Vekstfart og derivasjon – oppgaver med fasit

Trinnvis løsning

Vi leser grafen fra venstre mot høyre. Toppunktet viser høyeste temperatur, og bunnpunktet viser laveste temperatur. Når grafen går oppover, øker temperaturen. Når grafen går nedover, minker temperaturen. Når grafen er brattest oppover, øker temperaturen raskest.

Fasit

Temperaturen er høyest omtrent kl. 16 og lavest omtrent kl. 4. Temperaturen øker omtrent fra kl. 4 til kl. 16 og minker fra kl. 0 til kl. 4 og fra kl. 16 til kl. 24. Den øker raskest omtrent mellom kl. 9 og kl. 13.

Forklaring

Dette er en kvalitativ drøfting av graf. Vi trenger ikke et funksjonsuttrykk for å se hvor grafen er voksende, minkende, bratt eller flat.

Huskeregel

Bratthet på grafen henger sammen med vekstfart. Oppover betyr positiv vekstfart, nedover betyr negativ vekstfart.

Sensor ser etter

at eleven kan bruke ord som høyest, lavest, voksende, minkende og raskest økning basert på grafens form.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å lese av y-verdi som x-verdi, eller å tro at høyest temperatur er det samme som raskest økning.

Trinnvis løsning

Funksjonen er lineær på formen $h(x)=ax+b$. Stigningstallet $a$ er vekstfarten.

$h(x)=3x+7$

Her er stigningstallet 3, altså vokser planten 3 cm per uke.

Etter 6 uker:

$h(6)=3\cdot 6+7=18+7=25$

Konstantleddet 7 er startverdien, altså høyden når $x=0$.

Fasit

a) 3 cm/uke. b) 25 cm. c) Konstantleddet er startverdien, 7 cm.

Huskeregel

For $y=ax+b$ er $a$ stigningstall/vekstfart og $b$ startverdi.

Sensor ser etter

riktig tolkning av stigningstall, korrekt innsetting av $x=6$, og forklaring av konstantledd.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å tro at 7 er vekstfarten, eller å skrive 3 uten enhet.

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart betyr endring i funksjonsverdi delt på endring i x-verdi.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(15)-f(5)}{15-5}$

Her er $f(5)=9.50$ og $f(15)=45.50$. Derfor blir

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{45.50-9.50}{10}=\frac{36.00}{10}=3.60$

Fasit

Den gjennomsnittlige vekstfarten er 3.60 cm per dag.

Forklaring

Svaret forteller hvor mye størrelsen i gjennomsnitt endrer seg per én enhet på x-aksen i intervallet. En positiv verdi betyr økning, mens en negativ verdi betyr nedgang.

Huskeregel

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Sensor ser etter

at eleven bruker riktige endepunkter, setter inn i funksjonen eller leser av grafen riktig, og tolker fortegnet og enheten.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bytte om a og b, bruke bare $f(b)-f(a)$ uten å dele på $b-a$, eller glemme enheten.

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart betyr endring i funksjonsverdi delt på endring i x-verdi.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(13)-f(9)}{13-9}$

Her er $f(9)=16.30$ og $f(13)=23.50$. Derfor blir

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{23.50-16.30}{4}=\frac{7.20}{4}=1.80$

Fasit

Den gjennomsnittlige vekstfarten er 1.80 grader per time.

Forklaring

Svaret forteller hvor mye størrelsen i gjennomsnitt endrer seg per én enhet på x-aksen i intervallet. En positiv verdi betyr økning, mens en negativ verdi betyr nedgang.

Huskeregel

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Sensor ser etter

at eleven bruker riktige endepunkter, setter inn i funksjonen eller leser av grafen riktig, og tolker fortegnet og enheten.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bytte om a og b, bruke bare $f(b)-f(a)$ uten å dele på $b-a$, eller glemme enheten.

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart betyr endring i funksjonsverdi delt på endring i x-verdi.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(20)-f(17)}{20-17}$

Her er $f(17)=21.10$ og $f(20)=13.00$. Derfor blir

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{13.00-21.10}{3}=\frac{-8.10}{3}=-2.70$

Fasit

Den gjennomsnittlige vekstfarten er -2.70 grader per time.

Forklaring

Svaret forteller hvor mye størrelsen i gjennomsnitt endrer seg per én enhet på x-aksen i intervallet. En positiv verdi betyr økning, mens en negativ verdi betyr nedgang.

Huskeregel

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Sensor ser etter

at eleven bruker riktige endepunkter, setter inn i funksjonen eller leser av grafen riktig, og tolker fortegnet og enheten.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bytte om a og b, bruke bare $f(b)-f(a)$ uten å dele på $b-a$, eller glemme enheten.

