Et polynom er en sum av ledd der variabelen har ikke-negative heltallige eksponenter.

Hvordan finner jeg om x-a er en faktor?

Bruk faktorregelen: x-a er en faktor i P(x) hvis og bare hvis P(a)=0.

Hvordan finner jeg vertikal asymptote?

Sett nevneren lik 0 etter eventuell forkorting. Hvis telleren ikke samtidig blir 0 i samme faktor, får grafen en vertikal asymptote.

Polynomer og rasjonale funksjoner - oppgaver med fasit

Oppgave 1

Utforsk tredjegradsfunksjoner med glidere

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Utforsking og forklaring

Bruk en digital graftegner til å undersøke funksjonen $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . La først $a=1$ , $b=-2$ , $c=-5$ og $d=6$ . Endre deretter én koeffisient om gangen.

Forklar hva som skjer med grafen når $a$ endres fra positiv til negativ.
Undersøk hvordan $d$ påvirker skjæringen med y-aksen.
Finn et eksempel der grafen har tre nullpunkter.
Finn et eksempel der grafen bare har ett nullpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Dette er en utforskingsoppgave. Et mulig valg er $f(x)=x^3-2x^2-5x+6$ . Da er $f(0)=6$ , så grafen skjærer y-aksen i $(0,6)$ . Når $a$ er positiv, går grafen typisk ned til venstre og opp til høyre. Når $a$ er negativ, blir enderetningen motsatt.

Hvis vi velger $f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)$ , får vi nullpunktene $x=-2$ , $x=1$ og $x=3$ . Hvis vi velger $f(x)=x^3+1$ , får vi bare ett reelt nullpunkt, $x=-1$ .

Fasit

Et mulig svar: $a$ styrer hovedretningen, $d$ er y-skjæringen, og funksjoner på faktorisert form gjør nullpunktene lett synlige.

Husk regel

For et polynom $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ er $d=f(0)$ . Nullpunkter finner vi der $f(x)=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 2

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=(x - 3) (x - 1) (x + 2)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-2, x=1, x=3$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=6$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=3 x^{2} - 4 x - 5$ . Dette gir omtrent $(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} + \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ , $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} - \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ .

Fasit

Nullpunkter: $-2$ , $1$ , $3$ . Y-skjæring: $(0,6)$ . Ekstremalpunkter: $(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} + \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ , $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} - \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=- x^{3} - x^{2} + 6 x$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=- x (x - 2) (x + 3)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-3, x=0, x=2$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=0$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=- 3 x^{2} - 2 x + 6$ . Dette gir omtrent $(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, - \frac{56}{27} + \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ , $(- \frac{\sqrt{19}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{38 \sqrt{19}}{27} - \frac{56}{27})$ .

Fasit

Nullpunkter: $-3$ , $0$ , $2$ . Y-skjæring: $(0,0)$ . Ekstremalpunkter: $(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, - \frac{56}{27} + \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ , $(- \frac{\sqrt{19}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{38 \sqrt{19}}{27} - \frac{56}{27})$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=2 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 16$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=2 (x - 4) (x - 2) (x + 1)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-1, x=2, x=4$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=16$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=6 x^{2} - 20 x + 4$ . Dette gir omtrent $(\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{112}{27} + \frac{76 \sqrt{19}}{27})$ , $(\frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}, \frac{112}{27} - \frac{76 \sqrt{19}}{27})$ .

Fasit

Nullpunkter: $-1$ , $2$ , $4$ . Y-skjæring: $(0,16)$ . Ekstremalpunkter: $(\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{112}{27} + \frac{76 \sqrt{19}}{27})$ , $(\frac{\sqrt{19}}{3} + \frac{5}{3}, \frac{112}{27} - \frac{76 \sqrt{19}}{27})$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=(x - 2) (x + 1) (x + 4)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-4, x=-1, x=2$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=-8$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=3 x^{2} + 6 x - 6$ . Dette gir omtrent $(-1 + \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ , $(- \sqrt{3} - 1, 6 \sqrt{3})$ .

Fasit

Nullpunkter: $-4$ , $-1$ , $2$ . Y-skjæring: $(0,-8)$ . Ekstremalpunkter: $(-1 + \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ , $(- \sqrt{3} - 1, 6 \sqrt{3})$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 6

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 10 x - 12$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=- 2 (x - 3) (x - 1) (x + 2)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-2, x=1, x=3$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=-12$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=- 6 x^{2} + 8 x + 10$ . Dette gir omtrent $(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, - \frac{76 \sqrt{19}}{27} - \frac{112}{27})$ , $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, - \frac{112}{27} + \frac{76 \sqrt{19}}{27})$ .

Fasit

Nullpunkter: $-2$ , $1$ , $3$ . Y-skjæring: $(0,-12)$ . Ekstremalpunkter: $(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, - \frac{76 \sqrt{19}}{27} - \frac{112}{27})$ , $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, - \frac{112}{27} + \frac{76 \sqrt{19}}{27})$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=(x - 5) (x - 2) (x + 3)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-3, x=2, x=5$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=30$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=3 x^{2} - 8 x - 11$ . Dette gir omtrent $(-1, 36)$ , $(\frac{11}{3}, - \frac{400}{27})$ .

Fasit

Nullpunkter: $-3$ , $2$ , $5$ . Y-skjæring: $(0,30)$ . Ekstremalpunkter: $(-1, 36)$ , $(\frac{11}{3}, - \frac{400}{27})$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 8

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=x^{3} - 3 x^{2} - 4 x$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=x (x - 4) (x + 1)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-1, x=0, x=4$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=0$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=3 x^{2} - 6 x - 4$ . Dette gir omtrent $(1 - \frac{\sqrt{21}}{3}, -6 + \frac{14 \sqrt{21}}{9})$ , $(1 + \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{14 \sqrt{21}}{9} - 6)$ .

Fasit

Nullpunkter: $-1$ , $0$ , $4$ . Y-skjæring: $(0,0)$ . Ekstremalpunkter: $(1 - \frac{\sqrt{21}}{3}, -6 + \frac{14 \sqrt{21}}{9})$ , $(1 + \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{14 \sqrt{21}}{9} - 6)$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Middels
Type: Graf og regning

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=- x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 8$ .

Tegn grafen digitalt eller bruk skissen under som kontroll.
Finn nullpunktene til $f$ .
Finn skjæringen med y-aksen.
Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning eller digitalt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først polynomet:

$f(x)=- (x - 1) (x + 2) (x + 4)$

Nullpunktene kommer fra faktorene. Når et produkt er 0, må minst én faktor være 0. Derfor er nullpunktene $x=-4, x=-2, x=1$ .

Y-skjæringen finner vi ved $x=0$ : $f(0)=8$ .

Ekstremalpunkter kan finnes ved å løse $f'(x)=0$ . Her er $f'(x)=- 3 x^{2} - 10 x - 2$ . Dette gir omtrent $(- \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} - \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ , $(- \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} + \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ .

Fasit

Nullpunkter: $-4$ , $-2$ , $1$ . Y-skjæring: $(0,8)$ . Ekstremalpunkter: $(- \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} - \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ , $(- \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, \frac{56}{27} + \frac{38 \sqrt{19}}{27})$ .

Husk regel

Nullpunktene til et faktorisert polynom $a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ er $r_1$ , $r_2$ og $r_3$ . Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 10

Fjerdegradsfunksjon med flere nullpunkter

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Graf og analyse

Funksjonen $p$ er gitt ved $p(x)=x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6$ .

