Hva er en polynomfunksjon?

En polynomfunksjon er en funksjon som kan skrives som en sum av ledd på formen $ax^n$, der eksponentene er ikke-negative heltall.

Hva er forskjellen på lineær funksjon og andregradsfunksjon?

En lineær funksjon har graf som er en rett linje og konstant vekst. En andregradsfunksjon har graf som er en parabel og har topp- eller bunnpunkt.

Hvordan finner jeg nullpunkter?

Du finner nullpunkter ved å sette $f(x)=0$ og løse likningen. Grafisk er nullpunktene der grafen skjærer x-aksen.

Hva er et toppunkt eller bunnpunkt?

Det er det høyeste eller laveste punktet på grafen til en andregradsfunksjon. For $f(x)=ax^2+bx+c$ ligger det på $x=-b/(2a)$.

Polynomfunksjoner – oppgaver med fasit | 1T

Oppgave 1Lett

Regn ut en funksjonsverdi

Tema: Funksjonsbegrepet
Type: eksempeloppgave

Funksjonen er gitt ved $f(x)=2x+5$ . Regn ut $f(3)$ , og forklar hva svaret betyr i et koordinatsystem.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når vi skal finne $f(3)$ , setter vi $x=3$ inn i funksjonsuttrykket.

$f(3)=2(3)+5=11$

Dette betyr at punktet $(3,11)$ ligger på grafen til funksjonen. $x$ -verdien er 3, og funksjonsverdien eller $y$ -verdien er 11.

Fasit

$f(3)=11$ . Punktet er $(3,11)$ .

Regel / husk dette

$f(a)$ betyr verdien av funksjonen når $x=a$ . Sett alltid tallet inn for alle x-er i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å erstatte bare én av x-ene når uttrykket har flere x-er.
Å glemme parentes når x-verdien er negativ.
Å skrive punktet som $(f(x),x)$ i stedet for $(x,f(x))$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2Lett

Regn ut en funksjonsverdi

Tema: Funksjonsbegrepet
Type: eksempeloppgave

Funksjonen er gitt ved $f(x)=-x+7$ . Regn ut $f(4)$ , og forklar hva svaret betyr i et koordinatsystem.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når vi skal finne $f(4)$ , setter vi $x=4$ inn i funksjonsuttrykket.

$f(4)=-(4)+7=3$

Dette betyr at punktet $(4,3)$ ligger på grafen til funksjonen. $x$ -verdien er 4, og funksjonsverdien eller $y$ -verdien er 3.

Fasit

$f(4)=3$ . Punktet er $(4,3)$ .

Regel / husk dette

$f(a)$ betyr verdien av funksjonen når $x=a$ . Sett alltid tallet inn for alle x-er i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å erstatte bare én av x-ene når uttrykket har flere x-er.
Å glemme parentes når x-verdien er negativ.
Å skrive punktet som $(f(x),x)$ i stedet for $(x,f(x))$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3Lett

Regn ut en funksjonsverdi

Tema: Funksjonsbegrepet
Type: eksempeloppgave

Funksjonen er gitt ved $f(x)=x^2-3$ . Regn ut $f(5)$ , og forklar hva svaret betyr i et koordinatsystem.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når vi skal finne $f(5)$ , setter vi $x=5$ inn i funksjonsuttrykket.

$f(5)=(5)^2-3=22$

Dette betyr at punktet $(5,22)$ ligger på grafen til funksjonen. $x$ -verdien er 5, og funksjonsverdien eller $y$ -verdien er 22.

Fasit

$f(5)=22$ . Punktet er $(5,22)$ .

Regel / husk dette

$f(a)$ betyr verdien av funksjonen når $x=a$ . Sett alltid tallet inn for alle x-er i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å erstatte bare én av x-ene når uttrykket har flere x-er.
Å glemme parentes når x-verdien er negativ.
Å skrive punktet som $(f(x),x)$ i stedet for $(x,f(x))$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4Lett

Regn ut en funksjonsverdi

Tema: Funksjonsbegrepet
Type: eksempeloppgave

Funksjonen er gitt ved $f(x)=3x^2-2x$ . Regn ut $f(-2)$ , og forklar hva svaret betyr i et koordinatsystem.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når vi skal finne $f(-2)$ , setter vi $x=-2$ inn i funksjonsuttrykket.

$f(-2)=3(-2)^2-2(-2)=16$

Dette betyr at punktet $(-2,16)$ ligger på grafen til funksjonen. $x$ -verdien er -2, og funksjonsverdien eller $y$ -verdien er 16.

Fasit

$f(-2)=16$ . Punktet er $(-2,16)$ .

Regel / husk dette

$f(a)$ betyr verdien av funksjonen når $x=a$ . Sett alltid tallet inn for alle x-er i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å erstatte bare én av x-ene når uttrykket har flere x-er.
Å glemme parentes når x-verdien er negativ.
Å skrive punktet som $(f(x),x)$ i stedet for $(x,f(x))$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5Lett

Regn ut en funksjonsverdi

Tema: Funksjonsbegrepet
Type: eksempeloppgave

Funksjonen er gitt ved $f(x)=12-2x$ . Regn ut $f(6)$ , og forklar hva svaret betyr i et koordinatsystem.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når vi skal finne $f(6)$ , setter vi $x=6$ inn i funksjonsuttrykket.

$f(6)=12-2(6)=0$

Dette betyr at punktet $(6,0)$ ligger på grafen til funksjonen. $x$ -verdien er 6, og funksjonsverdien eller $y$ -verdien er 0.

Fasit

$f(6)=0$ . Punktet er $(6,0)$ .

Regel / husk dette

$f(a)$ betyr verdien av funksjonen når $x=a$ . Sett alltid tallet inn for alle x-er i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å erstatte bare én av x-ene når uttrykket har flere x-er.
Å glemme parentes når x-verdien er negativ.
Å skrive punktet som $(f(x),x)$ i stedet for $(x,f(x))$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 6Lett

Regn ut en funksjonsverdi

Tema: Funksjonsbegrepet
Type: eksempeloppgave

Funksjonen er gitt ved $f(x)=x^3-4x$ . Regn ut $f(2)$ , og forklar hva svaret betyr i et koordinatsystem.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når vi skal finne $f(2)$ , setter vi $x=2$ inn i funksjonsuttrykket.

$f(2)=(2)^3-4(2)=0$

Dette betyr at punktet $(2,0)$ ligger på grafen til funksjonen. $x$ -verdien er 2, og funksjonsverdien eller $y$ -verdien er 0.

Fasit

$f(2)=0$ . Punktet er $(2,0)$ .

Regel / husk dette

$f(a)$ betyr verdien av funksjonen når $x=a$ . Sett alltid tallet inn for alle x-er i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å erstatte bare én av x-ene når uttrykket har flere x-er.
Å glemme parentes når x-verdien er negativ.
Å skrive punktet som $(f(x),x)$ i stedet for $(x,f(x))$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7Lett

Lese funksjonsverdi fra graf

Tema: Graf og funksjon
Type: Grafavlesning

Grafen viser en lineær funksjon. Bruk grafen til å lese av funksjonsverdien når $x=4$ . Skriv også ett punkt som ligger på grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi går først til $x=4$ på x-aksen. Deretter går vi loddrett opp eller ned til grafen og leser av $y$ -verdien.

For denne grafen passer uttrykket $f(x)=2x+1$ . Derfor er $f(4)=2\cdot4+1=9$ .

Fasit

$f(4)=9$ . Et punkt på grafen er $(4,9)$ .

Regel / husk dette

En graf består av alle punkter $(x,f(x))$ . Når du leser av grafen, må du skille tydelig mellom x-verdi og funksjonsverdi.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å lese av feil akse.
Å tro at x-verdien og y-verdien alltid er like.
Å lese av grafen unøyaktig uten å bruke rutenettet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 8Lett

Lese funksjonsverdi fra graf

Tema: Graf og funksjon
Type: Grafavlesning

Grafen viser en lineær funksjon. Bruk grafen til å lese av funksjonsverdien når $x=-2$ . Skriv også ett punkt som ligger på grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi går først til $x=-2$ på x-aksen. Deretter går vi loddrett opp eller ned til grafen og leser av $y$ -verdien.

For denne grafen passer uttrykket $f(x)=-1x+3$ . Derfor er $f(-2)=-1\cdot-2+3=5$ .

Fasit

$f(-2)=5$ . Et punkt på grafen er $(-2,5)$ .

Regel / husk dette

En graf består av alle punkter $(x,f(x))$ . Når du leser av grafen, må du skille tydelig mellom x-verdi og funksjonsverdi.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å lese av feil akse.
Å tro at x-verdien og y-verdien alltid er like.
Å lese av grafen unøyaktig uten å bruke rutenettet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9Lett

Lese funksjonsverdi fra graf

Tema: Graf og funksjon
Type: Grafavlesning

Grafen viser en lineær funksjon. Bruk grafen til å lese av funksjonsverdien når $x=6$ . Skriv også ett punkt som ligger på grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi går først til $x=6$ på x-aksen. Deretter går vi loddrett opp eller ned til grafen og leser av $y$ -verdien.

For denne grafen passer uttrykket $f(x)=0.5x+-2$ . Derfor er $f(6)=0.5\cdot6+-2=1.0$ .

Fasit

$f(6)=1.0$ . Et punkt på grafen er $(6,1.0)$ .

Regel / husk dette

En graf består av alle punkter $(x,f(x))$ . Når du leser av grafen, må du skille tydelig mellom x-verdi og funksjonsverdi.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å lese av feil akse.
Å tro at x-verdien og y-verdien alltid er like.
Å lese av grafen unøyaktig uten å bruke rutenettet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 10Lett

Lese funksjonsverdi fra graf

Tema: Graf og funksjon
Type: Grafavlesning

Grafen viser en lineær funksjon. Bruk grafen til å lese av funksjonsverdien når $x=1$ . Skriv også ett punkt som ligger på grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi går først til $x=1$ på x-aksen. Deretter går vi loddrett opp eller ned til grafen og leser av $y$ -verdien.

