Repetisjon fra ungdomsskolen – oppgaver med trinnvis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$18\,\% = \dfrac{18}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}82$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=450\cdot 0{,}82$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=369$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$369\text{ kr} \approx 369\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$369 < 450$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 450
prosent = 18
vekstfaktor = 0.8200000000000001
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$7:7$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$7+7=14$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{252}{14}=18$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$7\cdot 18=126$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$7\cdot 18=126$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$126+126=252$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 7, 7, 252
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$18\,\% = \dfrac{18}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}18$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=450\cdot 1{,}18$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=531$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$531\text{ kr} \approx 531\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$531 > 450$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 450
prosent = 18
vekstfaktor = 1.18
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$2:9$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$2+9=11$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{143}{11}=13$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$2\cdot 13=26$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$9\cdot 13=117$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$26+117=143$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 2, 9, 143
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$20\,\% = \dfrac{20}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}80$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=720\cdot 0{,}80$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=576$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$576\text{ kr} \approx 576\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$576 < 720$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 720
prosent = 20
vekstfaktor = 0.8
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$7:4$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$7+4=11$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{198}{11}=18$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$7\cdot 18=126$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$4\cdot 18=72$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$126+72=198$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 7, 4, 198
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$30\,\% = \dfrac{30}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}30$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=720\cdot 1{,}30$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=936$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$936\text{ kr} \approx 936\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$936 > 720$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 720
prosent = 30
vekstfaktor = 1.3
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$7:7$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$7+7=14$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{210}{14}=15$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$7\cdot 15=105$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$7\cdot 15=105$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$105+105=210$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 7, 7, 210
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$12\,\% = \dfrac{12}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}12$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$. Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$.

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=960\cdot 1{,}12$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=1075{,}20$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$1075{,}20\text{ kr} \approx 1075\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$1075{,}20 > 960$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

pris = 960
prosent = 12
vekstfaktor = 1.12
print(pris*vekstfaktor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Les forholdet

$4:3$

Forholdet betyr at helheten deles i like store deler.

Steg 2 — Finn antall forholdsdeler

$4+3=7$

Vi legger sammen delene i forholdet for å se hvor mange like deler totalen består av.

Steg 3 — Finn verdien av én del

$\dfrac{98}{7}=14$

Totalen fordeles likt på forholdsdelene.

Steg 4 — Finn første del

$4\cdot 14=56$

Første mengde har så mange forholdsdeler som første tallet viser.

Steg 5 — Finn andre del

$3\cdot 14=42$

Andre mengde har så mange forholdsdeler som andre tallet viser.

Steg 6 — Kontroller totalen

$56+42=98$

Summen av delene må bli hele mengden.

Tolkning

De to tallene i forholdet beskriver størrelsene relativt til hverandre, ikke absolutte verdier.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

a, b, total = 4, 3, 98
k = total/(a+b)
print(a*k, b*k)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se strukturen

$2x + 8=8$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$2x=8 - 8$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$. Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$2x=0$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{0}{2}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=0$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$2\cdot 0+8=8$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$-verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(2*x + (8) - (8), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se etter andregradsuttrykk

$x^2 - 9x + 20$

Uttrykket har grad to og kan ofte faktoriseres med to lineære faktorer.

Steg 2 — Finn to tall

$4+5=9,\quad 4\cdot 5=20$

Vi leter etter røtter som gir riktig sum og produkt.

Steg 3 — Knytt røtter til faktorer

$x=4\Rightarrow (x-4)$

Hvis $r$ er en rot, er $(x-r)$ en faktor.

Steg 4 — Skriv faktoriseringen

$x^2 - 9x + 20=(x-4)(x-5)$

Vi skriver uttrykket som et produkt av faktorene.

Steg 5 — Multipliser for kontroll

$(x-4)(x-5)=x^2 - 9x + 20$

Når vi ganger ut igjen, skal vi få uttrykket vi startet med.

Steg 6 — Bruk ved likning

$(x-4)(x-5)=0\Rightarrow x=4\text{ eller }x=5$

Nullproduktregelen gir løsningene hvis uttrykket settes lik null.

