ifingo
Norsk (Bokmål)
Matematikk 2P · Kapittel 3

Likninger og ulikheter – oppgaver med trinnvis løsning

Likninger er et grunnleggende verktøy i Matematikk 2P og noe du får bruk for i nesten alle andre deler av faget — fra prosent og økonomi til funksjoner og modellering. Å løse en likning betyr å finne verdien som gjør at to uttrykk blir like. Her finner du oppgaver med fullstendig, trinnvis løsning som dekker hele likningspensumet i 2P, fra lineære likninger og likningssett til andregradslikninger og ulikheter. Alle løsninger ligger bak «Vis løsning».

Dette lærer du. Du starter med lineære likninger, der du samler den ukjente på én side og løser trinn for trinn. Du lærer å håndtere parenteser, brøker og negative tall, og å kontrollere svaret ved å sette det inn i likningen. Videre møter du likninger med den ukjente i nevneren, og du lærer å sette opp en likning fra en tekstoppgave — ofte det vanskeligste, men mest verdifulle steget.

Likningssett. En stor del av 2P handler om å løse to likninger med to ukjente samtidig. Du lærer innsettingsmetoden, der du uttrykker den ene ukjente ved den andre, og addisjonsmetoden (eliminasjon), der du legger sammen likningene for å fjerne en ukjent. Likningssett brukes blant annet til å finne skjæringspunktet mellom to linjer.

Andregradslikninger og ulikheter. Du lærer å løse andregradslikninger med abc-formelen og ved faktorisering, og å løse ulikheter, der svaret ofte er et intervall — husk å snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med et negativt tall. Likninger er også kjernen i modellering: du setter opp en likning som beskriver en situasjon, løser den, og tolker svaret.

Digitale verktøy. På Del 2 kan du bruke CAS og GeoGebra til å løse likninger og likningssett eksakt, og til å finne skjæringspunkter grafisk. Med CAS løser du kompliserte likninger med én kommando, mens grafverktøyet viser løsningen som et skjæringspunkt. Oppgavene viser både den manuelle metoden (Del 1) og den digitale (Del 2).

Vanlige fallgruver. Mange glemmer å gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet, roter med fortegn når de flytter ledd, eller ganger ikke inn i alle ledd når de fjerner en parentes. En annen klassisk feil er å glemme at en andregradslikning kan ha to løsninger, eller å glemme å snu ulikhetstegnet. Løsningene peker på disse feilene.

Slik jobber du best. Start med lineære likninger til metoden sitter, gå videre til likninger med brøk og likningssett, og avslutt med andregradslikninger, ulikheter og tekstoppgaver. Målet er ikke bare å finne x, men å kunne oversette en praktisk situasjon til en likning og tolke svaret — det er det sensor ser etter i 2P.

Lineære likninger, andregradslikninger og ulikheter – steg for steg.

📘 GeoGebra & Python-guide
Fag
Matematikk 2P
Kapittel
3 · Likninger og ulikheter
Antall oppgaver
35
Nivå
VG2 · LK20

4A Lineære likninger

Oppgavene under er med fullstendige løsninger. Eksempler, utforskingsoppgaver, blå/røde oppgaver og blandede oppgaver er samlet som vanlige oppgavekort.

Likning

Oppgave 136: Løs lineær likning 1

Oppgave:

Løs likningen 7x + 6 = -29. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 6 fra begge sider: 7x = -29 - (6) = -35.
  2. Del begge sider på 7: x = -35/7 = -5.
  3. Kontroll: 7·-5 + 6 = -29.
Fasit: x = -5.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 7, 6, -29 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 137: Løs lineær likning 2

Oppgave:

Løs likningen 3x + 2 = 5. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 2 fra begge sider: 3x = 5 - (2) = 3.
  2. Del begge sider på 3: x = 3/3 = 1.
  3. Kontroll: 3·1 + 2 = 5.
Fasit: x = 1.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 3, 2, 5 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 138: Løs lineær likning 3

Oppgave:

