x):=1x^2-6x+5

Tangent(1, f)

→

y=-4x+4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=1*x**2+(-6)*x+5
r=1
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=-4x+4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 65 · LettDerivasjonsregler og deriverbarhet

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+7x^2-1x+1$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(7x^2)\prime=14x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(1)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+14x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=3\cdot 2^2+14\cdot 2-1=39$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(2)=39$ betyr at grafen har stigningstall $39$ når $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+7x²+(-1)x+1

→

f(x):=1x^3+7x^2-1x+1

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+14x-1

f'(2)

→

39

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+7*x**2+(-1)*x+1
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+14x-1

f\prime(2)=39

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 66 · LettDerivasjonsregler og deriverbarhet

Produktregelen

Oppgave:

La $f(x)=(x+2)(x^2+2)$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Identifiser faktorene

$u=x+2,\quad v=x^2+2$

Funksjonen er et produkt, derfor passer produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

$u\prime=1,\quad v\prime=2x$

Vi trenger både faktorene og de deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

$f\prime=u\prime v+uv\prime$

Produktregelen sier at begge faktorene må bidra.

Steg 4 — Sett inn

$f\prime(x)=1\cdot(x^2+2)+(x+2)\cdot 2x$

Nå er regelen brukt på de konkrete faktorene.

Steg 5 — Forenkle

$f\prime(x)=x^2+2+2x(x+2)$

Dette er en ryddig form som er lett å sette inn i.

Steg 6 — Regn ut punktverdien

$f\prime(1)=1+2+2\cdot 1(1+2)=9$

Dette er stigningstallet i $x={r}$ .

Vanlig feil: Ikke deriver produktet som om det var en sum.

(uv)\prime

er ikke bare

u\prime v\prime

Tolkning

Stigningstallet $9$ forteller hvor raskt funksjonsverdien endrer seg akkurat ved $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)(x²+2)

→

f(x):=(x+2)(x^2+2)

Derivert(f)

→

3x^2+4x+2

f'(1)

→

9

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=(x+2)*(x**2+2)
fp=diff(f,x)
print(expand(fp))
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=x^2+2+2x(x+2)

, og

f\prime(1)=9

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 67 · LettDerivasjonsregler og deriverbarhet

Brøkregelen

Oppgave:

La $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+4}$ . Finn $f\prime(5)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Velg teller og nevner

$u=x^2+4,\quad v=x+4$

Brøkregelen brukes når en funksjon er en brøk av to uttrykk.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

$u\prime=2x,\quad v\prime=1$

Vi trenger disse i brøkregelen.

Steg 3 — Skriv brøkregelen

$f\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$

Vi må trekke produktet $uv\prime$ fra $u\prime v$ .

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

$f\prime(x)=\dfrac{2x(x+4)-(x^2+4)}{(x+4)^2}$

Nå har vi en generell formel.

Steg 5 — Sett inn $x={r}$

$f\prime(5)=\dfrac{2\cdot 5(5+4)-(5^2+4)}{(5+4)^2}$

Punktverdien finnes ved direkte innsetting.

Steg 6 — Regn ut

$f\prime(5)=\dfrac{61}{81}$

Brøken er stigningstallet til tangenten i punktet.

Vanlig feil: Pass på rekkefølgen i telleren:

u\prime v-uv\prime

, ikke motsatt.

Tolkning

Verdien $\dfrac{61}{81}$ er den momentane vekstfarten ved $x=5$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x²+4)/(x+4)

→

f(x):=\dfrac{x^2+4}{x+4}

Derivert(f)

→

\dfrac{2x(x+4)-(x^2+4)}{(x+4)^2}

f'(5)

→

\dfrac{61}{81}

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=(x**2+4)/(x+4)
print(simplify(diff(f,x)))
print(simplify(diff(f,x).subs(x,5)))

Fasit:

f\prime(5)=\dfrac{61}{81}

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 68 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Kjerneregelen

Oppgave:

La $f(x)=(2x+4)^5$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se ytre og indre funksjon

$f(x)=(2x+4)^5$

Dette er en sammensatt funksjon.

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

$u^5\mapsto 5u^4$

Potensregelen brukes på den ytre funksjonen.

Steg 3 — Deriver indre funksjon

$(2x+4)\prime=2$

Kjerneregelen krever at vi multipliserer med den deriverte av kjernen.

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

$f\prime(x)=5(2x+4)^4\cdot 2$

Ytre derivert multipliseres med indre derivert.

Steg 5 — Forenkle koeffisienten

$f\prime(x)=10(2x+4)^4$

Tallfaktorene samles.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(3)=10(2\cdot 3+4)^4=100000$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke glem å multiplisere med den deriverte av kjernen. Det er akkurat dette som er kjerneregelen.

Tolkning

Svaret viser at endringen blir forsterket av både potensen og stigningstallet til kjernen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(2x+4)⁵

→

f(x):=(2x+4)^5

Derivert(f)

→

10(2x+4)^4

f'(3)

→

100000

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=(2*x+4)**5
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,3))

Fasit:

f\prime(x)=10(2x+4)^4

f\prime(3)=100000

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 69 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=2x^2-6x+4$ i punktet der $x=2$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(2)=2\cdot 2^2-6\cdot 2+4=0$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=4x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(2)=4\cdot 2-6=2$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-0=2(x-2)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-0=2x-4$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=2x-4$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x²-6x+4

→

f(x):=2x^2-6x+4

Tangent(2, f)

→

y=2x-4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=2*x**2+(-6)*x+4
r=2
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=2x-4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 70 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+6x^2-1x+2$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(6x^2)\prime=12x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(2)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+12x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(3)=3\cdot 3^2+12\cdot 3-1=62$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(3)=62$ betyr at grafen har stigningstall $62$ når $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+6x²+(-1)x+2

→

f(x):=1x^3+6x^2-1x+2

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+12x-1

f'(3)

→

62

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+6*x**2+(-1)*x+2
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,3))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+12x-1

f\prime(3)=62

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 71 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Produktregelen

Oppgave:

La $f(x)=(x+2)(x^2+7)$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Identifiser faktorene

$u=x+2,\quad v=x^2+7$

Funksjonen er et produkt, derfor passer produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

$u\prime=1,\quad v\prime=2x$

Vi trenger både faktorene og de deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

$f\prime=u\prime v+uv\prime$

Produktregelen sier at begge faktorene må bidra.

Steg 4 — Sett inn

$f\prime(x)=1\cdot(x^2+7)+(x+2)\cdot 2x$

Nå er regelen brukt på de konkrete faktorene.

Steg 5 — Forenkle

$f\prime(x)=x^2+7+2x(x+2)$

Dette er en ryddig form som er lett å sette inn i.

Steg 6 — Regn ut punktverdien

$f\prime(3)=9+7+2\cdot 3(3+2)=46$

Dette er stigningstallet i $x={r}$ .

Vanlig feil: Ikke deriver produktet som om det var en sum.

(uv)\prime

er ikke bare

u\prime v\prime

Tolkning

Stigningstallet $46$ forteller hvor raskt funksjonsverdien endrer seg akkurat ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)(x²+7)

→

f(x):=(x+2)(x^2+7)

Derivert(f)

→

3x^2+4x+7

f'(3)

→

46

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=(x+2)*(x**2+7)
fp=diff(f,x)
print(expand(fp))
print(fp.subs(x,3))

Fasit:

f\prime(x)=x^2+7+2x(x+2)

, og

f\prime(3)=46

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 72 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Brøkregelen

Oppgave:

La $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+1}$ . Finn $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Velg teller og nevner

$u=x^2+4,\quad v=x+1$

Brøkregelen brukes når en funksjon er en brøk av to uttrykk.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

$u\prime=2x,\quad v\prime=1$

Vi trenger disse i brøkregelen.

Steg 3 — Skriv brøkregelen

$f\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$

Vi må trekke produktet $uv\prime$ fra $u\prime v$ .

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

$f\prime(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2+4)}{(x+1)^2}$

Nå har vi en generell formel.

Steg 5 — Sett inn $x={r}$

$f\prime(2)=\dfrac{2\cdot 2(2+1)-(2^2+4)}{(2+1)^2}$

Punktverdien finnes ved direkte innsetting.

Steg 6 — Regn ut

$f\prime(2)=\dfrac{4}{9}$

Brøken er stigningstallet til tangenten i punktet.

Vanlig feil: Pass på rekkefølgen i telleren:

u\prime v-uv\prime

, ikke motsatt.

Tolkning

Verdien $\dfrac{4}{9}$ er den momentane vekstfarten ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x²+4)/(x+1)

→

f(x):=\dfrac{x^2+4}{x+1}

Derivert(f)

→

\dfrac{2x(x+1)-(x^2+4)}{(x+1)^2}

f'(2)

→

\dfrac{4}{9}

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=(x**2+4)/(x+1)
print(simplify(diff(f,x)))
print(simplify(diff(f,x).subs(x,2)))

Fasit:

f\prime(2)=\dfrac{4}{9}

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 73 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Kjerneregelen

Oppgave:

La $f(x)=(3x+4)^4$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se ytre og indre funksjon

$f(x)=(3x+4)^4$

Dette er en sammensatt funksjon.

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

$u^4\mapsto 4u^3$

Potensregelen brukes på den ytre funksjonen.

Steg 3 — Deriver indre funksjon

$(3x+4)\prime=3$

Kjerneregelen krever at vi multipliserer med den deriverte av kjernen.

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

$f\prime(x)=4(3x+4)^3\cdot 3$

Ytre derivert multipliseres med indre derivert.

Steg 5 — Forenkle koeffisienten

$f\prime(x)=12(3x+4)^3$

Tallfaktorene samles.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(2)=12(3\cdot 2+4)^3=12000$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke glem å multiplisere med den deriverte av kjernen. Det er akkurat dette som er kjerneregelen.

Tolkning

Svaret viser at endringen blir forsterket av både potensen og stigningstallet til kjernen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(3x+4)⁴

→

f(x):=(3x+4)^4

Derivert(f)

→

12(3x+4)^3

f'(2)

→

12000

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=(3*x+4)**4
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=12(3x+4)^3

f\prime(2)=12000

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 74 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=3x^2-6x+3$ i punktet der $x=3$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3+3=12$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=6x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(3)=6\cdot 3-6=12$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-12=12(x-3)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-12=12x-36$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=12x-24$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x²-6x+3

→

f(x):=3x^2-6x+3

Tangent(3, f)

→

y=12x-24

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=3*x**2+(-6)*x+3
r=3
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=12x-24

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 75 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+5x^2-1x+3$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(4)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(5x^2)\prime=10x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(3)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+10x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(4)=3\cdot 4^2+10\cdot 4-1=87$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(4)=87$ betyr at grafen har stigningstall $87$ når $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+5x²+(-1)x+3

→

f(x):=1x^3+5x^2-1x+3

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+10x-1

f'(4)

→

87

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+5*x**2+(-1)*x+3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,4))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+10x-1

f\prime(4)=87

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 76 · MiddelsDerivasjonsregler og deriverbarhet

Produktregelen

Oppgave:

La $f(x)=(x+2)(x^2+6)$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(2)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Identifiser faktorene

$u=x+2,\quad v=x^2+6$

Funksjonen er et produkt, derfor passer produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

$u\prime=1,\quad v\prime=2x$

Vi trenger både faktorene og de deriverte.

Steg 3 — Bruk produktregelen

$f\prime=u\prime v+uv\prime$

Produktregelen sier at begge faktorene må bidra.

Steg 4 — Sett inn

$f\prime(x)=1\cdot(x^2+6)+(x+2)\cdot 2x$

Nå er regelen brukt på de konkrete faktorene.

Steg 5 — Forenkle

$f\prime(x)=x^2+6+2x(x+2)$

Dette er en ryddig form som er lett å sette inn i.

Steg 6 — Regn ut punktverdien

$f\prime(2)=4+6+2\cdot 2(2+2)=26$

Dette er stigningstallet i $x={r}$ .

Vanlig feil: Ikke deriver produktet som om det var en sum.

(uv)\prime

er ikke bare

u\prime v\prime

Tolkning

Stigningstallet $26$ forteller hvor raskt funksjonsverdien endrer seg akkurat ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)(x²+6)

→

f(x):=(x+2)(x^2+6)

Derivert(f)

→

3x^2+4x+6

f'(2)

→

26

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=(x+2)*(x**2+6)
fp=diff(f,x)
print(expand(fp))
print(fp.subs(x,2))

Fasit:

f\prime(x)=x^2+6+2x(x+2)

, og

f\prime(2)=26

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 77 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Brøkregelen

Oppgave:

La $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$ . Finn $f\prime(3)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Velg teller og nevner

$u=x^2+4,\quad v=x+2$

Brøkregelen brukes når en funksjon er en brøk av to uttrykk.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

$u\prime=2x,\quad v\prime=1$

Vi trenger disse i brøkregelen.

Steg 3 — Skriv brøkregelen

$f\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}$

Vi må trekke produktet $uv\prime$ fra $u\prime v$ .

Steg 4 — Sett inn uttrykkene

$f\prime(x)=\dfrac{2x(x+2)-(x^2+4)}{(x+2)^2}$

Nå har vi en generell formel.

Steg 5 — Sett inn $x={r}$

$f\prime(3)=\dfrac{2\cdot 3(3+2)-(3^2+4)}{(3+2)^2}$

Punktverdien finnes ved direkte innsetting.

Steg 6 — Regn ut

$f\prime(3)=\dfrac{17}{25}$

Brøken er stigningstallet til tangenten i punktet.

Vanlig feil: Pass på rekkefølgen i telleren:

u\prime v-uv\prime

, ikke motsatt.

Tolkning

Verdien $\dfrac{17}{25}$ er den momentane vekstfarten ved $x=3$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x²+4)/(x+2)

→

f(x):=\dfrac{x^2+4}{x+2}

Derivert(f)

→

\dfrac{2x(x+2)-(x^2+4)}{(x+2)^2}

f'(3)

→

\dfrac{17}{25}

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=(x**2+4)/(x+2)
print(simplify(diff(f,x)))
print(simplify(diff(f,x).subs(x,3)))

Fasit:

f\prime(3)=\dfrac{17}{25}

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 78 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Kjerneregelen

Oppgave:

La $f(x)=(4x+4)^3$ . Finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Se ytre og indre funksjon

$f(x)=(4x+4)^3$

Dette er en sammensatt funksjon.

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

$u^3\mapsto 3u^2$

Potensregelen brukes på den ytre funksjonen.

Steg 3 — Deriver indre funksjon

$(4x+4)\prime=4$

Kjerneregelen krever at vi multipliserer med den deriverte av kjernen.

Steg 4 — Bruk kjerneregelen

$f\prime(x)=3(4x+4)^2\cdot 4$

Ytre derivert multipliseres med indre derivert.

Steg 5 — Forenkle koeffisienten

$f\prime(x)=12(4x+4)^2$

Tallfaktorene samles.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(1)=12(4\cdot 1+4)^2=768$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke glem å multiplisere med den deriverte av kjernen. Det er akkurat dette som er kjerneregelen.

Tolkning

Svaret viser at endringen blir forsterket av både potensen og stigningstallet til kjernen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(4x+4)³

→

f(x):=(4x+4)^3

Derivert(f)

→

12(4x+4)^2

f'(1)

→

768

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=(4*x+4)**3
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=12(4x+4)^2

f\prime(1)=768

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 79 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Tangent til en parabel

Oppgave:

Finn likningen for tangenten til $f(x)=4x^2-6x+2$ i punktet der $x=4$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn funksjonsverdien

$f(4)=4\cdot 4^2-6\cdot 4+2=42$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f\prime(x)=8x-6$

Den deriverte gir stigningstallet til tangenten.

Steg 3 — Finn stigningstallet

$f\prime(4)=8\cdot 4-6=26$

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk punktform

$y-42=26(x-4)$

Punktformelen er trygg fordi vi kjenner både punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs opp parentesen

$y-42=26x-104$

Nå gjør vi likningen om til vanlig form.

Steg 6 — Isoler $y$

$y=26x-62$

Dette er tangentlikningen.

Vanlig feil: Ikke bruk

f({r})

som stigningstall. Stigningstallet er

f\prime({r})

Tolkning

Tangenten er den rette linja som lokalt følger grafen best ved $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x²-6x+2

→

f(x):=4x^2-6x+2

Tangent(4, f)

→

y=26x-62

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff, expand
x=symbols('x')
f=4*x**2+(-6)*x+2
r=4
m=diff(f,x).subs(x,r)
y=f.subs(x,r)
print(expand(m*(x-r)+y))

Fasit:

y=26x-62

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 80 · KrevendeDerivasjonsregler og deriverbarhet

Derivasjon med potensregelen

Oppgave:

For funksjonen $f(x)=1x^3+4x^2-1x+0$ , finn $f\prime(x)$ og $f\prime(1)$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Deriver første ledd

$(1x^3)\prime=3x^2$

Potensregelen sier at eksponenten flyttes ned og reduseres med én.

Steg 2 — Deriver andre ledd

$(4x^2)\prime=8x$

Samme regel brukes på andregradsleddet.

Steg 3 — Deriver lineærleddet

$(-1x)\prime=-1$

Den deriverte av $cx$ er konstanten $c$ .

Steg 4 — Deriver konstanten

$(0)\prime=0$

Konstanter har ingen endring, derfor er den deriverte $0$ .

Steg 5 — Sett sammen

$f\prime(x)=3x^2+8x-1$

Vi legger sammen de deriverte leddene.

Steg 6 — Sett inn punktet

$f\prime(1)=3\cdot 1^2+8\cdot 1-1=10$

Dette gir stigningstallet i punktet.

Vanlig feil: Ikke behold eksponenten uendret etter derivasjon.

x^3

blir

3x^2

, ikke

3x^3

Tolkning

Verdien $f\prime(1)=10$ betyr at grafen har stigningstall $10$ når $x=1$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x³+4x²+(-1)x+0

→

f(x):=1x^3+4x^2-1x+0

Derivert(f)

→

f\prime(x)=3x^2+8x-1

f'(1)

→

10

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, diff
x=symbols('x')
f=1*x**3+4*x**2+(-1)*x+0
fp=diff(f,x)
print(fp)
print(fp.subs(x,1))

Fasit:

f\prime(x)=3x^2+8x-1

f\prime(1)=10

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i derivasjonsregler og deriverbarhet er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 81 · LettBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{6^2-36}{6-6}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-36=(x-6)(x+6)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-6)(x+6)}{x-6}=x+6$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 6}(x+6)=6+6$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$6+6=12$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}=12$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $12$ når $x$ nærmer seg $6$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-36)/(x-6), x, 6)

→

12

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-36)/(x-6)
print(limit(uttrykk, x, 6))

Fasit:

12

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 82 · LettBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+3}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-4\ne 0\Rightarrow x\ne 4$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=4$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+3=0\Rightarrow x=-3$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=4,\quad y=1,\quad x=-3$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+3)/(x-4)

→

f(x):=\dfrac{x+3}{x-4}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-3

Asymptote(f)

→

x=4,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+3)/(x-4)
print('nullpunkt', solve(x+3, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-3

. Vertikal asymptote:

x=4

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 83 · LettBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{8^2-64}{8-8}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-64=(x-8)(x+8)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-8)(x+8)}{x-8}=x+8$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 8}(x+8)=8+8$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$8+8=16$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 8}\dfrac{x^2-64}{x-8}=16$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $16$ når $x$ nærmer seg $8$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-64)/(x-8), x, 8)

→

16

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-64)/(x-8)
print(limit(uttrykk, x, 8))

Fasit:

16

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 84 · LettBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+5}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-6\ne 0\Rightarrow x\ne 6$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=6$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+5=0\Rightarrow x=-5$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{5}{-6}=-\dfrac{5}{6}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=6,\quad y=1,\quad x=-5$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+5)/(x-6)

→

f(x):=\dfrac{x+5}{x-6}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-5

Asymptote(f)

→

x=6,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+5)/(x-6)
print('nullpunkt', solve(x+5, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-5

. Vertikal asymptote:

x=6

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 85 · LettBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{2^2-4}{2-2}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 2}(x+2)=2+2$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$2+2=4$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $4$ når $x$ nærmer seg $2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-4)/(x-2), x, 2)

→

4

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-4)/(x-2)
print(limit(uttrykk, x, 2))

Fasit:

4

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 86 · LettBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-3\ne 0\Rightarrow x\ne 3$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=3$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+2=0\Rightarrow x=-2$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=3,\quad y=1,\quad x=-2$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+2)/(x-3)

→

f(x):=\dfrac{x+2}{x-3}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-2

Asymptote(f)

→

x=3,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+2)/(x-3)
print('nullpunkt', solve(x+2, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-2

. Vertikal asymptote:

x=3

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 87 · LettBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{4^2-16}{4-4}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-16=(x-4)(x+4)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 4}(x+4)=4+4$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$4+4=8$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}=8$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $8$ når $x$ nærmer seg $4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-16)/(x-4), x, 4)

→

8

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-16)/(x-4)
print(limit(uttrykk, x, 4))

Fasit:

8

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 88 · MiddelsBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+4}{x-5}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-5\ne 0\Rightarrow x\ne 5$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=5$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+4=0\Rightarrow x=-4$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{4}{-5}=-\dfrac{4}{5}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=5,\quad y=1,\quad x=-4$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+4)/(x-5)

→

f(x):=\dfrac{x+4}{x-5}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-4

Asymptote(f)

→

x=5,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+4)/(x-5)
print('nullpunkt', solve(x+4, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-4

. Vertikal asymptote:

x=5

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 89 · MiddelsBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Grenseverdi med faktorisering

Oppgave:

Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Sett inn direkte først

$\dfrac{6^2-36}{6-6}=\dfrac{0}{0}$

Dette viser at vi har en ubestemt form. Vi må omskrive uttrykket.

Steg 2 — Faktoriser telleren

$x^2-36=(x-6)(x+6)$

Dette er konjugatsetningen.

Steg 3 — Forkort felles faktor

$\dfrac{(x-6)(x+6)}{x-6}=x+6$

For $x\ne {a}$ kan faktoren $x-{a}$ forkortes.

Steg 4 — Ta grensen av det forenklede uttrykket

$\lim_{x\to 6}(x+6)=6+6$

Etter forkorting står vi igjen med en kontinuerlig lineær funksjon.

Steg 5 — Regn ut

$6+6=12$

Nå kan vi sette inn direkte.

Steg 6 — Konkluder

$\displaystyle \lim_{x\to 6}\dfrac{x^2-36}{x-6}=12$

Grenseverdien finnes selv om uttrykket ikke er definert akkurat i punktet.

Vanlig feil: Ikke forkort før du har faktorisert riktig. Du kan ikke bare stryke

x

-er i en sum.

Tolkning

Grafisk betyr svaret at kurven nærmer seg høyden $12$ når $x$ nærmer seg $6$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Grense((x²-36)/(x-6), x, 6)

→

12

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, limit
x=symbols('x')
uttrykk=(x**2-36)/(x-6)
print(limit(uttrykk, x, 6))

Fasit:

12

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 90 · MiddelsBlandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon

Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave:

Analyser nullpunkt og asymptoter til $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, ikke bare gjette. Planen er å skrive om uttrykket, bruke riktig regel og kontrollere resultatet med både CAS og Python.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

$x-2\ne 0\Rightarrow x\ne 2$

Nevneren kan ikke være null.

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

$x=2$

Når nevneren blir null og telleren ikke blir null, får vi vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn nullpunkt

$x+1=0\Rightarrow x=-1$

Nullpunktet kommer fra telleren, så lenge nevneren ikke samtidig er null.

Steg 4 — Finn horisontal asymptote

$y=1$

Teller og nevner har samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter er $1/1$ .

Steg 5 — Sjekk punktet

$f(0)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$

Et ekstra punkt hjelper oss å skissere grafen.

Steg 6 — Konkluder

$x=2,\quad y=1,\quad x=-1$

Vi samler asymptoter og nullpunkt.

Vanlig feil: Ikke finn vertikal asymptote ved å sette telleren lik null. Vertikale asymptoter kommer fra nevneren.

Tolkning

Nullpunktet er der grafen krysser $x$ -aksen. Asymptotene viser linjer grafen nærmer seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x+1)/(x-2)

→

f(x):=\dfrac{x+1}{x-2}

Løs(Teller(f)=0)

→

x=-1

Asymptote(f)

→

x=2,\; y=1

Kontroll i Python

Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x=symbols('x')
f=(x+1)/(x-2)
print('nullpunkt', solve(x+1, x))
print('horisontal', limit(f, x, oo))

Fasit: Nullpunkt:

x=-1

. Vertikal asymptote:

x=2

. Horisontal asymptote:

y=1

. (bekreftet med CAS- og Python-kontroll).

Regel / huskeregel

Start med å identifisere hvilken regel som passer til uttrykket. Skriv mellomregninger slik at hvert valg kan kontrolleres.

Vanlige feil

Den vanligste feilen i blandede oppgaver om grenseverdi og derivasjon er å hoppe over definisjonsmengde, fortegn eller en mellomregning som begrunner svaret.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig notasjon, riktig bruk av digitale verktøy og en kort tolkning av resultatet.

For høy måloppnåelse

Vis både algebraisk kontroll og digital kontroll. Forklar hvorfor svaret er rimelig i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Matematikk R1

Flere R1-oppgaver fra kapittelsamlingen

Innhold: eksempler og oppgaver, full trinnvis løsning, fasit, regler, vanlige feil, sensorpunkt, høy måloppnåelse, SVG-grafer, kodebokser og Ifingo-lærer-knapp.