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart betyr endring i funksjonsverdi delt på endring i x-verdi.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(10)-f(0)}{10-0}$

Her er $f(0)=1.00$ og $f(10)=7.60$. Derfor blir

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{7.60-1.00}{10}=\frac{6.60}{10}=0.66$

Fasit

Den gjennomsnittlige vekstfarten er 0.66 meter per år.

Forklaring

Svaret forteller hvor mye størrelsen i gjennomsnitt endrer seg per én enhet på x-aksen i intervallet. En positiv verdi betyr økning, mens en negativ verdi betyr nedgang.

Huskeregel

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Sensor ser etter

at eleven bruker riktige endepunkter, setter inn i funksjonen eller leser av grafen riktig, og tolker fortegnet og enheten.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bytte om a og b, bruke bare $f(b)-f(a)$ uten å dele på $b-a$, eller glemme enheten.

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart betyr endring i funksjonsverdi delt på endring i x-verdi.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(35)-f(20)}{35-20}$

Her er $f(20)=17.80$ og $f(35)=34.60$. Derfor blir

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{34.60-17.80}{15}=\frac{16.80}{15}=1.12$

Fasit

Den gjennomsnittlige vekstfarten er 1.12 meter per år.

Forklaring

Svaret forteller hvor mye størrelsen i gjennomsnitt endrer seg per én enhet på x-aksen i intervallet. En positiv verdi betyr økning, mens en negativ verdi betyr nedgang.

Huskeregel

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Sensor ser etter

at eleven bruker riktige endepunkter, setter inn i funksjonen eller leser av grafen riktig, og tolker fortegnet og enheten.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bytte om a og b, bruke bare $f(b)-f(a)$ uten å dele på $b-a$, eller glemme enheten.

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart betyr endring i funksjonsverdi delt på endring i x-verdi.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(10.2)-f(10)}{10.2-10}$

Her er $f(10)=3.79$ og $f(10.2)=3.99$. Derfor blir

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3.99-3.79}{0.1999999999999993}=\frac{0.19}{0.1999999999999993}=0.96$

Fasit

Den gjennomsnittlige vekstfarten er 0.96 cm per dag.

Forklaring

Svaret forteller hvor mye størrelsen i gjennomsnitt endrer seg per én enhet på x-aksen i intervallet. En positiv verdi betyr økning, mens en negativ verdi betyr nedgang.

Huskeregel

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Sensor ser etter

at eleven bruker riktige endepunkter, setter inn i funksjonen eller leser av grafen riktig, og tolker fortegnet og enheten.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bytte om a og b, bruke bare $f(b)-f(a)$ uten å dele på $b-a$, eller glemme enheten.

Trinnvis løsning

Vi finner stigningstallet til tangenten ved å bruke to punkter på tangentlinjen.

$a=\frac{42-12}{18-5}=\frac{30}{13}\approx 2,31$

Fasit

Den momentane vekstfarten er omtrent 2,31 cm per dag.

Forklaring

Vi bruker punktene på tangenten, ikke to punkter på selve kurven. Tangenten viser hvor raskt planten vokser akkurat i dette tidspunktet.

Huskeregel

Stigningstall til tangent = momentan vekstfart.

Sensor ser etter

riktig avlesning av tangentpunkter og korrekt bruk av $\Delta y/\Delta x$.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke to punkter på kurven i stedet for på tangenten.

Trinnvis løsning

Faktoriser telleren: $x^2+5x=x(x+5)$. For $x\neq0$ kan vi forkorte x og få $x+5$. Når x går mot 0, går uttrykket mot 5.

$\text{forenklet uttrykk}=x+5$

Fasit

Grenseverdien er 5.

Forklaring

Vi kan ikke nødvendigvis sette inn x-verdien med én gang hvis nevneren blir 0. Først må vi faktorisere og forkorte felles faktor. Lim-tegnet skal beholdes helt til innsettingen er lovlig.

Huskeregel

Ved 0/0: faktoriser, forkort felles faktor, og sett deretter inn x-verdien i det forenklede uttrykket.

Sensor ser etter

korrekt faktorisering, at eleven ikke deler på 0, og at lim-notasjon brukes ryddig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller å sette inn x før uttrykket er forenklet.

Trinnvis løsning

Faktoriser x i telleren: $3x^3-6x=x(3x^2-6)$. Forkort x og sett deretter x=0.

$\text{forenklet uttrykk}=3x^2-6$

Fasit

Grenseverdien er -6.