Løs likningen 3x + 8 = 35. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 8 fra begge sider: 3x = 35 - (8) = 27.
  2. Del begge sider på 3: x = 27/3 = 9.
  3. Kontroll: 3·9 + 8 = 35.
Fasit: x = 9.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 3, 8, 35 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 139: Løs lineær likning 4

Oppgave:

Løs likningen 5x + -5 = 40. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk -5 fra begge sider: 5x = 40 - (-5) = 45.
  2. Del begge sider på 5: x = 45/5 = 9.
  3. Kontroll: 5·9 + -5 = 40.
Fasit: x = 9.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Likning

Oppgave 140: Løs lineær likning 5

Oppgave:

Løs likningen 6x + -9 = 27. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk -9 fra begge sider: 6x = 27 - (-9) = 36.
  2. Del begge sider på 6: x = 36/6 = 6.
  3. Kontroll: 6·6 + -9 = 27.
Fasit: x = 6.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Likning

Oppgave 141: Løs lineær likning 6

Oppgave:

Løs likningen 4x + -2 = -22. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk -2 fra begge sider: 4x = -22 - (-2) = -20.
  2. Del begge sider på 4: x = -20/4 = -5.
  3. Kontroll: 4·-5 + -2 = -22.
Fasit: x = -5.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Likning

Oppgave 142: Løs lineær likning 7

Oppgave:

Løs likningen 4x + 10 = -6. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 10 fra begge sider: 4x = -6 - (10) = -16.
  2. Del begge sider på 4: x = -16/4 = -4.
  3. Kontroll: 4·-4 + 10 = -6.
Fasit: x = -4.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 4, 10, -6 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 143: Løs lineær likning 8

Oppgave:

Løs likningen 2x + 4 = 22. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 4 fra begge sider: 2x = 22 - (4) = 18.
  2. Del begge sider på 2: x = 18/2 = 9.
  3. Kontroll: 2·9 + 4 = 22.
Fasit: x = 9.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 2, 4, 22 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 144: Løs lineær likning 9

Oppgave:

Løs likningen 4x + -3 = 25. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk -3 fra begge sider: 4x = 25 - (-3) = 28.
  2. Del begge sider på 4: x = 28/4 = 7.
  3. Kontroll: 4·7 + -3 = 25.
Fasit: x = 7.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Likning

Oppgave 145: Løs lineær likning 10

Oppgave:

Løs likningen 6x + 7 = 61. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 7 fra begge sider: 6x = 61 - (7) = 54.
  2. Del begge sider på 6: x = 54/6 = 9.
  3. Kontroll: 6·9 + 7 = 61.
Fasit: x = 9.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 6, 7, 61 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 146: Løs lineær likning 11

Oppgave:

Løs likningen 6x + 9 = -3. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 9 fra begge sider: 6x = -3 - (9) = -12.
  2. Del begge sider på 6: x = -12/6 = -2.
  3. Kontroll: 6·-2 + 9 = -3.
Fasit: x = -2.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 6, 9, -3 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 147: Løs lineær likning 12

Oppgave:

Løs likningen 8x + -10 = -10. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk -10 fra begge sider: 8x = -10 - (-10) = 0.
  2. Del begge sider på 8: x = 0/8 = 0.
  3. Kontroll: 8·0 + -10 = -10.
Fasit: x = 0.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Likning

Oppgave 148: Løs lineær likning 13

Oppgave:

Løs likningen 4x + 1 = -7. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 1 fra begge sider: 4x = -7 - (1) = -8.
  2. Del begge sider på 4: x = -8/4 = -2.
  3. Kontroll: 4·-2 + 1 = -7.
Fasit: x = -2.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 4, 1, -7 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 149: Løs lineær likning 14

Oppgave:

Løs likningen 2x + 10 = 2. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk 10 fra begge sider: 2x = 2 - (10) = -8.
  2. Del begge sider på 2: x = -8/2 = -4.
  3. Kontroll: 2·-4 + 10 = 2.
Fasit: x = -4.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = 2, 10, 2 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Likning

Oppgave 150: Løs lineær likning 15

Oppgave:

Løs likningen 8x + -10 = 54. Kontroller svaret.

