Denne Ifingo-siden samler oppgaver fra kapittel 3 om funksjonsbegrepet, andregradsfunksjoner, grafisk løsning, andregradslikninger, faktorisering, ikke-lineære likningssett og andregradsulikheter. Alle oppgavene har trinnvis løsning, fasit, huskeregler, vanlige feil og vurderingspunkt.
En ball kastes rett opp fra bakken. Høyden etter t sekunder er gitt ved h(t)=−4t2+24t. Regn ut h(t) for t=0,1,3,5, og forklar hvilke verdier som er funksjonsverdier.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi setter hver t-verdi inn i funksjonsuttrykket. Det betyr at t er den uavhengige variabelen, mens h(t) er høyden.
h(0)=−4⋅02+24⋅0+0=0.
h(1)=−4⋅12+24⋅1+0=20.
h(3)=−4⋅32+24⋅3+0=36.
h(5)=−4⋅52+24⋅5+0=20.
Fasit
h(0)=0,h(1)=20,h(3)=36,h(5)=20
Regel / husk
Husk: y er en funksjon av x når hver lovlige x-verdi gir nøyaktig én y-verdi.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
En ball kastes rett opp fra bakken. Høyden etter t sekunder er gitt ved h(t)=−3t2+18t. Regn ut h(t) for t=0,2,4,6, og forklar hvilke verdier som er funksjonsverdier.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi setter hver t-verdi inn i funksjonsuttrykket. Det betyr at t er den uavhengige variabelen, mens h(t) er høyden.
h(0)=−3⋅02+18⋅0+0=0.
h(2)=−3⋅22+18⋅2+0=24.
h(4)=−3⋅42+18⋅4+0=24.
h(6)=−3⋅62+18⋅6+0=0.
Fasit
h(0)=0,h(2)=24,h(4)=24,h(6)=0
Regel / husk
Husk: y er en funksjon av x når hver lovlige x-verdi gir nøyaktig én y-verdi.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
En ball kastes rett opp fra bakken. Høyden etter t sekunder er gitt ved h(t)=−5t2+30t. Regn ut h(t) for t=1,2,4,6, og forklar hvilke verdier som er funksjonsverdier.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi setter hver t-verdi inn i funksjonsuttrykket. Det betyr at t er den uavhengige variabelen, mens h(t) er høyden.
h(1)=−5⋅12+30⋅1+0=25.
h(2)=−5⋅22+30⋅2+0=40.
h(4)=−5⋅42+30⋅4+0=40.
h(6)=−5⋅62+30⋅6+0=0.
Fasit
h(1)=25,h(2)=40,h(4)=40,h(6)=0
Regel / husk
Husk: y er en funksjon av x når hver lovlige x-verdi gir nøyaktig én y-verdi.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Funksjonsbegrepet Type: Begrep og forklaring
På en kino koster billetten 70 kr for barn, 115 kr for ungdom og 150 kr for voksne. Er billettprisen en funksjon av alderen? Er alderen en funksjon av billettprisen? Forklar med egne ord.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Prisen er en funksjon av alderen dersom hver alder gir nøyaktig én pris. Når aldersgruppene er faste, vil en person med en bestemt alder få én bestemt billettpris.
Alderen er derimot ikke en funksjon av prisen, fordi mange ulike aldre kan gi samme pris. For eksempel kan flere ungdomsaldre gi 115 kr.
Fasit
Prisen kan være en funksjon av alder. Alder er ikke en funksjon av pris.
Regel / husk
Husk: Funksjonsretningen er viktig. Det holder ikke at to størrelser henger sammen; én x-verdi må gi én y-verdi.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å svare bare 'ja' fordi størrelsene henger sammen, uten å undersøke om én verdi gir nøyaktig én annen verdi.
Oppgave 5Middels
Finn definisjonsmengde og verdimengde fra en kastmodell
Tema: Funksjonsbegrepet Type: Graf og modell
En stein kastes opp fra bakken. Høyden er gitt ved h(t)=−4t2+24t, der t er tid i sekunder. Finn når steinen er tilbake på bakken, definisjonsmengden og verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Steinen er på bakken når h(t)=0.