Eksempel 1-19 – forklart

Oppgave Eksempel 1Funksjon med delt forskrift

Oppgave Eksempel 1 - Funksjon med delt forskrift

En funksjon tar tredjedelen av alle negative tall og kvadrerer alle tall som er større enn eller lik 1. Mellom 0 og 1 er funksjonen konstant lik 2. Skriv funksjonen med delt forskrift, finn bruddpunkter, definisjonsmengde og verdimengde.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deler tallinja i tre intervaller: x<0, 0≤x<1 og x≥1. Da kan vi skrive f(x)=x/3 for x<0, f(x)=2 for 0≤x<1 og f(x)=x² for x≥1. Uttrykket skifter ved x=0 og x=1, så disse er bruddpunkter. Alle reelle x kan brukes, så D_f=R. Verdimengden består av negative verdier fra x/3, verdien 2 og alle verdier minst 1 fra x². Samlet får vi V_f=<-∞,0>∪[1,∞>.

Fasit
D_f=R, bruddpunkter x=0 og x=1.

Regel/huskeregel
En funksjon med delt forskrift har ulike uttrykk i ulike intervaller. Bruddpunkter er steder der uttrykket skifter.

Vanlige feil
Å se bare på grafen og glemme hvilken del som gjelder i selve bruddpunktet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt intervallskriving, bruddpunkter og definisjons-/verdimengde.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 2Absoluttverdi som delt forskrift

Oppgave Eksempel 2 - Absoluttverdi som delt forskrift

Skriv h(x)=|x+2| uten absoluttverditegn, finn bruddpunktet og skisser grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Uttrykket inni absoluttverdien er x+2. Det er ikke-negativt når x≥-2. Da er h(x)=x+2. Når x<-2, blir h(x)=-(x+2)=-x-2. Bruddpunktet er x=-2, og grafen er en V-form med bunnpunkt (-2,0).

Fasit
h(x)=x+2 for x≥-2 og h(x)=-x-2 for x<-2.

Regel/huskeregel
|u|=u når u≥0, og |u|=-u når u<0.

Vanlige feil
Å sette bruddpunktet til x=2 i stedet for x=-2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig løsning av x+2=0 og korrekt delt forskrift.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 3Avstand på tallinja

Oppgave Eksempel 3 - Avstand på tallinja

Finn en funksjon som gir avstanden mellom tallet -4 og et vilkårlig tall x. Skriv funksjonen med og uten absoluttverditegn.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Avstanden mellom x og -4 er |x-(-4)|=|x+4|. Uten absoluttverdi blir funksjonen a(x)=x+4 for x≥-4 og a(x)=-(x+4)=-x-4 for x<-4.

Fasit
a(x)=|x+4|.

Regel/huskeregel
Avstand mellom to tall a og b på tallinja er |a-b|.

Vanlige feil
Å skrive |x-4| når tallet er -4.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt bruk av avstandsformelen.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 4Absoluttverdilikning

Oppgave Eksempel 4 - Absoluttverdilikning

Løs |x-5|=7 både ved regning og ved tolkning på tallinja.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Likningen betyr at avstanden fra x til 5 er 7. Da ligger x enten 7 til venstre eller 7 til høyre for 5. Altså x=5-7=-2 eller x=5+7=12. Ved regning skriver vi x-5=7 eller x-5=-7.

Fasit
L={-2,12}.

Regel/huskeregel
|u|=a med a>0 gir u=a eller u=-a.

Vanlige feil
Å bare ta den positive løsningen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begge løsninger og forståelse av avstand.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 5Grenseverdi ved hull

Oppgave Eksempel 5 - Grenseverdi ved hull

La f(x)=4(x²-9)/(x-3), x≠3. Undersøk hva f(x) nærmer seg når x nærmer seg 3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer x²-9=(x-3)(x+3). For x≠3 kan vi forkorte x-3. Da er f(x)=4(x+3). Når x går mot 3, går 4(x+3) mot 24. Selv om f(3) ikke er definert, finnes grenseverdien.

Fasit
lim_{x->3} f(x)=24.

Regel/huskeregel
Ved grenseverdier kan vi ofte forkorte faktorer som gjør uttrykket udefinert i punktet.

Vanlige feil
Å sette x=3 direkte før uttrykket er forenklet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering, forkorting og tydelig grenseverdi.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 6Regneregler for grenseverdier

Oppgave Eksempel 6 - Regneregler for grenseverdier

Finn lim_{x->2}(3x+7)/(x²+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Polynomer og brøker med ikke-null nevner er kontinuerlige. Vi kan derfor sette inn x=2. Teller: 3·2+7=13. Nevner: 2²+1=5.

Fasit
13/5.

Regel/huskeregel
Hvis nevneren ikke går mot 0, kan vi sette inn grenseverdien direkte.

Vanlige feil
Å tro at alle brøker gir 0/0 ved grenseverdi.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontroll av nevner og riktig innsetting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 7Grenseverdi med faktorisering

Oppgave Eksempel 7 - Grenseverdi med faktorisering

Vis at lim_{x->4}(x²-16)/(x-4)=8.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Teller faktoriseres som (x-4)(x+4). For x≠4 er brøken lik x+4. Når x går mot 4, går x+4 mot 8.

Fasit
8.

Regel/huskeregel
Når vi får 0/0, prøver vi faktorisering eller konjugatsetning.

Vanlige feil
Å forkorte ledd i stedet for faktorer.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt faktorisering.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 8Ensidige grenseverdier

Oppgave Eksempel 8 - Ensidige grenseverdier

La u(x)=2x+1 for x<0 og u(x)=4-x for x>0. Finn de ensidige grenseverdiene når x går mot 0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Fra venstre bruker vi uttrykket 2x+1. Da går u(x) mot 1. Fra høyre bruker vi 4-x. Da går u(x) mot 4. Siden de ensidige grenseverdiene er ulike, finnes ikke den tosidige grenseverdien.

Fasit
lim_{x->0-}u(x)=1 og lim_{x->0+}u(x)=4.

Regel/huskeregel
Tosidig grenseverdi finnes bare når venstre og høyre grenseverdi er like.

Vanlige feil
Å blande funksjonsverdi med grenseverdi.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig side og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 9Grenseverdi mot uendelig

Oppgave Eksempel 9 - Grenseverdi mot uendelig

Finn lim_{x->∞}(2x²+5)/(7x²-x+3).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deler teller og nevner på x². Da får vi (2+5/x²)/(7-1/x+3/x²). Når x går mot uendelig, går brøkleddene mot 0.

Fasit
2/7.

Regel/huskeregel
For rasjonale funksjoner med samme grad i teller og nevner får vi forholdet mellom ledende koeffisienter.

Vanlige feil
Å bare sette inn uendelig som et tall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter deling på høyeste potens.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 10Eksponentialfunksjon og uendelig

Oppgave Eksempel 10 - Eksponentialfunksjon og uendelig

La f(x)=e^x. Undersøk hva som skjer når x går mot ∞ og -∞.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når x vokser, vokser e^x uten grense. Når x går mot -∞, er e^x=1/e^-x; nevneren går mot ∞, så uttrykket går mot 0.

Fasit
lim_{x->∞}e^x=∞ og lim_{x->-∞}e^x=0.

Regel/huskeregel
Eksponentialfunksjonen e^x er alltid positiv og har horisontal asymptote y=0 mot venstre.

Vanlige feil
Å tro at e^x kan bli negativ.

Sensor ser etter
Sensor ser etter retning og asymptote.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 11Logaritmefunksjon og grenser

Oppgave Eksempel 11 - Logaritmefunksjon og grenser

La g(x)=ln x. Undersøk x->0+ og x->∞.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når x går mot 0 fra høyre, må eksponenten i e^{ln x}=x gå mot -∞. Når x går mot ∞, går ln x mot ∞, men sakte.

Fasit
lim_{x->0+}ln x=-∞ og lim_{x->∞}ln x=∞.

Regel/huskeregel
ln x er bare definert for x>0.

Vanlige feil
Å skrive x->0 fra venstre for ln x, selv om funksjonen ikke er definert der.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde og ensidig grense.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 12Kontinuitet for sammensatt funksjon

Oppgave Eksempel 12 - Kontinuitet for sammensatt funksjon

Begrunn at h(x)=(ln x)²+2ln x-3 er kontinuerlig på definisjonsmengden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
ln x er kontinuerlig for x>0. Polynomfunksjonen p(u)=u²+2u-3 er kontinuerlig for alle u. Sammensetningen p(ln x) er derfor kontinuerlig for x>0.

Fasit
h er kontinuerlig for x>0.

Regel/huskeregel
Sammensetning av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig der sammensetningen er definert.

Vanlige feil
Å si at h er kontinuerlig på hele R, selv om ln x krever x>0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 13Kontinuitet i bruddpunkt

Oppgave Eksempel 13 - Kontinuitet i bruddpunkt

La f(x)=x-2 for x<3 og f(x)=x+1 for x≥3. Avgjør om f er kontinuerlig i x=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre grenseverdi er 3-2=1. Høyre grenseverdi er 3+1=4. Funksjonsverdien f(3)=4. Siden venstre og høyre grenseverdi er ulike, er funksjonen ikke kontinuerlig i x=3.

Fasit
Ikke kontinuerlig i x=3.

Regel/huskeregel
Kontinuitet krever lim_{x->a}f(x)=f(a).

Vanlige feil
Å bare sjekke f(3), uten venstre grenseverdi.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begge ensidige grenser og funksjonsverdi.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 14Grenseverdi med kontinuitet

Oppgave Eksempel 14 - Grenseverdi med kontinuitet

Finn lim_{x->4} 3x/(x-1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er rasjonal og nevneren er ikke null når x=4. Den er derfor kontinuerlig i 4. Vi setter inn: 3·4/(4-1)=12/3=4.

Fasit
4.

Regel/huskeregel
Kontinuerlige funksjoner kan evalueres ved direkte innsetting.

Vanlige feil
Å gjøre unødvendig faktorisering og skape feil.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevnersjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 15Diskontinuerlig praktisk modell

Oppgave Eksempel 15 - Diskontinuerlig praktisk modell

En treningsøkt består av løping i faste intervaller og pauser. Forklar hvorfor fart som funksjon av tid kan bli diskontinuerlig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når løperen hopper av møllen, går farten brått fra for eksempel 15 km/h til 0. Ved start av nytt drag hopper farten brått opp igjen. Slike hopp gjør at farten som funksjon av tid ikke er kontinuerlig.

Fasit
Farten har sprangdiskontinuiteter.

Regel/huskeregel
En funksjon er diskontinuerlig hvis den har hopp eller hull.

Vanlige feil
Å forvente at alle praktiske modeller må være glatte.

Sensor ser etter
Sensor ser etter praktisk tolkning av diskontinuitet.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 16Vertikale og horisontale asymptoter

Oppgave Eksempel 16 - Vertikale og horisontale asymptoter

Finn asymptotene til r(x)=6x²/(3x²-6x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer nevneren: 3x²-6x=3x(x-2). Nevneren er null ved x=0 og x=2. Disse er kandidater til vertikale asymptoter. Ingen faktor forkortes bort, så x=0 og x=2 er vertikale asymptoter. For x->±∞ er graden lik i teller og nevner, så horisontal asymptote er y=6/3=2.

Fasit
Vertikale: x=0 og x=2. Horisontal: y=2.

Regel/huskeregel
Vertikale asymptoter kommer ofte fra nullpunkter i nevneren. Horisontal asymptote ved lik grad er forholdet mellom ledende koeffisienter.

Vanlige feil
Å kalle et hull for vertikal asymptote etter forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og grense mot uendelig.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 17Asymptote for e-funksjon

Oppgave Eksempel 17 - Asymptote for e-funksjon

La f(x)=1/(e^x-1), x≠0. Finn asymptoter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når x går mot 0, går e^x-1 mot 0, så x=0 er vertikal asymptote. Når x->∞, går nevneren mot ∞, og f(x)->0. Dermed er y=0 horisontal asymptote mot høyre. Når x->-∞, går e^x mot 0, så nevneren går mot -1 og f(x)->-1. Dermed er y=-1 horisontal asymptote mot venstre.

Fasit
x=0, y=0 mot høyre og y=-1 mot venstre.

Regel/huskeregel
Asymptoter kan være ulike når x går mot ∞ og -∞.

Vanlige feil
Å tro at en funksjon bare kan ha én horisontal asymptote.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begge retninger.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 18Horisontal asymptote i modell

Oppgave Eksempel 18 - Horisontal asymptote i modell

En kake avkjøles etter modellen T(t)=190e^-0,35t+22. Hva er den horisontale asymptoten, og hva betyr den?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når t går mot uendelig, går e^-0,35t mot 0. Da går T(t) mot 22. Den horisontale asymptoten er y=22, som kan tolkes som romtemperaturen kakene nærmer seg.

Fasit
y=22.

Regel/huskeregel
I modeller av typen ae^-kt+c er c langtidverdien.

Vanlige feil
Å tro at temperaturen blir 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter matematisk grense og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave Eksempel 19Skrå asymptote

Oppgave Eksempel 19 - Skrå asymptote

Vis at y=x er en skrå asymptote for f(x)=(x²+2)/x når x->±∞.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi ser på differansen f(x)-x=(x²+2)/x - x = (x²+2-x²)/x=2/x. Når x går mot ±∞, går 2/x mot 0. Dermed nærmer grafen seg linja y=x.

Fasit
y=x er skrå asymptote.

Regel/huskeregel
y=ax+b er skrå asymptote hvis f(x)-(ax+b)->0.

Vanlige feil
Å sammenlikne f(x) med x bare i ett punkt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter differanse og grenseverdi.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgaver 2.1-2.72

Oppgave 2.1Funksjon med delt forskrift

Oppgave 2.1 - Funksjon med delt forskrift

Funksjonen f tredobler alle tall mindre enn null, og tar kvadratroten av alle tall som er større enn eller lik null. Skriv f med delt forskrift og forklar definisjonsmengden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
For x<0 bruker vi f(x)=3x. For x≥0 bruker vi f(x)=sqrt(x). Begge uttrykkene har mening i sine intervaller, og intervallene dekker hele R.

Fasit
f(x)=3x for x<0 og f(x)=sqrt(x) for x≥0. D_f=R.

Regel/huskeregel
Delt forskrift betyr at ulike uttrykk gjelder i ulike intervaller.

Vanlige feil
Å bruke sqrt(x) også for negative x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt intervall og definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.2Tre delt funksjon

Oppgave 2.2 - Tre delt funksjon

Funksjonen f er gitt ved 2x+4 for x<-2, x² for -2≤x<1 og 3 for x≥1. Finn bruddpunktene og marker hvilken del som gjelder i punktene.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Uttrykket skifter ved x=-2 og x=1. Ved x=-2 gjelder den midterste delen, fordi intervallet er -2≤x<1. Ved x=1 gjelder den siste delen, fordi x≥1.

Fasit
Bruddpunkter: x=-2 og x=1.

Regel/huskeregel
Se på ulikhetstegnene for å vite hvilken del som gjelder i selve bruddpunktet.

Vanlige feil
Å anta at begge uttrykk gjelder samtidig.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt lesing av intervallene.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.3Tegn delt graf

Oppgave 2.3 - Tegn delt graf

Tegn grafen til g(x)=x+3 for x<-1, og g(x)=2-x for x≥-1. Avgjør om grafen har hopp.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre grense ved -1 er -1+3=2. Funksjonsverdien og høyre verdi er 2-(-1)=3. Siden verdiene er ulike, har grafen et hopp i x=-1.

Fasit
Grafen har hopp i x=-1.

Regel/huskeregel
Sammenlikn venstre grense og funksjonsverdi/høyre grense i bruddpunktet.

Vanlige feil
Å tegne begge punkter fylt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grafmarkering med åpent/lukket punkt.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.4Absoluttverdi uten tegn

Oppgave 2.4 - Absoluttverdi uten tegn

Skriv k(x)=|3x-6| uten absoluttverditegn, finn bruddpunktet og skisser grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning
3x-6=0 gir x=2. For x≥2 er k(x)=3x-6. For x<2 er k(x)=-(3x-6)=-3x+6.

Fasit
k(x)=3x-6 for x≥2, -3x+6 for x<2. Bruddpunkt x=2.

Regel/huskeregel
|u|=u når u≥0 og |u|=-u når u<0.

Vanlige feil
Å sette bruddpunktet til -2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter løsning av 3x-6=0.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.5Avstandsfunksjon

Oppgave 2.5 - Avstandsfunksjon

Finn en funksjon som gir avstanden mellom -5 og x på tallinja. Skriv den både med og uten absoluttverditegn.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Avstanden er |x-(-5)|=|x+5|. Uten absoluttverdi: x+5 for x≥-5 og -x-5 for x<-5.

Fasit
a(x)=|x+5|.

Regel/huskeregel
Avstand mellom tall a og b er |a-b|.

Vanlige feil
Å skrive |x-5| når punktet er -5.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sammenheng med tallinja.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.6Absoluttverdilikning

Oppgave 2.6 - Absoluttverdilikning

Løs |x+4|=9 og forklar grafisk.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Likningen betyr at x har avstand 9 fra -4. Derfor er x=-4-9=-13 eller x=-4+9=5. Grafisk er dette skjæringspunktene mellom y=|x+4| og y=9.

Fasit
L={-13,5}.

Regel/huskeregel
|u|=a gir u=a eller u=-a når a>0.

Vanlige feil
Å bare finne x=5.

Sensor ser etter
Sensor ser etter to løsninger.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.7Røde oppgaver: bruddpunkt

Oppgave 2.7 - Røde oppgaver: bruddpunkt

Finn bruddpunkt og tegn grafen til f(x)=0 for x<1 og f(x)=2 for x≥1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonsuttrykket skifter ved x=1. Grafen er en horisontal linje y=0 til venstre for 1, med åpent punkt ved x=1, og y=2 fra og med x=1, med lukket punkt.

Fasit
Bruddpunkt x=1.

Regel/huskeregel
Sprangfunksjoner tegnes med åpne og lukkede punkter.

Vanlige feil
Å forbinde de to horisontale delene med en skrå linje.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt grafmarkering.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.8Les av delt graf

Oppgave 2.8 - Les av delt graf

En delt graf består av linja y=x+2 for -2≤x<1 og linja y=4 for 1≤x≤5. Finn definisjonsmengde, verdimengde og løs f(x)=4.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definisjonsmengden er [-2,5]. Første del gir y fra 0 opp mot 3, men ikke 3. Andre del gir y=4. Verdimengden er [0,3)∪{4}. Likningen f(x)=4 gjelder på hele intervallet [1,5].

Fasit
D=[-2,5], V=[0,3)∪{4}, løsning [1,5].

Regel/huskeregel
Les av x-verdier for definisjonsmengde og y-verdier for verdimengde.

Vanlige feil
Å ta med y=3 selv om punktet er åpent.

Sensor ser etter
Sensor ser etter intervallnotasjon og graflesing.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.9Praktisk delt funksjon

Oppgave 2.9 - Praktisk delt funksjon

En billett koster 0 kr for alder 0-2, 320 kr for alder 3-15 og 410 kr fra 16 år. Skriv prisfunksjonen b(x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi lar x være alder i år. Da er b(x)=0 for 0≤x<3, b(x)=320 for 3≤x<16 og b(x)=410 for x≥16. I en praktisk modell kan vi sette D=[0,∞).

Fasit
b(x)=0, 320 eller 410 etter alder.

Regel/huskeregel
Trappetrinnspriser modelleres med delt forskrift.

Vanlige feil
Å bruke x som pris i stedet for alder.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig aldersintervall.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.10Parameter i delt funksjon

Oppgave 2.10 - Parameter i delt funksjon

La f(x)=x²+1 for x≤2 og f(x)=3x+b for x>2. Finn b slik at funksjonsuttrykkene møtes i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre verdi ved 2 er 2²+1=5. Høyre uttrykk ved 2 er 3·2+b=6+b. Vi krever 6+b=5, altså b=-1.

Fasit
b=-1.

Regel/huskeregel
For at grafen skal henge sammen i bruddpunktet, må venstre og høyre uttrykk gi samme verdi.

Vanlige feil
Å sette b lik funksjonsverdien direkte.

Sensor ser etter
Sensor ser etter likningen 6+b=5.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.11Brøk og absoluttverdi

Oppgave 2.11 - Brøk og absoluttverdi

Skriv f(x)=x/|x| uten absoluttverdi og finn definisjonsmengde.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren |x| kan ikke være 0, så x≠0. Hvis x>0, er |x|=x og f(x)=1. Hvis x<0, er |x|=-x og f(x)=-1.

Fasit
f(x)=-1 for x<0, f(x)=1 for x>0, D=R\{0}.

Regel/huskeregel
Sjekk nevner før du forenkler.

Vanlige feil
Å definere f(0).

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde og delt uttrykk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.12Vis sqrt(x²)=|x|

Oppgave 2.12 - Vis sqrt(x²)=|x|

Forklar hvorfor sqrt(x²)=|x| for alle reelle x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Hvis x≥0, er sqrt(x²)=x, og |x|=x. Hvis x<0, er sqrt(x²) det positive tallet som ganget med seg selv gir x², altså -x. Samtidig er |x|=-x. Derfor er uttrykkene like for alle x.

Fasit
sqrt(x²)=|x|.

Regel/huskeregel
Kvadratrottegnet gir den ikke-negative roten.

Vanlige feil
Å skrive sqrt(x²)=x uten vilkår.

Sensor ser etter
Sensor ser etter todeling i x≥0 og x<0.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.13Grenseverdi med tabell

Oppgave 2.13 - Grenseverdi med tabell

Lag en tabell for f(x)=(x²-9)/(x-3) når x nærmer seg 3, og finn grenseverdien.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer x²-9=(x-3)(x+3). For x≠3 er f(x)=x+3. Når x nærmer seg 3, nærmer f(x) seg 6. Tabellen vil derfor vise verdier nær 6.

Fasit
6.

Regel/huskeregel
Bruk tabell for å oppdage grensen, men faktoriser for å forklare den.

Vanlige feil
Å sette inn x=a før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både numerisk og algebraisk begrunnelse.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.14Grenseverdi med tabell

Oppgave 2.14 - Grenseverdi med tabell

Lag en tabell for f(x)=(x²-16)/(x-4) når x nærmer seg 4, og finn grenseverdien.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi faktoriserer x²-16=(x-4)(x+4). For x≠4 er f(x)=x+4. Når x nærmer seg 4, nærmer f(x) seg 8. Tabellen vil derfor vise verdier nær 8.

Fasit
8.

Regel/huskeregel
Bruk tabell for å oppdage grensen, men faktoriser for å forklare den.

Vanlige feil
Å sette inn x=a før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både numerisk og algebraisk begrunnelse.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.15Direkte grenseverdi

Oppgave 2.15 - Direkte grenseverdi

Finn lim_{x->3} (2x²+3x-1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Polynomfunksjoner er kontinuerlige. Vi setter inn x=3: 2·3²+3·3-1=26.

Fasit
26.

Regel/huskeregel
For polynomer kan vi sette inn verdien direkte.

Vanlige feil
Å prøve å forkorte uten grunn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter enkel, korrekt innsetting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.16Direkte grenseverdi

Oppgave 2.16 - Direkte grenseverdi

Finn lim_{x->4} (2x²+3x-1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Polynomfunksjoner er kontinuerlige. Vi setter inn x=4: 2·4²+3·4-1=43.

Fasit
43.

Regel/huskeregel
For polynomer kan vi sette inn verdien direkte.

Vanlige feil
Å prøve å forkorte uten grunn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter enkel, korrekt innsetting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.17Brøkgrense uten problem

Oppgave 2.17 - Brøkgrense uten problem

Finn lim_{x->2} (2x+3)/(x+4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren går mot 6, som ikke er 0. Vi kan sette inn: (2·2+3)/(2+4)=7/6.

Fasit
7/6.

Regel/huskeregel
Rasjonal funksjon er kontinuerlig der nevneren ikke er null.

Vanlige feil
Å gjøre 0/0-metode når nevneren ikke er 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevnersjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.18Brøkgrense uten problem

Oppgave 2.18 - Brøkgrense uten problem

Finn lim_{x->3} (2x+3)/(x+4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren går mot 7, som ikke er 0. Vi kan sette inn: (2·3+3)/(3+4)=9/7.

Fasit
9/7.

Regel/huskeregel
Rasjonal funksjon er kontinuerlig der nevneren ikke er null.

Vanlige feil
Å gjøre 0/0-metode når nevneren ikke er 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevnersjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.19Faktoriser og forkort

Oppgave 2.19 - Faktoriser og forkort

Finn lim_{x->2} (x²-4)/(x-2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Telleren faktoriseres som (x-2)(x+2). For x≠2 kan vi forkorte. Grenseverdien blir lim_{x->2}(x+2)=4.

Fasit
4.

Regel/huskeregel
0/0 uttrykk kan ofte forenkles ved faktorisering.

Vanlige feil
Å forkorte x-ledd som ikke er faktorer.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.20Faktoriser og forkort

Oppgave 2.20 - Faktoriser og forkort

Finn lim_{x->3} (x²-9)/(x-3).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Telleren faktoriseres som (x-3)(x+3). For x≠3 kan vi forkorte. Grenseverdien blir lim_{x->3}(x+3)=6.

