Likningssystemer og ulikheter – oppgaver med trinnvis løsning

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = 2\cdot -1-1\cdot 1 = -3$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{11\cdot -1-1\cdot 1}{-3}=4$$

$$y=\frac{2\cdot 1-1\cdot 11}{-3}=3$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=4$ og $y=3$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $11$ og $1$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = 3\cdot 4-1\cdot -2 = 14$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{4\cdot 4-18\cdot -2}{14}=3.71429$$

$$y=\frac{3\cdot 18-1\cdot 4}{14}=3.57143$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=3.71429$ og $y=3.57143$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $4$ og $18$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = 5\cdot -3-2\cdot 2 = -19$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{31\cdot -3--1\cdot 2}{-19}=4.78947$$

$$y=\frac{5\cdot -1-2\cdot 31}{-19}=3.52632$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=4.78947$ og $y=3.52632$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $31$ og $-1$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = -2\cdot 1-4\cdot 3 = -14$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{13\cdot 1-7\cdot 3}{-14}=0.571429$$

$$y=\frac{-2\cdot 7-4\cdot 13}{-14}=4.71429$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=0.571429$ og $y=4.71429$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $13$ og $7$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = 1\cdot -1-3\cdot 2 = -7$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{17\cdot -1-4\cdot 2}{-7}=3.57143$$

$$y=\frac{1\cdot 4-3\cdot 17}{-7}=6.71429$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=3.57143$ og $y=6.71429$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $17$ og $4$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = 4\cdot -5-2\cdot 3 = -26$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{25\cdot -5--7\cdot 3}{-26}=4$$

$$y=\frac{4\cdot -7-2\cdot 25}{-26}=3$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=4$ og $y=3$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $25$ og $-7$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = 6\cdot 3-2\cdot -1 = 20$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{23\cdot 3-19\cdot -1}{20}=4.4$$

$$y=\frac{6\cdot 19-2\cdot 23}{20}=3.4$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=4.4$ og $y=3.4$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $23$ og $19$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg metode. Her kan vi bruke eliminasjon/addisjon. Vi kombinerer likningene slik at én av variablene forsvinner.

Trinn 2: Bruk systematisk regning. Determinanten er $D = -3\cdot 1-5\cdot 2 = -13$. Siden $D\neq 0$, har systemet nøyaktig én løsning.

Trinn 3: Finn x og y.

$$x=\frac{1\cdot 1-29\cdot 2}{-13}=4.38462$$

$$y=\frac{-3\cdot 29-5\cdot 1}{-13}=7.07692$$

Trinn 4: Kontroller. Sett $x=4.38462$ og $y=7.07692$ inn i begge likningene. Begge venstresider skal bli høyresidene $1$ og $29$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Definer variablene. La $x$ være prisen på én ungdomsbillett, og la $y$ være prisen på én voksenbillett.

Trinn 2: Lag likningssystemet.

$$\begin{cases} 2x+1y=325\\ 1x+3y=610 \end{cases}$$

Trinn 3: Løs systemet. Determinanten er $2\cdot 3-1\cdot 1=5$, altså finnes én løsning.

$$x=\frac{325\cdot 3-610\cdot 1}{5}=73,\qquad y=\frac{2\cdot 610-1\cdot 325}{5}=179$$

Trinn 4: Tolk svaret. $x$ og $y$ er priser, derfor skal svaret gis i kroner.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Definer variablene. La $x$ være prisen på én bolle, og la $y$ være prisen på én juice.

Trinn 2: Lag likningssystemet.

$$\begin{cases} 4x+2y=176\\ 6x+5y=385 \end{cases}$$

Trinn 3: Løs systemet. Determinanten er $4\cdot 5-6\cdot 2=8$, altså finnes én løsning.

$$x=\frac{176\cdot 5-385\cdot 2}{8}=13.75,\qquad y=\frac{4\cdot 385-6\cdot 176}{8}=60.5$$

Trinn 4: Tolk svaret. $x$ og $y$ er priser, derfor skal svaret gis i kroner.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Definer variablene. La $x$ være prisen på én abonnement, og la $y$ være prisen på én drop-in-time.