For denne grafen passer uttrykket $f(x)=3x+-4$ . Derfor er $f(1)=3\cdot1+-4=-1$ .

Fasit

$f(1)=-1$ . Et punkt på grafen er $(1,-1)$ .

Regel / husk dette

En graf består av alle punkter $(x,f(x))$ . Når du leser av grafen, må du skille tydelig mellom x-verdi og funksjonsverdi.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å lese av feil akse.
Å tro at x-verdien og y-verdien alltid er like.
Å lese av grafen unøyaktig uten å bruke rutenettet.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 11Lett

Verditabell for lineær funksjon

Tema: Verditabell og graf
Type: Tabell

Lag en verditabell for funksjonen $f(x)=2x+3$ med x-verdiene som står i tabellen. Bruk tabellen til å beskrive hvordan grafen utvikler seg.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-1	1	3	5	7

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter én og én x-verdi inn i funksjonsuttrykket.

For $x=-2$ : $f(-2)=2\cdot-2+3=-1$ .

For $x=-1$ : $f(-1)=2\cdot-1+3=1$ .

For $x=0$ : $f(0)=2\cdot0+3=3$ .

Når x øker med 1, endrer funksjonsverdien seg med stigningstallet. Tabellen viser derfor om grafen går oppover, nedover eller er vannrett.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-1	1	3	5	7

Grafen øker fordi stigningstallet er $2$ .

Regel / husk dette

En verditabell lages ved å sette valgte x-verdier inn i funksjonsuttrykket. Hvert tallpar i tabellen blir et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å regne feil fortegn når x er negativ.
Å hoppe over mellomregninger i tabellen.
Å plassere x-verdier og y-verdier i feil rad.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 12Lett

Verditabell for lineær funksjon

Tema: Verditabell og graf
Type: Tabell

Lag en verditabell for funksjonen $f(x)=-3x+4$ med x-verdiene som står i tabellen. Bruk tabellen til å beskrive hvordan grafen utvikler seg.

x	-1	0	1	2	3
f(x)	7	4	1	-2	-5

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter én og én x-verdi inn i funksjonsuttrykket.

For $x=-1$ : $f(-1)=-3\cdot-1+4=7$ .

For $x=0$ : $f(0)=-3\cdot0+4=4$ .

For $x=1$ : $f(1)=-3\cdot1+4=1$ .

Når x øker med 1, endrer funksjonsverdien seg med stigningstallet. Tabellen viser derfor om grafen går oppover, nedover eller er vannrett.

Fasit

x	-1	0	1	2	3
f(x)	7	4	1	-2	-5

Grafen avtar fordi stigningstallet er $-3$ .

Regel / husk dette

En verditabell lages ved å sette valgte x-verdier inn i funksjonsuttrykket. Hvert tallpar i tabellen blir et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å regne feil fortegn når x er negativ.
Å hoppe over mellomregninger i tabellen.
Å plassere x-verdier og y-verdier i feil rad.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13Lett

Verditabell for lineær funksjon

Tema: Verditabell og graf
Type: Tabell

Lag en verditabell for funksjonen $f(x)=1x+-5$ med x-verdiene som står i tabellen. Bruk tabellen til å beskrive hvordan grafen utvikler seg.

x	0	2	4	6
f(x)	-5	-3	-1	1

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter én og én x-verdi inn i funksjonsuttrykket.

For $x=0$ : $f(0)=1\cdot0+-5=-5$ .

For $x=2$ : $f(2)=1\cdot2+-5=-3$ .

For $x=4$ : $f(4)=1\cdot4+-5=-1$ .

Når x øker med 1, endrer funksjonsverdien seg med stigningstallet. Tabellen viser derfor om grafen går oppover, nedover eller er vannrett.

Fasit

x	0	2	4	6
f(x)	-5	-3	-1	1

Grafen øker fordi stigningstallet er $1$ .

Regel / husk dette

En verditabell lages ved å sette valgte x-verdier inn i funksjonsuttrykket. Hvert tallpar i tabellen blir et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å regne feil fortegn når x er negativ.
Å hoppe over mellomregninger i tabellen.
Å plassere x-verdier og y-verdier i feil rad.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14Lett

Verditabell for lineær funksjon

Tema: Verditabell og graf
Type: Tabell

Lag en verditabell for funksjonen $f(x)=0.5x+1$ med x-verdiene som står i tabellen. Bruk tabellen til å beskrive hvordan grafen utvikler seg.

x	-4	-2	0	2	4
f(x)	-1.0	0.0	1.0	2.0	3.0

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter én og én x-verdi inn i funksjonsuttrykket.

For $x=-4$ : $f(-4)=0.5\cdot-4+1=-1.0$ .

For $x=-2$ : $f(-2)=0.5\cdot-2+1=0.0$ .

For $x=0$ : $f(0)=0.5\cdot0+1=1.0$ .

Når x øker med 1, endrer funksjonsverdien seg med stigningstallet. Tabellen viser derfor om grafen går oppover, nedover eller er vannrett.

Fasit

x	-4	-2	0	2	4
f(x)	-1.0	0.0	1.0	2.0	3.0

Grafen øker fordi stigningstallet er $0.5$ .

Regel / husk dette

En verditabell lages ved å sette valgte x-verdier inn i funksjonsuttrykket. Hvert tallpar i tabellen blir et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å regne feil fortegn når x er negativ.
Å hoppe over mellomregninger i tabellen.
Å plassere x-verdier og y-verdier i feil rad.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15Middels

Finn funksjonsuttrykk fra to punkter

Tema: Lineære funksjoner
Type: Regning og forklaring

En lineær funksjon går gjennom punktene $(1,3)$ og $(4,12)$ . Finn stigningstallet, konstantleddet og funksjonsuttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Stigningstallet finner vi ved endring i y delt på endring i x:

$a=\frac{12-3}{4-1}=\frac{9}{3}=3$

Vi bruker formen $f(x)=ax+b$ . Sett inn punktet $(1,3)$ :

$3=3\cdot1+b$

Da får vi $b=0$ . Funksjonen er derfor $f(x)=3x+0$ .

Fasit

Stigningstall: $3$ . Konstantledd: $0$ . Funksjonsuttrykk: $f(x)=3x+0$ .

Regel / husk dette

For en lineær funksjon er $f(x)=ax+b$ , der $a$ er stigningstall og $b$ er skjæring med y-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $x_2-x_1$ over $y_2-y_1$ i stedet for motsatt.
Å glemme å finne konstantleddet.
Å blande punktet $(x,y)$ og skrive inn y som x.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 16Middels

Finn funksjonsuttrykk fra to punkter

Tema: Lineære funksjoner
Type: Regning og forklaring

En lineær funksjon går gjennom punktene $(-2,5)$ og $(3,-5)$ . Finn stigningstallet, konstantleddet og funksjonsuttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Stigningstallet finner vi ved endring i y delt på endring i x:

$a=\frac{-5-5}{3--2}=\frac{-10}{5}=-2$

Vi bruker formen $f(x)=ax+b$ . Sett inn punktet $(-2,5)$ :

$5=-2\cdot-2+b$

Da får vi $b=1$ . Funksjonen er derfor $f(x)=-2x+1$ .

Fasit

Stigningstall: $-2$ . Konstantledd: $1$ . Funksjonsuttrykk: $f(x)=-2x+1$ .

Regel / husk dette

For en lineær funksjon er $f(x)=ax+b$ , der $a$ er stigningstall og $b$ er skjæring med y-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $x_2-x_1$ over $y_2-y_1$ i stedet for motsatt.
Å glemme å finne konstantleddet.
Å blande punktet $(x,y)$ og skrive inn y som x.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 17Middels

Finn funksjonsuttrykk fra to punkter

Tema: Lineære funksjoner
Type: Regning og forklaring

En lineær funksjon går gjennom punktene $(0,-4)$ og $(5,6)$ . Finn stigningstallet, konstantleddet og funksjonsuttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Stigningstallet finner vi ved endring i y delt på endring i x:

$a=\frac{6--4}{5-0}=\frac{10}{5}=2$

Vi bruker formen $f(x)=ax+b$ . Sett inn punktet $(0,-4)$ :

$-4=2\cdot0+b$

Da får vi $b=-4$ . Funksjonen er derfor $f(x)=2x+-4$ .

Fasit

Stigningstall: $2$ . Konstantledd: $-4$ . Funksjonsuttrykk: $f(x)=2x+-4$ .

Regel / husk dette

For en lineær funksjon er $f(x)=ax+b$ , der $a$ er stigningstall og $b$ er skjæring med y-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $x_2-x_1$ over $y_2-y_1$ i stedet for motsatt.
Å glemme å finne konstantleddet.
Å blande punktet $(x,y)$ og skrive inn y som x.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 18Middels

Finn funksjonsuttrykk fra to punkter

Tema: Lineære funksjoner
Type: Regning og forklaring

En lineær funksjon går gjennom punktene $(-3,-1)$ og $(1,7)$ . Finn stigningstallet, konstantleddet og funksjonsuttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Stigningstallet finner vi ved endring i y delt på endring i x:

$a=\frac{7--1}{1--3}=\frac{8}{4}=2$

Vi bruker formen $f(x)=ax+b$ . Sett inn punktet $(-3,-1)$ :

$-1=2\cdot-3+b$

Da får vi $b=5$ . Funksjonen er derfor $f(x)=2x+5$ .

Fasit

Stigningstall: $2$ . Konstantledd: $5$ . Funksjonsuttrykk: $f(x)=2x+5$ .