Fasit
6.

Regel/huskeregel
0/0 uttrykk kan ofte forenkles ved faktorisering.

Vanlige feil
Å forkorte x-ledd som ikke er faktorer.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.21Konjugatsetning

Oppgave 2.21 - Konjugatsetning

Finn lim_{x->3} (sqrt(x+4)-sqrt(7))/(x-3).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi ganger med konjugatet. Telleren blir (x+4)-(7)=x-3. Etter forkorting står 1/(sqrt(x+4)+sqrt(7)). Når x->3, får vi 1/(2sqrt(7)).

Fasit
1/(2sqrt(7)).

Regel/huskeregel
Ved røtter bruker vi ofte konjugatsetningen.

Vanlige feil
Å glemme å gange både teller og nevner med konjugatet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig konjugat og forkorting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.22Konjugatsetning

Oppgave 2.22 - Konjugatsetning

Finn lim_{x->4} (sqrt(x+5)-sqrt(9))/(x-4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi ganger med konjugatet. Telleren blir (x+5)-(9)=x-4. Etter forkorting står 1/(sqrt(x+5)+sqrt(9)). Når x->4, får vi 1/(2sqrt(9)).

Fasit
1/(2sqrt(9)).

Regel/huskeregel
Ved røtter bruker vi ofte konjugatsetningen.

Vanlige feil
Å glemme å gange både teller og nevner med konjugatet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig konjugat og forkorting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.23Ensidige grenseverdier

Oppgave 2.23 - Ensidige grenseverdier

La f(x)=x+1 for x<2 og f(x)=5-x for x>2. Finn ensidige grenser når x->2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Fra venstre bruker vi x+1, som gir 3. Fra høyre bruker vi 5-x, som gir 3. Hvis disse er like finnes tosidig grense, ellers ikke.

Fasit
Venstre: 3, høyre: 3.

Regel/huskeregel
Venstre og høyre grense må være like for at tosidig grense skal finnes.

Vanlige feil
Å bruke feil uttrykk på feil side.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sideanalyse.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.24Ensidige grenseverdier

Oppgave 2.24 - Ensidige grenseverdier

La f(x)=x+1 for x<3 og f(x)=5-x for x>3. Finn ensidige grenser når x->3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Fra venstre bruker vi x+1, som gir 4. Fra høyre bruker vi 5-x, som gir 2. Hvis disse er like finnes tosidig grense, ellers ikke.

Fasit
Venstre: 4, høyre: 2.

Regel/huskeregel
Venstre og høyre grense må være like for at tosidig grense skal finnes.

Vanlige feil
Å bruke feil uttrykk på feil side.

Sensor ser etter
Sensor ser etter sideanalyse.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.25Grense mot uendelig

Oppgave 2.25 - Grense mot uendelig

Finn lim_{x->∞} (5x²+3x-1)/(7x²-x+5).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deler på x². Alle ledd med 1/x og 1/x² går mot 0. Grensen blir forholdet mellom ledende koeffisienter: 5/7.

Fasit
5/7.

Regel/huskeregel
Ved samme grad i teller og nevner er grensen forholdet mellom ledende koeffisienter.

Vanlige feil
Å bruke konstantleddene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter deling på høyeste potens.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.26Grense mot uendelig

Oppgave 2.26 - Grense mot uendelig

Finn lim_{x->∞} (6x²+3x-1)/(8x²-x+5).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deler på x². Alle ledd med 1/x og 1/x² går mot 0. Grensen blir forholdet mellom ledende koeffisienter: 6/8.

Fasit
6/8.

Regel/huskeregel
Ved samme grad i teller og nevner er grensen forholdet mellom ledende koeffisienter.

Vanlige feil
Å bruke konstantleddene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter deling på høyeste potens.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.27Uendelig og vekst

Oppgave 2.27 - Uendelig og vekst

Finn lim_{x->∞} (x³+2)/(3x²+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Høyeste grad i teller er én større enn i nevner. Uttrykket vokser omtrent som x/3, og går derfor mot uendelig når x->∞.

Fasit
∞.

Regel/huskeregel
Hvis teller har høyere grad enn nevner, kan uttrykket gå mot ±∞.

Vanlige feil
Å bruke forholdet mellom koeffisienter selv om gradene er ulike.

Sensor ser etter
Sensor ser etter gradssammenlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.28Uendelig og vekst

Oppgave 2.28 - Uendelig og vekst

Finn lim_{x->∞} (x⁴+2)/(3x³+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Høyeste grad i teller er én større enn i nevner. Uttrykket vokser omtrent som x/3, og går derfor mot uendelig når x->∞.

Fasit
∞.

Regel/huskeregel
Hvis teller har høyere grad enn nevner, kan uttrykket gå mot ±∞.

Vanlige feil
Å bruke forholdet mellom koeffisienter selv om gradene er ulike.

Sensor ser etter
Sensor ser etter gradssammenlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.29Kontinuitet i punkt

Oppgave 2.29 - Kontinuitet i punkt

Avgjør om f(x)=(x²+1)/(x+2) er kontinuerlig i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Rasjonale funksjoner er kontinuerlige der nevneren ikke er null. Nevneren ved x=1 er 1+2=3, som ikke er 0. Derfor er f kontinuerlig i x=1.

Fasit
Kontinuerlig i punktet.

Regel/huskeregel
Sjekk nevneren for rasjonale funksjoner.

Vanlige feil
Å automatisk tro at brøkfunksjoner er diskontinuerlige.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevnersjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.30Kontinuitet i punkt

Oppgave 2.30 - Kontinuitet i punkt

Avgjør om f(x)=(x²+2)/(x+3) er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Rasjonale funksjoner er kontinuerlige der nevneren ikke er null. Nevneren ved x=2 er 2+3=5, som ikke er 0. Derfor er f kontinuerlig i x=2.

Fasit
Kontinuerlig i punktet.

Regel/huskeregel
Sjekk nevneren for rasjonale funksjoner.

Vanlige feil
Å automatisk tro at brøkfunksjoner er diskontinuerlige.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevnersjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.31Kontinuitet i punkt

Oppgave 2.31 - Kontinuitet i punkt

Avgjør om f(x)=(x²+3)/(x+4) er kontinuerlig i x=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Rasjonale funksjoner er kontinuerlige der nevneren ikke er null. Nevneren ved x=3 er 3+4=7, som ikke er 0. Derfor er f kontinuerlig i x=3.

Fasit
Kontinuerlig i punktet.

Regel/huskeregel
Sjekk nevneren for rasjonale funksjoner.

Vanlige feil
Å automatisk tro at brøkfunksjoner er diskontinuerlige.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevnersjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.32Parameter for kontinuitet

Oppgave 2.32 - Parameter for kontinuitet

La f(x)=x²+1 for x≤2 og f(x)=1x+c for x>2. Finn c slik at f er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre verdi er 2²+1=5. Høyre uttrykk ved 2 er 1·2+c=2+c. Vi krever 2+c=5. Dermed c=3.

Fasit
c=3.

Regel/huskeregel
Kontinuitet i bruddpunkt krever like ensidige grenser og riktig funksjonsverdi.

Vanlige feil
Å glemme å sette x=2 i begge uttrykk.

Sensor ser etter
Sensor ser etter likning for c.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.33Parameter for kontinuitet

Oppgave 2.33 - Parameter for kontinuitet

La f(x)=x²+2 for x≤2 og f(x)=3x+c for x>2. Finn c slik at f er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre verdi er 2²+2=6. Høyre uttrykk ved 2 er 3·2+c=6+c. Vi krever 6+c=6. Dermed c=0.

Fasit
c=0.

Regel/huskeregel
Kontinuitet i bruddpunkt krever like ensidige grenser og riktig funksjonsverdi.

Vanlige feil
Å glemme å sette x=2 i begge uttrykk.

Sensor ser etter
Sensor ser etter likning for c.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.34Parameter for kontinuitet

Oppgave 2.34 - Parameter for kontinuitet

La f(x)=x²+3 for x≤2 og f(x)=5x+c for x>2. Finn c slik at f er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre verdi er 2²+3=7. Høyre uttrykk ved 2 er 5·2+c=10+c. Vi krever 10+c=7. Dermed c=-3.

Fasit
c=-3.

Regel/huskeregel
Kontinuitet i bruddpunkt krever like ensidige grenser og riktig funksjonsverdi.

Vanlige feil
Å glemme å sette x=2 i begge uttrykk.

Sensor ser etter
Sensor ser etter likning for c.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.35Sammensatt kontinuitet

Oppgave 2.35 - Sammensatt kontinuitet

Begrunn at h(x)=e^x²-3x+ln(x+5) er kontinuerlig på definisjonsmengden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Polynomet x²-3x er kontinuerlig, og e^u er kontinuerlig for alle u. ln(x+5) er kontinuerlig når x+5>0, altså x>-5. Summen er derfor kontinuerlig for x>-5.

Fasit
Kontinuerlig for x>-5.

Regel/huskeregel
Sum og sammensetning av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige der de er definert.

Vanlige feil
Å si hele R uten å sjekke logaritmen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.36Sammensatt kontinuitet

Oppgave 2.36 - Sammensatt kontinuitet

Begrunn at h(x)=e^x²-3x+ln(x+5) er kontinuerlig på definisjonsmengden.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Polynomet x²-3x er kontinuerlig, og e^u er kontinuerlig for alle u. ln(x+5) er kontinuerlig når x+5>0, altså x>-5. Summen er derfor kontinuerlig for x>-5.

Fasit
Kontinuerlig for x>-5.

Regel/huskeregel
Sum og sammensetning av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige der de er definert.

Vanlige feil
Å si hele R uten å sjekke logaritmen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmengde.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.37Kontinuitet og hull

Oppgave 2.37 - Kontinuitet og hull

La f(x)=(x²-1)/(x-1) for x≠1. Kan f defineres i x=1 slik at den blir kontinuerlig?

Vis løsning

Trinnvis løsning
For x≠1 er f(x)=x+1. Grenseverdien når x->1 er 2. Hvis vi definerer f(1)=2, blir funksjonen kontinuerlig i x=1.

Fasit
Ja, sett f(1)=2.

Regel/huskeregel
Et hull kan fylles hvis grenseverdien finnes.

Vanlige feil
Å sette f(a)=0 bare fordi uttrykket opprinnelig gir 0/0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og ny definisjon.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.38Kontinuitet og hull

Oppgave 2.38 - Kontinuitet og hull

La f(x)=(x²-4)/(x-2) for x≠2. Kan f defineres i x=2 slik at den blir kontinuerlig?

Vis løsning

Trinnvis løsning
For x≠2 er f(x)=x+2. Grenseverdien når x->2 er 4. Hvis vi definerer f(2)=4, blir funksjonen kontinuerlig i x=2.

Fasit
Ja, sett f(2)=4.

Regel/huskeregel
Et hull kan fylles hvis grenseverdien finnes.

Vanlige feil
Å sette f(a)=0 bare fordi uttrykket opprinnelig gir 0/0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og ny definisjon.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.39Kontinuitet og hull

Oppgave 2.39 - Kontinuitet og hull

La f(x)=(x²-9)/(x-3) for x≠3. Kan f defineres i x=3 slik at den blir kontinuerlig?

Vis løsning

Trinnvis løsning
For x≠3 er f(x)=x+3. Grenseverdien når x->3 er 6. Hvis vi definerer f(3)=6, blir funksjonen kontinuerlig i x=3.

Fasit
Ja, sett f(3)=6.

Regel/huskeregel
Et hull kan fylles hvis grenseverdien finnes.

Vanlige feil
Å sette f(a)=0 bare fordi uttrykket opprinnelig gir 0/0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og ny definisjon.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.40Vertikal asymptote

Oppgave 2.40 - Vertikal asymptote

Finn vertikal asymptote for f(x)=(x+1)/(x-2).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren er null når x=2. Telleren er da 2+1, som ikke er 0. Derfor går funksjonen mot ±∞ nær x=2, og x=2 er vertikal asymptote.

Fasit
x=2.

Regel/huskeregel
Vertikal asymptote oppstår ofte når nevneren går mot 0 og telleren ikke gjør det.

Vanlige feil
Å kalle x-aksen vertikal asymptote.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevner-null og teller-sjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.41Vertikal asymptote

Oppgave 2.41 - Vertikal asymptote

Finn vertikal asymptote for f(x)=(x+1)/(x-3).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren er null når x=3. Telleren er da 3+1, som ikke er 0. Derfor går funksjonen mot ±∞ nær x=3, og x=3 er vertikal asymptote.

Fasit
x=3.

Regel/huskeregel
Vertikal asymptote oppstår ofte når nevneren går mot 0 og telleren ikke gjør det.

Vanlige feil
Å kalle x-aksen vertikal asymptote.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevner-null og teller-sjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.42Vertikal asymptote

Oppgave 2.42 - Vertikal asymptote

Finn vertikal asymptote for f(x)=(x+1)/(x-4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren er null når x=4. Telleren er da 4+1, som ikke er 0. Derfor går funksjonen mot ±∞ nær x=4, og x=4 er vertikal asymptote.

Fasit
x=4.

Regel/huskeregel
Vertikal asymptote oppstår ofte når nevneren går mot 0 og telleren ikke gjør det.

Vanlige feil
Å kalle x-aksen vertikal asymptote.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevner-null og teller-sjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.43Vertikal asymptote

Oppgave 2.43 - Vertikal asymptote

Finn vertikal asymptote for f(x)=(x+1)/(x-5).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren er null når x=5. Telleren er da 5+1, som ikke er 0. Derfor går funksjonen mot ±∞ nær x=5, og x=5 er vertikal asymptote.

Fasit
x=5.

Regel/huskeregel
Vertikal asymptote oppstår ofte når nevneren går mot 0 og telleren ikke gjør det.

Vanlige feil
Å kalle x-aksen vertikal asymptote.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevner-null og teller-sjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.44Vertikal asymptote

Oppgave 2.44 - Vertikal asymptote

Finn vertikal asymptote for f(x)=(x+1)/(x-6).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Nevneren er null når x=6. Telleren er da 6+1, som ikke er 0. Derfor går funksjonen mot ±∞ nær x=6, og x=6 er vertikal asymptote.

Fasit
x=6.

Regel/huskeregel
Vertikal asymptote oppstår ofte når nevneren går mot 0 og telleren ikke gjør det.

Vanlige feil
Å kalle x-aksen vertikal asymptote.

Sensor ser etter
Sensor ser etter nevner-null og teller-sjekk.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.45Horisontal asymptote

Oppgave 2.45 - Horisontal asymptote

Finn horisontal asymptote for f(x)=(2x²+2x+1)/(5x²-x+4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Når x->±∞, går funksjonen mot forholdet mellom ledende koeffisienter, altså 2/5.

Fasit
y=2/5.

Regel/huskeregel
Lik grad i teller og nevner gir horisontal asymptote y=ledende koeffisient-forhold.

Vanlige feil
Å bruke konstantleddene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter gradssammenlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.46Horisontal asymptote

Oppgave 2.46 - Horisontal asymptote

Finn horisontal asymptote for f(x)=(3x²+2x+1)/(6x²-x+4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Når x->±∞, går funksjonen mot forholdet mellom ledende koeffisienter, altså 3/6.

Fasit
y=3/6.

Regel/huskeregel
Lik grad i teller og nevner gir horisontal asymptote y=ledende koeffisient-forhold.

Vanlige feil
Å bruke konstantleddene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter gradssammenlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.47Horisontal asymptote

Oppgave 2.47 - Horisontal asymptote

Finn horisontal asymptote for f(x)=(4x²+2x+1)/(7x²-x+4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Når x->±∞, går funksjonen mot forholdet mellom ledende koeffisienter, altså 4/7.

Fasit
y=4/7.

Regel/huskeregel
Lik grad i teller og nevner gir horisontal asymptote y=ledende koeffisient-forhold.

Vanlige feil
Å bruke konstantleddene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter gradssammenlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.48Horisontal asymptote

Oppgave 2.48 - Horisontal asymptote

Finn horisontal asymptote for f(x)=(5x²+2x+1)/(8x²-x+4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Når x->±∞, går funksjonen mot forholdet mellom ledende koeffisienter, altså 5/8.

Fasit
y=5/8.

Regel/huskeregel
Lik grad i teller og nevner gir horisontal asymptote y=ledende koeffisient-forhold.

Vanlige feil
Å bruke konstantleddene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter gradssammenlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.49Hull eller asymptote

Oppgave 2.49 - Hull eller asymptote

Undersøk f(x)=((x-2)(x+2))/(x-2). Har grafen hull eller vertikal asymptote ved x=2?

Vis løsning

Trinnvis løsning
For x≠2 kan vi forkorte x-2, og funksjonen er lik x+2. Siden faktoren forkortes bort, får vi et hull, ikke en vertikal asymptote. Hullet ligger ved y=4.

Fasit
Hull i ({a},{a+2}), ikke vertikal asymptote.

Regel/huskeregel
Faktor som kan forkortes bort gir hull. Faktor som blir igjen i nevner gir asymptote.

Vanlige feil
Å si vertikal asymptote bare fordi opprinnelig nevner er 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og forkorting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.50Hull eller asymptote

Oppgave 2.50 - Hull eller asymptote

Undersøk f(x)=((x-3)(x+2))/(x-3). Har grafen hull eller vertikal asymptote ved x=3?

Vis løsning

Trinnvis løsning
For x≠3 kan vi forkorte x-3, og funksjonen er lik x+2. Siden faktoren forkortes bort, får vi et hull, ikke en vertikal asymptote. Hullet ligger ved y=5.

Fasit
Hull i ({a},{a+2}), ikke vertikal asymptote.

Regel/huskeregel
Faktor som kan forkortes bort gir hull. Faktor som blir igjen i nevner gir asymptote.

Vanlige feil
Å si vertikal asymptote bare fordi opprinnelig nevner er 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og forkorting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.51Hull eller asymptote

Oppgave 2.51 - Hull eller asymptote

Undersøk f(x)=((x-4)(x+2))/(x-4). Har grafen hull eller vertikal asymptote ved x=4?

Vis løsning

Trinnvis løsning
For x≠4 kan vi forkorte x-4, og funksjonen er lik x+2. Siden faktoren forkortes bort, får vi et hull, ikke en vertikal asymptote. Hullet ligger ved y=6.

Fasit
Hull i ({a},{a+2}), ikke vertikal asymptote.

Regel/huskeregel
Faktor som kan forkortes bort gir hull. Faktor som blir igjen i nevner gir asymptote.

Vanlige feil
Å si vertikal asymptote bare fordi opprinnelig nevner er 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter faktorisering og forkorting.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.52Eksponentialmodell og asymptote

Oppgave 2.52 - Eksponentialmodell og asymptote

En temperaturmodell er T(t)=200e^-0,4t+20. Finn horisontal asymptote og tolk den.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når t->∞, går e^-0,4t mot 0. Da går T(t) mot 20. Asymptoten er y=20, og dette kan tolkes som omgivelsestemperaturen.

Fasit
y=20.

Regel/huskeregel
I ae^-kt+c er c langtidverdien.

Vanlige feil
Å tro at modellen går mot 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter matematisk og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.53Eksponentialmodell og asymptote

Oppgave 2.53 - Eksponentialmodell og asymptote

En temperaturmodell er T(t)=210e^-0,5t+21. Finn horisontal asymptote og tolk den.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når t->∞, går e^-0,5t mot 0. Da går T(t) mot 21. Asymptoten er y=21, og dette kan tolkes som omgivelsestemperaturen.

Fasit
y=21.

Regel/huskeregel
I ae^-kt+c er c langtidverdien.

Vanlige feil
Å tro at modellen går mot 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter matematisk og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.54Eksponentialmodell og asymptote

Oppgave 2.54 - Eksponentialmodell og asymptote

En temperaturmodell er T(t)=220e^-0,6t+22. Finn horisontal asymptote og tolk den.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når t->∞, går e^-0,6t mot 0. Da går T(t) mot 22. Asymptoten er y=22, og dette kan tolkes som omgivelsestemperaturen.

Fasit
y=22.

Regel/huskeregel
I ae^-kt+c er c langtidverdien.

Vanlige feil
Å tro at modellen går mot 0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter matematisk og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.55Skrå asymptote

Oppgave 2.55 - Skrå asymptote

Vis at y=x+1 er skrå asymptote for f(x)=(x²+1x+1)/x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi skriver f(x)=x+1+1/x. Differansen f(x)-(x+1)=1/x går mot 0 når x->±∞. Derfor er y=x+1 skrå asymptote.

Fasit
y=x+1.

Regel/huskeregel
Skrå asymptote y=ax+b: f(x)-(ax+b)->0.

Vanlige feil
Å bruke horisontal asymptote når tellergraden er én høyere enn nevnergraden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og grense for differansen.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.56Skrå asymptote

Oppgave 2.56 - Skrå asymptote

Vis at y=x+2 er skrå asymptote for f(x)=(x²+2x+1)/x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi skriver f(x)=x+2+1/x. Differansen f(x)-(x+2)=1/x går mot 0 når x->±∞. Derfor er y=x+2 skrå asymptote.

Fasit
y=x+2.

Regel/huskeregel
Skrå asymptote y=ax+b: f(x)-(ax+b)->0.

Vanlige feil
Å bruke horisontal asymptote når tellergraden er én høyere enn nevnergraden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og grense for differansen.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.57Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

Oppgave 2.57 - Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

La f(x)=|x-1|/(x-1) for x≠1. Skriv f med delt forskrift og vurder grenseverdien når x->1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Hvis x>1, er |x-1|=x-1, så f(x)=1. Hvis x<1, er |x-1|=-(x-1), så f(x)=-1. Venstre grense er -1 og høyre grense er 1. De er ulike, så grenseverdien finnes ikke.

Fasit
f(x)=-1 for x<1, f(x)=1 for x>1. Grenseverdi finnes ikke.

Regel/huskeregel
Absoluttverdi må ofte deles i intervaller.

Vanlige feil
Å forkorte uten å ta hensyn til fortegn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidige grenser.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.58Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

Oppgave 2.58 - Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

La f(x)=|x-2|/(x-2) for x≠2. Skriv f med delt forskrift og vurder grenseverdien når x->2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Hvis x>2, er |x-2|=x-2, så f(x)=1. Hvis x<2, er |x-2|=-(x-2), så f(x)=-1. Venstre grense er -1 og høyre grense er 1. De er ulike, så grenseverdien finnes ikke.

Fasit
f(x)=-1 for x<2, f(x)=1 for x>2. Grenseverdi finnes ikke.

Regel/huskeregel
Absoluttverdi må ofte deles i intervaller.

Vanlige feil
Å forkorte uten å ta hensyn til fortegn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidige grenser.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.59Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

Oppgave 2.59 - Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

La f(x)=|x-3|/(x-3) for x≠3. Skriv f med delt forskrift og vurder grenseverdien når x->3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Hvis x>3, er |x-3|=x-3, så f(x)=1. Hvis x<3, er |x-3|=-(x-3), så f(x)=-1. Venstre grense er -1 og høyre grense er 1. De er ulike, så grenseverdien finnes ikke.

Fasit
f(x)=-1 for x<3, f(x)=1 for x>3. Grenseverdi finnes ikke.

Regel/huskeregel
Absoluttverdi må ofte deles i intervaller.

Vanlige feil
Å forkorte uten å ta hensyn til fortegn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidige grenser.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.60Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

Oppgave 2.60 - Blandet: absoluttverdi og kontinuitet

La f(x)=|x-4|/(x-4) for x≠4. Skriv f med delt forskrift og vurder grenseverdien når x->4.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Hvis x>4, er |x-4|=x-4, så f(x)=1. Hvis x<4, er |x-4|=-(x-4), så f(x)=-1. Venstre grense er -1 og høyre grense er 1. De er ulike, så grenseverdien finnes ikke.

Fasit
f(x)=-1 for x<4, f(x)=1 for x>4. Grenseverdi finnes ikke.

Regel/huskeregel
Absoluttverdi må ofte deles i intervaller.

Vanlige feil
Å forkorte uten å ta hensyn til fortegn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidige grenser.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.61Blandet: rasjonal funksjon

Oppgave 2.61 - Blandet: rasjonal funksjon

Finn eventuelle hull, vertikale asymptoter og horisontal asymptote for f(x)=((x-1)(2x+3))/((x-1)(x+2)).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Faktoren x-1 forkortes bort, så x=1 gir hull. Etter forkorting er f(x)=(2x+3)/(x+2). Vertikal asymptote er x=-2. Gradene er like, så horisontal asymptote er y=2.

Fasit
Hull ved x=1, vertikal x=-2, horisontal y=2.

Regel/huskeregel
Forkort bare felles faktorer; se på uttrykket etter forkorting.

Vanlige feil
Å glemme at opprinnelig x=a fortsatt ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både hull og asymptoter.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.62Blandet: rasjonal funksjon

Oppgave 2.62 - Blandet: rasjonal funksjon

Finn eventuelle hull, vertikale asymptoter og horisontal asymptote for f(x)=((x-2)(2x+3))/((x-2)(x+3)).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Faktoren x-2 forkortes bort, så x=2 gir hull. Etter forkorting er f(x)=(2x+3)/(x+3). Vertikal asymptote er x=-3. Gradene er like, så horisontal asymptote er y=2.