Forklaring

Vi kan ikke nødvendigvis sette inn x-verdien med én gang hvis nevneren blir 0. Først må vi faktorisere og forkorte felles faktor. Lim-tegnet skal beholdes helt til innsettingen er lovlig.

Huskeregel

Ved 0/0: faktoriser, forkort felles faktor, og sett deretter inn x-verdien i det forenklede uttrykket.

Sensor ser etter

korrekt faktorisering, at eleven ikke deler på 0, og at lim-notasjon brukes ryddig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller å sette inn x før uttrykket er forenklet.

Trinnvis løsning

Faktoriser $x^2$ i telleren: $x^3+4x^2=x^2(x+4)$. Forkort $x^2$, og la x gå mot 0.

$\text{forenklet uttrykk}=x+4$

Fasit

Grenseverdien er 4.

Forklaring

Vi kan ikke nødvendigvis sette inn x-verdien med én gang hvis nevneren blir 0. Først må vi faktorisere og forkorte felles faktor. Lim-tegnet skal beholdes helt til innsettingen er lovlig.

Huskeregel

Ved 0/0: faktoriser, forkort felles faktor, og sett deretter inn x-verdien i det forenklede uttrykket.

Sensor ser etter

korrekt faktorisering, at eleven ikke deler på 0, og at lim-notasjon brukes ryddig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller å sette inn x før uttrykket er forenklet.

Trinnvis løsning

Faktoriser telleren: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Forkort $x-2$, og sett x=2 i $x-3$.

$\text{forenklet uttrykk}=x-3$

Fasit

Grenseverdien er -1.

Forklaring

Vi kan ikke nødvendigvis sette inn x-verdien med én gang hvis nevneren blir 0. Først må vi faktorisere og forkorte felles faktor. Lim-tegnet skal beholdes helt til innsettingen er lovlig.

Huskeregel

Ved 0/0: faktoriser, forkort felles faktor, og sett deretter inn x-verdien i det forenklede uttrykket.

Sensor ser etter

korrekt faktorisering, at eleven ikke deler på 0, og at lim-notasjon brukes ryddig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller å sette inn x før uttrykket er forenklet.

Trinnvis løsning

Faktoriser telleren: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. Forkort og sett x=-1.

$\text{forenklet uttrykk}=x+2$

Fasit

Grenseverdien er 1.

Forklaring

Vi kan ikke nødvendigvis sette inn x-verdien med én gang hvis nevneren blir 0. Først må vi faktorisere og forkorte felles faktor. Lim-tegnet skal beholdes helt til innsettingen er lovlig.

Huskeregel

Ved 0/0: faktoriser, forkort felles faktor, og sett deretter inn x-verdien i det forenklede uttrykket.

Sensor ser etter

korrekt faktorisering, at eleven ikke deler på 0, og at lim-notasjon brukes ryddig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller å sette inn x før uttrykket er forenklet.

Trinnvis løsning

Nevneren blir 0 når x=2, derfor er f(2) ikke definert. Telleren faktoriseres som $(x+3)(x-2)$, og uttrykket nær x=2 er lik $x+3$.

$\text{forenklet uttrykk}=x+3$

Fasit

Grenseverdien er 5.

Forklaring

Vi kan ikke nødvendigvis sette inn x-verdien med én gang hvis nevneren blir 0. Først må vi faktorisere og forkorte felles faktor. Lim-tegnet skal beholdes helt til innsettingen er lovlig.

Huskeregel

Ved 0/0: faktoriser, forkort felles faktor, og sett deretter inn x-verdien i det forenklede uttrykket.

Sensor ser etter

korrekt faktorisering, at eleven ikke deler på 0, og at lim-notasjon brukes ryddig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller å sette inn x før uttrykket er forenklet.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=5x-8$

$f'(x)=5$

Fasit

$f'(x)=5$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=11$

$f'(x)=0$

Fasit

$f'(x)=0$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=x^2+6x-4$

$f'(x)=2x+6$

Fasit

$f'(x)=2x+6$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=2x^3-5x^2+7x-1$

$f'(x)=6x^2-10x+7$

Fasit

$f'(x)=6x^2-10x+7$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=-3x^3+4x^2-2x+9$

$f'(x)=-9x^2+8x-2$

Fasit

$f'(x)=-9x^2+8x-2$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=1/2x^4-3x^2+x$

$f'(x)=2x^3-6x+1$

Fasit

$f'(x)=2x^3-6x+1$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=x^3-4x$

$f'(x)=3x^2-4$

Setter vi $x=2$, får vi $f'(2)=3\cdot2^2-4=12-4=8$.