Regel / husk dette

For en lineær funksjon er $f(x)=ax+b$ , der $a$ er stigningstall og $b$ er skjæring med y-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $x_2-x_1$ over $y_2-y_1$ i stedet for motsatt.
Å glemme å finne konstantleddet.
Å blande punktet $(x,y)$ og skrive inn y som x.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 19Middels

Finn funksjonsuttrykk fra to punkter

Tema: Lineære funksjoner
Type: Regning og forklaring

En lineær funksjon går gjennom punktene $(2,-2)$ og $(6,10)$ . Finn stigningstallet, konstantleddet og funksjonsuttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Stigningstallet finner vi ved endring i y delt på endring i x:

$a=\frac{10--2}{6-2}=\frac{12}{4}=3$

Vi bruker formen $f(x)=ax+b$ . Sett inn punktet $(2,-2)$ :

$-2=3\cdot2+b$

Da får vi $b=-8$ . Funksjonen er derfor $f(x)=3x+-8$ .

Fasit

Stigningstall: $3$ . Konstantledd: $-8$ . Funksjonsuttrykk: $f(x)=3x+-8$ .

Regel / husk dette

For en lineær funksjon er $f(x)=ax+b$ , der $a$ er stigningstall og $b$ er skjæring med y-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $x_2-x_1$ over $y_2-y_1$ i stedet for motsatt.
Å glemme å finne konstantleddet.
Å blande punktet $(x,y)$ og skrive inn y som x.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 20Middels

Finn funksjonsuttrykk fra to punkter

Tema: Lineære funksjoner
Type: Regning og forklaring

En lineær funksjon går gjennom punktene $(-4,8)$ og $(2,-4)$ . Finn stigningstallet, konstantleddet og funksjonsuttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Stigningstallet finner vi ved endring i y delt på endring i x:

$a=\frac{-4-8}{2--4}=\frac{-12}{6}=-2$

Vi bruker formen $f(x)=ax+b$ . Sett inn punktet $(-4,8)$ :

$8=-2\cdot-4+b$

Da får vi $b=0$ . Funksjonen er derfor $f(x)=-2x+0$ .

Fasit

Stigningstall: $-2$ . Konstantledd: $0$ . Funksjonsuttrykk: $f(x)=-2x+0$ .

Regel / husk dette

For en lineær funksjon er $f(x)=ax+b$ , der $a$ er stigningstall og $b$ er skjæring med y-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $x_2-x_1$ over $y_2-y_1$ i stedet for motsatt.
Å glemme å finne konstantleddet.
Å blande punktet $(x,y)$ og skrive inn y som x.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 21Middels

Lineær modell i praktisk situasjon

Tema: Lineære modeller
Type: Tekstoppgave

Et treningssenter tar 120 kr i startgebyr og 45 kr per uke. Lag en lineær modell $f(x)$ . Finn $f(8)$ , og forklar hva stigningstallet og konstantleddet betyr.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi lar $x$ være antall uker. Konstantleddet er startverdien, altså $120$ . Stigningstallet er endringen per uker, altså $45$ .

Modellen blir $f(x)=45x+120$ .

$f(8)=45\cdot8+120=480$

Etter 8 uker er verdien omtrent 480 kroner.

Fasit

$f(x)=45x+120$ , og $f(8)=480$ .

Regel / husk dette

I en lineær modell er konstantleddet startverdien. Stigningstallet forteller hvor mye størrelsen endrer seg når x øker med 1.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om startverdi og stigningstall.
Å glemme enhet i konklusjonen.
Å bruke positivt stigningstall når størrelsen egentlig synker.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 22Middels

Lineær modell i praktisk situasjon

Tema: Lineære modeller
Type: Tekstoppgave

En taxi tar 95 kr i startpris og 18 kr per kilometer. Lag en lineær modell $f(x)$ . Finn $f(12)$ , og forklar hva stigningstallet og konstantleddet betyr.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi lar $x$ være antall kilometer. Konstantleddet er startverdien, altså $95$ . Stigningstallet er endringen per kilometer, altså $18$ .

Modellen blir $f(x)=18x+95$ .

$f(12)=18\cdot12+95=311$

Etter 12 kilometer er verdien omtrent 311 kroner.

Fasit

$f(x)=18x+95$ , og $f(12)=311$ .

Regel / husk dette

I en lineær modell er konstantleddet startverdien. Stigningstallet forteller hvor mye størrelsen endrer seg når x øker med 1.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om startverdi og stigningstall.
Å glemme enhet i konklusjonen.
Å bruke positivt stigningstall når størrelsen egentlig synker.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 23Middels

Lineær modell i praktisk situasjon

Tema: Lineære modeller
Type: Tekstoppgave

En mobilpakke har 79 kr i fast pris og 3 kr per GB ekstra data. Lag en lineær modell $f(x)$ . Finn $f(15)$ , og forklar hva stigningstallet og konstantleddet betyr.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi lar $x$ være antall GB. Konstantleddet er startverdien, altså $79$ . Stigningstallet er endringen per GB, altså $3$ .

Modellen blir $f(x)=3x+79$ .

$f(15)=3\cdot15+79=124$

Etter 15 GB er verdien omtrent 124 kroner.

Fasit

$f(x)=3x+79$ , og $f(15)=124$ .

Regel / husk dette

I en lineær modell er konstantleddet startverdien. Stigningstallet forteller hvor mye størrelsen endrer seg når x øker med 1.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om startverdi og stigningstall.
Å glemme enhet i konklusjonen.
Å bruke positivt stigningstall når størrelsen egentlig synker.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24Middels

Lineær modell i praktisk situasjon

Tema: Lineære modeller
Type: Tekstoppgave

En vanntank inneholder 260 liter og tappes med 12 liter per minutt. Lag en lineær modell $f(x)$ . Finn $f(14)$ , og forklar hva stigningstallet og konstantleddet betyr.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi lar $x$ være antall minutter. Konstantleddet er startverdien, altså $260$ . Stigningstallet er endringen per minutter, altså $-12$ .

Modellen blir $f(x)=-12x+260$ .

$f(14)=-12\cdot14+260=92$

Etter 14 minutter er verdien omtrent 92 liter.

Fasit

$f(x)=-12x+260$ , og $f(14)=92$ .

Regel / husk dette

I en lineær modell er konstantleddet startverdien. Stigningstallet forteller hvor mye størrelsen endrer seg når x øker med 1.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om startverdi og stigningstall.
Å glemme enhet i konklusjonen.
Å bruke positivt stigningstall når størrelsen egentlig synker.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25Middels

Lineær modell i praktisk situasjon

Tema: Lineære modeller
Type: Tekstoppgave

En elev sparer 350 kr fra før og setter inn 80 kr hver måned. Lag en lineær modell $f(x)$ . Finn $f(9)$ , og forklar hva stigningstallet og konstantleddet betyr.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi lar $x$ være antall måneder. Konstantleddet er startverdien, altså $350$ . Stigningstallet er endringen per måneder, altså $80$ .

Modellen blir $f(x)=80x+350$ .

$f(9)=80\cdot9+350=1070$

Etter 9 måneder er verdien omtrent 1070 kroner.

Fasit

$f(x)=80x+350$ , og $f(9)=1070$ .

Regel / husk dette

I en lineær modell er konstantleddet startverdien. Stigningstallet forteller hvor mye størrelsen endrer seg når x øker med 1.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om startverdi og stigningstall.
Å glemme enhet i konklusjonen.
Å bruke positivt stigningstall når størrelsen egentlig synker.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26Middels

Lineær modell i praktisk situasjon

Tema: Lineære modeller
Type: Tekstoppgave

Temperaturen i en kopp te er 82 grader og synker omtrent 4 grader per minutt. Lag en lineær modell $f(x)$ . Finn $f(10)$ , og forklar hva stigningstallet og konstantleddet betyr.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi lar $x$ være antall minutter. Konstantleddet er startverdien, altså $82$ . Stigningstallet er endringen per minutter, altså $-4$ .

Modellen blir $f(x)=-4x+82$ .

$f(10)=-4\cdot10+82=42$

Etter 10 minutter er verdien omtrent 42 grader.

Fasit

$f(x)=-4x+82$ , og $f(10)=42$ .

Regel / husk dette

I en lineær modell er konstantleddet startverdien. Stigningstallet forteller hvor mye størrelsen endrer seg når x øker med 1.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om startverdi og stigningstall.
Å glemme enhet i konklusjonen.
Å bruke positivt stigningstall når størrelsen egentlig synker.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=1x^2+-2x+-3$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	5	0	-3	-4	-3

Siden $a=1$ , vender parabelen opp. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1$

$f(1)=-4$

Punktet er derfor $(1,-4)$ , og dette er et bunnpunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	5	0	-3	-4	-3

Grafen vender opp. Bunnpunkt: $(1,-4)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=1x^2+4x+3$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-1	0	3	8	15

Siden $a=1$ , vender parabelen opp. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2$

$f(-2)=-1$

Punktet er derfor $(-2,-1)$ , og dette er et bunnpunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-1	0	3	8	15

Grafen vender opp. Bunnpunkt: $(-2,-1)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=-1x^2+6x+-5$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-21	-12	-5	0	3

Siden $a=-1$ , vender parabelen ned. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{6}{2\cdot -1}=3$

$f(3)=4$

Punktet er derfor $(3,4)$ , og dette er et toppunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-21	-12	-5	0	3

Grafen vender ned. Toppunkt: $(3,4)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 30Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=2x^2+-4x+-6$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	10	0	-6	-8	-6

Siden $a=2$ , vender parabelen opp. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1$

$f(1)=-8$

Punktet er derfor $(1,-8)$ , og dette er et bunnpunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	10	0	-6	-8	-6

Grafen vender opp. Bunnpunkt: $(1,-8)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=-2x^2+4x+6$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-10	0	6	8	6

Siden $a=-2$ , vender parabelen ned. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{4}{2\cdot -2}=1$

$f(1)=8$

Punktet er derfor $(1,8)$ , og dette er et toppunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-10	0	6	8	6

Grafen vender ned. Toppunkt: $(1,8)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=1x^2+0x+-9$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-5	-8	-9	-8	-5

Siden $a=1$ , vender parabelen opp. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{0}{2\cdot 1}=0$

$f(0)=-9$

Punktet er derfor $(0,-9)$ , og dette er et bunnpunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	-5	-8	-9	-8	-5

Grafen vender opp. Bunnpunkt: $(0,-9)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=3x^2+-6x+0$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	24	9	0	-3	0

Siden $a=3$ , vender parabelen opp. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{-6}{2\cdot 3}=1$

$f(1)=-3$

Punktet er derfor $(1,-3)$ , og dette er et bunnpunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	24	9	0	-3	0

Grafen vender opp. Bunnpunkt: $(1,-3)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 34Middels

Verditabell og topp-/bunnpunkt

Tema: Andregradsfunksjoner
Type: Tabell, graf og regning

Funksjonen er $f(x)=-1x^2+-2x+8$ . Lag en liten verditabell for $x=-2,-1,0,1,2$ , avgjør om grafen vender opp eller ned, og finn topp- eller bunnpunktet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter inn x-verdiene i funksjonsuttrykket for å lage tabellen.