−4t2+24t=0
−4t(t−6)=0
Produktregelen gir t=0 eller t=6. Kastet varer derfor fra 0 til 6 sekunder.
Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: t=(0+6)/2=3.
h(3)=−4⋅32+24⋅3=−36+72=36.
Fasit
Definisjonsmengde: t ∈ [0, 6]. Verdimengde: h ∈ [0, 36].
Regel / husk
Husk: I en praktisk modell må definisjonsmengden passe situasjonen. Tid før kastet og etter landing er ikke med.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Les av høyde fra en graf og vurder omvendt funksjon
Tema: Funksjonsbegrepet Type: Grafisk avlesing
Grafen viser høyden til en ball etter t sekunder. Bruk grafen til å anslå høyden etter 2 s og 5 s. Forklar også hvorfor høyden ikke bestemmer tiden entydig.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi leser av grafen ved å gå fra t-verdien på førsteaksen opp til grafen og deretter bort til y-aksen.
Ved t=2 er høyden omtrent 32 m. Ved t=5 er høyden omtrent 20 m.
Høyden bestemmer ikke alltid tiden entydig, fordi samme høyde kan forekomme både på vei opp og på vei ned. En bestemt y-verdi kan altså svare til to t-verdier.
Fasit
Omtrent h(2)=32m og h(5)=20m. Høyde er ikke nødvendigvis en funksjon av tid baklengs.
Regel / husk
Husk: En graf kan vise en funksjon selv om den omvendte sammenhengen ikke er en funksjon.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å bytte aksene, lese av omtrentlige verdier som eksakte eller glemme at samme høyde kan oppstå to ganger.
Tre grafer vises: en rett linje, en parabel som åpner oppover, og en sidelengs parabel. Forklar hvilke av dem som viser y som en funksjon av x, og hvilke som ikke gjør det.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi bruker vertikallinjetesten: Hvis en loddrett linje treffer grafen mer enn én gang, får samme x-verdi flere y-verdier. Da er y ikke en funksjon av x.
En rett linje er en funksjon så lenge den ikke er loddrett. En vanlig parabel som åpner oppover er også en funksjon, fordi hver x-verdi gir én y-verdi. En sidelengs parabel er ikke en funksjon av x, fordi noen x-verdier gir to y-verdier.
Fasit
Rett linje: funksjon. Vanlig parabel: funksjon. Sidelengs parabel: ikke funksjon av x.
Regel / husk
Husk: Testen handler om én x-verdi kan gi mer enn én y-verdi.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlig feil er å tro at alle kurver er funksjoner, eller at bare rette linjer kan være funksjoner.
Oppgave 8Krevende
Lag trappetabell for vurderingsskala
Tema: Funksjonsbegrepet Type: Tabell og definisjonsmengde
En prøve har 70 poeng. Karakteren bestemmes slik: 0-17 poeng gir 1, 18-29 gir 2, 30-42 gir 3, 43-54 gir 4, 55-64 gir 5 og 65-70 gir 6. Forklar hvorfor karakteren er en funksjon av poengsummen. Finn definisjonsmengde og verdimengde. Er poengsummen en funksjon av karakteren?
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Hver mulig poengsum gir nøyaktig én karakter. Derfor er karakteren en funksjon av poengsummen.
Definisjonsmengden er alle mulige poengsummer fra 0 til 70, vanligvis heltall: D=0,1,2,...,70.
Verdimengden er karakterene som kan oppstå: V=1,2,3,4,5,6.
Poengsummen er ikke en funksjon av karakteren, fordi samme karakter kan komme fra mange ulike poengsummer. For eksempel gir alle poeng fra 55 til 64 karakter 5.
Fasit
Karakter er funksjon av poengsum. D=0,...,70.V=1,2,3,4,5,6. Poengsum er ikke funksjon av karakter.
