Funksjoner og modellering 1T – oppgaver

Oppgave 1 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=x^2-2x+1$ . Regn ut $f(1)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2-2x+1$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(1)=1\cdot(1)^2-2\cdot(1)+1$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(1)^2=1$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(1)=1+-2+1$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(1)=0$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(1,0)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(1,0)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (-2) x + (1)

→

f(x)=x^2-2x+1

2

f(1)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (-2)*x + (1)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-4,-13)$ og $(4,19)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=4x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-4,-13)\text{ og }(4,19)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{19--13}{4--4}=\dfrac{32}{8}=4$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-13=4\cdot(-4)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-4,-13),(4,19))

→

y=4x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -4, -13
x2, y2 = 4, 19
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=4x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=x^2-1x-2$ . Regn ut $f(-1)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2-1x-2$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(-1)=1\cdot(-1)^2-1\cdot(-1)-2$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(-1)^2=1$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(-1)=1+1+-2$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(-1)=0$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-1,0)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(-1,0)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (-1) x + (-2)

→

f(x)=x^2-1x-2

2

f(-1)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (-1)*x + (-2)
print(f.subs(x, -1))

Fasit:

f(-1)=0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(0,3)$ og $(4,19)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=4x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,3)\text{ og }(4,19)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{19-3}{4-0}=\dfrac{16}{4}=4$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$3=4\cdot(0)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((0,3),(4,19))

→

y=4x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 0, 3
x2, y2 = 4, 19
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=4x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=2x^2+3x+3$ . Regn ut $f(1)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2+3x+3$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(1)=2\cdot(1)^2+3\cdot(1)+3$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(1)^2=1$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(1)=2+3+3$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(1)=8$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(1,8)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(1,8)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + (3) x + (3)

→

f(x)=2x^2+3x+3

2

f(1)

→

8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (3)*x + (3)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=8

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 6 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,-3)$ og $(3,1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=2x - 5

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,-3)\text{ og }(3,1)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{1--3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-3=2\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-5$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x - 5$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,-3),(3,1))

→

y=2x - 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, -3
x2, y2 = 3, 1
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=2x - 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=2x^2-4x+4$ . Regn ut $f(5)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2-4x+4$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(5)=2\cdot(5)^2-4\cdot(5)+4$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(5)^2=25$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(5)=50+-20+4$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(5)=34$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(5,34)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(5,34)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + (-4) x + (4)

→

f(x)=2x^2-4x+4

2

f(5)

→

34

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (-4)*x + (4)
print(f.subs(x, 5))

Fasit:

f(5)=34

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 8 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-3,-1)$ og $(6,-10)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-x - 4

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-3,-1)\text{ og }(6,-10)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-10--1}{6--3}=\dfrac{-9}{9}=-1$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-1=-1\cdot(-3)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-4$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-x - 4$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-3,-1),(6,-10))

→

y=-x - 4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -3, -1
x2, y2 = 6, -10
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-x - 4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=-x^2+3x+4$ . Regn ut $f(0)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=-x^2+3x+4$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(0)=-1\cdot(0)^2+3\cdot(0)+4$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(0)^2=0$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(0)=0+0+4$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(0)=4$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(0,4)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(0,4)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := -1 x² + (3) x + (4)

→

f(x)=-x^2+3x+4

2

f(0)

→

4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = -1*x**2 + (3)*x + (4)
print(f.subs(x, 0))

Fasit:

f(0)=4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 10 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-1,5)$ og $(5,-7)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-2x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-1,5)\text{ og }(5,-7)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-7-5}{5--1}=\dfrac{-12}{6}=-2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$5=-2\cdot(-1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-1,5),(5,-7))

→

y=-2x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -1, 5
x2, y2 = 5, -7
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 11 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=-x^2+3x-2$ . Regn ut $f(1)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=-x^2+3x-2$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(1)=-1\cdot(1)^2+3\cdot(1)-2$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(1)^2=1$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(1)=-1+3+-2$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(1)=0$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(1,0)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(1,0)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := -1 x² + (3) x + (-2)

→

f(x)=-x^2+3x-2

2

f(1)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = -1*x**2 + (3)*x + (-2)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 12 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-3,5)$ og $(6,-22)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-3x - 4