Fasit
Hull ved x=2, vertikal x=-3, horisontal y=2.

Regel/huskeregel
Forkort bare felles faktorer; se på uttrykket etter forkorting.

Vanlige feil
Å glemme at opprinnelig x=a fortsatt ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både hull og asymptoter.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.63Blandet: rasjonal funksjon

Oppgave 2.63 - Blandet: rasjonal funksjon

Finn eventuelle hull, vertikale asymptoter og horisontal asymptote for f(x)=((x-3)(2x+3))/((x-3)(x+4)).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Faktoren x-3 forkortes bort, så x=3 gir hull. Etter forkorting er f(x)=(2x+3)/(x+4). Vertikal asymptote er x=-4. Gradene er like, så horisontal asymptote er y=2.

Fasit
Hull ved x=3, vertikal x=-4, horisontal y=2.

Regel/huskeregel
Forkort bare felles faktorer; se på uttrykket etter forkorting.

Vanlige feil
Å glemme at opprinnelig x=a fortsatt ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både hull og asymptoter.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.64Blandet: rasjonal funksjon

Oppgave 2.64 - Blandet: rasjonal funksjon

Finn eventuelle hull, vertikale asymptoter og horisontal asymptote for f(x)=((x-4)(2x+3))/((x-4)(x+5)).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Faktoren x-4 forkortes bort, så x=4 gir hull. Etter forkorting er f(x)=(2x+3)/(x+5). Vertikal asymptote er x=-5. Gradene er like, så horisontal asymptote er y=2.

Fasit
Hull ved x=4, vertikal x=-5, horisontal y=2.

Regel/huskeregel
Forkort bare felles faktorer; se på uttrykket etter forkorting.

Vanlige feil
Å glemme at opprinnelig x=a fortsatt ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både hull og asymptoter.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.65Blandet: kontinuitet med parameter

Oppgave 2.65 - Blandet: kontinuitet med parameter

La f(x)=kx+1 for x<2 og f(x)=x²+1 for x≥2. Finn k slik at f er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre grense er 2k+1. Høyre verdi og funksjonsverdi er 2²+1=5. Kontinuitet krever 2k+1=5. Dermed 2k=4, k=2.0.

Fasit
k=2.0.

Regel/huskeregel
Lik venstre grense og funksjonsverdi i bruddpunktet.

Vanlige feil
Å bruke x=0 i stedet for x=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.66Blandet: kontinuitet med parameter

Oppgave 2.66 - Blandet: kontinuitet med parameter

La f(x)=kx+1 for x<2 og f(x)=x²+2 for x≥2. Finn k slik at f er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre grense er 2k+1. Høyre verdi og funksjonsverdi er 2²+2=6. Kontinuitet krever 2k+1=6. Dermed 2k=5, k=2.5.

Fasit
k=2.5.

Regel/huskeregel
Lik venstre grense og funksjonsverdi i bruddpunktet.

Vanlige feil
Å bruke x=0 i stedet for x=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.67Blandet: kontinuitet med parameter

Oppgave 2.67 - Blandet: kontinuitet med parameter

La f(x)=kx+1 for x<2 og f(x)=x²+3 for x≥2. Finn k slik at f er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre grense er 2k+1. Høyre verdi og funksjonsverdi er 2²+3=7. Kontinuitet krever 2k+1=7. Dermed 2k=6, k=3.0.

Fasit
k=3.0.

Regel/huskeregel
Lik venstre grense og funksjonsverdi i bruddpunktet.

Vanlige feil
Å bruke x=0 i stedet for x=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.68Blandet: kontinuitet med parameter

Oppgave 2.68 - Blandet: kontinuitet med parameter

La f(x)=kx+1 for x<2 og f(x)=x²+4 for x≥2. Finn k slik at f er kontinuerlig i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre grense er 2k+1. Høyre verdi og funksjonsverdi er 2²+4=8. Kontinuitet krever 2k+1=8. Dermed 2k=7, k=3.5.

Fasit
k=3.5.

Regel/huskeregel
Lik venstre grense og funksjonsverdi i bruddpunktet.

Vanlige feil
Å bruke x=0 i stedet for x=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2.69Blandet: uendelig grense og modell

Oppgave 2.69 - Blandet: uendelig grense og modell

En modell er M(t)=(1t²+5t+1)/(2t²+1). Finn langtidverdien når t->∞ og forklar.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Langtidverdien er forholdet mellom ledende koeffisienter: 1/2. I modellen betyr dette at M(t) nærmer seg 1/2 når tiden blir stor.

Fasit
Langtidverdi 1/2.

Regel/huskeregel
Langtidverdi for rasjonal modell finnes ofte med horisontal asymptote.

Vanlige feil
Å se på konstantleddet i stedet for høyeste grad.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grense mot uendelig og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.70Blandet: uendelig grense og modell

Oppgave 2.70 - Blandet: uendelig grense og modell

En modell er M(t)=(2t²+5t+1)/(2t²+2). Finn langtidverdien når t->∞ og forklar.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Langtidverdien er forholdet mellom ledende koeffisienter: 2/2. I modellen betyr dette at M(t) nærmer seg 2/2 når tiden blir stor.

Fasit
Langtidverdi 2/2.

Regel/huskeregel
Langtidverdi for rasjonal modell finnes ofte med horisontal asymptote.

Vanlige feil
Å se på konstantleddet i stedet for høyeste grad.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grense mot uendelig og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.71Blandet: uendelig grense og modell

Oppgave 2.71 - Blandet: uendelig grense og modell

En modell er M(t)=(3t²+5t+1)/(2t²+3). Finn langtidverdien når t->∞ og forklar.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Langtidverdien er forholdet mellom ledende koeffisienter: 3/2. I modellen betyr dette at M(t) nærmer seg 3/2 når tiden blir stor.

Fasit
Langtidverdi 3/2.

Regel/huskeregel
Langtidverdi for rasjonal modell finnes ofte med horisontal asymptote.

Vanlige feil
Å se på konstantleddet i stedet for høyeste grad.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grense mot uendelig og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Oppgave 2.72Blandet: uendelig grense og modell

Oppgave 2.72 - Blandet: uendelig grense og modell

En modell er M(t)=(4t²+5t+1)/(2t²+4). Finn langtidverdien når t->∞ og forklar.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gradene i teller og nevner er like. Langtidverdien er forholdet mellom ledende koeffisienter: 4/2. I modellen betyr dette at M(t) nærmer seg 4/2 når tiden blir stor.

Fasit
Langtidverdi 4/2.

Regel/huskeregel
Langtidverdi for rasjonal modell finnes ofte med horisontal asymptote.

Vanlige feil
Å se på konstantleddet i stedet for høyeste grad.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grense mot uendelig og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du begrunner metodevalget, vurderer definisjonsmengde og fortegn, viser mellomregning og forklarer svaret matematisk og grafisk.

Regler og huskeregler

Delt forskrift: En funksjon kan ha ulike uttrykk i ulike intervaller. Bruddpunkter er punkter der uttrykket skifter.

Absoluttverdi: |u|=u når u≥0, og |u|=-u når u<0. Avstand mellom a og b er |a-b|.

Grenseverdi: lim_{x->a} f(x)=L betyr at f(x) kan gjøres så nær L vi vil når x er tilstrekkelig nær a.

Ensidige grenser: Tosidig grenseverdi finnes bare hvis venstre og høyre grenseverdi er like.

Kontinuitet: f er kontinuerlig i a når f(a) er definert, lim_{x->a} f(x) finnes og lim_{x->a} f(x)=f(a).

Hull: Hvis en felles faktor kan forkortes bort, får vi ofte et hull i grafen.

Vertikal asymptote: Kommer ofte fra nullpunkt i nevneren som ikke kan forkortes bort.

Horisontal asymptote: For rasjonale funksjoner med lik grad er asymptoten forholdet mellom ledende koeffisienter.

Skrå asymptote: y=ax+b er skrå asymptote hvis f(x)-(ax+b)->0 når x->∞ eller x->-∞.

Innhold: eksempler, Snakk-/Utforsk-aktiviteter, oppgaver 3.1-3.123 og kapitteltest. Hver oppgave har full trinnvis løsning, fasit, regler, vanlige feil, sensorpunkt, høy måloppnåelse og Ifingo-lærer-knapp.

Eksempler – forklart

Oppgave Eksempel 1Tangent når den deriverte er kjent

Oppgave Eksempel 1 - Tangent når den deriverte er kjent

Den deriverte av en funksjon er f′(x)=3e^x. Finn likningen til tangenten i punktet (ln 2, 7), og finn hvor vekstfarten er 3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Stigningstallet i x=ln 2 er f′(ln 2)=3e^{ln 2}=6. Ettpunktsformelen gir y-7=6(x-ln 2), altså y=6x-6ln2+7. Vekstfarten er 3 når 3e^x=3, altså e^x=1 og x=0.

Fasit
Tangent: y=6x-6ln2+7. Vekstfarten 3 når x=0.

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke f(a) som stigningstall, eller å glemme at e^{ln 2}=2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 2Tangent til logaritmefunksjon

Oppgave Eksempel 2 - Tangent til logaritmefunksjon

La f(x)=4ln x. Finn tangenten i (1,f(1)), og finn a slik at tangenten i (a,f(a)) har stigningstall 2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=4/x. f(1)=0 og f′(1)=4, så tangenten er y=4(x-1)=4x-4. Vi løser 4/a=2 og får a=2.

Fasit
Tangent: y=4x-4. a=2.

Regel/huskeregel
(ln x)′=1/x og (k ln x)′=k/x.

Vanlige feil
Å glemme definisjonsmengden x>0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter derivasjon av ln og riktig løsing av f′(a)=2.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 3Derivasjon av polynom

Oppgave Eksempel 3 - Derivasjon av polynom

Deriver f(x)=2x⁴-5x²+7x-9.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (2x⁴)′=8x³, (-5x²)′=-10x, (7x)′=7 og konstanten forsvinner.

Fasit
f′(x)=8x³-10x+7.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nx^n-1, og k′=0.

Vanlige feil
Å derivere konstanten til 1, eller å glemme å redusere eksponenten.

Sensor ser etter
Sensor ser etter leddvis derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 4Derivasjon av røtter

Oppgave Eksempel 4 - Derivasjon av røtter

Deriver f(x)=3√x-2/x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv f(x)=3x^1/2-2x^-1. Da blir f′(x)=3/2 x^-1/2+2x^-2.

Fasit
f′(x)=3/(2√x)+2/x².

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser før derivasjon.

Vanlige feil
Å derivere 1/x som 1, eller √x som 1/(2x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter til potensform.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 5Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave Eksempel 5 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=x²+3x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)²+3(x+Δx)-x²-3x=2xΔx+(Δx)²+3Δx. Divider på Δx: 2x+Δx+3. Når Δx går mot 0, får vi 2x+3.

Fasit
f′(x)=2x+3.

Regel/huskeregel
f′(x)=lim_Δx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før man har forkortet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter full grenseverdiutregning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 6Deriverbarhet i et knekkpunkt

Oppgave Eksempel 6 - Deriverbarhet i et knekkpunkt

Avgjør om f(x)=|x-2| er deriverbar i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Til venstre for 2 er f(x)=2-x, med stigningstall -1. Til høyre er f(x)=x-2, med stigningstall 1. Siden venstre- og høyrederivert er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=2.

Fasit
Ikke deriverbar i x=2.

Regel/huskeregel
En funksjon er deriverbar i a bare hvis de ensidige deriverte er like.

Vanlige feil
Å si at kontinuitet alene er nok for deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig vurdering.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 7Numerisk derivasjon

Oppgave Eksempel 7 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient til å anslå f′(2) for f(x)=x³ når Δx=0,001.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(2+0,001)-f(2)]/0,001. Dette gir [(2,001)³-8]/0,001≈12,006. Eksakt verdi er f′(2)=3·2²=12.

Fasit
Omtrent 12,006, nær eksakt verdi 12.

Regel/huskeregel
Newtons kvotient gir numerisk anslag på den deriverte.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller å forvente helt eksakt svar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter oppsett, beregning og kommentar om tilnærming.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 8Kjerneregelen for potens

Oppgave Eksempel 8 - Kjerneregelen for potens

Deriver f(x)=(3x²-4x+1)⁵.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=3x²-4x+1. Da er f=u⁵ og u′=6x-4. Kjerneregelen gir f′=5u⁴·u′.

Fasit
f′(x)=5(3x²-4x+1)⁴(6x-4).

Regel/huskeregel
Hvis f(x)=g(u(x)), er f′(x)=g′(u)·u′(x).

Vanlige feil
Å derivere ytre funksjon, men glemme indre derivert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter tydelig ytre og indre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 9Kjerneregelen for logaritme

Oppgave Eksempel 9 - Kjerneregelen for logaritme

Deriver f(x)=ln(2x²+5).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=2x²+5. Da er (ln u)′=u′/u og u′=4x.

Fasit
f′(x)=4x/(2x²+5).

Regel/huskeregel
(ln u)′=u′/u.

Vanlige feil
Å skrive 1/(2x²+5) uten å gange med 4x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kjerneregelen.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 10Produktregelen

Oppgave Eksempel 10 - Produktregelen

Deriver f(x)=x²e^3x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
La u=x² og v=e^3x. Da er u′=2x og v′=3e^3x. Produktregelen gir f′=2x e^3x+3x²e^3x.

Fasit
f′(x)=e^3x(2x+3x²).

Regel/huskeregel
(uv)′=u′v+uv′.

Vanlige feil
Å derivere produkt ved å derivere faktorene og multiplisere dem.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begge ledd i produktregelen.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 11Brøkregelen

Oppgave Eksempel 11 - Brøkregelen

Deriver f(x)=(x²+1)/(x-3).

Vis løsning

Trinnvis løsning
La u=x²+1 og v=x-3. Da er u′=2x og v′=1. Brøkregelen gir f′=[2x(x-3)-(x²+1)]/(x-3)²=(x²-6x-1)/(x-3)².

Fasit
f′(x)=(x²-6x-1)/(x-3)².

Regel/huskeregel
(u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølgen i telleren.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt brøkregel og forenkling.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 12Tangenter etter derivasjon

Oppgave Eksempel 12 - Tangenter etter derivasjon

Finn tangenten til f(x)=x³-2x i punktet x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=1-2=-1. f′(x)=3x²-2, og f′(1)=1. Tangenten er y-(-1)=1(x-1), altså y=x-2.

Fasit
y=x-2.

Regel/huskeregel
Finn først punktet og stigningstallet, bruk deretter ettpunktsformelen.

Vanlige feil
Å bruke x=1 direkte som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både f(1) og f′(1).

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 13Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave Eksempel 13 - Deriverbarhet og kontinuitet

En funksjon har et hopp i x=0. Forklar hvorfor den ikke kan være deriverbar der.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriverbarhet krever at grafen er sammenhengende i punktet. Hvis funksjonen har et hopp, er den ikke kontinuerlig. Dermed kan den heller ikke være deriverbar.

Fasit
Ikke deriverbar i hoppunktet.

Regel/huskeregel
Deriverbar ⇒ kontinuerlig. Ikke kontinuerlig ⇒ ikke deriverbar.

Vanlige feil
Å tro at en bratt tangent kan finnes gjennom et hopp.

Sensor ser etter
Sensor ser etter logisk implikasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 14Numerisk og symmetrisk kvotient

Oppgave Eksempel 14 - Numerisk og symmetrisk kvotient

Sammenlikn Newtons kvotient og symmetrisk kvotient for f(x)=ln x i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient bruker [f(1+h)-f(1)]/h. Symmetrisk kvotient bruker [f(1+h)-f(1-h)]/(2h). Den symmetriske metoden bruker punkter på begge sider og gir ofte bedre anslag når h er liten.

Fasit
Begge nærmer seg 1, siden (ln x)′=1/x og f′(1)=1.

Regel/huskeregel
Symmetrisk kvotient kan gi bedre numerisk presisjon.

Vanlige feil
Å bruke 1-h når h er så stor at uttrykket ikke er definert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodeforklaring og kontroll mot eksakt verdi.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Eksempel 15Produkt og kjerneregel sammen

Oppgave Eksempel 15 - Produkt og kjerneregel sammen

Deriver f(x)=x·ln(x²+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
La u=x og v=ln(x²+1). Da er u′=1 og v′=2x/(x²+1). Produktregelen gir f′=ln(x²+1)+2x²/(x²+1).

Fasit
f′(x)=ln(x²+1)+2x²/(x²+1).

Regel/huskeregel
Noen oppgaver krever både produktregel og kjerneregel.

Vanlige feil
Å bruke bare én regel og stoppe halvveis.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 16Brøk og kjerneregel sammen

Oppgave Eksempel 16 - Brøk og kjerneregel sammen

Deriver f(x)=e^2x/(x²+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
La u=e^2x og v=x²+1. Da er u′=2e^2x og v′=2x. Brøkregelen gir f′=[2e^2x(x²+1)-e^2x2x]/(x²+1)².

Fasit
f′(x)=e^2x(2x²-2x+2)/(x²+1)².

Regel/huskeregel
Brøkregel + kjerneregel for e^2x.

Vanlige feil
Å glemme indre derivert 2 i e^2x.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt tellersammensetning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Snakk- og Utforsk-aktiviteter

Oppgave Snakk 1Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave Snakk 1 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Forklar forskjellen på gjennomsnittlig vekstfart i et intervall og momentan vekstfart i et punkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten mellom to punkter. Momentan vekstfart er stigningstallet til tangenten i ett punkt. Den momentane vekstfarten kan forstås som grensen av gjennomsnittlige vekstfarter når intervallet blir veldig lite.

Fasit
Sekant for intervall, tangent for punkt.

Regel/huskeregel
Sekant: Δf/Δx. Tangent: f′(a).

Vanlige feil
Å bruke ordene som om de betyr det samme.

Sensor ser etter
Sensor ser etter tydelig grafisk og algebraisk forklaring.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Utforsk 1Program for gjennomsnittlig vekstfart

Oppgave Utforsk 1 - Program for gjennomsnittlig vekstfart

Lag et program som regner gjennomsnittlig vekstfart for en selvvalgt funksjon og et selvvalgt intervall.

def f(x):
 return 0.08*x**2 + 3*x - 4

def snittfart(x1, x2):
 return (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

print(round(snittfart(-2, 5), 3))

Vis løsning

Trinnvis løsning
Definer funksjonen f(x), les inn eller sett x1 og x2, og regn (f(x2)-f(x1))/(x2-x1). Programmet bør skrive både intervallet og svaret.

Fasit
Et fungerende program med riktig kvotient.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart = (f(x2)-f(x1))/(x2-x1).

Vanlige feil
Å bytte x1 og x2 inkonsekvent eller la x1=x2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kodeforståelse og matematisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Utforsk 2Polynom og den deriverte

Oppgave Utforsk 2 - Polynom og den deriverte

Bruk funksjonen k(x)=x³+4x²+6x-7. Finn k′(x) og forklar hvordan graden endrer seg.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriver ledd for ledd: k′(x)=3x²+8x+6. Graden går fra 3 til 2. For polynomer blir graden vanligvis én lavere når vi deriverer.

Fasit
k′(x)=3x²+8x+6.

Regel/huskeregel
For xⁿ er den deriverte nxⁿ⁻¹.

Vanlige feil
Å tro at konstantleddet -7 blir igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regel og generalisering.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Snakk 2Deriverbarhet og graf

Oppgave Snakk 2 - Deriverbarhet og graf

Gi eksempler på grafer som er kontinuerlige, men ikke deriverbare.

Vis løsning

Trinnvis løsning
En absoluttverdifunksjon har en knekk. Den er sammenhengende, men har ikke én tydelig tangent i knekkpunktet fordi venstre og høyre stigningstall er ulike.

Fasit
For eksempel f(x)=|x| i x=0.

Regel/huskeregel
Kontinuitet er nødvendig, men ikke nok for deriverbarhet.

Vanlige feil
Å si at alle kontinuerlige funksjoner er deriverbare.

Sensor ser etter
Sensor ser etter eksempel og begrunnelse.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Utforsk 3Numerisk derivasjon og feilkilder

Oppgave Utforsk 3 - Numerisk derivasjon og feilkilder

Undersøk hva som skjer når Δx blir veldig liten i numerisk derivasjon.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når Δx blir mindre, blir kvotienten ofte mer nøyaktig. Men i datamaskiner kan ekstremt små Δx gi avrundingsfeil. Derfor er det ikke alltid slik at minst mulig Δx er best.

Fasit
Små Δx gir ofte bedre, men ikke alltid best, anslag.

Regel/huskeregel
Numeriske metoder påvirkes av både metodefeil og avrundingsfeil.

Vanlige feil
Å tro at 10⁻²⁰ alltid er bedre enn 10⁻⁵.

Sensor ser etter
Sensor ser etter refleksjon om numerisk presisjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Snakk 3Hvilken regel skal brukes?

Oppgave Snakk 3 - Hvilken regel skal brukes?

Forklar hvordan du velger mellom kjerneregel, produktregel og brøkregel.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Kjerneregel brukes når en funksjon er satt inni en annen. Produktregel brukes når to funksjonsuttrykk multipliseres. Brøkregel brukes når ett funksjonsuttrykk deles på et annet. Ofte må reglene kombineres.

Fasit
Velg regel etter struktur i uttrykket.

Regel/huskeregel
Se etter indre funksjon, produkt og brøk.

Vanlige feil
Å prøve å memorere uten å analysere uttrykket.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgaver 3.1-3.123

Oppgave 3.1Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.1 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=2x²+-1x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,3], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(3)-f(-1))/(3--1)=(10-(-2))/4=3.00. Den deriverte er f′(x)=4x+-1. Derfor er f′(2)=7.

Fasit
Snittfart 3.00. f′(x)=4x+-1. Momentan vekstfart ved x=2 er 7.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.2Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.2 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=3x²+1x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(4)-f(0))/(4-0)=(47-(-5))/4=13.00. Den deriverte er f′(x)=6x+1. Derfor er f′(2)=13.

Fasit
Snittfart 13.00. f′(x)=6x+1. Momentan vekstfart ved x=2 er 13.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.3Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.3 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=4x²+3x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-2,2], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(2)-f(-2))/(2--2)=(17-(5))/4=3.00. Den deriverte er f′(x)=8x+3. Derfor er f′(2)=19.

Fasit
Snittfart 3.00. f′(x)=8x+3. Momentan vekstfart ved x=2 er 19.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.4Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.4 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=5x²+5x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,3], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(3)-f(-1))/(3--1)=(55-(-5))/4=15.00. Den deriverte er f′(x)=10x+5. Derfor er f′(2)=25.

Fasit
Snittfart 15.00. f′(x)=10x+5. Momentan vekstfart ved x=2 er 25.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.5Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.5 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=6x²+7x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(4)-f(0))/(4-0)=(119-(-5))/4=31.00. Den deriverte er f′(x)=12x+7. Derfor er f′(2)=31.

Fasit
Snittfart 31.00. f′(x)=12x+7. Momentan vekstfart ved x=2 er 31.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.6Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.6 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=7x²+9x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-2,2], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(2)-f(-2))/(2--2)=(41-(5))/4=9.00. Den deriverte er f′(x)=14x+9. Derfor er f′(2)=37.

Fasit
Snittfart 9.00. f′(x)=14x+9. Momentan vekstfart ved x=2 er 37.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.7Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.7 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=8x²+11x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [-1,3], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(3)-f(-1))/(3--1)=(100-(-8))/4=27.00. Den deriverte er f′(x)=16x+11. Derfor er f′(2)=43.

Fasit
Snittfart 27.00. f′(x)=16x+11. Momentan vekstfart ved x=2 er 43.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.8Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Oppgave 3.8 - Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Funksjonen er f(x)=9x²+13x-5. Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4], finn f′(x), og bestem den momentane vekstfarten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Gjennomsnittlig vekstfart er (f(4)-f(0))/(4-0)=(191-(-5))/4=49.00. Den deriverte er f′(x)=18x+13. Derfor er f′(2)=49.

Fasit
Snittfart 49.00. f′(x)=18x+13. Momentan vekstfart ved x=2 er 49.

Regel/huskeregel
Gjennomsnittlig vekstfart er sekantstigning. Momentan vekstfart er f′(a).

Vanlige feil
Å bruke f(2) i stedet for f′(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter både differansekvotient og derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.9Tangentlikning

Oppgave 3.9 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=3x²-5x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=3-5+3=1. f′(x)=6x-5, så f′(1)=1. Ettpunktsformelen gir y-1=(1)(x-1).

Fasit
y-1=(1)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.10Tangentlikning

Oppgave 3.10 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=4x²-1x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=4-1+3=6. f′(x)=8x-1, så f′(1)=7. Ettpunktsformelen gir y-6=(7)(x-1).

Fasit
y-6=(7)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.11Tangentlikning

Oppgave 3.11 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=5x²-2x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=5-2+3=6. f′(x)=10x-2, så f′(1)=8. Ettpunktsformelen gir y-6=(8)(x-1).

Fasit
y-6=(8)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.12Tangentlikning

Oppgave 3.12 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=6x²-3x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=6-3+3=6. f′(x)=12x-3, så f′(1)=9. Ettpunktsformelen gir y-6=(9)(x-1).