Regel / husk
Husk: En tabellfunksjon kan ha intervaller som definisjonsmengde, men hver x-verdi må ha bare én y-verdi.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å skrive definisjonsmengden som karakterene og verdimengden som poengene. Rekkefølgen må følge hva som er x og y.
Oppgave 9Middels
Analyser en andregradsfunksjon
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=x2−6x+8. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(−6)/(2⋅1)=3.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=3 inn i funksjonen: f(3)=−1.
x
1
2
3
4
5
f(x)
3
0
-1
0
3
Nullpunktene finner vi ved å løse x2−6x+8=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 4. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(6±4)/(2⋅1)=(6±2)/2.
Dermed er nullpunktene omtrent x=2 og x=4.
Fasit
Ekstremalpunkt: (3, -1). Nullpunkter: x≈2 og x≈4. Verdimengde: V_f=[−1, →).
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=x2−4x+3. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(−4)/(2⋅1)=2.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=2 inn i funksjonen: f(2)=−1.
x
0
1
2
3
4
f(x)
3
0
-1
0
3
Nullpunktene finner vi ved å løse x2−4x+3=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 4. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(4±4)/(2⋅1)=(4±2)/2.
Dermed er nullpunktene omtrent x=1 og x=3.
Fasit
Ekstremalpunkt: (2, -1). Nullpunkter: x≈1 og x≈3. Verdimengde: V_f=[−1, →).
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=−x2+6x−5. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(6)/(2⋅−1)=3.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=3 inn i funksjonen: f(3)=4.
x
1
2
3
4
5
f(x)
0
3
4
3
0
Nullpunktene finner vi ved å løse −x2+6x−5=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 16. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(−6±16)/(2⋅−1)=(−6±4)/−2.
Dermed er nullpunktene omtrent x=5 og x=1.
Fasit
Ekstremalpunkt: (3, 4). Nullpunkter: x≈5 og x≈1. Verdimengde: V_f=(←, 4].
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=2x2−8x+6. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(−8)/(2⋅2)=2.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=2 inn i funksjonen: f(2)=−2.
x
0
1
2
3
4
f(x)
6
0
-2
0
6
Nullpunktene finner vi ved å løse 2x2−8x+6=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 16. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(8±16)/(2⋅2)=(8±4)/4.
Dermed er nullpunktene omtrent x=1 og x=3.
Fasit
Ekstremalpunkt: (2, -2). Nullpunkter: x≈1 og x≈3. Verdimengde: V_f=[−2, →).
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=−2x2+8x−4. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(8)/(2⋅−2)=2.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=2 inn i funksjonen: f(2)=4.
x
0
1
2
3
4
f(x)
-4
2
4
2
-4
Nullpunktene finner vi ved å løse −2x2+8x−4=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 32. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(−8±32)/(2⋅−2).
Dermed er nullpunktene omtrent x=3,41 og x=0,59.
Fasit
Ekstremalpunkt: (2, 4). Nullpunkter: x≈3,41 og x≈0,59. Verdimengde: V_f=(←, 4].
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=x2−2x−3. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(−2)/(2⋅1)=1.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=1 inn i funksjonen: f(1)=−4.
x
-1
0
1
2
3
f(x)
0
-3
-4
-3
0
Nullpunktene finner vi ved å løse x2−2x−3=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 16. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(2±16)/(2⋅1)=(2±4)/2.
Dermed er nullpunktene omtrent x=−1 og x=3.
Fasit
Ekstremalpunkt: (1, -4). Nullpunkter: x≈−1 og x≈3. Verdimengde: V_f=[−4, →).
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=−x2+4x−3. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(4)/(2⋅−1)=2.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=2 inn i funksjonen: f(2)=1.
x
0
1
2
3
4
f(x)
-3
0
1
0
-3
Nullpunktene finner vi ved å løse −x2+4x−3=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 4. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(−4±4)/(2⋅−1)=(−4±2)/−2.
Dermed er nullpunktene omtrent x=3 og x=1.