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-3,5)\text{ og }(6,-22)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-22-5}{6--3}=\dfrac{-27}{9}=-3$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$5=-3\cdot(-3)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-4$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-3x - 4$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-3,5),(6,-22))

→

y=-3x - 4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -3, 5
x2, y2 = 6, -22
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-3x - 4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-3,2)$ og $(6,-16)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-2x - 4

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-3,2)\text{ og }(6,-16)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-16-2}{6--3}=\dfrac{-18}{9}=-2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$2=-2\cdot(-3)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-4$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x - 4$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-3,2),(6,-16))

→

y=-2x - 4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -3, 2
x2, y2 = 6, -16
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x - 4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14 · LettLineære funksjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 450 kr. Prisen øker med $8\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$8\,\% = \dfrac{8}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}08$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=450\cdot 1{,}08$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=486$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$486\text{ kr} \approx 486\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$486 > 450$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

450*1.08

→

486

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 450
prosent = 8
vekstfaktor = 1.08
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

486

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 15 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,6)$ og $(4,15)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=3x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,6)\text{ og }(4,15)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{15-6}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$6=3\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,6),(4,15))

→

y=3x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 6
x2, y2 = 4, 15
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=3x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 16 · LettLineære funksjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 560 kr. Prisen settes ned med $20\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$20\,\% = \dfrac{20}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}80$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=560\cdot 0{,}80$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=448$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$448\text{ kr} \approx 448\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$448 < 560$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

560*0.8

→

448

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 560
prosent = 20
vekstfaktor = 0.8
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

448

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 17 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-4,-11)$ og $(2,1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=2x - 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-4,-11)\text{ og }(2,1)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{1--11}{2--4}=\dfrac{12}{6}=2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-11=2\cdot(-4)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x - 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-4,-11),(2,1))

→

y=2x - 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -4, -11
x2, y2 = 2, 1
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=2x - 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 18 · LettLineære funksjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 450 kr. Prisen øker med $18\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$18\,\% = \dfrac{18}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}18$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=450\cdot 1{,}18$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=531$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$531\text{ kr} \approx 531\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$531 > 450$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

450*1.18

→

531

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 450
prosent = 18
vekstfaktor = 1.18
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

531

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 19 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,6)$ og $(4,15)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=3x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,6)\text{ og }(4,15)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{15-6}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$6=3\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,6),(4,15))

→

y=3x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 6
x2, y2 = 4, 15
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=3x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 20 · LettLineære funksjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 840 kr. Prisen settes ned med $8\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$8\,\% = \dfrac{8}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}92$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=840\cdot 0{,}92$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=772{,}80$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$772{,}80\text{ kr} \approx 773\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$772{,}80 < 840$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

840*0.92

→

772{,}80

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 840
prosent = 8
vekstfaktor = 0.92
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

772{,}80

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 21 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-3,-13)$ og $(3,11)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=4x - 1

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-3,-13)\text{ og }(3,11)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{11--13}{3--3}=\dfrac{24}{6}=4$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-13=4\cdot(-3)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-1$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x - 1$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-3,-13),(3,11))

→

y=4x - 1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -3, -13
x2, y2 = 3, 11
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=4x - 1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 22 · LettLineære funksjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 960 kr. Prisen settes ned med $18\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$18\,\% = \dfrac{18}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}82$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=960\cdot 0{,}82$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=787{,}20$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$787{,}20\text{ kr} \approx 787\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$787{,}20 < 960$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

960*0.8200000000000001

→

787{,}20

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 960
prosent = 18
vekstfaktor = 0.8200000000000001
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

787{,}20

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 23 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,6)$ og $(5,10)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=x + 5

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,6)\text{ og }(5,10)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{10-6}{5-1}=\dfrac{4}{4}=1$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$6=1\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=5$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=x + 5$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,6),(5,10))

→

y=x + 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 6
x2, y2 = 5, 10
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=x + 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24 · LettLineære funksjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 840 kr. Prisen øker med $20\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$20\,\% = \dfrac{20}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}20$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=840\cdot 1{,}20$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=1008$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$1008\text{ kr} \approx 1008\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$1008 > 840$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

840*1.2

→

1008

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 840
prosent = 20
vekstfaktor = 1.2
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

1008

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 25 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-1,1)$ og $(5,25)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=4x + 5

