Tall og algebra – oppgaver med trinnvis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette prosent til vekstfaktor, bruke vekstfaktoren på startverdien og tolke svaret i kroner. Dette er en typisk 2P-oppgave fordi prosent må knyttes til en praktisk situasjon.

Steg 1 — Startverdi og prosent

$V_0=420,\quad p=15\,\%$

Først skriver vi hva som er startverdien og hvilken prosentvis endring som skjer.

Steg 2 — Gjør prosent om til desimaltall

$15\,\%=\dfrac{15}{100}=0{,}15$

Prosent betyr hundredeler. Derfor deler vi prosenten på 100 før vi regner videre.

Steg 3 — Finn vekstfaktoren

$f=1+\dfrac{15}{100}=1{,}15$

Ved økning legger vi prosenten til 1. Ved nedgang trekker vi den fra 1.

Steg 4 — Regn ut ny pris

$V=420\cdot 1{,}15=483$

Vekstfaktoren virker på hele den gamle prisen, ikke bare på én krone.

Steg 5 — Finn endringen i kroner

$|483-420|=63$

Endringen i kroner viser hvor mye prisen faktisk har flyttet seg.

Steg 6 — Skriv med enhet

$V=483\text{ kr}$

I en praktisk oppgave må svaret ha riktig enhet.

Tolkning

Den nye prisen er 483 kr. Endringen er 63 kr, som er den praktiske verdien av prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

start = 420
prosent = 15
faktor = 1 + prosent/100
ny = start*faktor
endring = abs(ny-start)
print(ny, endring)

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette prosent til vekstfaktor, bruke vekstfaktoren på startverdien og tolke svaret i kroner. Dette er en typisk 2P-oppgave fordi prosent må knyttes til en praktisk situasjon.

Steg 1 — Startverdi og prosent

$V_0=760,\quad p=22\,\%$

Først skriver vi hva som er startverdien og hvilken prosentvis endring som skjer.

Steg 2 — Gjør prosent om til desimaltall

$22\,\%=\dfrac{22}{100}=0{,}22$

Prosent betyr hundredeler. Derfor deler vi prosenten på 100 før vi regner videre.

Steg 3 — Finn vekstfaktoren

$f=1-\dfrac{22}{100}=0{,}78$

Ved økning legger vi prosenten til 1. Ved nedgang trekker vi den fra 1.

Steg 4 — Regn ut ny pris

$V=760\cdot 0{,}78=592{,}80$

Vekstfaktoren virker på hele den gamle prisen, ikke bare på én krone.

Steg 5 — Finn endringen i kroner

$|592{,}80-760|=167{,}20$

Endringen i kroner viser hvor mye prisen faktisk har flyttet seg.

Steg 6 — Skriv med enhet

$V=592{,}80\text{ kr}$

I en praktisk oppgave må svaret ha riktig enhet.

Tolkning

Den nye prisen er 592,80 kr. Endringen er 167,20 kr, som er den praktiske verdien av prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

start = 760
prosent = 22
faktor = 1 - prosent/100
ny = start*faktor
endring = abs(ny-start)
print(ny, endring)

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette prosent til vekstfaktor, bruke vekstfaktoren på startverdien og tolke svaret i kroner. Dette er en typisk 2P-oppgave fordi prosent må knyttes til en praktisk situasjon.

Steg 1 — Startverdi og prosent

$V_0=1250,\quad p=8\,\%$

Først skriver vi hva som er startverdien og hvilken prosentvis endring som skjer.

Steg 2 — Gjør prosent om til desimaltall

$8\,\%=\dfrac{8}{100}=0{,}08$

Prosent betyr hundredeler. Derfor deler vi prosenten på 100 før vi regner videre.

Steg 3 — Finn vekstfaktoren

$f=1+\dfrac{8}{100}=1{,}08$

Ved økning legger vi prosenten til 1. Ved nedgang trekker vi den fra 1.

Steg 4 — Regn ut ny pris

$V=1250\cdot 1{,}08=1350$

Vekstfaktoren virker på hele den gamle prisen, ikke bare på én krone.

Steg 5 — Finn endringen i kroner

$|1350-1250|=100$

Endringen i kroner viser hvor mye prisen faktisk har flyttet seg.