Fasit
Ekstremalpunkt: (2, 1). Nullpunkter: x≈3 og x≈1. Verdimengde: V_f=(←, 1].
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=x2−9. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(0)/(2⋅1)=0.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=0 inn i funksjonen: f(0)=−9.
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
-5
-8
-9
-8
-5
Nullpunktene finner vi ved å løse x2−9=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 36. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(0±36)/(2⋅1)=(0±6)/2.
Dermed er nullpunktene omtrent x=−3 og x=3.
Fasit
Ekstremalpunkt: (0, -9). Nullpunkter: x≈−3 og x≈3. Verdimengde: V_f=[−9, →).
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=2x2+4x−6. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(4)/(2⋅2)=−1.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=−1 inn i funksjonen: f(−1)=−8.
x
-3
-2
-1
0
1
f(x)
0
-6
-8
-6
0
Nullpunktene finner vi ved å løse 2x2+4x−6=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 64. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(−4±64)/(2⋅2)=(−4±8)/4.
Dermed er nullpunktene omtrent x=−3 og x=1.
Fasit
Ekstremalpunkt: (-1, -8). Nullpunkter: x≈−3 og x≈1. Verdimengde: V_f=[−8, →).
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Graf, tabell og regning
Funksjonen f er gitt ved f(x)=x2−8x+12. Lag en verditabell med fem x-verdier rundt symmetrilinjen, tegn grafen, finn nullpunktene dersom de finnes, finn ekstremalpunktet og bestem verdimengden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med å finne symmetrilinjen. For en andregradsfunksjon f(x)=ax²+bx+c er symmetrilinjen x=−b/(2a).
x=−(−8)/(2⋅1)=4.
Ekstremalpunktet får vi ved å sette x=4 inn i funksjonen: f(4)=−4.
x
2
3
4
5
6
f(x)
0
-3
-4
-3
0
Nullpunktene finner vi ved å løse x2−8x+12=0. Diskriminanten er D=b2−4ac = 16. Siden D > 0, har funksjonen to nullpunkter.
x=(8±16)/(2⋅1)=(8±4)/2.
Dermed er nullpunktene omtrent x=2 og x=6.
Fasit
Ekstremalpunkt: (4, -4). Nullpunkter: x≈2 og x≈6. Verdimengde: V_f=[−4, →).
Regel / husk
Husk: a > 0 gir bunnpunkt, a < 0 gir toppunkt. Symmetrilinjen er x=−b/(2a).
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Tema: Utforsk parabler Type: Geometri og forklaring
Tegn linjen y=3 og punktet P(1,5). Marker flere punkter som har samme avstand til linjen y=3 som til punktet P. Forklar hvorfor punktene danner en parabel.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
En parabel kan beskrives som mengden av punkter som har lik avstand til et fast punkt og en fast linje. Her er punktet P brennpunktet, og linjen y=3 er styrelinjen. Når vi markerer punkter med lik avstand til begge, får vi en glatt kurve. Denne kurven er en parabel.
Fasit
Punktene danner en parabel fordi de oppfyller definisjonen: lik avstand til et fast punkt og en fast linje.
Regel / husk
Husk: Dette er den geometriske definisjonen av en parabel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å tro at en parabel bare er en graf av en formel. Den kan også defineres geometrisk.
Oppgave 20Middels
Diskuter hva a, b og c gjør if(x)=ax²+bx+c
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Digital utforsking
Bruk en graftegner og undersøk f(x)=ax²+bx+c. Forklar hva som skjer når du endrer a, b og c hver for seg.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Når a endres, endres åpningen og retningen til parabelen. Positiv a gir bunnpunkt, negativ a gir toppunkt. Stor absoluttverdi av a gir smalere parabel.
Når b endres, flyttes symmetrilinjen, og topp- eller bunnpunktet flyttes sideveis. Når c endres, flyttes grafen opp eller ned, fordi c er skjæringspunktet med y-aksen.