Fasit
y-6=(9)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.13Tangentlikning

Oppgave 3.13 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=7x²-4x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=7-4+3=6. f′(x)=14x-4, så f′(1)=10. Ettpunktsformelen gir y-6=(10)(x-1).

Fasit
y-6=(10)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.14Tangentlikning

Oppgave 3.14 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=8x²-5x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=8-5+3=6. f′(x)=16x-5, så f′(1)=11. Ettpunktsformelen gir y-6=(11)(x-1).

Fasit
y-6=(11)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.15Tangentlikning

Oppgave 3.15 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=9x²-1x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=9-1+3=11. f′(x)=18x-1, så f′(1)=17. Ettpunktsformelen gir y-11=(17)(x-1).

Fasit
y-11=(17)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.16Tangentlikning

Oppgave 3.16 - Tangentlikning

Funksjonen er f(x)=10x²-2x+3. Finn likningen til tangenten i punktet der x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(1)=10-2+3=11. f′(x)=20x-2, så f′(1)=18. Ettpunktsformelen gir y-11=(18)(x-1).

Fasit
y-11=(18)(x-1).

Regel/huskeregel
Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke punktet (1,0) uten å regne f(1).

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt punkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.17Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.17 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=5x³-2x²+4x-5.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (5x³)′=15x², (-2x²)′=-4x, (4x)′=4, og konstanten -5 forsvinner.

Fasit
f′(x)=15x²-4x+4.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.18Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.18 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=6x³-3x²+6x-6.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (6x³)′=18x², (-3x²)′=-6x, (6x)′=6, og konstanten -6 forsvinner.

Fasit
f′(x)=18x²-6x+6.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.19Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.19 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=7x³-4x²+8x-7.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (7x³)′=21x², (-4x²)′=-8x, (8x)′=8, og konstanten -7 forsvinner.

Fasit
f′(x)=21x²-8x+8.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.20Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.20 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=8x³-1x²+2x-8.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (8x³)′=24x², (-1x²)′=-2x, (2x)′=2, og konstanten -8 forsvinner.

Fasit
f′(x)=24x²-2x+2.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.21Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.21 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=9x³-2x²+4x-9.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (9x³)′=27x², (-2x²)′=-4x, (4x)′=4, og konstanten -9 forsvinner.

Fasit
f′(x)=27x²-4x+4.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.22Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.22 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=10x³-3x²+6x-10.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (10x³)′=30x², (-3x²)′=-6x, (6x)′=6, og konstanten -10 forsvinner.

Fasit
f′(x)=30x²-6x+6.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.23Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.23 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=11x³-4x²+8x-11.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (11x³)′=33x², (-4x²)′=-8x, (8x)′=8, og konstanten -11 forsvinner.

Fasit
f′(x)=33x²-8x+8.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.24Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.24 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=12x³-1x²+2x-12.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (12x³)′=36x², (-1x²)′=-2x, (2x)′=2, og konstanten -12 forsvinner.

Fasit
f′(x)=36x²-2x+2.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.25Derivasjonsregler for polynom

Oppgave 3.25 - Derivasjonsregler for polynom

Deriver funksjonen f(x)=13x³-2x²+4x-13.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi deriverer ledd for ledd: (13x³)′=39x², (-2x²)′=-4x, (4x)′=4, og konstanten -13 forsvinner.

Fasit
f′(x)=39x²-4x+4.

Regel/huskeregel
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ og k′=0.

Vanlige feil
Å la konstantleddet stå igjen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt potensregel.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.26Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.26 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=6√x + 7/x + e^1x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 6/(2√x) - 7/x² + 1e^1x.

Fasit
f′(x)=6/(2√x)-7/x²+1e^1x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.27Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.27 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=7√x + 8/x + e^2x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 7/(2√x) - 8/x² + 2e^2x.

Fasit
f′(x)=7/(2√x)-8/x²+2e^2x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.28Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.28 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=8√x + 9/x + e^3x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 8/(2√x) - 9/x² + 3e^3x.

Fasit
f′(x)=8/(2√x)-9/x²+3e^3x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.29Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.29 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=9√x + 10/x + e^1x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 9/(2√x) - 10/x² + 1e^1x.

Fasit
f′(x)=9/(2√x)-10/x²+1e^1x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.30Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.30 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=10√x + 11/x + e^2x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 10/(2√x) - 11/x² + 2e^2x.

Fasit
f′(x)=10/(2√x)-11/x²+2e^2x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.31Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.31 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=11√x + 12/x + e^3x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 11/(2√x) - 12/x² + 3e^3x.

Fasit
f′(x)=11/(2√x)-12/x²+3e^3x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.32Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.32 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=12√x + 13/x + e^1x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 12/(2√x) - 13/x² + 1e^1x.

Fasit
f′(x)=12/(2√x)-13/x²+1e^1x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.33Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.33 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=13√x + 14/x + e^2x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 13/(2√x) - 14/x² + 2e^2x.

Fasit
f′(x)=13/(2√x)-14/x²+2e^2x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.34Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.34 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=14√x + 15/x + e^3x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 14/(2√x) - 15/x² + 3e^3x.

Fasit
f′(x)=14/(2√x)-15/x²+3e^3x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.35Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.35 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=15√x + 16/x + e^1x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 15/(2√x) - 16/x² + 1e^1x.

Fasit
f′(x)=15/(2√x)-16/x²+1e^1x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.36Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.36 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=16√x + 17/x + e^2x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 16/(2√x) - 17/x² + 2e^2x.

Fasit
f′(x)=16/(2√x)-17/x²+2e^2x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.37Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Oppgave 3.37 - Derivasjon av røtter, brøker og e-funksjoner

Deriver f(x)=17√x + 18/x + e^3x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv √x=x^1/2 og 1/x=x^-1. Da blir den deriverte 17/(2√x) - 18/x² + 3e^3x.

Fasit
f′(x)=17/(2√x)-18/x²+3e^3x.

Regel/huskeregel
Skriv røtter og brøker som potenser. (e^kx)′=ke^kx.

Vanlige feil
Å glemme kjernen k i e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter og korrekt e-derivasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.38Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.38 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=2x²+4x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=2(x+Δx)²+4(x+Δx)-(2x²+4x)=4xΔx+2(Δx)²+4Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=4x+4.

Fasit
f′(x)=4x+4.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.39Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.39 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=3x²+6x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=3(x+Δx)²+6(x+Δx)-(3x²+6x)=6xΔx+3(Δx)²+6Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=6x+6.

Fasit
f′(x)=6x+6.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.40Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.40 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=4x²+8x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=4(x+Δx)²+8(x+Δx)-(4x²+8x)=8xΔx+4(Δx)²+8Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=8x+8.

Fasit
f′(x)=8x+8.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.41Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.41 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=5x²+10x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=5(x+Δx)²+10(x+Δx)-(5x²+10x)=10xΔx+5(Δx)²+10Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=10x+10.

Fasit
f′(x)=10x+10.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.42Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.42 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=6x²+12x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=6(x+Δx)²+12(x+Δx)-(6x²+12x)=12xΔx+6(Δx)²+12Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=12x+12.

Fasit
f′(x)=12x+12.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.43Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.43 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=7x²+14x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=7(x+Δx)²+14(x+Δx)-(7x²+14x)=14xΔx+7(Δx)²+14Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=14x+14.

Fasit
f′(x)=14x+14.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.44Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.44 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=8x²+16x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=8(x+Δx)²+16(x+Δx)-(8x²+16x)=16xΔx+8(Δx)²+16Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=16x+16.

Fasit
f′(x)=16x+16.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.45Algebraisk definisjon av den deriverte

Oppgave 3.45 - Algebraisk definisjon av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=9x²+18x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=9(x+Δx)²+18(x+Δx)-(9x²+18x)=18xΔx+9(Δx)²+18Δx. Divider på Δx og la Δx→0. Da får vi f′(x)=18x+18.

Fasit
f′(x)=18x+18.

Regel/huskeregel
Definisjon: f′(x)=lim [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 før forkorting.

Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseverdi og algebra.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.46Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.46 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x--4|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=-4.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=-4. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=-4.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=-4.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.47Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.47 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x--3|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=-3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=-3. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=-3.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=-3.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.48Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.48 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x--2|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=-2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=-2. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=-2.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=-2.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.49Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.49 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x--1|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=-1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=-1. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=-1.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=-1.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.50Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.50 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-0|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=0.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=0. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=0.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=0.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.51Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.51 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-1|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=1. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=1.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=1.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.52Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.52 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-2|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=2. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=2.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=2.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.53Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.53 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-3|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=3. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=3.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=3.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.54Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.54 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-4|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=4.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=4. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=4.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=4.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.55Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.55 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-5|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=5.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=5. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=5.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=5.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.56Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.56 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-6|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=6.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=6. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=6.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=6.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.57Deriverbarhet og kontinuitet

Oppgave 3.57 - Deriverbarhet og kontinuitet

Funksjonen er f(x)=|x-7|. Avgør om f er kontinuerlig og deriverbar i x=7.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Funksjonen er kontinuerlig fordi grafen ikke hopper i x=7. Til venstre er stigningstallet -1, og til høyre er stigningstallet 1. Siden de ensidige deriverte er ulike, er funksjonen ikke deriverbar i x=7.

Fasit
Kontinuerlig, men ikke deriverbar i x=7.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever samme venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å tro at kontinuitet automatisk gir deriverbarhet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter ensidig stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.58Numerisk derivasjon

Oppgave 3.58 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=4x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 4*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=12x²+2, så f′(1)=14. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 14.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.59Numerisk derivasjon

Oppgave 3.59 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=5x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 5*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=15x²+2, så f′(1)=17. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 17.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.60Numerisk derivasjon

Oppgave 3.60 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=6x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 6*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=18x²+2, så f′(1)=20. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 20.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.61Numerisk derivasjon

Oppgave 3.61 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=7x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 7*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=21x²+2, så f′(1)=23. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 23.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.62Numerisk derivasjon

Oppgave 3.62 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=8x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 8*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=24x²+2, så f′(1)=26. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 26.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.63Numerisk derivasjon

Oppgave 3.63 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=9x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 9*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=27x²+2, så f′(1)=29. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 29.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.64Numerisk derivasjon

Oppgave 3.64 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=10x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 10*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=30x²+2, så f′(1)=32. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 32.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.65Numerisk derivasjon

Oppgave 3.65 - Numerisk derivasjon

Bruk Newtons kvotient med Δx=0,001 til å anslå f′(1) for f(x)=11x³+2x.

delta_x = 0.001
def f(x):
 return 11*x**3 + 2*x
print((f(1+delta_x)-f(1))/delta_x)

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newtons kvotient er [f(1+0,001)-f(1)]/0,001. Eksakt derivert er f′(x)=33x²+2, så f′(1)=35. Det numeriske svaret skal ligge svært nær dette.

Fasit
Omtrent 35.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bruker en liten differansekvotient.

Vanlige feil
Å velge for stor Δx eller tolke anslaget som eksakt uten kommentar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotientoppsett og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.66Kjerneregelen

Oppgave 3.66 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(3x²-4x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=3x²-4x+2. Da er u′=6x-4. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(3x²-4x+2)³(6x-4).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.67Kjerneregelen

Oppgave 3.67 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(4x²-5x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=4x²-5x+2. Da er u′=8x-5. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(4x²-5x+2)³(8x-5).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.68Kjerneregelen

Oppgave 3.68 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(5x²-6x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=5x²-6x+2. Da er u′=10x-6. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(5x²-6x+2)³(10x-6).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.69Kjerneregelen

Oppgave 3.69 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(6x²-7x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=6x²-7x+2. Da er u′=12x-7. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(6x²-7x+2)³(12x-7).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.70Kjerneregelen

Oppgave 3.70 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(7x²-8x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=7x²-8x+2. Da er u′=14x-8. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(7x²-8x+2)³(14x-8).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.71Kjerneregelen

Oppgave 3.71 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(8x²-9x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=8x²-9x+2. Da er u′=16x-9. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(8x²-9x+2)³(16x-9).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.72Kjerneregelen

Oppgave 3.72 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(9x²-10x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=9x²-10x+2. Da er u′=18x-10. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(9x²-10x+2)³(18x-10).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.73Kjerneregelen

Oppgave 3.73 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(10x²-11x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=10x²-11x+2. Da er u′=20x-11. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(10x²-11x+2)³(20x-11).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.74Kjerneregelen

Oppgave 3.74 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(11x²-12x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=11x²-12x+2. Da er u′=22x-12. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(11x²-12x+2)³(22x-12).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.75Kjerneregelen

Oppgave 3.75 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(12x²-13x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=12x²-13x+2. Da er u′=24x-13. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(12x²-13x+2)³(24x-13).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.76Kjerneregelen

Oppgave 3.76 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(13x²-14x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=13x²-14x+2. Da er u′=26x-14. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(13x²-14x+2)³(26x-14).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.77Kjerneregelen

Oppgave 3.77 - Kjerneregelen

Deriver f(x)=(14x²-15x+2)⁴.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett u=14x²-15x+2. Da er u′=28x-15. Kjerneregelen gir f′(x)=4u³·u′.

Fasit
f′(x)=4(14x²-15x+2)³(28x-15).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen: (g(u))′=g′(u)·u′.

Vanlige feil
Å glemme å derivere kjernen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter indre og ytre funksjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.78Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.78 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x³·ln(2x+1) og g(x)=(x²+2)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=3x²ln(2x+1)+x³·2/(2x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+2)]/(x+1)².

Fasit
f′=3x²ln(2x+1)+2x³/(2x+1). g′=(x²+2x-2)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.79Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.79 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x¹·ln(3x+1) og g(x)=(x²+3)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=1x⁰ln(3x+1)+x¹·3/(3x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+3)]/(x+1)².

Fasit
f′=1x⁰ln(3x+1)+3x¹/(3x+1). g′=(x²+2x-3)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.80Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.80 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x²·ln(4x+1) og g(x)=(x²+4)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=2x¹ln(4x+1)+x²·4/(4x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+4)]/(x+1)².

Fasit
f′=2x¹ln(4x+1)+4x²/(4x+1). g′=(x²+2x-4)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.81Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.81 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x³·ln(5x+1) og g(x)=(x²+5)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=3x²ln(5x+1)+x³·5/(5x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+5)]/(x+1)².

Fasit
f′=3x²ln(5x+1)+5x³/(5x+1). g′=(x²+2x-5)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.82Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.82 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x¹·ln(6x+1) og g(x)=(x²+6)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=1x⁰ln(6x+1)+x¹·6/(6x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+6)]/(x+1)².

Fasit
f′=1x⁰ln(6x+1)+6x¹/(6x+1). g′=(x²+2x-6)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.83Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.83 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x²·ln(7x+1) og g(x)=(x²+7)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=2x¹ln(7x+1)+x²·7/(7x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+7)]/(x+1)².

Fasit
f′=2x¹ln(7x+1)+7x²/(7x+1). g′=(x²+2x-7)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.84Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.84 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x³·ln(8x+1) og g(x)=(x²+8)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=3x²ln(8x+1)+x³·8/(8x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+8)]/(x+1)².

Fasit
f′=3x²ln(8x+1)+8x³/(8x+1). g′=(x²+2x-8)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.85Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.85 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x¹·ln(9x+1) og g(x)=(x²+9)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=1x⁰ln(9x+1)+x¹·9/(9x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+9)]/(x+1)².

Fasit
f′=1x⁰ln(9x+1)+9x¹/(9x+1). g′=(x²+2x-9)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.86Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.86 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x²·ln(10x+1) og g(x)=(x²+10)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=2x¹ln(10x+1)+x²·10/(10x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+10)]/(x+1)².

Fasit
f′=2x¹ln(10x+1)+10x²/(10x+1). g′=(x²+2x-10)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.87Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.87 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x³·ln(11x+1) og g(x)=(x²+11)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=3x²ln(11x+1)+x³·11/(11x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+11)]/(x+1)².

Fasit
f′=3x²ln(11x+1)+11x³/(11x+1). g′=(x²+2x-11)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.88Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.88 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x¹·ln(12x+1) og g(x)=(x²+12)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=1x⁰ln(12x+1)+x¹·12/(12x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+12)]/(x+1)².

Fasit
f′=1x⁰ln(12x+1)+12x¹/(12x+1). g′=(x²+2x-12)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.89Produktregel og brøkregel

Oppgave 3.89 - Produktregel og brøkregel

Deriver f(x)=x²·ln(13x+1) og g(x)=(x²+13)/(x+1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
For f bruker vi produktregel og kjerneregel: f′=2x¹ln(13x+1)+x²·13/(13x+1). For g bruker vi brøkregel: g′=[2x(x+1)-(x²+13)]/(x+1)².

Fasit
f′=2x¹ln(13x+1)+13x²/(13x+1). g′=(x²+2x-13)/(x+1)².

Regel/huskeregel
Produktregel: (uv)′=u′v+uv′. Brøkregel: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å bytte rekkefølge i brøkregel eller glemme kjerneregelen i ln.

Sensor ser etter
Sensor ser etter regelkombinasjon.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.90Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Oppgave 3.90 - Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Deriver h(x)=e^2x(x²-2x+1), og finn h′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk produktregel. u=e^2x, u′=2e^2x. v=x²-2x+1, v′=2x-2. h′=e^2x[2(x²-2x+1)+(2x-2)]. Når x=0, får vi h′(0)=2·1-2=0.

Fasit
h′(x)=e^{a}x[{a}(x²-{a}x+1)+2x-{a}], og h′(0)=0.

Regel/huskeregel
Produktregel og kjerneregel for e^kx.

Vanlige feil
Å glemme faktor k fra e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter strukturert regelbruk.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.91Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Oppgave 3.91 - Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Deriver h(x)=e^3x(x²-3x+1), og finn h′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk produktregel. u=e^3x, u′=3e^3x. v=x²-3x+1, v′=2x-3. h′=e^3x[3(x²-3x+1)+(2x-3)]. Når x=0, får vi h′(0)=3·1-3=0.

Fasit
h′(x)=e^{a}x[{a}(x²-{a}x+1)+2x-{a}], og h′(0)=0.

Regel/huskeregel
Produktregel og kjerneregel for e^kx.

Vanlige feil
Å glemme faktor k fra e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter strukturert regelbruk.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.92Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Oppgave 3.92 - Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Deriver h(x)=e^4x(x²-4x+1), og finn h′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk produktregel. u=e^4x, u′=4e^4x. v=x²-4x+1, v′=2x-4. h′=e^4x[4(x²-4x+1)+(2x-4)]. Når x=0, får vi h′(0)=4·1-4=0.

Fasit
h′(x)=e^{a}x[{a}(x²-{a}x+1)+2x-{a}], og h′(0)=0.

Regel/huskeregel
Produktregel og kjerneregel for e^kx.

Vanlige feil
Å glemme faktor k fra e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter strukturert regelbruk.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.93Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Oppgave 3.93 - Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Deriver h(x)=e^5x(x²-5x+1), og finn h′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk produktregel. u=e^5x, u′=5e^5x. v=x²-5x+1, v′=2x-5. h′=e^5x[5(x²-5x+1)+(2x-5)]. Når x=0, får vi h′(0)=5·1-5=0.

Fasit
h′(x)=e^{a}x[{a}(x²-{a}x+1)+2x-{a}], og h′(0)=0.

Regel/huskeregel
Produktregel og kjerneregel for e^kx.

Vanlige feil
Å glemme faktor k fra e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter strukturert regelbruk.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.94Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Oppgave 3.94 - Røde og blå oppgaver - sammensatt derivasjon

Deriver h(x)=e^6x(x²-6x+1), og finn h′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk produktregel. u=e^6x, u′=6e^6x. v=x²-6x+1, v′=2x-6. h′=e^6x[6(x²-6x+1)+(2x-6)]. Når x=0, får vi h′(0)=6·1-6=0.

Fasit
h′(x)=e^{a}x[{a}(x²-{a}x+1)+2x-{a}], og h′(0)=0.

Regel/huskeregel
Produktregel og kjerneregel for e^kx.

Vanlige feil
Å glemme faktor k fra e^kx.

Sensor ser etter
Sensor ser etter strukturert regelbruk.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.95Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Oppgave 3.95 - Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter for f(x)=x³-4x²+7x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=3x²-2(4)x+7. Løs f′(x)=0. Bruk fortegn eller f″(x)=6x-2(4) til å avgjøre type punkt. Sett x-verdiene inn i f for koordinater.

Fasit
Løsning fås fra f′(x)=0 og klassifisering med f″ eller fortegn.

Regel/huskeregel
Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null eller ikke eksisterer.

Vanlige feil
Å bare finne x-verdier og glemme y-verdier/type.

Sensor ser etter
Sensor ser etter full analyse.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.96Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Oppgave 3.96 - Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Funksjonen er f(x)={ 2x+1 for x<1, x²+2 for x≥1 }. Undersøk om f er kontinuerlig og deriverbar i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre funksjonsverdi mot 1 er 2+1=3. Høyre funksjonsverdi er 1+2=3, så funksjonen er kontinuerlig. Venstrederivert er 2. Høyrederivert er 2x, altså 2 ved x=1. Funksjonen er deriverbar bare hvis 2=2.

Fasit
Kontinuerlig. Deriverbar bare hvis 2=2.

Regel/huskeregel
For delt forskrift må både funksjonsverdi og ensidige deriverte kontrolleres.

Vanlige feil
Å sjekke bare funksjonsverdien.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontinuitet og deriverbarhet hver for seg.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.97Blandet oppgave - numerisk metode

Oppgave 3.97 - Blandet oppgave - numerisk metode

Lag et program som anslår den deriverte av f(x)=ln(x+4) i x=1 med symmetrisk kvotient.

from math import log
h = 1e-5
def f(x):
 return log(x+4)
print((f(1+h)-f(1-h))/(2*h))

Vis løsning

Trinnvis løsning
Den symmetriske kvotienten er [f(1+h)-f(1-h)]/(2h). Velg for eksempel h=10⁻⁵. Eksakt verdi er f′(1)=1/(1+4)=1/5.

Fasit
Programmet bør gi omtrent 0.20000.

Regel/huskeregel
Symmetrisk kvotient bruker punkter på begge sider av a.

Vanlige feil
Å bruke en h som gjør logaritmen udefinert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kode, kvotient og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.98Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

Oppgave 3.98 - Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

La f(x)=ln(x²+6). Finn likningen til tangenten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2x/(x²+6). f(2)=ln(10), og f′(2)=4/(10). Tangenten er y-ln(10)=[4/(10)](x-2).

Fasit
y-ln(10)=4/(10)(x-2).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen for ln(u) og ettpunktsformelen.

Vanlige feil
Å glemme å regne f(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter tangentpunkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.99Blandet oppgave - brøkregel

Oppgave 3.99 - Blandet oppgave - brøkregel

Deriver f(x)=(e^x+5)/(x²+1), og finn f′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk brøkregelen. Telleren u=e^x+5, u′=e^x. Nevneren v=x²+1, v′=2x. f′=[e^x(x²+1)-(e^x+5)2x]/(x²+1)². Ved x=0 blir f′(0)=1.

Fasit
f′(x)=[e^x(x²+1)-2x(e^x+{j})]/(x²+1)², og f′(0)=1.

Regel/huskeregel
Brøkregelen: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å glemme hele nevneren i andre potens.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt brøkregel og innsetting.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.100Blandet oppgave - tangent og parameter

Oppgave 3.100 - Blandet oppgave - tangent og parameter

Funksjonen f(x)=kx²+6x-3 har tangent med stigningstall 12 når x=2. Bestem k.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2kx+6. Kravet er f′(2)=4k+6=12. Dermed er 4k=6, så k=1.50.

Fasit
k=1.50.

Regel/huskeregel
Bruk betingelsen på den deriverte, ikke på funksjonsverdien.

Vanlige feil
Å sette f(2) lik stigningstallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.101Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Oppgave 3.101 - Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter for f(x)=x³-10x²+13x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=3x²-2(10)x+13. Løs f′(x)=0. Bruk fortegn eller f″(x)=6x-2(10) til å avgjøre type punkt. Sett x-verdiene inn i f for koordinater.

Fasit
Løsning fås fra f′(x)=0 og klassifisering med f″ eller fortegn.

Regel/huskeregel
Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null eller ikke eksisterer.

Vanlige feil
Å bare finne x-verdier og glemme y-verdier/type.

Sensor ser etter
Sensor ser etter full analyse.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.102Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Oppgave 3.102 - Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Funksjonen er f(x)={ 8x+1 for x<1, x²+8 for x≥1 }. Undersøk om f er kontinuerlig og deriverbar i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre funksjonsverdi mot 1 er 8+1=9. Høyre funksjonsverdi er 1+8=9, så funksjonen er kontinuerlig. Venstrederivert er 8. Høyrederivert er 2x, altså 2 ved x=1. Funksjonen er deriverbar bare hvis 8=2.

Fasit
Kontinuerlig. Deriverbar bare hvis 8=2.

Regel/huskeregel
For delt forskrift må både funksjonsverdi og ensidige deriverte kontrolleres.

Vanlige feil
Å sjekke bare funksjonsverdien.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontinuitet og deriverbarhet hver for seg.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.103Blandet oppgave - numerisk metode

Oppgave 3.103 - Blandet oppgave - numerisk metode

Lag et program som anslår den deriverte av f(x)=ln(x+10) i x=1 med symmetrisk kvotient.

from math import log
h = 1e-5
def f(x):
 return log(x+10)
print((f(1+h)-f(1-h))/(2*h))

Vis løsning

Trinnvis løsning
Den symmetriske kvotienten er [f(1+h)-f(1-h)]/(2h). Velg for eksempel h=10⁻⁵. Eksakt verdi er f′(1)=1/(1+10)=1/11.

