Matematikk 1T

Potenser og modeller - oppgaver med fasit

Denne siden samler Ifingo-oppgaver fra kapittel 5 om potenser, prosentregning, lineære modeller, regresjon, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner. Alle eksempler, utforskingsoppgaver, diskusjonsoppgaver, programmeringsoppgaver og repetisjonsoppgaver er samlet som vanlige oppgaver med løpende nummerering.

📘 GeoGebra & Python-guide

Fag

Matematikk 1T

Kapittel

5 · Potenser og modeller

Antall oppgaver

Nivå

VG1 · LK20

Innhold

Potenser og potensregler

Oppgave 1

Skriv som én potens ved multiplikasjon

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Regning

Regn uten hjelpemidler og skriv svaret som én potens:

$4^{3} \cdot 4^{5}$
$7^{2} \cdot 7^{6}$
$x^{4} \cdot x^{3}$
$a^{m} \cdot a^{5}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Når grunnlaget er likt og potensene multipliseres, legger vi sammen eksponentene.
$4^{3} \cdot 4^{5} = 4^{3+5} = 4^{8}$ .
$7^{2} \cdot 7^{6} = 7^{8}$ .
$x^{4} \cdot x^{3} = x^{7}$ .
$a^{m} \cdot a^{5} = a^{m+5}$ .

Fasit

a) 4^{8}

b) 7^{8}

c) x^{7}

d) a^{m+5}

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 2

Skriv som én potens ved divisjon

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Regning

Regn uten hjelpemidler og skriv svaret som én potens:

$5^{8} / 5^{3}$
$9^{6} / 9^{2}$
$x^{7} / x^{4}$
$a^{m} / a^{3}$ , der $a \neq 0$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Når grunnlaget er likt og potensene divideres, trekker vi eksponentene fra hverandre.
$5^{8} / 5^{3} = 5^{8-3} = 5^{5}$ .
$9^{6} / 9^{2} = 9^{4}$ .
$x^{7} / x^{4} = x^{3}$ .
$a^{m} / a^{3} = a^{m-3}$ , når a ikke er 0.

Fasit

a) 5^{5}

b) 9^{4}

c) x^{3}

d) a^{m-3}

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 3

Potens av potens

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Regning

Regn ut og skriv som én potens:

$(3^{4})^{2}$
$(x^{5})^{3}$
$(a^{2})^{n}$
$((2b)^{3})^{2}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Når en potens opphøyes i en ny potens, multipliserer vi eksponentene.
$(3^{4})^{2} = 3^{4 \cdot 2} = 3^{8}$ .
$(x^{5})^{3} = x^{15}$ .
$(a^{2})^{n} = a^{2n}$ .
$((2b)^{3})^{2} = (2b)^{6}$ .

Fasit

a) 3^{8}

b) x^{15}

c) a^{2n}

d) (2b)^{6}

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 4

Potens med brøk som grunntall

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Regning

Skriv som én brøk med potenser i teller og nevner:

$(2/5)^{3}$
$(a/b)^{4}$
$(3x/2)^{2}$
$(m/n)^{p}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Når en brøk opphøyes i en potens, opphøyes både teller og nevner.
$(2/5)^{3} = 2^{3}/5^{3} = 8/125$ .
$(a/b)^{4} = a^{4}/b^{4}$ .
$(3x/2)^{2} = (3x)^{2}/2^{2} = 9x^{2}/4$ .
$(m/n)^{p} = m^{p}/n^{p}$ .

Fasit

a) 8/125

b) a^{4}/b^{4}

c) 9x^{2}/4

d) m^{p}/n^{p}

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 5

Negative eksponenter

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Regning

Regn ut og skriv svaret som brøk eller helt tall:

$2^{-3}$
$10^{-2}$
$5^{0}$
$6 \cdot 10^{-3}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

En negativ eksponent flytter potensen ned i nevneren.
$2^{-3} = 1/2^{3} = 1/8$ .
$10^{-2} = 1/100$ .
Alle tall ulik 0 opphøyd i 0 er 1, derfor er $5^{0} = 1$ .
$6 \cdot 10^{-3} = 6/1000 = 0{,}006$ .

Fasit

a) 1/8

b) 1/100

c) 1
d) 0,006

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 6

Blandede potensregler

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Regning

Forenkle uttrykkene:

$2^{4} \cdot 2^{-1}$
$3^{7} \cdot 3^{-2} / 3^{3}$
$(x^{-3})^{-2}$
$y^{5} / y^{8}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Bruk én potensregel om gangen.
$2^{4} \cdot 2^{-1} = 2^{4-1} = 2^{3} = 8$ .
$3^{7} \cdot 3^{-2} / 3^{3} = 3^{7-2-3} = 3^{2} = 9$ .
$(x^{-3})^{-2} = x^{6}$ .
$y^{5}/y^{8} = y^{-3} = 1/y^{3}$ .

Fasit

a) 8
b) 9

c) x^{6}

d) 1/y^{3}

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 7

Potensregler med bokstaver

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Regning

Forenkle:

$a^{3} \cdot a^{7}$
$b^{9} / b^{4}$
$(c^{2} d)^{3}$
$(2x)^{4} / x^{2}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Samle like grunntall og bruk potensreglene systematisk.
$a^{3} \cdot a^{7} = a^{10}$ .
$b^{9}/b^{4} = b^{5}$ .
$(c^{2}d)^{3} = c^{6}d^{3}$ .
$(2x)^{4}/x^{2} = 16x^{4}/x^{2} = 16x^{2}$ .

Fasit

a) a^{10}

b) b^{5}

c) c^{6}d^{3}

d) 16x^{2}

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 8

Brøkeksponent og rot

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Regning

Regn ut uten hjelpemidler der det er mulig:

$27^{1/3}$
$81^{1/4}$
$16^{3/4}$
$32^{2/5}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Brøkeksponenten 1/n betyr n-te rot.
$27^{1/3} =$ ∛ $27 = 3$ .
$81^{1/4} = 4$ . rot av $81 = 3$ .
$16^{3/4} = (4$ . rot av $16)^{3} = 2^{3} = 8$ .
$32^{2/5} = (5$ . rot av $32)^{2} = 2^{2} = 4$ .