Finn graden til polynomet og forklar hvordan du ser det.
Faktoriser uttrykket.
Finn nullpunktene.
Beskriv kort hvordan grafen ligger i forhold til x-aksen nær nullpunktene.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Høyeste eksponent er 4, derfor er dette en fjerdegradsfunksjon.

Vi faktoriserer:

$p(x)=(x - 3) (x - 1) (x + 1) (x + 2)$

Nullpunktene er verdiene som gjør hver faktor lik 0: $x=-2$ , $x=-1$ , $x=1$ , $x=3$ .

Fordi alle faktorene forekommer én gang, krysser grafen x-aksen i hvert nullpunkt. Dersom en faktor hadde forekommet to ganger, ville grafen normalt ha berørt x-aksen og snudd.

Fasit

Grad 4. Faktorisering: $(x - 3) (x - 1) (x + 1) (x + 2)$ . Nullpunkter: -2, -1, 1, 3.

Husk regel

Graden til et polynom er høyeste eksponent til variabelen. Nullpunkter leses enklest fra faktorisert form.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 11

Fjerdegradsfunksjon med flere nullpunkter

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Graf og analyse

Funksjonen $p$ er gitt ved $p(x)=x^{4} - 2 x^{3} - 13 x^{2} + 14 x + 24$ .

Finn graden til polynomet og forklar hvordan du ser det.
Faktoriser uttrykket.
Finn nullpunktene.
Beskriv kort hvordan grafen ligger i forhold til x-aksen nær nullpunktene.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Høyeste eksponent er 4, derfor er dette en fjerdegradsfunksjon.

Vi faktoriserer:

$p(x)=(x - 4) (x - 2) (x + 1) (x + 3)$

Nullpunktene er verdiene som gjør hver faktor lik 0: $x=-3$ , $x=-1$ , $x=2$ , $x=4$ .

Fordi alle faktorene forekommer én gang, krysser grafen x-aksen i hvert nullpunkt. Dersom en faktor hadde forekommet to ganger, ville grafen normalt ha berørt x-aksen og snudd.

Fasit

Grad 4. Faktorisering: $(x - 4) (x - 2) (x + 1) (x + 3)$ . Nullpunkter: -3, -1, 2, 4.

Husk regel

Graden til et polynom er høyeste eksponent til variabelen. Nullpunkter leses enklest fra faktorisert form.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 12

Fjerdegradsfunksjon med flere nullpunkter

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Graf og analyse

Funksjonen $p$ er gitt ved $p(x)=- x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x$ .

Finn graden til polynomet og forklar hvordan du ser det.
Faktoriser uttrykket.
Finn nullpunktene.
Beskriv kort hvordan grafen ligger i forhold til x-aksen nær nullpunktene.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Høyeste eksponent er 4, derfor er dette en fjerdegradsfunksjon.

Vi faktoriserer:

$p(x)=- x (x - 3) (x - 1) (x + 2)$

Nullpunktene er verdiene som gjør hver faktor lik 0: $x=-2$ , $x=0$ , $x=1$ , $x=3$ .

Fordi alle faktorene forekommer én gang, krysser grafen x-aksen i hvert nullpunkt. Dersom en faktor hadde forekommet to ganger, ville grafen normalt ha berørt x-aksen og snudd.

Fasit

Grad 4. Faktorisering: $x (x - 3) (x - 1) (x + 2)$ . Nullpunkter: -2, 0, 1, 3.

Husk regel

Graden til et polynom er høyeste eksponent til variabelen. Nullpunkter leses enklest fra faktorisert form.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13

Fjerdegradsfunksjon med flere nullpunkter

Tema: Polynomfunksjoner
Nivå: Krevende
Type: Graf og analyse

Funksjonen $p$ er gitt ved $p(x)=2 x^{4} - 12 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x - 16$ .

Finn graden til polynomet og forklar hvordan du ser det.
Faktoriser uttrykket.
Finn nullpunktene.
Beskriv kort hvordan grafen ligger i forhold til x-aksen nær nullpunktene.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Høyeste eksponent er 4, derfor er dette en fjerdegradsfunksjon.

Vi faktoriserer:

$p(x)=2 (x - 4) (x - 2) (x - 1) (x + 1)$

Nullpunktene er verdiene som gjør hver faktor lik 0: $x=-1$ , $x=1$ , $x=2$ , $x=4$ .

Fordi alle faktorene forekommer én gang, krysser grafen x-aksen i hvert nullpunkt. Dersom en faktor hadde forekommet to ganger, ville grafen normalt ha berørt x-aksen og snudd.

Fasit

Grad 4. Faktorisering: $2 (x - 4) (x - 2) (x - 1) (x + 1)$ . Nullpunkter: -1, 1, 2, 4.

Husk regel

Graden til et polynom er høyeste eksponent til variabelen. Nullpunkter leses enklest fra faktorisert form.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomfunksjoner, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10):(x-2)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x-2)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x-2$ . Kvotienten blir

$Q(x)=x^{2} - 2 x - 11$

Resten blir $r=-12$ . Derfor kan vi skrive

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10=(x-2)(x^{2} - 2 x - 11)+-12$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x-2)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10):(x-2)=x^{2} - 2 x - 11$ med rest $-12$ . Siden resten ikke er 0, er divisor ikke en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 15

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3):(x-3)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x-3)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x-3$ . Kvotienten blir

$Q(x)=2 x^{2} + x - 1$

Resten blir $r=0$ . Derfor kan vi skrive

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3=(x-3)(2 x^{2} + x - 1)+0$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x-3)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3):(x-3)=2 x^{2} + x - 1$ med rest $0$ . Siden resten er 0, er divisor en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 16

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 20 x - 8):(x-2)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x-2)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x-2$ . Kvotienten blir

$Q(x)=x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

Resten blir $r=0$ . Derfor kan vi skrive

$x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 20 x - 8=(x-2)(x^{3} - x^{2} - 8 x + 4)+0$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x-2)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 20 x - 8):(x-2)=x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ med rest $0$ . Siden resten er 0, er divisor en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 17

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(3 x^{3} + x^{2} - 10 x + 6):(x--2)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x--2)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x--2$ . Kvotienten blir

$Q(x)=3 x^{2} - 5 x$

Resten blir $r=6$ . Derfor kan vi skrive

$3 x^{3} + x^{2} - 10 x + 6=(x--2)(3 x^{2} - 5 x)+6$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x--2)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(3 x^{3} + x^{2} - 10 x + 6):(x--2)=3 x^{2} - 5 x$ med rest $6$ . Siden resten ikke er 0, er divisor ikke en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 18

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(2 x^{4} - x^{3} - 13 x^{2} + 7 x + 15):(x-3)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x-3)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x-3$ . Kvotienten blir

$Q(x)=2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 13$

Resten blir $r=54$ . Derfor kan vi skrive

$2 x^{4} - x^{3} - 13 x^{2} + 7 x + 15=(x-3)(2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 13)+54$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x-3)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(2 x^{4} - x^{3} - 13 x^{2} + 7 x + 15):(x-3)=2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 13$ med rest $54$ . Siden resten ikke er 0, er divisor ikke en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 19

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6):(x--1)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x--1)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x--1$ . Kvotienten blir

$Q(x)=x^{2} + x - 6$

Resten blir $r=0$ . Derfor kan vi skrive

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6=(x--1)(x^{2} + x - 6)+0$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x--1)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6):(x--1)=x^{2} + x - 6$ med rest $0$ . Siden resten er 0, er divisor en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 20

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6):(x-1)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x-1)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x-1$ . Kvotienten blir

$Q(x)=x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

Resten blir $r=0$ . Derfor kan vi skrive

$x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6=(x-1)(x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6)+0$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x-1)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6):(x-1)=x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ med rest $0$ . Siden resten er 0, er divisor en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 21

Utfør polynomdivisjon

Tema: Polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning

Utfør polynomdivisjonen $(2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12):(x-2)$ . Skriv svaret med eventuell rest.