Fasit
Programmet bør gi omtrent 0.09091.

Regel/huskeregel
Symmetrisk kvotient bruker punkter på begge sider av a.

Vanlige feil
Å bruke en h som gjør logaritmen udefinert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kode, kvotient og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.104Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

Oppgave 3.104 - Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

La f(x)=ln(x²+12). Finn likningen til tangenten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2x/(x²+12). f(2)=ln(16), og f′(2)=4/(16). Tangenten er y-ln(16)=[4/(16)](x-2).

Fasit
y-ln(16)=4/(16)(x-2).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen for ln(u) og ettpunktsformelen.

Vanlige feil
Å glemme å regne f(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter tangentpunkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.105Blandet oppgave - brøkregel

Oppgave 3.105 - Blandet oppgave - brøkregel

Deriver f(x)=(e^x+11)/(x²+1), og finn f′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk brøkregelen. Telleren u=e^x+11, u′=e^x. Nevneren v=x²+1, v′=2x. f′=[e^x(x²+1)-(e^x+11)2x]/(x²+1)². Ved x=0 blir f′(0)=1.

Fasit
f′(x)=[e^x(x²+1)-2x(e^x+{j})]/(x²+1)², og f′(0)=1.

Regel/huskeregel
Brøkregelen: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å glemme hele nevneren i andre potens.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt brøkregel og innsetting.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.106Blandet oppgave - tangent og parameter

Oppgave 3.106 - Blandet oppgave - tangent og parameter

Funksjonen f(x)=kx²+12x-3 har tangent med stigningstall 24 når x=2. Bestem k.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2kx+12. Kravet er f′(2)=4k+12=24. Dermed er 4k=12, så k=3.00.

Fasit
k=3.00.

Regel/huskeregel
Bruk betingelsen på den deriverte, ikke på funksjonsverdien.

Vanlige feil
Å sette f(2) lik stigningstallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.107Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Oppgave 3.107 - Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter for f(x)=x³-16x²+19x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=3x²-2(16)x+19. Løs f′(x)=0. Bruk fortegn eller f″(x)=6x-2(16) til å avgjøre type punkt. Sett x-verdiene inn i f for koordinater.

Fasit
Løsning fås fra f′(x)=0 og klassifisering med f″ eller fortegn.

Regel/huskeregel
Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null eller ikke eksisterer.

Vanlige feil
Å bare finne x-verdier og glemme y-verdier/type.

Sensor ser etter
Sensor ser etter full analyse.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.108Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Oppgave 3.108 - Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Funksjonen er f(x)={ 14x+1 for x<1, x²+14 for x≥1 }. Undersøk om f er kontinuerlig og deriverbar i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre funksjonsverdi mot 1 er 14+1=15. Høyre funksjonsverdi er 1+14=15, så funksjonen er kontinuerlig. Venstrederivert er 14. Høyrederivert er 2x, altså 2 ved x=1. Funksjonen er deriverbar bare hvis 14=2.

Fasit
Kontinuerlig. Deriverbar bare hvis 14=2.

Regel/huskeregel
For delt forskrift må både funksjonsverdi og ensidige deriverte kontrolleres.

Vanlige feil
Å sjekke bare funksjonsverdien.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontinuitet og deriverbarhet hver for seg.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.109Blandet oppgave - numerisk metode

Oppgave 3.109 - Blandet oppgave - numerisk metode

Lag et program som anslår den deriverte av f(x)=ln(x+16) i x=1 med symmetrisk kvotient.

from math import log
h = 1e-5
def f(x):
 return log(x+16)
print((f(1+h)-f(1-h))/(2*h))

Vis løsning

Trinnvis løsning
Den symmetriske kvotienten er [f(1+h)-f(1-h)]/(2h). Velg for eksempel h=10⁻⁵. Eksakt verdi er f′(1)=1/(1+16)=1/17.

Fasit
Programmet bør gi omtrent 0.05882.

Regel/huskeregel
Symmetrisk kvotient bruker punkter på begge sider av a.

Vanlige feil
Å bruke en h som gjør logaritmen udefinert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kode, kvotient og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.110Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

Oppgave 3.110 - Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

La f(x)=ln(x²+18). Finn likningen til tangenten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2x/(x²+18). f(2)=ln(22), og f′(2)=4/(22). Tangenten er y-ln(22)=[4/(22)](x-2).

Fasit
y-ln(22)=4/(22)(x-2).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen for ln(u) og ettpunktsformelen.

Vanlige feil
Å glemme å regne f(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter tangentpunkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.111Blandet oppgave - brøkregel

Oppgave 3.111 - Blandet oppgave - brøkregel

Deriver f(x)=(e^x+17)/(x²+1), og finn f′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk brøkregelen. Telleren u=e^x+17, u′=e^x. Nevneren v=x²+1, v′=2x. f′=[e^x(x²+1)-(e^x+17)2x]/(x²+1)². Ved x=0 blir f′(0)=1.

Fasit
f′(x)=[e^x(x²+1)-2x(e^x+{j})]/(x²+1)², og f′(0)=1.

Regel/huskeregel
Brøkregelen: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å glemme hele nevneren i andre potens.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt brøkregel og innsetting.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.112Blandet oppgave - tangent og parameter

Oppgave 3.112 - Blandet oppgave - tangent og parameter

Funksjonen f(x)=kx²+18x-3 har tangent med stigningstall 36 når x=2. Bestem k.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2kx+18. Kravet er f′(2)=4k+18=36. Dermed er 4k=18, så k=4.50.

Fasit
k=4.50.

Regel/huskeregel
Bruk betingelsen på den deriverte, ikke på funksjonsverdien.

Vanlige feil
Å sette f(2) lik stigningstallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.113Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Oppgave 3.113 - Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter for f(x)=x³-22x²+25x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=3x²-2(22)x+25. Løs f′(x)=0. Bruk fortegn eller f″(x)=6x-2(22) til å avgjøre type punkt. Sett x-verdiene inn i f for koordinater.

Fasit
Løsning fås fra f′(x)=0 og klassifisering med f″ eller fortegn.

Regel/huskeregel
Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null eller ikke eksisterer.

Vanlige feil
Å bare finne x-verdier og glemme y-verdier/type.

Sensor ser etter
Sensor ser etter full analyse.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.114Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Oppgave 3.114 - Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Funksjonen er f(x)={ 20x+1 for x<1, x²+20 for x≥1 }. Undersøk om f er kontinuerlig og deriverbar i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre funksjonsverdi mot 1 er 20+1=21. Høyre funksjonsverdi er 1+20=21, så funksjonen er kontinuerlig. Venstrederivert er 20. Høyrederivert er 2x, altså 2 ved x=1. Funksjonen er deriverbar bare hvis 20=2.

Fasit
Kontinuerlig. Deriverbar bare hvis 20=2.

Regel/huskeregel
For delt forskrift må både funksjonsverdi og ensidige deriverte kontrolleres.

Vanlige feil
Å sjekke bare funksjonsverdien.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontinuitet og deriverbarhet hver for seg.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.115Blandet oppgave - numerisk metode

Oppgave 3.115 - Blandet oppgave - numerisk metode

Lag et program som anslår den deriverte av f(x)=ln(x+22) i x=1 med symmetrisk kvotient.

from math import log
h = 1e-5
def f(x):
 return log(x+22)
print((f(1+h)-f(1-h))/(2*h))

Vis løsning

Trinnvis løsning
Den symmetriske kvotienten er [f(1+h)-f(1-h)]/(2h). Velg for eksempel h=10⁻⁵. Eksakt verdi er f′(1)=1/(1+22)=1/23.

Fasit
Programmet bør gi omtrent 0.04348.

Regel/huskeregel
Symmetrisk kvotient bruker punkter på begge sider av a.

Vanlige feil
Å bruke en h som gjør logaritmen udefinert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kode, kvotient og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.116Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

Oppgave 3.116 - Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

La f(x)=ln(x²+24). Finn likningen til tangenten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2x/(x²+24). f(2)=ln(28), og f′(2)=4/(28). Tangenten er y-ln(28)=[4/(28)](x-2).

Fasit
y-ln(28)=4/(28)(x-2).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen for ln(u) og ettpunktsformelen.

Vanlige feil
Å glemme å regne f(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter tangentpunkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.117Blandet oppgave - brøkregel

Oppgave 3.117 - Blandet oppgave - brøkregel

Deriver f(x)=(e^x+23)/(x²+1), og finn f′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk brøkregelen. Telleren u=e^x+23, u′=e^x. Nevneren v=x²+1, v′=2x. f′=[e^x(x²+1)-(e^x+23)2x]/(x²+1)². Ved x=0 blir f′(0)=1.

Fasit
f′(x)=[e^x(x²+1)-2x(e^x+{j})]/(x²+1)², og f′(0)=1.

Regel/huskeregel
Brøkregelen: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å glemme hele nevneren i andre potens.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt brøkregel og innsetting.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.118Blandet oppgave - tangent og parameter

Oppgave 3.118 - Blandet oppgave - tangent og parameter

Funksjonen f(x)=kx²+24x-3 har tangent med stigningstall 48 når x=2. Bestem k.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2kx+24. Kravet er f′(2)=4k+24=48. Dermed er 4k=24, så k=6.00.

Fasit
k=6.00.

Regel/huskeregel
Bruk betingelsen på den deriverte, ikke på funksjonsverdien.

Vanlige feil
Å sette f(2) lik stigningstallet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter parameterlikning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.119Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Oppgave 3.119 - Blandet oppgave - ekstremalpunkt

Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter for f(x)=x³-28x²+31x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=3x²-2(28)x+31. Løs f′(x)=0. Bruk fortegn eller f″(x)=6x-2(28) til å avgjøre type punkt. Sett x-verdiene inn i f for koordinater.

Fasit
Løsning fås fra f′(x)=0 og klassifisering med f″ eller fortegn.

Regel/huskeregel
Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null eller ikke eksisterer.

Vanlige feil
Å bare finne x-verdier og glemme y-verdier/type.

Sensor ser etter
Sensor ser etter full analyse.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.120Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Oppgave 3.120 - Blandet oppgave - deriverbarhet med delt forskrift

Funksjonen er f(x)={ 26x+1 for x<1, x²+26 for x≥1 }. Undersøk om f er kontinuerlig og deriverbar i x=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre funksjonsverdi mot 1 er 26+1=27. Høyre funksjonsverdi er 1+26=27, så funksjonen er kontinuerlig. Venstrederivert er 26. Høyrederivert er 2x, altså 2 ved x=1. Funksjonen er deriverbar bare hvis 26=2.

Fasit
Kontinuerlig. Deriverbar bare hvis 26=2.

Regel/huskeregel
For delt forskrift må både funksjonsverdi og ensidige deriverte kontrolleres.

Vanlige feil
Å sjekke bare funksjonsverdien.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kontinuitet og deriverbarhet hver for seg.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.121Blandet oppgave - numerisk metode

Oppgave 3.121 - Blandet oppgave - numerisk metode

Lag et program som anslår den deriverte av f(x)=ln(x+28) i x=1 med symmetrisk kvotient.

from math import log
h = 1e-5
def f(x):
 return log(x+28)
print((f(1+h)-f(1-h))/(2*h))

Vis løsning

Trinnvis løsning
Den symmetriske kvotienten er [f(1+h)-f(1-h)]/(2h). Velg for eksempel h=10⁻⁵. Eksakt verdi er f′(1)=1/(1+28)=1/29.

Fasit
Programmet bør gi omtrent 0.03448.

Regel/huskeregel
Symmetrisk kvotient bruker punkter på begge sider av a.

Vanlige feil
Å bruke en h som gjør logaritmen udefinert.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kode, kvotient og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave 3.122Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

Oppgave 3.122 - Blandet oppgave - kjerneregel og tangent

La f(x)=ln(x²+30). Finn likningen til tangenten når x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=2x/(x²+30). f(2)=ln(34), og f′(2)=4/(34). Tangenten er y-ln(34)=[4/(34)](x-2).

Fasit
y-ln(34)=4/(34)(x-2).

Regel/huskeregel
Kjerneregelen for ln(u) og ettpunktsformelen.

Vanlige feil
Å glemme å regne f(2).

Sensor ser etter
Sensor ser etter tangentpunkt og stigningstall.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3.123Blandet oppgave - brøkregel

Oppgave 3.123 - Blandet oppgave - brøkregel

Deriver f(x)=(e^x+29)/(x²+1), og finn f′(0).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Bruk brøkregelen. Telleren u=e^x+29, u′=e^x. Nevneren v=x²+1, v′=2x. f′=[e^x(x²+1)-(e^x+29)2x]/(x²+1)². Ved x=0 blir f′(0)=1.

Fasit
f′(x)=[e^x(x²+1)-2x(e^x+{j})]/(x²+1)², og f′(0)=1.

Regel/huskeregel
Brøkregelen: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Vanlige feil
Å glemme hele nevneren i andre potens.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt brøkregel og innsetting.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Kapitteltest - Derivasjon

Oppgave Kapitteltest 1To metoder for kjerneregel

Oppgave Kapitteltest 1 - To metoder for kjerneregel

Funksjonen er f(x)=(3x+2)². Deriver først ved å multiplisere ut, og deretter ved kjerneregelen.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Utvidet: f(x)=9x²+12x+4, så f′(x)=18x+12. Med kjerneregel: 2(3x+2)·3=18x+12. Begge metoder gir samme svar.

Fasit
f′(x)=18x+12.

Regel/huskeregel
Samme funksjon kan ofte deriveres på flere måter.

Vanlige feil
Å få ulike svar uten å kontrollere algebraen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodekontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Kapitteltest 2Finn opprinnelig funksjon fra derivert uttrykk

Oppgave Kapitteltest 2 - Finn opprinnelig funksjon fra derivert uttrykk

Du ser utregningen f′(x)=2x·e^2x+x²·2e^2x. Bestem f(x).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Dette er produktregelen for x²·e^2x. Første ledd kommer fra (x²)′·e^2x, andre fra x²·(e^2x)′.

Fasit
f(x)=x²e^2x.

Regel/huskeregel
Gjenkjenn produktregelen baklengs.

Vanlige feil
Å integrere leddene separat uten å se produktstrukturen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter strukturgjenkjenning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Kapitteltest 3Definisjonen av den deriverte

Oppgave Kapitteltest 3 - Definisjonen av den deriverte

Bruk definisjonen til å finne den deriverte av f(x)=x²-4x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)²-4(x+Δx)-x²+4x=2xΔx+(Δx)²-4Δx. Divider på Δx: 2x+Δx-4. Grensen blir 2x-4.

Fasit
f′(x)=2x-4.

Regel/huskeregel
Bruk grenseverdien av differansekvotienten.

Vanlige feil
Å sette Δx=0 for tidlig.

Sensor ser etter
Sensor ser etter definisjonsmetoden.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Kapitteltest 4Tangent med gitt stigningstall

Oppgave Kapitteltest 4 - Tangent med gitt stigningstall

f(x)=5-2ln x. Løs f′(x)=-2 og tolk svaret.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=-2/x. Likningen -2/x=-2 gir x=1. Det betyr at tangenten har stigningstall -2 i punktet på grafen der x=1.

Fasit
x=1.

Regel/huskeregel
Derivert gir stigningstall til tangent.

Vanlige feil
Å løse f(x)=-2 i stedet for f′(x)=-2.

Sensor ser etter
Sensor ser etter tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Kapitteltest 5Delt forskrift og deriverbarhet

Oppgave Kapitteltest 5 - Delt forskrift og deriverbarhet

La f(x)={-x for x<2, x-4 for x≥2}. Avgjør om f er deriverbar i x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Venstre grenseverdi er -2. Høyre funksjonsverdi er -2. Funksjonen er kontinuerlig. Venstrederivert er -1, høyrederivert er 1. De er ulike, så funksjonen er ikke deriverbar i x=2.

Fasit
Ikke deriverbar i x=2.

Regel/huskeregel
Deriverbarhet krever lik venstre- og høyrederivert.

Vanlige feil
Å stoppe etter å ha sjekket kontinuitet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begge deler.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Kapitteltest 6Skisser kontinuerlig og diskontinuerlig ikke-deriverbar graf

Oppgave Kapitteltest 6 - Skisser kontinuerlig og diskontinuerlig ikke-deriverbar graf

Lag to mulige skisser for en funksjon som ikke er deriverbar i x=1: én kontinuerlig og én diskontinuerlig.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Kontinuerlig eksempel: f(x)=|x-1| har knekk i x=1. Diskontinuerlig eksempel: f(x)=0 for x<1 og f(x)=2 for x≥1 har hopp i x=1.

Fasit
Eksempler: |x-1| og en hoppfunksjon.

Regel/huskeregel
Knekk og hopp kan begge hindre deriverbarhet.

Vanlige feil
Å lage to like typer skisser.

Sensor ser etter
Sensor ser etter to ulike årsaker til ikke-deriverbarhet.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Kapitteltest 7Momentan vekstfart lik null

Oppgave Kapitteltest 7 - Momentan vekstfart lik null

La f(x)=xln x. Finn punktet der vekstfarten er null.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f′(x)=ln x+1. Sett lik null: ln x=-1, så x=e^-1. Punktet er (e^-1, f(e^-1))=(e^-1, -e^-1).

Fasit
(1/e, -1/e).

Regel/huskeregel
Produktregel og ln-regel.

Vanlige feil
Å glemme produktregelen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både x- og y-koordinat.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Kapitteltest 8Kommenter numerisk derivasjon

Oppgave Kapitteltest 8 - Kommenter numerisk derivasjon

Et program beregner den deriverte av ln x i x=1 med Newtons kvotient og symmetrisk kvotient. Forklar hvorfor svarene er nær 1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Den eksakte deriverte er (ln x)′=1/x, og ved x=1 er verdien 1. Numeriske kvotienter med liten Δx gir derfor verdier nær 1. Symmetrisk kvotient er ofte mer presis.

Fasit
Begge bør bli nær 1.

Regel/huskeregel
Numerisk derivasjon bør kontrolleres mot teori når det er mulig.

Vanlige feil
Å tro at små avvik betyr at programmet er feil.

Sensor ser etter
Sensor ser etter numerisk forståelse.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Oppgave Kapitteltest 9Bestem mulig andregradsfunksjon

Oppgave Kapitteltest 9 - Bestem mulig andregradsfunksjon

Du vet at f′(1)=8, f′(2)=10 og f′(3)=12. Finn en mulig f(x) når f er andregradsfunksjon.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Hvis f er andregradsfunksjon, er f′ lineær. Verdiene øker med 2 når x øker med 1, så f′(x)=2x+6. En antiderivert er f(x)=x²+6x+C. Én mulig funksjon er f(x)=x²+6x.

Fasit
For eksempel f(x)=x²+6x.

Regel/huskeregel
Den deriverte av en andregradsfunksjon er lineær.

Vanlige feil
Å tro at f er bestemt entydig uten konstantledd.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at konstantleddet kan velges fritt.

Høy måloppnåelse
Du viser sammenheng mellom graf, tangent, derivasjonsregel og praktisk tolkning. Du kontrollerer fortegn, definisjonsmengde og om funksjonen faktisk er deriverbar.

Regler og huskeregler

Gjennomsnittlig vekstfart: Δf/Δx = [f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁).

Momentan vekstfart: f′(a) er stigningstallet til tangenten i punktet (a, f(a)).

Tangent: y-f(a)=f′(a)(x-a).

Potensregelen: (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹. Konstantledd forsvinner.

Logaritme og e: (ln x)′=1/x og (eˣ)′=eˣ. Med kjerne: (eᵘ)′=eᵘ·u′ og (ln u)′=u′/u.

Algebraisk definisjon: f′(x)=lim_Δx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx.

Deriverbarhet: f er deriverbar i a hvis venstre- og høyrederivert finnes og er like. Deriverbarhet medfører kontinuitet.

Numerisk derivasjon: Newtons kvotient og symmetrisk kvotient gir tilnærminger til f′(a).

Kjerneregelen: Hvis f(x)=g(u(x)), er f′(x)=g′(u)·u′(x).

Produktregelen: (uv)′=u′v+uv′.

Brøkregelen: (u/v)′=(u′v-uv′)/v².

Innhold: eksempler, alle oppgavenummer 4.1-4.77, kapitteltest, full trinnvis løsning, fasit, regler, vanlige feil, sensorpunkt, høy måloppnåelse, SVG-illustrasjoner, kodebokser og Ifingo-lærer-knapp.

Eksempler – forklart

Oppgave Eksempel 1Monotoni og ekstremalpunkt

Oppgave Eksempel 1 - Monotoni og ekstremalpunkt

Funksjonen f er gitt ved f(x)=e^x-4x. Finn monotoniegenskapene og eventuelle ekstremalpunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriver: f'(x)=e^x-4. Sett f'(x)=0: e^x=4, altså x=ln4. For xln4 er f'>0. Funksjonen avtar først og vokser etterpå. Derfor får vi et bunnpunkt ved x=ln4. Verdien er f(ln4)=4-4ln4.

Fasit
Avtar på (-∞,ln4], vokser på [ln4,∞). Bunnpunkt: (ln4, 4-4ln4).

Regel/huskeregel
Fortegnet til f'(x) bestemmer om f vokser eller avtar. Fortegnsskifte fra - til + gir bunnpunkt.

Vanlige feil
Å bare løse f'(x)=0 uten å sjekke fortegnet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter derivert, nullpunkt, fortegnslinje og koordinat til punktet.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 2Optimalisering i geometri

Oppgave Eksempel 2 - Optimalisering i geometri

En rektangulær bjelke sages ut av en rund stokk med diameter 60 cm. Bæreevnen er proporsjonal med bredde x og høyde y i andre. Finn en modell for bæreevnen.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Pytagoras gir x²+y²=60²=3600, altså y²=3600-x². Bæreevnen kan skrives B(x)=k·x·y²=kx(3600-x²)=k(3600x-x³). For maksimum deriverer vi: B'(x)=k(3600-3x²). B'=0 gir x²=1200, x=20√3. Da er y²=3600-1200=2400, så y=20√6.

Fasit
B(x)=k(3600x-x³). Størst bæreevne når x=20√3 cm og y=20√6 cm.

Regel/huskeregel
Lag først en funksjon av én variabel. Bruk derivasjon til å finne maksimum.

Vanlige feil
Å maksimere x eller y alene i stedet for bæreevnen.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsområde, derivasjon og praktisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 3Kritiske punkter på lukket intervall

Oppgave Eksempel 3 - Kritiske punkter på lukket intervall

Finn største og minste verdi for f(x)=x³-3x+2 på intervallet [-2,3].

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriver: f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1). Kritiske x-verdier er -1 og 1. Vi vurderer endepunktene og de kritiske punktene: f(-2)=0, f(-1)=4, f(1)=0 og f(3)=20.

Fasit
Minste verdi 0 ved x=-2 og x=1. Største verdi 20 ved x=3.

Regel/huskeregel
På lukket intervall må både kritiske punkter og endepunkter undersøkes.

Vanlige feil
Å glemme endepunktene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter komplett kandidat-liste og sammenlikning av funksjonsverdier.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 4Andrederiverttesten

Oppgave Eksempel 4 - Andrederiverttesten

Avgjør om f(x)=x³-6x²+9x har topp- eller bunnpunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3). Kritiske punkter er x=1 og x=3. f''(x)=6x-12. f''(1)=-6<0, så x=1 gir toppunkt. f''(3)=6>0, så x=3 gir bunnpunkt.

Fasit
Toppunkt ved x=1, bunnpunkt ved x=3.

Regel/huskeregel
Hvis f'(a)=0 og f''(a)<0: toppunkt. Hvis f''(a)>0: bunnpunkt.

Vanlige feil
Å bruke andrederiverttesten når f''(a)=0 uten videre kontroll.

Sensor ser etter
Sensor ser etter både f' og f''.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 5Krumning og vendepunkt

Oppgave Eksempel 5 - Krumning og vendepunkt

Bestem krumningen til f(x)=x³-3x²+2 og finn vendepunktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-6x, og f''(x)=6x-6. Vendepunkt kan ligge der f''=0: x=1. For x<1 er f''<0, grafen vender hul side ned. For x>1 er f''>0, grafen vender hul side opp. f(1)=0.

Fasit
Vendepunkt: (1,0). Hul ned for x<1 og hul opp for x>1.

Regel/huskeregel
Krumning bestemmes av fortegnet til f''.

Vanlige feil
Å kalle alle punkter med f''=0 for vendepunkt uten fortegnsskifte.

Sensor ser etter
Sensor ser etter fortegnsskifte for f''.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 6Størst og minst vekst

Oppgave Eksempel 6 - Størst og minst vekst

En bestand er gitt ved N(t)=t³-12t²+60t+100 for 0≤t≤8. Når er veksten størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Veksten er N'(t)=3t²-24t+60. For å finne når veksten er størst eller minst, studerer vi N'. Deriver N': N''(t)=6t-24. Kritisk punkt for veksten: t=4. Sjekk også endepunktene for N': N'(0)=60, N'(4)=12, N'(8)=60. Minst vekst ved t=4; størst vekst ved endepunktene.

Fasit
Minst vekst ved t=4. Størst vekst ved t=0 og t=8 i dette intervallet.

Regel/huskeregel
Størst/minst vekst betyr størst/minst verdi av f'(x), ikke av f(x).