Vis løsning
  1. Trekk -10 fra begge sider: 8x = 54 - (-10) = 64.
  2. Del begge sider på 8: x = 64/8 = 8.
  3. Kontroll: 8·8 + -10 = 54.
Fasit: x = 8.

Regel / huskeregel

Du kan gjøre samme regneoperasjon på begge sider av en likning.

Vanlige feil

Vanlige feil: å bytte fortegn feil når du flytter ledd, eller å dele bare ett ledd på venstre side.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

4B Andregradslikninger

Oppgavene under er med fullstendige løsninger. Eksempler, utforskingsoppgaver, blå/røde oppgaver og blandede oppgaver er samlet som vanlige oppgavekort.

Andregrad

Oppgave 151: Løs andregradslikning 1

Oppgave:

Løs likningen x² + -7x + 6 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt 6 og sum -7.
  2. Tallene er -1 og -6 som gir faktorene (x - 1) og (x - 6).
  3. x² + -7x + 6 = (x - 1)(x - 6).
  4. Nullproduktregelen gir x = 1 eller x = 6.
Fasit: x = 1 eller x = 6.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = -7, 6, 0 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Andregrad

Oppgave 152: Løs andregradslikning 2

Oppgave:

Løs likningen x² + -10x + 21 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt 21 og sum -10.
  2. Tallene er -3 og -7 som gir faktorene (x - 3) og (x - 7).
  3. x² + -10x + 21 = (x - 3)(x - 7).
  4. Nullproduktregelen gir x = 3 eller x = 7.
Fasit: x = 3 eller x = 7.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = -10, 21, 0 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Andregrad

Oppgave 153: Løs andregradslikning 3

Oppgave:

Løs likningen x² + -11x + 24 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt 24 og sum -11.
  2. Tallene er -3 og -8 som gir faktorene (x - 3) og (x - 8).
  3. x² + -11x + 24 = (x - 3)(x - 8).
  4. Nullproduktregelen gir x = 3 eller x = 8.
Fasit: x = 3 eller x = 8.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = -11, 24, 0 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Andregrad

Oppgave 154: Løs andregradslikning 4

Oppgave:

Løs likningen x² + -2x + -8 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt -8 og sum -2.
  2. Tallene er 2 og -4 som gir faktorene (x - -2) og (x - 4).
  3. x² + -2x + -8 = (x - -2)(x - 4).
  4. Nullproduktregelen gir x = -2 eller x = 4.
Fasit: x = -2 eller x = 4.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Andregrad

Oppgave 155: Løs andregradslikning 5

Oppgave:

Løs likningen x² + -1x + -12 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt -12 og sum -1.
  2. Tallene er 3 og -4 som gir faktorene (x - -3) og (x - 4).
  3. x² + -1x + -12 = (x - -3)(x - 4).
  4. Nullproduktregelen gir x = -3 eller x = 4.
Fasit: x = -3 eller x = 4.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Andregrad

Oppgave 156: Løs andregradslikning 6

Oppgave:

Løs likningen x² + -9x + 14 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt 14 og sum -9.
  2. Tallene er -2 og -7 som gir faktorene (x - 2) og (x - 7).
  3. x² + -9x + 14 = (x - 2)(x - 7).
  4. Nullproduktregelen gir x = 2 eller x = 7.
Fasit: x = 2 eller x = 7.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = -9, 14, 0 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Andregrad

Oppgave 157: Løs andregradslikning 7

Oppgave:

Løs likningen x² + 0x + -25 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt -25 og sum 0.
  2. Tallene er 5 og -5 som gir faktorene (x - -5) og (x - 5).
  3. x² + 0x + -25 = (x - -5)(x - 5).
  4. Nullproduktregelen gir x = -5 eller x = 5.
Fasit: x = -5 eller x = 5.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Andregrad

Oppgave 158: Løs andregradslikning 8

Oppgave:

Løs likningen x² + -12x + 20 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt 20 og sum -12.
  2. Tallene er -2 og -10 som gir faktorene (x - 2) og (x - 10).
  3. x² + -12x + 20 = (x - 2)(x - 10).
  4. Nullproduktregelen gir x = 2 eller x = 10.
Fasit: x = 2 eller x = 10.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

💻 Løs med Python

a, b, c = -12, 20, 0 # a*x + b = c
x = (c - b) / a
print("x =", x)

Kjør koden i et Python-miljø for å sjekke svaret.