Fasit

a) 3
b) 3
c) 8
d) 4

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 9

Potens med brøkeksponent

Tema: Potenser
Nivå: Krevende
Type: Regning

Regn ut og skriv svaret som helt tall eller desimaltall:

$64^{2/3}$
$125^{1/3}$
$49^{3/2}$
$1000^{2/3}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Tolk først nevneren i brøkeksponenten som rot.
$64^{2/3} = ($ ∛ $64)^{2} = 4^{2} = 16$ .
$125^{1/3}=5$ .
$49^{3/2} = (\sqrt{49})^{3} = 7^{3} = 343$ .
$1000^{2/3} = ($ ∛ $1000)^{2} = 10^{2} = 100$ .

Fasit

a) 16
b) 5
c) 343
d) 100

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 10

Potensuttrykk med flere regler

Tema: Potenser
Nivå: Krevende
Type: Regning

Forenkle så langt som mulig:

$(a^{4} b^{-2})^{2}$
$(3x^{2})^{3} / (9x)$
$(m^{-1} n^{3})^{2} \cdot m^{4}$
$(2a^{2}b)^{3}/(4$ ab $^{2})$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Bruk potens av produkt, potens av potens og divisjon av potenser.
$(a^{4}b^{-2})^{2} = a^{8}b^{-4} = a^{8}/b^{4}$ .
$(3x^{2})^{3}/(9x)=27x^{6}/(9x)=3x^{5}$ .
$(m^{-1}n^{3})^{2} \cdot m^{4}=m^{-2}n^{6}m^{4}=m^{2}n^{6}$ .
$(2a^{2}b)^{3}/(4$ ab $^{2})=8a^{6}b^{3}/(4$ ab $^{2})=2a^{5}b$ .

Fasit

a) a^{8}/b^{4}

b) 3x^{5}

c) m^{2}n^{6}

d) 2a^{5}b

Regel / huskeregel

Potensregler: $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}, a^{m}/a^{n}=a^{m-n}, (a^{m})^{n}=a^($ mn $), a^{0}=1$ og $a^{-n}=1/a^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt bruk av potensregler, ryddig mellomregning og at negative eksponenter behandles som brøk.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å multiplisere eksponentene ved vanlig multiplikasjon, å glemme at

a^{0}=1

, eller å skrive

a^{-3}=-a^{3}

Oppgave 11

Finn prosent av et beløp

Tema: Prosentregning
Nivå: Lav
Type: Regning

Bruk prosentfaktoren til å finne:

6 % av 900 kr
12,5 % av 640 kr
3,2 % av 2500 kr
18 % av 150 kr

Vis løsning

Trinnvis løsning

Prosentfaktoren til p % er p/100.
6 % av 900 kr $= 0{,}06 \cdot 900 = 54$ kr.
12,5 % av 640 kr $= 0{,}125 \cdot 640 = 80$ kr.
3,2 % av 2500 kr $= 0{,}032 \cdot 2500 = 80$ kr.
18 % av 150 kr $= 0{,}18 \cdot 150 = 27$ kr.

Fasit

a) 54 kr
b) 80 kr
c) 80 kr
d) 27 kr

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 12

Vekstfaktor ved økning og nedgang

Tema: Prosentregning
Nivå: Lav
Type: Regning

Skriv vekstfaktoren:

7 % økning
15 % nedgang
2,5 % økning
40 % nedgang

Vis løsning

Trinnvis løsning

Ved økning er vekstfaktoren 1 + p/100.
7 % økning gir 1,07.
Ved nedgang er vekstfaktoren 1 - p/100.
15 % nedgang gir 0,85, 2,5 % økning gir 1,025, og 40 % nedgang gir 0,60.

Fasit

a) 1,07
b) 0,85
c) 1,025
d) 0,60

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 13

Ny verdi etter prosentvis økning

Tema: Prosentregning
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

En sykkel koster 6800 kr. Prisen øker med 9 %.

Finn vekstfaktoren.
Finn den nye prisen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vekstfaktor ved 9 % økning er $1 + 9/100 = 1{,}09$ .
Ny pris $= 6800 \cdot 1{,}09 = 7412$ .
Vi runder til hele kroner dersom oppgaven handler om pris.

Fasit

a) 1,09
b) 7412 kr

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 14

Ny verdi etter prosentvis nedgang

Tema: Prosentregning
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

En brukt datamaskin er verdt 14 000 kr. Verdien synker med 18 % på ett år.

Finn vekstfaktoren.
Finn verdien etter ett år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Ved 18 % nedgang er vekstfaktoren $1 - 0{,}18 = 0{,}82$ .
Verdien etter ett år er $14 000 \cdot 0{,}82 = 11 480$ .
En nedgang gir alltid vekstfaktor mellom 0 og 1.

Fasit

a) 0,82
b) 11 480 kr

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 15

Rente over flere år

Tema: Prosentregning
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

Nora setter 18 000 kr i banken med 3,5 % rente per år.

Hvor mye har hun etter 1 år?
Hvor mye har hun etter 4 år?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vekstfaktoren er 1,035.
Etter 1 år: $18 000 \cdot 1{,}035 = 18 630$ kr.
Etter 4 år: $18 000 \cdot 1{,}035^{4} \approx 20 660$ kr.
Vi bruker eksponent fordi renten legges til hvert år.

Fasit

a) 18 630 kr
b) ca. 20 660 kr

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 16

Verdifall over flere år

Tema: Prosentregning
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

En moped er verdt 36 000 kr. Verdien synker med 11 % per år.