Fasit

$f'(x)=3x^2-4$, og vekstfarten ved $x=2$ er 8.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=x^2+2x-3$

$f'(x)=2x+2$

Ved $x=1$ er $f(1)=1+2-3=0$ og $f'(1)=2\cdot1+2=4$. Tangenten har form $y=4x+b$. Siden punktet $(1,0)$ ligger på tangenten, får vi $0=4\cdot1+b$, altså $b=-4$. Tangenten er $y=4x-4$.

Fasit

$f'(x)=2x+2$, tangent: $y=4x-4$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=x^5$

$f'(x)=5x^4$

Fasit

$f'(x)=5x^4$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Vi bruker reglene $(x^n)'=n x^{n-1}$, $(ax)'=a$, $(c)'=0$, og at vi kan derivere ledd for ledd.

$f(x)=f(x)=4x^3-2x^2+x-6$

$f'(x)=12x^2-4x+1$

Fasit

$f'(x)=12x^2-4x+1$.

Forklaring

Den deriverte forteller stigningstallet til tangenten og dermed momentant veksttempo.

Huskeregel

Potensregelen: $(x^n)'=n x^{n-1}$. Konstantledd forsvinner.

Sensor ser etter

riktig bruk av potensregelen, fortegn, koeffisienter og leddvis derivasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å redusere eksponenten feil, glemme å multiplisere med gammel eksponent, eller derivere konstantleddet som 1.

Trinnvis løsning

Momentan vekstfart i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet. Når vi kan derivere, finner vi den momentane vekstfarten ved å sette x-verdien inn i den deriverte.

$f'(x)=se mellomregningen$

$f'(1)=4.00$

Tangenten har stigningstall 4.00 og går gjennom punktet $(1,-3.00)$. Da er likningen $y--3.00=4.00(x-1)$, som kan skrives som $y=4.00x-7.00$.

Fasit

Den momentane vekstfarten ved $x=1$ er 4.00.

Forklaring

Verdien er positiv dersom grafen stiger i punktet, negativ dersom grafen synker, og null dersom tangenten er horisontal.

Huskeregel

Momentan vekstfart ved $x=a$ er $f'(a)$. Grafisk er dette stigningstallet til tangenten.

Sensor ser etter

at eleven skiller gjennomsnittlig vekstfart fra momentan vekstfart og bruker tangent/derivert riktig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke sekant mellom to punkter når oppgaven ber om momentan vekstfart, eller å sette inn feil x-verdi i den deriverte.

Trinnvis løsning

Momentan vekstfart i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet. Når vi kan derivere, finner vi den momentane vekstfarten ved å sette x-verdien inn i den deriverte.

$f'(x)=se mellomregningen$

$f'(2)=12.00$

Tangenten har stigningstall 12.00 og går gjennom punktet $(2,8.00)$. Da er likningen $y-8.00=12.00(x-2)$, som kan skrives som $y=12.00x-16.00$.

Fasit

Den momentane vekstfarten ved $x=2$ er 12.00.

Forklaring

Verdien er positiv dersom grafen stiger i punktet, negativ dersom grafen synker, og null dersom tangenten er horisontal.

Huskeregel

Momentan vekstfart ved $x=a$ er $f'(a)$. Grafisk er dette stigningstallet til tangenten.

Sensor ser etter

at eleven skiller gjennomsnittlig vekstfart fra momentan vekstfart og bruker tangent/derivert riktig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke sekant mellom to punkter når oppgaven ber om momentan vekstfart, eller å sette inn feil x-verdi i den deriverte.

Trinnvis løsning

Momentan vekstfart i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet. Når vi kan derivere, finner vi den momentane vekstfarten ved å sette x-verdien inn i den deriverte.

$f'(x)=se mellomregningen$

$f'(1)=-1.00$

Tangenten har stigningstall -1.00 og går gjennom punktet $(1,0.00)$. Da er likningen $y-0.00=-1.00(x-1)$, som kan skrives som $y=-1.00x+1.00$.

Fasit

Den momentane vekstfarten ved $x=1$ er -1.00.

Forklaring

Verdien er positiv dersom grafen stiger i punktet, negativ dersom grafen synker, og null dersom tangenten er horisontal.

Huskeregel

Momentan vekstfart ved $x=a$ er $f'(a)$. Grafisk er dette stigningstallet til tangenten.

Sensor ser etter

at eleven skiller gjennomsnittlig vekstfart fra momentan vekstfart og bruker tangent/derivert riktig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke sekant mellom to punkter når oppgaven ber om momentan vekstfart, eller å sette inn feil x-verdi i den deriverte.