Utfør divisjonen uten hjelpemidler.
Kontroller svaret ved å multiplisere tilbake.
Avgjør om $(x-2)$ er en faktor i polynomet.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deler polynomet på $x-2$ . Kvotienten blir

$Q(x)=2 x^{2} + x - 6$

Resten blir $r=0$ . Derfor kan vi skrive

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12=(x-2)(2 x^{2} + x - 6)+0$

Kontroll: Når vi multipliserer $(x-2)$ med kvotienten og legger til resten, får vi tilbake polynomet.

Fasit

$(2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12):(x-2)=2 x^{2} + x - 6$ med rest $0$ . Siden resten er 0, er divisor en faktor.

Husk regel

Ved polynomdivisjon gjelder $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ . Divisjonen går opp hvis og bare hvis resten er 0.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen polynomdivisjon, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 22

Bruk resten ved polynomdivisjon

Tema: Resten ved polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning og kontroll

La $P(x)=x^{3} - 2 x + 5$ .

Finn resten når $P(x)$ deles på $(x-3)$ uten å utføre divisjonen.
Utfør divisjonen og kontroller at resten stemmer.
Avgjør om $(x-3)$ er en faktor.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Restsetningen sier at resten ved divisjon på $(x-a)$ er $P(a)$ . Her er $a=3$ .

$P(3)=26$

Dermed er resten $26$ . Hvis vi utfører divisjonen, får vi samme rest.

Fasit

Resten er $26$ . Divisjonen går ikke opp, så faktoren finnes ikke.

Husk regel

Når vi deler $P(x)$ på $(x-a)$ , er resten $P(a)$ . Hvis $P(a)=0$ , er $(x-a)$ en faktor.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen restsetningen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 23

Bruk resten ved polynomdivisjon

Tema: Resten ved polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning og kontroll

La $P(x)=2 x^{3} + x^{2} - 8 x + 1$ .

Finn resten når $P(x)$ deles på $(x--2)$ uten å utføre divisjonen.
Utfør divisjonen og kontroller at resten stemmer.
Avgjør om $(x--2)$ er en faktor.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Restsetningen sier at resten ved divisjon på $(x-a)$ er $P(a)$ . Her er $a=-2$ .

$P(-2)=5$

Dermed er resten $5$ . Hvis vi utfører divisjonen, får vi samme rest.

Fasit

Resten er $5$ . Divisjonen går ikke opp, så faktoren finnes ikke.

Husk regel

Når vi deler $P(x)$ på $(x-a)$ , er resten $P(a)$ . Hvis $P(a)=0$ , er $(x-a)$ en faktor.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen restsetningen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 24

Bruk resten ved polynomdivisjon

Tema: Resten ved polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning og kontroll

La $P(x)=x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

Finn resten når $P(x)$ deles på $(x-1)$ uten å utføre divisjonen.
Utfør divisjonen og kontroller at resten stemmer.
Avgjør om $(x-1)$ er en faktor.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Restsetningen sier at resten ved divisjon på $(x-a)$ er $P(a)$ . Her er $a=1$ .

$P(1)=2$

Dermed er resten $2$ . Hvis vi utfører divisjonen, får vi samme rest.

Fasit

Resten er $2$ . Divisjonen går ikke opp, så faktoren finnes ikke.

Husk regel

Når vi deler $P(x)$ på $(x-a)$ , er resten $P(a)$ . Hvis $P(a)=0$ , er $(x-a)$ en faktor.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen restsetningen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 25

Bruk resten ved polynomdivisjon

Tema: Resten ved polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning og kontroll

La $P(x)=3 x^{3} - 7 x + 4$ .

Finn resten når $P(x)$ deles på $(x-2)$ uten å utføre divisjonen.
Utfør divisjonen og kontroller at resten stemmer.
Avgjør om $(x-2)$ er en faktor.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Restsetningen sier at resten ved divisjon på $(x-a)$ er $P(a)$ . Her er $a=2$ .

$P(2)=14$

Dermed er resten $14$ . Hvis vi utfører divisjonen, får vi samme rest.

Fasit

Resten er $14$ . Divisjonen går ikke opp, så faktoren finnes ikke.

Husk regel

Når vi deler $P(x)$ på $(x-a)$ , er resten $P(a)$ . Hvis $P(a)=0$ , er $(x-a)$ en faktor.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen restsetningen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 26

Bruk resten ved polynomdivisjon

Tema: Resten ved polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning og kontroll

La $P(x)=x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$ .

Finn resten når $P(x)$ deles på $(x--4)$ uten å utføre divisjonen.
Utfør divisjonen og kontroller at resten stemmer.
Avgjør om $(x--4)$ er en faktor.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Restsetningen sier at resten ved divisjon på $(x-a)$ er $P(a)$ . Her er $a=-4$ .

$P(-4)=0$

Dermed er resten $0$ . Hvis vi utfører divisjonen, får vi samme rest.

Fasit

Resten er $0$ . Divisjonen går opp, så faktoren finnes.

Husk regel

Når vi deler $P(x)$ på $(x-a)$ , er resten $P(a)$ . Hvis $P(a)=0$ , er $(x-a)$ en faktor.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen restsetningen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 27

Bruk resten ved polynomdivisjon

Tema: Resten ved polynomdivisjon
Nivå: Middels
Type: Regning og kontroll

La $P(x)=2 x^{4} - 3 x^{3} + x - 6$ .

Finn resten når $P(x)$ deles på $(x--1)$ uten å utføre divisjonen.
Utfør divisjonen og kontroller at resten stemmer.
Avgjør om $(x--1)$ er en faktor.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Restsetningen sier at resten ved divisjon på $(x-a)$ er $P(a)$ . Her er $a=-1$ .

$P(-1)=-2$

Dermed er resten $-2$ . Hvis vi utfører divisjonen, får vi samme rest.

Fasit

Resten er $-2$ . Divisjonen går ikke opp, så faktoren finnes ikke.

Husk regel

Når vi deler $P(x)$ på $(x-a)$ , er resten $P(a)$ . Hvis $P(a)=0$ , er $(x-a)$ en faktor.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen restsetningen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 28

Bestem parameter slik at divisjonen går opp

Tema: Faktor i polynom
Nivå: Middels
Type: Parameteroppgave

Polynomet er $P(x)=a x + x^{3} + x^{2} + 6$ . Bestem $a$ slik at $(x--3)$ blir en faktor i $P(x)$ .

Sett opp en likning ved hjelp av faktorregelen.
Løs likningen.
Skriv det ferdige polynomet med verdien du fant.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Faktorregelen sier at $(x--3)$ er en faktor hvis $P(-3)=0$ .