Finn verdien etter 2 år.
Finn verdien etter 5 år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vekstfaktoren ved 11 % nedgang er 0,89.
Etter 2 år: $36 000 \cdot 0{,}89^{2} = 28 516$ kr.
Etter 5 år: $36 000 \cdot 0{,}89^{5} \approx 20 081$ kr.
Bruk samme vekstfaktor for hver periode.

Fasit

a) ca. 28 516 kr
b) ca. 20 081 kr

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 17

Regne bakover i tid

Tema: Prosentregning
Nivå: Krevende
Type: Tekstoppgave

En konto har i dag 12 500 kr etter at beløpet har økt med 4 % per år i 3 år. Hvor mye sto på kontoen for 3 år siden?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Når vi regner bakover, deler vi på vekstfaktoren eller bruker negativ eksponent.
Vekstfaktoren er 1,04.
Startbeløp $= 12 500 / 1{,}04^{3} \approx 11 112{,}49$ .
Beløpet var altså omtrent 11 112 kr.

Fasit

ca. 11 112 kr

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 18

Sammenlikn to tilbud

Tema: Prosentregning
Nivå: Krevende
Type: Tekstoppgave

En vare koster 2400 kr. Butikk A gir først 20 % rabatt og deretter 10 % rabatt på den nye prisen. Butikk B gir 30 % rabatt direkte. Hvilket tilbud er billigst?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Butikk A: vekstfaktorene er 0,80 og 0,90.
Pris $A = 2400 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}90 = 1728$ kr.
Butikk B: pris $B = 2400 \cdot 0{,}70 = 1680$ kr.
Sammenlikn sluttprisene.

Fasit

Butikk B er billigst med 1680 kr. Butikk A gir 1728 kr.

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 19

Lag regnearktabell for prosentvekst

Tema: Prosentregning
Nivå: Middels
Type: Digital modell

Et beløp på 32 000 kr øker med 5 % per år. Lag en tabell som viser verdien etter 0, 1, 2, 3 og 4 år.

År	0	1	2	3	4
Verdi	32000	33600	35280	37044	38896

Vis løsning

Trinnvis løsning

Bruk vekstfaktor 1,05.
År 0: 32 000.
År 1: $32 000 \cdot 1{,}05 = 33 600$ .
År 2: $33 600 \cdot 1{,}05 = 35 280$ .
Fortsett på samme måte for år 3 og 4.

Fasit

År 0: 32 000 kr
År 1: 33 600 kr
År 2: 35 280 kr
År 3: 37 044 kr
År 4: 38 896 kr

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Oppgave 20

Python-modell for prosentvekst

Tema: Prosentregning
Nivå: Krevende
Type: Programmering

Forklar hva denne Python-ideen gjør: startverdi = 12000, prosent = 6, tid = 5. Programmet multipliserer verdien med 1 + prosent/100 én gang for hvert år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Programmet lager vekstfaktoren $1 + 6/100 = 1{,}06$ .
Deretter gjentas multiplikasjonen fem ganger.
Matematisk er dette $12 000 \cdot 1{,}06^{5}$ .
$12 000 \cdot 1{,}06^{5} \approx 16 058$ .

Fasit

Programmet beregner verdien etter 5 år med 6 % årlig vekst: ca. 16 058 kr.

Regel / huskeregel

Prosentfaktor $= p/100$ . Vekstfaktor ved økning er 1+p/100, og ved nedgang er 1-p/100. Flere perioder regnes med startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig vekstfaktor, riktig bruk av eksponent ved flere perioder og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å legge til samme kronebeløp hvert år, å bruke 0,04 i stedet for 1,04 ved økning, eller å runde for tidlig.

Prosentregning og vekstfaktor

Oppgave 21

Lineær modell fra to punkter

Tema: Lineære modeller
Nivå: Middels
Type: Regning

En størrelse y er 18 når

x = 0

og 54 når

x = 12

Finn en lineær modell y = ax + b.
Bruk modellen til å finne y når $x = 20$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 3$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 18$ .
Modellen blir derfor $y = 3x + 18$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 3x + 18

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 22

Befolkning som lineær modell

Tema: Lineære modeller
Nivå: Middels
Type: Tabell og modell

År etter 2000	0	5	10	15	20
Befolkning (mill.)	4,5	4,7	4,95	5,20	5,45

Bruk tallene for $x = 0$ og $x = 20$ til å lage en lineær modell, og anslå befolkningen etter 30 år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 0.0475$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 4.5$ .
Modellen blir derfor $y = 0.0475x + 4.5$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 0.0475x + 4.5

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 23

CO2-data og lineær vekst

Tema: Lineære modeller
Nivå: Middels
Type: Tabell og graf

År etter 1970	0	10	20	30	40	50
CO2 (ppm)	326	339	356	371	390	415

Lag en lineær modell ved å bruke første og siste punkt. Når passerer modellen 450 ppm?

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 1.78$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 326$ .
Modellen blir derfor $y = 1.78x + 326$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 1.78x + 326

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24

Personbiler i Norge

Tema: Lineære modeller
Nivå: Middels
Type: Tabell og vurdering

År etter 1980	0	10	20	30	40
Biler (mill.)	1,2	1,5	1,8	2,3	2,8

Lag en modell fra første og siste punkt. Vurder om modellen passer for hele perioden.

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 0.04$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 1.2$ .
Modellen blir derfor $y = 0.04x + 1.2$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 0.04x + 1.2

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25

Stigningstall som tolkning

Tema: Lineære modeller
Nivå: Lav
Type: Forklaring

En lineær modell for antall besøk på en nettside er

y = 420x + 3800

, der x er antall måneder etter lansering.

Hva betyr 420?
Hva betyr 3800?
Hva gir modellen etter 9 måneder?

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 420$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 3800$ .
Modellen blir derfor $y = 420x + 3800$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 420x + 3800

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26

Skriv modell fra graf

Tema: Lineære modeller
Nivå: Middels
Type: Graf og modell

Grafen viser en rett linje gjennom punktene (2, 9) og (8, 33). Finn funksjonsuttrykket.