Trinn 2: Lag likningssystemet.

$$\begin{cases} 2x+3y=1290\\ 1x+5y=1030 \end{cases}$$

Trinn 3: Løs systemet. Determinanten er $2\cdot 5-1\cdot 3=7$, altså finnes én løsning.

$$x=\frac{1290\cdot 5-1030\cdot 3}{7}=480,\qquad y=\frac{2\cdot 1030-1\cdot 1290}{7}=110$$

Trinn 4: Tolk svaret. $x$ og $y$ er priser, derfor skal svaret gis i kroner.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Definer variablene. La $x$ være prisen på én notatbok, og la $y$ være prisen på én penn.

Trinn 2: Lag likningssystemet.

$$\begin{cases} 3x+4y=154\\ 5x+2y=170 \end{cases}$$

Trinn 3: Løs systemet. Determinanten er $3\cdot 2-5\cdot 4=-14$, altså finnes én løsning.

$$x=\frac{154\cdot 2-170\cdot 4}{-14}=26.5714,\qquad y=\frac{3\cdot 170-5\cdot 154}{-14}=18.5714$$

Trinn 4: Tolk svaret. $x$ og $y$ er priser, derfor skal svaret gis i kroner.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Definer variablene. La $x$ være prisen på én ukeskort, og la $y$ være prisen på én enkeltbillett.

Trinn 2: Lag likningssystemet.

$$\begin{cases} 2x+5y=890\\ 4x+3y=1210 \end{cases}$$

Trinn 3: Løs systemet. Determinanten er $2\cdot 3-4\cdot 5=-14$, altså finnes én løsning.

$$x=\frac{890\cdot 3-1210\cdot 5}{-14}=241.429,\qquad y=\frac{2\cdot 1210-4\cdot 890}{-14}=81.4286$$

Trinn 4: Tolk svaret. $x$ og $y$ er priser, derfor skal svaret gis i kroner.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Målet. Reduser tre likninger med tre ukjente til to likninger med to ukjente.

Trinn 2: Eliminer én variabel. Bruk par av likninger til å fjerne samme variabel, for eksempel $z$ eller $x$. Da får du et nytt system med to ukjente.

Trinn 3: Løs det nye systemet. Når én variabel er funnet, settes den tilbake for å finne de andre.

For dette systemet får vi: $$x=5,\qquad y=3,\qquad z=4$$

Trinn 4: Kontroll. Første likning gir $1\cdot 5+1\cdot 3+1\cdot 4=12$, som stemmer med høyresiden $12$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Målet. Reduser tre likninger med tre ukjente til to likninger med to ukjente.

Trinn 2: Eliminer én variabel. Bruk par av likninger til å fjerne samme variabel, for eksempel $z$ eller $x$. Da får du et nytt system med to ukjente.

Trinn 3: Løs det nye systemet. Når én variabel er funnet, settes den tilbake for å finne de andre.

For dette systemet får vi: $$x=4,\qquad y=1,\qquad z=2$$

Trinn 4: Kontroll. Første likning gir $2\cdot 4+1\cdot 1+-1\cdot 2=7$, som stemmer med høyresiden $7$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Målet. Reduser tre likninger med tre ukjente til to likninger med to ukjente.

Trinn 2: Eliminer én variabel. Bruk par av likninger til å fjerne samme variabel, for eksempel $z$ eller $x$. Da får du et nytt system med to ukjente.

Trinn 3: Løs det nye systemet. Når én variabel er funnet, settes den tilbake for å finne de andre.

For dette systemet får vi: $$x=3,\qquad y=4,\qquad z=3$$

Trinn 4: Kontroll. Første likning gir $1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 3=20$, som stemmer med høyresiden $20$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Målet. Reduser tre likninger med tre ukjente til to likninger med to ukjente.

Trinn 2: Eliminer én variabel. Bruk par av likninger til å fjerne samme variabel, for eksempel $z$ eller $x$. Da får du et nytt system med to ukjente.

Trinn 3: Løs det nye systemet. Når én variabel er funnet, settes den tilbake for å finne de andre.