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-1,1)\text{ og }(5,25)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{25-1}{5--1}=\dfrac{24}{6}=4$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$1=4\cdot(-1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=5$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x + 5$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-1,1),(5,25))

→

y=4x + 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -1, 1
x2, y2 = 5, 25
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=4x + 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26 · LettLineære funksjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 720 kr. Prisen øker med $18\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$18\,\% = \dfrac{18}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}18$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=720\cdot 1{,}18$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=849{,}60$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$849{,}60\text{ kr} \approx 850\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$849{,}60 > 720$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

720*1.18

→

849{,}60

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 720
prosent = 18
vekstfaktor = 1.18
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

849{,}60

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 27 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-1,-4)$ og $(3,4)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=2x - 2

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-1,-4)\text{ og }(3,4)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{4--4}{3--1}=\dfrac{8}{4}=2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-4=2\cdot(-1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-2$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x - 2$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-1,-4),(3,4))

→

y=2x - 2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -1, -4
x2, y2 = 3, 4
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=2x - 2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Toppunkt eller bunnpunkt

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=-(x+1)^2-1$ . Finn ekstremalpunktet og avgjør om det er toppunkt eller bunnpunkt.

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen toppunktform

$f(x)=-(x+1)^2-1$

Funksjonen står på formen $a(x-h)^2+k$ .

Steg 2 — Les av $h$

$h=-1$

Tallet inne i parentesen gir x-koordinaten til ekstremalpunktet, men med motsatt fortegn i uttrykket.

Steg 3 — Les av $k$

$k=-1$

Tallet utenfor kvadratet gir y-koordinaten til ekstremalpunktet.

Vanlig feil: Å lese

h

med feil fortegn fra parentesen.

Steg 4 — Finn punktet

$(-1,-1)$

Ekstremalpunktet ligger der kvadratleddet er null.

Steg 5 — Bestem type

$a=-1$

Hvis $a>0$ vender parabelen oppover. Hvis $a<0$ vender den nedover.

Steg 6 — Skriv konklusjon

$\text{toppunkt}=(-1,-1)$

Vi oppgir både koordinater og om punktet er topp eller bunn.

Tolkning

Grafen har toppunkt i punktet $(-1,-1)$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := -1*(x-(-1))² + (-1)

→

f(x)=-(x+1)^2-1

2

Extremum(f)

→

(-1,-1)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve
x = symbols('x')
f = -1*(x-(-1))**2 + (-1)
print(expand(f))
print(solve(diff(f, x), x), f.subs(x, -1))

Fasit: Toppunkt er

(-1,-1)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

I $a(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Feil fortegn på $h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing og vurdering av fortegnet til $a$ .

For høy måloppnåelse

Knytt fortegnet til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $4800$ i starten og øker med $12\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $6$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=4800\cdot 1{,}12^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{12}{100}=1{,}12$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(6)=4800\cdot 1{,}12^6$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}12^6\approx 1{,}974$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(6)\approx 9474$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$9474>4800$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

4800*1.12⁶

→

\approx 9474

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 4800
vekstfaktor = 1.12
t = 6
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

6

år er omtrent

9474

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 30 · LettIkke-lineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=2x^2+2x+2$ . Regn ut $f(5)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2+2x+2$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(5)=2\cdot(5)^2+2\cdot(5)+2$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(5)^2=25$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(5)=50+10+2$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(5)=62$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(5,62)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(5,62)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + (2) x + (2)

→

f(x)=2x^2+2x+2

2

f(5)

→

62

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (2)*x + (2)
print(f.subs(x, 5))

Fasit:

f(5)=62

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Toppunkt eller bunnpunkt

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=-(x-4)^2+3$ . Finn ekstremalpunktet og avgjør om det er toppunkt eller bunnpunkt.

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen toppunktform

$f(x)=-(x-4)^2+3$

Funksjonen står på formen $a(x-h)^2+k$ .

Steg 2 — Les av $h$

$h=4$

Tallet inne i parentesen gir x-koordinaten til ekstremalpunktet, men med motsatt fortegn i uttrykket.

Steg 3 — Les av $k$

$k=3$

Tallet utenfor kvadratet gir y-koordinaten til ekstremalpunktet.

