Matematikk 1T · Trigonometri

Trigonometri – oppgaver med trinnvis løsning

Q: Hva er sinus, cosinus og tangens?

I en rettvinklet trekant er sinus motstående katet delt på hypotenusen, cosinus hosliggende katet delt på hypotenusen, og tangens motstående delt på hosliggende katet.

Q: Hvordan husker jeg sinus, cosinus og tangens?

Med huskeregelen SOH-CAH-TOA: sinus er motstående delt på hypotenus, cosinus hosliggende delt på hypotenus, tangens motstående delt på hosliggende.

Q: Når bruker jeg sinus, cosinus eller tangens?

Det avhenger av hvilke sider du kjenner. Skal du finne eller kjenner hypotenusen, bruk sinus eller cosinus; jobber du bare med katetene, bruk tangens.

Q: Hvordan finner jeg en ukjent vinkel?

Sett opp forholdet mellom sidene du kjenner, og bruk invers sinus, cosinus eller tangens på kalkulatoren for å finne vinkelen.

Q: Hva er hypotenus og kateter?

Hypotenusen er den lengste siden, motsatt den rette vinkelen. Katetene er de to sidene som danner den rette vinkelen.

Q: Hva er sinussetningen?

Forholdet mellom en side og sinus til den motstående vinkelen er likt for alle tre sidene. Brukes når du kjenner en vinkel og den motstående siden.

Q: Hva er cosinussetningen?

En utvidelse av Pytagoras til alle trekanter. Brukes når du kjenner to sider og mellomliggende vinkel, eller alle tre sidene.

Q: Når bruker jeg sinussetningen versus cosinussetningen?

Sinussetningen når du har et par av en side og dens motstående vinkel. Cosinussetningen når du kjenner to sider og mellomliggende vinkel, eller alle tre sidene.

Q: Hvordan regner jeg ut arealet av en trekant med trigonometri?

Arealet er en halv gange to sider gange sinus til vinkelen mellom dem. Da trenger du ikke kjenne høyden.

Q: Hva er det tvetydige tilfellet i sinussetningen?

Sinussetningen kan gi to vinkler mellom 0 og 180 grader med samme sinusverdi. Du må vurdere hvilken som passer i trekanten.

Trigonometri er et sentralt tema i Matematikk 1T og handler om sammenhengen mellom vinkler og sider i trekanter. Det du lærer her, brukes overalt der noe har med retning, høyde eller avstand å gjøre — fra landmåling til fysikk og teknologi. Her finner du oppgaver med fullstendig, trinnvis løsning som dekker hele trigonometri-pensumet i 1T, fra sinus, cosinus og tangens til sinussetningen og cosinussetningen. Alle løsninger ligger bak «Vis løsning».

Dette lærer du. Du starter i den rettvinklede trekanten, med de tre trigonometriske forholdene: sinus, cosinus og tangens. Du lærer å finne ukjente sider og vinkler når du kjenner nok av de andre, og å bruke Pytagoras sammen med trigonometrien. Videre utvider du til alle typer trekanter med sinussetningen og cosinussetningen, som lar deg regne selv når trekanten ikke har en rett vinkel.

Sinus- og cosinussetningen. En stor del av 1T handler om å velge riktig setning. Sinussetningen bruker du når du kjenner en vinkel og den motstående siden, sammen med én til. Cosinussetningen bruker du når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sidene. Du lærer også å regne ut arealet av en trekant med sinus, uten å kjenne høyden.

Vinkler og tolkning. Du blir kjent med å måle vinkler i grader, og med hvordan sinus, cosinus og tangens oppfører seg for vinkler mellom 0 og 180 grader. Dette er nyttig når en trigonometrisk likning har flere løsninger, og når du skal tolke svaret i en praktisk sammenheng.

Digitale verktøy. På Del 2 kan du bruke GeoGebra og CAS til å løse trigonometriske likninger, regne ut sider og vinkler, og tegne trekanter nøyaktig. Kalkulatoren er uunnværlig for å finne sinus, cosinus og tangens, og de inverse funksjonene for å finne vinkelen tilbake. Oppgavene viser både den manuelle metoden (Del 1) og den digitale (Del 2).

Vanlige fallgruver. Mange velger feil mellom sinus, cosinus og tangens, glemmer å sjekke om kalkulatoren står i grader, eller overser at sinussetningen kan gi to mulige vinkler. En annen klassisk feil er å bruke trigonometrien i en trekant som ikke er rettvinklet. Løsningene peker på nøyaktig disse feilene.

Slik jobber du best. Start med den rettvinklede trekanten og sinus, cosinus og tangens, gå videre til sinus- og cosinussetningen, og avslutt med sammensatte oppgaver og areal. Målet er ikke bare å regne riktig, men å vite hvilken setning som passer til hvilken situasjon — det er det sensor ser etter i 1T.

Oppgaver med trinnvis løsning, vanlige feil, sensorpunkt, grafer, GeoGebra og Python-kontroll.

📘 GeoGebra & Python-guide

Fag

Matematikk 1T

Kapittel

Trigonometri

Antall oppgaver

Nivå

VG1 · LK20

Trigonometri

Oppgaver, trinnvis løsning, vanlig feil, tolkning, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Sinus, cosinus og tangens 13 oppgaver

Oppgave 1 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $35^\circ$ og hosliggende katet $14$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(35^\circ)=\dfrac{x}{14}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=14\cdot\tan(35^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 9{,}8$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 9{,}8\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$9{,}8 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

14*tan(35°)

→

\approx 9{,}8

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(35)
side = 14
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

9{,}8

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 2 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $25^\circ$ og hosliggende katet $9$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(25^\circ)=\dfrac{x}{9}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=9\cdot\tan(25^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 4{,}2$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 4{,}2\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$4{,}2 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

9*tan(25°)

→

\approx 4{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(25)
side = 9
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

4{,}2

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 3 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $30^\circ$ og hosliggende katet $8$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(30^\circ)=\dfrac{x}{8}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=8\cdot\tan(30^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 4{,}6$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 4{,}6\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$4{,}6 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

8*tan(30°)

→

\approx 4{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(30)
side = 8
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

4{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 4 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $38^\circ$ og hosliggende katet $9$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(38^\circ)=\dfrac{x}{9}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=9\cdot\tan(38^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 7$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 7\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$7 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

9*tan(38°)

→

\approx 7

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(38)
side = 9
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

7

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 5 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $25^\circ$ og hosliggende katet $21$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(25^\circ)=\dfrac{x}{21}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=21\cdot\tan(25^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 9{,}8$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 9{,}8\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$9{,}8 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

21*tan(25°)

→

\approx 9{,}8

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(25)
side = 21
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

9{,}8

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 6 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $38^\circ$ og hosliggende katet $9$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(38^\circ)=\dfrac{x}{9}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=9\cdot\tan(38^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 7$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 7\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$7 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

9*tan(38°)

→

\approx 7

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(38)
side = 9
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

7

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 7 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen $19$ cm og en spiss vinkel $55^\circ$ . Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\sin(55^\circ)=\dfrac{x}{19}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=19\cdot\sin(55^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 15{,}6$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 15{,}6\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$15{,}6 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

19*sin(55°)

→

\approx 15{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(55)
side = 19
print(round(side*math.sin(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

15{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 8 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $38^\circ$ og hosliggende katet $11$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(38^\circ)=\dfrac{x}{11}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=11\cdot\tan(38^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 8{,}6$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 8{,}6\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$8{,}6 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

11*tan(38°)

→

\approx 8{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(38)
side = 11
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

8{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 9 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen $21$ cm og en spiss vinkel $30^\circ$ . Finn hosliggende katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\cos(30^\circ)=\dfrac{x}{21}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=21\cdot\cos(30^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 18{,}2$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 18{,}2\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$18{,}2 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

21*cos(30°)

→

\approx 18{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(30)
side = 21
print(round(side*math.cos(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

18{,}2

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 10 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen $18$ cm og en spiss vinkel $42^\circ$ . Finn hosliggende katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\cos(42^\circ)=\dfrac{x}{18}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=18\cdot\cos(42^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 13{,}4$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 13{,}4\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$13{,}4 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

18*cos(42°)

→

\approx 13{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(42)
side = 18
print(round(side*math.cos(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

13{,}4

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 11 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen $22$ cm og en spiss vinkel $35^\circ$ . Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\sin(35^\circ)=\dfrac{x}{22}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=22\cdot\sin(35^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 12{,}6$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 12{,}6\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$12{,}6 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

22*sin(35°)

→

\approx 12{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(35)
side = 22
print(round(side*math.sin(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

12{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 12 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $55^\circ$ og hosliggende katet $15$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(55^\circ)=\dfrac{x}{15}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=15\cdot\tan(55^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 21{,}4$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 21{,}4\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$21{,}4 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

15*tan(55°)

→

\approx 21{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(55)
side = 15
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

21{,}4

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 13 · MiddelsSinus, cosinus og tangens

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $35^\circ$ og hosliggende katet $12$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(35^\circ)=\dfrac{x}{12}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=12\cdot\tan(35^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 8{,}4$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 8{,}4\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$8{,}4 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

12*tan(35°)

→

\approx 8{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(35)
side = 12
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

8{,}4

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Arealsetningen og enhetssirkelen 6 oppgaver

Oppgave 14 · MiddelsArealsetningen og enhetssirkelen

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=12$ cm, $AC=10$ cm og vinkelen mellom sidene er $40^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 12\cdot 10\cdot\sin(40^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 12\cdot 10=60$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 38{,}6$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 38{,}6\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(40^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*12*10*sin(40°)

→

\approx 38{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 12, 10, math.radians(40)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

38{,}6\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 15 · MiddelsArealsetningen og enhetssirkelen

Sinus og cosinus i enhetssirkelen

Oppgave:

Finn eksakt verdi for $\sin(60^\circ)$ og $\cos(60^\circ)$ .

Vis løsning

Steg 1 — Plasser vinkelen

$60^\circ$

Vi tenker på vinkelen som en rotasjon i enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk koordinattolkningen

$(\cos v,\sin v)$

På enhetssirkelen er x-koordinaten cosinus og y-koordinaten sinus.

Steg 3 — Finn referansevinkel

$60^\circ$

Referansevinkelen gir størrelsene til sinus og cosinus.

Vanlig feil: Å bytte om sinus og cosinus. Sinus er y-koordinaten, cosinus er x-koordinaten.

Steg 4 — Bestem fortegn

$\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus er y-koordinaten og er positiv i øvre halvplan.

Steg 5 — Finn cosinus

$\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Cosinus er x-koordinaten og får fortegn etter hvilken side av y-aksen punktet ligger på.

Steg 6 — Skriv punktet

$(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

Punktet på enhetssirkelen samler begge verdiene.

Tolkning

Verdiene viser koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sin(60°)

→

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

cos(60°)

→

\dfrac{1}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import sin, cos, pi, simplify
v = 60*pi/180
print(simplify(sin(v)), simplify(cos(v)))

Fasit:

\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er punktet $(\cos v,\sin v)$ .

Vanlige feil

Å bruke feil fortegn i andre kvadrant.

Dette ser sensor etter

Riktig referansevinkel og riktig fortegn.

For høy måloppnåelse

Forklar koordinattolkningen, ikke bare bruk tabell.

Oppgave 16 · MiddelsArealsetningen og enhetssirkelen

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=11$ cm, $AC=12$ cm og vinkelen mellom sidene er $50^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 11\cdot 12\cdot\sin(50^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 11\cdot 12=66$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 50{,}6$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 50{,}6\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(50^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*11*12*sin(50°)

→

\approx 50{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 11, 12, math.radians(50)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

50{,}6\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 17 · MiddelsArealsetningen og enhetssirkelen

Sinus og cosinus i enhetssirkelen

Oppgave:

Finn eksakt verdi for $\sin(60^\circ)$ og $\cos(60^\circ)$ .