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 4$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 1$ .
Modellen blir derfor $y = 4x + 1$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 4x + 1

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27

Lineær modell og usikkerhet

Tema: Lineære modeller
Nivå: Krevende
Type: Vurdering

En lineær modell for salg er

S(x)=125x+900

. Her er x uker etter kampanjestart.

Finn S(6).
Forklar hvorfor modellen kan være usikker langt fram i tid.

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 125$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 900$ .
Modellen blir derfor $y = 125x + 900$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 125x + 900

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28

Lag modell for abonnement

Tema: Lineære modeller
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

Et treningssenter har 760 medlemmer. Antallet øker omtrent med 18 medlemmer per måned.

Lag en modell M(x).
Når passerer medlemstallet 1000?

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 18$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 760$ .
Modellen blir derfor $y = 18x + 760$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 18x + 760

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29

Lineær regresjon med punkter

Tema: Lineær regresjon
Nivå: Krevende
Type: Digital modell

x	0	2	4	6	8
y	3,1	6,0	8,9	12,2	14,8

Finn omtrent en regresjonslinje og forklar hva stigningstallet betyr.

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 1.47$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 3.1$ .
Modellen blir derfor $y = 1.47x + 3.1$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 1.47x + 3.1

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 30

Sammenlikn modell og måling

Tema: Lineær regresjon
Nivå: Krevende
Type: Vurdering

En regresjonsmodell er

y = 2{,}4x + 15

. En måling ved

x = 10

y = 42

Hva gir modellen?
Hvor stort er avviket?
Er modellen for høy eller for lav?

Vis løsning

Trinnvis løsning

For en lineær modell bruker vi formen y = ax + b.
Stigningstallet a beskriver endring i y per 1 i x. Her bruker vi $a = 2.4$ .
Konstantleddet b er verdien når $x = 0$ . Her er $b = 15$ .
Modellen blir derfor $y = 2.4x + 15$ .
Når vi setter inn en x-verdi, multipliserer vi først med stigningstallet og legger deretter til konstantleddet.

Fasit

Modell:

y = 2.4x + 15

. Bruk modellen ved å sette inn aktuell x-verdi.

Regel / huskeregel

Lineær modell: y = ax + b. Stigningstallet er Δy/Δx, og konstantleddet er y-verdien når $x = 0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig beregning av stigningstall, riktig konstantledd og en faglig vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bytte x og y, bruke feil tidsnullpunkt, tolke b som sluttverdi eller bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget uten kommentar.

📊 Utforsk i GeoGebra

Lineære modeller og lineær regresjon

Oppgave 31

Temperatur gjennom et døgn

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Krevende
Type: Tabell og graf

t (timer)	0	4	8	12	16	20	24
$T (^{\circ}C)$	6	7	12	18	21	17	9

Forklar hvorfor en tredjegradsmodell kan passe bedre enn en rett linje. Finn omtrent temperaturen kl. 18 ved modellen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Marker datapunktene i et koordinatsystem.
Se på formen: bøyer grafen én gang, kan andregradsmodell passe; bøyer den to ganger, kan tredjegradsmodell passe.
Bruk regresjon digitalt for å finne en modell, men vurder alltid om modellen gir mening.
Sammenlikn modellverdier med dataene og kommenter avvik.
Ikke bruk modellen ukritisk langt utenfor måleområdet.

Fasit

Et godt svar inneholder valgt modelltype, kort begrunnelse, beregning med modellen og vurdering av gyldighet.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32

Normaltemperatur gjennom året

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Krevende
Type: Tabell og vurdering

Måned	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Temp. $(^{\circ}C)$	-8	-6	-2	3	8	13	16	15	10	5	0	-5

Velg en polynommodell som passer og forklar hvorfor grafen bør ha toppunkt.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Marker datapunktene i et koordinatsystem.
Se på formen: bøyer grafen én gang, kan andregradsmodell passe; bøyer den to ganger, kan tredjegradsmodell passe.
Bruk regresjon digitalt for å finne en modell, men vurder alltid om modellen gir mening.
Sammenlikn modellverdier med dataene og kommenter avvik.
Ikke bruk modellen ukritisk langt utenfor måleområdet.

Fasit

Et godt svar inneholder valgt modelltype, kort begrunnelse, beregning med modellen og vurdering av gyldighet.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33

Trafikk per time

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Krevende
Type: Tabell og tolkning

Time	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Biler/min	3	8	18	26	20	12	9	11	19	28	24	14

Bruk en polynommodell til å beskrive trafikken. Når er trafikken størst?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Marker datapunktene i et koordinatsystem.
Se på formen: bøyer grafen én gang, kan andregradsmodell passe; bøyer den to ganger, kan tredjegradsmodell passe.
Bruk regresjon digitalt for å finne en modell, men vurder alltid om modellen gir mening.
Sammenlikn modellverdier med dataene og kommenter avvik.
Ikke bruk modellen ukritisk langt utenfor måleområdet.

Fasit

Et godt svar inneholder valgt modelltype, kort begrunnelse, beregning med modellen og vurdering av gyldighet.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

Oppgave 34

Kostnad ved produksjon

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Krevende
Type: Tabell og modell

x enheter	400	800	1200	1600	2000
K(x) kr	210000	390000	610000	870000	1170000

Finn en andregradsmodell omtrent, og bruk modellen til å anslå kostnaden ved 1000 enheter.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Marker datapunktene i et koordinatsystem.
Se på formen: bøyer grafen én gang, kan andregradsmodell passe; bøyer den to ganger, kan tredjegradsmodell passe.
Bruk regresjon digitalt for å finne en modell, men vurder alltid om modellen gir mening.
Sammenlikn modellverdier med dataene og kommenter avvik.
Ikke bruk modellen ukritisk langt utenfor måleområdet.