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	8	9	8	5	0

Siden $a=-1$ , vender parabelen ned. Topp- eller bunnpunktet ligger på symmetrilinja $x=-\frac{b}{2a}$ .

$x=-\frac{-2}{2\cdot -1}=-1$

$f(-1)=9$

Punktet er derfor $(-1,9)$ , og dette er et toppunkt.

Fasit

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	8	9	8	5	0

Grafen vender ned. Toppunkt: $(-1,9)$ .

Regel / husk dette

For $f(x)=ax^2+bx+c$ bestemmer fortegnet til $a$ om parabelen vender opp eller ned. Symmetrilinja er $x=-\frac{b}{2a}$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $c$ er topp- eller bunnpunktet.
Å glemme minus i formelen $-b/(2a)$ .
Å regne feil når $a$ eller $b$ er negativ.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $1x^2+-3x+-10=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $1(x--2)(x-5)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x--2=0$ eller $x-5=0$ .

Løsningene er $x=-2$ og $x=5$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=-2$ eller $x=5$ . Nullpunktene er $(-2,0)$ og $(5,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 36Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $1x^2+-7x+6=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $1(x-1)(x-6)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x-1=0$ eller $x-6=0$ .

Løsningene er $x=1$ og $x=6$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=1$ eller $x=6$ . Nullpunktene er $(1,0)$ og $(6,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $2x^2+2x+-24=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $2(x--4)(x-3)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x--4=0$ eller $x-3=0$ .

Løsningene er $x=-4$ og $x=3$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=-4$ eller $x=3$ . Nullpunktene er $(-4,0)$ og $(3,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 38Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $1x^2+-7x+0=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $1(x-0)(x-7)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x-0=0$ eller $x-7=0$ .

Løsningene er $x=0$ og $x=7$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=0$ eller $x=7$ . Nullpunktene er $(0,0)$ og $(7,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 39Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $-1x^2+-6x+-5=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $-1(x--5)(x--1)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x--5=0$ eller $x--1=0$ .

Løsningene er $x=-5$ og $x=-1$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=-5$ eller $x=-1$ . Nullpunktene er $(-5,0)$ og $(-1,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 40Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $-1x^2+10x+-16=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $-1(x-2)(x-8)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x-2=0$ eller $x-8=0$ .

Løsningene er $x=2$ og $x=8$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=2$ eller $x=8$ . Nullpunktene er $(2,0)$ og $(8,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 41Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $1x^2+-6x+9=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $1(x-3)(x-3)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x-3=0$ eller $x-3=0$ .

Løsningene er $x=3$ og $x=3$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=3$ eller $x=3$ . Nullpunktene er $(3,0)$ og $(3,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 42Middels

Finn nullpunkter ved faktorisering

Tema: Andregradsfunksjoner og likninger
Type: Regning og grafisk tolkning

Løs likningen $3x^2+-6x+-24=0$ . Bruk faktorisering dersom det er mulig, og forklar hva løsningene betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er x-verdiene der funksjonsverdien er 0. Når en andregradsfunksjon kan faktoriseres, kan vi bruke nullproduktregelen.

Uttrykket kan skrives som $3(x--2)(x-4)=0$ .

Et produkt er null når minst én faktor er null. Derfor får vi $x--2=0$ eller $x-4=0$ .

Løsningene er $x=-2$ og $x=4$ . Grafisk betyr dette at parabelen skjærer x-aksen i disse x-verdiene.

Fasit

$x=-2$ eller $x=4$ . Nullpunktene er $(-2,0)$ og $(4,0)$ .

Regel / husk dette

Nullproduktregelen: Hvis $A\cdot B=0$ , må $A=0$ eller $B=0$ . Nullpunkter er der grafen skjærer x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å sette hele parentesen lik 1 i stedet for 0.
Å glemme at det ofte finnes to løsninger.
Å skrive nullpunktet som bare y-verdien 0 uten x-verdi.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 43Krevende

Løs andregradslikning med abc-formelen

Tema: Andregradslikninger
Type: Regning

Bruk abc-formelen til å løse likningen $1x^2+-5x+4=0$ . Vis også diskriminanten.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner likningen med $ax^2+bx+c=0$ .

Her er $a=1$ , $b=-5$ og $c=4$ . Diskriminanten er

$D=b^2-4ac=-5^2-4\cdot1\cdot4=9$

Siden $D>0$ , har likningen to reelle løsninger.

$x=\frac{--5\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$

Løsningene blir omtrent $x=1.00$ og $x=4.00$ .

Fasit

To løsninger: $x\approx1.00$ og $x\approx4.00$ .

Regel / husk dette

For $ax^2+bx+c=0$ er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . Diskriminanten $D=b^2-4ac$ forteller hvor mange reelle løsninger likningen har.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke feil fortegn på $-b$ .
Å glemme parentes rundt $2a$ i nevneren.
Å regne diskriminanten feil når b eller c er negativ.

Oppgave 44Krevende

Løs andregradslikning med abc-formelen

Tema: Andregradslikninger
Type: Regning

Bruk abc-formelen til å løse likningen $2x^2+-7x+3=0$ . Vis også diskriminanten.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner likningen med $ax^2+bx+c=0$ .

Her er $a=2$ , $b=-7$ og $c=3$ . Diskriminanten er

$D=b^2-4ac=-7^2-4\cdot2\cdot3=25$

Siden $D>0$ , har likningen to reelle løsninger.

$x=\frac{--7\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}$

Løsningene blir omtrent $x=0.50$ og $x=3.00$ .

Fasit

To løsninger: $x\approx0.50$ og $x\approx3.00$ .

Regel / husk dette

For $ax^2+bx+c=0$ er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . Diskriminanten $D=b^2-4ac$ forteller hvor mange reelle løsninger likningen har.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke feil fortegn på $-b$ .
Å glemme parentes rundt $2a$ i nevneren.
Å regne diskriminanten feil når b eller c er negativ.

Oppgave 45Krevende

Løs andregradslikning med abc-formelen

Tema: Andregradslikninger
Type: Regning

Bruk abc-formelen til å løse likningen $1x^2+2x+-8=0$ . Vis også diskriminanten.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner likningen med $ax^2+bx+c=0$ .

Her er $a=1$ , $b=2$ og $c=-8$ . Diskriminanten er

$D=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot-8=36$

Siden $D>0$ , har likningen to reelle løsninger.

$x=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}$

Løsningene blir omtrent $x=-4.00$ og $x=2.00$ .

Fasit

To løsninger: $x\approx-4.00$ og $x\approx2.00$ .

Regel / husk dette

For $ax^2+bx+c=0$ er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . Diskriminanten $D=b^2-4ac$ forteller hvor mange reelle løsninger likningen har.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke feil fortegn på $-b$ .
Å glemme parentes rundt $2a$ i nevneren.
Å regne diskriminanten feil når b eller c er negativ.

Oppgave 46Krevende

Løs andregradslikning med abc-formelen

Tema: Andregradslikninger
Type: Regning

Bruk abc-formelen til å løse likningen $3x^2+4x+-4=0$ . Vis også diskriminanten.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner likningen med $ax^2+bx+c=0$ .

Her er $a=3$ , $b=4$ og $c=-4$ . Diskriminanten er

$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot3\cdot-4=64$

Siden $D>0$ , har likningen to reelle løsninger.

$x=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}$

Løsningene blir omtrent $x=-2.00$ og $x=0.67$ .

Fasit

To løsninger: $x\approx-2.00$ og $x\approx0.67$ .

Regel / husk dette

For $ax^2+bx+c=0$ er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . Diskriminanten $D=b^2-4ac$ forteller hvor mange reelle løsninger likningen har.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke feil fortegn på $-b$ .
Å glemme parentes rundt $2a$ i nevneren.
Å regne diskriminanten feil når b eller c er negativ.

Oppgave 47Krevende

Løs andregradslikning med abc-formelen

Tema: Andregradslikninger
Type: Regning

Bruk abc-formelen til å løse likningen $-1x^2+5x+6=0$ . Vis også diskriminanten.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner likningen med $ax^2+bx+c=0$ .

Her er $a=-1$ , $b=5$ og $c=6$ . Diskriminanten er

$D=b^2-4ac=5^2-4\cdot-1\cdot6=49$

Siden $D>0$ , har likningen to reelle løsninger.

$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot-1}$

Løsningene blir omtrent $x=6.00$ og $x=-1.00$ .

Fasit

To løsninger: $x\approx6.00$ og $x\approx-1.00$ .