Vis løsning

Steg 1 — Plasser vinkelen

$60^\circ$

Vi tenker på vinkelen som en rotasjon i enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk koordinattolkningen

$(\cos v,\sin v)$

På enhetssirkelen er x-koordinaten cosinus og y-koordinaten sinus.

Steg 3 — Finn referansevinkel

$60^\circ$

Referansevinkelen gir størrelsene til sinus og cosinus.

Vanlig feil: Å bytte om sinus og cosinus. Sinus er y-koordinaten, cosinus er x-koordinaten.

Steg 4 — Bestem fortegn

$\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus er y-koordinaten og er positiv i øvre halvplan.

Steg 5 — Finn cosinus

$\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Cosinus er x-koordinaten og får fortegn etter hvilken side av y-aksen punktet ligger på.

Steg 6 — Skriv punktet

$(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

Punktet på enhetssirkelen samler begge verdiene.

Tolkning

Verdiene viser koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sin(60°)

→

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

cos(60°)

→

\dfrac{1}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import sin, cos, pi, simplify
v = 60*pi/180
print(simplify(sin(v)), simplify(cos(v)))

Fasit:

\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er punktet $(\cos v,\sin v)$ .

Vanlige feil

Å bruke feil fortegn i andre kvadrant.

Dette ser sensor etter

Riktig referansevinkel og riktig fortegn.

For høy måloppnåelse

Forklar koordinattolkningen, ikke bare bruk tabell.

Oppgave 18 · MiddelsArealsetningen og enhetssirkelen

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=17$ cm, $AC=17$ cm og vinkelen mellom sidene er $80^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 17\cdot 17\cdot\sin(80^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 17\cdot 17=144.5$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 142{,}3$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 142{,}3\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(80^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*17*17*sin(80°)

→

\approx 142{,}3

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 17, 17, math.radians(80)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

142{,}3\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 19 · MiddelsArealsetningen og enhetssirkelen

Sinus og cosinus i enhetssirkelen

Oppgave:

Finn eksakt verdi for $\sin(120^\circ)$ og $\cos(120^\circ)$ .

Vis løsning

Steg 1 — Plasser vinkelen

$120^\circ$

Vi tenker på vinkelen som en rotasjon i enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk koordinattolkningen

$(\cos v,\sin v)$

På enhetssirkelen er x-koordinaten cosinus og y-koordinaten sinus.

Steg 3 — Finn referansevinkel

$120^\circ$

Referansevinkelen gir størrelsene til sinus og cosinus.

Vanlig feil: Å bytte om sinus og cosinus. Sinus er y-koordinaten, cosinus er x-koordinaten.

Steg 4 — Bestem fortegn

$\sin(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus er y-koordinaten og er positiv i øvre halvplan.

Steg 5 — Finn cosinus

$\cos(120^\circ)=-\dfrac{1}{2}$

Cosinus er x-koordinaten og får fortegn etter hvilken side av y-aksen punktet ligger på.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

Punktet på enhetssirkelen samler begge verdiene.

Tolkning

Verdiene viser koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sin(120°)

→

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

cos(120°)

→

-\dfrac{1}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import sin, cos, pi, simplify
v = 120*pi/180
print(simplify(sin(v)), simplify(cos(v)))

Fasit:

\sin(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos(120^\circ)=-\dfrac{1}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er punktet $(\cos v,\sin v)$ .

Vanlige feil

Å bruke feil fortegn i andre kvadrant.

Dette ser sensor etter

Riktig referansevinkel og riktig fortegn.

For høy måloppnåelse

Forklar koordinattolkningen, ikke bare bruk tabell.

Sinussetningen 5 oppgaver

Oppgave 20 · MiddelsSinussetningen

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=60^\circ$ , $B=50^\circ$ og siden $a=13$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{13}{\sin(60^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(50^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{13\sin(50^\circ)}{\sin(60^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 11{,}5$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 11{,}5\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$50^\circ < 60^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

13*sin(50°)/sin(60°)

→

\approx 11{,}5

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(60), math.radians(50), 13
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 11{,}5

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 21 · MiddelsSinussetningen

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=55^\circ$ , $B=45^\circ$ og siden $a=16$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{16}{\sin(55^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(45^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{16\sin(45^\circ)}{\sin(55^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 13{,}8$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 13{,}8\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$45^\circ < 55^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

16*sin(45°)/sin(55°)

→

\approx 13{,}8

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(55), math.radians(45), 16
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 13{,}8

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 22 · MiddelsSinussetningen

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=50^\circ$ , $B=45^\circ$ og siden $a=8$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{8}{\sin(50^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(45^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{8\sin(45^\circ)}{\sin(50^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 7{,}4$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 7{,}4\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$45^\circ < 50^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

8*sin(45°)/sin(50°)

→

\approx 7{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(50), math.radians(45), 8
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 7{,}4

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 23 · MiddelsSinussetningen

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=35^\circ$ , $B=65^\circ$ og siden $a=8$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{8}{\sin(35^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(65^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{8\sin(65^\circ)}{\sin(35^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 12{,}6$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 12{,}6\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$65^\circ > 35^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

8*sin(65°)/sin(35°)

→

\approx 12{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(35), math.radians(65), 8
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 12{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 24 · MiddelsSinussetningen

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=35^\circ$ , $B=70^\circ$ og siden $a=16$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{16}{\sin(35^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(70^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{16\sin(70^\circ)}{\sin(35^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 26{,}2$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 26{,}2\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$70^\circ > 35^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

16*sin(70°)/sin(35°)

→

\approx 26{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(35), math.radians(70), 16
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 26{,}2

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Cosinussetningen 5 oppgaver

Oppgave 25 · MiddelsCosinussetningen

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $16$ cm og $16$ cm, og vinkelen mellom dem er $110^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=16^2+16^2-2\cdot16\cdot16\cos(110^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 687{,}1$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{687{,}1}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 26{,}2$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 26{,}2\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(16²+16²-2*16*16*cos(110°))

→

\approx 26{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 16, 16, math.radians(110)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

26{,}2

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 26 · MiddelsCosinussetningen

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $11$ cm og $13$ cm, og vinkelen mellom dem er $65^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=11^2+13^2-2\cdot11\cdot13\cos(65^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 169{,}1$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{169{,}1}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 13$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 13\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(11²+13²-2*11*13*cos(65°))

→

\approx 13

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 11, 13, math.radians(65)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

13

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 27 · MiddelsCosinussetningen

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $12$ cm og $15$ cm, og vinkelen mellom dem er $40^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=12^2+15^2-2\cdot12\cdot15\cos(40^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 93{,}2$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{93{,}2}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 9{,}7$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 9{,}7\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(12²+15²-2*12*15*cos(40°))

→

\approx 9{,}7

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 12, 15, math.radians(40)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

9{,}7

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 28 · MiddelsCosinussetningen

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $15$ cm og $11$ cm, og vinkelen mellom dem er $65^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=15^2+11^2-2\cdot15\cdot11\cos(65^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 206{,}5$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{206{,}5}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 14{,}4$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 14{,}4\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(15²+11²-2*15*11*cos(65°))

→

\approx 14{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 15, 11, math.radians(65)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

14{,}4

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 29 · MiddelsCosinussetningen

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $15$ cm og $17$ cm, og vinkelen mellom dem er $40^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=15^2+17^2-2\cdot15\cdot17\cos(40^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 123{,}3$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{123{,}3}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 11{,}1$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 11{,}1\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(15²+17²-2*15*17*cos(40°))

→

\approx 11{,}1

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 15, 17, math.radians(40)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

11{,}1

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Blandede trigonometrioppgaver 23 oppgaver

Oppgave 30 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen $20$ cm og en spiss vinkel $55^\circ$ . Finn hosliggende katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\cos(55^\circ)=\dfrac{x}{20}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=20\cdot\cos(55^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 11{,}5$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 11{,}5\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$11{,}5 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

20*cos(55°)

→

\approx 11{,}5

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(55)
side = 20
print(round(side*math.cos(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

11{,}5

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 31 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=15$ cm, $AC=12$ cm og vinkelen mellom sidene er $50^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 15\cdot 12\cdot\sin(50^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 15\cdot 12=90$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 68{,}9$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 68{,}9\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(50^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*15*12*sin(50°)

→

\approx 68{,}9

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 15, 12, math.radians(50)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

68{,}9\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 32 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=35^\circ$ , $B=50^\circ$ og siden $a=15$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{15}{\sin(35^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(50^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{15\sin(50^\circ)}{\sin(35^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 20$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 20\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$50^\circ > 35^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

15*sin(50°)/sin(35°)

→

\approx 20

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(35), math.radians(50), 15
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 20

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 33 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $10$ cm og $9$ cm, og vinkelen mellom dem er $120^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=10^2+9^2-2\cdot10\cdot9\cos(120^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 271$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{271}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 16{,}5$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 16{,}5\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(10²+9²-2*10*9*cos(120°))

→

\approx 16{,}5

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 10, 9, math.radians(120)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

16{,}5

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 34 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Sinus og cosinus i enhetssirkelen

Oppgave:

Finn eksakt verdi for $\sin(150^\circ)$ og $\cos(150^\circ)$ .

Vis løsning

Steg 1 — Plasser vinkelen

$150^\circ$

Vi tenker på vinkelen som en rotasjon i enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk koordinattolkningen

$(\cos v,\sin v)$

På enhetssirkelen er x-koordinaten cosinus og y-koordinaten sinus.

Steg 3 — Finn referansevinkel

$150^\circ$

Referansevinkelen gir størrelsene til sinus og cosinus.

Vanlig feil: Å bytte om sinus og cosinus. Sinus er y-koordinaten, cosinus er x-koordinaten.

Steg 4 — Bestem fortegn

$\sin(150^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Sinus er y-koordinaten og er positiv i øvre halvplan.

Steg 5 — Finn cosinus

$\cos(150^\circ)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Cosinus er x-koordinaten og får fortegn etter hvilken side av y-aksen punktet ligger på.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2})$

Punktet på enhetssirkelen samler begge verdiene.

Tolkning

Verdiene viser koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sin(150°)

→

\dfrac{1}{2}

cos(150°)

→

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import sin, cos, pi, simplify
v = 150*pi/180
print(simplify(sin(v)), simplify(cos(v)))

Fasit:

\sin(150^\circ)=\dfrac{1}{2}

\cos(150^\circ)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er punktet $(\cos v,\sin v)$ .

Vanlige feil

Å bruke feil fortegn i andre kvadrant.

Dette ser sensor etter

Riktig referansevinkel og riktig fortegn.

For høy måloppnåelse

Forklar koordinattolkningen, ikke bare bruk tabell.

Oppgave 35 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen $21$ cm og en spiss vinkel $30^\circ$ . Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\sin(30^\circ)=\dfrac{x}{21}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=21\cdot\sin(30^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 10{,}5$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 10{,}5\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$10{,}5 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

21*sin(30°)

→

\approx 10{,}5

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(30)
side = 21
print(round(side*math.sin(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

10{,}5

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 36 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=11$ cm, $AC=10$ cm og vinkelen mellom sidene er $110^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 11\cdot 10\cdot\sin(110^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 11\cdot 10=55$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 51{,}7$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 51{,}7\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(110^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*11*10*sin(110°)

→

\approx 51{,}7

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 11, 10, math.radians(110)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

51{,}7\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 37 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=45^\circ$ , $B=50^\circ$ og siden $a=14$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{14}{\sin(45^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(50^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{14\sin(50^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 15{,}2$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 15{,}2\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$50^\circ > 45^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

14*sin(50°)/sin(45°)

→

\approx 15{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(45), math.radians(50), 14
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 15{,}2

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 38 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $8$ cm og $14$ cm, og vinkelen mellom dem er $75^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=8^2+14^2-2\cdot8\cdot14\cos(75^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 202$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{202}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 14{,}2$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 14{,}2\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(8²+14²-2*8*14*cos(75°))

→

\approx 14{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 8, 14, math.radians(75)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

14{,}2

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 39 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Sinus og cosinus i enhetssirkelen

Oppgave:

Finn eksakt verdi for $\sin(60^\circ)$ og $\cos(60^\circ)$ .