Steg 6 — Skriv med enhet

$V=1350\text{ kr}$

I en praktisk oppgave må svaret ha riktig enhet.

Tolkning

Den nye prisen er 1350 kr. Endringen er 100 kr, som er den praktiske verdien av prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

start = 1250
prosent = 8
faktor = 1 + prosent/100
ny = start*faktor
endring = abs(ny-start)
print(ny, endring)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi og vekstfaktor. Deretter setter vi inn antall perioder og tolker svaret som en modellverdi.

Steg 1 — Bestem startverdien

$a=12000$

Startverdien er verdien når $t=0$. Den står foran potensen i modellen.

Steg 2 — Gjør prosent til vekstfaktor

$b=1+\dfrac{4}{100}=1{,}04$

En fast prosentvis endring per periode gir en fast vekstfaktor.

Steg 3 — Skriv modellen

$V(t)=12000\cdot 1{,}04^t$

Modellen passer fordi samme faktor brukes for hver periode.

Steg 4 — Sett inn perioden

$V(3)=12000\cdot 1{,}04^3$

Vi setter inn hvor mange ganger endringen skjer.

Steg 5 — Regn ut verdien

$V(3)\approx 13498{,}37$

Verdien avrundes fordi modellen gir et desimaltall.

Steg 6 — Kontroller vekstretningen

$1{,}04 > 1$

Vekstfaktoren viser om modellen øker eller minker.

Tolkning

Etter 3 perioder gir modellen omtrent 13498,37. Modellen beskriver jevn prosentvis endring, ikke nødvendigvis nøyaktige virkelige målinger.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a = 12000
p = 4
t = 3
b = 1 + p/100
V = a*b**t
print(round(V, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi og vekstfaktor. Deretter setter vi inn antall perioder og tolker svaret som en modellverdi.

Steg 1 — Bestem startverdien

$a=8500$

Startverdien er verdien når $t=0$. Den står foran potensen i modellen.

Steg 2 — Gjør prosent til vekstfaktor

$b=1+\dfrac{-7}{100}=0{,}93$

En fast prosentvis endring per periode gir en fast vekstfaktor.

Steg 3 — Skriv modellen

$V(t)=8500\cdot 0{,}93^t$

Modellen passer fordi samme faktor brukes for hver periode.

Steg 4 — Sett inn perioden

$V(4)=8500\cdot 0{,}93^4$

Vi setter inn hvor mange ganger endringen skjer.

Steg 5 — Regn ut verdien

$V(4)\approx 6358{,}44$

Verdien avrundes fordi modellen gir et desimaltall.

Steg 6 — Kontroller vekstretningen

$0{,}93 < 1$

Vekstfaktoren viser om modellen øker eller minker.

Tolkning

Etter 4 perioder gir modellen omtrent 6358,44. Modellen beskriver jevn prosentvis endring, ikke nødvendigvis nøyaktige virkelige målinger.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a = 8500
p = -7
t = 4
b = 1 + p/100
V = a*b**t
print(round(V, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi og vekstfaktor. Deretter setter vi inn antall perioder og tolker svaret som en modellverdi.

Steg 1 — Bestem startverdien

$a=43000$

Startverdien er verdien når $t=0$. Den står foran potensen i modellen.

Steg 2 — Gjør prosent til vekstfaktor

$b=1+\dfrac{12}{100}=1{,}12$

En fast prosentvis endring per periode gir en fast vekstfaktor.

Steg 3 — Skriv modellen

$V(t)=43000\cdot 1{,}12^t$

Modellen passer fordi samme faktor brukes for hver periode.

Steg 4 — Sett inn perioden

$V(2)=43000\cdot 1{,}12^2$

Vi setter inn hvor mange ganger endringen skjer.

Steg 5 — Regn ut verdien

$V(2)\approx 53939{,}20$

Verdien avrundes fordi modellen gir et desimaltall.

Steg 6 — Kontroller vekstretningen

$1{,}12 > 1$

Vekstfaktoren viser om modellen øker eller minker.