Regel / husk dette

For $ax^2+bx+c=0$ er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . Diskriminanten $D=b^2-4ac$ forteller hvor mange reelle løsninger likningen har.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke feil fortegn på $-b$ .
Å glemme parentes rundt $2a$ i nevneren.
Å regne diskriminanten feil når b eller c er negativ.

Oppgave 48Krevende

Løs andregradslikning med abc-formelen

Tema: Andregradslikninger
Type: Regning

Bruk abc-formelen til å løse likningen $2x^2+4x+-6=0$ . Vis også diskriminanten.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner likningen med $ax^2+bx+c=0$ .

Her er $a=2$ , $b=4$ og $c=-6$ . Diskriminanten er

$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot2\cdot-6=64$

Siden $D>0$ , har likningen to reelle løsninger.

$x=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2\cdot2}$

Løsningene blir omtrent $x=-3.00$ og $x=1.00$ .

Fasit

To løsninger: $x\approx-3.00$ og $x\approx1.00$ .

Regel / husk dette

For $ax^2+bx+c=0$ er $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . Diskriminanten $D=b^2-4ac$ forteller hvor mange reelle løsninger likningen har.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke feil fortegn på $-b$ .
Å glemme parentes rundt $2a$ i nevneren.
Å regne diskriminanten feil når b eller c er negativ.

Oppgave 49Middels

Grad og ledende koeffisient

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Begrepsoppgave

Bestem graden til polynomfunksjonen $f(x)=2x^3-5x^2+x-7$ , finn ledende koeffisient, og beskriv grovt hvordan grafen oppfører seg for store positive og negative x-verdier.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Graden til et polynom er den største eksponenten til x i uttrykket. Ledende koeffisient er tallet foran leddet med høyest grad.

I $f(x)=2x^3-5x^2+x-7$ er høyeste eksponent $3$ , derfor er graden $3$ . Ledende koeffisient er $2$ .

Siden graden er oddetall, går endene hver sin vei. Fordi ledende koeffisient er positiv, går grafen ned til venstre og opp til høyre.

Fasit

Grad: $3$ . Ledende koeffisient: $2$ .

Regel / husk dette

I et polynom er det leddet med høyest eksponent som bestemmer graden og hovedformen langt ute på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å se på første ledd uten å sjekke om uttrykket er sortert.
Å tro at konstantleddet bestemmer graden.
Å blande grad og antall ledd.

Oppgave 50Middels

Grad og ledende koeffisient

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Begrepsoppgave

Bestem graden til polynomfunksjonen $f(x)=-x^4+3x^2-1$ , finn ledende koeffisient, og beskriv grovt hvordan grafen oppfører seg for store positive og negative x-verdier.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Graden til et polynom er den største eksponenten til x i uttrykket. Ledende koeffisient er tallet foran leddet med høyest grad.

I $f(x)=-x^4+3x^2-1$ er høyeste eksponent $4$ , derfor er graden $4$ . Ledende koeffisient er $-1$ .

Siden graden er partall, går begge endene av grafen samme vei. Fordi ledende koeffisient er negativ, går begge ender nedover.

Fasit

Grad: $4$ . Ledende koeffisient: $-1$ .

Regel / husk dette

I et polynom er det leddet med høyest eksponent som bestemmer graden og hovedformen langt ute på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å se på første ledd uten å sjekke om uttrykket er sortert.
Å tro at konstantleddet bestemmer graden.
Å blande grad og antall ledd.

Oppgave 51Middels

Grad og ledende koeffisient

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Begrepsoppgave

Bestem graden til polynomfunksjonen $f(x)=4x^5-2x+9$ , finn ledende koeffisient, og beskriv grovt hvordan grafen oppfører seg for store positive og negative x-verdier.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Graden til et polynom er den største eksponenten til x i uttrykket. Ledende koeffisient er tallet foran leddet med høyest grad.

I $f(x)=4x^5-2x+9$ er høyeste eksponent $5$ , derfor er graden $5$ . Ledende koeffisient er $4$ .

Siden graden er oddetall, går endene hver sin vei. Fordi ledende koeffisient er positiv, går grafen ned til venstre og opp til høyre.

Fasit

Grad: $5$ . Ledende koeffisient: $4$ .

Regel / husk dette

I et polynom er det leddet med høyest eksponent som bestemmer graden og hovedformen langt ute på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å se på første ledd uten å sjekke om uttrykket er sortert.
Å tro at konstantleddet bestemmer graden.
Å blande grad og antall ledd.

Oppgave 52Middels

Grad og ledende koeffisient

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Begrepsoppgave

Bestem graden til polynomfunksjonen $f(x)=7-3x^2+x^6$ , finn ledende koeffisient, og beskriv grovt hvordan grafen oppfører seg for store positive og negative x-verdier.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Graden til et polynom er den største eksponenten til x i uttrykket. Ledende koeffisient er tallet foran leddet med høyest grad.

I $f(x)=7-3x^2+x^6$ er høyeste eksponent $6$ , derfor er graden $6$ . Ledende koeffisient er $1$ .

Siden graden er partall, går begge endene av grafen samme vei. Fordi ledende koeffisient er positiv, går begge ender oppover.

Fasit

Grad: $6$ . Ledende koeffisient: $1$ .

Regel / husk dette

I et polynom er det leddet med høyest eksponent som bestemmer graden og hovedformen langt ute på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å se på første ledd uten å sjekke om uttrykket er sortert.
Å tro at konstantleddet bestemmer graden.
Å blande grad og antall ledd.

Oppgave 53Middels

Grad og ledende koeffisient

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Begrepsoppgave

Bestem graden til polynomfunksjonen $f(x)=-2x^3+8x$ , finn ledende koeffisient, og beskriv grovt hvordan grafen oppfører seg for store positive og negative x-verdier.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Graden til et polynom er den største eksponenten til x i uttrykket. Ledende koeffisient er tallet foran leddet med høyest grad.

I $f(x)=-2x^3+8x$ er høyeste eksponent $3$ , derfor er graden $3$ . Ledende koeffisient er $-2$ .

Siden graden er oddetall, går endene hver sin vei. Fordi ledende koeffisient er negativ, går grafen opp til venstre og ned til høyre.

Fasit

Grad: $3$ . Ledende koeffisient: $-2$ .

Regel / husk dette

I et polynom er det leddet med høyest eksponent som bestemmer graden og hovedformen langt ute på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å se på første ledd uten å sjekke om uttrykket er sortert.
Å tro at konstantleddet bestemmer graden.
Å blande grad og antall ledd.

Oppgave 54Middels

Grad og ledende koeffisient

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Begrepsoppgave

Bestem graden til polynomfunksjonen $f(x)=0.5x^4-6x^2+2$ , finn ledende koeffisient, og beskriv grovt hvordan grafen oppfører seg for store positive og negative x-verdier.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Graden til et polynom er den største eksponenten til x i uttrykket. Ledende koeffisient er tallet foran leddet med høyest grad.

I $f(x)=0.5x^4-6x^2+2$ er høyeste eksponent $4$ , derfor er graden $4$ . Ledende koeffisient er $0.5$ .

Siden graden er partall, går begge endene av grafen samme vei. Fordi ledende koeffisient er positiv, går begge ender oppover.

Fasit

Grad: $4$ . Ledende koeffisient: $0.5$ .

Regel / husk dette

I et polynom er det leddet med høyest eksponent som bestemmer graden og hovedformen langt ute på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å se på første ledd uten å sjekke om uttrykket er sortert.
Å tro at konstantleddet bestemmer graden.
Å blande grad og antall ledd.

Oppgave 55Middels

Nullpunkter fra faktorisert polynom

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

En polynomfunksjon er gitt på faktorisert form: $f(x)=1(x--3)(x-1)(x-4)$ . Finn nullpunktene, og forklar hvordan du kan se dem uten å tegne grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når funksjonen er skrevet som produkt av faktorer, kan vi bruke nullproduktregelen. Funksjonsverdien blir 0 når minst én faktor er 0.

Faktoren $(x--3)$ blir 0 når $x=-3$ .

Faktoren $(x-1)$ blir 0 når $x=1$ .

Faktoren $(x-4)$ blir 0 når $x=4$ .

Dermed er nullpunktene x-verdiene som gjør en av parentesene lik null.

Fasit

Nullpunktene er $x=-3$ , $x=1$ , $x=4$ .

Regel / husk dette

En faktor $(x-r)$ gir nullpunkt $x=r$ . Husk at fortegnet inne i parentesen snus når du finner nullpunktet.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å skrive nullpunktet med motsatt fortegn.
Å glemme nullpunktet fra faktoren $x$ .
Å tro at koeffisienten foran parentesene gir et ekstra nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 56Middels

Nullpunkter fra faktorisert polynom

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

En polynomfunksjon er gitt på faktorisert form: $f(x)=2(x--2)(x-0)(x-5)$ . Finn nullpunktene, og forklar hvordan du kan se dem uten å tegne grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når funksjonen er skrevet som produkt av faktorer, kan vi bruke nullproduktregelen. Funksjonsverdien blir 0 når minst én faktor er 0.

Faktoren $(x--2)$ blir 0 når $x=-2$ .

Faktoren $(x-0)$ blir 0 når $x=0$ .

Faktoren $(x-5)$ blir 0 når $x=5$ .

Dermed er nullpunktene x-verdiene som gjør en av parentesene lik null.

Fasit

Nullpunktene er $x=-2$ , $x=0$ , $x=5$ .

Regel / husk dette

En faktor $(x-r)$ gir nullpunkt $x=r$ . Husk at fortegnet inne i parentesen snus når du finner nullpunktet.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å skrive nullpunktet med motsatt fortegn.
Å glemme nullpunktet fra faktoren $x$ .
Å tro at koeffisienten foran parentesene gir et ekstra nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 57Middels

Nullpunkter fra faktorisert polynom

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

En polynomfunksjon er gitt på faktorisert form: $f(x)=-1(x-1)(x-2)(x-6)$ . Finn nullpunktene, og forklar hvordan du kan se dem uten å tegne grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når funksjonen er skrevet som produkt av faktorer, kan vi bruke nullproduktregelen. Funksjonsverdien blir 0 når minst én faktor er 0.