Andregrad

Oppgave 159: Løs andregradslikning 9

Oppgave:

Løs likningen x² + -2x + -24 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt -24 og sum -2.
  2. Tallene er 4 og -6 som gir faktorene (x - -4) og (x - 6).
  3. x² + -2x + -24 = (x - -4)(x - 6).
  4. Nullproduktregelen gir x = -4 eller x = 6.
Fasit: x = -4 eller x = 6.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Andregrad

Oppgave 160: Løs andregradslikning 10

Oppgave:

Løs likningen x² + -3x + -18 = 0 ved faktorisering.

Vis løsning
  1. Vi leter etter to tall som har produkt -18 og sum -3.
  2. Tallene er 3 og -6 som gir faktorene (x - -3) og (x - 6).
  3. x² + -3x + -18 = (x - -3)(x - 6).
  4. Nullproduktregelen gir x = -3 eller x = 6.
Fasit: x = -3 eller x = 6.

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis A·B = 0, må A = 0 eller B = 0.

Vanlige feil

Vanlige feil: å finne riktig produkt men feil sum, eller å glemme at det kan være to løsninger.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

4E Ulikheter

Oppgavene under er med fullstendige løsninger. Eksempler, utforskingsoppgaver, blå/røde oppgaver og blandede oppgaver er samlet som vanlige oppgavekort.

Ulikhet

Oppgave 161: Løs ulikhet 1

Oppgave:

Løs ulikheten 4x + -3 < -3. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk -3 fra begge sider: 4x < 0.
  2. Del på 4. Siden 4 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x < 0.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x < 0.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 162: Løs ulikhet 2

Oppgave:

Løs ulikheten 3x + -2 > -11. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk -2 fra begge sider: 3x > -9.
  2. Del på 3. Siden 3 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x > -3.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x > -3.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 163: Løs ulikhet 3

Oppgave:

Løs ulikheten 4x + 2 > 22. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk 2 fra begge sider: 4x > 20.
  2. Del på 4. Siden 4 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x > 5.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x > 5.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 164: Løs ulikhet 4

Oppgave:

Løs ulikheten 1x + 1 > 7. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk 1 fra begge sider: 1x > 6.
  2. Del på 1. Siden 1 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x > 6.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x > 6.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 165: Løs ulikhet 5

Oppgave:

Løs ulikheten 4x + -3 < 5. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk -3 fra begge sider: 4x < 8.
  2. Del på 4. Siden 4 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x < 2.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x < 2.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 166: Løs ulikhet 6

Oppgave:

Løs ulikheten 2x + 6 > 12. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk 6 fra begge sider: 2x > 6.
  2. Del på 2. Siden 2 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x > 3.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x > 3.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 167: Løs ulikhet 7

Oppgave:

Løs ulikheten 4x + 2 > 26. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk 2 fra begge sider: 4x > 24.
  2. Del på 4. Siden 4 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x > 6.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x > 6.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 168: Løs ulikhet 8

Oppgave:

Løs ulikheten 3x + -4 < -7. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk -4 fra begge sider: 3x < -3.
  2. Del på 3. Siden 3 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x < -1.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x < -1.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 169: Løs ulikhet 9

Oppgave:

Løs ulikheten 2x + -2 < 2. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk -2 fra begge sider: 2x < 4.
  2. Del på 2. Siden 2 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x < 2.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x < 2.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ulikhet

Oppgave 170: Løs ulikhet 10

Oppgave:

Løs ulikheten 5x + 5 > 15. Vis løsningen på tallinja.

Vis løsning
  1. Trekk 5 fra begge sider: 5x > 10.
  2. Del på 5. Siden 5 er positivt, beholder ulikhetstegnet retningen.
  3. x > 2.
  4. På tallinja bruker vi åpen prikk fordi tegnet ikke er ≤ eller ≥.
Fasit: x > 2.