Vanlige feil
Å maksimere N(t) i stedet for N'(t).

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven skiller mellom funksjon og vekstfart.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 7Tangentlikning

Oppgave Eksempel 7 - Tangentlikning

Finn tangenten til f(x)=x²+2x i punktet der x=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først finner vi punktet: f(3)=9+6=15. Deriver: f'(x)=2x+2, så f'(3)=8. Tangenten er y-15=8(x-3), altså y=8x-9.

Fasit
y=8x-9.

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a: y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformelen.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 8Tangent med ukjent tangeringspunkt

Oppgave Eksempel 8 - Tangent med ukjent tangeringspunkt

For f(x)=ln x, finn a slik at tangenten i x=a har stigningstall 1/4.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=1/x. Vi setter 1/a=1/4, som gir a=4. Punktet er (4,ln4).

Fasit
a=4.

Regel/huskeregel
Tangentens stigningstall i x=a er f'(a).

Vanlige feil
Å sette f(a)=1/4 i stedet for f'(a)=1/4.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig bruk av den deriverte.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Eksempel 9Normal til graf

Oppgave Eksempel 9 - Normal til graf

Finn normalen til f(x)=x² i punktet (2,4).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Tangenten har stigningstall f'(2)=4. Normalen står vinkelrett på tangenten, og har stigningstall -1/4. Likningen blir y-4=-(1/4)(x-2).

Fasit
y-4=-(1/4)(x-2).

Regel/huskeregel
Hvis to linjer står vinkelrett, er produktet av stigningstallene -1.

Vanlige feil
Å bruke samme stigningstall som tangenten.

Sensor ser etter
Sensor ser etter vinkelrett linje og punkt.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 10Newtons metode

Oppgave Eksempel 10 - Newtons metode

Bruk Newtons metode på f(x)=x²-7 med start x0=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Formelen er x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n). Her er f'(x)=2x. x1=3-(9-7)/6=2,6667. x2=2,6667-(7,1111-7)/5,3334≈2,6458.

Fasit
Nullpunktet er omtrent 2,646.

Regel/huskeregel
Newtons metode bruker tangenten som ny tilnærming.

Vanlige feil
Å glemme å derivere i nevneren.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formelen og minst to iterasjoner.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 11Newtons metode med funksjon

Oppgave Eksempel 11 - Newtons metode med funksjon

Finn en tilnærming til løsningen av e^x=4 med Newtons metode.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Sett f(x)=e^x-4. Da er f'(x)=e^x. Start for eksempel x0=1,5. x1=1,5-(e¹,5-4)/e¹,5≈1,392. x2≈1,386.

Fasit
x≈1,386, altså ln4.

Regel/huskeregel
Likningen skrives først som f(x)=0.

Vanlige feil
Å bruke Newton direkte på e^x=4 uten å lage f(x).

Sensor ser etter
Sensor ser etter, iterasjon og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 12Valg av startverdi

Oppgave Eksempel 12 - Valg av startverdi

Hvorfor kan Newtons metode gi problemer hvis startverdien er dårlig?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Metoden bruker tangenten i startpunktet. Hvis tangenten er nesten horisontal, kan neste verdi havne langt unna. Hvis funksjonen har flere nullpunkter, kan metoden gå mot et annet nullpunkt enn det vi ønsker.

Fasit
Startverdi bør velges nær ønsket nullpunkt og der f'(x) ikke er for nær 0.

Regel/huskeregel
Newtons metode er numerisk og krever vurdering av startverdi.

Vanlige feil
Å tro at metoden alltid finner riktig nullpunkt.

Sensor ser etter
Sensor ser etter kritisk vurdering av metode.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 13L Hôpital ved 0/0

Oppgave Eksempel 13 - L Hôpital ved 0/0

Finn lim_{x→0} (e^x-1)/x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Når x→0 går teller mot 0 og nevner mot 0. Vi kan bruke L Hôpital: grenseverdien blir lim_{x→0} e^x/1 = 1.

Fasit
1.

Regel/huskeregel
Ved 0/0 kan vi derivere teller og nevner hver for seg.

Vanlige feil
Å bruke regelen uten å sjekke 0/0 eller ∞/∞.

Sensor ser etter
Sensor ser etter vilkår før regelen brukes.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 14L Hôpital ved ∞/∞

Oppgave Eksempel 14 - L Hôpital ved ∞/∞

Finn lim_{x→∞} x²/e^x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Teller og nevner går mot ∞. L Hôpital gir lim 2x/e^x. Dette er fortsatt ∞/∞, så vi bruker regelen igjen: lim 2/e^x=0.

Fasit
0.

Regel/huskeregel
Eksponentialfunksjonen vokser raskere enn polynomfunksjoner.

Vanlige feil
Å stoppe etter én derivasjon når uttrykket fortsatt er ∞/∞.

Sensor ser etter
Sensor ser etter gjentatt bruk av regelen.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 15L Hôpital og logaritme

Oppgave Eksempel 15 - L Hôpital og logaritme

Finn lim_{x→∞} ln x / x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Uttrykket er ∞/∞. L Hôpital gir lim (1/x)/1=0.

Fasit
0.

Regel/huskeregel
Logaritmer vokser langsommere enn lineære funksjoner.

Vanlige feil
Å anta at ∞/∞ alltid blir 1.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt derivasjon av ln x.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 16Grenseverdi med

Oppgave Eksempel 16 - Grenseverdi med

Finn lim_{x→0} (sin x)/x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Denne standardgrensen er 1. Med kalkulator/CAS kan den kontrolleres numerisk. I R1-sammenheng kan man bruke kjent grense eller grafisk argument.

Fasit
1.

Regel/huskeregel
Noen grenser bør gjenkjennes som standardgrenser.

Vanlige feil
Å sette inn x=0 direkte og få 0/0 som svar.

Sensor ser etter
Sensor ser etter begrunnelse, ikke bare desimalforsøk.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 17Optimalisering med parameter

Oppgave Eksempel 17 - Optimalisering med parameter

Et rektangel har omkrets 40. Finn størst mulig areal.

Vis løsning

Trinnvis løsning
La sidene være x og 20-x. Arealet er A(x)=x(20-x)=20x-x². A'(x)=20-2x. A'=0 gir x=10, og da er den andre siden også 10.

Fasit
Størst areal er 100 når rektanglet er et kvadrat.

Regel/huskeregel
Lag modell av én variabel før derivasjon.

Vanlige feil
Å bruke to frie variabler uten sammenheng.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsområde og maksimum.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Eksempel 18Sammenheng mellom f, f’ og f’’

Oppgave Eksempel 18 - Sammenheng mellom f, f’ og f’’

Forklar hvordan f' og f'' kan brukes til å skissere grafen til f.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f' forteller hvor f vokser og avtar. Nullpunkter til f' kan gi topp-, bunn- eller terrassepunkt. f'' forteller krumning. Fortegnsskifte i f'' gir vendepunkt. Sammen gir dette en god skisse av grafen.

Fasit
f': monotoni og ekstremalpunkt. f'': krumning og vendepunkt.

Regel/huskeregel
Drøfting av funksjon kombinerer flere typer informasjon.

Vanlige feil
Å bruke bare f'(x)=0 og ignorere fortegn.

Sensor ser etter
Sensor ser etter helhetlig grafanalyse.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgaver 4.1-4.77

Oppgave 4.1Monotoni og ekstremalpunkt

Oppgave 4.1 - Monotoni og ekstremalpunkt

Funksjonen f er gitt ved f(x)=e^x-4x. Finn monotoniegenskapene og koordinatene til eventuelle topp-, bunn- eller terrassepunkter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=e^x-4. Løs f'(x)=0: e^x=4, så x=ln4. For xln4 er f'>0. Dermed avtar f først og vokser etterpå. Punktet er et bunnpunkt med verdi f(ln4)=4-4ln4.

Fasit
Avtar på (-∞, ln4], vokser på [ln4, ∞). Bunnpunkt: (ln4, 4-4ln4).

Regel/huskeregel
Fortegnet til den deriverte bestemmer vekst og avtakning.

Vanlige feil
Å bare finne f'(x)=0 uten å klassifisere punktene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter derivert, fortegnslinje og korrekt konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.2Monotoni og ekstremalpunkt

Oppgave 4.2 - Monotoni og ekstremalpunkt

Funksjonen g er gitt ved g(x)=1/3x³-3x²+4x. Finn monotoniegenskapene og eventuelle ekstremalpunkter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
g'(x)=x²-6x+4. Løs g'(x)=0 med abc-formel. Lag fortegnslinje for g'. Der g' er positiv, vokser g, og der g' er negativ, avtar g. Fortegnsskifte fra + til - gir toppunkt, og fra - til + gir bunnpunkt.

Fasit
Løsningene til g'(x)=0 gir kandidatene. Klassifiser med fortegnslinje eller andrederivert.

Regel/huskeregel
Fortegnet til den deriverte bestemmer vekst og avtakning.

Vanlige feil
Å bare finne f'(x)=0 uten å klassifisere punktene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter derivert, fortegnslinje og korrekt konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.3Monotoni og ekstremalpunkt

Oppgave 4.3 - Monotoni og ekstremalpunkt

Funksjonen f er gitt ved f(x)=e^x-6x. Finn monotoniegenskapene og koordinatene til eventuelle topp-, bunn- eller terrassepunkter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=e^x-6. Løs f'(x)=0: e^x=6, så x=ln6. For xln6 er f'>0. Dermed avtar f først og vokser etterpå. Punktet er et bunnpunkt med verdi f(ln6)=6-6ln6.

Fasit
Avtar på (-∞, ln6], vokser på [ln6, ∞). Bunnpunkt: (ln6, 6-6ln6).

Regel/huskeregel
Fortegnet til den deriverte bestemmer vekst og avtakning.

Vanlige feil
Å bare finne f'(x)=0 uten å klassifisere punktene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter derivert, fortegnslinje og korrekt konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.4Monotoni og ekstremalpunkt

Oppgave 4.4 - Monotoni og ekstremalpunkt

Funksjonen g er gitt ved g(x)=1/3x³-5x²+8x. Finn monotoniegenskapene og eventuelle ekstremalpunkter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
g'(x)=x²-10x+8. Løs g'(x)=0 med abc-formel. Lag fortegnslinje for g'. Der g' er positiv, vokser g, og der g' er negativ, avtar g. Fortegnsskifte fra + til - gir toppunkt, og fra - til + gir bunnpunkt.

Fasit
Løsningene til g'(x)=0 gir kandidatene. Klassifiser med fortegnslinje eller andrederivert.

Regel/huskeregel
Fortegnet til den deriverte bestemmer vekst og avtakning.

Vanlige feil
Å bare finne f'(x)=0 uten å klassifisere punktene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter derivert, fortegnslinje og korrekt konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.5Monotoni og ekstremalpunkt

Oppgave 4.5 - Monotoni og ekstremalpunkt

Funksjonen f er gitt ved f(x)=e^x-8x. Finn monotoniegenskapene og koordinatene til eventuelle topp-, bunn- eller terrassepunkter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=e^x-8. Løs f'(x)=0: e^x=8, så x=ln8. For xln8 er f'>0. Dermed avtar f først og vokser etterpå. Punktet er et bunnpunkt med verdi f(ln8)=8-8ln8.

Fasit
Avtar på (-∞, ln8], vokser på [ln8, ∞). Bunnpunkt: (ln8, 8-8ln8).

Regel/huskeregel
Fortegnet til den deriverte bestemmer vekst og avtakning.

Vanlige feil
Å bare finne f'(x)=0 uten å klassifisere punktene.

Sensor ser etter
Sensor ser etter derivert, fortegnslinje og korrekt konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.6Størst og minst verdi

Oppgave 4.6 - Størst og minst verdi

Overskuddet ved produksjon av x enheter er O(x)=-0.09x²+37x-260, 0≤x≤500. Finn produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Vis løsning

Trinnvis løsning
O'(x)=-0.18x+37. Sett O'(x)=0: x=37/0.18≈205.6. Siden O''(x)=-0.18<0, er dette et maksimum. O(205.6)≈3542.8.

Fasit
Størst overskudd ved x≈205.6, med overskudd ca. 3542.8.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.7Størst og minst verdi

Oppgave 4.7 - Størst og minst verdi

En ball kastes rett opp. Høyden etter t sekunder er h(t)=-4,9t²+12.0t+1.4. Når snur ballen, og hvor høyt er den da?

Vis løsning

Trinnvis løsning
h'(t)=-9,8t+12.0. Når ballen snur, er farten 0: -9,8t+12.0=0, så t≈1.22. Høyden er h(1.22)≈8.75.

Fasit
Ball snur etter ca. 1.22 s og høyden er ca. 8.75 m.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.8Størst og minst verdi

Oppgave 4.8 - Størst og minst verdi

En papplate på 50 cm × 31 cm skal bli en eske uten lokk ved å klippe bort kvadrater med side x. Lag volummodellen og forklar hvordan størst volum finnes.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Volumet er V(x)=x(50-2x)(31-2x). Definisjonsmengden er 0

Fasit
V(x)=x(50-2x)(31-2x), 0

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.9Størst og minst verdi

Oppgave 4.9 - Størst og minst verdi

En rett linje gjennom første kvadrant danner en trekant med koordinataksene. Arealet skal bli størst mulig under en gitt begrensning. Forklar hvordan du lager modellen og finner maksimum.

Vis løsning

Trinnvis løsning
La x være én av de ukjente lengdene. Bruk betingelsen til å skrive den andre lengden som et uttrykk i x. Arealet blir A(x)=1/2·grunnlinje·høyde. Deriver A, løs A'(x)=0 og sjekk endepunkter/fortegn.

Fasit
Maksimum finnes når A'(x)=0 innenfor gyldig intervall.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.10Størst og minst verdi

Oppgave 4.10 - Størst og minst verdi

Overskuddet ved produksjon av x enheter er O(x)=-0.13x²+45x-300, 0≤x≤500. Finn produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Vis løsning

Trinnvis løsning
O'(x)=-0.26x+45. Sett O'(x)=0: x=45/0.26≈173.1. Siden O''(x)=-0.26<0, er dette et maksimum. O(173.1)≈3594.2.

Fasit
Størst overskudd ved x≈173.1, med overskudd ca. 3594.2.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.11Størst og minst verdi

Oppgave 4.11 - Størst og minst verdi

En ball kastes rett opp. Høyden etter t sekunder er h(t)=-4,9t²+16.0t+1.8. Når snur ballen, og hvor høyt er den da?

Vis løsning

Trinnvis løsning
h'(t)=-9,8t+16.0. Når ballen snur, er farten 0: -9,8t+16.0=0, så t≈1.63. Høyden er h(1.63)≈14.86.

Fasit
Ball snur etter ca. 1.63 s og høyden er ca. 14.86 m.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.12Størst og minst verdi

Oppgave 4.12 - Størst og minst verdi

En papplate på 58 cm × 35 cm skal bli en eske uten lokk ved å klippe bort kvadrater med side x. Lag volummodellen og forklar hvordan størst volum finnes.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Volumet er V(x)=x(58-2x)(35-2x). Definisjonsmengden er 0

Fasit
V(x)=x(58-2x)(35-2x), 0

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.13Størst og minst verdi

Oppgave 4.13 - Størst og minst verdi

En rett linje gjennom første kvadrant danner en trekant med koordinataksene. Arealet skal bli størst mulig under en gitt begrensning. Forklar hvordan du lager modellen og finner maksimum.

Vis løsning

Fasit
Maksimum finnes når A'(x)=0 innenfor gyldig intervall.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.14Størst og minst verdi

Oppgave 4.14 - Størst og minst verdi

Overskuddet ved produksjon av x enheter er O(x)=-0.17x²+53x-340, 0≤x≤500. Finn produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Vis løsning

Trinnvis løsning
O'(x)=-0.34x+53. Sett O'(x)=0: x=53/0.34≈155.9. Siden O''(x)=-0.34<0, er dette et maksimum. O(155.9)≈3790.9.

Fasit
Størst overskudd ved x≈155.9, med overskudd ca. 3790.9.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.15Størst og minst verdi

Oppgave 4.15 - Størst og minst verdi

En ball kastes rett opp. Høyden etter t sekunder er h(t)=-4,9t²+20.0t+2.2. Når snur ballen, og hvor høyt er den da?

Vis løsning

Trinnvis løsning
h'(t)=-9,8t+20.0. Når ballen snur, er farten 0: -9,8t+20.0=0, så t≈2.04. Høyden er h(2.04)≈22.61.

Fasit
Ball snur etter ca. 2.04 s og høyden er ca. 22.61 m.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.16Størst og minst verdi

Oppgave 4.16 - Størst og minst verdi

En papplate på 66 cm × 39 cm skal bli en eske uten lokk ved å klippe bort kvadrater med side x. Lag volummodellen og forklar hvordan størst volum finnes.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Volumet er V(x)=x(66-2x)(39-2x). Definisjonsmengden er 0

Fasit
V(x)=x(66-2x)(39-2x), 0

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.17Størst og minst verdi

Oppgave 4.17 - Størst og minst verdi

En rett linje gjennom første kvadrant danner en trekant med koordinataksene. Arealet skal bli størst mulig under en gitt begrensning. Forklar hvordan du lager modellen og finner maksimum.

Vis løsning

Fasit
Maksimum finnes når A'(x)=0 innenfor gyldig intervall.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.18Størst og minst verdi

Oppgave 4.18 - Størst og minst verdi

Overskuddet ved produksjon av x enheter er O(x)=-0.21x²+61x-380, 0≤x≤500. Finn produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Vis løsning

Trinnvis løsning
O'(x)=-0.42x+61. Sett O'(x)=0: x=61/0.42≈145.2. Siden O''(x)=-0.42<0, er dette et maksimum. O(145.2)≈4049.8.

Fasit
Størst overskudd ved x≈145.2, med overskudd ca. 4049.8.

Regel/huskeregel
Ved optimalisering lager vi først en funksjon av én variabel og deriverer.

Vanlige feil
Vanlig feil er å derivere før modellen er ferdig, eller glemme definisjonsmengden.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell, definisjonsmengde, derivert og praktisk svar.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.19Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.19 - Størst/minst vekst og krumning

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-4x²+2x. Finn hvor grafen vender hul side opp og hul side ned.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-8x+2. f''(x)=6x-8. Sett f''(x)=0: x=1.33. For x mindre enn dette er f''<0, og for x større er f''>0.

Fasit
Hul ned for x<1.33; hul opp for x>1.33. Vendepunkt ved x≈1.33.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.20Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.20 - Størst/minst vekst og krumning

En funksjon har f'(x)=x²-4x+3. Bruk f' til å bestemme hvor f vokser og avtar.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Vi løser f'(x)=0. Dette er en andregradslikning. Etter faktorisering/abc får vi to nullpunkter. Siden koeffisienten foran x² er positiv, er f' positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem. Derfor vokser f utenfor og avtar mellom nullpunktene.

Fasit
Vokser der f'>0 og avtar der f'<0. Bruk fortegnslinje for f'.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.21Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.21 - Størst/minst vekst og krumning

En modell for antall besøk er B(t)=-t³+9t²+23t+100. Når er veksten størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Veksten er B'(t)=-3t²+18t+23. Størst vekst betyr maksimum for B'. Deriver B': B''(t)=-6t+18. Sett B''=0: t=3.00.

Fasit
Veksten er størst ved t≈3.00, dersom dette ligger i gyldig tidsintervall.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.22Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.22 - Størst/minst vekst og krumning

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-7x²+8x. Finn hvor grafen vender hul side opp og hul side ned.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-14x+8. f''(x)=6x-14. Sett f''(x)=0: x=2.33. For x mindre enn dette er f''<0, og for x større er f''>0.

Fasit
Hul ned for x<2.33; hul opp for x>2.33. Vendepunkt ved x≈2.33.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.23Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.23 - Størst/minst vekst og krumning

En funksjon har f'(x)=x²-10x+24. Bruk f' til å bestemme hvor f vokser og avtar.

Vis løsning

Fasit
Vokser der f'>0 og avtar der f'<0. Bruk fortegnslinje for f'.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.24Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.24 - Størst/minst vekst og krumning

En modell for antall besøk er B(t)=-t³+12t²+26t+100. Når er veksten størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Veksten er B'(t)=-3t²+24t+26. Størst vekst betyr maksimum for B'. Deriver B': B''(t)=-6t+24. Sett B''=0: t=4.00.

Fasit
Veksten er størst ved t≈4.00, dersom dette ligger i gyldig tidsintervall.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.25Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.25 - Størst/minst vekst og krumning

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-10x²+14x. Finn hvor grafen vender hul side opp og hul side ned.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-20x+14. f''(x)=6x-20. Sett f''(x)=0: x=3.33. For x mindre enn dette er f''<0, og for x større er f''>0.

Fasit
Hul ned for x<3.33; hul opp for x>3.33. Vendepunkt ved x≈3.33.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.26Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.26 - Størst/minst vekst og krumning

En funksjon har f'(x)=x²-16x+63. Bruk f' til å bestemme hvor f vokser og avtar.

Vis løsning

Fasit
Vokser der f'>0 og avtar der f'<0. Bruk fortegnslinje for f'.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.27Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.27 - Størst/minst vekst og krumning

En modell for antall besøk er B(t)=-t³+15t²+29t+100. Når er veksten størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Veksten er B'(t)=-3t²+30t+29. Størst vekst betyr maksimum for B'. Deriver B': B''(t)=-6t+30. Sett B''=0: t=5.00.

Fasit
Veksten er størst ved t≈5.00, dersom dette ligger i gyldig tidsintervall.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.28Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.28 - Størst/minst vekst og krumning

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-13x²+20x. Finn hvor grafen vender hul side opp og hul side ned.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-26x+20. f''(x)=6x-26. Sett f''(x)=0: x=4.33. For x mindre enn dette er f''<0, og for x større er f''>0.

Fasit
Hul ned for x<4.33; hul opp for x>4.33. Vendepunkt ved x≈4.33.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.29Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.29 - Størst/minst vekst og krumning

En funksjon har f'(x)=x²-22x+120. Bruk f' til å bestemme hvor f vokser og avtar.

Vis løsning

Fasit
Vokser der f'>0 og avtar der f'<0. Bruk fortegnslinje for f'.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.30Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.30 - Størst/minst vekst og krumning

En modell for antall besøk er B(t)=-t³+18t²+32t+100. Når er veksten størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Veksten er B'(t)=-3t²+36t+32. Størst vekst betyr maksimum for B'. Deriver B': B''(t)=-6t+36. Sett B''=0: t=6.00.

Fasit
Veksten er størst ved t≈6.00, dersom dette ligger i gyldig tidsintervall.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.31Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.31 - Størst/minst vekst og krumning

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-16x²+26x. Finn hvor grafen vender hul side opp og hul side ned.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-32x+26. f''(x)=6x-32. Sett f''(x)=0: x=5.33. For x mindre enn dette er f''<0, og for x større er f''>0.

Fasit
Hul ned for x<5.33; hul opp for x>5.33. Vendepunkt ved x≈5.33.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.32Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.32 - Størst/minst vekst og krumning

En funksjon har f'(x)=x²-28x+195. Bruk f' til å bestemme hvor f vokser og avtar.

Vis løsning

Fasit
Vokser der f'>0 og avtar der f'<0. Bruk fortegnslinje for f'.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.33Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.33 - Størst/minst vekst og krumning

En modell for antall besøk er B(t)=-t³+21t²+35t+100. Når er veksten størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Veksten er B'(t)=-3t²+42t+35. Størst vekst betyr maksimum for B'. Deriver B': B''(t)=-6t+42. Sett B''=0: t=7.00.

Fasit
Veksten er størst ved t≈7.00, dersom dette ligger i gyldig tidsintervall.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.34Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.34 - Størst/minst vekst og krumning

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-19x²+32x. Finn hvor grafen vender hul side opp og hul side ned.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-38x+32. f''(x)=6x-38. Sett f''(x)=0: x=6.33. For x mindre enn dette er f''<0, og for x større er f''>0.

Fasit
Hul ned for x<6.33; hul opp for x>6.33. Vendepunkt ved x≈6.33.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.35Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.35 - Størst/minst vekst og krumning

En funksjon har f'(x)=x²-34x+288. Bruk f' til å bestemme hvor f vokser og avtar.

Vis løsning

Fasit
Vokser der f'>0 og avtar der f'<0. Bruk fortegnslinje for f'.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.36Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.36 - Størst/minst vekst og krumning

En modell for antall besøk er B(t)=-t³+24t²+38t+100. Når er veksten størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning
Veksten er B'(t)=-3t²+48t+38. Størst vekst betyr maksimum for B'. Deriver B': B''(t)=-6t+48. Sett B''=0: t=8.00.

Fasit
Veksten er størst ved t≈8.00, dersom dette ligger i gyldig tidsintervall.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.37Størst/minst vekst og krumning

Oppgave 4.37 - Størst/minst vekst og krumning

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-22x²+38x. Finn hvor grafen vender hul side opp og hul side ned.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=3x²-44x+38. f''(x)=6x-44. Sett f''(x)=0: x=7.33. For x mindre enn dette er f''<0, og for x større er f''>0.

Fasit
Hul ned for x<7.33; hul opp for x>7.33. Vendepunkt ved x≈7.33.

Regel/huskeregel
f' beskriver vekstfart. f'' beskriver hvordan vekstfarten endrer seg.