Trinnvis løsning

Momentan vekstfart i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet. Når vi kan derivere, finner vi den momentane vekstfarten ved å sette x-verdien inn i den deriverte.

$f'(x)=se mellomregningen$

$f'(2)=4.00$

Tangenten har stigningstall 4.00 og går gjennom punktet $(2,3.00)$. Da er likningen $y-3.00=4.00(x-2)$, som kan skrives som $y=4.00x-5.00$.

Fasit

Den momentane vekstfarten ved $x=2$ er 4.00.

Forklaring

Verdien er positiv dersom grafen stiger i punktet, negativ dersom grafen synker, og null dersom tangenten er horisontal.

Huskeregel

Momentan vekstfart ved $x=a$ er $f'(a)$. Grafisk er dette stigningstallet til tangenten.

Sensor ser etter

at eleven skiller gjennomsnittlig vekstfart fra momentan vekstfart og bruker tangent/derivert riktig.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke sekant mellom to punkter når oppgaven ber om momentan vekstfart, eller å sette inn feil x-verdi i den deriverte.

Trinnvis løsning

Først deriverer vi funksjonen.

$f'(x)=3x^2-12x+9$

Stasjonære punkter finner vi ved å løse $f'(x)=0$. For denne funksjonen får vi x-verdiene 1, 3. Deretter setter vi disse inn i funksjonen og får punktene (1,4), (3,0).

Vi undersøker fortegnet til den deriverte på intervallene mellom nullpunktene. Resultatet er at funksjonen er voksende for x<1 og x>3, minkende for 1

Fasit

$f'(x)=3x^2-12x+9$. Stasjonære punkt: (1,4), (3,0). Monotoniegenskap: voksende for x<1 og x>3, minkende for 1

Forklaring

Når $f'(x)>0$, er grafen voksende. Når $f'(x)<0$, er grafen minkende. Et punkt der $f'(x)=0$ kan være toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt, avhengig av fortegnsskifte.

Huskeregel

Bruk den deriverte til å avgjøre vekst: positiv derivert gir voksende graf, negativ derivert gir minkende graf.

Sensor ser etter

riktig derivasjon, løsning av $f'(x)=0$, fortegnslinje og korrekt klassifisering av topp/bunn.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å tro at alle stasjonære punkt automatisk er topp- eller bunnpunkt, eller å glemme å sette x-verdien inn i f for å finne y-verdien.

Trinnvis løsning

Først deriverer vi funksjonen.

$f'(x)=2x-4$

Stasjonære punkter finner vi ved å løse $f'(x)=0$. For denne funksjonen får vi x-verdiene 2. Deretter setter vi disse inn i funksjonen og får punktene (2,-3).

Vi undersøker fortegnet til den deriverte på intervallene mellom nullpunktene. Resultatet er at funksjonen er minkende for x<2 og voksende for x>2.

Fasit

$f'(x)=2x-4$. Stasjonære punkt: (2,-3). Monotoniegenskap: minkende for x<2 og voksende for x>2.

Forklaring

Når $f'(x)>0$, er grafen voksende. Når $f'(x)<0$, er grafen minkende. Et punkt der $f'(x)=0$ kan være toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt, avhengig av fortegnsskifte.

Huskeregel

Bruk den deriverte til å avgjøre vekst: positiv derivert gir voksende graf, negativ derivert gir minkende graf.

Sensor ser etter

riktig derivasjon, løsning av $f'(x)=0$, fortegnslinje og korrekt klassifisering av topp/bunn.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å tro at alle stasjonære punkt automatisk er topp- eller bunnpunkt, eller å glemme å sette x-verdien inn i f for å finne y-verdien.

Trinnvis løsning

Først deriverer vi funksjonen.

$f'(x)=-2x+2$

Stasjonære punkter finner vi ved å løse $f'(x)=0$. For denne funksjonen får vi x-verdiene 1. Deretter setter vi disse inn i funksjonen og får punktene (1,6).

Vi undersøker fortegnet til den deriverte på intervallene mellom nullpunktene. Resultatet er at funksjonen er voksende for x<1 og minkende for x>1.

Fasit

$f'(x)=-2x+2$. Stasjonære punkt: (1,6). Monotoniegenskap: voksende for x<1 og minkende for x>1.

Forklaring

Når $f'(x)>0$, er grafen voksende. Når $f'(x)<0$, er grafen minkende. Et punkt der $f'(x)=0$ kan være toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt, avhengig av fortegnsskifte.

Huskeregel

Bruk den deriverte til å avgjøre vekst: positiv derivert gir voksende graf, negativ derivert gir minkende graf.