Vanlig feil: Å lese

h

med feil fortegn fra parentesen.

Steg 4 — Finn punktet

$(4,3)$

Ekstremalpunktet ligger der kvadratleddet er null.

Steg 5 — Bestem type

$a=-1$

Hvis $a>0$ vender parabelen oppover. Hvis $a<0$ vender den nedover.

Steg 6 — Skriv konklusjon

$\text{toppunkt}=(4,3)$

Vi oppgir både koordinater og om punktet er topp eller bunn.

Tolkning

Grafen har toppunkt i punktet $(4,3)$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := -1*(x-(4))² + (3)

→

f(x)=-(x-4)^2+3

2

Extremum(f)

→

(4,3)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve
x = symbols('x')
f = -1*(x-(4))**2 + (3)
print(expand(f))
print(solve(diff(f, x), x), f.subs(x, 4))

Fasit: Toppunkt er

(4,3)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

I $a(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Feil fortegn på $h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing og vurdering av fortegnet til $a$ .

For høy måloppnåelse

Knytt fortegnet til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $2500$ i starten og øker med $7\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $4$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=2500\cdot 1{,}07^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{7}{100}=1{,}07$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(4)=2500\cdot 1{,}07^4$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}07^4\approx 1{,}311$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(4)\approx 3277$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$3277>2500$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

2500*1.07⁴

→

\approx 3277

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 2500
vekstfaktor = 1.07
t = 4
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

4

år er omtrent

3277

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 33 · LettIkke-lineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=x^2+5x+6$ . Regn ut $f(-3)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2+5x+6$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(-3)=1\cdot(-3)^2+5\cdot(-3)+6$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(-3)^2=9$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(-3)=9+-15+6$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(-3)=0$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-3,0)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(-3,0)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (5) x + (6)

→

f(x)=x^2+5x+6

2

f(-3)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (5)*x + (6)
print(f.subs(x, -3))

Fasit:

f(-3)=0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 34 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Toppunkt eller bunnpunkt

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=(x-2)^2+6$ . Finn ekstremalpunktet og avgjør om det er toppunkt eller bunnpunkt.

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen toppunktform

$f(x)=(x-2)^2+6$

Funksjonen står på formen $a(x-h)^2+k$ .

Steg 2 — Les av $h$

$h=2$

Tallet inne i parentesen gir x-koordinaten til ekstremalpunktet, men med motsatt fortegn i uttrykket.

Steg 3 — Les av $k$

$k=6$

Tallet utenfor kvadratet gir y-koordinaten til ekstremalpunktet.

Vanlig feil: Å lese

h

med feil fortegn fra parentesen.

Steg 4 — Finn punktet

$(2,6)$

Ekstremalpunktet ligger der kvadratleddet er null.

Steg 5 — Bestem type

$a=1$

Hvis $a>0$ vender parabelen oppover. Hvis $a<0$ vender den nedover.

Steg 6 — Skriv konklusjon

$\text{bunnpunkt}=(2,6)$

Vi oppgir både koordinater og om punktet er topp eller bunn.

Tolkning

Grafen har bunnpunkt i punktet $(2,6)$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1*(x-(2))² + (6)

→

f(x)=(x-2)^2+6

2

Extremum(f)

→

(2,6)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve
x = symbols('x')
f = 1*(x-(2))**2 + (6)
print(expand(f))
print(solve(diff(f, x), x), f.subs(x, 2))

Fasit: Bunnpunkt er

(2,6)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

I $a(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Feil fortegn på $h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing og vurdering av fortegnet til $a$ .

For høy måloppnåelse

Knytt fortegnet til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $2500$ i starten og øker med $7\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $5$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=2500\cdot 1{,}07^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{7}{100}=1{,}07$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(5)=2500\cdot 1{,}07^5$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}07^5\approx 1{,}403$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(5)\approx 3506$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$3506>2500$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

2500*1.07⁵

→

\approx 3506

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 2500
vekstfaktor = 1.07
t = 5
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

5

år er omtrent

3506

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 36 · LettIkke-lineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=x^2-3x+4$ . Regn ut $f(4)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2-3x+4$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(4)=1\cdot(4)^2-3\cdot(4)+4$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(4)^2=16$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(4)=16+-12+4$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(4)=8$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(4,8)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(4,8)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (-3) x + (4)

→

f(x)=x^2-3x+4

2

f(4)

→

8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (-3)*x + (4)
print(f.subs(x, 4))

Fasit:

f(4)=8

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Toppunkt eller bunnpunkt

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=(x-4)^2+1$ . Finn ekstremalpunktet og avgjør om det er toppunkt eller bunnpunkt.

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen toppunktform

$f(x)=(x-4)^2+1$

Funksjonen står på formen $a(x-h)^2+k$ .

Steg 2 — Les av $h$

$h=4$

Tallet inne i parentesen gir x-koordinaten til ekstremalpunktet, men med motsatt fortegn i uttrykket.

Steg 3 — Les av $k$

$k=1$

Tallet utenfor kvadratet gir y-koordinaten til ekstremalpunktet.

Vanlig feil: Å lese

h

med feil fortegn fra parentesen.

Steg 4 — Finn punktet

$(4,1)$

Ekstremalpunktet ligger der kvadratleddet er null.

Steg 5 — Bestem type

$a=1$

Hvis $a>0$ vender parabelen oppover. Hvis $a<0$ vender den nedover.

Steg 6 — Skriv konklusjon

$\text{bunnpunkt}=(4,1)$

Vi oppgir både koordinater og om punktet er topp eller bunn.

Tolkning

Grafen har bunnpunkt i punktet $(4,1)$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1*(x-(4))² + (1)

→

f(x)=(x-4)^2+1

2

Extremum(f)

→

(4,1)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve
x = symbols('x')
f = 1*(x-(4))**2 + (1)
print(expand(f))
print(solve(diff(f, x), x), f.subs(x, 4))

Fasit: Bunnpunkt er

(4,1)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

I $a(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Feil fortegn på $h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing og vurdering av fortegnet til $a$ .

For høy måloppnåelse

Knytt fortegnet til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 38 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $4800$ i starten og øker med $3\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $6$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=4800\cdot 1{,}03^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{3}{100}=1{,}03$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(6)=4800\cdot 1{,}03^6$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}03^6\approx 1{,}194$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(6)\approx 5731$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$5731>4800$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

4800*1.03⁶

→

\approx 5731

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 4800
vekstfaktor = 1.03
t = 6
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

6

år er omtrent

5731

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 39 · LettIkke-lineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=-x^2+4x+0$ . Regn ut $f(2)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=-x^2+4x+0$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(2)=-1\cdot(2)^2+4\cdot(2)+0$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(2)^2=4$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(2)=-4+8+0$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(2)=4$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(2,4)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(2,4)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := -1 x² + (4) x + (0)

→

f(x)=-x^2+4x+0

2

f(2)

→

4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = -1*x**2 + (4)*x + (0)
print(f.subs(x, 2))

Fasit:

f(2)=4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 40 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Toppunkt eller bunnpunkt

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=(x-4)^2-1$ . Finn ekstremalpunktet og avgjør om det er toppunkt eller bunnpunkt.

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen toppunktform

$f(x)=(x-4)^2-1$

Funksjonen står på formen $a(x-h)^2+k$ .

Steg 2 — Les av $h$

$h=4$

Tallet inne i parentesen gir x-koordinaten til ekstremalpunktet, men med motsatt fortegn i uttrykket.

Steg 3 — Les av $k$

$k=-1$

Tallet utenfor kvadratet gir y-koordinaten til ekstremalpunktet.

Vanlig feil: Å lese

h

med feil fortegn fra parentesen.

Steg 4 — Finn punktet

$(4,-1)$

Ekstremalpunktet ligger der kvadratleddet er null.

Steg 5 — Bestem type

$a=1$

Hvis $a>0$ vender parabelen oppover. Hvis $a<0$ vender den nedover.

Steg 6 — Skriv konklusjon

$\text{bunnpunkt}=(4,-1)$

Vi oppgir både koordinater og om punktet er topp eller bunn.

Tolkning

Grafen har bunnpunkt i punktet $(4,-1)$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1*(x-(4))² + (-1)

→

f(x)=(x-4)^2-1

2

Extremum(f)

→

(4,-1)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve
x = symbols('x')
f = 1*(x-(4))**2 + (-1)
print(expand(f))
print(solve(diff(f, x), x), f.subs(x, 4))

Fasit: Bunnpunkt er

(4,-1)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

I $a(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Feil fortegn på $h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing og vurdering av fortegnet til $a$ .

For høy måloppnåelse

Knytt fortegnet til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 41 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $7600$ i starten og øker med $5\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $3$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=7600\cdot 1{,}05^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{5}{100}=1{,}05$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(3)=7600\cdot 1{,}05^3$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}05^3\approx 1{,}158$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(3)\approx 8798$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$8798>7600$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

7600*1.05³

→

\approx 8798

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 7600
vekstfaktor = 1.05
t = 3
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

3

år er omtrent

8798

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 42 · LettIkke-lineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=2x^2+2x+1$ . Regn ut $f(4)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2+2x+1$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(4)=2\cdot(4)^2+2\cdot(4)+1$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(4)^2=16$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(4)=32+8+1$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(4)=41$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(4,41)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(4,41)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + (2) x + (1)

→

f(x)=2x^2+2x+1

2

f(4)

→

41

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (2)*x + (1)
print(f.subs(x, 4))

Fasit:

f(4)=41

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 43 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Toppunkt eller bunnpunkt

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=-(x-4)^2+3$ . Finn ekstremalpunktet og avgjør om det er toppunkt eller bunnpunkt.

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen toppunktform

$f(x)=-(x-4)^2+3$

Funksjonen står på formen $a(x-h)^2+k$ .

Steg 2 — Les av $h$

$h=4$

Tallet inne i parentesen gir x-koordinaten til ekstremalpunktet, men med motsatt fortegn i uttrykket.

Steg 3 — Les av $k$

$k=3$

Tallet utenfor kvadratet gir y-koordinaten til ekstremalpunktet.

Vanlig feil: Å lese

h

med feil fortegn fra parentesen.

Steg 4 — Finn punktet

$(4,3)$

Ekstremalpunktet ligger der kvadratleddet er null.

Steg 5 — Bestem type

$a=-1$

Hvis $a>0$ vender parabelen oppover. Hvis $a<0$ vender den nedover.

Steg 6 — Skriv konklusjon

$\text{toppunkt}=(4,3)$

Vi oppgir både koordinater og om punktet er topp eller bunn.

Tolkning

Grafen har toppunkt i punktet $(4,3)$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := -1*(x-(4))² + (3)

→

f(x)=-(x-4)^2+3

2

Extremum(f)

→

(4,3)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve
x = symbols('x')
f = -1*(x-(4))**2 + (3)
print(expand(f))
print(solve(diff(f, x), x), f.subs(x, 4))

Fasit: Toppunkt er

(4,3)

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

I $a(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Feil fortegn på $h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig avlesing og vurdering av fortegnet til $a$ .

For høy måloppnåelse

Knytt fortegnet til grafens form.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 44 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $1200$ i starten og øker med $3\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $8$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=1200\cdot 1{,}03^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{3}{100}=1{,}03$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(8)=1200\cdot 1{,}03^8$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}03^8\approx 1{,}267$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(8)\approx 1520$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$1520>1200$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

1200*1.03⁸

→

\approx 1520

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 1200
vekstfaktor = 1.03
t = 8
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

8

år er omtrent

1520

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 45 · LettIkke-lineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=2x^2+0x+6$ . Regn ut $f(1)$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2+0x+6$

En funksjon gir én y-verdi for hver x-verdi i definisjonsmengden.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(1)=2\cdot(1)^2+0\cdot(1)+6$

Å finne $f(a)$ betyr å erstatte $x$ med tallet $a$ .

Steg 3 — Regn potensen

$(1)^2=1$

Potensregning gjøres før multiplikasjon og addisjon.

Vanlig feil: Å glemme parentes rundt negativ x-verdi når tallet settes inn.

Steg 4 — Regn leddene

$f(1)=2+0+6$

Vi regner hvert ledd for seg for å redusere fortegnsfeil.

Steg 5 — Summer

$f(1)=8$

Dette er funksjonsverdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(1,8)$

På grafen betyr svaret at punktet ligger på grafen.

Tolkning

Punktet $(1,8)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + (0) x + (6)

→

f(x)=2x^2+0x+6

2

f(1)

→

8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (0)*x + (6)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=8

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi: sett inn valgt x-verdi i uttrykket.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Tydelig innsetting og korrekt regnerekkefølge.

For høy måloppnåelse

Tolk svaret som et punkt på grafen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 46 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=x^2-1x+2$ . Finn tangenten til grafen når $x=2$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2-1x+2$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=2x-1$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(2)=2\cdot2-1=3$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(2)=1\cdot2^2-1\cdot2+2=4$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y-4=3(x-2)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=3x - 2$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (-1) x + (2)

→

f(x)=x^2-1x+2

2

Derivative(f)

→

f'(x)=2x-1

3

Tangent(2, f)

→

y=3x - 2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (-1)*x + (2)
x0 = 2
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=3x - 2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 47 · MiddelsVekstfart og derivasjon

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,2)$ og $(5,-10)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-3x + 5

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,2)\text{ og }(5,-10)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-10-2}{5-1}=\dfrac{-12}{4}=-3$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$2=-3\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=5$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-3x + 5$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,2),(5,-10))

→

y=-3x + 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 2
x2, y2 = 5, -10
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-3x + 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 48 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=x^2+1x+6$ . Finn tangenten til grafen når $x=4$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2+1x+6$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=2x+1$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(4)=2\cdot4+1=9$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(4)=1\cdot4^2+1\cdot4+6=26$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y-26=9(x-4)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=9x - 10$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=4$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (1) x + (6)

→

f(x)=x^2+1x+6

2

Derivative(f)

→

f'(x)=2x+1

3

Tangent(4, f)

→

y=9x - 10

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (1)*x + (6)
x0 = 4
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=9x - 10

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 49 · MiddelsVekstfart og derivasjon

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,-2)$ og $(5,-10)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-2x

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,-2)\text{ og }(5,-10)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-10--2}{5-1}=\dfrac{-8}{4}=-2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-2=-2\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=0$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,-2),(5,-10))

→

y=-2x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, -2
x2, y2 = 5, -10
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 50 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=3x^2-2x+5$ . Finn tangenten til grafen når $x=2$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x^2-2x+5$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=6x-2$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(2)=6\cdot2-2=10$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(2)=3\cdot2^2-2\cdot2+5=13$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y-13=10(x-2)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=10x - 7$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x² + (-2) x + (5)

→

f(x)=3x^2-2x+5

2

Derivative(f)

→

f'(x)=6x-2

3

Tangent(2, f)

→

y=10x - 7

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 3*x**2 + (-2)*x + (5)
x0 = 2
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=10x - 7

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 51 · MiddelsVekstfart og derivasjon

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,3)$ og $(5,-1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-x + 4

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,3)\text{ og }(5,-1)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-1-3}{5-1}=\dfrac{-4}{4}=-1$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$3=-1\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=4$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-x + 4$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,3),(5,-1))

→

y=-x + 4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 3
x2, y2 = 5, -1
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-x + 4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 52 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=x^2+2x+4$ . Finn tangenten til grafen når $x=-2$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2+2x+4$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(-2)=2\cdot-2+2=-2$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(-2)=1\cdot-2^2+2\cdot-2+4=4$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y-4=-2(x--2)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=-2x$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=-2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (2) x + (4)

→

f(x)=x^2+2x+4

2

Derivative(f)

→

f'(x)=2x+2

3

Tangent(-2, f)

→

y=-2x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (2)*x + (4)
x0 = -2
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=-2x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 53 · MiddelsVekstfart og derivasjon

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-3,-9)$ og $(6,27)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=4x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-3,-9)\text{ og }(6,27)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{27--9}{6--3}=\dfrac{36}{9}=4$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-9=4\cdot(-3)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-3,-9),(6,27))

→

y=4x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -3, -9
x2, y2 = 6, 27
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=4x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 54 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=3x^2-5x-3$ . Finn tangenten til grafen når $x=-2$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x^2-5x-3$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=6x-5$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(-2)=6\cdot-2-5=-17$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(-2)=3\cdot-2^2-5\cdot-2-3=19$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y-19=-17(x--2)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=-17x - 15$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=-2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x² + (-5) x + (-3)

→

f(x)=3x^2-5x-3

2

Derivative(f)

→

f'(x)=6x-5

3

Tangent(-2, f)