Vis løsning

Steg 1 — Plasser vinkelen

$60^\circ$

Vi tenker på vinkelen som en rotasjon i enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk koordinattolkningen

$(\cos v,\sin v)$

På enhetssirkelen er x-koordinaten cosinus og y-koordinaten sinus.

Steg 3 — Finn referansevinkel

$60^\circ$

Referansevinkelen gir størrelsene til sinus og cosinus.

Vanlig feil: Å bytte om sinus og cosinus. Sinus er y-koordinaten, cosinus er x-koordinaten.

Steg 4 — Bestem fortegn

$\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus er y-koordinaten og er positiv i øvre halvplan.

Steg 5 — Finn cosinus

$\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}$

Cosinus er x-koordinaten og får fortegn etter hvilken side av y-aksen punktet ligger på.

Steg 6 — Skriv punktet

$(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

Punktet på enhetssirkelen samler begge verdiene.

Tolkning

Verdiene viser koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sin(60°)

→

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

cos(60°)

→

\dfrac{1}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import sin, cos, pi, simplify
v = 60*pi/180
print(simplify(sin(v)), simplify(cos(v)))

Fasit:

\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos(60^\circ)=\dfrac{1}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er punktet $(\cos v,\sin v)$ .

Vanlige feil

Å bruke feil fortegn i andre kvadrant.

Dette ser sensor etter

Riktig referansevinkel og riktig fortegn.

For høy måloppnåelse

Forklar koordinattolkningen, ikke bare bruk tabell.

Oppgave 40 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $38^\circ$ og hosliggende katet $17$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(38^\circ)=\dfrac{x}{17}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=17\cdot\tan(38^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 13{,}3$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 13{,}3\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$13{,}3 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

17*tan(38°)

→

\approx 13{,}3

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(38)
side = 17
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

13{,}3

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 41 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=11$ cm, $AC=11$ cm og vinkelen mellom sidene er $60^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 11\cdot 11\cdot\sin(60^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 11\cdot 11=60.5$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 52{,}4$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 52{,}4\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(60^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*11*11*sin(60°)

→

\approx 52{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 11, 11, math.radians(60)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

52{,}4\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 42 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=40^\circ$ , $B=45^\circ$ og siden $a=16$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{16}{\sin(40^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(45^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{16\sin(45^\circ)}{\sin(40^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 17{,}6$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 17{,}6\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$45^\circ > 40^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

16*sin(45°)/sin(40°)

→

\approx 17{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(40), math.radians(45), 16
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 17{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 43 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $14$ cm og $10$ cm, og vinkelen mellom dem er $110^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=14^2+10^2-2\cdot14\cdot10\cos(110^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 391{,}8$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{391{,}8}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 19{,}8$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 19{,}8\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(14²+10²-2*14*10*cos(110°))

→

\approx 19{,}8

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 14, 10, math.radians(110)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

19{,}8

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 44 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Sinus og cosinus i enhetssirkelen

Oppgave:

Finn eksakt verdi for $\sin(120^\circ)$ og $\cos(120^\circ)$ .

Vis løsning

Steg 1 — Plasser vinkelen

$120^\circ$

Vi tenker på vinkelen som en rotasjon i enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk koordinattolkningen

$(\cos v,\sin v)$

På enhetssirkelen er x-koordinaten cosinus og y-koordinaten sinus.

Steg 3 — Finn referansevinkel

$120^\circ$

Referansevinkelen gir størrelsene til sinus og cosinus.

Vanlig feil: Å bytte om sinus og cosinus. Sinus er y-koordinaten, cosinus er x-koordinaten.

Steg 4 — Bestem fortegn

$\sin(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus er y-koordinaten og er positiv i øvre halvplan.

Steg 5 — Finn cosinus

$\cos(120^\circ)=-\dfrac{1}{2}$

Cosinus er x-koordinaten og får fortegn etter hvilken side av y-aksen punktet ligger på.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

Punktet på enhetssirkelen samler begge verdiene.

Tolkning

Verdiene viser koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sin(120°)

→

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

cos(120°)

→

-\dfrac{1}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import sin, cos, pi, simplify
v = 120*pi/180
print(simplify(sin(v)), simplify(cos(v)))

Fasit:

\sin(120^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\cos(120^\circ)=-\dfrac{1}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er punktet $(\cos v,\sin v)$ .

Vanlige feil

Å bruke feil fortegn i andre kvadrant.

Dette ser sensor etter

Riktig referansevinkel og riktig fortegn.

For høy måloppnåelse

Forklar koordinattolkningen, ikke bare bruk tabell.

Oppgave 45 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er en spiss vinkel $42^\circ$ og hosliggende katet $8$ cm. Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\tan(42^\circ)=\dfrac{x}{8}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=8\cdot\tan(42^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 7{,}2$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 7{,}2\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$7{,}2 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

8*tan(42°)

→

\approx 7{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(42)
side = 8
print(round(side*math.tan(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

7{,}2

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 46 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=7$ cm, $AC=15$ cm og vinkelen mellom sidene er $40^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 7\cdot 15\cdot\sin(40^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 7\cdot 15=52.5$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 33{,}7$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 33{,}7\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(40^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*7*15*sin(40°)

→

\approx 33{,}7

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 7, 15, math.radians(40)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

33{,}7\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 47 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=50^\circ$ , $B=70^\circ$ og siden $a=16$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{16}{\sin(50^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(70^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{16\sin(70^\circ)}{\sin(50^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 19{,}6$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 19{,}6\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$70^\circ > 50^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

16*sin(70°)/sin(50°)

→

\approx 19{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(50), math.radians(70), 16
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 19{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Oppgave 48 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med cosinussetningen

Oppgave:

I en trekant er to sider $16$ cm og $10$ cm, og vinkelen mellom dem er $95^\circ$ . Finn den tredje siden.

Vis løsning

Steg 1 — Velg cosinussetningen

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn

$c^2=16^2+10^2-2\cdot16\cdot10\cos(95^\circ)$

Vi bruker vinkelen som ligger mellom de to kjente sidene.

Steg 3 — Regn høyresiden

$c^2\approx 383{,}9$

Dette gir kvadratet av den ukjente siden.

Vanlig feil: Å bruke sinussetningen når vi ikke har et kjent side-vinkel-par.

Steg 4 — Ta kvadratroten

$c\approx\sqrt{383{,}9}$

En sidelengde er positiv, derfor bruker vi positiv rot.

Steg 5 — Avrund

$c\approx 19{,}6$

Vi runder til én desimal fordi målene er praktiske.

Steg 6 — Sett på enhet

$c\approx 19{,}6\text{ cm}$

Svaret er en lengde.

Tolkning

Den tredje siden bestemmes av både de to sidene og vinkelen mellom dem.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sqrt(16²+10²-2*16*10*cos(95°))

→

\approx 19{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 16, 10, math.radians(95)
c = math.sqrt(a*a + b*b - 2*a*b*math.cos(C))
print(round(c, 1))

Fasit: Den tredje siden er omtrent

19{,}6

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Cosinussetningen: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel i cosinusleddet.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og positiv kvadratrot.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor Pytagoras er et spesialtilfelle når $C=90^\circ$ .

Oppgave 49 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Sinus og cosinus i enhetssirkelen

Oppgave:

Finn eksakt verdi for $\sin(45^\circ)$ og $\cos(45^\circ)$ .

Vis løsning

Steg 1 — Plasser vinkelen

$45^\circ$

Vi tenker på vinkelen som en rotasjon i enhetssirkelen.

Steg 2 — Bruk koordinattolkningen

$(\cos v,\sin v)$

På enhetssirkelen er x-koordinaten cosinus og y-koordinaten sinus.

Steg 3 — Finn referansevinkel

$45^\circ$

Referansevinkelen gir størrelsene til sinus og cosinus.

Vanlig feil: Å bytte om sinus og cosinus. Sinus er y-koordinaten, cosinus er x-koordinaten.

Steg 4 — Bestem fortegn

$\sin(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Sinus er y-koordinaten og er positiv i øvre halvplan.

Steg 5 — Finn cosinus

$\cos(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Cosinus er x-koordinaten og får fortegn etter hvilken side av y-aksen punktet ligger på.

Steg 6 — Skriv punktet

$(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$

Punktet på enhetssirkelen samler begge verdiene.

Tolkning

Verdiene viser koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

sin(45°)

→

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

cos(45°)

→

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import sin, cos, pi, simplify
v = 45*pi/180
print(simplify(sin(v)), simplify(cos(v)))

Fasit:

\sin(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\cos(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er punktet $(\cos v,\sin v)$ .

Vanlige feil

Å bruke feil fortegn i andre kvadrant.

Dette ser sensor etter

Riktig referansevinkel og riktig fortegn.

For høy måloppnåelse

Forklar koordinattolkningen, ikke bare bruk tabell.

Oppgave 50 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Rettvinklet trigonometri

Oppgave:

I en rettvinklet trekant er hypotenusen $17$ cm og en spiss vinkel $50^\circ$ . Finn motstående katet.

Vis løsning

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\sin(50^\circ)=\dfrac{x}{17}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=17\cdot\sin(50^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Vanlig feil: Å bruke feil side i brøken. Navnene motstående og hosliggende må alltid ses fra den aktuelle vinkelen.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 13$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 13\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$13 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

17*sin(50°)

→

\approx 13

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
angle = math.radians(50)
side = 17
print(round(side*math.sin(angle), 1))

Fasit: Den ukjente siden er omtrent

13

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

SOH-CAH-TOA: $\sin=\frac{{mot}}{{hyp}}$ , $\cos=\frac{{hos}}{{hyp}}$ , $\tan=\frac{{mot}}{{hos}}$ .

Vanlige feil

Feil vinkelmodus på kalkulatoren.

Dette ser sensor etter

Riktig trigonometrisk forhold og tydelig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor akkurat den trigonometriske funksjonen passer.

Oppgave 51 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Areal med to sider og vinkel

Oppgave:

I trekant $ABC$ er $AB=7$ cm, $AC=9$ cm og vinkelen mellom sidene er $100^\circ$ . Finn arealet.

Vis løsning

Steg 1 — Finn riktig formel

$A=\dfrac12 ab\sin C$

Arealsetningen brukes når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 2 — Sett inn sidene

$A=\dfrac12\cdot 7\cdot 9\cdot\sin(100^\circ)$

Sidene som brukes må ligge inntil vinkelen.

Steg 3 — Multipliser konstantene

$\dfrac12\cdot 7\cdot 9=31.5$

Dette gir halvparten av produktet av sidene.

Vanlig feil: Å bruke en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene i formelen.

Steg 4 — Regn sinusverdien

$A\approx 31$

Vi bruker gradmodus fordi vinkelen er oppgitt i grader.

Steg 5 — Sett på arealenhet

$A\approx 31\text{ cm}^2$

Areal må oppgis med kvadratenhet.

Steg 6 — Sjekk størrelsen

$0<\sin(100^\circ)\le1$

Arealet må være mindre enn eller lik halvparten av sideproduktet når sinus er høyst 1.

Tolkning

Arealet beskriver flaten trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

0.5*7*9*sin(100°)

→

\approx 31

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
a, b, C = 7, 9, math.radians(100)
A = 0.5*a*b*math.sin(C)
print(round(A, 1))

Fasit: Arealet er omtrent

31\text{ cm}^2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A=\dfrac12 ab\sin C$ .

Vanlige feil

Feil vinkel eller feil gradmodus.

Dette ser sensor etter

Riktig formel, innsetting og enhet.

For høy måloppnåelse

Vis hvorfor formelen er en utvidelse av $A=\dfrac{g h}{2}$ .

Oppgave 52 · MiddelsBlandede trigonometrioppgaver

Finn side med sinussetningen

Oppgave:

I en trekant er $A=50^\circ$ , $B=50^\circ$ og siden $a=10$ cm. Finn siden $b$ .