Faktoren $(x-1)$ blir 0 når $x=1$ .

Faktoren $(x-2)$ blir 0 når $x=2$ .

Faktoren $(x-6)$ blir 0 når $x=6$ .

Dermed er nullpunktene x-verdiene som gjør en av parentesene lik null.

Fasit

Nullpunktene er $x=1$ , $x=2$ , $x=6$ .

Regel / husk dette

En faktor $(x-r)$ gir nullpunkt $x=r$ . Husk at fortegnet inne i parentesen snus når du finner nullpunktet.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å skrive nullpunktet med motsatt fortegn.
Å glemme nullpunktet fra faktoren $x$ .
Å tro at koeffisienten foran parentesene gir et ekstra nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 58Middels

Nullpunkter fra faktorisert polynom

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

En polynomfunksjon er gitt på faktorisert form: $f(x)=1(x--4)(x--1)(x-3)$ . Finn nullpunktene, og forklar hvordan du kan se dem uten å tegne grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når funksjonen er skrevet som produkt av faktorer, kan vi bruke nullproduktregelen. Funksjonsverdien blir 0 når minst én faktor er 0.

Faktoren $(x--4)$ blir 0 når $x=-4$ .

Faktoren $(x--1)$ blir 0 når $x=-1$ .

Faktoren $(x-3)$ blir 0 når $x=3$ .

Dermed er nullpunktene x-verdiene som gjør en av parentesene lik null.

Fasit

Nullpunktene er $x=-4$ , $x=-1$ , $x=3$ .

Regel / husk dette

En faktor $(x-r)$ gir nullpunkt $x=r$ . Husk at fortegnet inne i parentesen snus når du finner nullpunktet.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å skrive nullpunktet med motsatt fortegn.
Å glemme nullpunktet fra faktoren $x$ .
Å tro at koeffisienten foran parentesene gir et ekstra nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 59Middels

Nullpunkter fra faktorisert polynom

Tema: Polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

En polynomfunksjon er gitt på faktorisert form: $f(x)=1(x--5)(x-2)(x-2)$ . Finn nullpunktene, og forklar hvordan du kan se dem uten å tegne grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når funksjonen er skrevet som produkt av faktorer, kan vi bruke nullproduktregelen. Funksjonsverdien blir 0 når minst én faktor er 0.

Faktoren $(x--5)$ blir 0 når $x=-5$ .

Faktoren $(x-2)$ blir 0 når $x=2$ .

Dermed er nullpunktene x-verdiene som gjør en av parentesene lik null.

Fasit

Nullpunktene er $x=-5$ , $x=2$ , $x=2$ .

Regel / husk dette

En faktor $(x-r)$ gir nullpunkt $x=r$ . Husk at fortegnet inne i parentesen snus når du finner nullpunktet.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å skrive nullpunktet med motsatt fortegn.
Å glemme nullpunktet fra faktoren $x$ .
Å tro at koeffisienten foran parentesene gir et ekstra nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 60Middels

Tolke tabell med andregradsmodell

Tema: Matematiske modeller
Type: Tabell og modellering

Tabellen viser en modell for høyden til en ball. Lag en skisse av grafen, forklar hvorfor en andregradsmodell kan passe, og finn omtrent maksimalverdien fra tabellen.

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y	0.0	3.5	6.0	7.5	8.0	7.5	6.0	3.5	0.0

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi ser at y-verdiene først øker og deretter minker. Det tyder på en parabel, altså en andregradsmodell, fordi grafen har ett tydelig toppunkt.

Den største verdien i tabellen er $8.0$ , og den skjer når $x=4$ .

I denne sammenhengen betyr det at maksimalverdien er omtrent $8.0$ meter når $x=4$ sekunder.

Fasit

En andregradsmodell passer fordi verdiene øker og deretter minker. Maksimum er omtrent $8.0$ meter ved $x=4$ .

Regel / husk dette

Når en størrelse øker til et toppunkt og deretter minker, er en andregradsfunksjon ofte en aktuell modell. Tabellen gir en tilnærming; graf eller regresjon kan gi mer presist svar.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å velge lineær modell selv om veksten ikke er konstant.
Å lese av maksimum som siste verdi i tabellen.
Å glemme å tolke svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 61Middels

Tolke tabell med andregradsmodell

Tema: Matematiske modeller
Type: Tabell og modellering

Tabellen viser en modell for antall besøkende på en nettside etter en kampanje. Lag en skisse av grafen, forklar hvorfor en andregradsmodell kan passe, og finn omtrent maksimalverdien fra tabellen.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	72	93	108	117	120	117	108	93	72

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi ser at y-verdiene først øker og deretter minker. Det tyder på en parabel, altså en andregradsmodell, fordi grafen har ett tydelig toppunkt.

Den største verdien i tabellen er $120$ , og den skjer når $x=5$ .

I denne sammenhengen betyr det at maksimalverdien er omtrent $120$ besøkende når $x=5$ dager.

Fasit

En andregradsmodell passer fordi verdiene øker og deretter minker. Maksimum er omtrent $120$ besøkende ved $x=5$ .

Regel / husk dette

Når en størrelse øker til et toppunkt og deretter minker, er en andregradsfunksjon ofte en aktuell modell. Tabellen gir en tilnærming; graf eller regresjon kan gi mer presist svar.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å velge lineær modell selv om veksten ikke er konstant.
Å lese av maksimum som siste verdi i tabellen.
Å glemme å tolke svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 62Middels

Tolke tabell med andregradsmodell

Tema: Matematiske modeller
Type: Tabell og modellering

Tabellen viser en modell for temperaturen gjennom en dag. Lag en skisse av grafen, forklar hvorfor en andregradsmodell kan passe, og finn omtrent maksimalverdien fra tabellen.

x	8	10	12	14	16	18
y	20.0	21.3	21.9	21.9	21.3	20.0

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi ser at y-verdiene først øker og deretter minker. Det tyder på en parabel, altså en andregradsmodell, fordi grafen har ett tydelig toppunkt.

Den største verdien i tabellen er $21.9$ , og den skjer når $x=12$ .

I denne sammenhengen betyr det at maksimalverdien er omtrent $21.9$ grader når $x=12$ klokkeslett.

Fasit

En andregradsmodell passer fordi verdiene øker og deretter minker. Maksimum er omtrent $21.9$ grader ved $x=12$ .

Regel / husk dette

Når en størrelse øker til et toppunkt og deretter minker, er en andregradsfunksjon ofte en aktuell modell. Tabellen gir en tilnærming; graf eller regresjon kan gi mer presist svar.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å velge lineær modell selv om veksten ikke er konstant.
Å lese av maksimum som siste verdi i tabellen.
Å glemme å tolke svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 63Middels

Tolke tabell med andregradsmodell

Tema: Matematiske modeller
Type: Tabell og modellering

Tabellen viser en modell for overskuddet fra et elevarrangement. Lag en skisse av grafen, forklar hvorfor en andregradsmodell kan passe, og finn omtrent maksimalverdien fra tabellen.

x	4	6	8	10	12	14
y	680	872	968	968	872	680

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi ser at y-verdiene først øker og deretter minker. Det tyder på en parabel, altså en andregradsmodell, fordi grafen har ett tydelig toppunkt.

Den største verdien i tabellen er $968$ , og den skjer når $x=8$ .

I denne sammenhengen betyr det at maksimalverdien er omtrent $968$ kroner når $x=8$ pris i tiere kroner.

Fasit

En andregradsmodell passer fordi verdiene øker og deretter minker. Maksimum er omtrent $968$ kroner ved $x=8$ .

Regel / husk dette

Når en størrelse øker til et toppunkt og deretter minker, er en andregradsfunksjon ofte en aktuell modell. Tabellen gir en tilnærming; graf eller regresjon kan gi mer presist svar.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å velge lineær modell selv om veksten ikke er konstant.
Å lese av maksimum som siste verdi i tabellen.
Å glemme å tolke svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 64Middels

Tolke tabell med andregradsmodell

Tema: Matematiske modeller
Type: Tabell og modellering

Tabellen viser en modell for arealet av en innhegning. Lag en skisse av grafen, forklar hvorfor en andregradsmodell kan passe, og finn omtrent maksimalverdien fra tabellen.

x	2	4	6	8	10	12	14	16
y	64	112	144	160	160	144	112	64

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi ser at y-verdiene først øker og deretter minker. Det tyder på en parabel, altså en andregradsmodell, fordi grafen har ett tydelig toppunkt.

Den største verdien i tabellen er $160$ , og den skjer når $x=8$ .

I denne sammenhengen betyr det at maksimalverdien er omtrent $160$ kvadratmeter når $x=8$ meter.

Fasit

En andregradsmodell passer fordi verdiene øker og deretter minker. Maksimum er omtrent $160$ kvadratmeter ved $x=8$ .

Regel / husk dette

Når en størrelse øker til et toppunkt og deretter minker, er en andregradsfunksjon ofte en aktuell modell. Tabellen gir en tilnærming; graf eller regresjon kan gi mer presist svar.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å velge lineær modell selv om veksten ikke er konstant.
Å lese av maksimum som siste verdi i tabellen.
Å glemme å tolke svaret i konteksten.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 65Krevende

Gjennomsnittlig vekstfart

Tema: Funksjoner og vekst
Type: Regning og grafisk forklaring

Funksjonen er $f(x)=x^2+2x$ . Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x=1$ til $x=4$ , og forklar hva svaret betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene på grafen.

Først finner vi funksjonsverdiene: $f(1)=3$ og $f(4)=24$ .

$\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{24-3}{3}=7$

Det betyr at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $7$ per x-enhet i intervallet.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $7$ .