Tolkning

Faktorisering viser hvilke nullpunkter uttrykket har.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**2 + (-9)*x + (20)
print(factor(f))
print(solve(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se strukturen

$3x + 12=15$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$3x=15 - 12$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$. Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$3x=3$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{3}{3}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=1$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$3\cdot 1+12=15$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$-verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(3*x + (12) - (15), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se etter andregradsuttrykk

$x^2 + 2x - 3$

Uttrykket har grad to og kan ofte faktoriseres med to lineære faktorer.

Steg 2 — Finn to tall

$-3+1=-2,\quad -3\cdot 1=-3$

Vi leter etter røtter som gir riktig sum og produkt.

Steg 3 — Knytt røtter til faktorer

$x=-3\Rightarrow (x+3)$

Hvis $r$ er en rot, er $(x-r)$ en faktor.

Steg 4 — Skriv faktoriseringen

$x^2 + 2x - 3=(x+3)(x-1)$

Vi skriver uttrykket som et produkt av faktorene.

Steg 5 — Multipliser for kontroll

$(x+3)(x-1)=x^2 + 2x - 3$

Når vi ganger ut igjen, skal vi få uttrykket vi startet med.

Steg 6 — Bruk ved likning

$(x+3)(x-1)=0\Rightarrow x=-3\text{ eller }x=1$

Nullproduktregelen gir løsningene hvis uttrykket settes lik null.

Tolkning

Faktorisering viser hvilke nullpunkter uttrykket har.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**2 + (2)*x + (-3)
print(factor(f))
print(solve(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se strukturen

$8x - 2=94$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$8x=94 + 2$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$. Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$8x=96$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{96}{8}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=12$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$8\cdot 12-2=94$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$-verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(8*x + (-2) - (94), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se etter andregradsuttrykk

$x^2 - 16$

Uttrykket har grad to og kan ofte faktoriseres med to lineære faktorer.

Steg 2 — Finn to tall

$-4+4=0,\quad -4\cdot 4=-16$

Vi leter etter røtter som gir riktig sum og produkt.

Steg 3 — Knytt røtter til faktorer

$x=-4\Rightarrow (x+4)$

Hvis $r$ er en rot, er $(x-r)$ en faktor.

Steg 4 — Skriv faktoriseringen

$x^2 - 16=(x+4)(x-4)$

Vi skriver uttrykket som et produkt av faktorene.

Steg 5 — Multipliser for kontroll

$(x+4)(x-4)=x^2 - 16$

Når vi ganger ut igjen, skal vi få uttrykket vi startet med.

Steg 6 — Bruk ved likning

$(x+4)(x-4)=0\Rightarrow x=-4\text{ eller }x=4$

Nullproduktregelen gir løsningene hvis uttrykket settes lik null.

Tolkning

Faktorisering viser hvilke nullpunkter uttrykket har.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**2 + (0)*x + (-16)
print(factor(f))
print(solve(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se strukturen

$4x - 4=-20$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$4x=-20 + 4$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$. Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$4x=-16$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-16}{4}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=-4$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$4\cdot -4-4=-20$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$-verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(4*x + (-4) - (-20), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se etter andregradsuttrykk

$x^2 - 4$

Uttrykket har grad to og kan ofte faktoriseres med to lineære faktorer.

Steg 2 — Finn to tall

$-2+2=0,\quad -2\cdot 2=-4$

Vi leter etter røtter som gir riktig sum og produkt.

Steg 3 — Knytt røtter til faktorer

$x=-2\Rightarrow (x+2)$

Hvis $r$ er en rot, er $(x-r)$ en faktor.

Steg 4 — Skriv faktoriseringen

$x^2 - 4=(x+2)(x-2)$

Vi skriver uttrykket som et produkt av faktorene.

Steg 5 — Multipliser for kontroll

$(x+2)(x-2)=x^2 - 4$

Når vi ganger ut igjen, skal vi få uttrykket vi startet med.

Steg 6 — Bruk ved likning

$(x+2)(x-2)=0\Rightarrow x=-2\text{ eller }x=2$

Nullproduktregelen gir løsningene hvis uttrykket settes lik null.

Tolkning

Faktorisering viser hvilke nullpunkter uttrykket har.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**2 + (0)*x + (-4)
print(factor(f))
print(solve(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se strukturen

$6x - 9=-33$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$6x=-33 + 9$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$. Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$6x=-24$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-24}{6}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=-4$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$6\cdot -4-9=-33$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$-verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(6*x + (-9) - (-33), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Se etter andregradsuttrykk

$x^2 + 1x - 2$

Uttrykket har grad to og kan ofte faktoriseres med to lineære faktorer.

Steg 2 — Finn to tall

$-2+1=-1,\quad -2\cdot 1=-2$

Vi leter etter røtter som gir riktig sum og produkt.

Steg 3 — Knytt røtter til faktorer

$x=-2\Rightarrow (x+2)$

Hvis $r$ er en rot, er $(x-r)$ en faktor.

Steg 4 — Skriv faktoriseringen

$x^2 + 1x - 2=(x+2)(x-1)$

Vi skriver uttrykket som et produkt av faktorene.

Steg 5 — Multipliser for kontroll

$(x+2)(x-1)=x^2 + 1x - 2$

Når vi ganger ut igjen, skal vi få uttrykket vi startet med.

Steg 6 — Bruk ved likning

$(x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=-2\text{ eller }x=1$

Nullproduktregelen gir løsningene hvis uttrykket settes lik null.

Tolkning

Faktorisering viser hvilke nullpunkter uttrykket har.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**2 + (1)*x + (-2)
print(factor(f))
print(solve(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Identifiser figuren

$\text{trekant}$

En trekant har en grunnlinje og en høyde som står vinkelrett på grunnlinjen.

Steg 2 — Skriv formelen

$A=\dfrac{g\cdot h}{2}$

Arealet av en trekant er halvparten av arealet av et rektangel med samme grunnlinje og høyde.

Steg 3 — Sett inn tall

$A=\dfrac{11\cdot 7}{2}$

Vi setter inn grunnlinjen og høyden i samme måleenhet.

Steg 4 — Multipliser

$A=\dfrac{77}{2}$

Først finner vi arealet til det tilsvarende rektangelet.

Steg 5 — Del på to

$A=\dfrac{77}{2}$

Trekanten er halvparten av rektangelet.

Steg 6 — Sett på enhet

$A=\dfrac{77}{2}\text{ cm}^2$

Areal må ha kvadratenhet.

Tolkning

Arealet forteller hvor stor flate trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from fractions import Fraction
g, h = 11, 7
print(Fraction(g*h, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\cos(55^\circ)=\dfrac{x}{19}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=19\cdot\cos(55^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 10{,}9$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 10{,}9\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$10{,}9 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

import math
angle = math.radians(55)
side = 19
print(round(side*math.cos(angle), 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Identifiser figuren

$\text{trekant}$

En trekant har en grunnlinje og en høyde som står vinkelrett på grunnlinjen.

Steg 2 — Skriv formelen

$A=\dfrac{g\cdot h}{2}$

Arealet av en trekant er halvparten av arealet av et rektangel med samme grunnlinje og høyde.

Steg 3 — Sett inn tall

$A=\dfrac{14\cdot 14}{2}$

Vi setter inn grunnlinjen og høyden i samme måleenhet.

Steg 4 — Multipliser

$A=\dfrac{196}{2}$

Først finner vi arealet til det tilsvarende rektangelet.

Steg 5 — Del på to

$A=98$

Trekanten er halvparten av rektangelet.

Steg 6 — Sett på enhet

$A=98\text{ cm}^2$

Areal må ha kvadratenhet.

Tolkning

Arealet forteller hvor stor flate trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from fractions import Fraction
g, h = 14, 14
print(Fraction(g*h, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\cos(35^\circ)=\dfrac{x}{21}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=21\cdot\cos(35^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 17{,}2$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 17{,}2\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$17{,}2 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

import math
angle = math.radians(35)
side = 21
print(round(side*math.cos(angle), 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Identifiser figuren

$\text{trekant}$

En trekant har en grunnlinje og en høyde som står vinkelrett på grunnlinjen.

Steg 2 — Skriv formelen

$A=\dfrac{g\cdot h}{2}$

Arealet av en trekant er halvparten av arealet av et rektangel med samme grunnlinje og høyde.

Steg 3 — Sett inn tall

$A=\dfrac{12\cdot 10}{2}$

Vi setter inn grunnlinjen og høyden i samme måleenhet.

Steg 4 — Multipliser

$A=\dfrac{120}{2}$

Først finner vi arealet til det tilsvarende rektangelet.

Steg 5 — Del på to

$A=60$

Trekanten er halvparten av rektangelet.

Steg 6 — Sett på enhet

$A=60\text{ cm}^2$

Areal må ha kvadratenhet.

Tolkning

Arealet forteller hvor stor flate trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from fractions import Fraction
g, h = 12, 10
print(Fraction(g*h, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\sin(50^\circ)=\dfrac{x}{18}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=18\cdot\sin(50^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 13{,}8$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 13{,}8\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$13{,}8 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

import math
angle = math.radians(50)
side = 18
print(round(side*math.sin(angle), 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Identifiser figuren

$\text{trekant}$

En trekant har en grunnlinje og en høyde som står vinkelrett på grunnlinjen.

Steg 2 — Skriv formelen

$A=\dfrac{g\cdot h}{2}$

Arealet av en trekant er halvparten av arealet av et rektangel med samme grunnlinje og høyde.

Steg 3 — Sett inn tall

$A=\dfrac{20\cdot 6}{2}$

Vi setter inn grunnlinjen og høyden i samme måleenhet.

Steg 4 — Multipliser

$A=\dfrac{120}{2}$

Først finner vi arealet til det tilsvarende rektangelet.

Steg 5 — Del på to

$A=60$

Trekanten er halvparten av rektangelet.

Steg 6 — Sett på enhet

$A=60\text{ cm}^2$

Areal må ha kvadratenhet.

Tolkning

Arealet forteller hvor stor flate trekanten dekker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from fractions import Fraction
g, h = 20, 6
print(Fraction(g*h, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Tegn mentalt trekanten

$90^\circ$

Vi bruker rettvinklet trigonometri fordi trekanten har en rett vinkel.

Steg 2 — Velg riktig forhold

$\cos(25^\circ)=\dfrac{x}{18}$

Vi velger sinus, cosinus eller tangens ut fra hvilke sider vi kjenner og skal finne.

Steg 3 — Isoler den ukjente

$x=18\cdot\cos(25^\circ)$

Siden $x$ står i teller, ganger vi med den kjente siden.

Steg 4 — Regn med kalkulator

$x\approx 16{,}3$

Vinkelmålet er i grader, så kalkulatoren må stå i gradmodus.

Steg 5 — Sett på enhet

$x\approx 16{,}3\text{ cm}$

Siden vi finner en lengde, bruker vi centimeter.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$16{,}3 > 0$

En sidelengde må være positiv.

Tolkning

Svaret er en fysisk lengde i trekanten.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

import math
angle = math.radians(25)
side = 18
print(round(side*math.cos(angle), 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-1,4)\text{ og }(4,14)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{14-4}{4--1}=\dfrac{10}{5}=2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$4=2\cdot(-1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=6$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x + 6$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -1, 4
x2, y2 = 4, 14
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2+5x+1$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(3)=2\cdot(3)^2+5\cdot(3)+1$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$.

Steg 3 — Regn potensen

$(3)^2=9$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Steg 4 — Regn leddene

$f(3)=18+15+1$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(3)=34$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(3,34)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(3,34)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (5)*x + (1)
print(f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-1,-5)\text{ og }(4,15)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{15--5}{4--1}=\dfrac{20}{5}=4$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-5=4\cdot(-1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-1$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x - 1$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -1, -5
x2, y2 = 4, 15
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2+0x+6$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(-1)=2\cdot(-1)^2+0\cdot(-1)+6$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$.

Steg 3 — Regn potensen

$(-1)^2=1$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Steg 4 — Regn leddene

$f(-1)=2+0+6$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(-1)=8$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-1,8)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(-1,8)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (0)*x + (6)
print(f.subs(x, -1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-4,-4)\text{ og }(3,10)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{10--4}{3--4}=\dfrac{14}{7}=2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-4=2\cdot(-4)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=4$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x + 4$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -4, -4
x2, y2 = 3, 10
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=-x^2-2x-3$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(3)=-1\cdot(3)^2-2\cdot(3)-3$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$.

Steg 3 — Regn potensen

$(3)^2=9$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.