Vis løsning

Steg 1 — Skriv sinussetningen

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

Sinussetningen kobler en side med vinkelen som står mot siden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

$\dfrac{10}{\sin(50^\circ)}=\dfrac{b}{\sin(50^\circ)}$

Vi kjenner én side med motstående vinkel og den andre vinkelen.

Steg 3 — Isoler $b$

$b=\dfrac{10\sin(50^\circ)}{\sin(50^\circ)}$

Vi ganger med $\sin B$ på begge sider.

Vanlig feil: Å koble feil side med feil vinkel. Siden

a

ligger mot vinkel

A

Steg 4 — Regn ut

$b\approx 10$

Vi bruker gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$b\approx 10\text{ cm}$

Siden vi finner en side, bruker vi lengdeenhet.

Steg 6 — Kontroller rimelighet

$50^\circ < 50^\circ$

Større vinkel skal ha større motstående side.

Tolkning

Svaret gir en ny sidelengde i den samme trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

10*sin(50°)/sin(50°)

→

\approx 10

Kontroll i Python

Python-kontroll

import math
A, B, a = math.radians(50), math.radians(50), 10
b = a*math.sin(B)/math.sin(A)
print(round(b, 1))

Fasit:

b\approx 10

cm. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Sinussetningen: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ .

Vanlige feil

Feil side-vinkel-par.

Dette ser sensor etter

Riktig paring av side og motstående vinkel.

For høy måloppnåelse

Bruk størrelsesargument som kontroll.

Matematikk 1T

Flere trigonometrioppgaver fra kapittelsamlingen

Matematikk 1T - kapittel 7

Trigonometri: alle oppgaver

Denne siden samler utforskingsoppgaver, diskusjonsoppgaver, eksempler, vanlige deloppgaver, anvendelser, prosjekter og repetisjon som vanlige Oppgave 1, Oppgave 2.. Hver oppgave har full trinnvis løsning, fasit, huskeregler, vanlige feil, sensorpunkt og råd for høy måloppnåelse.

📘 GeoGebra & Python-guide

Fag

Matematikk 1T

Kapittel

7 · Trigonometri: alle oppgaver

Antall oppgaver

Nivå

VG1 · LK20

Innhold dekket: sinus, cosinus, tangens, rettvinklede trekanter, normal i trekant, enhetssirkelen, arealsetningen, ubestemte trekanter, sinussetningen, cosinussetningen, sinusfunksjoner og modellering.

Innholdsfortegnelse

Oppgaver

Oppgave 1Utforsking

Matematikk 1T - trigonometri.

Utforsk sinus og cosinus i likeformede trekanter

To rettvinklede trekanter har samme spisse vinkel $32^{\circ}. I$ den ene er hypotenusen 10 og motstående katet 5,3. I den andre er hypotenusen 18. a) Finn forholdet motstående/hypotenus. b) Bruk forholdet til å anslå motstående katet i den andre trekanten. c) Forklar hvorfor forholdet er det samme.

Vis løsning

Forholdet er $5{,}3/10 = 0{,}53$ .
Motstående katet i den andre trekanten er $18 \cdot 0{,}53 = 9{,}54$ .
Trekanter med to like vinkler er formlike. Da er tilsvarende sider proporsjonale.

Fasit: Forholdet er 0,53, og den nye motstående kateten er ca. 9,5.

Regel / huskeregel

sin v = motstående katet / hypotenus.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2Utforsking

Matematikk 1T - trigonometri.

Utforsk cosinus som fast forhold

I en rettvinklet trekant er vinkelen 27° og hypotenusen 16. I en formlik trekant er hypotenusen 25. Bruk cos $27^{\circ} \approx 0{,}891$ til å finne hosliggende katet i begge trekantene. Forklar sammenhengen.

Vis løsning

Hosliggende i første trekant: $16 \cdot 0{,}891 = 14{,}256$ .
Hosliggende i andre trekant: $25 \cdot 0{,}891 = 22{,}275$ .
Cosinus er samme forhold i alle rettvinklede trekanter med samme vinkel.

Fasit: ca. 14,3 og 22,3.

Regel / huskeregel

cos v = hosliggende katet / hypotenus.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3Utforsking

Matematikk 1T - trigonometri.

Utforsk tangens

I en rettvinklet trekant er vinkelen 28° og hosliggende katet 12 cm. Bruk tan $28^{\circ} \approx 0{,}532$ til å finne motstående katet. Forklar hvorfor tangens kan være større enn 1 i andre trekanter.

Vis løsning

tan 28° = motstående/hosliggende.
Motstående $= 12 \cdot 0{,}532 = 6{,}384$ cm.
Tangens kan være større enn 1 når motstående katet er lengre enn hosliggende katet.

Fasit: ca. 6,4 cm.

Regel / huskeregel

tan v = motstående katet / hosliggende katet.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4Diskusjon

Matematikk 1T - trigonometri.

Diskusjon: Hvorfor er hypotenusen alltid størst?

Forklar med egne ord hvorfor sin v og cos v alltid ligger mellom 0 og 1 i en rettvinklet trekant, mens tan v ikke må gjøre det.

Vis løsning

Hypotenusen ligger mot den rette vinkelen og er alltid lengst. Når vi deler en katet på hypotenusen, får vi derfor et tall mellom 0 og 1. Tangens er katet delt på katet. Den motstående kateten kan være både kortere og lengre enn den hosliggende.

Fasit: sin og cos er katet/hypotenus, mens tan er katet/katet.

Regel / huskeregel

Bruk definisjonene, ikke bare kalkulatorverdier.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5Utforsking

Matematikk 1T - trigonometri.

Utforsk enhetssirkelen

Punktet P ligger på enhetssirkelen. Vinkelen fra positiv x-akse er $120^{\circ}. a)$ Bruk at $120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ}$ til å bestemme fortegnet til sin 120° og cos $120^{\circ}. b)$ Finn verdiene når sin $60^{\circ} = \sqrt{3}/2$ og cos $60^{\circ} = 1/2$ .

Vis løsning

120° ligger i andre kvadrant. y-koordinaten er positiv, x-koordinaten er negativ.
sin $120^{\circ} = s$ in $60^{\circ} = \sqrt{3}/2$ .
cos $120^{\circ} = -c$ os $60^{\circ} = -1/2$ .

Fasit: sin $120^{\circ} = \sqrt{3}/2$ og cos $120^{\circ} = -1/2$ .

Regel / huskeregel

På enhetssirkelen er cos v x-koordinaten og sin v y-koordinaten.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 6Diskusjon

Matematikk 1T - trigonometri.

Diskusjon: Arealsetningen når vinkelen er 90°

Hva blir arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v når $v = 90^{\circ}$ ? Forklar hvorfor dette stemmer med vanlig trekantareal.

Vis løsning

sin $90^{\circ} = 1$ .
$A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot 1 = 1/2$ ab.
Når vinkelen mellom sidene er 90°, kan sidene brukes som grunnlinje og høyde.

Fasit: $A = 1/2$ ab.

Regel / huskeregel

Arealsetningen: $A = 1/2 \cdot$ side · side · sin(vinkel mellom sidene).
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7Grunnleggende

Matematikk 1T - trigonometri.

Regn ut sinus og cosinus for 18°

Bruk kalkulator i gradmodus. Finn sin 18° og cos 18° med tre desimaler.

Vis løsning

Kontroller at kalkulatoren står i grader.
sin $18^{\circ} = 0{,}309$ .
cos $18^{\circ} = 0{,}951$ .

Fasit: sin $18^{\circ} = 0{,}309, c$ os $18^{\circ} = 0{,}951$ .

Regel / huskeregel

Bruk gradmodus: DEG, ikke RAD.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

Oppgave 8Grunnleggende

Matematikk 1T - trigonometri.

Regn ut sinus og cosinus for 30°

Bruk kalkulator i gradmodus. Finn sin 30° og cos 30° med tre desimaler.

Vis løsning

Kontroller at kalkulatoren står i grader.
sin $30^{\circ} = 0{,}500$ .
cos $30^{\circ} = 0{,}866$ .

Fasit: sin $30^{\circ} = 0{,}500, c$ os $30^{\circ} = 0{,}866$ .

Regel / huskeregel

Bruk gradmodus: DEG, ikke RAD.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

Oppgave 9Grunnleggende

Matematikk 1T - trigonometri.

Regn ut sinus og cosinus for 42°

Bruk kalkulator i gradmodus. Finn sin 42° og cos 42° med tre desimaler.

Vis løsning

Kontroller at kalkulatoren står i grader.
sin $42^{\circ} = 0{,}669$ .
cos $42^{\circ} = 0{,}743$ .

Fasit: sin $42^{\circ} = 0{,}669, c$ os $42^{\circ} = 0{,}743$ .

Regel / huskeregel

Bruk gradmodus: DEG, ikke RAD.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

Oppgave 10Grunnleggende

Matematikk 1T - trigonometri.

Regn ut sinus og cosinus for 63°

Bruk kalkulator i gradmodus. Finn sin 63° og cos 63° med tre desimaler.

Vis løsning

Kontroller at kalkulatoren står i grader.
sin $63^{\circ} = 0{,}891$ .
cos $63^{\circ} = 0{,}454$ .

Fasit: sin $63^{\circ} = 0{,}891, c$ os $63^{\circ} = 0{,}454$ .

Regel / huskeregel

Bruk gradmodus: DEG, ikke RAD.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

Oppgave 11Grunnleggende

Matematikk 1T - trigonometri.

Regn ut sinus og cosinus for 89°

Bruk kalkulator i gradmodus. Finn sin 89° og cos 89° med tre desimaler.

Vis løsning

Kontroller at kalkulatoren står i grader.
sin $89^{\circ} = 1{,}000$ .
cos $89^{\circ} = 0{,}017$ .

Fasit: sin $89^{\circ} = 1{,}000, c$ os $89^{\circ} = 0{,}017$ .

Regel / huskeregel

Bruk gradmodus: DEG, ikke RAD.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

Oppgave 12Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn katetene når hypotenusen er kjent $(34^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 12,5 cm og en spiss vinkel 34°. Finn den motstående og den hosliggende kateten til vinkelen.

Vis løsning

Motstående = hypotenus · sin $v = 12{,}5 \cdot s$ in $34^{\circ} = 6{,}99$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $v = 12{,}5 \cdot c$ os $34^{\circ} = 10{,}36$ cm.
Rund av til én desimal dersom oppgaven ikke krever mer nøyaktighet.

Fasit: motstående $\approx 7{,}0$ cm, hosliggende $\approx 10{,}4$ cm.

Regel / huskeregel

Motstående = hypotenus · sin v og hosliggende = hypotenus · cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn katetene når hypotenusen er kjent $(22^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 9,8 cm og en spiss vinkel 22°. Finn den motstående og den hosliggende kateten til vinkelen.

Vis løsning

Motstående = hypotenus · sin $v = 9{,}8 \cdot s$ in $22^{\circ} = 3{,}67$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $v = 9{,}8 \cdot c$ os $22^{\circ} = 9{,}09$ cm.
Rund av til én desimal dersom oppgaven ikke krever mer nøyaktighet.

Fasit: motstående $\approx 3{,}7$ cm, hosliggende $\approx 9{,}1$ cm.

Regel / huskeregel

Motstående = hypotenus · sin v og hosliggende = hypotenus · cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn katetene når hypotenusen er kjent $(57^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 15 cm og en spiss vinkel 57°. Finn den motstående og den hosliggende kateten til vinkelen.

Vis løsning

Motstående = hypotenus · sin $v = 15 \cdot s$ in $57^{\circ} = 12{,}58$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $v = 15 \cdot c$ os $57^{\circ} = 8{,}17$ cm.
Rund av til én desimal dersom oppgaven ikke krever mer nøyaktighet.

Fasit: motstående $\approx 12{,}6$ cm, hosliggende $\approx 8{,}2$ cm.