Fasit

Et godt svar inneholder valgt modelltype, kort begrunnelse, beregning med modellen og vurdering av gyldighet.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

Oppgave 35

Inntekt og kostnad

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Krevende
Type: Økonomisk modell

x enheter	400	800	1200	1600
Inntekt	230000	480000	690000	840000
Kostnad	210000	390000	610000	870000

Bruk tabellen til å vurdere hvor inntekten er større enn kostnaden.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Marker datapunktene i et koordinatsystem.
Se på formen: bøyer grafen én gang, kan andregradsmodell passe; bøyer den to ganger, kan tredjegradsmodell passe.
Bruk regresjon digitalt for å finne en modell, men vurder alltid om modellen gir mening.
Sammenlikn modellverdier med dataene og kommenter avvik.
Ikke bruk modellen ukritisk langt utenfor måleområdet.

Fasit

Et godt svar inneholder valgt modelltype, kort begrunnelse, beregning med modellen og vurdering av gyldighet.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

Oppgave 36

Sammenlikn lineær og polynommodell

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Krevende
Type: Vurdering

Et datasett stiger først raskt, flater ut, og faller litt mot slutten. Forklar hvorfor en lineær modell ofte blir for grov, og hvilken polynomgrad som kan være naturlig å prøve.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Marker datapunktene i et koordinatsystem.
Se på formen: bøyer grafen én gang, kan andregradsmodell passe; bøyer den to ganger, kan tredjegradsmodell passe.
Bruk regresjon digitalt for å finne en modell, men vurder alltid om modellen gir mening.
Sammenlikn modellverdier med dataene og kommenter avvik.
Ikke bruk modellen ukritisk langt utenfor måleområdet.

Fasit

Et godt svar inneholder valgt modelltype, kort begrunnelse, beregning med modellen og vurdering av gyldighet.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

Oppgave 37

Bruk regresjonsmodell kritisk

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Middels
Type: Forklaring

En polynommodell passer svært godt til målepunktene mellom

x = 0

x = 24

. Forklar hvorfor modellen likevel kan være dårlig for

x = 100

Vis løsning

Trinnvis løsning

Marker datapunktene i et koordinatsystem.
Se på formen: bøyer grafen én gang, kan andregradsmodell passe; bøyer den to ganger, kan tredjegradsmodell passe.
Bruk regresjon digitalt for å finne en modell, men vurder alltid om modellen gir mening.
Sammenlikn modellverdier med dataene og kommenter avvik.
Ikke bruk modellen ukritisk langt utenfor måleområdet.

Fasit

Et godt svar inneholder valgt modelltype, kort begrunnelse, beregning med modellen og vurdering av gyldighet.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

Oppgave 38

Finn toppunkt fra modell

Tema: Polynomregresjon
Nivå: Krevende
Type: Graf og tolkning

En modell for temperatur er

T(x) = -0{,}06x^{2} + 1{,}8x + 4

, der x er timer etter midnatt.

Når er temperaturen høyest?
Hva er høyeste temperatur?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Modellen er en andregradsfunksjon med $a = -0{,}06$ og $b = 1{,}8$ .
Toppunktet ligger ved $x = -b/(2a)$ .
$x = -1{,}8/(2 \cdot (-0{,}06)) = 15$ .
$T(15) = -0{,}06 \cdot 15^{2} + 1{,}8 \cdot 15 + 4 = 17{,}5$ .
Temperaturen er høyest omtrent 15 timer etter midnatt.

Fasit

Høyest temperatur er ca.

17{,}5 ^{\circ}C

kl. 15.

Regel / huskeregel

Regresjon gir en modell som passer dataene best mulig, men modellen er bare en forenkling. Polynomgrad velges ut fra datapunktenes form og faglig situasjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du ikke bare bruker CAS, men også forklarer hvorfor modelltypen passer og om svaret er rimelig.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge for høy grad uten begrunnelse, å lese av graf unøyaktig, eller å bruke modellen langt utenfor intervallet uten å drøfte gyldighet.

Oppgave 39

Lag eksponentialfunksjon fra prosentvekst

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Modell

Innbyggertallet i en kommune er 24 600 og øker med 1,8 % per år.

Lag en funksjon f(x).
Finn innbyggertallet etter 6 år.
Finn innbyggertallet 3 år før starttidspunktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 24600$ .
Vekstfaktoren er $k = 1.018$ .
Sett inn $x = 6$ : $f(6) = 24600 \cdot 1.018^{6} \approx 27379.26$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=24600 \cdot 1.018^{x}

. For

x=6

får vi omtrent 27379.26.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 40

Verdens befolkning som modell

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

En modell for et folketall er

f(x)=8{,}0 \cdot 1{,}012^{x}

, der f(x) måles i milliarder og x er år etter 2024.

Finn f(10).
Når passerer modellen 9 milliarder?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 8$ .
Vekstfaktoren er $k = 1.012$ .
Sett inn $x = 10$ : $f(10) = 8 \cdot 1.012^{10} \approx 9.01$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=8 \cdot 1.012^{x}

. For

x=10

får vi omtrent 9.01.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Polynomregresjon og modellvalg

Oppgave 41

CO2 med eksponentialregresjon

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Tabell og modell

År etter 1980	0	10	20	30	40
CO2 (ppm)	339	356	370	390	421

Forklar hvordan en eksponentialmodell kan finnes ved regresjon. Bruk en modell til å anslå verdien etter 50 år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 339$ .
Vekstfaktoren er $k = 1.0054$ .
Sett inn $x = 50$ : $f(50) = 339 \cdot 1.0054^{50} \approx 443.76$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=339 \cdot 1.0054^{x}

. For

x=50

får vi omtrent 443.76.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 42

Halveringstid for karbon-14

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Radioaktivitet

Prosentdelen C-14 som er igjen t år etter at en organisme dør, er

P(t)=100 \cdot 2^{-t/5730}

Vis at mengden er halvert etter 5730 år.
Finn prosentdelen etter 12 000 år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Sett $t = 5730 i$ modellen.
$P(5730)=100 \cdot 2^{-5730/5730}=100 \cdot 2^{-1}=50$ .
Dermed er mengden halvert.
$P(12000)=100 \cdot 2^{-12000/5730} \approx 23.4$ .