Tolkning

Etter 2 perioder gir modellen omtrent 53939,20. Modellen beskriver jevn prosentvis endring, ikke nødvendigvis nøyaktige virkelige målinger.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a = 43000
p = 12
t = 2
b = 1 + p/100
V = a*b**t
print(round(V, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi og vekstfaktor. Deretter setter vi inn antall perioder og tolker svaret som en modellverdi.

Steg 1 — Bestem startverdien

$a=2600$

Startverdien er verdien når $t=0$. Den står foran potensen i modellen.

Steg 2 — Gjør prosent til vekstfaktor

$b=1+\dfrac{3}{100}=1{,}03$

En fast prosentvis endring per periode gir en fast vekstfaktor.

Steg 3 — Skriv modellen

$V(t)=2600\cdot 1{,}03^t$

Modellen passer fordi samme faktor brukes for hver periode.

Steg 4 — Sett inn perioden

$V(6)=2600\cdot 1{,}03^6$

Vi setter inn hvor mange ganger endringen skjer.

Steg 5 — Regn ut verdien

$V(6)\approx 3104{,}54$

Verdien avrundes fordi modellen gir et desimaltall.

Steg 6 — Kontroller vekstretningen

$1{,}03 > 1$

Vekstfaktoren viser om modellen øker eller minker.

Tolkning

Etter 6 perioder gir modellen omtrent 3104,54. Modellen beskriver jevn prosentvis endring, ikke nødvendigvis nøyaktige virkelige målinger.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a = 2600
p = 3
t = 6
b = 1 + p/100
V = a*b**t
print(round(V, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi og vekstfaktor. Deretter setter vi inn antall perioder og tolker svaret som en modellverdi.

Steg 1 — Bestem startverdien

$a=15000$

Startverdien er verdien når $t=0$. Den står foran potensen i modellen.

Steg 2 — Gjør prosent til vekstfaktor

$b=1+\dfrac{-5}{100}=0{,}95$

En fast prosentvis endring per periode gir en fast vekstfaktor.

Steg 3 — Skriv modellen

$V(t)=15000\cdot 0{,}95^t$

Modellen passer fordi samme faktor brukes for hver periode.

Steg 4 — Sett inn perioden

$V(5)=15000\cdot 0{,}95^5$

Vi setter inn hvor mange ganger endringen skjer.

Steg 5 — Regn ut verdien

$V(5)\approx 11606{,}71$

Verdien avrundes fordi modellen gir et desimaltall.

Steg 6 — Kontroller vekstretningen

$0{,}95 < 1$

Vekstfaktoren viser om modellen øker eller minker.

Tolkning

Etter 5 perioder gir modellen omtrent 11606,71. Modellen beskriver jevn prosentvis endring, ikke nødvendigvis nøyaktige virkelige målinger.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a = 15000
p = -5
t = 5
b = 1 + p/100
V = a*b**t
print(round(V, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$3x + 17 = 1x + 11$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$3x-1x = 11 - (17)$

Vi trekker fra $1x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$2x = -6$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-6}{2}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=-3$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$3\cdot -3 + 17 = 1\cdot -3 + 11$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=-3$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(3*x + (17), 1*x + (11)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$5x - 10 = 2x - 4$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$5x-2x = -4 - (-10)$

Vi trekker fra $2x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$3x = 6$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{6}{3}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=2$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$5\cdot 2 - 10 = 2\cdot 2 - 4$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=2$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(5*x + (-10), 2*x + (-4)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$4x + 24 = 7x + 9$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$4x-7x = 9 - (24)$

Vi trekker fra $7x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$-3x = -15$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-15}{-3}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=5$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$4\cdot 5 + 24 = 7\cdot 5 + 9$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=5$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(4*x + (24), 7*x + (9)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$7x - 18 = 4x + 3$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$7x-4x = 3 - (-18)$

Vi trekker fra $4x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$3x = 21$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{21}{3}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=7$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$7\cdot 7 - 18 = 4\cdot 7 + 3$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=7$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(7*x + (-18), 4*x + (3)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$2x + 9 = 5x + 12$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$2x-5x = 12 - (9)$

Vi trekker fra $5x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$-3x = 3$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{3}{-3}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=-1$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$2\cdot -1 + 9 = 5\cdot -1 + 12$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=-1$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(2*x + (9), 5*x + (12)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$6x - 19 = 3x - 7$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$6x-3x = -7 - (-19)$