Regel / husk dette

Gjennomsnittlig vekstfart på intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $f(b)+f(a)$ i stedet for differansen.
Å dele på feil x-intervall.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentan vekstfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 66Krevende

Gjennomsnittlig vekstfart

Tema: Funksjoner og vekst
Type: Regning og grafisk forklaring

Funksjonen er $f(x)=-x^2+8x$ . Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x=2$ til $x=5$ , og forklar hva svaret betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene på grafen.

Først finner vi funksjonsverdiene: $f(2)=12$ og $f(5)=15$ .

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{15-12}{3}=1$

Det betyr at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $1$ per x-enhet i intervallet.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $1$ .

Regel / husk dette

Gjennomsnittlig vekstfart på intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $f(b)+f(a)$ i stedet for differansen.
Å dele på feil x-intervall.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentan vekstfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 67Krevende

Gjennomsnittlig vekstfart

Tema: Funksjoner og vekst
Type: Regning og grafisk forklaring

Funksjonen er $f(x)=2x^2-3$ . Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x=-1$ til $x=3$ , og forklar hva svaret betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene på grafen.

Først finner vi funksjonsverdiene: $f(-1)=-1$ og $f(3)=15$ .

$\frac{f(3)-f(-1)}{3--1}=\frac{15--1}{4}=4$

Det betyr at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $4$ per x-enhet i intervallet.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $4$ .

Regel / husk dette

Gjennomsnittlig vekstfart på intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $f(b)+f(a)$ i stedet for differansen.
Å dele på feil x-intervall.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentan vekstfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 68Krevende

Gjennomsnittlig vekstfart

Tema: Funksjoner og vekst
Type: Regning og grafisk forklaring

Funksjonen er $f(x)=0.5x^2+4$ . Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x=0$ til $x=6$ , og forklar hva svaret betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene på grafen.

Først finner vi funksjonsverdiene: $f(0)=4$ og $f(6)=22$ .

$\frac{f(6)-f(0)}{6-0}=\frac{22-4}{6}=3$

Det betyr at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $3$ per x-enhet i intervallet.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $3$ .

Regel / husk dette

Gjennomsnittlig vekstfart på intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $f(b)+f(a)$ i stedet for differansen.
Å dele på feil x-intervall.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentan vekstfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 69Krevende

Gjennomsnittlig vekstfart

Tema: Funksjoner og vekst
Type: Regning og grafisk forklaring

Funksjonen er $f(x)=-2x^2+12x$ . Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $x=1$ til $x=4$ , og forklar hva svaret betyr grafisk.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til sekanten gjennom de to punktene på grafen.

Først finner vi funksjonsverdiene: $f(1)=10$ og $f(4)=16$ .

$\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{16-10}{3}=2$

Det betyr at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $2$ per x-enhet i intervallet.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $2$ .

Regel / husk dette

Gjennomsnittlig vekstfart på intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bruke $f(b)+f(a)$ i stedet for differansen.
Å dele på feil x-intervall.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentan vekstfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 70Krevende

Løs ulikhet med polynom

Tema: Polynomfunksjoner og ulikheter
Type: Fortegn og graf

Løs ulikheten $1(x--2)(x-4) >0$ . Bruk nullpunktene og fortegnslinje eller grafisk tenkning.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er $x=-2$ og $x=4$ . Disse deler tallinja i tre intervaller.

Vi tester ett tall i hvert intervall for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

Test $x=-3$ : uttrykket får verdien $7$ .

Test $x=1$ : uttrykket får verdien $-9$ .

Test $x=5$ : uttrykket får verdien $7$ .

Siden ulikheten er $>0$ , tar vi intervallene som oppfyller kravet. Nullpunktene tas ikke med fordi ulikheten ikke har likhetstegn.

Fasit

Se løsningen: intervallene velges ut fra fortegnet til uttrykket. Bruk åpne endepunkter uten likhetstegn og lukkede endepunkter med likhetstegn.

Regel / husk dette

Nullpunktene deler tallinja i intervaller. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen til å se hvor funksjonen ligger over eller under x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å glemme å sjekke om endepunktene skal være med.
Å tro at løsningen alltid er mellom nullpunktene.
Å ikke ta hensyn til om parabelen vender opp eller ned.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 71Krevende

Løs ulikhet med polynom

Tema: Polynomfunksjoner og ulikheter
Type: Fortegn og graf

Løs ulikheten $1(x-1)(x-5) <0$ . Bruk nullpunktene og fortegnslinje eller grafisk tenkning.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er $x=1$ og $x=5$ . Disse deler tallinja i tre intervaller.

Vi tester ett tall i hvert intervall for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

Test $x=0$ : uttrykket får verdien $5$ .

Test $x=3$ : uttrykket får verdien $-4$ .

Test $x=6$ : uttrykket får verdien $5$ .

Siden ulikheten er $<0$ , tar vi intervallene som oppfyller kravet. Nullpunktene tas ikke med fordi ulikheten ikke har likhetstegn.

Fasit

Se løsningen: intervallene velges ut fra fortegnet til uttrykket. Bruk åpne endepunkter uten likhetstegn og lukkede endepunkter med likhetstegn.

Regel / husk dette

Nullpunktene deler tallinja i intervaller. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen til å se hvor funksjonen ligger over eller under x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å glemme å sjekke om endepunktene skal være med.
Å tro at løsningen alltid er mellom nullpunktene.
Å ikke ta hensyn til om parabelen vender opp eller ned.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 72Krevende

Løs ulikhet med polynom

Tema: Polynomfunksjoner og ulikheter
Type: Fortegn og graf

Løs ulikheten $-1(x--3)(x-2) >0$ . Bruk nullpunktene og fortegnslinje eller grafisk tenkning.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er $x=-3$ og $x=2$ . Disse deler tallinja i tre intervaller.

Vi tester ett tall i hvert intervall for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

Test $x=-4$ : uttrykket får verdien $-6$ .

Test $x=-0.5$ : uttrykket får verdien $6.25$ .

Test $x=3$ : uttrykket får verdien $-6$ .

Siden ulikheten er $>0$ , tar vi intervallene som oppfyller kravet. Nullpunktene tas ikke med fordi ulikheten ikke har likhetstegn.

Fasit

Se løsningen: intervallene velges ut fra fortegnet til uttrykket. Bruk åpne endepunkter uten likhetstegn og lukkede endepunkter med likhetstegn.

Regel / husk dette

Nullpunktene deler tallinja i intervaller. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen til å se hvor funksjonen ligger over eller under x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å glemme å sjekke om endepunktene skal være med.
Å tro at løsningen alltid er mellom nullpunktene.
Å ikke ta hensyn til om parabelen vender opp eller ned.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 73Krevende

Løs ulikhet med polynom

Tema: Polynomfunksjoner og ulikheter
Type: Fortegn og graf

Løs ulikheten $2(x--4)(x-0) <=0$ . Bruk nullpunktene og fortegnslinje eller grafisk tenkning.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er $x=-4$ og $x=0$ . Disse deler tallinja i tre intervaller.

Vi tester ett tall i hvert intervall for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

Test $x=-5$ : uttrykket får verdien $10$ .

Test $x=-2$ : uttrykket får verdien $-8$ .

Test $x=1$ : uttrykket får verdien $10$ .

Siden ulikheten er $<=0$ , tar vi intervallene som oppfyller kravet. Nullpunktene tas med fordi ulikheten har likhetstegn.

Fasit

Se løsningen: intervallene velges ut fra fortegnet til uttrykket. Bruk åpne endepunkter uten likhetstegn og lukkede endepunkter med likhetstegn.

Regel / husk dette

Nullpunktene deler tallinja i intervaller. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen til å se hvor funksjonen ligger over eller under x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å glemme å sjekke om endepunktene skal være med.
Å tro at løsningen alltid er mellom nullpunktene.
Å ikke ta hensyn til om parabelen vender opp eller ned.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 74Krevende

Løs ulikhet med polynom

Tema: Polynomfunksjoner og ulikheter
Type: Fortegn og graf

Løs ulikheten $-1(x-2)(x-6) <0$ . Bruk nullpunktene og fortegnslinje eller grafisk tenkning.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunktene er $x=2$ og $x=6$ . Disse deler tallinja i tre intervaller.

Vi tester ett tall i hvert intervall for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

Test $x=1$ : uttrykket får verdien $-5$ .

Test $x=4$ : uttrykket får verdien $4$ .

Test $x=7$ : uttrykket får verdien $-5$ .

Siden ulikheten er $<0$ , tar vi intervallene som oppfyller kravet. Nullpunktene tas ikke med fordi ulikheten ikke har likhetstegn.

Fasit

Se løsningen: intervallene velges ut fra fortegnet til uttrykket. Bruk åpne endepunkter uten likhetstegn og lukkede endepunkter med likhetstegn.

Regel / husk dette

Nullpunktene deler tallinja i intervaller. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen til å se hvor funksjonen ligger over eller under x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å glemme å sjekke om endepunktene skal være med.
Å tro at løsningen alltid er mellom nullpunktene.
Å ikke ta hensyn til om parabelen vender opp eller ned.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 75Krevende

Areal som andregradsfunksjon

Tema: Modellering med polynomfunksjoner
Type: Geometri og funksjon

Et rektangel har omkrets 40 m. La den ene siden være $x$ meter. Lag en funksjon for arealet, og finn hvilke sidelengder som gir størst areal.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Omkretsen er $2x+2y=40$ . Da får vi $x+y=20$ , altså $y=20-x$ .

Arealet blir $A(x)=x(20-x)=-x^2+20x$ .

Parabelen vender ned, så toppunktet gir størst areal. $x=-\frac{20}{2\cdot(-1)}=10$ .

Da er den andre siden også $10$ , og maksimalt areal er $100$ .

Fasit

Størst areal er $100\,m^2$ , med sidelengdene $10$ m og $10$ m.

