Hva er en identitet i matematikk 1T?

En identitet er en likning som er sann for alle verdier av variabelen der uttrykkene er definert, for eksempel 2(x+3)=2x+6.

Hva betyr det å faktorisere?

Å faktorisere betyr å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer, for eksempel x^2-9=(x-3)(x+3).

Når bruker vi kvadratsetningene?

Vi bruker kvadratsetningene når vi skal regne ut eller faktorisere uttrykk som (a+b)^2, (a-b)^2 eller (a+b)(a-b).

Hvordan løser man en andregradslikning?

Noen andregradslikninger kan løses med faktorisering eller kvadratrot. Generelt kan abc-formelen brukes når likningen står på formen ax^2+bx+c=0.

Likninger og identiteter – oppgaver med fasit | Matematikk 1T

Oppgave 1

Regn ut et algebraisk uttrykk med parentes

Tema: Parentesregler og algebra
Nivå: Lett
Type: eksempeloppgave

Regn ut og skriv uttrykket så enkelt som mulig:

$8x-3(2x-5)$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Først ganger vi $3$ inn i parentesen:

$3(2x-5)=6x-15$

Uttrykket blir derfor:

$8x-3(2x-5)=8x-(6x-15)$

Minus foran parentesen gjør at begge fortegn endres:

$8x-6x+15=2x+15$

Fasit

$2x+15$

Husk regel

Når det står minus foran en parentes, må alle fortegn inne i parentesen endres når parentesen løses opp.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 2

Trekk sammen ledd av samme type

Tema: Algebraiske uttrykk
Nivå: Lett
Type: Regning

Regn ut.

$4x+2x+7x$
$6a-3a+8a$
$5x+3y-2x+6y$
$9p-4q-3p+7q$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$4x+2x+7x=13x$
$6a-3a+8a=11a$
Samle $x$ -ledd og $y$ -ledd: $(5x-2x)+(3y+6y)=3x+9y$
$(9p-3p)+(-4q+7q)=6p+3q$

Fasit

a) $13x$ b) $11a$ c) $3x+9y$ d) $6p+3q$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 3

Løs opp enkle parenteser

Tema: Parentesregler
Nivå: Lett
Type: Regning

Regn ut.

$2(x-5)$
$-3(y+4)$
$(x+6)(x+2)$
$(a-4)(a+7)$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$2(x-5)=2x-10$
$-3(y+4)=-3y-12$
$(x+6)(x+2)=x^2+2x+6x+12=x^2+8x+12$
$(a-4)(a+7)=a^2+7a-4a-28=a^2+3a-28$

Fasit

a) $2x-10$ b) $-3y-12$ c) $x^2+8x+12$ d) $a^2+3a-28$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 4

Regn ut med flere parenteser

Tema: Parentesregler
Nivå: Middels
Type: Regning med CAS-kontroll

Regn ut og kontroller gjerne med CAS.

$7+3(4-2a)$
$-4b(b-5)$
$6a-2(5a-3)$
$(4b-3)(3-b)$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$7+3(4-2a)=7+12-6a=19-6a$
$-4b(b-5)=-4b^2+20b$
$6a-2(5a-3)=6a-10a+6=-4a+6$
$(4b-3)(3-b)=12b-4b^2-9+3b=-4b^2+15b-9$

Fasit

a) $19-6a$ b) $-4b^2+20b$ c) $-4a+6$ d) $-4b^2+15b-9$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 5

Forklar en parentesmetode

Tema: Parentesregler og begrunnelse
Nivå: Middels
Type: Forklaring

En elev skal regne ut $3(2+x)(x-4)$ . Eleven ganger først $3$ inn i den første parentesen og får $(6+3x)(x-4)$ .

Forklar hvorfor dette er lov.
Regn ut uttrykket ved først å gange sammen parentesene $(2+x)(x-4)$ , og deretter gange med $3$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Multiplikasjon er assosiativ: vi kan gruppere faktorene på ulike måter uten at produktet endres. Derfor er $3(2+x)(x-4)=(3(2+x))(x-4)$ .

b) Først:

$(2+x)(x-4)=2x-8+x^2-4x=x^2-2x-8$

Så ganger vi med 3:

$3(x^2-2x-8)=3x^2-6x-24$

Fasit

Uttrykket blir $3x^2-6x-24$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 6

Geometrisk bevis for parentesregler

Tema: Algebra og geometri
Nivå: Middels
Type: Figur og bevis

Figuren viser rektangler som er delt opp i mindre deler.

Skriv arealet av hvert lite rektangel.
Bruk figuren til å forklare hvorfor $c(a+b)=ca+cb$ .
Bruk den andre figuren til å forklare hvorfor $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) I første figur har delene arealene $ca$ og $cb$ . I andre figur har delene arealene $ac$ , $bc$ , $ad$ og $bd$ .

b) Hele rektangelet har høyde $c$ og bredde $a+b$ , altså areal $c(a+b)$ . Det samme arealet er summen av delene: $ca+cb$ . Derfor er $c(a+b)=ca+cb$ .

c) Hele rektangelet har sider $a+b$ og $c+d$ . Arealet er $(a+b)(c+d)$ . Summen av de fire delarealene er $ac+ad+bc+bd$ . Dermed får vi identiteten.

Fasit

Figuren beviser distributiv lov og utvidet parentesmultiplikasjon.

Husk regel

Areal kan brukes som bevis fordi samme geometriske område kan uttrykkes både som ett stort areal og som summen av delarealene.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7

Undersøk om en likning er en identitet

Tema: Identiteter
Nivå: Middels
Type: CAS og algebra

Undersøk algebraisk om likningene er identiteter.

$-2(x-4)=-2x+8$
$3(x+2)-x=2x+7$
$\frac{6x}{3}=2x$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Venstre side blir $-2x+8$ , som er lik høyre side. Dette er en identitet.
Venstre side blir $3x+6-x=2x+6$ , ikke $2x+7$ . Dette er ikke en identitet.
$\frac{6x}{3}=2x$ for alle verdier av $x$ . Dette er en identitet.

Fasit

a) Identitet. b) Ikke identitet. c) Identitet.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 8

Bestem konstanter i en identitet

Tema: Identiteter
Nivå: Middels
Type: Parameterbestemmelse

Bestem $m$ og $n$ slik at likningen blir en identitet:

$5x-3(x+2)=mx+n$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi regner først ut venstre side:

$5x-3(x+2)=5x-3x-6=2x-6$

For at dette skal være lik $mx+n$ for alle $x$ , må koeffisienten foran $x$ være lik på begge sider, og konstantleddet må være likt.

$m=2,\quad n=-6$

Fasit

$m=2$ og $n=-6$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 9

Flere identiteter med ukjente koeffisienter

Tema: Identiteter
Nivå: Middels
Type: Regning

Bestem konstantene slik at likningene blir identiteter.

$kx+8=4x+8$
$3(x-2)=3x+n$
$2a(4-3x)=24-bx$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Sammenlikn $x$ -ledd: $k=4$ .
$3(x-2)=3x-6$ , så $n=-6$ .
Venstre side er $8a-6ax$ . For at dette skal være $24-bx$ , må $8a=24$ , altså $a=3$ . Da er $-6ax=-18x$ , så $b=18$ .

Fasit

a) $k=4$ b) $n=-6$ c) $a=3, b=18$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 10

Talleksempel som alltid gir samme resultat

Tema: Algebraisk algoritme
Nivå: Middels
Type: Utforskende oppgave

En lærer gir denne instruksen: Tenk på et heltall. Trekk fra $3$ . Multipliser med $5$ . Legg til $15$ . Trekk fra fem ganger tallet du startet med.

Prøv med tre ulike tall.
La starttallet være $x$ . Vis algebraisk hva resultatet alltid blir.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Starter vi med 2: $(2-3)\cdot5+15-5\cdot2=-5+15-10=0$ . Starter vi med 7: $(7-3)\cdot5+15-35=20+15-35=0$ . Starter vi med $-1$ : $(-1-3)\cdot5+15-5(-1)=-20+15+5=0$ .

b) Med starttall $x$ :

$5(x-3)+15-5x=5x-15+15-5x=0$

Fasit

Resultatet blir alltid $0$ .

Husk regel

Når en påstand skal gjelde alle tall, må den vises med en variabel, ikke bare med tre eksempler.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 11

Primtallsfaktoriser tall

Tema: Faktorisering
Nivå: Lett
Type: Regning

Primtallsfaktoriser tallene.

252
84
900
54

Vis løsning

Trinnvis løsning

$252=2\cdot126=2^2\cdot63=2^2\cdot3^2\cdot7$
$84=2\cdot42=2^2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7$
$900=9\cdot100=3^2\cdot2^2\cdot5^2$
$54=2\cdot27=2\cdot3^3$

Fasit

a) $2^2\cdot3^2\cdot7$ b) $2^2\cdot3\cdot7$ c) $2^2\cdot3^2\cdot5^2$ d) $2\cdot3^3$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 12

Faktoriser ved å sette felles faktor utenfor

Tema: Felles faktor
Nivå: Lett
Type: Faktorisering

Faktoriser uttrykkene.

$6x+18$
$9b-27$
$15c^2-25c$
$12d^3+36d^2$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Felles faktor er $6$ : $6x+18=6(x+3)$
Felles faktor er $9$ : $9b-27=9(b-3)$
Felles faktor er $5c$ : $15c^2-25c=5c(3c-5)$
Felles faktor er $12d^2$ : $12d^3+36d^2=12d^2(d+3)$

Fasit

a) $6(x+3)$ b) $9(b-3)$ c) $5c(3c-5)$ d) $12d^2(d+3)$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 13

Faktoriser med negativ felles faktor

Tema: Felles faktor og fortegn
Nivå: Middels
Type: Faktorisering

Faktoriser uttrykkene.

$-3x+12$
$-5x-20x^2$
$36xy^2-27x^2y$
$18x^2+30x+6$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$-3x+12=-3(x-4)$
$-5x-20x^2=-5x(1+4x)$
Felles faktor er $9xy$ : $36xy^2-27x^2y=9xy(4y-3x)$
Felles faktor er $6$ : $18x^2+30x+6=6(3x^2+5x+1)$

Fasit

a) $-3(x-4)$ b) $-5x(1+4x)$ c) $9xy(4y-3x)$ d) $6(3x^2+5x+1)$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 14

Skriv uttrykk med faktor utenfor parentes

Tema: Faktorisering og brøkkoeffisienter
Nivå: Middels
Type:

Skriv uttrykkene på formen som er oppgitt.

Skriv $6x+5$ på formen $6(x+a)$ .
Skriv $3x+7$ på formen $3(x+a)$ .
Skriv $7x-14$ på formen $-7(a-x)$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

$6(x+a)=6x+6a$ . Vi må ha $6a=5$ , altså $a=\frac56$ . Dermed $6x+5=6(x+\frac56)$ .
$3a=7$ , så $a=\frac73$ . Dermed $3x+7=3(x+\frac73)$ .
$-7(a-x)=-7a+7x$ . Vi vil ha $7x-14$ , så $-7a=-14$ , altså $a=2$ . Dermed $7x-14=-7(2-x)$ .

Fasit

a) $6(x+\frac56)$ b) $3(x+\frac73)$ c) $-7(2-x)$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 15

Faktoriser ved felles parentes

Tema: Felles faktor som parentes
Nivå: Middels
Type: Faktorisering

Faktoriser uttrykkene ved å sette den felles parentesen utenfor.

$x(x+4)+(x+4)(x+6)$
$(m-2)(3m+1)+(m-2)(m+5)$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Felles faktor er $(x+4)$ :
$x(x+4)+(x+4)(x+6)=(x+4)(x+x+6)=(x+4)(2x+6)=2(x+4)(x+3)$
Felles faktor er $(m-2)$ :
$(m-2)(3m+1)+(m-2)(m+5)=(m-2)(3m+1+m+5)=(m-2)(4m+6)=2(m-2)(2m+3)$

Fasit

a) $2(x+4)(x+3)$ b) $2(m-2)(2m+3)$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 16

Bevis partall og oddetall med algebra

Tema: Algebraisk bevis
Nivå: Middels
Type: Bevis

Bevis påstandene.

Summen av to partall er et partall.
Summen av tre etterfølgende hele tall er delelig med 3.
Kvadratet av et oddetall er et oddetall.

Vis løsning

Trinnvis løsning

La partallene være $2m$ og $2n$ . Summen er $2m+2n=2(m+n)$ , altså et partall.
La tallene være $n$ , $n+1$ og $n+2$ . Summen er $3n+3=3(n+1)$ , altså delelig med 3.
Et oddetall kan skrives $2k+1$ . Kvadratet blir $(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ , altså et oddetall.

Fasit

Alle tre påstandene er bevist generelt.

Husk regel

Et generelt bevis må bruke en variabel som representerer alle mulige tilfeller.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 17

Faktoriser med sum-produktmetoden

Tema: Andregradsuttrykk
Nivå: Middels
Type: Faktorisering

Faktoriser uttrykkene med sum-produktmetoden.

$x^2+7x+12$
$x^2-6x+8$
$x^2+x-20$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi trenger to tall med produkt 12 og sum 7: 3 og 4. Derfor $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$ .
Produkt 8 og sum -6: -2 og -4. Derfor $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ .
Produkt -20 og sum 1: 5 og -4. Derfor $x^2+x-20=(x+5)(x-4)$ .

Fasit

a) $(x+3)(x+4)$ b) $(x-2)(x-4)$ c) $(x+5)(x-4)$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 18

Illustrer differansen mellom kvadrattall

Tema: Kvadrattall og bevis
Nivå: Middels
Type: Figur og forklaring

Forklar med figur eller algebra at differansen mellom to etterfølgende kvadrattall alltid er et oddetall. Bruk først $4^2$ og $3^2$ , og deretter et generelt tall $n$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Med tall får vi:

$4^2-3^2=16-9=7$

Dette er et oddetall.

Generelt er to etterfølgende kvadrattall $(n+1)^2$ og $n^2$ . Differansen er:

$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$

Uttrykket $2n+1$ er alltid oddetall.

Fasit

Differansen er $2n+1$ , altså et oddetall.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 19

Forenkle uttrykk med røtter

Tema: Røtter og faktorisering
Nivå: Middels
Type: Regning

Vis at uttrykket kan skrives enklere:

$\sqrt{108}-\sqrt{75}=\sqrt3$

Forklar hvert steg.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi faktoriserer tallene under rottegnet slik at vi får kvadrattall:

$\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3$

$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3$

Da får vi:

$\sqrt{108}-\sqrt{75}=6\sqrt3-5\sqrt3=\sqrt3$

Fasit

$\sqrt{108}-\sqrt{75}=\sqrt3$

Husk regel

Du kan bare trekke sammen røtter når rotuttrykkene er like, for eksempel $6\sqrt3-5\sqrt3$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 20

Faktoriser og vis en identitet

Tema: Faktorisering og identitet
Nivå: Krevende
Type: Bevisregning

Faktoriser venstre side og vis at identiteten stemmer:

$(x+4)(3-x)-(3-x)^2=(3-x)(2x+1)$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Begge ledd på venstre side har faktoren $(3-x)$ :

$(x+4)(3-x)-(3-x)^2=(3-x)((x+4)-(3-x))$

Regn ut parentesen:

$(x+4)-(3-x)=x+4-3+x=2x+1$

Dermed:

$(3-x)((x+4)-(3-x))=(3-x)(2x+1)$

Fasit

Identiteten er vist.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 21

Formuler kvadratsetningene med ord

Tema: Kvadratsetningene
Nivå: Lett
Type: Begrepsforklaring

Formuler andre kvadratsetning og konjugatsetningen med ord.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Andre kvadratsetning: Kvadratet av differansen mellom to tall er kvadratet av det første tallet, minus to ganger produktet av tallene, pluss kvadratet av det andre tallet.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Konjugatsetningen: Produktet av summen og differansen av de samme to tallene er kvadratet av det første tallet minus kvadratet av det andre tallet.

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Fasit

Andre kvadratsetning: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Konjugatsetningen: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 22

Bruk kvadratsetningene

Tema: Kvadratsetningene
Nivå: Lett
Type: Regning

Bruk kvadratsetningene til å regne ut.

$(x+5)^2$
$(x-7)^2$
$(x+6)(x-6)$
$(2x-3)^2$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$(x+5)^2=x^2+10x+25$
$(x-7)^2=x^2-14x+49$
$(x+6)(x-6)=x^2-36$
$(2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2-12x+9$

Fasit

a) $x^2+10x+25$ b) $x^2-14x+49$ c) $x^2-36$ d) $4x^2-12x+9$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 23

Velg rask metode for kvadrat

Tema: Kvadratsetning og hoderegning
Nivå: Lett
Type: Forklaring

En elev regner $(6+4)^2$ ved å bruke første kvadratsetning. En annen elev mener at det er enklere å regne på en annen måte. Forklar hvilken metode som er mest effektiv her, og regn ut svaret.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Første kvadratsetning gir riktig svar:

$(6+4)^2=6^2+2\cdot6\cdot4+4^2=36+48+16=100$

Men siden $6+4=10$ , er det raskere å først legge sammen tallene:

$(6+4)^2=10^2=100$

Kvadratsetningen er nyttig når uttrykket inneholder variabler eller når summen ikke er like enkel å regne direkte.