Sensor ser etter

riktig derivasjon, løsning av $f'(x)=0$, fortegnslinje og korrekt klassifisering av topp/bunn.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å tro at alle stasjonære punkt automatisk er topp- eller bunnpunkt, eller å glemme å sette x-verdien inn i f for å finne y-verdien.

Trinnvis løsning

Først deriverer vi funksjonen.

$f'(x)=6x^2-18x$

Stasjonære punkter finner vi ved å løse $f'(x)=0$. For denne funksjonen får vi x-verdiene 0, 3. Deretter setter vi disse inn i funksjonen og får punktene (0,6), (3,-21).

Vi undersøker fortegnet til den deriverte på intervallene mellom nullpunktene. Resultatet er at funksjonen er voksende for x<0 og x>3, minkende for 0

Fasit

$f'(x)=6x^2-18x$. Stasjonære punkt: (0,6), (3,-21). Monotoniegenskap: voksende for x<0 og x>3, minkende for 0

Forklaring

Når $f'(x)>0$, er grafen voksende. Når $f'(x)<0$, er grafen minkende. Et punkt der $f'(x)=0$ kan være toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt, avhengig av fortegnsskifte.

Huskeregel

Bruk den deriverte til å avgjøre vekst: positiv derivert gir voksende graf, negativ derivert gir minkende graf.

Sensor ser etter

riktig derivasjon, løsning av $f'(x)=0$, fortegnslinje og korrekt klassifisering av topp/bunn.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å tro at alle stasjonære punkt automatisk er topp- eller bunnpunkt, eller å glemme å sette x-verdien inn i f for å finne y-verdien.

Trinnvis løsning

Newton-Raphson bruker tangentlinjen til å lage stadig bedre tilnærminger til et nullpunkt. Formelen er

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Her bruker vi $f(x)=x^2-3$ og $f'(x)=2x$. Vi velger en startverdi nær nullpunktet og gjentar formelen til endringen blir liten.

def f(x):
 return x**2 - 7

def df(x):
 return 2*x

x = 3
for i in range(8):
 x = x - f(x)/df(x)
print(round(x, 5))

Fasit

Tilnærmet løsning: 1.73205, -1.73205.

Forklaring

Metoden virker fordi tangenten nær nullpunktet ofte skjærer x-aksen nærmere den egentlige løsningen enn startverdien gjorde. Hvis $f'(x)$ er nær 0, eller startverdien ligger langt unna, kan metoden bli ustabil.

Huskeregel

Newton-Raphson: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Sensor ser etter

at eleven kan sette opp riktig funksjon, derivert, startverdi og iterasjon, og vurdere nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke feil derivert, stoppe etter én iterasjon uten kontroll, eller velge startverdi der $f'(x)\approx0$.

Trinnvis løsning

Newton-Raphson bruker tangentlinjen til å lage stadig bedre tilnærminger til et nullpunkt. Formelen er

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Her bruker vi $f(x)=x^3+x^2-10x+2$ og $f'(x)=3x^2+2x-10$. Vi velger en startverdi nær nullpunktet og gjentar formelen til endringen blir liten.

def f(x):
 return x**2 - 7

def df(x):
 return 2*x

x = 3
for i in range(8):
 x = x - f(x)/df(x)
print(round(x, 5))

Fasit

Tilnærmet løsning: avhenger av valgt startverdi og løses numerisk i CAS/Python.

Forklaring

Metoden virker fordi tangenten nær nullpunktet ofte skjærer x-aksen nærmere den egentlige løsningen enn startverdien gjorde. Hvis $f'(x)$ er nær 0, eller startverdien ligger langt unna, kan metoden bli ustabil.

Huskeregel

Newton-Raphson: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Sensor ser etter

at eleven kan sette opp riktig funksjon, derivert, startverdi og iterasjon, og vurdere nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke feil derivert, stoppe etter én iterasjon uten kontroll, eller velge startverdi der $f'(x)\approx0$.

Trinnvis løsning

Newton-Raphson bruker tangentlinjen til å lage stadig bedre tilnærminger til et nullpunkt. Formelen er

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Her bruker vi $f(x)=x^2-7$ og $f'(x)=2x$. Vi velger en startverdi nær nullpunktet og gjentar formelen til endringen blir liten.

def f(x):
 return x**2 - 7

def df(x):
 return 2*x

x = 3
for i in range(8):
 x = x - f(x)/df(x)
print(round(x, 5))

Fasit

Tilnærmet løsning: 2.64575.

Forklaring

Metoden virker fordi tangenten nær nullpunktet ofte skjærer x-aksen nærmere den egentlige løsningen enn startverdien gjorde. Hvis $f'(x)$ er nær 0, eller startverdien ligger langt unna, kan metoden bli ustabil.