Vi setter inn $x=-3$ :

$3 a - 12=0$

Dette gir $a=-4$ .

Det ferdige polynomet blir $P(x)=x^{3} + x^{2} - 4 x + 6$ .

Fasit

$a=-4$ .

Husk regel

$(x-a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a)=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorregelen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 29

Bestem parameter slik at divisjonen går opp

Tema: Faktor i polynom
Nivå: Middels
Type: Parameteroppgave

Polynomet er $P(x)=a x + x^{3} - 4 x^{2} + 12$ . Bestem $a$ slik at $(x-2)$ blir en faktor i $P(x)$ .

Sett opp en likning ved hjelp av faktorregelen.
Løs likningen.
Skriv det ferdige polynomet med verdien du fant.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Faktorregelen sier at $(x-2)$ er en faktor hvis $P(2)=0$ .

Vi setter inn $x=2$ :

$2 a + 4=0$

Dette gir $a=-2$ .

Det ferdige polynomet blir $P(x)=x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 12$ .

Fasit

$a=-2$ .

Husk regel

$(x-a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a)=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorregelen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 30

Bestem parameter slik at divisjonen går opp

Tema: Faktor i polynom
Nivå: Middels
Type: Parameteroppgave

Polynomet er $P(x)=a x^{2} + 2 x^{3} - 5 x + 6$ . Bestem $a$ slik at $(x-1)$ blir en faktor i $P(x)$ .

Sett opp en likning ved hjelp av faktorregelen.
Løs likningen.
Skriv det ferdige polynomet med verdien du fant.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Faktorregelen sier at $(x-1)$ er en faktor hvis $P(1)=0$ .

Vi setter inn $x=1$ :

$a + 3=0$

Dette gir $a=-3$ .

Det ferdige polynomet blir $P(x)=2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ .

Fasit

$a=-3$ .

Husk regel

$(x-a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a)=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorregelen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 31

Bestem parameter slik at divisjonen går opp

Tema: Faktor i polynom
Nivå: Middels
Type: Parameteroppgave

Polynomet er $P(x)=a x^{2} + x^{4} - 9 x + 4$ . Bestem $a$ slik at $(x--1)$ blir en faktor i $P(x)$ .

Sett opp en likning ved hjelp av faktorregelen.
Løs likningen.
Skriv det ferdige polynomet med verdien du fant.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Faktorregelen sier at $(x--1)$ er en faktor hvis $P(-1)=0$ .

Vi setter inn $x=-1$ :

$a + 14=0$

Dette gir $a=-14$ .

Det ferdige polynomet blir $P(x)=x^{4} - 14 x^{2} - 9 x + 4$ .

Fasit

$a=-14$ .

Husk regel

$(x-a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a)=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorregelen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 32

Bestem parameter slik at divisjonen går opp

Tema: Faktor i polynom
Nivå: Middels
Type: Parameteroppgave

Polynomet er $P(x)=a x + x^{3} + 2 x^{2} - 8$ . Bestem $a$ slik at $(x-2)$ blir en faktor i $P(x)$ .

Sett opp en likning ved hjelp av faktorregelen.
Løs likningen.
Skriv det ferdige polynomet med verdien du fant.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Faktorregelen sier at $(x-2)$ er en faktor hvis $P(2)=0$ .

Vi setter inn $x=2$ :

$2 a + 8=0$

Dette gir $a=-4$ .

Det ferdige polynomet blir $P(x)=x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ .

Fasit

$a=-4$ .

Husk regel

$(x-a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a)=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorregelen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 33

Bestem parameter slik at divisjonen går opp

Tema: Faktor i polynom
Nivå: Middels
Type: Parameteroppgave

Polynomet er $P(x)=a x^{2} + 3 x^{3} - 12 x + 4$ . Bestem $a$ slik at $(x-2)$ blir en faktor i $P(x)$ .

Sett opp en likning ved hjelp av faktorregelen.
Løs likningen.
Skriv det ferdige polynomet med verdien du fant.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Faktorregelen sier at $(x-2)$ er en faktor hvis $P(2)=0$ .

Vi setter inn $x=2$ :

$4 a + 4=0$

Dette gir $a=-1$ .

Det ferdige polynomet blir $P(x)=3 x^{3} - x^{2} - 12 x + 4$ .

Fasit

$a=-1$ .

Husk regel

$(x-a)$ er en faktor i $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a)=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorregelen, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 34

Finn funksjonsuttrykk fra nullpunkter

Tema: Faktorisering av polynomer
Nivå: Krevende
Type: Modellering fra graf

En tredjegradsfunksjon har nullpunktene $-2, 1, 3$ . Grafen skjærer y-aksen i $(0,12)$ .

Skriv funksjonen på faktorisert form.
Bestem konstanten foran parentesene.
Skriv funksjonen på utvidet form.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når nullpunktene er kjent, kan funksjonen skrives som $f(x)=k\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)$ .

Vi bruker y-skjæringen. Siden $f(0)=12$ , setter vi inn $x=0$ og finner $k=2$ .

Dermed er

$f(x)=2\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)$

Utvidet form blir $f(x)=2 x^{3} - 4 x^{2} - 10 x + 12$

Fasit

$f(x)=2 (x - 3) (x - 1) (x + 2)=2 x^{3} - 4 x^{2} - 10 x + 12$ .

Husk regel

Hvis nullpunktene er $r_1,r_2,r_3$ , har funksjonen formen $f(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ . Konstanten $k$ bestemmes med et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorisering, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35

Finn funksjonsuttrykk fra nullpunkter

Tema: Faktorisering av polynomer
Nivå: Krevende
Type: Modellering fra graf

En tredjegradsfunksjon har nullpunktene $-3, 0, 2$ . Grafen skjærer y-aksen i $(0,0)$ .

Skriv funksjonen på faktorisert form.
Bestem konstanten foran parentesene.
Skriv funksjonen på utvidet form.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når nullpunktene er kjent, kan funksjonen skrives som $f(x)=kx \left(x - 2\right) \left(x + 3\right)$ .

Vi bruker y-skjæringen. Siden $f(0)=0$ , setter vi inn $x=0$ og finner $k=-1$ .

Dermed er

$f(x)=-1x \left(x - 2\right) \left(x + 3\right)$

Utvidet form blir $f(x)=- x^{3} - x^{2} + 6 x$

Fasit

$f(x)=- x (x - 2) (x + 3)=- x^{3} - x^{2} + 6 x$ .

Husk regel

Hvis nullpunktene er $r_1,r_2,r_3$ , har funksjonen formen $f(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ . Konstanten $k$ bestemmes med et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorisering, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 36

Finn funksjonsuttrykk fra nullpunkter

Tema: Faktorisering av polynomer
Nivå: Krevende
Type: Modellering fra graf

En tredjegradsfunksjon har nullpunktene $-1, 2, 4$ . Grafen skjærer y-aksen i $(0,24)$ .

Skriv funksjonen på faktorisert form.
Bestem konstanten foran parentesene.
Skriv funksjonen på utvidet form.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når nullpunktene er kjent, kan funksjonen skrives som $f(x)=k\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$ .

Vi bruker y-skjæringen. Siden $f(0)=24$ , setter vi inn $x=0$ og finner $k=3$ .

Dermed er

$f(x)=3\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$

Utvidet form blir $f(x)=3 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 24$

Fasit

$f(x)=3 (x - 4) (x - 2) (x + 1)=3 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 24$ .

