Tall og algebra – oppgaver med trinnvis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$30\,\% = \dfrac{30}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}70$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=1250\cdot 0{,}70$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=875$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$875\text{ kr} \approx 875\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$875 < 1250$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 1250
prosent = 30
vekstfaktor = 0.7
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$3:9$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$3+9=12$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{216}{12}=18$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$3\cdot 18=54$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$9\cdot 18=162$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$54+162=216$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 3, 9, 216
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$8{,}4$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$84000=8{,}4\cdot 10^4$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 8{,}4<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$8{,}4\cdot10^4$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$8{,}4\cdot10^4=84000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^4$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 84000
print('8.4 * 10**4')
print(8.4*10**4)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$15\,\% = \dfrac{15}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}15$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=960\cdot 1{,}15$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=1104$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$1104\text{ kr} \approx 1104\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$1104 > 960$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 960
prosent = 15
vekstfaktor = 1.15
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$7:4$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$7+4=11$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{99}{11}=9$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$7\cdot 9=63$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$4\cdot 9=36$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$63+36=99$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 7, 4, 99
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$8{,}8$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$88000=8{,}8\cdot 10^4$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 8{,}8<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$8{,}8\cdot10^4$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$8{,}8\cdot10^4=88000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^4$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 88000
print('8.8 * 10**4')
print(8.8*10**4)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$15\,\% = \dfrac{15}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}85$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=340\cdot 0{,}85$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=289$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$289\text{ kr} \approx 289\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$289 < 340$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 340
prosent = 15
vekstfaktor = 0.85
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$6:9$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$6+9=15$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{225}{15}=15$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$6\cdot 15=90$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$9\cdot 15=135$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$90+135=225$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 6, 9, 225
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$4{,}8$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$48000000=4{,}8\cdot 10^7$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 4{,}8<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$4{,}8\cdot10^7$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$4{,}8\cdot10^7=48000000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^7$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 48000000
print('4.8 * 10**7')
print(4.8*10**7)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$12\,\% = \dfrac{12}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}88$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=960\cdot 0{,}88$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=844{,}80$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$844{,}80\text{ kr} \approx 845\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$844{,}80 < 960$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 960
prosent = 12
vekstfaktor = 0.88
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^2\cdot x^6}{x^1}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^2\cdot x^6=x^{2+6}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{8}}{x^1}=x^{8-1}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$8-1=7$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^7$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 * x**6 / x**1
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$18=9\cdot 2$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{9}=3$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(18)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$4{,}6$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$460000000=4{,}6\cdot 10^8$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 4{,}6<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$4{,}6\cdot10^8$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$4{,}6\cdot10^8=460000000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^8$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 460000000
print('4.6 * 10**8')
print(4.6*10**8)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^4\cdot x^5}{x^1}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^4\cdot x^5=x^{4+5}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{9}}{x^1}=x^{9-1}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$9-1=8$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^8$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**4 * x**5 / x**1
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$490=49\cdot 10$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{490}=\sqrt{49\cdot 10}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{49\cdot 10}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{10}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{49}=7$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{490}=7\sqrt{10}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(7\sqrt{10})^2=49\cdot10=490$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(490)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$8{,}1$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$8100000=8{,}1\cdot 10^6$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 8{,}1<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$8{,}1\cdot10^6$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$8{,}1\cdot10^6=8100000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^6$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 8100000
print('8.1 * 10**6')
print(8.1*10**6)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^3\cdot x^2}{x^2}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^3\cdot x^2=x^{3+2}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{5}}{x^2}=x^{5-2}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$5-2=3$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^3$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**3 * x**2 / x**2
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$250=25\cdot 10$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{250}=\sqrt{25\cdot 10}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{25\cdot 10}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{10}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{25}=5$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{250}=5\sqrt{10}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(5\sqrt{10})^2=25\cdot10=250$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(250)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$6{,}1$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$6100000=6{,}1\cdot 10^6$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 6{,}1<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$6{,}1\cdot10^6$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$6{,}1\cdot10^6=6100000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^6$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 6100000
print('6.1 * 10**6')
print(6.1*10**6)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^2\cdot x^4}{x^4}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^2\cdot x^4=x^{2+4}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{6}}{x^4}=x^{6-4}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$6-4=2$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^2$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**2 * x**4 / x**4
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$128=64\cdot 2$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot 2}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{64\cdot 2}=\sqrt{64}\cdot\sqrt{2}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{64}=8$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{128}=8\sqrt{2}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(8\sqrt{2})^2=64\cdot2=128$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(128)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$5{,}9$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$5900000=5{,}9\cdot 10^6$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 5{,}9<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$5{,}9\cdot10^6$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$5{,}9\cdot10^6=5900000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^6$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 5900000
print('5.9 * 10**6')
print(5.9*10**6)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^3\cdot x^2}{x^3}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^3\cdot x^2=x^{3+2}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{5}}{x^3}=x^{5-3}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$5-3=2$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^2$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**3 * x**2 / x**3
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$640=64\cdot 10$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{640}=\sqrt{64\cdot 10}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{64\cdot 10}=\sqrt{64}\cdot\sqrt{10}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{64}=8$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{640}=8\sqrt{10}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(8\sqrt{10})^2=64\cdot10=640$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(640)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$6$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$60000=6\cdot 10^4$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 6<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$6\cdot10^4$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$6\cdot10^4=60000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^4$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 60000
print('6.0 * 10**4')
print(6.0*10**4)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^7\cdot x^2}{x^2}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^7\cdot x^2=x^{7+2}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{9}}{x^2}=x^{9-2}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$9-2=7$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^7$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**7 * x**2 / x**2
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$125=25\cdot 5$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{5}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{25}=5$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(5\sqrt{5})^2=25\cdot5=125$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(125)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$7{,}7$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$7700000=7{,}7\cdot 10^6$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 7{,}7<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$7{,}7\cdot10^6$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$7{,}7\cdot10^6=7700000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^6$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 7700000
print('7.7 * 10**6')
print(7.7*10**6)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^3\cdot x^6}{x^1}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^3\cdot x^6=x^{3+6}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{9}}{x^1}=x^{9-1}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$9-1=8$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^8$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**3 * x**6 / x**1
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$75=25\cdot 3$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{3}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{25}=5$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(5\sqrt{3})^2=25\cdot3=75$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(75)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$7{,}6$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$760000000=7{,}6\cdot 10^8$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 7{,}6<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$7{,}6\cdot10^8$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$7{,}6\cdot10^8=760000000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^8$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 760000000
print('7.6 * 10**8')
print(7.6*10**8)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^7\cdot x^2}{x^1}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^7\cdot x^2=x^{7+2}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{9}}{x^1}=x^{9-1}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$9-1=8$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^8$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**7 * x**2 / x**1
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$180=36\cdot 5$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{36\cdot 5}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{5}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{36}=6$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{180}=6\sqrt{5}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(6\sqrt{5})^2=36\cdot5=180$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(180)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$4{,}9$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$490000000=4{,}9\cdot 10^8$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 4{,}9<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.