Huskeregel

Newton-Raphson: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Sensor ser etter

at eleven kan sette opp riktig funksjon, derivert, startverdi og iterasjon, og vurdere nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke feil derivert, stoppe etter én iterasjon uten kontroll, eller velge startverdi der $f'(x)\approx0$.

Trinnvis løsning

Newton-Raphson bruker tangentlinjen til å lage stadig bedre tilnærminger til et nullpunkt. Formelen er

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Her bruker vi $f(x)=x^3-11$ og $f'(x)=3x^2$. Vi velger en startverdi nær nullpunktet og gjentar formelen til endringen blir liten.

def f(x):
 return x**2 - 7

def df(x):
 return 2*x

x = 3
for i in range(8):
 x = x - f(x)/df(x)
print(round(x, 5))

Fasit

Tilnærmet løsning: 2.22398.

Forklaring

Metoden virker fordi tangenten nær nullpunktet ofte skjærer x-aksen nærmere den egentlige løsningen enn startverdien gjorde. Hvis $f'(x)$ er nær 0, eller startverdien ligger langt unna, kan metoden bli ustabil.

Huskeregel

Newton-Raphson: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Sensor ser etter

at eleven kan sette opp riktig funksjon, derivert, startverdi og iterasjon, og vurdere nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke feil derivert, stoppe etter én iterasjon uten kontroll, eller velge startverdi der $f'(x)\approx0$.

Trinnvis løsning

Newton-Raphson bruker tangentlinjen til å lage stadig bedre tilnærminger til et nullpunkt. Formelen er

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Her bruker vi $f(x)=x^3-3x+1$ og $f'(x)=3x^2-3$. Vi velger en startverdi nær nullpunktet og gjentar formelen til endringen blir liten.

def f(x):
 return x**2 - 7

def df(x):
 return 2*x

x = 3
for i in range(8):
 x = x - f(x)/df(x)
print(round(x, 5))

Fasit

Tilnærmet løsning: avhenger av valgt startverdi og løses numerisk i CAS/Python.

Forklaring

Metoden virker fordi tangenten nær nullpunktet ofte skjærer x-aksen nærmere den egentlige løsningen enn startverdien gjorde. Hvis $f'(x)$ er nær 0, eller startverdien ligger langt unna, kan metoden bli ustabil.

Huskeregel

Newton-Raphson: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Sensor ser etter

at eleven kan sette opp riktig funksjon, derivert, startverdi og iterasjon, og vurdere nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bruke feil derivert, stoppe etter én iterasjon uten kontroll, eller velge startverdi der $f'(x)\approx0$.

Trinnvis løsning

$f(2)=-1$, $f(3)=4$, og fortegnene er ulike. Etter flere halveringer får vi nullpunktet omtrent $x=2,236$.

Fasit

$f(2)=-1$, $f(3)=4$, og fortegnene er ulike. Etter flere halveringer får vi nullpunktet omtrent $x=2,236$.

Forklaring

Numeriske metoder brukes når vi ikke enkelt kan finne en eksakt løsning. Da må vi både beskrive algoritmen og kontrollere at svaret er rimelig.

Huskeregel

En algoritme må ha startverdier, gjentakelse, stoppkriterium og utskrift.

Sensor ser etter

tydelig metode, korrekt logikk og at eleven kommenterer gyldighet/nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å glemme stoppkriterium, bruke feil fortegnstest, eller ikke forklare hva programmet faktisk regner ut.

Trinnvis løsning

Vi beregner midtpunktet m=(v+h)/2. Hvis f(v) og f(m) har motsatt fortegn, flyttes h til m. Ellers flyttes v til m. Dette gjentas til intervallet er lite nok.

Fasit

Vi beregner midtpunktet m=(v+h)/2. Hvis f(v) og f(m) har motsatt fortegn, flyttes h til m. Ellers flyttes v til m. Dette gjentas til intervallet er lite nok.

Forklaring

Numeriske metoder brukes når vi ikke enkelt kan finne en eksakt løsning. Da må vi både beskrive algoritmen og kontrollere at svaret er rimelig.

Huskeregel

En algoritme må ha startverdier, gjentakelse, stoppkriterium og utskrift.

Sensor ser etter

tydelig metode, korrekt logikk og at eleven kommenterer gyldighet/nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å glemme stoppkriterium, bruke feil fortegnstest, eller ikke forklare hva programmet faktisk regner ut.

Trinnvis løsning

Newton er ofte raskere, men krever derivert og god startverdi. Halvering er tryggere hvis vi har et intervall med fortegnsskifte, men bruker flere steg.