Regel / husk dette

Når en geometrisk størrelse kan uttrykkes med én variabel, kan du lage en funksjon. Maksimum eller minimum finnes ofte i topp- eller bunnpunktet til en andregradsfunksjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å lage uttrykk for omkrets, men ikke areal.
Å glemme at begge kortsidene må telles med.
Å finne nullpunktene når oppgaven spør om størst areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 76Krevende

Areal som andregradsfunksjon

Tema: Modellering med polynomfunksjoner
Type: Geometri og funksjon

Et rektangel har omkrets 60 m. La den ene siden være $x$ meter. Lag en funksjon for arealet, og finn hvilke sidelengder som gir størst areal.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Omkretsen er $2x+2y=60$ . Da får vi $x+y=30$ , altså $y=30-x$ .

Arealet blir $A(x)=x(30-x)=-x^2+30x$ .

Parabelen vender ned, så toppunktet gir størst areal. $x=-\frac{30}{2\cdot(-1)}=15$ .

Da er den andre siden også $15$ , og maksimalt areal er $225$ .

Fasit

Størst areal er $225\,m^2$ , med sidelengdene $15$ m og $15$ m.

Regel / husk dette

Når en geometrisk størrelse kan uttrykkes med én variabel, kan du lage en funksjon. Maksimum eller minimum finnes ofte i topp- eller bunnpunktet til en andregradsfunksjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å lage uttrykk for omkrets, men ikke areal.
Å glemme at begge kortsidene må telles med.
Å finne nullpunktene når oppgaven spør om størst areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 77Krevende

Areal som andregradsfunksjon

Tema: Modellering med polynomfunksjoner
Type: Geometri og funksjon

Du har 24 m gjerde og skal lage et rektangulært område inntil en vegg. Veggen utgjør den ene langsiden, så du trenger bare gjerde på tre sider. La bredden være $x$ . Lag en funksjon for arealet, og finn størst mulig areal.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Hvis bredden er $x$ , brukes $2x$ meter gjerde på de to kortsidene. Da er langsiden $24-2x$ .

Arealet blir

$A(x)=x(24-2x)=-2x^2+24x$

Dette er en parabel som vender ned. Toppunktet gir størst areal:

$x=-\frac{24}{2\cdot(-2)}=6$

Langsiden blir $24-2\cdot6=12$ , og arealet blir $6\cdot12=72$ .

Fasit

Størst areal er $72\,m^2$ , med bredde 6 m og lengde 12 m.

Regel / husk dette

Når en geometrisk størrelse kan uttrykkes med én variabel, kan du lage en funksjon. Maksimum eller minimum finnes ofte i topp- eller bunnpunktet til en andregradsfunksjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å lage uttrykk for omkrets, men ikke areal.
Å glemme at begge kortsidene må telles med.
Å finne nullpunktene når oppgaven spør om størst areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 78Middels

Forklaringsoppgave om funksjoner

Tema: Funksjoner og modeller
Type: Begrepsforklaring

Forklar forskjellen på en lineær funksjon og en andregradsfunksjon. Bruk både graf, uttrykk og vekst som del av forklaringen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

En lineær funksjon har uttrykk på formen $f(x)=ax+b$ og grafen er en rett linje. Den har konstant vekst: når x øker med 1, endrer y seg alltid med samme tall. En andregradsfunksjon har uttrykk på formen $f(x)=ax^2+bx+c$ og grafen er en parabel. Veksten er ikke konstant, og grafen har et topp- eller bunnpunkt.

Fasit

Se modellsvar i løsningen.

Regel / husk dette

I forklaringsoppgaver må du bruke presise fagbegreper og knytte dem til eksempler. En god forklaring viser sammenheng mellom uttrykk, graf, tabell og praktisk betydning.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bare gi en definisjon uten eksempel.
Å blande nullpunkt og skjæring med y-aksen.
Å skrive at en modell alltid er sann.

Oppgave 79Middels

Forklaringsoppgave om funksjoner

Tema: Funksjoner og modeller
Type: Begrepsforklaring

En elev sier: «Hvis grafen går gjennom origo, må funksjonen være lineær.» Forklar hvorfor dette ikke alltid stemmer, og gi et moteksempel.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Påstanden stemmer ikke. Mange funksjoner kan gå gjennom origo uten å være lineære. For eksempel går $f(x)=x^2$ gjennom $(0,0)$ , men grafen er en parabel og ikke en rett linje. En lineær funksjon må ha konstant stigningstall overalt.

Fasit

Se modellsvar i løsningen.

Regel / husk dette

I forklaringsoppgaver må du bruke presise fagbegreper og knytte dem til eksempler. En god forklaring viser sammenheng mellom uttrykk, graf, tabell og praktisk betydning.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bare gi en definisjon uten eksempel.
Å blande nullpunkt og skjæring med y-aksen.
Å skrive at en modell alltid er sann.

Oppgave 80Middels

Forklaringsoppgave om funksjoner

Tema: Funksjoner og modeller
Type: Begrepsforklaring

Forklar hva nullpunkt, skjæring med y-aksen og toppunkt betyr. Bruk en andregradsfunksjon som eksempel.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Nullpunkt er x-verdien der $f(x)=0$ , altså der grafen skjærer x-aksen. Skjæring med y-aksen skjer når $x=0$ , altså punktet $(0,f(0))$ . Toppunkt er det høyeste punktet på en parabel som vender ned. For eksempel har $f(x)=-(x-2)^2+5$ toppunkt $(2,5)$ .

Fasit

Se modellsvar i løsningen.

Regel / husk dette

I forklaringsoppgaver må du bruke presise fagbegreper og knytte dem til eksempler. En god forklaring viser sammenheng mellom uttrykk, graf, tabell og praktisk betydning.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bare gi en definisjon uten eksempel.
Å blande nullpunkt og skjæring med y-aksen.
Å skrive at en modell alltid er sann.

Oppgave 81Middels

Forklaringsoppgave om funksjoner

Tema: Funksjoner og modeller
Type: Begrepsforklaring

Du får en tabell der y-verdiene øker med 3 hver gang x øker med 1. Hvilken type funksjon passer best, og hvorfor?

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

En lineær funksjon passer best, fordi endringen i y er konstant. Når y øker med 3 for hver økning på 1 i x, er stigningstallet 3. Modellen kan skrives $f(x)=3x+b$ , der b bestemmes av startverdien.

Fasit

Se modellsvar i løsningen.

Regel / husk dette

I forklaringsoppgaver må du bruke presise fagbegreper og knytte dem til eksempler. En god forklaring viser sammenheng mellom uttrykk, graf, tabell og praktisk betydning.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bare gi en definisjon uten eksempel.
Å blande nullpunkt og skjæring med y-aksen.
Å skrive at en modell alltid er sann.

Oppgave 82Middels

Forklaringsoppgave om funksjoner

Tema: Funksjoner og modeller
Type: Begrepsforklaring

Du får en tabell der y-verdiene først øker raskt, deretter saktere, og til slutt minker. Hvilken modell kan passe, og hva bør du undersøke?

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

En andregradsmodell eller en annen polynommodell kan passe, fordi verdiene tyder på et toppunkt. Du bør undersøke grafen, se på forskjeller mellom y-verdier og eventuelt bruke digital regresjon. Modellen må også gi mening i situasjonen.

Fasit

Se modellsvar i løsningen.

Regel / husk dette

I forklaringsoppgaver må du bruke presise fagbegreper og knytte dem til eksempler. En god forklaring viser sammenheng mellom uttrykk, graf, tabell og praktisk betydning.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bare gi en definisjon uten eksempel.
Å blande nullpunkt og skjæring med y-aksen.
Å skrive at en modell alltid er sann.

Oppgave 83Middels

Forklaringsoppgave om funksjoner

Tema: Funksjoner og modeller
Type: Begrepsforklaring

Forklar hvorfor en matematisk modell ikke alltid gir riktige svar utenfor området der dataene er hentet fra.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

En modell er en forenkling av virkeligheten. Den kan passe godt for dataene vi har, men utenfor dataintervallet kan den gi urimelige verdier. For eksempel kan en parabelmodell for temperatur gi altfor lav eller høy temperatur langt utenfor måleperioden. Derfor må vi vurdere gyldighetsområdet.

Fasit

Se modellsvar i løsningen.

Regel / husk dette

I forklaringsoppgaver må du bruke presise fagbegreper og knytte dem til eksempler. En god forklaring viser sammenheng mellom uttrykk, graf, tabell og praktisk betydning.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser framgangsmåten tydelig, bruker riktig matematisk språk, skriver mellomregninger og kontrollerer at svaret passer med oppgaven. I funksjonsoppgaver er det ekstra viktig å koble sammen formel, graf, tabell og praktisk tolkning.

For høy måloppnåelse

Et sterkt svar forklarer ikke bare hva svaret er, men hvorfor metoden virker. Vis hva variablene betyr, bruk riktig notasjon som $f(x)$ , $x$ -verdi, $y$ -verdi, stigningstall, konstantledd, nullpunkt eller topp-/bunnpunkt, og skriv en kort konklusjon med enhet dersom oppgaven har praktisk kontekst.

Vanlige feil i regningen

Å bare gi en definisjon uten eksempel.
Å blande nullpunkt og skjæring med y-aksen.
Å skrive at en modell alltid er sann.

Innhold

Viktige regler før du starter

Oppgaver om polynomfunksjoner, grafer og modeller

Regn ut en funksjonsverdi

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn ut en funksjonsverdi

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn ut en funksjonsverdi

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn ut en funksjonsverdi

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn ut en funksjonsverdi

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn ut en funksjonsverdi

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Lese funksjonsverdi fra graf

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Lese funksjonsverdi fra graf

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Lese funksjonsverdi fra graf

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Lese funksjonsverdi fra graf

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Verditabell for lineær funksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen