Hva er forskjellen på gjennomsnittlig og momentan vekstfart?

Gjennomsnittlig vekstfart er endring over et intervall og tilsvarer stigningstallet til en sekant. Momentan vekstfart er endring i ett punkt og tilsvarer stigningstallet til tangenten, ofte funnet ved den deriverte.

Hvordan finner jeg asymptoter til en rasjonal funksjon?

Finn først hvor nevneren blir null for vertikal asymptote. Deretter ser du hvilken verdi funksjonen nærmer seg når x blir veldig stor eller liten for horisontal asymptote.

Når bruker jeg sinus, cosinus eller tangens?

I rettvinklede trekanter bruker du sinus med motstående og hypotenus, cosinus med hosliggende og hypotenus, og tangens med motstående og hosliggende.

Derivasjon, funksjoner og trigonometri – oppgaver med fasit | 1T

Oppgave 1Middels

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Tema: Vekstfart og funksjoner
Type: Tabell og regning

En funksjon beskriver liter vann i en tank. Ved $x=0$ er verdien $120$ , og ved $x=3$ er verdien $210$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,3]$ , og forklar hva tallet betyr i situasjonen.

x	0	3
f(x)	120	210

Vis løsning

Trinnvis løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endring i funksjonsverdi delt på endring i $x$ . Vi regner først endringen i funksjonsverdi: $210-120=90$ . Deretter regner vi endringen i $x$ : $3-0=3$ .

$\frac{210-120}{3-0}=\frac{90}{3}=30$

Tallet forteller at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $30$ per $x$ -enhet i dette intervallet. Dersom tallet er positivt, øker størrelsen. Dersom tallet er negativt, minker størrelsen.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $30$ per $x$ -enhet.

Regel / husk dette

Regel: Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om teller og nevner.
Å bruke $f(a)-f(b)$ uten å bruke samme rekkefølge i nevneren.
Å glemme å forklare enheten eller betydningen av fortegnet.

Oppgave 2Lett

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Tema: Vekstfart og funksjoner
Type: Tabell og regning

En funksjon beskriver meter på en sykkeltur. Ved $x=2$ er verdien $56$ , og ved $x=8$ er verdien $104$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[2,8]$ , og forklar hva tallet betyr i situasjonen.

x	2	8
f(x)	56	104

Vis løsning

Trinnvis løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endring i funksjonsverdi delt på endring i $x$ . Vi regner først endringen i funksjonsverdi: $104-56=48$ . Deretter regner vi endringen i $x$ : $8-2=6$ .

$\frac{104-56}{8-2}=\frac{48}{6}=8$

Tallet forteller at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $8$ per $x$ -enhet i dette intervallet. Dersom tallet er positivt, øker størrelsen. Dersom tallet er negativt, minker størrelsen.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $8$ per $x$ -enhet.

Regel / husk dette

Regel: Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om teller og nevner.
Å bruke $f(a)-f(b)$ uten å bruke samme rekkefølge i nevneren.
Å glemme å forklare enheten eller betydningen av fortegnet.

Oppgave 3Lett

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Tema: Vekstfart og funksjoner
Type: Tabell og regning

En funksjon beskriver grader celsius i et forsøk. Ved $x=1$ er verdien $18$ , og ved $x=5$ er verdien $34$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[1,5]$ , og forklar hva tallet betyr i situasjonen.

x	1	5
f(x)	18	34

Vis løsning

Trinnvis løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endring i funksjonsverdi delt på endring i $x$ . Vi regner først endringen i funksjonsverdi: $34-18=16$ . Deretter regner vi endringen i $x$ : $5-1=4$ .

$\frac{34-18}{5-1}=\frac{16}{4}=4$

Tallet forteller at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $4$ per $x$ -enhet i dette intervallet. Dersom tallet er positivt, øker størrelsen. Dersom tallet er negativt, minker størrelsen.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $4$ per $x$ -enhet.

Regel / husk dette

Regel: Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om teller og nevner.
Å bruke $f(a)-f(b)$ uten å bruke samme rekkefølge i nevneren.
Å glemme å forklare enheten eller betydningen av fortegnet.

Oppgave 4Middels

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Tema: Vekstfart og funksjoner
Type: Tabell og regning

En funksjon beskriver antall bakterier i en kultur. Ved $x=0$ er verdien $250$ , og ved $x=4$ er verdien $410$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,4]$ , og forklar hva tallet betyr i situasjonen.

x	0	4
f(x)	250	410

Vis løsning

Trinnvis løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endring i funksjonsverdi delt på endring i $x$ . Vi regner først endringen i funksjonsverdi: $410-250=160$ . Deretter regner vi endringen i $x$ : $4-0=4$ .

$\frac{410-250}{4-0}=\frac{160}{4}=40$

Tallet forteller at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $40$ per $x$ -enhet i dette intervallet. Dersom tallet er positivt, øker størrelsen. Dersom tallet er negativt, minker størrelsen.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $40$ per $x$ -enhet.

Regel / husk dette

Regel: Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om teller og nevner.
Å bruke $f(a)-f(b)$ uten å bruke samme rekkefølge i nevneren.
Å glemme å forklare enheten eller betydningen av fortegnet.

Oppgave 5Lett

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Tema: Vekstfart og funksjoner
Type: Tabell og regning

En funksjon beskriver kilometer fra start. Ved $x=3$ er verdien $12$ , og ved $x=9$ er verdien $48$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[3,9]$ , og forklar hva tallet betyr i situasjonen.

x	3	9
f(x)	12	48

Vis løsning

Trinnvis løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endring i funksjonsverdi delt på endring i $x$ . Vi regner først endringen i funksjonsverdi: $48-12=36$ . Deretter regner vi endringen i $x$ : $9-3=6$ .

$\frac{48-12}{9-3}=\frac{36}{6}=6$

Tallet forteller at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $6$ per $x$ -enhet i dette intervallet. Dersom tallet er positivt, øker størrelsen. Dersom tallet er negativt, minker størrelsen.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $6$ per $x$ -enhet.

Regel / husk dette

Regel: Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om teller og nevner.
Å bruke $f(a)-f(b)$ uten å bruke samme rekkefølge i nevneren.
Å glemme å forklare enheten eller betydningen av fortegnet.

Oppgave 6Middels

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Tema: Vekstfart og funksjoner
Type: Tabell og regning

En funksjon beskriver gram igjen av et stoff. Ved $x=0$ er verdien $740$ , og ved $x=6$ er verdien $560$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,6]$ , og forklar hva tallet betyr i situasjonen.

x	0	6
f(x)	740	560

Vis løsning

Trinnvis løsning

Den gjennomsnittlige vekstfarten er endring i funksjonsverdi delt på endring i $x$ . Vi regner først endringen i funksjonsverdi: $560-740=-180$ . Deretter regner vi endringen i $x$ : $6-0=6$ .

$\frac{560-740}{6-0}=\frac{-180}{6}=-30$

Tallet forteller at funksjonsverdien i gjennomsnitt endrer seg med $-30$ per $x$ -enhet i dette intervallet. Dersom tallet er positivt, øker størrelsen. Dersom tallet er negativt, minker størrelsen.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er $-30$ per $x$ -enhet.

Regel / husk dette

Regel: Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[a,b]$ er $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bytte om teller og nevner.
Å bruke $f(a)-f(b)$ uten å bruke samme rekkefølge i nevneren.
Å glemme å forklare enheten eller betydningen av fortegnet.

Oppgave 7Middels

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Tema: Vekstfart og funksjonsuttrykk
Type: Regning

Funksjonen er gitt ved $f(x)=2x^2-3x+1$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[1,4]$ . Skriv svaret med passende antall desimaler, og forklar hva svaret sier om grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart. Først finner vi funksjonsverdiene i endepunktene: $f(1)=0.00$ og $f(4)=21.00$ .

Deretter regner vi: $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{21.00-0.00}{3}=7.00$

Dette betyr at sekanten gjennom punktene $(1,0.00)$ og $(4,21.00)$ har stigningstall omtrent $7.00$ . Grafen øker i gjennomsnitt dersom svaret er positivt, og minker i gjennomsnitt dersom svaret er negativt.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er omtrent $7.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Vekstfart over et intervall er stigningstallet til sekanten. Bruk alltid funksjonsverdiene i endepunktene, ikke bare tallene i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette inn feil x-verdi i funksjonen.
Å regne $b-a$ feil når ett av tallene er negativt.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentanfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 8Middels

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Tema: Vekstfart og funksjonsuttrykk
Type: Regning

Funksjonen er gitt ved $g(x)=-x^2+6x+2$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,5]$ . Skriv svaret med passende antall desimaler, og forklar hva svaret sier om grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart. Først finner vi funksjonsverdiene i endepunktene: $f(0)=2.00$ og $f(5)=7.00$ .

Deretter regner vi: $\frac{f(5)-f(0)}{5-0}=\frac{7.00-2.00}{5}=1.00$

Dette betyr at sekanten gjennom punktene $(0,2.00)$ og $(5,7.00)$ har stigningstall omtrent $1.00$ . Grafen øker i gjennomsnitt dersom svaret er positivt, og minker i gjennomsnitt dersom svaret er negativt.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er omtrent $1.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Vekstfart over et intervall er stigningstallet til sekanten. Bruk alltid funksjonsverdiene i endepunktene, ikke bare tallene i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette inn feil x-verdi i funksjonen.
Å regne $b-a$ feil når ett av tallene er negativt.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentanfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9Middels

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Tema: Vekstfart og funksjonsuttrykk
Type: Regning

Funksjonen er gitt ved $h(x)=0,5x^2+2x-4$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[-2,4]$ . Skriv svaret med passende antall desimaler, og forklar hva svaret sier om grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart. Først finner vi funksjonsverdiene i endepunktene: $f(-2)=-6.00$ og $f(4)=12.00$ .

Deretter regner vi: $\frac{f(4)-f(-2)}{4--2}=\frac{12.00--6.00}{6}=3.00$

Dette betyr at sekanten gjennom punktene $(-2,-6.00)$ og $(4,12.00)$ har stigningstall omtrent $3.00$ . Grafen øker i gjennomsnitt dersom svaret er positivt, og minker i gjennomsnitt dersom svaret er negativt.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er omtrent $3.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Vekstfart over et intervall er stigningstallet til sekanten. Bruk alltid funksjonsverdiene i endepunktene, ikke bare tallene i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette inn feil x-verdi i funksjonen.
Å regne $b-a$ feil når ett av tallene er negativt.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentanfart.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 10Middels

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Tema: Vekstfart og funksjonsuttrykk
Type: Regning

Funksjonen er gitt ved $p(x)=x^3-3x$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[-1,2]$ . Skriv svaret med passende antall desimaler, og forklar hva svaret sier om grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart. Først finner vi funksjonsverdiene i endepunktene: $f(-1)=2.00$ og $f(2)=2.00$ .

Deretter regner vi: $\frac{f(2)-f(-1)}{2--1}=\frac{2.00-2.00}{3}=0.00$

Dette betyr at sekanten gjennom punktene $(-1,2.00)$ og $(2,2.00)$ har stigningstall omtrent $0.00$ . Grafen øker i gjennomsnitt dersom svaret er positivt, og minker i gjennomsnitt dersom svaret er negativt.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er omtrent $0.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Vekstfart over et intervall er stigningstallet til sekanten. Bruk alltid funksjonsverdiene i endepunktene, ikke bare tallene i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette inn feil x-verdi i funksjonen.
Å regne $b-a$ feil når ett av tallene er negativt.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentanfart.

Oppgave 11Middels

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Tema: Vekstfart og funksjonsuttrykk
Type: Regning

Funksjonen er gitt ved $q(x)=12/x$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[2,6]$ . Skriv svaret med passende antall desimaler, og forklar hva svaret sier om grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart. Først finner vi funksjonsverdiene i endepunktene: $f(2)=6.00$ og $f(6)=2.00$ .

Deretter regner vi: $\frac{f(6)-f(2)}{6-2}=\frac{2.00-6.00}{4}=-1.00$

Dette betyr at sekanten gjennom punktene $(2,6.00)$ og $(6,2.00)$ har stigningstall omtrent $-1.00$ . Grafen øker i gjennomsnitt dersom svaret er positivt, og minker i gjennomsnitt dersom svaret er negativt.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er omtrent $-1.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Vekstfart over et intervall er stigningstallet til sekanten. Bruk alltid funksjonsverdiene i endepunktene, ikke bare tallene i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette inn feil x-verdi i funksjonen.
Å regne $b-a$ feil når ett av tallene er negativt.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentanfart.

Oppgave 12Middels

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Tema: Vekstfart og funksjonsuttrykk
Type: Regning

Funksjonen er gitt ved $r(x)=3\cdot 1,4^x$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,3]$ . Skriv svaret med passende antall desimaler, og forklar hva svaret sier om grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart. Først finner vi funksjonsverdiene i endepunktene: $f(0)=3.00$ og $f(3)=8.23$ .

Deretter regner vi: $\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{8.23-3.00}{3}=1.74$

Dette betyr at sekanten gjennom punktene $(0,3.00)$ og $(3,8.23)$ har stigningstall omtrent $1.74$ . Grafen øker i gjennomsnitt dersom svaret er positivt, og minker i gjennomsnitt dersom svaret er negativt.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart er omtrent $1.74$ .

Regel / husk dette

Regel: Vekstfart over et intervall er stigningstallet til sekanten. Bruk alltid funksjonsverdiene i endepunktene, ikke bare tallene i uttrykket.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette inn feil x-verdi i funksjonen.
Å regne $b-a$ feil når ett av tallene er negativt.
Å tolke gjennomsnittlig vekstfart som momentanfart.

Oppgave 13Middels

Finn den deriverte og tangentstigningstallet

Tema: Derivasjon av polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

Funksjonen er gitt ved $f(x)=3x^2+-4x+5$ . a) Finn $f'(x)$ . b) Finn stigningstallet til tangenten når $x=2$ . c) Finn likningen til tangenten i punktet på grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi deriverer ledd for ledd. Den deriverte av $ax^2$ er $2ax$ , den deriverte av $bx$ er $b$ , og konstantleddet forsvinner. Derfor får vi $f'(x)=6x+-4.$

b) Tangentstigningstallet når $x=2$ er $f'(2)$ : $f'(2)=6\cdot 2+-4=8.$

c) Punktet på grafen er $(2,f(2))=(2,9)$ . Vi bruker ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ : $y-9=8(x-2).$ Setter vi dette på formen $y=ax+b$ , får vi $y=8x+-7$ .

Fasit

a) $f'(x)=6x+-4$ . b) Tangentstigningstall: $8$ . c) Tangent: $y=8x+-7$ .

Regel / husk dette

Regel: $(ax^n)'=nax^{n-1}$ . Tangentens stigningstall i $x=a$ er $f'(a)$ . Tangenten går gjennom $(a,f(a))$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $f'(x)$ er det samme som $f(x)$ .
Å glemme at konstantleddet deriveres til 0.
Å finne stigningstallet riktig, men bruke feil punkt i tangentlikningen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14Middels

Finn den deriverte og tangentstigningstallet

Tema: Derivasjon av polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

Funksjonen er gitt ved $f(x)=-2x^2+6x+1$ . a) Finn $f'(x)$ . b) Finn stigningstallet til tangenten når $x=1$ . c) Finn likningen til tangenten i punktet på grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi deriverer ledd for ledd. Den deriverte av $ax^2$ er $2ax$ , den deriverte av $bx$ er $b$ , og konstantleddet forsvinner. Derfor får vi $f'(x)=-4x+6.$

b) Tangentstigningstallet når $x=1$ er $f'(1)$ : $f'(1)=-4\cdot 1+6=2.$

c) Punktet på grafen er $(1,f(1))=(1,5)$ . Vi bruker ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ : $y-5=2(x-1).$ Setter vi dette på formen $y=ax+b$ , får vi $y=2x+3$ .

Fasit

a) $f'(x)=-4x+6$ . b) Tangentstigningstall: $2$ . c) Tangent: $y=2x+3$ .

Regel / husk dette

Regel: $(ax^n)'=nax^{n-1}$ . Tangentens stigningstall i $x=a$ er $f'(a)$ . Tangenten går gjennom $(a,f(a))$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $f'(x)$ er det samme som $f(x)$ .
Å glemme at konstantleddet deriveres til 0.
Å finne stigningstallet riktig, men bruke feil punkt i tangentlikningen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15Middels

Finn den deriverte og tangentstigningstallet

Tema: Derivasjon av polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

Funksjonen er gitt ved $f(x)=1x^2+0x+-9$ . a) Finn $f'(x)$ . b) Finn stigningstallet til tangenten når $x=3$ . c) Finn likningen til tangenten i punktet på grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi deriverer ledd for ledd. Den deriverte av $ax^2$ er $2ax$ , den deriverte av $bx$ er $b$ , og konstantleddet forsvinner. Derfor får vi $f'(x)=2x+0.$

b) Tangentstigningstallet når $x=3$ er $f'(3)$ : $f'(3)=2\cdot 3+0=6.$

c) Punktet på grafen er $(3,f(3))=(3,0)$ . Vi bruker ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ : $y-0=6(x-3).$ Setter vi dette på formen $y=ax+b$ , får vi $y=6x+-18$ .

Fasit

a) $f'(x)=2x+0$ . b) Tangentstigningstall: $6$ . c) Tangent: $y=6x+-18$ .

Regel / husk dette

Regel: $(ax^n)'=nax^{n-1}$ . Tangentens stigningstall i $x=a$ er $f'(a)$ . Tangenten går gjennom $(a,f(a))$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $f'(x)$ er det samme som $f(x)$ .
Å glemme at konstantleddet deriveres til 0.
Å finne stigningstallet riktig, men bruke feil punkt i tangentlikningen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 16Middels

Finn den deriverte og tangentstigningstallet

Tema: Derivasjon av polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

Funksjonen er gitt ved $f(x)=0.5x^2+-3x+4$ . a) Finn $f'(x)$ . b) Finn stigningstallet til tangenten når $x=4$ . c) Finn likningen til tangenten i punktet på grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi deriverer ledd for ledd. Den deriverte av $ax^2$ er $2ax$ , den deriverte av $bx$ er $b$ , og konstantleddet forsvinner. Derfor får vi $f'(x)=1x+-3.$

b) Tangentstigningstallet når $x=4$ er $f'(4)$ : $f'(4)=1\cdot 4+-3=1.$

c) Punktet på grafen er $(4,f(4))=(4,0)$ . Vi bruker ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ : $y-0=1(x-4).$ Setter vi dette på formen $y=ax+b$ , får vi $y=1x+-4$ .

Fasit

a) $f'(x)=1x+-3$ . b) Tangentstigningstall: $1$ . c) Tangent: $y=1x+-4$ .

Regel / husk dette

Regel: $(ax^n)'=nax^{n-1}$ . Tangentens stigningstall i $x=a$ er $f'(a)$ . Tangenten går gjennom $(a,f(a))$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $f'(x)$ er det samme som $f(x)$ .
Å glemme at konstantleddet deriveres til 0.
Å finne stigningstallet riktig, men bruke feil punkt i tangentlikningen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 17Middels

Finn den deriverte og tangentstigningstallet

Tema: Derivasjon av polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

Funksjonen er gitt ved $f(x)=4x^2+2x+-7$ . a) Finn $f'(x)$ . b) Finn stigningstallet til tangenten når $x=-1$ . c) Finn likningen til tangenten i punktet på grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi deriverer ledd for ledd. Den deriverte av $ax^2$ er $2ax$ , den deriverte av $bx$ er $b$ , og konstantleddet forsvinner. Derfor får vi $f'(x)=8x+2.$

b) Tangentstigningstallet når $x=-1$ er $f'(-1)$ : $f'(-1)=8\cdot -1+2=-6.$

c) Punktet på grafen er $(-1,f(-1))=(-1,-5)$ . Vi bruker ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ : $y--5=-6(x--1).$ Setter vi dette på formen $y=ax+b$ , får vi $y=-6x+-11$ .

Fasit

a) $f'(x)=8x+2$ . b) Tangentstigningstall: $-6$ . c) Tangent: $y=-6x+-11$ .

Regel / husk dette

Regel: $(ax^n)'=nax^{n-1}$ . Tangentens stigningstall i $x=a$ er $f'(a)$ . Tangenten går gjennom $(a,f(a))$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $f'(x)$ er det samme som $f(x)$ .
Å glemme at konstantleddet deriveres til 0.
Å finne stigningstallet riktig, men bruke feil punkt i tangentlikningen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 18Middels

Finn den deriverte og tangentstigningstallet

Tema: Derivasjon av polynomfunksjoner
Type: Regning og forklaring

Funksjonen er gitt ved $f(x)=-1x^2+5x+0$ . a) Finn $f'(x)$ . b) Finn stigningstallet til tangenten når $x=2$ . c) Finn likningen til tangenten i punktet på grafen.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi deriverer ledd for ledd. Den deriverte av $ax^2$ er $2ax$ , den deriverte av $bx$ er $b$ , og konstantleddet forsvinner. Derfor får vi $f'(x)=-2x+5.$

b) Tangentstigningstallet når $x=2$ er $f'(2)$ : $f'(2)=-2\cdot 2+5=1.$

c) Punktet på grafen er $(2,f(2))=(2,6)$ . Vi bruker ettpunktsformelen $y-y_1=a(x-x_1)$ : $y-6=1(x-2).$ Setter vi dette på formen $y=ax+b$ , får vi $y=1x+4$ .

Fasit

a) $f'(x)=-2x+5$ . b) Tangentstigningstall: $1$ . c) Tangent: $y=1x+4$ .

Regel / husk dette

Regel: $(ax^n)'=nax^{n-1}$ . Tangentens stigningstall i $x=a$ er $f'(a)$ . Tangenten går gjennom $(a,f(a))$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $f'(x)$ er det samme som $f(x)$ .
Å glemme at konstantleddet deriveres til 0.
Å finne stigningstallet riktig, men bruke feil punkt i tangentlikningen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 19Middels

Deriver en tredjegradsfunksjon

Tema: Derivasjon og vekstfart
Type: Regning

Gitt funksjonen $f(x)=1x^3+-6x^2+9x+2$ . Finn $f'(x)$ , og bruk den deriverte til å finne den momentane vekstfarten når $x=2$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deriverer hvert ledd. $(1x^3)'=3x^2$ , $(-6x^2)'=-12x$ , $(9x)'=9$ , og $(2)'=0$ .

Dermed blir $f'(x)=3x^2+-12x+9.$

Den momentane vekstfarten når $x=2$ er $f'(2)=3\cdot 2^2+-12\cdot 2+9=-3.$

Det betyr at grafen i akkurat dette punktet har tangent med stigningstall $-3$ .

Fasit

$f'(x)=3x^2+-12x+9$ , og $f'(2)=-3$ .

Regel / husk dette

Regel: Den deriverte beskriver momentan vekstfart. For polynom deriverer vi ledd for ledd.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å redusere eksponenten feil.
Å glemme koeffisienten foran leddet.
Å bruke gjennomsnittlig vekstfart når oppgaven spør etter momentan vekstfart.

Oppgave 20Middels

Deriver en tredjegradsfunksjon

Tema: Derivasjon og vekstfart
Type: Regning

Gitt funksjonen $f(x)=-1x^3+3x^2+4x+2$ . Finn $f'(x)$ , og bruk den deriverte til å finne den momentane vekstfarten når $x=1$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deriverer hvert ledd. $(-1x^3)'=-3x^2$ , $(3x^2)'=6x$ , $(4x)'=4$ , og $(2)'=0$ .

Dermed blir $f'(x)=-3x^2+6x+4.$

Den momentane vekstfarten når $x=1$ er $f'(1)=-3\cdot 1^2+6\cdot 1+4=7.$

Det betyr at grafen i akkurat dette punktet har tangent med stigningstall $7$ .

Fasit

$f'(x)=-3x^2+6x+4$ , og $f'(1)=7$ .

Regel / husk dette

Regel: Den deriverte beskriver momentan vekstfart. For polynom deriverer vi ledd for ledd.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å redusere eksponenten feil.
Å glemme koeffisienten foran leddet.
Å bruke gjennomsnittlig vekstfart når oppgaven spør etter momentan vekstfart.

Oppgave 21Middels

Deriver en tredjegradsfunksjon

Tema: Derivasjon og vekstfart
Type: Regning

Gitt funksjonen $f(x)=2x^3+-3x^2+-12x+2$ . Finn $f'(x)$ , og bruk den deriverte til å finne den momentane vekstfarten når $x=3$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deriverer hvert ledd. $(2x^3)'=6x^2$ , $(-3x^2)'=-6x$ , $(-12x)'=-12$ , og $(2)'=0$ .

Dermed blir $f'(x)=6x^2+-6x+-12.$

Den momentane vekstfarten når $x=3$ er $f'(3)=6\cdot 3^2+-6\cdot 3+-12=24.$

Det betyr at grafen i akkurat dette punktet har tangent med stigningstall $24$ .

Fasit

$f'(x)=6x^2+-6x+-12$ , og $f'(3)=24$ .

Regel / husk dette

Regel: Den deriverte beskriver momentan vekstfart. For polynom deriverer vi ledd for ledd.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å redusere eksponenten feil.
Å glemme koeffisienten foran leddet.
Å bruke gjennomsnittlig vekstfart når oppgaven spør etter momentan vekstfart.

Oppgave 22Middels

Deriver en tredjegradsfunksjon

Tema: Derivasjon og vekstfart
Type: Regning

Gitt funksjonen $f(x)=1x^3+0x^2+-4x+2$ . Finn $f'(x)$ , og bruk den deriverte til å finne den momentane vekstfarten når $x=-2$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi deriverer hvert ledd. $(1x^3)'=3x^2$ , $(0x^2)'=0x$ , $(-4x)'=-4$ , og $(2)'=0$ .

Dermed blir $f'(x)=3x^2+0x+-4.$

Den momentane vekstfarten når $x=-2$ er $f'(-2)=3\cdot -2^2+0\cdot -2+-4=8.$

Det betyr at grafen i akkurat dette punktet har tangent med stigningstall $8$ .

Fasit

$f'(x)=3x^2+0x+-4$ , og $f'(-2)=8$ .

Regel / husk dette

Regel: Den deriverte beskriver momentan vekstfart. For polynom deriverer vi ledd for ledd.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å redusere eksponenten feil.
Å glemme koeffisienten foran leddet.
Å bruke gjennomsnittlig vekstfart når oppgaven spør etter momentan vekstfart.

Oppgave 23Middels

Finn toppunkt eller bunnpunkt ved hjelp av derivasjon

Tema: Derivasjon og ekstremalpunkter
Type: Regning og drøfting

Funksjonen er gitt ved $f(x)=1x^2+-6x+5$ . Bruk derivasjon til å finne om grafen har toppunkt eller bunnpunkt, og finn koordinatene til punktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi finner først den deriverte: $f'(x)=2x+-6.$

Et ekstremalpunkt kan ligge der $f'(x)=0$ , fordi tangenten er vannrett der. Vi løser likningen: $2x+-6=0$ $x=3.00.$

Så finner vi funksjonsverdien: $f(3.00)=1\cdot(3.00)^2+-6\cdot(3.00)+5=-4.00.$

Siden koeffisienten foran $x^2$ er positiv, vender parabelen oppover. Punktet er derfor et bunnpunkt.

Fasit

Grafen har bunnpunkt i $(3.00,-4.00)$ .

Regel / husk dette

Regel: For en deriverbar funksjon finner vi kandidater til topp- og bunnpunkt ved å løse $f'(x)=0$ . For andregradsfunksjoner avgjør fortegnet til $a$ om punktet er topp eller bunn.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette $f(x)=0$ i stedet for $f'(x)=0$ .
Å finne x-verdien, men glemme å regne ut y-verdien.
Å kalle bunnpunkt for nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24Middels

Finn toppunkt eller bunnpunkt ved hjelp av derivasjon

Tema: Derivasjon og ekstremalpunkter
Type: Regning og drøfting

Funksjonen er gitt ved $f(x)=-1x^2+4x+1$ . Bruk derivasjon til å finne om grafen har toppunkt eller bunnpunkt, og finn koordinatene til punktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi finner først den deriverte: $f'(x)=-2x+4.$

Et ekstremalpunkt kan ligge der $f'(x)=0$ , fordi tangenten er vannrett der. Vi løser likningen: $-2x+4=0$ $x=2.00.$

Så finner vi funksjonsverdien: $f(2.00)=-1\cdot(2.00)^2+4\cdot(2.00)+1=5.00.$

Siden koeffisienten foran $x^2$ er negativ, vender parabelen nedover. Punktet er derfor et toppunkt.

Fasit

Grafen har toppunkt i $(2.00,5.00)$ .

Regel / husk dette

Regel: For en deriverbar funksjon finner vi kandidater til topp- og bunnpunkt ved å løse $f'(x)=0$ . For andregradsfunksjoner avgjør fortegnet til $a$ om punktet er topp eller bunn.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette $f(x)=0$ i stedet for $f'(x)=0$ .
Å finne x-verdien, men glemme å regne ut y-verdien.
Å kalle bunnpunkt for nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25Middels

Finn toppunkt eller bunnpunkt ved hjelp av derivasjon

Tema: Derivasjon og ekstremalpunkter
Type: Regning og drøfting

Funksjonen er gitt ved $f(x)=2x^2+-8x+3$ . Bruk derivasjon til å finne om grafen har toppunkt eller bunnpunkt, og finn koordinatene til punktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi finner først den deriverte: $f'(x)=4x+-8.$

Et ekstremalpunkt kan ligge der $f'(x)=0$ , fordi tangenten er vannrett der. Vi løser likningen: $4x+-8=0$ $x=2.00.$

Så finner vi funksjonsverdien: $f(2.00)=2\cdot(2.00)^2+-8\cdot(2.00)+3=-5.00.$

Siden koeffisienten foran $x^2$ er positiv, vender parabelen oppover. Punktet er derfor et bunnpunkt.

Fasit

Grafen har bunnpunkt i $(2.00,-5.00)$ .

Regel / husk dette

Regel: For en deriverbar funksjon finner vi kandidater til topp- og bunnpunkt ved å løse $f'(x)=0$ . For andregradsfunksjoner avgjør fortegnet til $a$ om punktet er topp eller bunn.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette $f(x)=0$ i stedet for $f'(x)=0$ .
Å finne x-verdien, men glemme å regne ut y-verdien.
Å kalle bunnpunkt for nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26Middels

Finn toppunkt eller bunnpunkt ved hjelp av derivasjon

Tema: Derivasjon og ekstremalpunkter
Type: Regning og drøfting

Funksjonen er gitt ved $f(x)=-2x^2+-4x+10$ . Bruk derivasjon til å finne om grafen har toppunkt eller bunnpunkt, og finn koordinatene til punktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi finner først den deriverte: $f'(x)=-4x+-4.$

Et ekstremalpunkt kan ligge der $f'(x)=0$ , fordi tangenten er vannrett der. Vi løser likningen: $-4x+-4=0$ $x=-1.00.$

Så finner vi funksjonsverdien: $f(-1.00)=-2\cdot(-1.00)^2+-4\cdot(-1.00)+10=12.00.$

Siden koeffisienten foran $x^2$ er negativ, vender parabelen nedover. Punktet er derfor et toppunkt.

Fasit

Grafen har toppunkt i $(-1.00,12.00)$ .

Regel / husk dette

Regel: For en deriverbar funksjon finner vi kandidater til topp- og bunnpunkt ved å løse $f'(x)=0$ . For andregradsfunksjoner avgjør fortegnet til $a$ om punktet er topp eller bunn.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette $f(x)=0$ i stedet for $f'(x)=0$ .
Å finne x-verdien, men glemme å regne ut y-verdien.
Å kalle bunnpunkt for nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27Middels

Finn toppunkt eller bunnpunkt ved hjelp av derivasjon

Tema: Derivasjon og ekstremalpunkter
Type: Regning og drøfting

Funksjonen er gitt ved $f(x)=0.5x^2+-3x+1$ . Bruk derivasjon til å finne om grafen har toppunkt eller bunnpunkt, og finn koordinatene til punktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi finner først den deriverte: $f'(x)=1x+-3.$

Et ekstremalpunkt kan ligge der $f'(x)=0$ , fordi tangenten er vannrett der. Vi løser likningen: $1x+-3=0$ $x=3.00.$

Så finner vi funksjonsverdien: $f(3.00)=0.5\cdot(3.00)^2+-3\cdot(3.00)+1=-3.50.$

Siden koeffisienten foran $x^2$ er positiv, vender parabelen oppover. Punktet er derfor et bunnpunkt.

Fasit

Grafen har bunnpunkt i $(3.00,-3.50)$ .

Regel / husk dette

Regel: For en deriverbar funksjon finner vi kandidater til topp- og bunnpunkt ved å løse $f'(x)=0$ . For andregradsfunksjoner avgjør fortegnet til $a$ om punktet er topp eller bunn.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette $f(x)=0$ i stedet for $f'(x)=0$ .
Å finne x-verdien, men glemme å regne ut y-verdien.
Å kalle bunnpunkt for nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28Middels

Finn toppunkt eller bunnpunkt ved hjelp av derivasjon

Tema: Derivasjon og ekstremalpunkter
Type: Regning og drøfting

Funksjonen er gitt ved $f(x)=-0.5x^2+5x+-2$ . Bruk derivasjon til å finne om grafen har toppunkt eller bunnpunkt, og finn koordinatene til punktet.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi finner først den deriverte: $f'(x)=-1x+5.$

Et ekstremalpunkt kan ligge der $f'(x)=0$ , fordi tangenten er vannrett der. Vi løser likningen: $-1x+5=0$ $x=5.00.$

Så finner vi funksjonsverdien: $f(5.00)=-0.5\cdot(5.00)^2+5\cdot(5.00)+-2=10.50.$

Siden koeffisienten foran $x^2$ er negativ, vender parabelen nedover. Punktet er derfor et toppunkt.

Fasit

Grafen har toppunkt i $(5.00,10.50)$ .

Regel / husk dette

Regel: For en deriverbar funksjon finner vi kandidater til topp- og bunnpunkt ved å løse $f'(x)=0$ . For andregradsfunksjoner avgjør fortegnet til $a$ om punktet er topp eller bunn.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å sette $f(x)=0$ i stedet for $f'(x)=0$ .
Å finne x-verdien, men glemme å regne ut y-verdien.
Å kalle bunnpunkt for nullpunkt.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29Middels

Finn definisjonsmengde og asymptoter

Tema: Rasjonale funksjoner
Type: Regning og grafisk forståelse

En rasjonal funksjon er gitt ved $f(x)=\frac{4}{x-1}+0$ . a) Finn definisjonsmengden. b) Finn den vertikale og horisontale asymptoten. c) Forklar hvordan grafen er flyttet sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Nevneren kan ikke være 0. Derfor må $x-1 eq 0$ , altså $x eq 1$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $1$ .

Den vertikale asymptoten kommer der nevneren blir 0, altså $x=1$ . Når $x$ blir veldig stor eller veldig liten, går brøkleddet $\frac{4}{x-1}$ mot 0. Derfor nærmer grafen seg $y=0$ , som er den horisontale asymptoten.

Sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ er grafen flyttet $1$ enheter horisontalt og $0$ enheter vertikalt. Faktoren $4$ gjør grafen brattere/flattere og kan speile grafen dersom $a$ er negativ.

Fasit

Definisjonsmengde: $x eq 1$ . Vertikal asymptote: $x=1$ . Horisontal asymptote: $y=0$ .

Regel / husk dette

Regel: I $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ er $x=h$ vertikal asymptote og $y=k$ horisontal asymptote.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å si at $x=0$ alltid er asymptote.
Å glemme at nevneren ikke kan være 0.
Å blande vertikal asymptote $x=h$ med horisontal asymptote $y=k$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 30Middels

Finn definisjonsmengde og asymptoter

Tema: Rasjonale funksjoner
Type: Regning og grafisk forståelse

En rasjonal funksjon er gitt ved $f(x)=\frac{6}{x--2}+1$ . a) Finn definisjonsmengden. b) Finn den vertikale og horisontale asymptoten. c) Forklar hvordan grafen er flyttet sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Nevneren kan ikke være 0. Derfor må $x--2 eq 0$ , altså $x eq -2$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $-2$ .

Den vertikale asymptoten kommer der nevneren blir 0, altså $x=-2$ . Når $x$ blir veldig stor eller veldig liten, går brøkleddet $\frac{6}{x--2}$ mot 0. Derfor nærmer grafen seg $y=1$ , som er den horisontale asymptoten.

Sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ er grafen flyttet $-2$ enheter horisontalt og $1$ enheter vertikalt. Faktoren $6$ gjør grafen brattere/flattere og kan speile grafen dersom $a$ er negativ.

Fasit

Definisjonsmengde: $x eq -2$ . Vertikal asymptote: $x=-2$ . Horisontal asymptote: $y=1$ .

Regel / husk dette

Regel: I $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ er $x=h$ vertikal asymptote og $y=k$ horisontal asymptote.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å si at $x=0$ alltid er asymptote.
Å glemme at nevneren ikke kan være 0.
Å blande vertikal asymptote $x=h$ med horisontal asymptote $y=k$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31Middels

Finn definisjonsmengde og asymptoter

Tema: Rasjonale funksjoner
Type: Regning og grafisk forståelse

En rasjonal funksjon er gitt ved $f(x)=\frac{-8}{x-3}+-1$ . a) Finn definisjonsmengden. b) Finn den vertikale og horisontale asymptoten. c) Forklar hvordan grafen er flyttet sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Nevneren kan ikke være 0. Derfor må $x-3 eq 0$ , altså $x eq 3$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $3$ .

Den vertikale asymptoten kommer der nevneren blir 0, altså $x=3$ . Når $x$ blir veldig stor eller veldig liten, går brøkleddet $\frac{-8}{x-3}$ mot 0. Derfor nærmer grafen seg $y=-1$ , som er den horisontale asymptoten.

Sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ er grafen flyttet $3$ enheter horisontalt og $-1$ enheter vertikalt. Faktoren $-8$ gjør grafen brattere/flattere og kan speile grafen dersom $a$ er negativ.

Fasit

Definisjonsmengde: $x eq 3$ . Vertikal asymptote: $x=3$ . Horisontal asymptote: $y=-1$ .

Regel / husk dette

Regel: I $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ er $x=h$ vertikal asymptote og $y=k$ horisontal asymptote.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å si at $x=0$ alltid er asymptote.
Å glemme at nevneren ikke kan være 0.
Å blande vertikal asymptote $x=h$ med horisontal asymptote $y=k$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32Middels

Finn definisjonsmengde og asymptoter

Tema: Rasjonale funksjoner
Type: Regning og grafisk forståelse

En rasjonal funksjon er gitt ved $f(x)=\frac{12}{x-0}+2$ . a) Finn definisjonsmengden. b) Finn den vertikale og horisontale asymptoten. c) Forklar hvordan grafen er flyttet sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Nevneren kan ikke være 0. Derfor må $x-0 eq 0$ , altså $x eq 0$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $0$ .

Den vertikale asymptoten kommer der nevneren blir 0, altså $x=0$ . Når $x$ blir veldig stor eller veldig liten, går brøkleddet $\frac{12}{x-0}$ mot 0. Derfor nærmer grafen seg $y=2$ , som er den horisontale asymptoten.

Sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ er grafen flyttet $0$ enheter horisontalt og $2$ enheter vertikalt. Faktoren $12$ gjør grafen brattere/flattere og kan speile grafen dersom $a$ er negativ.

Fasit

Definisjonsmengde: $x eq 0$ . Vertikal asymptote: $x=0$ . Horisontal asymptote: $y=2$ .

Regel / husk dette

Regel: I $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ er $x=h$ vertikal asymptote og $y=k$ horisontal asymptote.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å si at $x=0$ alltid er asymptote.
Å glemme at nevneren ikke kan være 0.
Å blande vertikal asymptote $x=h$ med horisontal asymptote $y=k$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33Middels

Finn definisjonsmengde og asymptoter

Tema: Rasjonale funksjoner
Type: Regning og grafisk forståelse

En rasjonal funksjon er gitt ved $f(x)=\frac{5}{x-2}+-3$ . a) Finn definisjonsmengden. b) Finn den vertikale og horisontale asymptoten. c) Forklar hvordan grafen er flyttet sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Nevneren kan ikke være 0. Derfor må $x-2 eq 0$ , altså $x eq 2$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $2$ .

Den vertikale asymptoten kommer der nevneren blir 0, altså $x=2$ . Når $x$ blir veldig stor eller veldig liten, går brøkleddet $\frac{5}{x-2}$ mot 0. Derfor nærmer grafen seg $y=-3$ , som er den horisontale asymptoten.

Sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ er grafen flyttet $2$ enheter horisontalt og $-3$ enheter vertikalt. Faktoren $5$ gjør grafen brattere/flattere og kan speile grafen dersom $a$ er negativ.

Fasit

Definisjonsmengde: $x eq 2$ . Vertikal asymptote: $x=2$ . Horisontal asymptote: $y=-3$ .

Regel / husk dette

Regel: I $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ er $x=h$ vertikal asymptote og $y=k$ horisontal asymptote.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å si at $x=0$ alltid er asymptote.
Å glemme at nevneren ikke kan være 0.
Å blande vertikal asymptote $x=h$ med horisontal asymptote $y=k$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 34Middels

Finn definisjonsmengde og asymptoter

Tema: Rasjonale funksjoner
Type: Regning og grafisk forståelse

En rasjonal funksjon er gitt ved $f(x)=\frac{9}{x--1}+4$ . a) Finn definisjonsmengden. b) Finn den vertikale og horisontale asymptoten. c) Forklar hvordan grafen er flyttet sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Nevneren kan ikke være 0. Derfor må $x--1 eq 0$ , altså $x eq -1$ . Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $-1$ .

Den vertikale asymptoten kommer der nevneren blir 0, altså $x=-1$ . Når $x$ blir veldig stor eller veldig liten, går brøkleddet $\frac{9}{x--1}$ mot 0. Derfor nærmer grafen seg $y=4$ , som er den horisontale asymptoten.

Sammenlignet med $y=\frac{1}{x}$ er grafen flyttet $-1$ enheter horisontalt og $4$ enheter vertikalt. Faktoren $9$ gjør grafen brattere/flattere og kan speile grafen dersom $a$ er negativ.

Fasit

Definisjonsmengde: $x eq -1$ . Vertikal asymptote: $x=-1$ . Horisontal asymptote: $y=4$ .

Regel / husk dette

Regel: I $f(x)=\frac{a}{x-h}+k$ er $x=h$ vertikal asymptote og $y=k$ horisontal asymptote.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å si at $x=0$ alltid er asymptote.
Å glemme at nevneren ikke kan være 0.
Å blande vertikal asymptote $x=h$ med horisontal asymptote $y=k$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35Middels

Finn omvendt funksjon til en lineær funksjon

Tema: Omvendte funksjoner
Type: Algebra og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=2x+3$ . a) Finn den omvendte funksjonen $f^{-1}(x)$ . b) Bruk den omvendte funksjonen til å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $7$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter først $y=2x+3$ . For å finne den omvendte funksjonen bytter vi rolle på $x$ og $y$ , og løser for $y$ : $x=2y+3$ $x-3=2y$ $y=\frac{x-3}{2}$

Dermed er $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.$

For å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $7$ , regner vi $f^{-1}(7)=\frac{7-3}{2}=2.00.$

Kontroll: $f(2.00)=2\cdot 2.00+3=7.00$ .

Fasit

$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$ . Verdien $f(x)=7$ fås når $x=2.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Den omvendte funksjonen bytter input og output. Grafene til $f$ og $f^{-1}$ speiles om linja $y=x$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å skrive $1/f(x)$ når oppgaven spør om $f^{-1}(x)$ .
Å glemme å bytte x og y før du løser.
Å ikke kontrollere svaret i den opprinnelige funksjonen.

Oppgave 36Middels

Finn omvendt funksjon til en lineær funksjon

Tema: Omvendte funksjoner
Type: Algebra og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=4x+-1$ . a) Finn den omvendte funksjonen $f^{-1}(x)$ . b) Bruk den omvendte funksjonen til å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $5$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter først $y=4x+-1$ . For å finne den omvendte funksjonen bytter vi rolle på $x$ og $y$ , og løser for $y$ : $x=4y+-1$ $x--1=4y$ $y=\frac{x--1}{4}$

Dermed er $f^{-1}(x)=\frac{x--1}{4}.$

For å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $5$ , regner vi $f^{-1}(5)=\frac{5--1}{4}=1.50.$

Kontroll: $f(1.50)=4\cdot 1.50+-1=5.00$ .

Fasit

$f^{-1}(x)=\frac{x--1}{4}$ . Verdien $f(x)=5$ fås når $x=1.50$ .

Regel / husk dette

Regel: Den omvendte funksjonen bytter input og output. Grafene til $f$ og $f^{-1}$ speiles om linja $y=x$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å skrive $1/f(x)$ når oppgaven spør om $f^{-1}(x)$ .
Å glemme å bytte x og y før du løser.
Å ikke kontrollere svaret i den opprinnelige funksjonen.

Oppgave 37Middels

Finn omvendt funksjon til en lineær funksjon

Tema: Omvendte funksjoner
Type: Algebra og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=-3x+6$ . a) Finn den omvendte funksjonen $f^{-1}(x)$ . b) Bruk den omvendte funksjonen til å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $0$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter først $y=-3x+6$ . For å finne den omvendte funksjonen bytter vi rolle på $x$ og $y$ , og løser for $y$ : $x=-3y+6$ $x-6=-3y$ $y=\frac{x-6}{-3}$

Dermed er $f^{-1}(x)=\frac{x-6}{-3}.$

For å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $0$ , regner vi $f^{-1}(0)=\frac{0-6}{-3}=2.00.$

Kontroll: $f(2.00)=-3\cdot 2.00+6=0.00$ .

Fasit

$f^{-1}(x)=\frac{x-6}{-3}$ . Verdien $f(x)=0$ fås når $x=2.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Den omvendte funksjonen bytter input og output. Grafene til $f$ og $f^{-1}$ speiles om linja $y=x$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å skrive $1/f(x)$ når oppgaven spør om $f^{-1}(x)$ .
Å glemme å bytte x og y før du løser.
Å ikke kontrollere svaret i den opprinnelige funksjonen.

Oppgave 38Middels

Finn omvendt funksjon til en lineær funksjon

Tema: Omvendte funksjoner
Type: Algebra og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=0.5x+2$ . a) Finn den omvendte funksjonen $f^{-1}(x)$ . b) Bruk den omvendte funksjonen til å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $-4$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter først $y=0.5x+2$ . For å finne den omvendte funksjonen bytter vi rolle på $x$ og $y$ , og løser for $y$ : $x=0.5y+2$ $x-2=0.5y$ $y=\frac{x-2}{0.5}$

Dermed er $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{0.5}.$

For å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $-4$ , regner vi $f^{-1}(-4)=\frac{-4-2}{0.5}=-12.00.$

Kontroll: $f(-12.00)=0.5\cdot -12.00+2=-4.00$ .

Fasit

$f^{-1}(x)=\frac{x-2}{0.5}$ . Verdien $f(x)=-4$ fås når $x=-12.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Den omvendte funksjonen bytter input og output. Grafene til $f$ og $f^{-1}$ speiles om linja $y=x$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å skrive $1/f(x)$ når oppgaven spør om $f^{-1}(x)$ .
Å glemme å bytte x og y før du løser.
Å ikke kontrollere svaret i den opprinnelige funksjonen.

Oppgave 39Middels

Finn omvendt funksjon til en lineær funksjon

Tema: Omvendte funksjoner
Type: Algebra og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=5x+0$ . a) Finn den omvendte funksjonen $f^{-1}(x)$ . b) Bruk den omvendte funksjonen til å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $10$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter først $y=5x+0$ . For å finne den omvendte funksjonen bytter vi rolle på $x$ og $y$ , og løser for $y$ : $x=5y+0$ $x-0=5y$ $y=\frac{x-0}{5}$

Dermed er $f^{-1}(x)=\frac{x-0}{5}.$

For å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $10$ , regner vi $f^{-1}(10)=\frac{10-0}{5}=2.00.$

Kontroll: $f(2.00)=5\cdot 2.00+0=10.00$ .

Fasit

$f^{-1}(x)=\frac{x-0}{5}$ . Verdien $f(x)=10$ fås når $x=2.00$ .

Regel / husk dette

Regel: Den omvendte funksjonen bytter input og output. Grafene til $f$ og $f^{-1}$ speiles om linja $y=x$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å skrive $1/f(x)$ når oppgaven spør om $f^{-1}(x)$ .
Å glemme å bytte x og y før du løser.
Å ikke kontrollere svaret i den opprinnelige funksjonen.

Oppgave 40Middels

Finn omvendt funksjon til en lineær funksjon

Tema: Omvendte funksjoner
Type: Algebra og forklaring

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x)=-2x+8$ . a) Finn den omvendte funksjonen $f^{-1}(x)$ . b) Bruk den omvendte funksjonen til å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $1$ .

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi setter først $y=-2x+8$ . For å finne den omvendte funksjonen bytter vi rolle på $x$ og $y$ , og løser for $y$ : $x=-2y+8$ $x-8=-2y$ $y=\frac{x-8}{-2}$

Dermed er $f^{-1}(x)=\frac{x-8}{-2}.$

For å finne hvilken $x$ -verdi som gir funksjonsverdien $1$ , regner vi $f^{-1}(1)=\frac{1-8}{-2}=3.50.$

Kontroll: $f(3.50)=-2\cdot 3.50+8=1.00$ .

Fasit

$f^{-1}(x)=\frac{x-8}{-2}$ . Verdien $f(x)=1$ fås når $x=3.50$ .

Regel / husk dette

Regel: Den omvendte funksjonen bytter input og output. Grafene til $f$ og $f^{-1}$ speiles om linja $y=x$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å skrive $1/f(x)$ når oppgaven spør om $f^{-1}(x)$ .
Å glemme å bytte x og y før du løser.
Å ikke kontrollere svaret i den opprinnelige funksjonen.

Oppgave 41Middels

Bruk en eksponentialmodell

Tema: Eksponentialfunksjoner
Type: Modellering og regning

En størrelse kan modelleres med $F(x)=800\cdot 1.08^x$ , der $x$ er antall tidsenheter. Modellen beskriver kroner på en konto. a) Finn $F(5)$ . b) Forklar hva vekstfaktoren $1.08$ betyr. c) Vurder om modellen kan brukes langt fram i tid.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi setter $x=5$ inn i modellen: $F(5)=800\cdot 1.08^5=1175.46.$

Svarverdien er omtrent $1175.46$ .

b) Vekstfaktoren er $1.08$ . Det betyr at størrelsen øker med omtrent $8.0\%$ per tidsenhet, fordi $1.08=1+\frac{8.0}{100}$ .

c) En eksponentialmodell kan være god i et begrenset tidsrom, men den bør ikke brukes ukritisk langt fram i tid. I virkeligheten kan ressurser, marked, temperatur, biologi eller andre begrensninger gjøre at utviklingen endrer seg.

Fasit

$F(5)\approx 1175.46$ . Vekstfaktoren betyr økning på omtrent $8.0\%$ per tidsenhet.

Regel / husk dette

Regel: Ved prosentvis endring bruker vi vekstfaktor. Økning på $p\%$ gir $1+p/100$ . Nedgang på $p\%$ gir $1-p/100$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke prosenttallet direkte som vekstfaktor.
Å legge til samme tall hver gang i stedet for å multiplisere.
Å glemme at eksponentialmodeller ofte bare gjelder i et avgrenset område.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 42Middels

Bruk en eksponentialmodell

Tema: Eksponentialfunksjoner
Type: Modellering og regning

En størrelse kan modelleres med $F(x)=1200\cdot 0.92^x$ , der $x$ er antall tidsenheter. Modellen beskriver antall gram av et stoff. a) Finn $F(4)$ . b) Forklar hva vekstfaktoren $0.92$ betyr. c) Vurder om modellen kan brukes langt fram i tid.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi setter $x=4$ inn i modellen: $F(4)=1200\cdot 0.92^4=859.67.$

Svarverdien er omtrent $859.67$ .

b) Vekstfaktoren er $0.92$ . Det betyr at størrelsen minker med omtrent $8.0\%$ per tidsenhet, fordi $0.92=1+\frac{-8.0}{100}$ .

c) En eksponentialmodell kan være god i et begrenset tidsrom, men den bør ikke brukes ukritisk langt fram i tid. I virkeligheten kan ressurser, marked, temperatur, biologi eller andre begrensninger gjøre at utviklingen endrer seg.

Fasit

$F(4)\approx 859.67$ . Vekstfaktoren betyr nedgang på omtrent $8.0\%$ per tidsenhet.

Regel / husk dette

Regel: Ved prosentvis endring bruker vi vekstfaktor. Økning på $p\%$ gir $1+p/100$ . Nedgang på $p\%$ gir $1-p/100$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke prosenttallet direkte som vekstfaktor.
Å legge til samme tall hver gang i stedet for å multiplisere.
Å glemme at eksponentialmodeller ofte bare gjelder i et avgrenset område.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 43Middels

Bruk en eksponentialmodell

Tema: Eksponentialfunksjoner
Type: Modellering og regning

En størrelse kan modelleres med $F(x)=350\cdot 1.15^x$ , der $x$ er antall tidsenheter. Modellen beskriver besøk på en nettside. a) Finn $F(6)$ . b) Forklar hva vekstfaktoren $1.15$ betyr. c) Vurder om modellen kan brukes langt fram i tid.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi setter $x=6$ inn i modellen: $F(6)=350\cdot 1.15^6=809.57.$

Svarverdien er omtrent $809.57$ .

b) Vekstfaktoren er $1.15$ . Det betyr at størrelsen øker med omtrent $15.0\%$ per tidsenhet, fordi $1.15=1+\frac{15.0}{100}$ .

c) En eksponentialmodell kan være god i et begrenset tidsrom, men den bør ikke brukes ukritisk langt fram i tid. I virkeligheten kan ressurser, marked, temperatur, biologi eller andre begrensninger gjøre at utviklingen endrer seg.

Fasit

$F(6)\approx 809.57$ . Vekstfaktoren betyr økning på omtrent $15.0\%$ per tidsenhet.

Regel / husk dette

Regel: Ved prosentvis endring bruker vi vekstfaktor. Økning på $p\%$ gir $1+p/100$ . Nedgang på $p\%$ gir $1-p/100$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke prosenttallet direkte som vekstfaktor.
Å legge til samme tall hver gang i stedet for å multiplisere.
Å glemme at eksponentialmodeller ofte bare gjelder i et avgrenset område.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 44Middels

Bruk en eksponentialmodell

Tema: Eksponentialfunksjoner
Type: Modellering og regning

En størrelse kan modelleres med $F(x)=5000\cdot 0.86^x$ , der $x$ er antall tidsenheter. Modellen beskriver verdien av en maskin. a) Finn $F(3)$ . b) Forklar hva vekstfaktoren $0.86$ betyr. c) Vurder om modellen kan brukes langt fram i tid.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi setter $x=3$ inn i modellen: $F(3)=5000\cdot 0.86^3=3180.28.$

Svarverdien er omtrent $3180.28$ .

b) Vekstfaktoren er $0.86$ . Det betyr at størrelsen minker med omtrent $14.0\%$ per tidsenhet, fordi $0.86=1+\frac{-14.0}{100}$ .

c) En eksponentialmodell kan være god i et begrenset tidsrom, men den bør ikke brukes ukritisk langt fram i tid. I virkeligheten kan ressurser, marked, temperatur, biologi eller andre begrensninger gjøre at utviklingen endrer seg.

Fasit

$F(3)\approx 3180.28$ . Vekstfaktoren betyr nedgang på omtrent $14.0\%$ per tidsenhet.

Regel / husk dette

Regel: Ved prosentvis endring bruker vi vekstfaktor. Økning på $p\%$ gir $1+p/100$ . Nedgang på $p\%$ gir $1-p/100$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke prosenttallet direkte som vekstfaktor.
Å legge til samme tall hver gang i stedet for å multiplisere.
Å glemme at eksponentialmodeller ofte bare gjelder i et avgrenset område.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 45Middels

Bruk en eksponentialmodell

Tema: Eksponentialfunksjoner
Type: Modellering og regning

En størrelse kan modelleres med $F(x)=75\cdot 1.30^x$ , der $x$ er antall tidsenheter. Modellen beskriver antall bakterier i tusen. a) Finn $F(4)$ . b) Forklar hva vekstfaktoren $1.30$ betyr. c) Vurder om modellen kan brukes langt fram i tid.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi setter $x=4$ inn i modellen: $F(4)=75\cdot 1.30^4=214.21.$

Svarverdien er omtrent $214.21$ .

b) Vekstfaktoren er $1.30$ . Det betyr at størrelsen øker med omtrent $30.0\%$ per tidsenhet, fordi $1.30=1+\frac{30.0}{100}$ .

c) En eksponentialmodell kan være god i et begrenset tidsrom, men den bør ikke brukes ukritisk langt fram i tid. I virkeligheten kan ressurser, marked, temperatur, biologi eller andre begrensninger gjøre at utviklingen endrer seg.

Fasit

$F(4)\approx 214.21$ . Vekstfaktoren betyr økning på omtrent $30.0\%$ per tidsenhet.

Regel / husk dette

Regel: Ved prosentvis endring bruker vi vekstfaktor. Økning på $p\%$ gir $1+p/100$ . Nedgang på $p\%$ gir $1-p/100$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke prosenttallet direkte som vekstfaktor.
Å legge til samme tall hver gang i stedet for å multiplisere.
Å glemme at eksponentialmodeller ofte bare gjelder i et avgrenset område.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 46Middels

Bruk en eksponentialmodell

Tema: Eksponentialfunksjoner
Type: Modellering og regning

En størrelse kan modelleres med $F(x)=240\cdot 0.75^x$ , der $x$ er antall tidsenheter. Modellen beskriver mengden medisin i mg. a) Finn $F(2)$ . b) Forklar hva vekstfaktoren $0.75$ betyr. c) Vurder om modellen kan brukes langt fram i tid.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi setter $x=2$ inn i modellen: $F(2)=240\cdot 0.75^2=135.00.$

Svarverdien er omtrent $135.00$ .

b) Vekstfaktoren er $0.75$ . Det betyr at størrelsen minker med omtrent $25.0\%$ per tidsenhet, fordi $0.75=1+\frac{-25.0}{100}$ .

c) En eksponentialmodell kan være god i et begrenset tidsrom, men den bør ikke brukes ukritisk langt fram i tid. I virkeligheten kan ressurser, marked, temperatur, biologi eller andre begrensninger gjøre at utviklingen endrer seg.

Fasit

$F(2)\approx 135.00$ . Vekstfaktoren betyr nedgang på omtrent $25.0\%$ per tidsenhet.

Regel / husk dette

Regel: Ved prosentvis endring bruker vi vekstfaktor. Økning på $p\%$ gir $1+p/100$ . Nedgang på $p\%$ gir $1-p/100$ .

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke prosenttallet direkte som vekstfaktor.
Å legge til samme tall hver gang i stedet for å multiplisere.
Å glemme at eksponentialmodeller ofte bare gjelder i et avgrenset område.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 47Krevende

Velg riktig modell ut fra en tabell

Tema: Modellering med funksjoner
Type: Tabell og begrunnelse

Tabellen viser sammenhengen mellom $x$ og $y$ . Velg om en lineær modell, en eksponentialmodell eller en andregradsmodell passer best. Begrunn valget ditt med regning, ikke bare med utseende.

x	0	1	2	3	4
y	5	8	11	14	17

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner endringer. For en lineær modell er første differanse omtrent konstant. For en eksponentialmodell er forholdet mellom påfølgende y-verdier omtrent konstant. For en andregradsmodell er andre differanse omtrent konstant.

I denne tabellen passer en lineær modell best. Begrunnelsen er at første differanse er konstant. Derfor beskriver modellen utviklingen bedre enn de andre modelltypene i dette området.

Det er likevel viktig å huske at en modell bare er en forenkling. Den bør kontrolleres mot flere data dersom den skal brukes til prediksjon.

Fasit

Beste modelltype: lineær modell.

Regel / husk dette

Regel: Lineær modell har konstant differanse. Eksponentialmodell har konstant forhold. Andregradsmodell har konstant andre differanse.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å velge modell bare fordi grafen ser pen ut.
Å blande differanse og forhold.
Å ekstrapolere langt uten å vurdere om modellen fortsatt gjelder.

Oppgave 48Krevende

Velg riktig modell ut fra en tabell

Tema: Modellering med funksjoner
Type: Tabell og begrunnelse

Tabellen viser sammenhengen mellom $x$ og $y$ . Velg om en lineær modell, en eksponentialmodell eller en andregradsmodell passer best. Begrunn valget ditt med regning, ikke bare med utseende.

x	0	1	2	3	4
y	4	8	16	32	64

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner endringer. For en lineær modell er første differanse omtrent konstant. For en eksponentialmodell er forholdet mellom påfølgende y-verdier omtrent konstant. For en andregradsmodell er andre differanse omtrent konstant.

I denne tabellen passer en eksponential modell best. Begrunnelsen er at forholdet mellom påfølgende verdier er omtrent konstant. Derfor beskriver modellen utviklingen bedre enn de andre modelltypene i dette området.

Det er likevel viktig å huske at en modell bare er en forenkling. Den bør kontrolleres mot flere data dersom den skal brukes til prediksjon.

Fasit

Beste modelltype: eksponential modell.

Regel / husk dette

Regel: Lineær modell har konstant differanse. Eksponentialmodell har konstant forhold. Andregradsmodell har konstant andre differanse.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å velge modell bare fordi grafen ser pen ut.
Å blande differanse og forhold.
Å ekstrapolere langt uten å vurdere om modellen fortsatt gjelder.

Oppgave 49Krevende

Velg riktig modell ut fra en tabell

Tema: Modellering med funksjoner
Type: Tabell og begrunnelse

Tabellen viser sammenhengen mellom $x$ og $y$ . Velg om en lineær modell, en eksponentialmodell eller en andregradsmodell passer best. Begrunn valget ditt med regning, ikke bare med utseende.

x	0	1	2	3	4
y	2	3	6	11	18

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner endringer. For en lineær modell er første differanse omtrent konstant. For en eksponentialmodell er forholdet mellom påfølgende y-verdier omtrent konstant. For en andregradsmodell er andre differanse omtrent konstant.

I denne tabellen passer en andregrads modell best. Begrunnelsen er at andre differanse er konstant. Derfor beskriver modellen utviklingen bedre enn de andre modelltypene i dette området.

Det er likevel viktig å huske at en modell bare er en forenkling. Den bør kontrolleres mot flere data dersom den skal brukes til prediksjon.

Fasit

Beste modelltype: andregrads modell.

Regel / husk dette

Regel: Lineær modell har konstant differanse. Eksponentialmodell har konstant forhold. Andregradsmodell har konstant andre differanse.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å velge modell bare fordi grafen ser pen ut.
Å blande differanse og forhold.
Å ekstrapolere langt uten å vurdere om modellen fortsatt gjelder.

Oppgave 50Krevende

Velg riktig modell ut fra en tabell

Tema: Modellering med funksjoner
Type: Tabell og begrunnelse

Tabellen viser sammenhengen mellom $x$ og $y$ . Velg om en lineær modell, en eksponentialmodell eller en andregradsmodell passer best. Begrunn valget ditt med regning, ikke bare med utseende.

x	0	1	2	3	4
y	100	80	64	51.2	41.0

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner endringer. For en lineær modell er første differanse omtrent konstant. For en eksponentialmodell er forholdet mellom påfølgende y-verdier omtrent konstant. For en andregradsmodell er andre differanse omtrent konstant.

I denne tabellen passer en eksponential modell best. Begrunnelsen er at forholdet mellom påfølgende verdier er omtrent konstant. Derfor beskriver modellen utviklingen bedre enn de andre modelltypene i dette området.

Det er likevel viktig å huske at en modell bare er en forenkling. Den bør kontrolleres mot flere data dersom den skal brukes til prediksjon.

Fasit

Beste modelltype: eksponential modell.

Regel / husk dette

Regel: Lineær modell har konstant differanse. Eksponentialmodell har konstant forhold. Andregradsmodell har konstant andre differanse.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å velge modell bare fordi grafen ser pen ut.
Å blande differanse og forhold.
Å ekstrapolere langt uten å vurdere om modellen fortsatt gjelder.

Oppgave 51Krevende

Velg riktig modell ut fra en tabell

Tema: Modellering med funksjoner
Type: Tabell og begrunnelse

Tabellen viser sammenhengen mellom $x$ og $y$ . Velg om en lineær modell, en eksponentialmodell eller en andregradsmodell passer best. Begrunn valget ditt med regning, ikke bare med utseende.

x	0	1	2	3	4
y	7	10	13	16	19

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner endringer. For en lineær modell er første differanse omtrent konstant. For en eksponentialmodell er forholdet mellom påfølgende y-verdier omtrent konstant. For en andregradsmodell er andre differanse omtrent konstant.

I denne tabellen passer en lineær modell best. Begrunnelsen er at første differanse er konstant. Derfor beskriver modellen utviklingen bedre enn de andre modelltypene i dette området.

Det er likevel viktig å huske at en modell bare er en forenkling. Den bør kontrolleres mot flere data dersom den skal brukes til prediksjon.

Fasit

Beste modelltype: lineær modell.

Regel / husk dette

Regel: Lineær modell har konstant differanse. Eksponentialmodell har konstant forhold. Andregradsmodell har konstant andre differanse.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å velge modell bare fordi grafen ser pen ut.
Å blande differanse og forhold.
Å ekstrapolere langt uten å vurdere om modellen fortsatt gjelder.

Oppgave 52Krevende

Velg riktig modell ut fra en tabell

Tema: Modellering med funksjoner
Type: Tabell og begrunnelse

Tabellen viser sammenhengen mellom $x$ og $y$ . Velg om en lineær modell, en eksponentialmodell eller en andregradsmodell passer best. Begrunn valget ditt med regning, ikke bare med utseende.

x	0	1	2	3	4
y	1	4	9	16	25

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner endringer. For en lineær modell er første differanse omtrent konstant. For en eksponentialmodell er forholdet mellom påfølgende y-verdier omtrent konstant. For en andregradsmodell er andre differanse omtrent konstant.

I denne tabellen passer en andregrads modell best. Begrunnelsen er at andre differanse er konstant. Derfor beskriver modellen utviklingen bedre enn de andre modelltypene i dette området.

Det er likevel viktig å huske at en modell bare er en forenkling. Den bør kontrolleres mot flere data dersom den skal brukes til prediksjon.

Fasit

Beste modelltype: andregrads modell.

Regel / husk dette

Regel: Lineær modell har konstant differanse. Eksponentialmodell har konstant forhold. Andregradsmodell har konstant andre differanse.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å velge modell bare fordi grafen ser pen ut.
Å blande differanse og forhold.
Å ekstrapolere langt uten å vurdere om modellen fortsatt gjelder.

Oppgave 53Middels

Beskriv grafisk transformasjon

Tema: Funksjoner og graftransformasjoner
Type: Forklaring

Grafen til en funksjon endres fra $y=x^2$ til $y=x^2+3$ . Forklar med ord hvordan grafen er flyttet eller endret. Bruk fagbegrepene horisontal forskyvning, vertikal forskyvning eller speiling der det passer.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner den nye funksjonen med grunnfunksjonen. Endringen fra $y=x^2$ til $y=x^2+3$ betyr at grafen er 3 enheter opp.

Når et tall legges til utenfor hele funksjonsuttrykket, flyttes grafen opp eller ned. Når endringen skjer inne i parentesen sammen med $x$ , flyttes grafen horisontalt. Et minustegn foran hele funksjonen speiler grafen om x-aksen.

Derfor er den riktige beskrivelsen at grafen er 3 enheter opp.

Fasit

Grafen er 3 enheter opp.

Regel / husk dette

Regel: $f(x)+k$ flytter grafen vertikalt. $f(x-h)$ flytter grafen $h$ enheter mot høyre. $-f(x)$ speiler grafen om x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $(x-2)^2$ flytter grafen mot venstre.
Å blande vertikal og horisontal forskyvning.
Å glemme at minustegn foran funksjonen gir speiling.

Oppgave 54Middels

Beskriv grafisk transformasjon

Tema: Funksjoner og graftransformasjoner
Type: Forklaring

Grafen til en funksjon endres fra $y=x^2$ til $y=(x-2)^2$ . Forklar med ord hvordan grafen er flyttet eller endret. Bruk fagbegrepene horisontal forskyvning, vertikal forskyvning eller speiling der det passer.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner den nye funksjonen med grunnfunksjonen. Endringen fra $y=x^2$ til $y=(x-2)^2$ betyr at grafen er 2 enheter mot høyre.

Når et tall legges til utenfor hele funksjonsuttrykket, flyttes grafen opp eller ned. Når endringen skjer inne i parentesen sammen med $x$ , flyttes grafen horisontalt. Et minustegn foran hele funksjonen speiler grafen om x-aksen.

Derfor er den riktige beskrivelsen at grafen er 2 enheter mot høyre.

Fasit

Grafen er 2 enheter mot høyre.

Regel / husk dette

Regel: $f(x)+k$ flytter grafen vertikalt. $f(x-h)$ flytter grafen $h$ enheter mot høyre. $-f(x)$ speiler grafen om x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $(x-2)^2$ flytter grafen mot venstre.
Å blande vertikal og horisontal forskyvning.
Å glemme at minustegn foran funksjonen gir speiling.

Oppgave 55Middels

Beskriv grafisk transformasjon

Tema: Funksjoner og graftransformasjoner
Type: Forklaring

Grafen til en funksjon endres fra $y=x^2$ til $y=-x^2$ . Forklar med ord hvordan grafen er flyttet eller endret. Bruk fagbegrepene horisontal forskyvning, vertikal forskyvning eller speiling der det passer.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner den nye funksjonen med grunnfunksjonen. Endringen fra $y=x^2$ til $y=-x^2$ betyr at grafen er speilet om x-aksen.

Når et tall legges til utenfor hele funksjonsuttrykket, flyttes grafen opp eller ned. Når endringen skjer inne i parentesen sammen med $x$ , flyttes grafen horisontalt. Et minustegn foran hele funksjonen speiler grafen om x-aksen.

Derfor er den riktige beskrivelsen at grafen er speilet om x-aksen.

Fasit

Grafen er speilet om x-aksen.

Regel / husk dette

Regel: $f(x)+k$ flytter grafen vertikalt. $f(x-h)$ flytter grafen $h$ enheter mot høyre. $-f(x)$ speiler grafen om x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $(x-2)^2$ flytter grafen mot venstre.
Å blande vertikal og horisontal forskyvning.
Å glemme at minustegn foran funksjonen gir speiling.

Oppgave 56Middels

Beskriv grafisk transformasjon

Tema: Funksjoner og graftransformasjoner
Type: Forklaring

Grafen til en funksjon endres fra $y=1/x$ til $y=1/(x+1)$ . Forklar med ord hvordan grafen er flyttet eller endret. Bruk fagbegrepene horisontal forskyvning, vertikal forskyvning eller speiling der det passer.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner den nye funksjonen med grunnfunksjonen. Endringen fra $y=1/x$ til $y=1/(x+1)$ betyr at grafen er 1 enhet mot venstre.

Når et tall legges til utenfor hele funksjonsuttrykket, flyttes grafen opp eller ned. Når endringen skjer inne i parentesen sammen med $x$ , flyttes grafen horisontalt. Et minustegn foran hele funksjonen speiler grafen om x-aksen.

Derfor er den riktige beskrivelsen at grafen er 1 enhet mot venstre.

Fasit

Grafen er 1 enhet mot venstre.

Regel / husk dette

Regel: $f(x)+k$ flytter grafen vertikalt. $f(x-h)$ flytter grafen $h$ enheter mot høyre. $-f(x)$ speiler grafen om x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $(x-2)^2$ flytter grafen mot venstre.
Å blande vertikal og horisontal forskyvning.
Å glemme at minustegn foran funksjonen gir speiling.

Oppgave 57Middels

Beskriv grafisk transformasjon

Tema: Funksjoner og graftransformasjoner
Type: Forklaring

Grafen til en funksjon endres fra $y=2^x$ til $y=2^x-4$ . Forklar med ord hvordan grafen er flyttet eller endret. Bruk fagbegrepene horisontal forskyvning, vertikal forskyvning eller speiling der det passer.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner den nye funksjonen med grunnfunksjonen. Endringen fra $y=2^x$ til $y=2^x-4$ betyr at grafen er 4 enheter ned.

Når et tall legges til utenfor hele funksjonsuttrykket, flyttes grafen opp eller ned. Når endringen skjer inne i parentesen sammen med $x$ , flyttes grafen horisontalt. Et minustegn foran hele funksjonen speiler grafen om x-aksen.

Derfor er den riktige beskrivelsen at grafen er 4 enheter ned.

Fasit

Grafen er 4 enheter ned.

Regel / husk dette

Regel: $f(x)+k$ flytter grafen vertikalt. $f(x-h)$ flytter grafen $h$ enheter mot høyre. $-f(x)$ speiler grafen om x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $(x-2)^2$ flytter grafen mot venstre.
Å blande vertikal og horisontal forskyvning.
Å glemme at minustegn foran funksjonen gir speiling.

Oppgave 58Middels

Beskriv grafisk transformasjon

Tema: Funksjoner og graftransformasjoner
Type: Forklaring

Grafen til en funksjon endres fra $y=sqrt(x)$ til $y=sqrt(x-3)$ . Forklar med ord hvordan grafen er flyttet eller endret. Bruk fagbegrepene horisontal forskyvning, vertikal forskyvning eller speiling der det passer.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi sammenlikner den nye funksjonen med grunnfunksjonen. Endringen fra $y=sqrt(x)$ til $y=sqrt(x-3)$ betyr at grafen er 3 enheter mot høyre.

Når et tall legges til utenfor hele funksjonsuttrykket, flyttes grafen opp eller ned. Når endringen skjer inne i parentesen sammen med $x$ , flyttes grafen horisontalt. Et minustegn foran hele funksjonen speiler grafen om x-aksen.

Derfor er den riktige beskrivelsen at grafen er 3 enheter mot høyre.

Fasit

Grafen er 3 enheter mot høyre.

Regel / husk dette

Regel: $f(x)+k$ flytter grafen vertikalt. $f(x-h)$ flytter grafen $h$ enheter mot høyre. $-f(x)$ speiler grafen om x-aksen.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tro at $(x-2)^2$ flytter grafen mot venstre.
Å blande vertikal og horisontal forskyvning.
Å glemme at minustegn foran funksjonen gir speiling.

Oppgave 59Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $6$ , og motstående katet er lik $8$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=6^2+8^2=36+64=100$ $c=\sqrt{100}\approx 10.00.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $8$ , hosliggende katet $6$ , og hypotenusen $10.00$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{8}{10.00}\approx 0.800$ $\cos v=\frac{6}{10.00}\approx 0.600$ $\tan v=\frac{8}{6}\approx 1.333.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right)\approx 53.1^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $53^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $10.00$ . $\sin v\approx 0.800$ , $\cos v\approx 0.600$ , $\tan v\approx 1.333$ . $v\approx 53^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 60Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $5$ , og motstående katet er lik $12$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=5^2+12^2=25+144=169$ $c=\sqrt{169}\approx 13.00.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $12$ , hosliggende katet $5$ , og hypotenusen $13.00$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{12}{13.00}\approx 0.923$ $\cos v=\frac{5}{13.00}\approx 0.385$ $\tan v=\frac{12}{5}\approx 2.400.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)\approx 67.4^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $67^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $13.00$ . $\sin v\approx 0.923$ , $\cos v\approx 0.385$ , $\tan v\approx 2.400$ . $v\approx 67^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 61Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $7$ , og motstående katet er lik $24$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=7^2+24^2=49+576=625$ $c=\sqrt{625}\approx 25.00.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $24$ , hosliggende katet $7$ , og hypotenusen $25.00$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{24}{25.00}\approx 0.960$ $\cos v=\frac{7}{25.00}\approx 0.280$ $\tan v=\frac{24}{7}\approx 3.429.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right)\approx 73.7^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $74^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $25.00$ . $\sin v\approx 0.960$ , $\cos v\approx 0.280$ , $\tan v\approx 3.429$ . $v\approx 74^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 62Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $9$ , og motstående katet er lik $12$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=9^2+12^2=81+144=225$ $c=\sqrt{225}\approx 15.00.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $12$ , hosliggende katet $9$ , og hypotenusen $15.00$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{12}{15.00}\approx 0.800$ $\cos v=\frac{9}{15.00}\approx 0.600$ $\tan v=\frac{12}{9}\approx 1.333.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{12}{9}\right)\approx 53.1^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $53^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $15.00$ . $\sin v\approx 0.800$ , $\cos v\approx 0.600$ , $\tan v\approx 1.333$ . $v\approx 53^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 63Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $8$ , og motstående katet er lik $15$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=8^2+15^2=64+225=289$ $c=\sqrt{289}\approx 17.00.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $15$ , hosliggende katet $8$ , og hypotenusen $17.00$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{15}{17.00}\approx 0.882$ $\cos v=\frac{8}{17.00}\approx 0.471$ $\tan v=\frac{15}{8}\approx 1.875.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)\approx 61.9^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $62^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $17.00$ . $\sin v\approx 0.882$ , $\cos v\approx 0.471$ , $\tan v\approx 1.875$ . $v\approx 62^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 64Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $10$ , og motstående katet er lik $24$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=10^2+24^2=100+576=676$ $c=\sqrt{676}\approx 26.00.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $24$ , hosliggende katet $10$ , og hypotenusen $26.00$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{24}{26.00}\approx 0.923$ $\cos v=\frac{10}{26.00}\approx 0.385$ $\tan v=\frac{24}{10}\approx 2.400.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{24}{10}\right)\approx 67.4^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $67^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $26.00$ . $\sin v\approx 0.923$ , $\cos v\approx 0.385$ , $\tan v\approx 2.400$ . $v\approx 67^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 65Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $4$ , og motstående katet er lik $7$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=4^2+7^2=16+49=65$ $c=\sqrt{65}\approx 8.06.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $7$ , hosliggende katet $4$ , og hypotenusen $8.06$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{7}{8.06}\approx 0.868$ $\cos v=\frac{4}{8.06}\approx 0.496$ $\tan v=\frac{7}{4}\approx 1.750.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)\approx 60.3^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $60^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $8.06$ . $\sin v\approx 0.868$ , $\cos v\approx 0.496$ , $\tan v\approx 1.750$ . $v\approx 60^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 66Middels

Bruk sinus, cosinus og tangens i rettvinklet trekant

Tema: Trigonometri i rettvinklede trekanter
Type: Figur og regning

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $11$ , og motstående katet er lik $13$ . a) Finn hypotenusen. b) Finn $\sin v$ , $\cos v$ og $\tan v$ . c) Finn vinkelen $v$ til nærmeste hele grad.

Vis løsning

Trinnvis løsning

a) Vi bruker Pytagoras for å finne hypotenusen: $c^2=11^2+13^2=121+169=290$ $c=\sqrt{290}\approx 17.03.$

b) For vinkelen $v$ er motstående katet $13$ , hosliggende katet $11$ , og hypotenusen $17.03$ . Derfor får vi: $\sin v=\frac{13}{17.03}\approx 0.763$ $\cos v=\frac{11}{17.03}\approx 0.646$ $\tan v=\frac{13}{11}\approx 1.182.$

c) Vi bruker invers tangens: $v=\tan^{-1}\left(\frac{13}{11}\right)\approx 49.8^\circ.$ Vinkelen er derfor omtrent $50^\circ$ .

Fasit

Hypotenus: $17.03$ . $\sin v\approx 0.763$ , $\cos v\approx 0.646$ , $\tan v\approx 1.182$ . $v\approx 50^\circ$ .

Regel / husk dette

Regel: SOH-CAH-TOA: sinus = motstående/hypotenus, cosinus = hosliggende/hypotenus, tangens = motstående/hosliggende.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å blande motstående og hosliggende katet.
Å bruke hypotenusen i tangens.
Å glemme å sette kalkulatoren i grader.
Å runde for tidlig i mellomregningene.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 67Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $35$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $28^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(28^\circ)=\frac{h}{35}.$ Vi multipliserer med $35$ : $h=35\cdot\tan(28^\circ)\approx 18.61.$ Tårnet er derfor omtrent $18.6$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $18.6$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 68Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $60$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $37^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(37^\circ)=\frac{h}{60}.$ Vi multipliserer med $60$ : $h=60\cdot\tan(37^\circ)\approx 45.21.$ Tårnet er derfor omtrent $45.2$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $45.2$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 69Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $18$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $52^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(52^\circ)=\frac{h}{18}.$ Vi multipliserer med $18$ : $h=18\cdot\tan(52^\circ)\approx 23.04.$ Tårnet er derfor omtrent $23.0$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $23.0$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 70Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $120$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $7^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(7^\circ)=\frac{h}{120}.$ Vi multipliserer med $120$ : $h=120\cdot\tan(7^\circ)\approx 14.73.$ Tårnet er derfor omtrent $14.7$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $14.7$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 71Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $42$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $61^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(61^\circ)=\frac{h}{42}.$ Vi multipliserer med $42$ : $h=42\cdot\tan(61^\circ)\approx 75.77.$ Tårnet er derfor omtrent $75.8$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $75.8$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 72Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $75$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $14^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(14^\circ)=\frac{h}{75}.$ Vi multipliserer med $75$ : $h=75\cdot\tan(14^\circ)\approx 18.70.$ Tårnet er derfor omtrent $18.7$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $18.7$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 73Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $22$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $33^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(33^\circ)=\frac{h}{22}.$ Vi multipliserer med $22$ : $h=22\cdot\tan(33^\circ)\approx 14.29.$ Tårnet er derfor omtrent $14.3$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $14.3$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 74Middels

Finn høyde med tangens

Tema: Trigonometri og praktiske situasjoner
Type: Tekstoppgave

En elev står $90$ meter fra foten av et tårn. Vinkelen fra bakken opp til toppen av tårnet er $25^\circ$ . Se bort fra elevens øyehøyde. Finn høyden til tårnet. Forklar hvorfor tangens er riktig funksjon her.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Vi tegner situasjonen som en rettvinklet trekant. Avstanden langs bakken er hosliggende katet, og høyden er motstående katet. Når vi kjenner en vinkel og hosliggende katet, bruker vi tangens: $\tan(25^\circ)=\frac{h}{90}.$ Vi multipliserer med $90$ : $h=90\cdot\tan(25^\circ)\approx 41.97.$ Tårnet er derfor omtrent $42.0$ meter høyt.

Fasit

Høyden er omtrent $42.0$ meter.

Regel / husk dette

Regel: Tangens brukes når vi arbeider med motstående og hosliggende katet i en rettvinklet trekant.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å bruke sinus når hypotenusen ikke er kjent.
Å bruke grader feil på kalkulatoren.
Å skrive svaret uten meter.
Å plassere vinkelen på feil sted i skissen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 75Krevende

Drøft forskjellen mellom gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Tema: Vekstfart og derivasjon
Type: Forklaring

Forklar forskjellen mellom gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart. Bruk en bil som kjører en tur som eksempel, og forklar hvordan dette kan vises på en graf.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart beskriver endringen over et helt intervall. På en graf svarer dette til stigningstallet til en sekant mellom to punkter. Momentan vekstfart beskriver endringen i ett bestemt øyeblikk. På en graf svarer dette til stigningstallet til tangenten i ett punkt. For en bil kan gjennomsnittsfarten være 70 km/t på hele turen, mens momentan fart kan være 52 km/t akkurat når bilen passerer et skilt. I matematikk finner vi ofte momentan vekstfart ved hjelp av den deriverte.

Fasit

Gjennomsnittlig vekstfart gjelder et intervall. Momentan vekstfart gjelder ett punkt og kan finnes med den deriverte.

Regel / husk dette

Regel: Sekant gir gjennomsnittlig vekstfart. Tangent gir momentan vekstfart.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å forklare begge som det samme.
Å bruke tangent for et helt intervall.
Å glemme at momentan vekstfart er den deriverte.

Oppgave 76Middels

Tolk en negativ derivert

Tema: Derivasjon og grafisk tolkning
Type: Forklaring

En funksjon beskriver temperaturen i en beholder. I et bestemt tidspunkt er $f'(t)=-2,4$ . Forklar hva dette betyr, og forklar om temperaturen øker eller minker akkurat da.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Den deriverte viser momentan vekstfart. Når $f'(t)=-2,4$ , betyr det at temperaturen akkurat på dette tidspunktet minker med omtrent 2,4 grader per tidsenhet. Fortegnet er viktig: negativ verdi betyr at grafen synker, mens positiv verdi betyr at grafen stiger. Dette sier ikke nødvendigvis at temperaturen minker like mye hele tiden, bare akkurat i dette tidspunktet.

Fasit

Temperaturen minker akkurat da, med omtrent 2,4 grader per tidsenhet.

Regel / husk dette

Regel: Positiv derivert betyr økende funksjon. Negativ derivert betyr minkende funksjon.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å overse minustegnet.
Å tolke -2,4 som temperatur i stedet for endringsfart.
Å tro at samme endring gjelder for hele perioden.

Oppgave 77Krevende

Sammenlikn to funksjonsmodeller

Tema: Modellering med funksjoner
Type: Drøfting

To modeller beskriver antall brukere av en app: $A(x)=500+80x$ og $B(x)=500\cdot 1,12^x$ . Forklar hva som er forskjellen mellom modellene, og finn antall brukere etter 6 måneder i begge modellene.

Vis løsning

Trinnvis løsning

Modellen $A(x)=500+80x$ er lineær. Den legger til 80 brukere hver måned. Modellen $B(x)=500\cdot 1,12^x$ er eksponentiell. Den øker med 12 % hver måned. Etter 6 måneder får vi $A(6)=500+80\cdot6=980$ . For den eksponentielle modellen får vi $B(6)=500\cdot1,12^6\approx986,91$ . Begge modellene gir omtrent samme verdi etter 6 måneder, men de vil skille mer lag over tid fordi eksponentiell vekst øker med prosent, ikke fast beløp.

Fasit

\ (A(6)=980\), $B(6)\approx987$ . Lineær modell har fast økning; eksponentialmodell har fast prosentvis økning.

Regel / husk dette

Regel: Lineær vekst gir konstant differanse. Eksponentialvekst gir konstant forhold/vekstfaktor.

Sensor ser etter

Sensor ser etter korrekt metode, ryddig matematisk notasjon, presis bruk av fagbegreper og at du kan forklare hva svaret betyr. I 1T gir det uttelling å koble formel, graf, tabell og praktisk situasjon.

For høy måloppnåelse

For høy måloppnåelse bør du begrunne valget av metode, bruke riktig notasjon, forklare enhet eller praktisk betydning og kontrollere svaret med en alternativ representasjon når det er mulig.

Vanlige feil i regningen

Å tolke 1,12 som 112 % økning i stedet for 12 % økning.
Å regne 500+1,12x for eksponentialmodellen.
Å glemme å forklare modellforskjellen.

Innhold

Oppgaver med trinnvis løsning

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra en tabell

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk

Trinnvis løsning

Fasit

Regel / husk dette

Sensor ser etter

For høy måloppnåelse

Vanlige feil i regningen

Regn gjennomsnittlig vekstfart fra funksjonsuttrykk