Husk regel

Hvis nullpunktene er $r_1,r_2,r_3$ , har funksjonen formen $f(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ . Konstanten $k$ bestemmes med et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorisering, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37

Finn funksjonsuttrykk fra nullpunkter

Tema: Faktorisering av polynomer
Nivå: Krevende
Type: Modellering fra graf

En tredjegradsfunksjon har nullpunktene $-4, -1, 3$ . Grafen skjærer y-aksen i $(0,-12)$ .

Skriv funksjonen på faktorisert form.
Bestem konstanten foran parentesene.
Skriv funksjonen på utvidet form.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når nullpunktene er kjent, kan funksjonen skrives som $f(x)=k\left(x - 3\right) \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)$ .

Vi bruker y-skjæringen. Siden $f(0)=-12$ , setter vi inn $x=0$ og finner $k=1$ .

Dermed er

$f(x)=1\left(x - 3\right) \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)$

Utvidet form blir $f(x)=x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$

Fasit

$f(x)=(x - 3) (x + 1) (x + 4)=x^{3} + 2 x^{2} - 11 x - 12$ .

Husk regel

Hvis nullpunktene er $r_1,r_2,r_3$ , har funksjonen formen $f(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ . Konstanten $k$ bestemmes med et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorisering, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 38

Finn funksjonsuttrykk fra nullpunkter

Tema: Faktorisering av polynomer
Nivå: Krevende
Type: Modellering fra graf

En tredjegradsfunksjon har nullpunktene $-1, 1, 5$ . Grafen skjærer y-aksen i $(0,10)$ .

Skriv funksjonen på faktorisert form.
Bestem konstanten foran parentesene.
Skriv funksjonen på utvidet form.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Når nullpunktene er kjent, kan funksjonen skrives som $f(x)=k\left(x - 5\right) \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)$ .

Vi bruker y-skjæringen. Siden $f(0)=10$ , setter vi inn $x=0$ og finner $k=2$ .

Dermed er

$f(x)=2\left(x - 5\right) \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)$

Utvidet form blir $f(x)=2 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x + 10$

Fasit

$f(x)=2 (x - 5) (x - 1) (x + 1)=2 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x + 10$ .

Husk regel

Hvis nullpunktene er $r_1,r_2,r_3$ , har funksjonen formen $f(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ . Konstanten $k$ bestemmes med et punkt på grafen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen faktorisering, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 39

Løs tredjegradsulikhet med fortegnslinje

Tema: Likninger og ulikheter av tredje grad
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 <0 0$ uten og med digitale hjelpemidler.

Faktoriser uttrykket.
Lag fortegnslinje.
Skriv løsningen med intervallnotasjon.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først uttrykket:

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6=(x - 3) (x - 1) (x + 2)$

Nullpunktene er -2, 1, 3. Disse punktene deler tallinjen i intervaller. Vi tester ett tall i hvert intervall og finner fortegnet.

Intervall	Fortegn
(-∞, -2)	negativ
(-2, 1)	positiv
(1, 3)	negativ
(3, ∞)	positiv

Deretter velger vi intervallene der uttrykket oppfyller ulikheten.

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, -2\right) \cup \left(1, 3\right)$ .

Husk regel

For en polynomulikhet må høyre side først være 0. Deretter faktoriserer vi og lager fortegnslinje. Nullpunkter tas med bare ved $\leq$ eller $\geq$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen tredjegradsulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å snu ulikhetstegnet uten grunn, ta med nullpunkter i strenge ulikheter, eller lage fortegnslinje uten å faktorisere først.

Oppgave 40

Løs tredjegradsulikhet med fortegnslinje

Tema: Likninger og ulikheter av tredje grad
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 >0 0$ uten og med digitale hjelpemidler.

Faktoriser uttrykket.
Lag fortegnslinje.
Skriv løsningen med intervallnotasjon.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først uttrykket:

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6=(x - 2) (x + 1) (x + 3)$

Nullpunktene er -3, -1, 2. Disse punktene deler tallinjen i intervaller. Vi tester ett tall i hvert intervall og finner fortegnet.

Intervall	Fortegn
(-∞, -3)	negativ
(-3, -1)	positiv
(-1, 2)	negativ
(2, ∞)	positiv

Deretter velger vi intervallene der uttrykket oppfyller ulikheten.

Fasit

Løsningen er $\left(-3, -1\right) \cup \left(2, \infty\right)$ .

Husk regel

For en polynomulikhet må høyre side først være 0. Deretter faktoriserer vi og lager fortegnslinje. Nullpunkter tas med bare ved $\leq$ eller $\geq$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen tredjegradsulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å snu ulikhetstegnet uten grunn, ta med nullpunkter i strenge ulikheter, eller lage fortegnslinje uten å faktorisere først.

Oppgave 41

Løs tredjegradsulikhet med fortegnslinje

Tema: Likninger og ulikheter av tredje grad
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 >=0 0$ uten og med digitale hjelpemidler.

Faktoriser uttrykket.
Lag fortegnslinje.
Skriv løsningen med intervallnotasjon.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først uttrykket:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6=(x - 3) (x - 2) (x + 1)$

Nullpunktene er -1, 2, 3. Disse punktene deler tallinjen i intervaller. Vi tester ett tall i hvert intervall og finner fortegnet.

Intervall	Fortegn
(-∞, -1)	negativ
(-1, 2)	positiv
(2, 3)	negativ
(3, ∞)	positiv

Deretter velger vi intervallene der uttrykket oppfyller ulikheten.

Fasit

Løsningen er $\left[-1, 2\right] \cup \left[3, \infty\right)$ .

Husk regel

For en polynomulikhet må høyre side først være 0. Deretter faktoriserer vi og lager fortegnslinje. Nullpunkter tas med bare ved $\leq$ eller $\geq$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen tredjegradsulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å snu ulikhetstegnet uten grunn, ta med nullpunkter i strenge ulikheter, eller lage fortegnslinje uten å faktorisere først.

Oppgave 42

Løs tredjegradsulikhet med fortegnslinje

Tema: Likninger og ulikheter av tredje grad
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 <=0 0$ uten og med digitale hjelpemidler.

Faktoriser uttrykket.
Lag fortegnslinje.
Skriv løsningen med intervallnotasjon.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først uttrykket:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12=(x - 2) (x + 2) (x + 3)$

Nullpunktene er -3, -2, 2. Disse punktene deler tallinjen i intervaller. Vi tester ett tall i hvert intervall og finner fortegnet.

Intervall	Fortegn
(-∞, -3)	negativ
(-3, -2)	positiv
(-2, 2)	negativ
(2, ∞)	positiv

Deretter velger vi intervallene der uttrykket oppfyller ulikheten.

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, -3\right] \cup \left[-2, 2\right]$ .

Husk regel

For en polynomulikhet må høyre side først være 0. Deretter faktoriserer vi og lager fortegnslinje. Nullpunkter tas med bare ved $\leq$ eller $\geq$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen tredjegradsulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å snu ulikhetstegnet uten grunn, ta med nullpunkter i strenge ulikheter, eller lage fortegnslinje uten å faktorisere først.

Oppgave 43

Løs tredjegradsulikhet med fortegnslinje

Tema: Likninger og ulikheter av tredje grad
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12 >0 0$ uten og med digitale hjelpemidler.