Regel / huskeregel

Når du deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Vanlige feil

Vanlige feil: å snu tegnet når tallet er positivt, eller å glemme åpen/lukket prikk på tallinja.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter at metoden er valgt riktig, at mellomregninger vises, at enhetene brukes presist, og at svaret tolkes i konteksten.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden passer, vurdere om svaret er rimelig, og skrive en kort tolkning med riktig enhet.

Ofte stilte spørsmål om likninger i 2P

Hva vil det si å løse en likning?

Å løse en likning betyr å finne verdien av den ukjente som gjør at venstre og høyre side blir like. Denne verdien kalles løsningen, og du kan alltid kontrollere den ved å sette den inn i likningen.

Hva er den viktigste regelen når jeg løser likninger?

Du må gjøre nøyaktig det samme på begge sider av likhetstegnet. Legger du til, trekker fra, ganger eller deler, må det skje på begge sider for at likningen skal holde.

Hvordan løser jeg en lineær likning?

Du samler leddene med den ukjente på én side og tallene på den andre, forenkler, og deler til slutt på tallet foran den ukjente. Kontroller svaret ved å sette det inn.

Hvordan løser jeg en likning med brøk?

Du ganger hvert ledd med fellesnevneren for å fjerne brøkene, og løser deretter den vanlige likningen. Husk å gange inn i alle ledd, også dem uten brøk.

Hvordan setter jeg opp en likning fra en tekstoppgave?

Du kaller det ukjente for x, oversetter setningene til matematiske uttrykk, og skriver opp likheten teksten beskriver. Deretter løser du likningen og tolker svaret i sammenhengen.

Hva er et likningssett?

Et likningssett er to likninger som skal gjelde samtidig, med to ukjente. Løsningen er verdiene som passer i begge likningene på én gang.

Hva er innsettingsmetoden?

I innsettingsmetoden løser du den ene likningen for den ene ukjente, og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Da får du én likning med bare én ukjent.

Hva er addisjonsmetoden (eliminasjon)?

I addisjonsmetoden legger du likningene sammen, eventuelt etter å ha ganget en av dem, slik at den ene ukjente forsvinner. Da står du igjen med én likning og én ukjent.

Når bruker jeg innsetting versus addisjon?

Innsetting passer når en ukjent allerede står alene i en likning. Addisjon passer når du enkelt kan få like eller motsatte koeffisienter foran én av de ukjente.

Hvordan løser jeg en andregradslikning?

En andregradslikning på formen ax i andre pluss bx pluss c er lik 0 løser du med abc-formelen, eller ved faktorisering hvis det er mulig. Den kan ha null, én eller to løsninger.

Hva er abc-formelen?

Abc-formelen gir løsningene til en andregradslikning ut fra koeffisientene a, b og c. Uttrykket under rottegnet, diskriminanten, avgjør om det finnes to, én eller ingen reelle løsninger.

Hvordan løser jeg en ulikhet?

En ulikhet løser du nesten som en likning, men med et ulikhetstegn i stedet for likhetstegn. Den viktige forskjellen er at du må snu ulikhetstegnet hvis du ganger eller deler med et negativt tall. Løsningen er ofte et intervall, ikke ett enkelt tall.

Hvordan kontrollerer jeg at svaret er riktig?

Du setter løsningen inn i den opprinnelige likningen og sjekker at venstre og høyre side blir like. Dette avslører regnefeil, og er spesielt viktig ved likninger med brøk.

Hvordan bruker jeg CAS til likninger på eksamen?

I CAS løser du likninger og likningssett med én kommando, også kompliserte andregradslikninger. Dette er tillatt på Del 2 og gir full uttelling så lenge du forklarer oppsettet.

Hva må jeg kunne om likninger til eksamen i 2P?

Du må kunne løse lineære likninger, likninger med brøk, likningssett med to ukjente, andregradslikninger og ulikheter, sette opp likninger fra tekst, og kontrollere svaret — både manuelt (Del 1) og med CAS (Del 2).