→

y=-17x - 15

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 3*x**2 + (-5)*x + (-3)
x0 = -2
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=-17x - 15

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 55 · MiddelsVekstfart og derivasjon

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-4,8)$ og $(2,-4)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-2x

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(-4,8)\text{ og }(2,-4)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-4-8}{2--4}=\dfrac{-12}{6}=-2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$8=-2\cdot(-4)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=0$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((-4,8),(2,-4))

→

y=-2x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -4, 8
x2, y2 = 2, -4
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 56 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=2x^2-3x+4$ . Finn tangenten til grafen når $x=2$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x^2-3x+4$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=4x-3$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(2)=4\cdot2-3=5$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(2)=2\cdot2^2-3\cdot2+4=6$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y-6=5(x-2)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=5x - 4$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + (-3) x + (4)

→

f(x)=2x^2-3x+4

2

Derivative(f)

→

f'(x)=4x-3

3

Tangent(2, f)

→

y=5x - 4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + (-3)*x + (4)
x0 = 2
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=5x - 4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 57 · MiddelsVekstfart og derivasjon

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(0,5)$ og $(6,-13)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-3x + 5

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,5)\text{ og }(6,-13)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-13-5}{6-0}=\dfrac{-18}{6}=-3$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$5=-3\cdot(0)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=5$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-3x + 5$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((0,5),(6,-13))

→

y=-3x + 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 0, 5
x2, y2 = 6, -13
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-3x + 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 58 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=x^2+4x+3$ . Finn tangenten til grafen når $x=-2$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2+4x+3$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=2x+4$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(-2)=2\cdot-2+4=0$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(-2)=1\cdot-2^2+4\cdot-2+3=-1$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y--1=0(x--2)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=0x - 1$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=-2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (4) x + (3)

→

f(x)=x^2+4x+3

2

Derivative(f)

→

f'(x)=2x+4

3

Tangent(-2, f)

→

y=0x - 1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (4)*x + (3)
x0 = -2
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=0x - 1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 59 · MiddelsVekstfart og derivasjon

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(0,0)$ og $(3,-3)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-x

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,0)\text{ og }(3,-3)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-3-0}{3-0}=\dfrac{-3}{3}=-1$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$0=-1\cdot(0)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=0$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-x$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((0,0),(3,-3))

→

y=-x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 0, 0
x2, y2 = 3, -3
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 60 · KrevendeVekstfart og derivasjon

Finn tangent til en parabel

Oppgave:

Funksjonen er $f(x)=x^2+2x-1$ . Finn tangenten til grafen når $x=2$ .

Statisk skisse av parabelen og ekstremalpunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=x^2+2x-1$

Tangenten finnes ved å bruke funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

Steg 2 — Deriver funksjonen

$f'(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet til grafen.

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

$f'(2)=2\cdot2+2=6$

Vi setter inn x-verdien for punktet.

Vanlig feil: Å bruke

f(x_0)

som stigningstall. Stigningstallet er

f'(x_0)

, ikke funksjonsverdien.

Steg 4 — Finn punktet på grafen

$f(2)=1\cdot2^2+2\cdot2-1=7$

Tangenten må gå gjennom punktet på grafen.

Steg 5 — Bruk tangentformelen

$y-7=6(x-2)$

Punkt-stigning-formen bruker ett punkt og ett stigningstall.

Steg 6 — Skriv på formen $y=ax+b$

$y=6x - 5$

Vi rydder uttrykket slik at tangentlikningen blir lett å lese.

Tolkning

Tangenten har samme stigning som grafen akkurat ved $x=2$ .

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x² + (2) x + (-1)

→

f(x)=x^2+2x-1

2

Derivative(f)

→

f'(x)=2x+2

3

Tangent(2, f)

→

y=6x - 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = 1*x**2 + (2)*x + (-1)
x0 = 2
m = diff(f, x).subs(x, x0)
y0 = f.subs(x, x0)
print(expand(m*(x-x0)+y0))

Fasit: Tangenten er

y=6x - 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Tangent: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .

Vanlige feil

Å forveksle funksjonsverdi og derivert.

Dette ser sensor etter

Derivasjon, punkt, stigningstall og tangentlikning.

For høy måloppnåelse

Tolk tangenten som lokal lineær modell.

📊 Utforsk i GeoGebra