Vi trekker fra $3x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$3x = 12$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{12}{3}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=4$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$6\cdot 4 - 19 = 3\cdot 4 - 7$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=4$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(6*x + (-19), 3*x + (-7)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$8x - 31 = 2x + 5$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$8x-2x = 5 - (-31)$

Vi trekker fra $2x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$6x = 36$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{36}{6}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=6$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$8\cdot 6 - 31 = 2\cdot 6 + 5$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=6$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(8*x + (-31), 2*x + (5)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$9x + 4 = 6x - 2$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$9x-6x = -2 - (4)$

Vi trekker fra $6x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$3x = -6$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-6}{3}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=-2$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$9\cdot -2 + 4 = 6\cdot -2 - 2$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=-2$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(9*x + (4), 6*x + (-2)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$5x - 14 = 1x + 18$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$5x-1x = 18 - (-14)$

Vi trekker fra $1x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$4x = 32$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{32}{4}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=8$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$5\cdot 8 - 14 = 1\cdot 8 + 18$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=8$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(5*x + (-14), 1*x + (18)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$4x + 18 = 8x + 6$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$4x-8x = 6 - (18)$

Vi trekker fra $8x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$-4x = -12$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-12}{-4}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=3$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$4\cdot 3 + 18 = 8\cdot 3 + 6$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=3$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(4*x + (18), 8*x + (6)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$7x - 55 = 2x - 10$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$7x-2x = -10 - (-55)$

Vi trekker fra $2x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$5x = 45$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{45}{5}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=9$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$7\cdot 9 - 55 = 2\cdot 9 - 10$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=9$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(7*x + (-55), 2*x + (-10)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$3x - 23 = 9x + 1$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$3x-9x = 1 - (-23)$

Vi trekker fra $9x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$-6x = 24$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{24}{-6}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=-4$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$3\cdot -4 - 23 = 9\cdot -4 + 1$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=-4$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(3*x + (-23), 9*x + (1)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$10x + 2 = 4x + 8$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$10x-4x = 8 - (2)$

Vi trekker fra $4x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$6x = 6$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{6}{6}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=1$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$10\cdot 1 + 2 = 4\cdot 1 + 8$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=1$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(10*x + (2), 4*x + (8)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$6x - 16 = 5x - 6$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$6x-5x = -6 - (-16)$

Vi trekker fra $5x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$1x = 10$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{10}{1}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=10$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$6\cdot 10 - 16 = 5\cdot 10 - 6$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=10$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(6*x + (-16), 5*x + (-6)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av $x$ som gjør venstre og høyre side like. Planen er å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre.

Steg 1 — Skriv likningen

$11x - 82 = 3x + 14$

Vi starter med likningen slik den står, slik at hvert flytt av ledd blir synlig.

Steg 2 — Flytt $x$-ledd til venstre

$11x-3x = 14 - (-82)$

Vi trekker fra $3x$ på begge sider for å samle de ukjente leddene.

Steg 3 — Trekk sammen

$8x = 96$

Nå har vi én type ukjent og ett talluttrykk.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{96}{8}$

Vi deler på tallet foran $x$ fordi målet er å få $x$ alene.

Steg 5 — Forkort svaret

$x=12$

Forkorting gjør svaret enklere og mer presist.

Steg 6 — Sett inn for kontroll

$11\cdot 12 - 82 = 3\cdot 12 + 14$

Innsetting viser at verdien faktisk passer i den opprinnelige likningen.

Tolkning

Løsningen $x=12$ er det eneste tallet som balanserer likningen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(11*x + (-82), 3*x + (14)), x)
print(losning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ett tallpar $(x,y)$ som passer i begge likningene. Determinantmetoden er effektiv fordi den skiller systematisk mellom koeffisienter og høyresider.

Steg 1 — Skriv koeffisientene

$a=2,\ b=1,\ c=7,\ d=1,\ e=-1,\ f=-1$

Vi identifiserer tallene i systemet før vi regner.