For dette systemet får vi: $$x=4,\qquad y=5,\qquad z=0$$

Trinn 4: Kontroll. Første likning gir $2\cdot 4+3\cdot 5+1\cdot 0=23$, som stemmer med høyresiden $23$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Målet. Reduser tre likninger med tre ukjente til to likninger med to ukjente.

Trinn 2: Eliminer én variabel. Bruk par av likninger til å fjerne samme variabel, for eksempel $z$ eller $x$. Da får du et nytt system med to ukjente.

Trinn 3: Løs det nye systemet. Når én variabel er funnet, settes den tilbake for å finne de andre.

For dette systemet får vi: $$x=5,\qquad y=1,\qquad z=4$$

Trinn 4: Kontroll. Første likning gir $1\cdot 5+1\cdot 1+-2\cdot 4=-2$, som stemmer med høyresiden $-2$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Målet. Reduser tre likninger med tre ukjente til to likninger med to ukjente.

Trinn 2: Eliminer én variabel. Bruk par av likninger til å fjerne samme variabel, for eksempel $z$ eller $x$. Da får du et nytt system med to ukjente.

Trinn 3: Løs det nye systemet. Når én variabel er funnet, settes den tilbake for å finne de andre.

For dette systemet får vi: $$x=3,\qquad y=2,\qquad z=4$$

Trinn 4: Kontroll. Første likning gir $3\cdot 3+1\cdot 2+2\cdot 4=19$, som stemmer med høyresiden $19$.

Trinnvis løsning

Trinn 1: La $x$, $y$ og $z$ være prisene på rundstykke, yoghurt og frukt.

Trinn 2: Hver rad i tabellen gir én likning. Dermed får vi tre likninger med tre ukjente.

Trinn 3: Ved eliminasjon eller CAS/regning får vi: $$x=24,\quad y=18,\quad z=12$$

Trinn 4: Kontroller rad 1: $2\cdot 24+1\cdot 18+3\cdot 12=102$, som stemmer.

Trinnvis løsning

Trinn 1: La $x$, $y$ og $z$ være prisene på barn, ungdom og voksen.

Trinn 2: Hver rad i tabellen gir én likning. Dermed får vi tre likninger med tre ukjente.

Trinn 3: Ved eliminasjon eller CAS/regning får vi: $$x=80,\quad y=120,\quad z=160$$

Trinn 4: Kontroller rad 1: $2\cdot 80+3\cdot 120+1\cdot 160=680$, som stemmer.

Trinnvis løsning

Trinn 1: La $x$, $y$ og $z$ være prisene på liten pakke, middels pakke og stor pakke.

Trinn 2: Hver rad i tabellen gir én likning. Dermed får vi tre likninger med tre ukjente.

Trinn 3: Ved eliminasjon eller CAS/regning får vi: $$x=35,\quad y=55,\quad z=90$$

Trinn 4: Kontroller rad 1: $3\cdot 35+2\cdot 55+1\cdot 90=305$, som stemmer.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$x^2-4=2x+4$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(-2,0),\; (4,12)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$x^2-2x-3=x+3$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(-1,2),\; (6,9)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$t^2-11t+24=0$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(3,8),\; (8,3)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$y^2+5y-36=0$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(9,4),\; (-4,-9)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$x^2+(x+1)^2=25$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(3,4),\; (-4,-3)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$x^2-6x+5=5$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(0,5),\; (6,5)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$x^2-1=-x^2+7$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(-2,3),\; (2,3)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Bruk substitusjon. Siden uttrykkene beskriver samme $y$, eller kan skrives om til samme variabel, setter vi uttrykkene lik hverandre.

Vi får likningen: $$x(x+1)=12$$

Trinn 2: Løs den nye likningen. En andregradslikning kan gi to løsninger, og derfor kan systemet ha to skjæringspunkter.

Trinn 3: Finn y-verdiene. Sett hver x-verdi inn i en av de opprinnelige likningene.