Fasit

a) 50 %, altså halvert.
b) ca. 23.4 %.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 43

Finn alder fra C-14

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Likning

Et organisk funn inneholder 82 % av normal mengde C-14. Bruk modellen

P(t)=100 \cdot 2^{-t/5730}

til å finne alderen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Sett modellen lik 82: $100 \cdot 2^{-t/5730}=82$ .
Del på 100: $2^{-t/5730}=0{,}82$ .
Ta logaritme på begge sider.
Da får vi $-t/5730 = l$ og(0,82)/log(2).
$t \approx 1641$ år.

Fasit

Alderen er omtrent 1641 år.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 44

Radioaktiv nedbrytning

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

Et stoff har masse 6,0 kg. Etter hvert døgn er 74 % av stoffet igjen.

Lag en modell S(t).
Hvor mye er igjen etter 8 døgn?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 6$ .
Vekstfaktoren er $k = 0.74$ .
Sett inn $x = 8$ : $f(8) = 6 \cdot 0.74^{8} \approx 0.54$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=6 \cdot 0.74^{x}

. For

x=8

får vi omtrent 0.54.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 45

Medisin i blodet

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Tabell og modell

t (min)	0	10	20	30	45	60
K (mg/L)	4,0	3,1	2,4	1,8	1,2	0,8

Bruk en eksponentialmodell til å forklare hvor raskt konsentrasjonen avtar. Når er den under 1,0 mg/L?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 4$ .
Vekstfaktoren er $k = 0.975$ .
Sett inn $x = 60$ : $f(60) = 4 \cdot 0.975^{60} \approx 0.88$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=4 \cdot 0.975^{x}

. For

x=60

får vi omtrent 0.88.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 46

Eksponential vekst eller lineær vekst

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Forklaring

Forklar forskjellen mellom at noe øker med 200 per år og at noe øker med 4 % per år. Lag et eksempel med startverdi 5000.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 5000$ .
Vekstfaktoren er $k = 1.04$ .
Sett inn $x = 5$ : $f(5) = 5000 \cdot 1.04^{5} \approx 6083.26$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=5000 \cdot 1.04^{x}

. For

x=5

får vi omtrent 6083.26.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 47

Tilbakebetaling og vekstfaktor

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

En gjeld på 75 000 kr øker med 2,1 % renter per år hvis den ikke betales. Hvor stor er gjelden etter 4 år?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 75000$ .
Vekstfaktoren er $k = 1.021$ .
Sett inn $x = 4$ : $f(4) = 75000 \cdot 1.021^{4} \approx 81501.24$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=75000 \cdot 1.021^{x}

. For

x=4

får vi omtrent 81501.24.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 48

Lang framskriving

Tema: Eksponentialfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Vurdering

En modell for antall brukere er

B(x)=1200 \cdot 1{,}15^{x}

. Finn B(5), og forklar hvorfor modellen kan bli usikker etter mange år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Eksponentialmodell har formen $f(x)=a \cdot k^{x}$ .
Startverdien er $a = 1200$ .
Vekstfaktoren er $k = 1.15$ .
Sett inn $x = 5$ : $f(5) = 1200 \cdot 1.15^{5} \approx 2413.63$ .
Tolk svaret i enhetene fra oppgaven.

Fasit

Modell:

f(x)=1200 \cdot 1.15^{x}

. For

x=5

får vi omtrent 2413.63.

Regel / huskeregel

Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Hvis k>1 er det vekst, og hvis 0

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt startverdi, korrekt vekstfaktor, riktig bruk av eksponent og en kort vurdering av modellens gyldighet.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å bruke p som vekstfaktor i stedet for 1+p/100, å regne prosentøkning lineært, eller å glemme enhet og tidsnullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Eksponentialfunksjoner

Oppgave 49

Tegn potensfunksjoner

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf

Tegn grafene i samme koordinatsystem og forklar forskjellen:

$f(x)=2x^{3}$
$g(x)=5x^{0},5$
$h(x)=4x^{-1}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Potensfunksjoner har formen $f(x)=a \cdot x^{k}$ .
For $k=3$ vokser grafen raskt når x øker.
For $k=0{,}5$ får vi en kvadratrotform som vokser langsommere.
For $k=-1$ får vi en avtagende graf for positive x.
Definisjonsmengden må vurderes: $x^{0},5$ krever $x \ge 0$ .

Fasit

f vokser raskt, g vokser saktere, og h avtar når x øker.

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 50

Vindmøllemodell

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Tekstoppgave

Effekten P i kW fra en vindturbin kan modelleres med

P(v)=2{,}8v^{3}

, der v er vindstyrken i m/s.

Finn P(8).
Finn v når $P(v)=10 000$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Sett inn $v = 8$ : $P(8)=2{,}8 \cdot 8^{3}$ .
$8^{3}=512$ , så $P(8)=1433{,}6$ kW.
Løs $2{,}8v^{3}=10000$ .
$v^{3}=3571{,}43$ , og $v \approx 15{,}3$ .

Fasit

a) ca. 1434 kW
b) ca. 15,3 m/s

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 51

Pris og etterspørsel

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Modell

Antall solgte enheter per uke kan modelleres med

S(p)=300000 \cdot p^{-1},4

, der p er prisen i kroner.

Finn salget når $p=80$ .
Hva må prisen være for at salget skal bli 700 enheter?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Sett inn $p=80$ : $S(80)=300000 \cdot 80^{-1},4 \approx 651$ .
For 700 enheter løser vi $300000 \cdot p^{-1},4=700$ .
$p^{-1},4=700/300000$ .
$p=(700/300000)^{1/(-1{,}4}) \approx 76$ kr.