Steg 2 — Finn hoveddeterminanten

$D=a\cdot e-b\cdot d=2\cdot -1-1\cdot 1=-3$

Hvis $D e0$, har systemet nøyaktig én løsning.</p><h4 class="step">Steg 3 — Finn$D_x$</h4><p>$D_x=c\cdot e-b\cdot f=7\cdot -1-1\cdot -1=-6$</p><p>$D_x$bytter ut$x$-kolonnen med høyresidene.</p><div class="pitfall"><strong>Vanlig feil:</strong> Ikke bland rekkefølgen på koeffisientene. En liten bytting i determinantene gir ofte helt feil svar.</div><h4 class="step">Steg 4 — Finn$D_y$</h4><p>$D_y=a\cdot f-c\cdot d=2\cdot -1-7\cdot 1=-9$</p><p>$D_y$bytter ut$y$-kolonnen med høyresidene.</p><h4 class="step">Steg 5 — Regn ut$x$og$y$</h4><p>$x=\dfrac{D_x}{D}=2,\quad y=\dfrac{D_y}{D}=3$</p><p>Vi deler de tilhørende determinantene på hoveddeterminanten.</p><h4 class="step">Steg 6 — Kontroller i begge likninger</h4><p>$(2,3)$</p><p>Tallparet må gjøre begge likningene sanne, ikke bare den ene.</p><h4 class="step">Tolkning</h4><p>Skjæringspunktet mellom de to linjene er$(2,3)$. Det er derfor løsningen på likningssettet.</p><h4 class="step">Kontroll i GeoGebra (CAS)</h4><div class="ggcas"><div class="ggcas-top"><span class="dot"></span> GeoGebra · CAS</div><div class="ggrow"><div class="ggnum">1</div><div class="ggio"><div class="ggin">Solve({2x + (1)y = 7, 1x + (-1)y = -1}, {x, y})</div><div class="ggout ggres"><span class="arrow">→</span>$x=2,\ y=3$

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ett tallpar $(x,y)$ som passer i begge likningene. Determinantmetoden er effektiv fordi den skiller systematisk mellom koeffisienter og høyresider.

Steg 1 — Skriv koeffisientene

$a=3,\ b=2,\ c=5,\ d=1,\ e=4,\ f=15$

Vi identifiserer tallene i systemet før vi regner.

Steg 2 — Finn hoveddeterminanten

$D=a\cdot e-b\cdot d=3\cdot 4-2\cdot 1=10$

Hvis $D e0$, har systemet nøyaktig én løsning.</p><h4 class="step">Steg 3 — Finn$D_x$</h4><p>$D_x=c\cdot e-b\cdot f=5\cdot 4-2\cdot 15=-10$</p><p>$D_x$bytter ut$x$-kolonnen med høyresidene.</p><div class="pitfall"><strong>Vanlig feil:</strong> Ikke bland rekkefølgen på koeffisientene. En liten bytting i determinantene gir ofte helt feil svar.</div><h4 class="step">Steg 4 — Finn$D_y$</h4><p>$D_y=a\cdot f-c\cdot d=3\cdot 15-5\cdot 1=40$</p><p>$D_y$bytter ut$y$-kolonnen med høyresidene.</p><h4 class="step">Steg 5 — Regn ut$x$og$y$</h4><p>$x=\dfrac{D_x}{D}=-1,\quad y=\dfrac{D_y}{D}=4$</p><p>Vi deler de tilhørende determinantene på hoveddeterminanten.</p><h4 class="step">Steg 6 — Kontroller i begge likninger</h4><p>$(-1,4)$</p><p>Tallparet må gjøre begge likningene sanne, ikke bare den ene.</p><h4 class="step">Tolkning</h4><p>Skjæringspunktet mellom de to linjene er$(-1,4)$. Det er derfor løsningen på likningssettet.</p><h4 class="step">Kontroll i GeoGebra (CAS)</h4><div class="ggcas"><div class="ggcas-top"><span class="dot"></span> GeoGebra · CAS</div><div class="ggrow"><div class="ggnum">1</div><div class="ggio"><div class="ggin">Solve({3x + (2)y = 5, 1x + (4)y = 15}, {x, y})</div><div class="ggout ggres"><span class="arrow">→</span>$x=-1,\ y=4$