Skjæringspunktene blir: $$(3,4),\; (-4,-3)$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$3x-7<14\quad \Rightarrow \quad 3x<21$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x<7$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$-2x+5≥17\quad \Rightarrow \quad -2x≥12$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x≤-6$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$5-4x<21\quad \Rightarrow \quad -4x<16$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x>-4$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$2(x-3)+5≤17\quad \Rightarrow \quad 2x-1≤17$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x≤9$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$7x+4>3x-20\quad \Rightarrow \quad 4x>-24$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x>-6$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$-3(x+2)≤12\quad \Rightarrow \quad -3x-6≤12$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x≥-6$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$4-5x≥29\quad \Rightarrow \quad -5x≥25$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x≤-5$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Flytt ledd slik at x-leddene samles.

$$8+2x<3x+15\quad \Rightarrow \quad -7<x$$

Trinn 2: Del eller multipliser for å få x alene.

$$x>-7$$

Trinn 3: Sjekk ulikhetstegnet. Når vi deler eller multipliserer med et negativt tall, må ulikhetstegnet snus.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Gjør samme operasjon på alle tre delene av ulikheten.

$$−4 < 2x+6 ≤ 18\Rightarrow -10 < 2x ≤ 12$$

Trinn 2: Del alle ledd slik at $x$ står alene. Husk at hvis du deler på et negativt tall, snus begge ulikhetstegn.

$$-5 < x ≤ 6$$

Trinn 3: Runde parenteser brukes der endepunktet ikke er med. Hakeparentes brukes der endepunktet er med.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Gjør samme operasjon på alle tre delene av ulikheten.

$$3 ≤ 5x−2 < 23\Rightarrow 5 ≤ 5x < 25$$

Trinn 2: Del alle ledd slik at $x$ står alene. Husk at hvis du deler på et negativt tall, snus begge ulikhetstegn.

$$1 ≤ x < 5$$

Trinn 3: Runde parenteser brukes der endepunktet ikke er med. Hakeparentes brukes der endepunktet er med.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Gjør samme operasjon på alle tre delene av ulikheten.

$$−12 ≤ 4−2x < 10\Rightarrow -16 ≤ -2x < 6$$

Trinn 2: Del alle ledd slik at $x$ står alene. Husk at hvis du deler på et negativt tall, snus begge ulikhetstegn.

$$-3 < x ≤ 8$$

Trinn 3: Runde parenteser brukes der endepunktet ikke er med. Hakeparentes brukes der endepunktet er med.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Gjør samme operasjon på alle tre delene av ulikheten.

$$2 < 3x+5 ≤ 20\Rightarrow -3 < 3x ≤ 15$$

Trinn 2: Del alle ledd slik at $x$ står alene. Husk at hvis du deler på et negativt tall, snus begge ulikhetstegn.

$$-1 < x ≤ 5$$

Trinn 3: Runde parenteser brukes der endepunktet ikke er med. Hakeparentes brukes der endepunktet er med.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg variabel. La $x$ være den ukjente størrelsen i oppgaven.

Trinn 2: Sett opp ulikheten. $$129+2x ≤ 249$$

Trinn 3: Løs ulikheten. Etter å ha isolert $x$, får vi: $$x ≤ 60$$

Trinn 4: Tolk svaret. Siden oppgaven handler om en praktisk situasjon, må svaret vurderes med enhet og eventuelt hele tall.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg variabel. La $x$ være den ukjente størrelsen i oppgaven.

Trinn 2: Sett opp ulikheten. $$95+18x ≤ 365$$

Trinn 3: Løs ulikheten. Etter å ha isolert $x$, får vi: $$x ≤ 15$$

Trinn 4: Tolk svaret. Siden oppgaven handler om en praktisk situasjon, må svaret vurderes med enhet og eventuelt hele tall.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg variabel. La $x$ være den ukjente størrelsen i oppgaven.

Trinn 2: Sett opp ulikheten. $$349+199x < 1543$$

Trinn 3: Løs ulikheten. Etter å ha isolert $x$, får vi: $$x < 6, altså høyst 5 hele måneder$$

Trinn 4: Tolk svaret. Siden oppgaven handler om en praktisk situasjon, må svaret vurderes med enhet og eventuelt hele tall.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Velg variabel. La $x$ være den ukjente størrelsen i oppgaven.