Fasit

a) ca. 651 enheter
b) ca. 76 kr

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 52

Solskikkevekst

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Høyden til en plante kan modelleres med

h(x)=0{,}015x^{2},6

for

0 \le x \le 30

, der x er dager.

Finn h(20).
Når er planten 40 cm høy?

Vis løsning

Trinnvis løsning

$h(20)=0{,}015 \cdot 20^{2},6 \approx 36{,}2$ .
For 40 cm løser vi $0{,}015x^{2},6=40$ .
$x^{2},6=2666{,}67$ .
$x \approx 20{,}7$ .

Fasit

a) ca. 36,2 cm
b) etter ca. 21 dager

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 53

Potensregresjon fra tabell

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Tabell og regresjon

x	10	20	40	80	120
y	1,9	5,0	13,4	35,8	66,0

Forklar hvordan du kan bruke potensregresjon til å finne en modell $y=a \cdot x^{k}$ . Vurder om modellen passer.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Punktene markeres i et koordinatsystem.
Velg potensregresjon i digitalt verktøy.
Modellen får formen $y=a \cdot x^{k}$ .
Sammenlikn modellverdier med datapunktene.
Kommenter eventuelle store avvik.

Fasit

Et fullgodt svar oppgir en modell, tegner eller beskriver grafen og vurderer avvik.

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 54

Isolasjon og varmetap

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Tabell og modell

Tykkelse x (cm)	5	10	15	20	25	30
Varmetap T	42,0	25,5	18,6	14,7	12,3	10,6

Bruk potensmodell til å anslå varmetapet når isolasjonen er 12 cm.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Velg modellen $T(x)=a \cdot x^{k}$ fordi varmetapet avtar når tykkelsen øker.
Bruk regresjon på tabellen for å finne a og k.
Sett $x=12$ inn i modellen.
Svaret bør ligge mellom verdiene ved 10 cm og 15 cm.
Et rimelig anslag er rundt 22 kWh/m².

Fasit

Varmetapet ved 12 cm bør være omtrent 21-23 kWh/m².

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 55

Planetmodell

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Naturfaglig modell

Planet	Jord	Mars	Jupiter	Saturn
Avstand x	1,00	1,52	5,20	9,54
Omløpstid y	1,00	1,88	11,9	29,5

Finn en potensmodell som beskriver sammenhengen mellom avstand og omløpstid. Bruk modellen for $x=2{,}4$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Bruk potensregresjon med $y=a \cdot x^{k}$ .
Datapunktene følger omtrent Keplers tredje lov, så k bør være nær 1,5.
Med modellen $y \approx x^{1},5$ får vi $y=2{,}4^{1},5 \approx 3{,}72$ .
Tolkning: omløpstiden er omtrent 3,7 jordår.
Vurder at modellen er en forenkling.

Fasit

Omløpstiden blir omtrent 3,7 år.

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 56

Sammenlikn potens og eksponential

Tema: Potensfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Forklaring

Forklar forskjellen mellom

f(x)=3 \cdot x^{2}

g(x)=3 \cdot 2^{x}

. Hvilken er potensfunksjon, og hvilken er eksponentialfunksjon?

Vis løsning

Trinnvis løsning

$I f(x)=3 \cdot x^{2}$ er variabelen x i grunntallet, og eksponenten er konstant.
Derfor er f en potensfunksjon.
$I g(x)=3 \cdot 2^{x}$ er variabelen x eksponent.
Derfor er g en eksponentialfunksjon.
Begge kan vokse raskt, men de har ulik struktur.

Fasit

f(x)=3x^{2}

er potensfunksjon.

g(x)=3 \cdot 2^{x}

er eksponentialfunksjon.

Regel / huskeregel

Potensfunksjon: $f(x)=a \cdot x^{k}$ . Eksponentialfunksjon: $f(x)=a \cdot k^{x}$ . Legg merke til hvor variabelen står.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du skiller potensfunksjon fra eksponentialfunksjon, bruker modellen riktig og vurderer definisjonsmengde.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å blande

x^{k}

k^{x}

, bruke negative x-verdier i rotfunksjoner uten å sjekke definisjon, eller lese grafen uten enhet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 57

Repetisjon: potenser

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Middels
Type: Blandet regning

Regn ut uten hjelpemidler:

$8^{1/3} \cdot 4^{2}$
$5^{3} \cdot 5^{-1}/5$
$(3^{2})^{3}/3^{4}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Oppgave 58

Repetisjon: modell for språk

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Middels
Type: Lineær modell

Et barn sier 420 ord når det er 18 måneder og 1560 ord når det er 42 måneder. Lag en lineær modell og anslå antall ord ved 30 måneder.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Potensfunksjoner

Oppgave 59

Repetisjon: verdiutvikling

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Middels
Type: Prosentmodell

En scooter er verdt 95 000 kr. Verdien synker med 9 % per år. Finn verdien etter 3 år og etter 6 år.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Oppgave 60

Repetisjon: utslipp

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Krevende
Type: Prosent og vurdering

Et selskap slipper ut 52 tonn CO2 per år og reduserer utslippet med 7 % hvert år. Finn utslippet etter 4 år. Hvor mye er samlet utslipp de første fire årene, omtrent?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Oppgave 61

Repetisjon: regresjon avislesing

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Krevende
Type: Tabell og modell

År etter 2005	0	5	10	15	20
Minutter per dag	31	27	21	15	12

Lag en lineær modell og vurder om den kan brukes til å anslå verdien i 2035.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Oppgave 62

Repetisjon: fysisk forsøk

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Krevende
Type: Potensmodell

x (m)	0,20	0,50	0,75	1,00	2,00
U (W/m²)	116	18,5	8,2	4,6	1,2

Forklar hvorfor en potensmodell passer når strålingen avtar med avstand. Finn omtrent U når $x=1{,}5$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Oppgave 63

Repetisjon: C-14

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Middels
Type: Eksponentialmodell