Faktoriser uttrykket.
Lag fortegnslinje.
Skriv løsningen med intervallnotasjon.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først uttrykket:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 12=(x - 2) (x + 2) (2 x - 3)$

Nullpunktene er -2, $\frac{3}{2}$ , 2. Disse punktene deler tallinjen i intervaller. Vi tester ett tall i hvert intervall og finner fortegnet.

Intervall	Fortegn
(-∞, -2)	negativ
(-2, $\frac{3}{2}$ )	positiv
( $\frac{3}{2}$ , 2)	negativ
(2, ∞)	positiv

Deretter velger vi intervallene der uttrykket oppfyller ulikheten.

Fasit

Løsningen er $\left(-2, \frac{3}{2}\right) \cup \left(2, \infty\right)$ .

Husk regel

For en polynomulikhet må høyre side først være 0. Deretter faktoriserer vi og lager fortegnslinje. Nullpunkter tas med bare ved $\leq$ eller $\geq$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen tredjegradsulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å snu ulikhetstegnet uten grunn, ta med nullpunkter i strenge ulikheter, eller lage fortegnslinje uten å faktorisere først.

Oppgave 44

Løs tredjegradsulikhet med fortegnslinje

Tema: Likninger og ulikheter av tredje grad
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 6 <0 0$ uten og med digitale hjelpemidler.

Faktoriser uttrykket.
Lag fortegnslinje.
Skriv løsningen med intervallnotasjon.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer først uttrykket:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 6=- (x - 3) (x - 1) (x + 2)$

Nullpunktene er -2, 1, 3. Disse punktene deler tallinjen i intervaller. Vi tester ett tall i hvert intervall og finner fortegnet.

Intervall	Fortegn
(-∞, -2)	positiv
(-2, 1)	negativ
(1, 3)	positiv
(3, ∞)	negativ

Deretter velger vi intervallene der uttrykket oppfyller ulikheten.

Fasit

Løsningen er $\left(-2, 1\right) \cup \left(3, \infty\right)$ .

Husk regel

For en polynomulikhet må høyre side først være 0. Deretter faktoriserer vi og lager fortegnslinje. Nullpunkter tas med bare ved $\leq$ eller $\geq$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen tredjegradsulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å snu ulikhetstegnet uten grunn, ta med nullpunkter i strenge ulikheter, eller lage fortegnslinje uten å faktorisere først.

Oppgave 45

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6=(x - 3) (x - 1) (x + 2)$

$x - 3=x - 3$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $x^{2} + x - 2$ . Ikke lovlige verdier: $x=3$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 46

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6}{x + 1}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6=(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

$x + 1=x + 1$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $x^{2} + 5 x + 6$ . Ikke lovlige verdier: $x=-1$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 47

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{x^{3} - 9 x}{3 x + 6}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$x^{3} - 9 x=x (x - 3) (x + 3)$

$3 x + 6=3 (x + 2)$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $\frac{x^{3} - 9 x}{3 x + 6}$ . Ikke lovlige verdier: $x=-2$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 48

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{2} - 1}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$x^{4} - 5 x^{2} + 4=(x - 2) (x - 1) (x + 1) (x + 2)$

$x^{2} - 1=(x - 1) (x + 1)$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $x^{2} - 4$ . Ikke lovlige verdier: $x=-1$ , $x=1$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 49

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x - 2}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6=(x - 3) (x - 2) (x + 1)$

$x - 2=x - 2$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $x^{2} - 2 x - 3$ . Ikke lovlige verdier: $x=2$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 50

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6}{x - 2}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6=(x - 2) (x + 3) (2 x - 1)$

$x - 2=x - 2$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $2 x^{2} + 5 x - 3$ . Ikke lovlige verdier: $x=2$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 51

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$x^{3} - x^{2} - 4 x + 4=(x - 2) (x - 1) (x + 2)$

$x - 1=x - 1$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $x^{2} - 4$ . Ikke lovlige verdier: $x=1$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 52

Forkort rasjonalt uttrykk

Tema: Forkorting av rasjonale uttrykk
Nivå: Middels
Type: Algebra

Forkort det rasjonale uttrykket hvis det er mulig:

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}{x + 2}$

Faktoriser teller og nevner.
Forkort felles faktorer.
Skriv hvilke x-verdier som ikke er lovlige i det opprinnelige uttrykket.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner:

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2=(x - 1) (x + 1) (x + 2)$

$x + 2=x + 2$

Felles faktorer kan forkortes, men de opprinnelige nullpunktene i nevneren er fortsatt ikke lovlige.

Fasit

Forkortet uttrykk: $x^{2} - 1$ . Ikke lovlige verdier: $x=-2$ .

Husk regel

Du kan bare forkorte faktorer, ikke ledd. Verdier som gjør den opprinnelige nevneren lik 0, må utelates fra definisjonsmengden.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale uttrykk, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å stryke ledd som ikke er faktorer, glemme at opprinnelig nevner bestemmer definisjonsmengden, eller forkorte før teller og nevner er faktorisert.

Oppgave 53

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{2 x - 5}{x - 3}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $x - 3=0$ . Det gir $x=3$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=\frac{2 x - 5}{x - 3}$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: $x=3$ . Horisontal asymptote: $y=2$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: 3. Vertikal asymptote: 3. Horisontal asymptote: y=2.

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 54

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{x + 4}{x - 2}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $x - 2=0$ . Det gir $x=2$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=\frac{x + 4}{x - 2}$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: $x=2$ . Horisontal asymptote: $y=1$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: 2. Vertikal asymptote: 2. Horisontal asymptote: y=1.

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 55

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{3 x - 1}{2 x + 6}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $2 x + 6=0$ . Det gir $x=-3$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=\frac{3 x - 1}{2 x + 6}$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: $x=-3$ . Horisontal asymptote: $y=\frac{3}{2}$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: -3. Vertikal asymptote: -3. Horisontal asymptote: y= $\frac{3}{2}$ .

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 56

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x - 2}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $x - 2=0$ . Det gir $x=2$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x - 2}$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: $x=2$ . Horisontal asymptote: $ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: 2. Vertikal asymptote: 2. Horisontal asymptote: ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote.

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 57

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $x - 1=0$ . Det gir $x=1$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 1}$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: $x=1$ . Horisontal asymptote: $ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: 1. Vertikal asymptote: 1. Horisontal asymptote: ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote.

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 58

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 4}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $x^{2} - 4=0$ . Det gir $x=-2$ , $x=2$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=\frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 4}$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: $x=-2$ , $x=2$ . Horisontal asymptote: $y=2$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: -2, 2. Vertikal asymptote: -2, 2. Horisontal asymptote: y=2.

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 59

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{x^{2} + x - 6}{x + 3}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $x + 3=0$ . Det gir $x=-3$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=x - 2$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: ingen. Horisontal asymptote: $ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: -3. Vertikal asymptote: ingen. Horisontal asymptote: ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote.

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 60

Finn asymptoter til en rasjonal funksjon

Tema: Asymptoter
Nivå: Middels
Type: Graf og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=\frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 1}$ .

Finn bruddpunkt i definisjonsmengden.
Avgjør om funksjonen har vertikal asymptote.
Finn horisontal asymptote hvis den finnes.
Tegn en skisse av grafen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Først setter vi nevneren lik 0: $x - 1=0$ . Det gir $x=1$ .