Trinn 2: Sett opp ulikheten. $$23x+58 ≤ 920$$

Trinn 3: Løs ulikheten. Etter å ha isolert $x$, får vi: $$x ≤ 37,47, altså høyst 37 hefter$$

Trinn 4: Tolk svaret. Siden oppgaven handler om en praktisk situasjon, må svaret vurderes med enhet og eventuelt hele tall.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$x^2-5x+6>0\quad \Rightarrow \quad (x-2)(x-3)>0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $2, 3$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$x<2 eller x>3$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$x^2-9≤0\quad \Rightarrow \quad (x-3)(x+3)≤0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $−3, 3$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$−3≤x≤3$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$-x^2+4x+5≥0\quad \Rightarrow \quad -(x-5)(x+1)≥0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $−1, 5$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$−1≤x≤5$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$x^2+2x-15<0\quad \Rightarrow \quad (x+5)(x-3)<0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $−5, 3$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$−5<x<3$$

📊 Utforsk i GeoGebra Få mer forklaring

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$2x^2-8x>0\quad \Rightarrow \quad 2x(x-4)>0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $0, 4$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$x<0 eller x>4$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$x^3-4x^2-x+4≥0\quad \Rightarrow \quad (x+1)(x-1)(x-4)≥0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $−1, 1, 4$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$−1≤x≤1 eller x≥4$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$x^2-4x+4≥0\quad \Rightarrow \quad (x-2)^2≥0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $2$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$alle reelle tall$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Faktoriser polynomet.

$$-(x-1)(x+4)<0\quad \Rightarrow \quad -(x-1)(x+4)<0$$

Trinn 2: Finn nullpunktene. Nullpunktene er $−4, 1$. Disse deler tallinjen i intervaller.

Trinn 3: Lag fortegnsskjema. Test ett tall i hvert intervall, eller bruk at fortegnet skifter ved enkle røtter.

Trinn 4: Velg intervallene som passer ulikhetstegnet. Løsningen blir: $$x<−4 eller x>1$$

Trinnvis løsning

Trinn 1: Finn nullpunktene. Her er nullpunktene $2 og 4$.

Trinn 2: Nullpunktene deler tallinjen inn i intervaller. I hvert intervall har funksjonen fast fortegn.

Trinn 3: Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen hvis den er gitt.

Trinn 4: Skriv svaret med riktige intervalltegn. Husk at $>$ og $<$ ikke tar med nullpunktene, mens $\ge$ og $\le$ tar dem med.

Få mer forklaring

Trinnvis løsning

Trinn 1: Finn nullpunktene. Her er nullpunktene $−2 og 3$.

Trinn 2: Nullpunktene deler tallinjen inn i intervaller. I hvert intervall har funksjonen fast fortegn.

Trinn 3: Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen hvis den er gitt.

Trinn 4: Skriv svaret med riktige intervalltegn. Husk at $>$ og $<$ ikke tar med nullpunktene, mens $\ge$ og $\le$ tar dem med.

Trinnvis løsning

Trinn 1: Finn nullpunktene. Her er nullpunktene $−3, 0 og 1$.

Trinn 2: Nullpunktene deler tallinjen inn i intervaller. I hvert intervall har funksjonen fast fortegn.

Trinn 3: Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen hvis den er gitt.

Trinn 4: Skriv svaret med riktige intervalltegn. Husk at $>$ og $<$ ikke tar med nullpunktene, mens $\ge$ og $\le$ tar dem med.

Få mer forklaring

Trinnvis løsning

Trinn 1: Finn nullpunktene. Her er nullpunktene $−1 og 5$.

Trinn 2: Nullpunktene deler tallinjen inn i intervaller. I hvert intervall har funksjonen fast fortegn.

Trinn 3: Test ett tall i hvert intervall, eller bruk grafen hvis den er gitt.

Trinn 4: Skriv svaret med riktige intervalltegn. Husk at $>$ og $<$ ikke tar med nullpunktene, mens $\ge$ og $\le$ tar dem med.