Fasit

Svaret er $100$ . Den raskeste metoden her er å regne $6+4=10$ først.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 24

Regn ut tall raskt med kvadratsetninger

Tema: Kvadratsetningene i hoderegning
Nivå: Middels
Type: Regning

Bruk kvadratsetningene til å regne ut uten kalkulator.

$103^2$
$58\cdot62$
$(\sqrt{11}-2)(\sqrt{11}+2)$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$103^2=(100+3)^2=10000+600+9=10609$
$58\cdot62=(60-2)(60+2)=60^2-2^2=3600-4=3596$
$(\sqrt{11}-2)(\sqrt{11}+2)=(\sqrt{11})^2-2^2=11-4=7$

Fasit

a) 10609 b) 3596 c) 7

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 25

Faktoriser med kvadratsetningene

Tema: Kvadratsetningene
Nivå: Middels
Type: Faktorisering

Faktoriser ved å bruke kvadratsetningene.

$x^2+10x+25$
$a^2-14a+49$
$y^2-81$
$4x^2-12x+9$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$x^2+10x+25=(x+5)^2$
$a^2-14a+49=(a-7)^2$
$y^2-81=(y-9)(y+9)$
$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

Fasit

a) $(x+5)^2$ b) $(a-7)^2$ c) $(y-9)(y+9)$ d) $(2x-3)^2$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 26

Finn arealet av et utskåret kvadrat

Tema: Kvadratsetninger og geometri
Nivå: Middels
Type: Figur og algebra

Et kvadrat med side $s$ har et mindre kvadrat med side $t$ skåret bort. Finn et faktorisert uttrykk for arealet som er igjen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Arealet av det store kvadratet er $s^2$ . Arealet av det lille kvadratet er $t^2$ . Arealet som er igjen er derfor:

$s^2-t^2$

Dette er en differanse mellom to kvadrater, så vi bruker konjugatsetningen:

$s^2-t^2=(s-t)(s+t)$

Fasit

$(s-t)(s+t)$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27

Fullfør kvadratet

Tema: Fullstendig kvadrat
Nivå: Krevende
Type: Faktorisering

Faktoriser uttrykket ved å fullføre kvadratet:

$x^2-8x+7$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi ser på de to første leddene $x^2-8x$ . Halvparten av $-8$ er $-4$ , og kvadratet er $16$ . Derfor legger vi til og trekker fra $16$ :

$x^2-8x+7=x^2-8x+16-16+7$

De tre første leddene er et fullstendig kvadrat:

$(x-4)^2-9$

Dette er differanse mellom kvadrater:

$(x-4)^2-3^2=(x-7)(x-1)$

Fasit

$(x-7)(x-1)$

Husk regel

Ved fullstendig kvadrat bruker vi $x^2+bx=(x+\frac b2)^2-(\frac b2)^2$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 28

Forkort algebraisk brøk

Tema: Algebraiske brøker
Nivå: Middels
Type: Forkorting

Forkort brøkene så langt som mulig.

$\frac{x^2-36}{x-6}$
$\frac{x^2+6x+9}{x+3}$
$\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$x^2-36=(x-6)(x+6)$ . Dermed $\frac{(x-6)(x+6)}{x-6}=x+6$ , for $x\neq6$ .
$x^2+6x+9=(x+3)^2$ . Dermed $\frac{(x+3)^2}{x+3}=x+3$ , for $x\neq-3$ .
$x^2-10x+25=(x-5)^2$ , og $x^2-25=(x-5)(x+5)$ . Dermed $\frac{x-5}{x+5}$ , for $x\neq \pm5$ .

Fasit

a) $x+6$ b) $x+3$ c) $\frac{x-5}{x+5}$

Husk regel

Du kan bare forkorte felles faktorer, ikke enkeltledd som står i en sum.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 29

Bestem parameter slik at en brøk kan forkortes

Tema: Algebraiske brøker
Nivå: Krevende
Type: Parameter og faktorisering

Bestem $k$ slik at brøken kan forkortes:

$\frac{x^2-6x+k}{x-2}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

For at brøken skal kunne forkortes med $x-2$ , må $x-2$ være en faktor i telleren. Det betyr at telleren må bli 0 når $x=2$ .