Fasit

Newton er ofte raskere, men krever derivert og god startverdi. Halvering er tryggere hvis vi har et intervall med fortegnsskifte, men bruker flere steg.

Forklaring

Numeriske metoder brukes når vi ikke enkelt kan finne en eksakt løsning. Da må vi både beskrive algoritmen og kontrollere at svaret er rimelig.

Huskeregel

En algoritme må ha startverdier, gjentakelse, stoppkriterium og utskrift.

Sensor ser etter

tydelig metode, korrekt logikk og at eleven kommenterer gyldighet/nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å glemme stoppkriterium, bruke feil fortegnstest, eller ikke forklare hva programmet faktisk regner ut.

Trinnvis løsning

Programmet definerer f, leser a og b, og skriver ut (f(b)-f(a))/(b-a).

Fasit

Programmet definerer f, leser a og b, og skriver ut (f(b)-f(a))/(b-a).

Forklaring

Numeriske metoder brukes når vi ikke enkelt kan finne en eksakt løsning. Da må vi både beskrive algoritmen og kontrollere at svaret er rimelig.

Huskeregel

En algoritme må ha startverdier, gjentakelse, stoppkriterium og utskrift.

Sensor ser etter

tydelig metode, korrekt logikk og at eleven kommenterer gyldighet/nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å glemme stoppkriterium, bruke feil fortegnstest, eller ikke forklare hva programmet faktisk regner ut.

Trinnvis løsning

Dette gir en numerisk tilnærming til den deriverte. Jo mindre h er, desto bedre blir ofte tilnærmingen, men svært små h kan gi avrundingsfeil.

Fasit

Dette gir en numerisk tilnærming til den deriverte. Jo mindre h er, desto bedre blir ofte tilnærmingen, men svært små h kan gi avrundingsfeil.

Forklaring

Numeriske metoder brukes når vi ikke enkelt kan finne en eksakt løsning. Da må vi både beskrive algoritmen og kontrollere at svaret er rimelig.

Huskeregel

En algoritme må ha startverdier, gjentakelse, stoppkriterium og utskrift.

Sensor ser etter

tydelig metode, korrekt logikk og at eleven kommenterer gyldighet/nøyaktighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å glemme stoppkriterium, bruke feil fortegnstest, eller ikke forklare hva programmet faktisk regner ut.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bare skrive et CAS-svar uten metode, eller å bruke derivasjon når oppgaven egentlig ber om gjennomsnittlig endring.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bare skrive et CAS-svar uten metode, eller å bruke derivasjon når oppgaven egentlig ber om gjennomsnittlig endring.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bare skrive et CAS-svar uten metode, eller å bruke derivasjon når oppgaven egentlig ber om gjennomsnittlig endring.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bare skrive et CAS-svar uten metode, eller å bruke derivasjon når oppgaven egentlig ber om gjennomsnittlig endring.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bare skrive et CAS-svar uten metode, eller å bruke derivasjon når oppgaven egentlig ber om gjennomsnittlig endring.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bare skrive et CAS-svar uten metode, eller å bruke derivasjon når oppgaven egentlig ber om gjennomsnittlig endring.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.

Vanlige feil i regningen

å bare skrive et CAS-svar uten metode, eller å bruke derivasjon når oppgaven egentlig ber om gjennomsnittlig endring.

Trinnvis løsning

Start med å identifisere hvilken metode oppgaven krever: derivasjon for momentan vekstfart, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ for gjennomsnittlig vekstfart, regresjon for datamodeller og numerisk metode når likningen ikke løses enkelt eksakt.

Sett opp nødvendige uttrykk, regn ryddig, og kontroller svaret mot graf, tabell eller kontekst. Dersom oppgaven ber om en modell, må du også kommentere hvor godt modellen passer og hvilket område den er rimelig å bruke på.

Fasit

Oppgaven krever et metodebasert svar. Et fullgodt svar inneholder mellomregninger, digital kontroll der det er naturlig, og en kort tolkning av resultatet med enhet eller gyldighetsområde.

Forklaring

Dette er en sammensatt eksamenslik oppgave. Derfor er begrunnelse like viktig som tallet du får til slutt.

Huskeregel

Velg metode etter hva oppgaven spør om: gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart, derivasjon, regresjon eller numerisk løsning.

Sensor ser etter

systematisk arbeid, korrekt metodevalg, tydelige mellomregninger og vurdering av modell/gyldighet.

For høy måloppnåelse

Forklar metoden med presise mellomregninger, oppgi enheter når størrelsene har enhet, og vurder om svaret gir mening i konteksten.