Steg 4 — Skriv standardform

$4{,}9\cdot10^8$

Nå er tallet skrevet i standardform.

Steg 5 — Kontroller tilbake

$4{,}9\cdot10^8=490000000$

Multiplikasjon med $10^{exp}$ flytter kommaet tilbake.

Steg 6 — Vurder størrelsen

$10^8$

Eksponenten forteller omtrent hvor stort tallet er.

Tolkning

Standardform gjør store tall enklere å lese og sammenlikne.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

tall = 490000000
print('4.9 * 10**8')
print(4.9*10**8)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se potensreglene

$\dfrac{x^3\cdot x^3}{x^4}$

Alle potenser har samme grunntall, derfor kan vi bruke reglene for eksponenter.

Steg 2 — Multipliser potenser

$x^3\cdot x^3=x^{3+3}$

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene ved multiplikasjon.

Steg 3 — Del potenser

$\dfrac{x^{6}}{x^4}=x^{6-4}$

Ved divisjon trekker vi eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren.

Steg 4 — Regn eksponenten

$6-4=2$

Nå regner vi ut den nye eksponenten.

Steg 5 — Skriv svaret

$x^2$

Uttrykket er nå skrevet som én potens.

Steg 6 — Oppgi forutsetning

$x\ne 0$

Siden $x$ står i nevneren i startuttrykket, kan $x$ ikke være null.

Tolkning

Et kortere uttrykk gjør det lettere å regne videre med algebra.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
uttrykk = x**3 * x**3 / x**4
print(simplify(uttrykk))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn en kvadratfaktor

$90=9\cdot 10$

Vi leter etter en faktor som er et perfekt kvadrat.

Steg 2 — Splitt roten

$\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}$

Roten av et produkt kan deles når faktorene er positive.

Steg 3 — Bruk produktregelen for røtter

$\sqrt{9\cdot 10}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{10}$

Vi tar kvadratroten av kvadratfaktoren separat.

Steg 4 — Trekk ut kvadratet

$\sqrt{9}=3$

Kvadratroten av et kvadrattall er tallet som ble kvadrert.

Steg 5 — Skriv forenklet form

$\sqrt{90}=3\sqrt{10}$

Nå står bare den delen som ikke kan forenkles igjen under rottegnet.

Steg 6 — Kontroller ved kvadrering

$(3\sqrt{10})^2=9\cdot10=90$

Kvadrering av svaret skal gi tallet vi startet med.

Tolkning

Forenklet rotform viser hvilke faktorer som faktisk ligger i tallet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import sqrt, simplify
print(simplify(sqrt(90)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn første faktor

$2{,}9$

På standardform skal første faktor være minst $1$ og mindre enn $10$.

Steg 2 — Tell tierpotenser

$290000=2{,}9\cdot 10^5$

Vi flytter kommaet slik at bare ett siffer står foran komma.

Steg 3 — Sjekk kravet

$1\le 2{,}9<10$

Dette er kravet til tallet foran tierpotensen.