Sett $x=2$ :

$2^2-6\cdot2+k=0$

$4-12+k=0$

$k=8$

Da er telleren $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ , og brøken kan forkortes.

Fasit

$k=8$

Husk regel

Et uttrykk er delelig med $x-a$ når uttrykket får verdien 0 for $x=a$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 30

Regn med algebraiske brøker

Tema: Algebraiske brøker
Nivå: Middels
Type: Brøkregning

Regn ut og forkort.

$\frac{2}{a}+\frac{3}{a}$
$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
$\frac{4b}{9}\cdot\frac{3}{2b}$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Like nevnere: $\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=\frac{5}{a}$
Like nevnere: $\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$ , for $x\neq1$ .
$\frac{4b}{9}\cdot\frac{3}{2b}=\frac{12b}{18b}=\frac23$ , for $b\neq0$ .

Fasit

a) $\frac5a$ b) $1$ c) $\frac23$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 31

Løs førstegradslikninger

Tema: Likninger
Nivå: Lett
Type: Regning

Løs likningene og sett prøve på minst én av dem.

$3x+5=20$
$7-2x=15$
$4(x-1)=2x+10$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$3x+5=20\Rightarrow3x=15\Rightarrow x=5$
$7-2x=15\Rightarrow -2x=8\Rightarrow x=-4$
$4x-4=2x+10\Rightarrow2x=14\Rightarrow x=7$ . Prøve: $4(7-1)=24$ , og $2\cdot7+10=24$ .

Fasit

a) $x=5$ b) $x=-4$ c) $x=7$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 32

Lag likninger med ulike løsningsmengder

Tema: Likningsforståelse
Nivå: Middels
Type: Konstruksjon

Lag én likning som har:

nøyaktig én løsning, nemlig $x=4$
ingen løsninger
alle reelle tall som løsninger

Vis løsning

Trinnvis løsning

Et eksempel er $x+2=6$ , som gir $x=4$ .
Et eksempel er $x+1=x+3$ . Trekker vi fra $x$ , får vi $1=3$ , som er umulig.
Et eksempel er $2(x+1)=2x+2$ . Begge sider er like for alle $x$ , så løsningsmengden er $\mathbb R$ .

Fasit

Mulige svar: a) $x+2=6$ b) $x+1=x+3$ c) $2(x+1)=2x+2$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 33

Tekstoppgave med alder

Tema: Likninger og tekstoppgaver
Nivå: Middels
Type: Modellering

Noor er 10 år eldre enn Sara. Om 4 år er Noor dobbelt så gammel som Sara var for 2 år siden. Hvor gamle er de nå?

Vis løsning

Trinnvis løsning

La Saras alder nå være $x$ . Da er Noors alder $x+10$ .

Om 4 år er Noor $x+14$ . Sara var $x-2$ for 2 år siden. Opplysningen gir:

$x+14=2(x-2)$

Løs:

$x+14=2x-4$

$18=x$

Sara er 18 år, og Noor er $18+10=28$ år.

Fasit

Sara er 18 år og Noor er 28 år.

Husk regel

Definer alltid variabelen før du setter opp likningen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 34

Gjør om en formel

Tema: Formelregning
Nivå: Middels
Type: Løse med hensyn på en variabel

Formelen for gjennomsnittsfart er $v=\frac{s}{t}$ .

Finn en formel for $s$ .
Finn en formel for $t$ .
Ada sykler med $18$ km/h i $40$ minutter. Hvor langt sykler hun?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Ganger vi med $t$ , får vi $s=vt$ .
Fra $v=\frac{s}{t}$ ganger vi med $t$ : $vt=s$ . Deler vi på $v$ , får vi $t=\frac{s}{v}$ .
$40$ minutter er $\frac{40}{60}=\frac23$ time. Da er $s=18\cdot\frac23=12$ km.

Fasit

a) $s=vt$ b) $t=\frac{s}{v}$ c) 12 km

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 35

Løs en kvadratlikning med kvadratrot

Tema: Andregradslikninger
Nivå: Lett
Type: Regning

Løs likningene.

$x^2=49$
$(x-2)^2=25$
$3x^2=48$

Vis løsning

Trinnvis løsning

$x=\pm7$
$x-2=\pm5$ , så $x=7$ eller $x=-3$ .
$x^2=16$ , så $x=\pm4$ .