Vanlige feil
Vanlig feil er å blande størst verdi av f med størst vekst i f.

Sensor ser etter
Sensor ser etter at eleven bruker riktig derivertnivå.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.38Tangenter

Oppgave 4.38 - Tangenter

Finn likningen til tangenten til f(x)=x²+1x i punktet der x=2.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(2)=6. f'(x)=2x+1, så f'(2)=5. Ettpunktsformelen gir y-6=5(x-2), altså y=5x+(-4).

Fasit
y=5x+(-4).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.39Tangenter

Oppgave 4.39 - Tangenter

Funksjonen f er gitt ved f(x)=ln x. Finn tangenten i punktet x=4.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(4)=ln4. f'(x)=1/x, så f'(4)=1/4. Tangenten er y-ln4=(1/4)(x-4).

Fasit
y-ln4=(1/4)(x-4).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.40Tangenter

Oppgave 4.40 - Tangenter

Bestem a slik at tangenten til f(x)=e^x i x=a har stigningstall 5.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=e^x. Vi setter e^a=5, som gir a=ln(5).

Fasit
a=ln(5).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.41Tangenter

Oppgave 4.41 - Tangenter

Finn likningen til tangenten til f(x)=x²+4x i punktet der x=5.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(5)=45. f'(x)=2x+4, så f'(5)=14. Ettpunktsformelen gir y-45=14(x-5), altså y=14x+(-25).

Fasit
y=14x+(-25).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.42Tangenter

Oppgave 4.42 - Tangenter

Funksjonen f er gitt ved f(x)=ln x. Finn tangenten i punktet x=7.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(7)=ln7. f'(x)=1/x, så f'(7)=1/7. Tangenten er y-ln7=(1/7)(x-7).

Fasit
y-ln7=(1/7)(x-7).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.43Tangenter

Oppgave 4.43 - Tangenter

Bestem a slik at tangenten til f(x)=e^x i x=a har stigningstall 8.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=e^x. Vi setter e^a=8, som gir a=ln(8).

Fasit
a=ln(8).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.44Tangenter

Oppgave 4.44 - Tangenter

Finn likningen til tangenten til f(x)=x²+7x i punktet der x=8.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(8)=120. f'(x)=2x+7, så f'(8)=23. Ettpunktsformelen gir y-120=23(x-8), altså y=23x+(-64).

Fasit
y=23x+(-64).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.45Tangenter

Oppgave 4.45 - Tangenter

Funksjonen f er gitt ved f(x)=ln x. Finn tangenten i punktet x=10.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f(10)=ln10. f'(x)=1/x, så f'(10)=1/10. Tangenten er y-ln10=(1/10)(x-10).

Fasit
y-ln10=(1/10)(x-10).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.46Tangenter

Oppgave 4.46 - Tangenter

Bestem a slik at tangenten til f(x)=e^x i x=a har stigningstall 11.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=e^x. Vi setter e^a=11, som gir a=ln(11).

Fasit
a=ln(11).

Regel/huskeregel
Tangenten i x=a har stigningstall f'(a), og likningen finnes med y-f(a)=f'(a)(x-a).

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke f(a) som stigningstall.

Sensor ser etter
Sensor ser etter punkt, stigningstall og ettpunktsformel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.47Newtons metode

Oppgave 4.47 - Newtons metode

Bruk Newtons metode til å finne en tilnærming til √6, altså nullpunktet til f(x)=x²-6. Start med x0=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newton-formelen er x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n). Her er f'(x)=2x. Iterasjonene gir x1≈2.5000, x2≈2.4500, x3≈2.4495.

Fasit
√6≈2.4495.

Regel/huskeregel
Newtons metode: x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

Vanlige feil
Vanlig feil er å glemme at likningen må skrives som f(x)=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formel, iterasjoner og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.48Newtons metode

Oppgave 4.48 - Newtons metode

Bruk Newtons metode til å løse e^x=4. Start med x0=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv likningen som f(x)=e^x-4=0. Da er f'(x)=e^x. Iterasjonene gir x1≈1.4715, x2≈1.3898, x3≈1.3863.

Fasit
x≈1.3863.

Regel/huskeregel
Newtons metode: x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

Vanlige feil
Vanlig feil er å glemme at likningen må skrives som f(x)=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formel, iterasjoner og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.49Newtons metode

Oppgave 4.49 - Newtons metode

Bruk Newtons metode til å finne en tilnærming til √8, altså nullpunktet til f(x)=x²-8. Start med x0=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newton-formelen er x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n). Her er f'(x)=2x. Iterasjonene gir x1≈2.8333, x2≈2.8284, x3≈2.8284.

Fasit
√8≈2.8284.

Regel/huskeregel
Newtons metode: x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

Vanlige feil
Vanlig feil er å glemme at likningen må skrives som f(x)=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formel, iterasjoner og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.50Newtons metode

Oppgave 4.50 - Newtons metode

Bruk Newtons metode til å løse e^x=6. Start med x0=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv likningen som f(x)=e^x-6=0. Da er f'(x)=e^x. Iterasjonene gir x1≈2.2073, x2≈1.8673, x3≈1.7945.

Fasit
x≈1.7945.

Regel/huskeregel
Newtons metode: x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

Vanlige feil
Vanlig feil er å glemme at likningen må skrives som f(x)=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formel, iterasjoner og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.51Newtons metode

Oppgave 4.51 - Newtons metode

Bruk Newtons metode til å finne en tilnærming til √10, altså nullpunktet til f(x)=x²-10. Start med x0=3.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Newton-formelen er x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n). Her er f'(x)=2x. Iterasjonene gir x1≈3.1667, x2≈3.1623, x3≈3.1623.

Fasit
√10≈3.1623.

Regel/huskeregel
Newtons metode: x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

Vanlige feil
Vanlig feil er å glemme at likningen må skrives som f(x)=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formel, iterasjoner og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.52Newtons metode

Oppgave 4.52 - Newtons metode

Bruk Newtons metode til å løse e^x=8. Start med x0=1.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Skriv likningen som f(x)=e^x-8=0. Da er f'(x)=e^x. Iterasjonene gir x1≈2.9430, x2≈2.3647, x3≈2.1165.

Fasit
x≈2.1165.

Regel/huskeregel
Newtons metode: x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

Vanlige feil
Vanlig feil er å glemme at likningen må skrives som f(x)=0.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formel, iterasjoner og kontroll.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.53L’Hôpitals regel

Oppgave 4.53 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→0} (e^x-1)/x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først sjekker vi formen når x→0. Uttrykket gir 0/0. Derfor kan L Hôpitals regel brukes. Deriver teller og nevner hver for seg, og gjenta ved behov til grenseverdien kan regnes direkte.

Fasit
1

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.54L’Hôpitals regel

Oppgave 4.54 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→∞} x²/e^x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først sjekker vi formen når x→∞. Uttrykket gir ∞/∞, bruk regelen to ganger. Derfor kan L Hôpitals regel brukes. Deriver teller og nevner hver for seg, og gjenta ved behov til grenseverdien kan regnes direkte.

Fasit
0

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.55L’Hôpitals regel

Oppgave 4.55 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→∞} ln x/x.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først sjekker vi formen når x→∞. Uttrykket gir ∞/∞. Derfor kan L Hôpitals regel brukes. Deriver teller og nevner hver for seg, og gjenta ved behov til grenseverdien kan regnes direkte.

Fasit
0

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.56L’Hôpitals regel

Oppgave 4.56 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→0} (ln(1+x))/x.

Vis løsning

Fasit
1

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.57L’Hôpitals regel

Oppgave 4.57 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→0} (e^2x-1)/x.

Vis løsning

Fasit
2

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.58L’Hôpitals regel

Oppgave 4.58 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→∞} x/e^0,5x.

Vis løsning

Fasit
0

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.59L’Hôpitals regel

Oppgave 4.59 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→1} (x²-1)/(x-1).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først sjekker vi formen når x→1. Uttrykket gir 0/0. Derfor kan L Hôpitals regel brukes. Deriver teller og nevner hver for seg, og gjenta ved behov til grenseverdien kan regnes direkte.

Fasit
2

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.60L’Hôpitals regel

Oppgave 4.60 - L’Hôpitals regel

Finn grenseverdien lim_{x→0} (e^x-1-x)/x².

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først sjekker vi formen når x→0. Uttrykket gir 0/0, bruk regelen to ganger. Derfor kan L Hôpitals regel brukes. Deriver teller og nevner hver for seg, og gjenta ved behov til grenseverdien kan regnes direkte.

Fasit
1/2

Regel/huskeregel
L Hôpitals regel kan brukes ved 0/0 eller ∞/∞ når vilkårene er oppfylt.

Vanlige feil
Vanlig feil er å bruke regelen uten å sjekke formen først.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll, derivasjon og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.61Blandede oppgaver

Oppgave 4.61 - Blandede oppgaver

Bruk ettpunktsformelen til å finne tangenten til f(x)=2ln(x²-6) i punktet der x=4. Sjekk at uttrykket er definert.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først kontrollerer vi at (4)²-6>0. Deriver med kjerneregelen: f'(x)=2·(2x)/(x²-6)=4x/(x²-6). Finn f(4) og f'(4), og sett inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Fasit
Tangenten fås ved å sette a inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.62Blandede oppgaver

Oppgave 4.62 - Blandede oppgaver

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-5x²+4x. Finn ekstremalpunkter og vendepunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriver: f'(x)=3x²-10x+4. Løs f'=0 for kandidater til topp/bunn. Deriver igjen: f''(x)=6x-10. Løs f''=0 og sjekk fortegnsskifte for vendepunkt.

Fasit
Ekstremalpunkter fra f'=0; vendepunkt fra f''=0 med fortegnsskifte.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.63Blandede oppgaver

Oppgave 4.63 - Blandede oppgaver

Et firma har salgssum S(x)=1000x·ln(103/x), 0

Vis løsning

Trinnvis løsning
S'(x)=1000·ln((103)/x)+1000x·(-1/x)=1000(ln((103)/x)-1). Sett S'=0: ln((103)/x)=1, så (103)/x=e og x=(103)/e.

Fasit
S størst når x≈37.89.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.64Blandede oppgaver

Oppgave 4.64 - Blandede oppgaver

En graf for f' er gitt. Forklar hvordan du kan bestemme toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt til f fra grafen til f'.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Toppunkt på f oppstår der f' skifter fra positiv til negativ. Bunnpunkt oppstår der f' skifter fra negativ til positiv. Vendepunkt på f oppstår der f' har topp- eller bunnpunkt, fordi da skifter f'' fortegn.

Fasit
Bruk fortegn for f' og vekst/avtakning for f'.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.65Blandede oppgaver

Oppgave 4.65 - Blandede oppgaver

Programmet nedenfor bruker numerisk derivasjon. Forklar hva programmet gjør, og hvordan du kan bruke det til å finne ekstremalpunkter.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Programmet beregner en tilnærmet derivert med differansekvotient. Deretter leter det etter steder der den deriverte skifter fortegn. Et skifte fra + til - tyder på toppunkt, og et skifte fra - til + tyder på bunnpunkt.

Fasit
Programmet finner omtrentlige steder der f'(x)=0 ved fortegnsskifte.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.66Blandede oppgaver

Oppgave 4.66 - Blandede oppgaver

Bruk ettpunktsformelen til å finne tangenten til f(x)=2ln(x²-11) i punktet der x=9. Sjekk at uttrykket er definert.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først kontrollerer vi at (9)²-11>0. Deriver med kjerneregelen: f'(x)=2·(2x)/(x²-11)=4x/(x²-11). Finn f(9) og f'(9), og sett inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Fasit
Tangenten fås ved å sette a inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.67Blandede oppgaver

Oppgave 4.67 - Blandede oppgaver

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-10x²+14x. Finn ekstremalpunkter og vendepunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriver: f'(x)=3x²-20x+14. Løs f'=0 for kandidater til topp/bunn. Deriver igjen: f''(x)=6x-20. Løs f''=0 og sjekk fortegnsskifte for vendepunkt.

Fasit
Ekstremalpunkter fra f'=0; vendepunkt fra f''=0 med fortegnsskifte.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.68Blandede oppgaver

Oppgave 4.68 - Blandede oppgaver

Et firma har salgssum S(x)=1000x·ln(108/x), 0

Vis løsning

Trinnvis løsning
S'(x)=1000·ln((108)/x)+1000x·(-1/x)=1000(ln((108)/x)-1). Sett S'=0: ln((108)/x)=1, så (108)/x=e og x=(108)/e.

Fasit
S størst når x≈39.73.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.69Blandede oppgaver

Oppgave 4.69 - Blandede oppgaver

En graf for f' er gitt. Forklar hvordan du kan bestemme toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt til f fra grafen til f'.

Vis løsning

Fasit
Bruk fortegn for f' og vekst/avtakning for f'.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.70Blandede oppgaver

Oppgave 4.70 - Blandede oppgaver

Programmet nedenfor bruker numerisk derivasjon. Forklar hva programmet gjør, og hvordan du kan bruke det til å finne ekstremalpunkter.

Vis løsning

Fasit
Programmet finner omtrentlige steder der f'(x)=0 ved fortegnsskifte.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.71Blandede oppgaver

Oppgave 4.71 - Blandede oppgaver

Bruk ettpunktsformelen til å finne tangenten til f(x)=2ln(x²-16) i punktet der x=14. Sjekk at uttrykket er definert.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først kontrollerer vi at (14)²-16>0. Deriver med kjerneregelen: f'(x)=2·(2x)/(x²-16)=4x/(x²-16). Finn f(14) og f'(14), og sett inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Fasit
Tangenten fås ved å sette a inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.72Blandede oppgaver

Oppgave 4.72 - Blandede oppgaver

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-15x²+24x. Finn ekstremalpunkter og vendepunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriver: f'(x)=3x²-30x+24. Løs f'=0 for kandidater til topp/bunn. Deriver igjen: f''(x)=6x-30. Løs f''=0 og sjekk fortegnsskifte for vendepunkt.

Fasit
Ekstremalpunkter fra f'=0; vendepunkt fra f''=0 med fortegnsskifte.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.73Blandede oppgaver

Oppgave 4.73 - Blandede oppgaver

Et firma har salgssum S(x)=1000x·ln(113/x), 0

Vis løsning

Trinnvis løsning
S'(x)=1000·ln((113)/x)+1000x·(-1/x)=1000(ln((113)/x)-1). Sett S'=0: ln((113)/x)=1, så (113)/x=e og x=(113)/e.

Fasit
S størst når x≈41.57.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4.74Blandede oppgaver

Oppgave 4.74 - Blandede oppgaver

En graf for f' er gitt. Forklar hvordan du kan bestemme toppunkt, bunnpunkt og vendepunkt til f fra grafen til f'.

Vis løsning

Fasit
Bruk fortegn for f' og vekst/avtakning for f'.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.75Blandede oppgaver

Oppgave 4.75 - Blandede oppgaver

Programmet nedenfor bruker numerisk derivasjon. Forklar hva programmet gjør, og hvordan du kan bruke det til å finne ekstremalpunkter.

Vis løsning

Fasit
Programmet finner omtrentlige steder der f'(x)=0 ved fortegnsskifte.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.76Blandede oppgaver

Oppgave 4.76 - Blandede oppgaver

Bruk ettpunktsformelen til å finne tangenten til f(x)=2ln(x²-21) i punktet der x=19. Sjekk at uttrykket er definert.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Først kontrollerer vi at (19)²-21>0. Deriver med kjerneregelen: f'(x)=2·(2x)/(x²-21)=4x/(x²-21). Finn f(19) og f'(19), og sett inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Fasit
Tangenten fås ved å sette a inn i y-f(a)=f'(a)(x-a).

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave 4.77Blandede oppgaver

Oppgave 4.77 - Blandede oppgaver

Funksjonen f er gitt ved f(x)=x³-20x²+34x. Finn ekstremalpunkter og vendepunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Deriver: f'(x)=3x²-40x+34. Løs f'=0 for kandidater til topp/bunn. Deriver igjen: f''(x)=6x-40. Løs f''=0 og sjekk fortegnsskifte for vendepunkt.

Fasit
Ekstremalpunkter fra f'=0; vendepunkt fra f''=0 med fortegnsskifte.

Regel/huskeregel
I blandede oppgaver må du først velge riktig verktøy: f', f'', tangent, Newton eller L Hôpital.

Vanlige feil
Vanlig feil er å starte med en metode uten å identifisere hva oppgaven spør om.

Sensor ser etter
Sensor ser etter metodevalg, struktur og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Kapitteltest - Bruk av derivasjon

Oppgave Kapitteltest 1Drøfting av funksjon

Oppgave Kapitteltest 1 - Drøfting av funksjon

Drøft f(x)=1/6x³+x². Finn monotoniegenskaper, stasjonære punkter og krumning.

Vis løsning

Trinnvis løsning
f'(x)=1/2x²+2x=x(1/2x+2). Nullpunkter: x=0 og x=-4. Bruk fortegnslinje for f' til monotoniegenskaper. f''(x)=x+2. Vendepunkt kan ligge ved x=-2.

Fasit
Kritiske x-verdier: -4 og 0. Mulig vendepunkt x=-2.

Regel/huskeregel
Drøfting kombinerer f, f' og f''.

Vanlige feil
Å bare finne nullpunkter uten å tolke.

Sensor ser etter
Sensor ser etter helhetlig analyse.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave Kapitteltest 2Grafen til den deriverte

Oppgave Kapitteltest 2 - Grafen til den deriverte

Du får grafen til f'. Forklar hvordan du finner topp-, bunn- og vendepunkt på f.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Les av hvor f'=0 og hvordan fortegnet skifter. + til - gir topp, - til + gir bunn. Vendepunkt på f finnes der f' har ekstremalpunkt.

Fasit
Metodebeskrivelse med fortegn for f'.

Regel/huskeregel
f' styrer vekst; f'' styrer krumning.

Vanlige feil
Å forveksle grafen til f med grafen til f'.

Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt grafisk tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Kapitteltest 3Areal og optimalisering

Oppgave Kapitteltest 3 - Areal og optimalisering

For f(x)=x⁴-6x²+5 skal et punkt Q på grafen danne en rettvinklet trekant med origo og P(k,0). Finn hvordan du maksimerer arealet.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Arealet kan skrives A(k)=1/2·k·|f(k)| for gyldig intervall. Deriver A(k), løs A'(k)=0 og sammenlikn med endepunktene.

Fasit
Maksimum finnes ved A'(k)=0 etter at arealmodellen er satt opp.

Regel/huskeregel
Geometriske optimaliseringsoppgaver krever modell før derivasjon.

Vanlige feil
Å derivere f i stedet for arealet.

Sensor ser etter
Sensor ser etter arealmodell og gyldighetsområde.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Kapitteltest 4L Hôpital i kapitteltest

Oppgave Kapitteltest 4 - L Hôpital i kapitteltest

Finn lim_{x→3} ln(2x-5)/(x-3).

Vis løsning

Trinnvis løsning
Direkte innsetting gir ln1/0 = 0/0. L Hôpital gir lim 2/(2x-5) over 1. Ved x=3 blir svaret 2.

Fasit
2.

Regel/huskeregel
Sjekk 0/0 før L Hôpital.

Vanlige feil
Å derivere x-3 feil eller glemme kjernen 2x-5.

Sensor ser etter
Sensor ser etter formkontroll og kjerneregel.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Kapitteltest 5Innskrevet rektangel i sirkel

Oppgave Kapitteltest 5 - Innskrevet rektangel i sirkel

Et rektangel med sider x og y er innskrevet i en sirkel med diameter 6. Forklar hvordan størst areal finnes.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Pytagoras gir x²+y²=36, så y=√(36-x²). Arealet er A(x)=x√(36-x²). Deriver A eller bruk symmetri. Størst areal får vi når x=y=3√2.

Fasit
Størst areal når x=y=3√2.

Regel/huskeregel
For fast diagonal får rektangel størst areal når det er kvadrat.

Vanlige feil
Å sette x=6 eller y=6 selv om det er diagonal.

Sensor ser etter
Sensor ser etter modell og konklusjon.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

Oppgave Kapitteltest 6Newton og nullpunkter

Oppgave Kapitteltest 6 - Newton og nullpunkter

Funksjonen f(x)=3-xln(x+5) har nullpunkter i et intervall. Forklar hvordan Newtons metode brukes.

Vis løsning

Trinnvis løsning
Velg startverdier nær hvert nullpunkt. Deriver f med produkt- og kjerneregel. Bruk x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n) til verdiene stabiliserer seg. Kontroller ved å sette inn i f.

Fasit
Metode: startverdi, iterasjon, kontroll.

Regel/huskeregel
Newton finner numeriske nullpunkter.

Vanlige feil
Å bruke samme startverdi for to ulike nullpunkter uten kontroll.

Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig formel og tolkning.

Høy måloppnåelse
Du viser metodevalg, fortegn/krumning, nøyaktige mellomregninger og tolker svaret i situasjonen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Regler og huskeregler

Monotoni: f vokser der f'(x)>0 og avtar der f'(x)<0.

Stasjonære punkter: Løs f'(x)=0. Fortegnsskifte fra - til + gir bunnpunkt, og + til - gir toppunkt.

Kritiske punkter: På lukket intervall må du sjekke både f'(x)=0, punkter der f' ikke finnes, og endepunkter.

Krumning: f''(x)>0 betyr hul side opp; f''(x)<0 betyr hul side ned.

Vendepunkt: Der f'' skifter fortegn, har grafen et vendepunkt.

Størst/minst vekst: Studer f'(x). Finn ekstremalverdier til f' ved å bruke f''.

Tangent: Tangenten i x=a er y-f(a)=f'(a)(x-a).

Newtons metode: x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n).

L'Hôpitals regel: Ved 0/0 eller ∞/∞ kan lim f/g finnes som lim f'/g', dersom vilkårene er oppfylt.

Ofte stilte spørsmål om derivasjon og grenseverdier i R1

Hva er en grenseverdi?

En grenseverdi beskriver hvilken verdi en funksjon nærmer seg når variabelen nærmer seg et bestemt tall. Grenseverdien kan finnes selv om funksjonen ikke er definert i punktet, og er grunnlaget for både kontinuitet og derivasjon.

Hva vil det si at en funksjon er kontinuerlig?

En funksjon er kontinuerlig i et punkt når grafen henger sammen der uten brudd, hopp eller hull. Formelt betyr det at grenseverdien i punktet er lik funksjonsverdien.

Hvordan regner jeg ut en grenseverdi?

Ofte kan du sette inn verdien direkte. Gir det et uttrykk som null delt på null, må du forenkle først, for eksempel ved å faktorisere og forkorte, før du setter inn.

Hva er en asymptote?

En asymptote er en rett linje som grafen nærmer seg uten å nå. Loddrette asymptoter finner du der nevneren er null, og vannrette finner du ved grenseverdien når x går mot uendelig.

Hva betyr det å derivere?

Å derivere betyr å finne den momentane vekstfarten. Den deriverte f'(x) er definert som grenseverdien til gjennomsnittlig vekstfart, og gir stigningstallet til tangenten i et punkt.

Hva er derivasjonsreglene i R1?

De viktigste er potensregelen, produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen. Med disse kan du derivere polynom, rasjonale funksjoner og sammensatte uttrykk.

Hva er kjerneregelen?

Kjerneregelen brukes for sammensatte funksjoner: du deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av den indre kjernen. Den er sentral i R1.

Hva er produkt- og kvotientregelen?

Produktregelen deriverer et produkt: u-derivert gange v pluss u gange v-derivert. Kvotientregelen deriverer en brøk: (u-derivert gange v minus u gange v-derivert) delt på v i andre.

Hvordan finner jeg topp- og bunnpunkt?

Du løser f'(x) = 0 for å finne stasjonære punkter, og setter opp fortegnsskjema for den deriverte. Fortegnsskiftet avgjør om punktet er topp, bunn eller terrasse.

Hva er den andrederiverte, og hva brukes den til?

Den andrederiverte er den deriverte av den deriverte. Den forteller om grafens krumming: positiv betyr hul side opp, negativ betyr hul side ned. Der den skifter fortegn, er det et vendepunkt.

Hva er et vendepunkt?

Et vendepunkt er et punkt der grafen skifter krumming, fra å vende opp til å vende ned eller omvendt. Der er den andrederiverte null og skifter fortegn.

Hva er et fortegnsskjema?

Et fortegnsskjema viser hvor den deriverte er positiv og negativ. Der f' er positiv, vokser funksjonen; der f' er negativ, avtar den. Det brukes til å drøfte funksjonen fullstendig.

Hvordan drøfter jeg en funksjon fullstendig?

Du finner definisjonsmengde og nullpunkter, deriverer og finner stasjonære punkter, setter opp fortegnsskjema, undersøker asymptoter, og tegner grafen ut fra all informasjonen.

Hvordan bruker jeg CAS til derivasjon og grenseverdier?

I CAS kan du derivere symbolsk, løse f'(x) = 0 eksakt, og regne ut grenseverdier med en egen kommando. Dette er tillatt på Del 2 og gir full uttelling når du forklarer svaret.

Hva må jeg kunne om derivasjon og grenseverdier til eksamen i R1?

Du må kunne regne grenseverdier, avgjøre kontinuitet, bruke alle derivasjonsreglene, drøfte funksjoner med fortegnsskjema, finne asymptoter og vendepunkter, og løse optimering — både manuelt (Del 1) og med CAS (Del 2).