Vi forkorter uttrykket hvis mulig: $f(x)=x - 3$ . Etter forkorting ser vi hvilke bruddpunkter som fremdeles ligger i nevneren. Disse gir vertikale asymptoter.

Vertikal asymptote: ingen. Horisontal asymptote: $ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote$ .

Fasit

Ikke lovlige x-verdier: 1. Vertikal asymptote: ingen. Horisontal asymptote: ingen horisontal asymptote på 1T-nivå; grafen kan ha skrå asymptote.

Husk regel

En vertikal asymptote finnes der nevneren er 0 etter eventuell forkorting og telleren ikke samtidig gir samme faktor. Horisontal asymptote bestemmes av graden i teller og nevner.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen asymptoter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 61

Løs rasjonal likning

Tema: Rasjonale likninger
Nivå: Krevende
Type: Likning med brøk

Løs likningen uten og med digitale hjelpemidler:

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}=\frac{2}{x^{2} - 2 x}$

Finn først hvilke x-verdier som ikke er lovlige.
Multipliser med fellesnevner og løs likningen.
Kontroller løsningen i den opprinnelige likningen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med definisjonsmengden. Nevnerne kan ikke være 0. Derfor er følgende verdier ikke lovlige: $x=0$ , $x=2$ .

Deretter multipliserer vi begge sider med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner. Etter forenkling løser vi den nye likningen. Til slutt må vi kontrollere at løsningene ikke er blant de forbudte verdiene.

Fasit

Løsning: ingen løsning.

Husk regel

I rasjonale likninger må du alltid finne forbudte x-verdier før du ganger med fellesnevner. En løsning som gjør en opprinnelig nevner lik 0, må forkastes.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale likninger, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å godta en falsk løsning, glemme fellesnevner, eller forkorte over likhetstegnet uten å kontrollere definisjonsmengden.

Oppgave 62

Løs rasjonal likning

Tema: Rasjonale likninger
Nivå: Krevende
Type: Likning med brøk

Løs likningen uten og med digitale hjelpemidler:

$\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x - 1}=\frac{4}{x^{2} - 4 x + 3}$

Finn først hvilke x-verdier som ikke er lovlige.
Multipliser med fellesnevner og løs likningen.
Kontroller løsningen i den opprinnelige likningen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med definisjonsmengden. Nevnerne kan ikke være 0. Derfor er følgende verdier ikke lovlige: $x=1$ , $x=3$ .

Deretter multipliserer vi begge sider med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner. Etter forenkling løser vi den nye likningen. Til slutt må vi kontrollere at løsningene ikke er blant de forbudte verdiene.

Fasit

Løsning: $x=2$ .

Husk regel

I rasjonale likninger må du alltid finne forbudte x-verdier før du ganger med fellesnevner. En løsning som gjør en opprinnelig nevner lik 0, må forkastes.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale likninger, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å godta en falsk løsning, glemme fellesnevner, eller forkorte over likhetstegnet uten å kontrollere definisjonsmengden.

Oppgave 63

Løs rasjonal likning

Tema: Rasjonale likninger
Nivå: Krevende
Type: Likning med brøk

Løs likningen uten og med digitale hjelpemidler:

$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 2}=1$

Finn først hvilke x-verdier som ikke er lovlige.
Multipliser med fellesnevner og løs likningen.
Kontroller løsningen i den opprinnelige likningen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med definisjonsmengden. Nevnerne kan ikke være 0. Derfor er følgende verdier ikke lovlige: $x=-1$ , $x=2$ .

Deretter multipliserer vi begge sider med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner. Etter forenkling løser vi den nye likningen. Til slutt må vi kontrollere at løsningene ikke er blant de forbudte verdiene.

Fasit

Løsning: $x=3 - \sqrt{10}$ , $x=3 + \sqrt{10}$ .

Husk regel

I rasjonale likninger må du alltid finne forbudte x-verdier før du ganger med fellesnevner. En løsning som gjør en opprinnelig nevner lik 0, må forkastes.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale likninger, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å godta en falsk løsning, glemme fellesnevner, eller forkorte over likhetstegnet uten å kontrollere definisjonsmengden.

Oppgave 64

Løs rasjonal likning

Tema: Rasjonale likninger
Nivå: Krevende
Type: Likning med brøk

Løs likningen uten og med digitale hjelpemidler:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{4}{x^{2} + 2 x}=\frac{3}{2}$

Finn først hvilke x-verdier som ikke er lovlige.
Multipliser med fellesnevner og løs likningen.
Kontroller løsningen i den opprinnelige likningen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med definisjonsmengden. Nevnerne kan ikke være 0. Derfor er følgende verdier ikke lovlige: $x=-2$ , $x=0$ .

Deretter multipliserer vi begge sider med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner. Etter forenkling løser vi den nye likningen. Til slutt må vi kontrollere at løsningene ikke er blant de forbudte verdiene.

Fasit

Løsning: $x=-3 + \sqrt{17}$ , $x=- \sqrt{17} - 3$ .

Husk regel

I rasjonale likninger må du alltid finne forbudte x-verdier før du ganger med fellesnevner. En løsning som gjør en opprinnelig nevner lik 0, må forkastes.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale likninger, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å godta en falsk løsning, glemme fellesnevner, eller forkorte over likhetstegnet uten å kontrollere definisjonsmengden.

Oppgave 65

Løs rasjonal likning

Tema: Rasjonale likninger
Nivå: Krevende
Type: Likning med brøk

Løs likningen uten og med digitale hjelpemidler:

$\frac{1}{x^{2} - 9} + \frac{1}{2 x - 6}=\frac{1}{4 x}$

Finn først hvilke x-verdier som ikke er lovlige.
Multipliser med fellesnevner og løs likningen.
Kontroller løsningen i den opprinnelige likningen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med definisjonsmengden. Nevnerne kan ikke være 0. Derfor er følgende verdier ikke lovlige: $x=-3$ , $x=0$ , $x=3$ .

Deretter multipliserer vi begge sider med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner. Etter forenkling løser vi den nye likningen. Til slutt må vi kontrollere at løsningene ikke er blant de forbudte verdiene.

Fasit

Løsning: $x=-1 - 2 \sqrt{2} i$ , $x=-1 + 2 \sqrt{2} i$ .

Husk regel

I rasjonale likninger må du alltid finne forbudte x-verdier før du ganger med fellesnevner. En løsning som gjør en opprinnelig nevner lik 0, må forkastes.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale likninger, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å godta en falsk løsning, glemme fellesnevner, eller forkorte over likhetstegnet uten å kontrollere definisjonsmengden.

Oppgave 66

Løs rasjonal likning

Tema: Rasjonale likninger
Nivå: Krevende
Type: Likning med brøk

Løs likningen uten og med digitale hjelpemidler:

$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}=3$

Finn først hvilke x-verdier som ikke er lovlige.
Multipliser med fellesnevner og løs likningen.
Kontroller løsningen i den opprinnelige likningen.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med definisjonsmengden. Nevnerne kan ikke være 0. Derfor er følgende verdier ikke lovlige: $x=-1$ , $x=1$ .

Deretter multipliserer vi begge sider med fellesnevneren slik at brøkene forsvinner. Etter forenkling løser vi den nye likningen. Til slutt må vi kontrollere at løsningene ikke er blant de forbudte verdiene.

Fasit

Løsning: $x=\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{41}}{4}$ , $x=\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}$ .