Fasit

a) $x=\pm7$ b) $x=7$ eller $x=-3$ c) $x=\pm4$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlig feil er å bare ta den positive roten. Husk at $x^2=49$ har to løsninger: $x=7$ og $x=-7$ .

Oppgave 36

Bruk abc-formelen

Tema: Andregradslikninger
Nivå: Middels
Type: Regning

Løs likningen ved å bruke abc-formelen:

$x^2-7x+10=0$

Vis løsning

Trinnvis løsning

Her er $a=1$ , $b=-7$ og $c=10$ . Abc-formelen er:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Sett inn:

$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}$

$x=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\frac{7\pm3}{2}$

Da får vi $x=5$ eller $x=2$ .

Fasit

$x=2$ eller $x=5$

Husk regel

Abc-formelen brukes på likninger på formen $ax^2+bx+c=0$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 37

Bestem konstant når en andregradslikning har én løsning

Tema: Diskriminant
Nivå: Krevende
Type: Parameter

Bestem $k$ slik at likningen har nøyaktig én løsning:

$x^2-6x+k=0$

Vis løsning

Trinnvis løsning

En andregradslikning har nøyaktig én løsning når diskriminanten er 0:

$\Delta=b^2-4ac=0$

Her er $a=1$ , $b=-6$ , $c=k$ :

$(-6)^2-4\cdot1\cdot k=0$

$36-4k=0$

$k=9$

Fasit

$k=9$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 38

Areal av ring mellom to sirkler

Tema: Geometri og faktorisering
Nivå: Middels
Type: Figur og formel

To sirkler har samme sentrum. Den store har radius $R$ , og den lille har radius $r$ . Finn et faktorisert uttrykk for arealet av området mellom sirklene.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Arealet av den store sirkelen er $\pi R^2$ . Arealet av den lille sirkelen er $\pi r^2$ . Området mellom sirklene er differansen:

$A=\pi R^2-\pi r^2$

Sett $\pi$ utenfor parentes:

$A=\pi(R^2-r^2)$

Bruk konjugatsetningen:

$A=\pi(R-r)(R+r)$

Fasit

$A=\pi(R-r)(R+r)$

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 39

Rettvinklet trekant med ukjente kateter

Tema: Likninger og geometri
Nivå: Krevende
Type: Tekstoppgave med figur

I en rettvinklet trekant er den lengste kateten dobbelt så lang som den korteste. Arealet er $18$ . Finn lengden av begge katetene.

Vis løsning

Trinnvis løsning

La den korteste kateten være $x$ . Da er den lengste $2x$ .

Arealet av en rettvinklet trekant er:

$A=\frac{g\cdot h}{2}$

Her blir:

$18=\frac{x\cdot2x}{2}=x^2$

Dermed er $x^2=18$ , og siden lengde er positiv:

$x=\sqrt{18}=3\sqrt2$

Den lengste kateten er $2x=6\sqrt2$ .

Fasit

Korteste katet: $3\sqrt2$ . Lengste katet: $6\sqrt2$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 40

Finn feil i en elevløsning

Tema: Likninger og feilanalyse
Nivå: Middels
Type: Vurdering

En elev løser $5-2(x-3)=3x+1$ slik:

$5-2x-6=3x+1$

$-1-2x=3x+1$

$-2=5x$

$x=-\frac25$

Finn feilen og løs likningen riktig.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Feilen skjer i første linje. Når vi regner $-2(x-3)$ , får vi $-2x+6$ , ikke $-2x-6$ .

Riktig løsning:

$5-2(x-3)=3x+1$

$5-2x+6=3x+1$

$11-2x=3x+1$

$10=5x$

$x=2$

Prøve: Venstre side $=5-2(2-3)=5+2=7$ . Høyre side $=3\cdot2+1=7$ .

Fasit

Feilen er fortegnet når parentesen løses opp. Riktig svar er $x=2$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 41

Figurserie og formel

Tema: Mønster og algebra
Nivå: Middels
Type: Figurserie

En figurserie har antall prikker $4,9,16,25,\ldots$ .

Tegn eller forklar den femte figuren.
Finn en formel for antall prikker i figur nummer $n$ .
Hvor mange prikker har figur nummer 8?