Et bein inneholder 76 % av normal mengde C-14. Finn alderen med

P(t)=100 \cdot 2^{-t/5730}

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 64

Repetisjon: spareprogram

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Krevende
Type: Programmering

Skriv en Python-idé som beregner verdien av 60 000 kr på konto med 3,8 % rente i 12 år. Forklar hva løkken gjør.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Oppgave 65

Repetisjon: medisin

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Krevende
Type: Eksponentialregresjon

t (min)	0	8	16	30	45
K (mg/L)	3,2	2,7	2,1	1,4	0,9

Bruk en eksponentialmodell til å anslå når konsentrasjonen blir under 0,75 mg/L.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 66

Repetisjon: klimadiagram

Tema: Repetisjon kapittel 5
Nivå: Krevende
Type: Grafanalyse

Et diagram viser at to land har ulike utslippskurver. Forklar hvordan du kan bruke lineær, polynom- eller eksponentialmodell til å sammenlikne utviklingen, og hvorfor modellvalg påvirker konklusjonen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Repetisjon, programmering og prosjekt

Oppgave 67

Prosjekt: Python-kurve

Tema: Programmering og modellering
Nivå: Krevende
Type: Prosjekt

Lag et Python-program som lagrer x-verdier og y-verdier i lister, tegner punktdiagram og legger inn både lineær modell og andregradsmodell. Forklar hvordan du vurderer hvilken modell som passer best.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

Oppgave 68

Prosjekt: dagligrøykere

Tema: Programmering og modellering
Nivå: Krevende
Type: Prosjekt

År	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2010	2015	2020
Prosent	36	37	35	33	31	25	19	13	9

Lag og drøft ulike modeller for andelen dagligrøykere. Hvilken modell er mest troverdig fram mot 2030?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Les først hvilken modelltype oppgaven peker mot: potens, prosent, lineær, eksponential eller regresjon.
Skriv opp relevant formel før du regner.
Sett inn tallene systematisk og vis mellomregning.
Kontroller at svaret har riktig enhet og virker rimelig.
Dersom oppgaven handler om modellering, må du også kommentere gyldighet og usikkerhet.

Fasit

Fasit avhenger av tallene i oppgaven. Et fullgodt svar viser beregning, konklusjon med enhet og vurdering av modellen.

Regel / huskeregel

Velg formel etter sammenhengen: lineær y=ax+b, eksponential $f(x)=a \cdot k^{x}$ , potens $f(x)=a \cdot x^{k}$ , prosent over tid = startverdi·vekstfaktor $^{n}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du velger riktig modell, regner korrekt og vurderer om modellen kan brukes i situasjonen.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å velge modell bare fordi den gir pent svar, å glemme definisjonsmengde, eller å bruke regresjon uten å forklare hvorfor den passer.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 69

Kortoppgave potenser 1

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

11^{0}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $11^{0}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir 1.

Fasit

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 70

Kortoppgave potenser 2

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

4^{-2}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $4^{-2}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir $1/16$ .

Fasit

1/16

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 71

Kortoppgave potenser 3

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

100^{-1}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $100^{-1}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir $1/100$ .

Fasit

1/100

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 72

Kortoppgave potenser 4

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

9^{1/2}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $9^{1/2}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir 3.

Fasit

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 73

Kortoppgave potenser 5

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

81^{3/4}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $81^{3/4}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir 27.

Fasit

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 74

Kortoppgave potenser 6

Tema: Potenser
Nivå: Lav
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

625^{1/4}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $625^{1/4}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir 5.

Fasit

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 75

Kortoppgave potenser 7

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

2^{3} \cdot 2^{5} \cdot 2^{-4}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $2^{3} \cdot 2^{5} \cdot 2^{-4}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir $2^{4} = 16$ .

Fasit

2^{4} = 16

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 76

Kortoppgave potenser 8

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

x^{4}/x^{-2}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $x^{4}/x^{-2}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir $x^{6}$ .

Fasit

x^{6}

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 77

Kortoppgave potenser 9

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

(a^{2}b^{-1})^{3}

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $(a^{2}b^{-1})^{3}$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir $a^{6}/b^{3}$ .

Fasit

a^{6}/b^{3}

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

Oppgave 78

Kortoppgave potenser 10

Tema: Potenser
Nivå: Middels
Type: Kortregning

Regn ut eller forenkle uttrykket

(5x)^{2}/(25x^{3})

. Skriv mellomregning.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker potensreglene på uttrykket $(5x)^{2}/(25x^{3})$ .
Se først om vi har samme grunntall, negativ eksponent, brøkeksponent eller potens av potens.
Regn ett steg om gangen og skriv svaret uten unødvendige negative eksponenter.
Svaret blir 1/x.

Fasit

1/x

Regel / huskeregel

Bruk potensreglene og skriv helst svaret med positive eksponenter.

Sensor ser etter

Sensor ser etter riktig regelvalg og ryddig mellomregning.

For høy måloppnåelse

Vis mellomregning, forklar hvorfor regelen kan brukes, og kontroller at svaret passer med definisjonsmengden, grafen eller situasjonen i teksten.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil: å flytte feil faktor, blande grunntall og eksponent, eller fjerne parenteser feil.

FAQ om potenser og modeller

Hva er forskjellen på potensfunksjon og eksponentialfunksjon?

I en potensfunksjon står variabelen i grunntallet, for eksempel $f(x)=a \cdot x^{k}. I$ en eksponentialfunksjon står variabelen i eksponenten, for eksempel $f(x)=a \cdot k^{x}$ .

Når bruker vi vekstfaktor?

Vekstfaktor brukes når en størrelse øker eller minker med en fast prosent. Ved p % økning er vekstfaktoren 1+p/100. Ved p % nedgang er den 1-p/100.

Hva må være med i et godt modellsvar?

Et godt modellsvar viser formel, innsetting, regning, fasit med enhet og en vurdering av om modellen passer i situasjonen.