Husk regel

I rasjonale likninger må du alltid finne forbudte x-verdier før du ganger med fellesnevner. En løsning som gjør en opprinnelig nevner lik 0, må forkastes.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale likninger, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å godta en falsk løsning, glemme fellesnevner, eller forkorte over likhetstegnet uten å kontrollere definisjonsmengden.

Oppgave 67

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $\frac{x - 3}{x + 1} >0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $x - 3$ . Nevner: $x + 1$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, -1)	positiv
(-1, 3)	negativ
(3, ∞)	positiv

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, -1\right) \cup \left(3, \infty\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 68

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $\frac{4 - 2 x}{x - 1} <0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $2 \left(x - 2\right)$ . Nevner: $x - 1$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, 1)	negativ
(1, 2)	positiv
(2, ∞)	negativ

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, 1\right) \cup \left(2, \infty\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 69

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $\frac{2}{x + 3} >0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $2$ . Nevner: $x + 3$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, -3)	negativ
(-3, ∞)	positiv

Fasit

Løsningen er $\left(-3, \infty\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 70

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $\frac{x + 4}{3 - 2 x} >=0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $x + 4$ . Nevner: $3 - 2 x$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, -4)	negativ
(-4, $\frac{3}{2}$ )	positiv
( $\frac{3}{2}$ , ∞)	negativ

Fasit

Løsningen er $\left[-4, \frac{3}{2}\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 71

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $\frac{x - 1}{x + 1} - 1 >0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $-2$ . Nevner: $x + 1$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, -1)	positiv
(-1, ∞)	negativ

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, -1\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 72

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $-3 + \frac{2 x - 4}{x - 1} <=0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $x - 1$ . Nevner: $x - 1$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, -1)	negativ
(-1, 1)	positiv
(1, ∞)	negativ

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, -1\right] \cup \left(1, \infty\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 73

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $x - 1 + \frac{5 x - 1}{x + 1} >0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$ . Nevner: $x + 1$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, -1)	positiv
(-1, 1)	negativ
(1, 2)	positiv
(2, ∞)	negativ

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, -1\right) \cup \left(1, 2\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 74

Løs rasjonal ulikhet med fortegnslinje

Tema: Rasjonale ulikheter
Nivå: Krevende
Type: Fortegnslinje

Løs ulikheten $x - 2 + \frac{8 - 6 x}{1 - x} >0 0$ .

Finn nullpunkter til teller og nevner.
Lag fortegnslinje.
Husk å skille mellom nullpunkt og bruddpunkt.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi skriver uttrykket på én brøk og faktoriserer teller og nevner.

Teller: $\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)$ . Nevner: $1 - x$ .

Nullpunktene til teller kan eventuelt tas med i svaret ved $\leq$ eller $\geq$ . Nullpunktene til nevneren er bruddpunkter og kan aldri tas med.

Intervall	Fortegn
(-∞, 1)	positiv
(1, 2)	negativ
(2, 3)	positiv
(3, ∞)	negativ

Fasit

Løsningen er $\left(-\infty, 1\right) \cup \left(2, 3\right)$ .

Husk regel

Flytt alt til én side, lag én brøk, faktoriser teller og nevner og bruk fortegnslinje. Bruddpunkter skal aldri være med i svaret.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen rasjonale ulikheter, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er å multiplisere med et uttrykk som kan være negativt, ta med bruddpunkt i svaret, eller ikke flytte alt til én side før fortegnslinjen lages.

Oppgave 75

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Bestem nullpunkter og verdimengde til funksjonen:

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 76

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Utfør polynomdivisjonen uten hjelpemidler:

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 18}{x - 2}$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$2 x^{2} + x - 9$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $2 x^{2} + x - 9$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 77

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Finn resten ved divisjonen:

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3}{x - 1}$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x - 1}$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x - 1}$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 78

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Løs likningen:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x + 5\right)$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x + 5\right)$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 79

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Forkort uttrykket:

$\frac{x^{3} + x^{2} - 6 x}{x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 24}$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\frac{x}{x + 4}$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\frac{x}{x + 4}$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 80

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Finn asymptotene til funksjonen:

$\frac{6 - 2 x}{x - 4}$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\frac{2 \left(x - 3\right)}{x - 4}$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\frac{2 \left(x - 3\right)}{x - 4}$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 81

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Bestem parameteren slik at divisjonen går opp:

$a x^{2} + x^{3} - 17 x + 60$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$a x^{2} + x^{3} - 17 x + 60$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $a x^{2} + x^{3} - 17 x + 60$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 82

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Løs rasjonal likning:

$-2 + \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 3}{x \left(x - 3\right)}$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\frac{2 x^{2} - 8 x + 3}{x \left(x - 3\right)}$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 83

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Løs rasjonal ulikhet:

$\frac{x - 2}{x + 1}$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\frac{x - 2}{x + 1}$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\frac{x - 2}{x + 1}$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 84

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Finn funksjonsuttrykk fra nullpunkter -2, 1 og 4 og y-skjæring 24:

$\left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(2 x + 4\right)$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$2 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $2 \left(x - 4\right) \left(x - 1\right) \left(x + 2\right)$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 85

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Bestem vertikal asymptote og nullpunkt:

$\frac{x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\frac{x - 6}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\frac{x - 6}{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 86

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Faktoriser mest mulig:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 87

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Finn heltallsløsninger:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 88

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Løs ulikheten:

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgave 89

Repetisjonsoppgave fra kapittel 4

Tema: Polynomer og rasjonale funksjoner
Nivå: Blandet
Type: Repetisjon

Skisser grafen og marker nullpunkter:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 12$

Vis mellomregning og forklar hvilken regel du bruker.

▸ Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi starter med å skrive uttrykket ryddig og undersøke om det kan faktoriseres, forkortes eller løses ved en kjent regel.

Faktorisert/forenklet form er:

$\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)$

Bruk denne formen videre: nullpunkter finnes ved å sette faktorene lik 0, bruddpunkter finnes ved å sette nevneren lik 0, og divisjonsoppgaver kontrolleres ved å multiplisere tilbake.

Fasit

Et forenklet grunnsvar er $\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)$ . Se trinnene over for metode og kontroll.

Husk regel

Velg metode etter uttrykkstype: polynomdivisjon for divisjon, faktorregelen for faktorer, fortegnslinje for ulikheter og definisjonsmengde først for rasjonale uttrykk.

Sensor ser etter

Sensor ser etter at du viser metode, bruker riktige begreper innen kapittel 4, skriver mellomregningene ryddig og kontrollerer at svaret faktisk passer i den opprinnelige oppgaven.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor metoden virker, for eksempel ved å koble nullpunkt til faktorer, asymptote til nevner lik null, eller fortegnslinje til intervaller. Du bør også kommentere eventuelle begrensninger i definisjonsmengden.

Vanlige feil i regningen

Vanlige feil er fortegnsfeil, å glemme definisjonsmengden, å stoppe før svaret er kontrollert, eller å bruke digitalt svar uten å forklare metoden.

Oppgaver om polynomer og rasjonale funksjoner

Utforsk tredjegradsfunksjoner med glidere

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Tegn og analyser en polynomfunksjon

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Fjerdegradsfunksjon med flere nullpunkter

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Fjerdegradsfunksjon med flere nullpunkter

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Fjerdegradsfunksjon med flere nullpunkter

Trinnvis løsning