Vis løsning

Trinnvis løsning

Tallene er kvadrattall:

$4=2^2,\quad9=3^2,\quad16=4^2,\quad25=5^2$

a) Den femte figuren har $6^2=36$ prikker.

b) Figur nummer $n$ har side $n+1$ , så formelen er:

$F_n=(n+1)^2$

c) $F_8=(8+1)^2=81$ .

Fasit

a) 36 prikker b) $F_n=(n+1)^2$ c) 81 prikker

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 42

Programforståelse: faktor og divisjon

Tema: Programmering og tallteori
Nivå: Middels
Type: Algoritmeforklaring

Et program undersøker om et tall $a$ er delelig med 4 ved å bruke uttrykket $a\%4$ . Forklar hva programmet bør skrive ut når $a=28$ , og når $a=30$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Operatoren $\%$ gir resten ved divisjon. Hvis $a\%4=0$ , er tallet delelig med 4.

Når $a=28$ , får vi $28\%4=0$ . Programmet bør skrive at 28 er delelig med 4, og at $28/4=7$ .

Når $a=30$ , får vi $30\%4=2$ . Programmet bør skrive at 30 ikke er delelig med 4.

Fasit

28 er delelig med 4. 30 er ikke delelig med 4.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 43

Fakultet og multiplikasjon

Tema: Tallregning og programmering
Nivå: Middels
Type: Algoritme

$n!$ betyr produktet av alle naturlige tall fra 1 til $n$ .

Regn ut $6!$ .
Forklar hvordan en løkke kan regne ut $n!$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

a)

$6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720$

b) En løkke kan starte med en variabel $produkt=1$ . Deretter ganger vi produktet med $1$ , så med $2$ , så med $3$ , og fortsetter til $n$ . Etter siste runde er produktet lik $n!$ .

Fasit

a) $720$ . b) Start med 1 og gang med hvert heltall fra 1 til $n$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Oppgave 44

Perfekte tall

Tema: Tallteori
Nivå: Krevende
Type: Bevis og undersøkelse

Et perfekt tall er et naturlig tall som er lik summen av sine ekte faktorer, altså faktorene bortsett fra tallet selv.

Vis at 6 er et perfekt tall.
Vis at 28 er et perfekt tall.
Forklar hvorfor 12 ikke er et perfekt tall.

Vis løsning

Trinnvis løsning

De ekte faktorene til 6 er 1, 2 og 3. Summen er $1+2+3=6$ . Derfor er 6 perfekt.
De ekte faktorene til 28 er 1, 2, 4, 7 og 14. Summen er $1+2+4+7+14=28$ . Derfor er 28 perfekt.
De ekte faktorene til 12 er 1, 2, 3, 4 og 6. Summen er $1+2+3+4+6=16$ , ikke 12. Derfor er 12 ikke perfekt.

Fasit

6 og 28 er perfekte tall. 12 er ikke et perfekt tall.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt algebraisk notasjon, mellomregning som viser metode, presis bruk av likhetstegn og at svaret er forenklet så langt det er naturlig. I tekstoppgaver må variabelen defineres tydelig, og i bevisoppgaver må argumentasjonen gjelde generelt, ikke bare for ett eksempel.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du forklare hvorfor regelen kan brukes, ikke bare skrive svaret. Bruk ryddige linjer, kontroller med innsetting eller faktorisering der det passer, og vis sammenhengen mellom uttrykk, likning og eventuell figur.

Vanlige feil

Vanlige feil er å miste minus foran parentes, glemme å gange inn i alle ledd, blande uttrykk og likning, forkorte ledd i stedet for faktorer, eller bruke likhetstegn mellom uttrykk som ikke er like. Skriv derfor hvert algebraiske steg som en gyldig overgang.

Innhold

Oppgaver med trinnvis løsning

Regn ut et algebraisk uttrykk med parentes

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Trekk sammen ledd av samme type

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Løs opp enkle parenteser

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Regn ut med flere parenteser

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Forklar en parentesmetode

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Geometrisk bevis for parentesregler

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Undersøk om en likning er en identitet

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Bestem konstanter i en identitet

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Flere identiteter med ukjente koeffisienter

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Talleksempel som alltid gir samme resultat

Trinnvis løsning

Fasit

Husk regel

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Primtallsfaktoriser tall

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Faktoriser ved å sette felles faktor utenfor

Trinnvis løsning

Fasit

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil

Faktoriser med negativ felles faktor

Trinnvis løsning

Fasit