Regel / huskeregel

Motstående = hypotenus · sin v og hosliggende = hypotenus · cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn katetene når hypotenusen er kjent $(41^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 7,4 cm og en spiss vinkel 41°. Finn den motstående og den hosliggende kateten til vinkelen.

Vis løsning

Motstående = hypotenus · sin $v = 7{,}4 \cdot s$ in $41^{\circ} = 4{,}85$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $v = 7{,}4 \cdot c$ os $41^{\circ} = 5{,}58$ cm.
Rund av til én desimal dersom oppgaven ikke krever mer nøyaktighet.

Fasit: motstående $\approx 4{,}9$ cm, hosliggende $\approx 5{,}6$ cm.

Regel / huskeregel

Motstående = hypotenus · sin v og hosliggende = hypotenus · cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 16Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn katetene når hypotenusen er kjent $(68^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 18,2 cm og en spiss vinkel 68°. Finn den motstående og den hosliggende kateten til vinkelen.

Vis løsning

Motstående = hypotenus · sin $v = 18{,}2 \cdot s$ in $68^{\circ} = 16{,}87$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $v = 18{,}2 \cdot c$ os $68^{\circ} = 6{,}82$ cm.
Rund av til én desimal dersom oppgaven ikke krever mer nøyaktighet.

Fasit: motstående $\approx 16{,}9$ cm, hosliggende $\approx 6{,}8$ cm.

Regel / huskeregel

Motstående = hypotenus · sin v og hosliggende = hypotenus · cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 17Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn katetene når hypotenusen er kjent $(25^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 11,6 cm og en spiss vinkel 25°. Finn den motstående og den hosliggende kateten til vinkelen.

Vis løsning

Motstående = hypotenus · sin $v = 11{,}6 \cdot s$ in $25^{\circ} = 4{,}90$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $v = 11{,}6 \cdot c$ os $25^{\circ} = 10{,}51$ cm.
Rund av til én desimal dersom oppgaven ikke krever mer nøyaktighet.

Fasit: motstående $\approx 4{,}9$ cm, hosliggende $\approx 10{,}5$ cm.

Regel / huskeregel

Motstående = hypotenus · sin v og hosliggende = hypotenus · cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 18Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn hypotenus og hosliggende katet $(36^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er vinkelen 36° og motstående katet 6,8 cm. Finn hypotenusen og den hosliggende kateten.

Vis løsning

sin v = motstående/hypotenus.
Hypotenus $= 6{,}8 / s$ in $36^{\circ} = 11{,}57$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $36^{\circ} = 11{,}57 \cdot c$ os $36^{\circ} = 9{,}36$ cm.

Fasit: hypotenus $\approx 11{,}6$ cm, hosliggende $\approx 9{,}4$ cm.

Regel / huskeregel

Når kateten er kjent: hypotenus = katet / sin v eller katet / cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 19Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn hypotenus og hosliggende katet $(49.8^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er vinkelen $49.8^{\circ}$ og motstående katet 7,2 cm. Finn hypotenusen og den hosliggende kateten.

Vis løsning

sin v = motstående/hypotenus.
Hypotenus $= 7{,}2 / s$ in $49.8^{\circ} = 9{,}43$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $49.8^{\circ} = 9{,}43 \cdot c$ os $49.8^{\circ} = 6{,}08$ cm.

Fasit: hypotenus $\approx 9{,}4$ cm, hosliggende $\approx 6{,}1$ cm.

Regel / huskeregel

Når kateten er kjent: hypotenus = katet / sin v eller katet / cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 20Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn hypotenus og hosliggende katet $(21.8^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er vinkelen $21.8^{\circ}$ og motstående katet 24,5 cm. Finn hypotenusen og den hosliggende kateten.

Vis løsning

sin v = motstående/hypotenus.
Hypotenus $= 24{,}5 / s$ in $21.8^{\circ} = 65{,}97$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $21.8^{\circ} = 65{,}97 \cdot c$ os $21.8^{\circ} = 61{,}25$ cm.

Fasit: hypotenus $\approx 66{,}0$ cm, hosliggende $\approx 61{,}3$ cm.

Regel / huskeregel

Når kateten er kjent: hypotenus = katet / sin v eller katet / cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 21Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn hypotenus og hosliggende katet $(53^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er vinkelen 53° og motstående katet 8 cm. Finn hypotenusen og den hosliggende kateten.

Vis løsning

sin v = motstående/hypotenus.
Hypotenus $= 8 / s$ in $53^{\circ} = 10{,}02$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $53^{\circ} = 10{,}02 \cdot c$ os $53^{\circ} = 6{,}03$ cm.

Fasit: hypotenus $\approx 10{,}0$ cm, hosliggende $\approx 6{,}0$ cm.

Regel / huskeregel

Når kateten er kjent: hypotenus = katet / sin v eller katet / cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 22Sinus og cosinus

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn hypotenus og hosliggende katet $(72.5^{\circ})$

I en rettvinklet trekant er vinkelen $72.5^{\circ}$ og motstående katet 5,2 cm. Finn hypotenusen og den hosliggende kateten.

Vis løsning

sin v = motstående/hypotenus.
Hypotenus $= 5{,}2 / s$ in $72.5^{\circ} = 5{,}45$ cm.
Hosliggende = hypotenus · cos $72.5^{\circ} = 5{,}45 \cdot c$ os $72.5^{\circ} = 1{,}64$ cm.

Fasit: hypotenus $\approx 5{,}5$ cm, hosliggende $\approx 1{,}6$ cm.

Regel / huskeregel

Når kateten er kjent: hypotenus = katet / sin v eller katet / cos v.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 23Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når sin $v = 0{,}52$

Finn vinkelen v digitalt når sin $v = 0{,}52$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = s$ in⁻¹(0,52).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 31{,}3^{\circ}$ .
Sjekk: sin $(31{,}3^{\circ})$ gir omtrent 0,52.

Fasit: $v \approx 31{,}3^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når sin $v = 0{,}87$

Finn vinkelen v digitalt når sin $v = 0{,}87$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = s$ in⁻¹(0,87).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 60{,}5^{\circ}$ .
Sjekk: sin $(60{,}5^{\circ})$ gir omtrent 0,87.

Fasit: $v \approx 60{,}5^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når cos $v = 0{,}31$

Finn vinkelen v digitalt når cos $v = 0{,}31$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = c$ os⁻¹(0,31).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 71{,}9^{\circ}$ .
Sjekk: cos $(71{,}9^{\circ})$ gir omtrent 0,31.

Fasit: $v \approx 71{,}9^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når cos $v = 0{,}76$

Finn vinkelen v digitalt når cos $v = 0{,}76$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = c$ os⁻¹(0,76).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 40{,}5^{\circ}$ .
Sjekk: cos $(40{,}5^{\circ})$ gir omtrent 0,76.

Fasit: $v \approx 40{,}5^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når tan $v = 0{,}5$

Finn vinkelen v digitalt når tan $v = 0{,}5$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = t$ an⁻¹(0,5).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 26{,}6^{\circ}$ .
Sjekk: tan $(26{,}6^{\circ})$ gir omtrent 0,5.

Fasit: $v \approx 26{,}6^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når tan $v = 0{,}87$

Finn vinkelen v digitalt når tan $v = 0{,}87$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = t$ an⁻¹(0,87).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 41{,}0^{\circ}$ .
Sjekk: tan $(41{,}0^{\circ})$ gir omtrent 0,87.

Fasit: $v \approx 41{,}0^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når tan $v = 1{,}0$

Finn vinkelen v digitalt når tan $v = 1{,}0$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = t$ an⁻¹(1,0).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 45^{\circ}$ .
Sjekk: tan $(45^{\circ})$ gir omtrent 1,0.

Fasit: $v \approx 45^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 30Finne vinkler

Matematikk 1T - trigonometri.

Finn vinkelen når tan $v = 2{,}4$

Finn vinkelen v digitalt når tan $v = 2{,}4$ . Svar i grader med én desimal.

Vis løsning

Vi bruker invers funksjon: $v = t$ an⁻¹(2,4).
På kalkulator i gradmodus får vi $v = 67{,}4^{\circ}$ .
Sjekk: tan $(67{,}4^{\circ})$ gir omtrent 2,4.

Fasit: $v \approx 67{,}4^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Når forholdet er kjent, bruk sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31Tangens

Matematikk 1T - trigonometri.

Tangens: finn høyden ved 22°

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet 10 cm og vinkelen 22°. Finn motstående katet og hypotenusen.

Vis løsning

tan 22° = motstående/10.
Motstående $= 10 \cdot t$ an $22^{\circ} = 4{,}04$ cm.
Hypotenusen finnes med Pytagoras: $h = \sqrt{10^{2} + 4{,}04^{2}} = 10{,}79$ cm.

Fasit: motstående $\approx 4{,}0$ cm, hypotenus $\approx 10{,}8$ cm.

Regel / huskeregel

Tangens brukes når du kjenner en vinkel og én katet, eller to kateter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32Tangens

Matematikk 1T - trigonometri.

Tangens: finn høyden ved 50°

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet 10 cm og vinkelen 50°. Finn motstående katet og hypotenusen.

Vis løsning

tan 50° = motstående/10.
Motstående $= 10 \cdot t$ an $50^{\circ} = 11{,}92$ cm.
Hypotenusen finnes med Pytagoras: $h = \sqrt{10^{2} + 11{,}92^{2}} = 15{,}56$ cm.

Fasit: motstående $\approx 11{,}9$ cm, hypotenus $\approx 15{,}6$ cm.

Regel / huskeregel

Tangens brukes når du kjenner en vinkel og én katet, eller to kateter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33Tangens

Matematikk 1T - trigonometri.

Tangens: finn høyden ved 89°

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet 10 cm og vinkelen 89°. Finn motstående katet og hypotenusen.

Vis løsning

tan 89° = motstående/10.
Motstående $= 10 \cdot t$ an $89^{\circ} = 572{,}90$ cm.
Hypotenusen finnes med Pytagoras: $h = \sqrt{10^{2} + 572{,}90^{2}} = 572{,}99$ cm.

Fasit: motstående $\approx 572{,}9$ cm, hypotenus $\approx 573{,}0$ cm.

Regel / huskeregel

Tangens brukes når du kjenner en vinkel og én katet, eller to kateter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 34Tangens

Matematikk 1T - trigonometri.

Tangens: finn høyden ved 37°

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet 15 cm og vinkelen 37°. Finn motstående katet og hypotenusen.

Vis løsning

tan 37° = motstående/15.
Motstående $= 15 \cdot t$ an $37^{\circ} = 11{,}30$ cm.
Hypotenusen finnes med Pytagoras: $h = \sqrt{15^{2} + 11{,}30^{2}} = 18{,}78$ cm.

Fasit: motstående $\approx 11{,}3$ cm, hypotenus $\approx 18{,}8$ cm.

Regel / huskeregel

Tangens brukes når du kjenner en vinkel og én katet, eller to kateter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35Tangens

Matematikk 1T - trigonometri.

Tangens: finn høyden ved 63°

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet 4,8 cm og vinkelen 63°. Finn motstående katet og hypotenusen.

Vis løsning

tan 63° = motstående/4,8.
Motstående $= 4{,}8 \cdot t$ an $63^{\circ} = 9{,}42$ cm.
Hypotenusen finnes med Pytagoras: $h = \sqrt{4{,}8^{2} + 9{,}42^{2}} = 10{,}57$ cm.

Fasit: motstående $\approx 9{,}4$ cm, hypotenus $\approx 10{,}6$ cm.

Regel / huskeregel

Tangens brukes når du kjenner en vinkel og én katet, eller to kateter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 36Tangens

Matematikk 1T - trigonometri.

Tangens: finn høyden ved 12°

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet 36 cm og vinkelen 12°. Finn motstående katet og hypotenusen.

Vis løsning

tan 12° = motstående/36.
Motstående $= 36 \cdot t$ an $12^{\circ} = 7{,}65$ cm.
Hypotenusen finnes med Pytagoras: $h = \sqrt{36^{2} + 7{,}65^{2}} = 36{,}80$ cm.

Fasit: motstående $\approx 7{,}7$ cm, hypotenus $\approx 36{,}8$ cm.

Regel / huskeregel

Tangens brukes når du kjenner en vinkel og én katet, eller to kateter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37Trekant uten rett vinkel

Matematikk 1T - trigonometri.

Trekk normal i en trekant $(36.5^{\circ})$

I trekant ABC er ∠ $A = 36{,}5^{\circ}$ , AB $= 6{,}8$ cm og AC $= 5{,}2$ cm. Normalen fra C treffer AB i D. Finn høyden CD, siden BC og arealet.

Vis løsning

CD = AC · sin $A = 5{,}2 \cdot s$ in $36{,}5^{\circ} = 3{,}09$ cm.
AD = AC · cos $A = 5{,}2 \cdot c$ os $36{,}5^{\circ} = 4{,}18$ cm.
DB = AB - AD $= 6{,}8 - 4{,}18 = 2{,}62$ cm.
BC = √(CD² + DB $^{2}) = \sqrt{3{,}09^{2} + 2{,}62^{2}} = 4{,}05$ cm.
Areal $= 1/2 \cdot$ AB · CD $= 1/2 \cdot 6{,}8 \cdot 3{,}09 = 10{,}52$ cm².

Fasit: CD $\approx 3{,}1$ cm, BC $\approx 4{,}1$ cm, areal $\approx 10{,}5$ cm².

Regel / huskeregel

I ikke-rettvinklede trekanter kan du ofte trekke en normal og lage to rettvinklede trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 38Trekant uten rett vinkel

Matematikk 1T - trigonometri.

Trekk normal i en trekant $(72.5^{\circ})$

I trekant ABC er ∠ $A = 72{,}5^{\circ}$ , AB $= 8{,}1$ cm og AC $= 5{,}7$ cm. Normalen fra C treffer AB i D. Finn høyden CD, siden BC og arealet.

Vis løsning

CD = AC · sin $A = 5{,}7 \cdot s$ in $72{,}5^{\circ} = 5{,}44$ cm.
AD = AC · cos $A = 5{,}7 \cdot c$ os $72{,}5^{\circ} = 1{,}71$ cm.
DB = AB - AD $= 8{,}1 - 1{,}71 = 6{,}39$ cm.
BC = √(CD² + DB $^{2}) = \sqrt{5{,}44^{2} + 6{,}39^{2}} = 8{,}39$ cm.
Areal $= 1/2 \cdot$ AB · CD $= 1/2 \cdot 8{,}1 \cdot 5{,}44 = 22{,}02$ cm².

Fasit: CD $\approx 5{,}4$ cm, BC $\approx 8{,}4$ cm, areal $\approx 22{,}0$ cm².

Regel / huskeregel

I ikke-rettvinklede trekanter kan du ofte trekke en normal og lage to rettvinklede trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 39Trekant uten rett vinkel

Matematikk 1T - trigonometri.

Trekk normal i en trekant $(40.3^{\circ})$

I trekant ABC er ∠ $A = 40{,}3^{\circ}$ , AB $= 4{,}5$ cm og AC $= 3{,}2$ cm. Normalen fra C treffer AB i D. Finn høyden CD, siden BC og arealet.

Vis løsning

CD = AC · sin $A = 3{,}2 \cdot s$ in $40{,}3^{\circ} = 2{,}07$ cm.
AD = AC · cos $A = 3{,}2 \cdot c$ os $40{,}3^{\circ} = 2{,}44$ cm.
DB = AB - AD $= 4{,}5 - 2{,}44 = 2{,}06$ cm.
BC = √(CD² + DB $^{2}) = \sqrt{2{,}07^{2} + 2{,}06^{2}} = 2{,}92$ cm.
Areal $= 1/2 \cdot$ AB · CD $= 1/2 \cdot 4{,}5 \cdot 2{,}07 = 4{,}66$ cm².

Fasit: CD $\approx 2{,}1$ cm, BC $\approx 2{,}9$ cm, areal $\approx 4{,}7$ cm².

Regel / huskeregel

I ikke-rettvinklede trekanter kan du ofte trekke en normal og lage to rettvinklede trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 40Trekant uten rett vinkel

Matematikk 1T - trigonometri.

Trekk normal i en trekant $(70^{\circ})$

I trekant ABC er ∠ $A = 70^{\circ}$ , AB $= 9{,}2$ cm og AC = 7 cm. Normalen fra C treffer AB i D. Finn høyden CD, siden BC og arealet.

Vis løsning

CD = AC · sin $A = 7 \cdot s$ in $70^{\circ} = 6{,}58$ cm.
AD = AC · cos $A = 7 \cdot c$ os $70^{\circ} = 2{,}39$ cm.
DB = AB - AD $= 9{,}2 - 2{,}39 = 6{,}81$ cm.
BC = √(CD² + DB $^{2}) = \sqrt{6{,}58^{2} + 6{,}81^{2}} = 9{,}47$ cm.
Areal $= 1/2 \cdot$ AB · CD $= 1/2 \cdot 9{,}2 \cdot 6{,}58 = 30{,}26$ cm².

Fasit: CD $\approx 6{,}6$ cm, BC $\approx 9{,}5$ cm, areal $\approx 30{,}3$ cm².

Regel / huskeregel

I ikke-rettvinklede trekanter kan du ofte trekke en normal og lage to rettvinklede trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 41Trekant uten rett vinkel

Matematikk 1T - trigonometri.

Trekk normal i en trekant $(53^{\circ})$

I trekant ABC er ∠ $A = 53^{\circ}$ , AB $= 13{,}1$ cm og AC = 8 cm. Normalen fra C treffer AB i D. Finn høyden CD, siden BC og arealet.

Vis løsning

CD = AC · sin $A = 8 \cdot s$ in $53^{\circ} = 6{,}39$ cm.
AD = AC · cos $A = 8 \cdot c$ os $53^{\circ} = 4{,}81$ cm.
DB = AB - AD $= 13{,}1 - 4{,}81 = 8{,}29$ cm.
BC = √(CD² + DB $^{2}) = \sqrt{6{,}39^{2} + 8{,}29^{2}} = 10{,}46$ cm.
Areal $= 1/2 \cdot$ AB · CD $= 1/2 \cdot 13{,}1 \cdot 6{,}39 = 41{,}85$ cm².

Fasit: CD $\approx 6{,}4$ cm, BC $\approx 10{,}5$ cm, areal $\approx 41{,}8$ cm².

Regel / huskeregel

I ikke-rettvinklede trekanter kan du ofte trekke en normal og lage to rettvinklede trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 42Arealsetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Arealsetningen med vinkel $42{,}3^{\circ}$

I en trekant kjenner vi to sider 12,3 og 10,1 og vinkelen mellom dem $42{,}3^{\circ}$ . Regn ut arealet.

Vis løsning

Bruk arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v.
$A = 1/2 \cdot 12{,}3 \cdot 10{,}1 \cdot s$ in $42{,}3^{\circ}$ .
$A = 41{,}80$ .

Fasit: Arealet er ca. 41,8 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Arealsetningen gjelder også når vinkelen er større enn 90°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 43Arealsetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Arealsetningen med vinkel $27{,}2^{\circ}$

I en trekant kjenner vi to sider 23,1 og 8,2 og vinkelen mellom dem $27{,}2^{\circ}$ . Regn ut arealet.

Vis løsning

Bruk arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v.
$A = 1/2 \cdot 23{,}1 \cdot 8{,}2 \cdot s$ in $27{,}2^{\circ}$ .
$A = 43{,}29$ .

Fasit: Arealet er ca. 43,3 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Arealsetningen gjelder også når vinkelen er større enn 90°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 44Arealsetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Arealsetningen med vinkel 60°

I en trekant kjenner vi to sider 8 og 6 og vinkelen mellom dem 60°. Regn ut arealet.

Vis løsning

Bruk arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v.
$A = 1/2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot s$ in 60°.
$A = 20{,}78$ .

Fasit: Arealet er ca. 20,8 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Arealsetningen gjelder også når vinkelen er større enn 90°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 45Arealsetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Arealsetningen med vinkel 105°

I en trekant kjenner vi to sider 6 og 4 og vinkelen mellom dem 105°. Regn ut arealet.

Vis løsning

Bruk arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v.
$A = 1/2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot s$ in 105°.
$A = 11{,}59$ .

Fasit: Arealet er ca. 11,6 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Arealsetningen gjelder også når vinkelen er større enn 90°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 46Arealsetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Arealsetningen med vinkel 135°

I en trekant kjenner vi to sider 7,2 og 5,4 og vinkelen mellom dem 135°. Regn ut arealet.

Vis løsning

Bruk arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v.
$A = 1/2 \cdot 7{,}2 \cdot 5{,}4 \cdot s$ in 135°.
$A = 13{,}75$ .

Fasit: Arealet er ca. 13,7 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Arealsetningen gjelder også når vinkelen er større enn 90°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 47Arealsetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Arealsetningen med vinkel 120°

I en trekant kjenner vi to sider 3,2 og 4,5 og vinkelen mellom dem 120°. Regn ut arealet.

Vis løsning

Bruk arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v.
$A = 1/2 \cdot 3{,}2 \cdot 4{,}5 \cdot s$ in 120°.
$A = 6{,}24$ .

Fasit: Arealet er ca. 6,2 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Arealsetningen gjelder også når vinkelen er større enn 90°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 48Arealsetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Arealsetningen med vinkel 130°

I en trekant kjenner vi to sider 5,4 og 3,2 og vinkelen mellom dem 130°. Regn ut arealet.

Vis løsning

Bruk arealsetningen $A = 1/2 \cdot a \cdot b \cdot s$ in v.
$A = 1/2 \cdot 5{,}4 \cdot 3{,}2 \cdot s$ in 130°.
$A = 6{,}62$ .

Fasit: Arealet er ca. 6,6 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Arealsetningen gjelder også når vinkelen er større enn 90°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 49Ubestemte trekanter

Matematikk 1T - trigonometri.

Ubestemt trekant med mulig to løsninger

I trekant ABC er ∠ $A = 30^{\circ}$ , AB = 6 og BC = 4. Finn mulige vinkler og siden AC.

Vis løsning

Sinussetningen: sin C / AB = sin A / BC.
sin $C = 6 \cdot s$ in $30^{\circ} / 4 = 0{,}750$ .
Dette gir to mulige vinkler: $C₁ = 48{,}6^{\circ}$ og $C₂ = 131{,}4^{\circ}$ .
Da blir $B₁ = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 48{,}6^{\circ} = 101{,}4^{\circ}$ , og $B₂ = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 131{,}4^{\circ} = 18{,}6^{\circ}$ .
AC finnes med sinussetningen: AC = sin B · BC / sin A. Vi får ca. 7,8 og 2,6.

Fasit: To trekanter: (B,C,AC $) \approx (101{,}4^{\circ}, 48{,}6^{\circ}, 7{,}8)$ og $(18{,}6^{\circ}, 131{,}4^{\circ}, 2{,}6)$ .

Regel / huskeregel

SSA-tilfeller kan gi 0, 1 eller 2 trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 50Ubestemte trekanter

Matematikk 1T - trigonometri.

Ubestemt trekant med mulig to løsninger

I trekant ABC er ∠ $A = 45^{\circ}$ , AB = 5 og BC = 4. Finn mulige vinkler og siden AC.

Vis løsning

Sinussetningen: sin C / AB = sin A / BC.
sin $C = 5 \cdot s$ in $45^{\circ} / 4 = 0{,}884$ .
Dette gir to mulige vinkler: $C₁ = 62{,}1^{\circ}$ og $C₂ = 117{,}9^{\circ}$ .
Da blir $B₁ = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 62{,}1^{\circ} = 72{,}9^{\circ}$ , og $B₂ = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 117{,}9^{\circ} = 17{,}1^{\circ}$ .
AC finnes med sinussetningen: AC = sin B · BC / sin A. Vi får ca. 5,4 og 1,7.

Fasit: To trekanter: (B,C,AC $) \approx (72{,}9^{\circ}, 62{,}1^{\circ}, 5{,}4)$ og $(17{,}1^{\circ}, 117{,}9^{\circ}, 1{,}7)$ .

Regel / huskeregel

SSA-tilfeller kan gi 0, 1 eller 2 trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 51Ubestemte trekanter

Matematikk 1T - trigonometri.

Ubestemt trekant med mulig to løsninger

I trekant ABC er ∠ $A = 35^{\circ}$ , AB = 6 og BC = 4. Finn mulige vinkler og siden AC.

Vis løsning

Sinussetningen: sin C / AB = sin A / BC.
sin $C = 6 \cdot s$ in $35^{\circ} / 4 = 0{,}860$ .
Dette gir to mulige vinkler: $C₁ = 59{,}4^{\circ}$ og $C₂ = 120{,}6^{\circ}$ .
Da blir $B₁ = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 59{,}4^{\circ} = 85{,}6^{\circ}$ , og $B₂ = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 120{,}6^{\circ} = 24{,}4^{\circ}$ .
AC finnes med sinussetningen: AC = sin B · BC / sin A. Vi får ca. 7,0 og 2,9.

Fasit: To trekanter: (B,C,AC $) \approx (85{,}6^{\circ}, 59{,}4^{\circ}, 7{,}0)$ og $(24{,}4^{\circ}, 120{,}6^{\circ}, 2{,}9)$ .

Regel / huskeregel

SSA-tilfeller kan gi 0, 1 eller 2 trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 52Ubestemte trekanter

Matematikk 1T - trigonometri.

Ubestemt trekant med mulig to løsninger

I trekant ABC er ∠ $A = 30^{\circ}$ , AB = 8 og BC = 3. Finn mulige vinkler og siden AC.

Vis løsning

sin $C = 8 \cdot s$ in $30^{\circ} / 3 = 1{,}333$ .
Siden sinus ikke kan være større enn 1, finnes ingen trekant.

Fasit: Ingen løsning.

Regel / huskeregel

SSA-tilfeller kan gi 0, 1 eller 2 trekanter.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 53Sinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Sinussetningen: finn ukjente sider

I trekant ABC er ∠ $A = 30^{\circ}$ , ∠ $B = 50^{\circ}$ og AC = 5. Finn de to andre sidene.

Vis løsning

Først finner vi ∠ $C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 50^{\circ} = 100^{\circ}$ .
AC ligger mot ∠B, derfor bruker vi AC/sin B som fast forhold.
BC = AC · sin A / sin $B = 5 \cdot s$ in $30^{\circ} / s$ in $50^{\circ} = 3{,}26$ .
AB = AC · sin C / sin $B = 5 \cdot s$ in $100^{\circ} / s$ in $50^{\circ} = 6{,}43$ .

Fasit: BC $\approx 3{,}3$ , AB $\approx 6{,}4$ .

Regel / huskeregel

Sinussetningen: sin $A/a = s$ in $B/b = s$ in C/c.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 54Sinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Sinussetningen: finn ukjente sider

I trekant ABC er ∠ $A = 110^{\circ}$ , ∠ $B = 40^{\circ}$ og AC = 3. Finn de to andre sidene.

Vis løsning

Først finner vi ∠ $C = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$ .
AC ligger mot ∠B, derfor bruker vi AC/sin B som fast forhold.
BC = AC · sin A / sin $B = 3 \cdot s$ in $110^{\circ} / s$ in $40^{\circ} = 4{,}39$ .
AB = AC · sin C / sin $B = 3 \cdot s$ in $30^{\circ} / s$ in $40^{\circ} = 2{,}33$ .

Fasit: BC $\approx 4{,}4$ , AB $\approx 2{,}3$ .

Regel / huskeregel

Sinussetningen: sin $A/a = s$ in $B/b = s$ in C/c.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 55Sinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Sinussetningen: finn ukjente sider

I trekant ABC er ∠ $A = 43^{\circ}$ , ∠ $B = 35^{\circ}$ og AC = 8. Finn de to andre sidene.

Vis løsning

Først finner vi ∠ $C = 180^{\circ} - 43^{\circ} - 35^{\circ} = 102^{\circ}$ .
AC ligger mot ∠B, derfor bruker vi AC/sin B som fast forhold.
BC = AC · sin A / sin $B = 8 \cdot s$ in $43^{\circ} / s$ in $35^{\circ} = 9{,}51$ .
AB = AC · sin C / sin $B = 8 \cdot s$ in $102^{\circ} / s$ in $35^{\circ} = 13{,}64$ .

Fasit: BC $\approx 9{,}5$ , AB $\approx 13{,}6$ .

Regel / huskeregel

Sinussetningen: sin $A/a = s$ in $B/b = s$ in C/c.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 56Sinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Sinussetningen: finn ukjente sider

I trekant ABC er ∠ $A = 70^{\circ}$ , ∠ $B = 50^{\circ}$ og AC $= 2{,}3$ . Finn de to andre sidene.

Vis løsning

Først finner vi ∠ $C = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$ .
AC ligger mot ∠B, derfor bruker vi AC/sin B som fast forhold.
BC = AC · sin A / sin $B = 2{,}3 \cdot s$ in $70^{\circ} / s$ in $50^{\circ} = 2{,}82$ .
AB = AC · sin C / sin $B = 2{,}3 \cdot s$ in $60^{\circ} / s$ in $50^{\circ} = 2{,}60$ .

Fasit: BC $\approx 2{,}8$ , AB $\approx 2{,}6$ .

Regel / huskeregel

Sinussetningen: sin $A/a = s$ in $B/b = s$ in C/c.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 57Sinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Sinussetningen: finn ukjente sider

I trekant ABC er ∠ $A = 45^{\circ}$ , ∠ $B = 67^{\circ}$ og AC = 9. Finn de to andre sidene.

Vis løsning

Først finner vi ∠ $C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 67^{\circ} = 68^{\circ}$ .
AC ligger mot ∠B, derfor bruker vi AC/sin B som fast forhold.
BC = AC · sin A / sin $B = 9 \cdot s$ in $45^{\circ} / s$ in $67^{\circ} = 6{,}91$ .
AB = AC · sin C / sin $B = 9 \cdot s$ in $68^{\circ} / s$ in $67^{\circ} = 9{,}07$ .

Fasit: BC $\approx 6{,}9$ , AB $\approx 9{,}1$ .

Regel / huskeregel

Sinussetningen: sin $A/a = s$ in $B/b = s$ in C/c.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 58Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn tredje side og vinkler

I trekant ABC er ∠ $A = 50^{\circ}$ , AB = 4 og AC = 3. Finn BC, ∠B og ∠C.

Vis løsning

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos A.
BC $^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot c$ os 50°.
BC $= 3{,}09$ .
Finn ∠B med cosinussetningen eller sinussetningen: ∠ $B \approx 48{,}0^{\circ}$ .
∠ $C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 48{,}0^{\circ} = 82{,}0^{\circ}$ .

Fasit: BC $\approx 3{,}1$ , ∠ $B \approx 48{,}0^{\circ}$ , ∠ $C \approx 82{,}0^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Cosinussetningen er nyttig når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 59Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn tredje side og vinkler

I trekant ABC er ∠ $A = 45^{\circ}$ , AB = 6 og AC = 5. Finn BC, ∠B og ∠C.

Vis løsning

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos A.
BC $^{2} = 6^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot c$ os 45°.
BC $= 4{,}31$ .
Finn ∠B med cosinussetningen eller sinussetningen: ∠ $B \approx 55{,}1^{\circ}$ .
∠ $C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 55{,}1^{\circ} = 79{,}9^{\circ}$ .

Fasit: BC $\approx 4{,}3$ , ∠ $B \approx 55{,}1^{\circ}$ , ∠ $C \approx 79{,}9^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Cosinussetningen er nyttig når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 60Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn tredje side og vinkler

I trekant ABC er ∠ $A = 120^{\circ}$ , AB $= 5{,}2$ og AC $= 4{,}8$ . Finn BC, ∠B og ∠C.

Vis løsning

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos A.
BC $^{2} = 5{,}2^{2} + 4{,}8^{2} - 2 \cdot 5{,}2 \cdot 4{,}8 \cdot c$ os 120°.
BC $= 8{,}66$ .
Finn ∠B med cosinussetningen eller sinussetningen: ∠ $B \approx 28{,}7^{\circ}$ .
∠ $C = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 28{,}7^{\circ} = 31{,}3^{\circ}$ .

Fasit: BC $\approx 8{,}7$ , ∠ $B \approx 28{,}7^{\circ}$ , ∠ $C \approx 31{,}3^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Cosinussetningen er nyttig når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 61Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn tredje side og vinkler

I trekant ABC er ∠ $A = 85^{\circ}$ , AB = 7 og AC = 5. Finn BC, ∠B og ∠C.

Vis løsning

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos A.
BC $^{2} = 7^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot c$ os 85°.
BC $= 8{,}24$ .
Finn ∠B med cosinussetningen eller sinussetningen: ∠ $B \approx 37{,}2^{\circ}$ .
∠ $C = 180^{\circ} - 85^{\circ} - 37{,}2^{\circ} = 57{,}8^{\circ}$ .

Fasit: BC $\approx 8{,}2$ , ∠ $B \approx 37{,}2^{\circ}$ , ∠ $C \approx 57{,}8^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Cosinussetningen er nyttig når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 62Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn tredje side og vinkler

I trekant ABC er ∠ $A = 30^{\circ}$ , AB = 8 og AC = 5. Finn BC, ∠B og ∠C.

Vis løsning

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos A.
BC $^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot c$ os 30°.
BC $= 4{,}44$ .
Finn ∠B med cosinussetningen eller sinussetningen: ∠ $B \approx 34{,}3^{\circ}$ .
∠ $C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 34{,}3^{\circ} = 115{,}7^{\circ}$ .

Fasit: BC $\approx 4{,}4$ , ∠ $B \approx 34{,}3^{\circ}$ , ∠ $C \approx 115{,}7^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Cosinussetningen er nyttig når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 63Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn vinklene fra tre sider

En trekant har sidelengdene 4, 3 og 4. Finn vinklene.

Vis løsning

Når alle tre sider er kjent, bruker vi cosinussetningen.
cos $A = (b^{2} + c^{2} - a^{2})/(2$ bc).
$A \approx 68{,}0^{\circ}$ .
Tilsvarende får vi $B \approx 44{,}0^{\circ}$ .
$C = 180^{\circ} - A - B \approx 68{,}0^{\circ}$ .

Fasit: Vinklene er ca. $68{,}0^{\circ}, 44{,}0^{\circ}$ og $68{,}0^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Kontroller alltid at vinkelsummen blir 180°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 64Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn vinklene fra tre sider

En trekant har sidelengdene 5,2, 3,7 og 7,5. Finn vinklene.

Vis løsning

Når alle tre sider er kjent, bruker vi cosinussetningen.
cos $A = (b^{2} + c^{2} - a^{2})/(2$ bc).
$A \approx 39{,}4^{\circ}$ .
Tilsvarende får vi $B \approx 26{,}8^{\circ}$ .
$C = 180^{\circ} - A - B \approx 113{,}8^{\circ}$ .

Fasit: Vinklene er ca. $39{,}4^{\circ}, 26{,}8^{\circ}$ og $113{,}8^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Kontroller alltid at vinkelsummen blir 180°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 65Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn vinklene fra tre sider

En trekant har sidelengdene 12,1, 7,4 og 4,4. Finn vinklene.

Vis løsning

Når alle tre sider er kjent, bruker vi cosinussetningen.
cos $A = (b^{2} + c^{2} - a^{2})/(2$ bc).
$A \approx 180^{\circ}$ .
Tilsvarende får vi $B \approx 0^{\circ}$ .
$C = 180^{\circ} - A - B \approx 0^{\circ}$ .

Fasit: Vinklene er ca. $180^{\circ}, 0^{\circ}$ og 0°.

Regel / huskeregel

Kontroller alltid at vinkelsummen blir 180°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 66Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn vinklene fra tre sider

En trekant har sidelengdene 7, 5 og 4. Finn vinklene.

Vis løsning

Når alle tre sider er kjent, bruker vi cosinussetningen.
cos $A = (b^{2} + c^{2} - a^{2})/(2$ bc).
$A \approx 101{,}5^{\circ}$ .
Tilsvarende får vi $B \approx 44{,}4^{\circ}$ .
$C = 180^{\circ} - A - B \approx 34{,}0^{\circ}$ .

Fasit: Vinklene er ca. $101{,}5^{\circ}, 44{,}4^{\circ}$ og $34{,}0^{\circ}$ .

Regel / huskeregel

Kontroller alltid at vinkelsummen blir 180°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 67Cosinussetningen

Matematikk 1T - trigonometri.

Cosinussetningen: finn vinklene fra tre sider

En trekant har sidelengdene 6, 6 og 6. Finn vinklene.

Vis løsning

Når alle tre sider er kjent, bruker vi cosinussetningen.
cos $A = (b^{2} + c^{2} - a^{2})/(2$ bc).
$A \approx 60^{\circ}$ .
Tilsvarende får vi $B \approx 60^{\circ}$ .
$C = 180^{\circ} - A - B \approx 60^{\circ}$ .

Fasit: Vinklene er ca. $60^{\circ}, 60^{\circ}$ og 60°.

Regel / huskeregel

Kontroller alltid at vinkelsummen blir 180°.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 68Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Takrenne og helningsvinkel

Et tak er 14 m langt, og høydeforskjellen mellom endene er 0,42 m. Finn fallvinkelen til taket.

Vis løsning

Utregning: tan v = høydeforskjell / horisontal lengde $= 0{,}42/14. v = t$ an⁻¹(0,03).
Resultatet blir 1,7.

Fasit/metode: tan v = høydeforskjell / horisontal lengde $= 0{,}42/14. v = t$ an⁻¹(0,03).

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 69Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Høyde på kolle

Fra punkt A måles vinkelen til foten av en antenne til 12° og til toppen til 15°. Avstanden horisontalt til kollen er 180 m, og antennen er 50 m høy. Finn omtrent høyden på kollen.

Vis løsning

Utregning: Høyden til foten av antennen/kollen er $180 \cdot t$ an 12°. Toppen kan brukes som kontroll: $180 \cdot t$ an $15^{\circ} - 50$ .
Resultatet blir 38,3.

Fasit/metode: Høyden til foten av antennen/kollen er $180 \cdot t$ an 12°. Toppen kan brukes som kontroll: $180 \cdot t$ an $15^{\circ} - 50$ .

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 70Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Huske og vinkel

En huske er 2,50 m lang. Når setet er 0,80 m horisontalt fra loddlinjen, finn vinkelen fra loddlinjen.

Vis løsning

Utregning: sin v = horisontal avstand / snorlengde $= 0{,}80/2{,}50$ .
Resultatet blir 18,7.

Fasit/metode: sin v = horisontal avstand / snorlengde $= 0{,}80/2{,}50$ .

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 71Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Eiendom med fire hjørner

En tomt deles med diagonal BD. Trekanten ABD har sider AB $= 140 m$ , AD $= 88 m$ og ∠ $A = 55^{\circ}$ . Trekant BCD har BD fra første del, BC $= 115 m$ og ∠ $C = 95^{\circ}$ . Finn en realistisk metode for areal.

Vis løsning

Utregning: Først finner du arealet av ABD med arealsetningen. Deretter finner du BD med cosinussetningen og bruker sinus-/cosinussetning i BCD.
Resultatet blir 5046,0.

Fasit/metode: Først finner du arealet av ABD med arealsetningen. Deretter finner du BD med cosinussetningen og bruker sinus-/cosinussetning i BCD.

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 72Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Grøntområde med tre sider

Et grøntområde er trekantet med sidene 36 m, 22 m og 45 m. Finn vinklene og arealet.

Vis løsning

Bruk cosinussetningen for vinklene og Herons formel eller arealsetningen for arealet.
Sett inn tallene systematisk og rund av til slutt.

Fasit/metode: Bruk cosinussetningen for vinklene og Herons formel eller arealsetningen for arealet.

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 73Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Garsje med skrått tak

En sidevegg er 6,0 m bred. Venstre høyde er 2,8 m og høyre høyde er 2,1 m. Finn arealet av sideveggen og vinkelen til taklinjen.

Vis løsning

Arealet er rektangel + trekant: $6{,}0 \cdot 2{,}1 + 1/2 \cdot 6{,}0 \cdot 0{,}7$ . Vinkelen finnes med tan $v = 0{,}7/6{,}0$ .
Sett inn tallene systematisk og rund av til slutt.

Fasit/metode: Arealet er rektangel + trekant: $6{,}0 \cdot 2{,}1 + 1/2 \cdot 6{,}0 \cdot 0{,}7$ . Vinkelen finnes med tan $v = 0{,}7/6{,}0$ .

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 74Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Programmering: dagslysmodell

Lag en sinusmodell for dagslengde gjennom et år når korteste dag er 6,0 timer, lengste dag er 18,5 timer og perioden er 365 døgn.

Vis løsning

Amplitude $= (18{,}5-6{,}0)/2 = 6{,}25$ . Likevektslinje $= (18{,}5+6{,}0)/2 = 12{,}25$ . En modell kan være 12,25 + 6,25 sin(2π(x-c)/365).
Sett inn tallene systematisk og rund av til slutt.

Fasit/metode: Amplitude $= (18{,}5-6{,}0)/2 = 6{,}25$ . Likevektslinje $= (18{,}5+6{,}0)/2 = 12{,}25$ . En modell kan være 12,25 + 6,25 sin(2π(x-c)/365).

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 75Anvendelse / prosjekt

Matematikk 1T - trigonometri.

Prosjekt: tidevann

Lag en sinusmodell for en strøm som går fra -11 knop til 11 knop med periode 12 timer. Finn når strømmen er null.

Vis løsning

En enkel modell er $v(t)=11 s$ in(2πt/12). Nullpunkter når $t = 0, 6, 12, 18, 24$ timer, avhengig av faseforskyvning.
Sett inn tallene systematisk og rund av til slutt.

Fasit/metode: En enkel modell er $v(t)=11 s$ in(2πt/12). Nullpunkter når $t = 0, 6, 12, 18, 24$ timer, avhengig av faseforskyvning.

Regel / huskeregel

Lag figur eller modell først. Velg deretter trigonometrisk formel.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 76Repetisjon

Matematikk 1T - trigonometri.

Repetisjonsoppgave 9

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 10,2 cm og vinkelen 32°. Finn begge katetene.

Vis løsning

Motstående $= 10{,}2 \cdot s$ in $32^{\circ} = 5{,}41$ cm.
Hosliggende $= 10{,}2 \cdot c$ os $32^{\circ} = 8{,}65$ cm.

Fasit: 5,4 cm og 8,7 cm.

Regel / huskeregel

Velg formel etter hva som er kjent i oppgaven.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 77Repetisjon

Matematikk 1T - trigonometri.

Repetisjonsoppgave 10

I en trekant er to sider 4 og 10, og vinkelen mellom dem 65°. Finn arealet.

Vis løsning

$A = 1/2 \cdot 4 \cdot 10 \cdot s$ in 65°.
$A = 18{,}13$ .

Fasit: 18,1 kvadratenheter.

Regel / huskeregel

Velg formel etter hva som er kjent i oppgaven.
Skriv alltid hva du kjenner, hva du skal finne, og hvilken side/vinkel som passer i formelen.

Vanlige feil i regningen

Blander motstående og hosliggende katet.
Glemmer gradmodus på kalkulatoren.
Runder for tidlig og får feil i siste siffer.

Sensor ser etter

Riktig modell/figur, riktig formelvalg, tydelige mellomregninger og svar med enhet.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor metoden passer, kontroller om svaret er rimelig, og vis minst ett mellomsteg før fasit.

📊 Utforsk i GeoGebra

Ofte stilte spørsmål om trigonometri i 1T

Hva er sinus, cosinus og tangens?

I en rettvinklet trekant er sinus til en vinkel motstående katet delt på hypotenusen, cosinus er hosliggende katet delt på hypotenusen, og tangens er motstående delt på hosliggende katet.

Hvordan husker jeg sinus, cosinus og tangens?

Mange bruker huskeregelen SOH-CAH-TOA: Sinus er motstående delt på hypotenus, Cosinus er hosliggende delt på hypotenus, Tangens er motstående delt på hosliggende. Den hjelper deg å velge riktig forhold.

Når bruker jeg sinus, cosinus eller tangens?

Det avhenger av hvilke sider du kjenner og skal finne. Kjenner du eller skal finne hypotenusen, bruker du sinus eller cosinus; jobber du bare med de to katetene, bruker du tangens.

Hvordan finner jeg en ukjent vinkel?

Du setter opp forholdet mellom sidene du kjenner, og bruker den inverse funksjonen (invers sinus, cosinus eller tangens) på kalkulatoren for å finne vinkelen.

Hva er hypotenus og kateter?

Hypotenusen er den lengste siden i en rettvinklet trekant, motsatt den rette vinkelen. Katetene er de to sidene som danner den rette vinkelen.

Hva er sinussetningen?

Sinussetningen sier at forholdet mellom en side og sinus til den motstående vinkelen er likt for alle tre sidene i en trekant. Du bruker den når du kjenner en vinkel og den motstående siden.

Hva er cosinussetningen?

Cosinussetningen er en utvidelse av Pytagoras til alle trekanter. Du bruker den når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sidene, for å finne en ukjent side eller vinkel.

Når bruker jeg sinussetningen versus cosinussetningen?

Bruk sinussetningen når du har et par av en side og dens motstående vinkel. Bruk cosinussetningen når du kjenner to sider og mellomliggende vinkel, eller alle tre sidene.

Hvordan regner jeg ut arealet av en trekant med trigonometri?

Arealet er en halv gange produktet av to sider gange sinus til vinkelen mellom dem. Da trenger du ikke kjenne høyden i trekanten.

Hva er det tvetydige tilfellet i sinussetningen?

Når du finner en vinkel med sinussetningen, kan det finnes to vinkler mellom 0 og 180 grader med samme sinusverdi. Du må vurdere hvilken av dem som passer i trekanten.

Hvordan bruker jeg Pytagoras sammen med trigonometri?

Pytagoras knytter sammen sidene i en rettvinklet trekant, mens trigonometrien knytter sider til vinkler. Ofte bruker du dem sammen: Pytagoras for en side, og sinus, cosinus eller tangens for en vinkel.

Må kalkulatoren stå i grader eller radianer i 1T?

I 1T regner du med grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus. En vanlig feil er å ha den i radianer, som gir helt feil svar.

Hvordan løser jeg en trigonometrisk oppgave steg for steg?

Tegn og merk trekanten, skriv opp hva du kjenner og hva du skal finne, velg riktig forhold eller setning, sett inn verdiene, og løs for det ukjente. Kontroller at svaret er rimelig.

Hvordan bruker jeg GeoGebra til trigonometri på eksamen?

I GeoGebra kan du konstruere trekanter, måle sider og vinkler, og løse trigonometriske likninger. Dette er tillatt på Del 2 når du forklarer utregningen.

Hva må jeg kunne om trigonometri til eksamen i 1T?

Du må kunne sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter, finne sider og vinkler, bruke sinus- og cosinussetningen, regne ut areal med sinus, og håndtere det tvetydige tilfellet — både manuelt (Del 1) og med hjelpemidler (Del 2).