Fasit
a bestemmer retning og bredde, b påvirker symmetrilinjen, c flytter grafen opp/ned og gir y-akseskjæring.
Regel / husk
Husk: f(0)=c, så c er alltid skjæringen med y-aksen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å si at b alene er x-koordinaten til ekstremalpunktet. Den riktige formelen er x=−b/(2a).
Oppgave 21Krevende
Finn koeffisienter fra nullpunkter og bunnpunkt
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Modellering
Finn en funksjon f(x)=ax²+bx+c som har nullpunktene x=−1 og x=5 og bunnpunkt med y-verdi -12.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Nullpunktene gir faktorisert form f(x)=a(x+1)(x−5).
Symmetrilinjen ligger midt mellom nullpunktene: x=(−1+5)/2=2.
Bunnpunktet har y=−12, altså f(2)=−12.
f(2)=a(2+1)(2−5)=a⋅3⋅(−3)=−9a.
−9a=−12, derfor a=4/3.
Funksjonen er f(x)=4/3(x+1)(x−5). Utvidet blir f(x)=4/3x2−16/3x−20/3.
Fasit
f(x)=4/3(x+1)(x−5).
Regel / husk
Husk: Nullpunktene gir faktorene. Ekstremalpunktet bestemmer skaleringen a.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å sette a=1 uten å kontrollere y-verdien i bunnpunktet.
Oppgave 22Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen x2−16=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
1x2+−16=0. Flytt konstantleddet og del på koeffisienten foran x².
x2=16, derfor x=±16.
Fasit
x=±16≈±4.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 23Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen 3x2−27=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
3x2+−27=0. Flytt konstantleddet og del på koeffisienten foran x².
x2=9, derfor x=±9.
Fasit
x=±9≈±3.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 24Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen 2x2+8=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
2x2+8=0. Flytt konstantleddet og del på koeffisienten foran x².
x2=−4. Siden x² ikke kan være negativt for reelle x, finnes ingen løsning.
Fasit
Ingen reell løsning.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 25Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen x2−5x=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
Diskriminanten er D=25. Vi bruker x=(−b±D)/(2a).
x=(5±5)/2.
Fasit
x=0 eller x=5.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 26Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen x2+6x+9=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
Diskriminanten er D=0. Vi bruker x=(−b±D)/(2a).
x=(−6±0)/2.
Fasit
x=−3 eller x=−3.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 27Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen 2x2−10x+12=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
Diskriminanten er D=4. Vi bruker x=(−b±D)/(2a).
x=(10±2)/4.
Fasit
x=2 eller x=3.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 28Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen x2−7x+10=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
Diskriminanten er D=9. Vi bruker x=(−b±D)/(2a).
x=(7±3)/2.
Fasit
x=2 eller x=5.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 29Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen −x2+8x−15=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
Diskriminanten er D=4. Vi bruker x=(−b±D)/(2a).
x=(−8±2)/−2.
Fasit
x=5 eller x=3.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 30Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen 2x2+3x−5=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
Diskriminanten er D=49. Vi bruker x=(−b±D)/(2a).
x=(−3±7)/4.
Fasit
x=2−5 eller x=1.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 31Middels
Løs en andregradslikning
Tema: Andregradslikninger Type: Regning
Løs andregradslikningen x2−6x+13=0 ved en egnet metode. Vis alle mellomregninger og forklar hvorfor metoden passer.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi undersøker først om likningen kan løses direkte, ved faktorisering eller med andregradsformelen.
Diskriminanten er D=b2−4ac = -16. Vi bruker andregradsformelen.
Fasit
Ingen reell løsning, fordi diskriminanten er negativ.
Regel / husk
Husk: Produktregelen sier at hvis A⋅B=0, må A=0 eller B=0. Andregradsformelen brukes når faktorisering ikke er enkel.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 32Krevende
Løs ved fullstendig kvadrat
Tema: Fullstendig kvadrat-metoden Type: Regning
Løs likningen x2−8x+5=0 ved å lage fullstendig kvadrat. Kontroller svaret med andregradsformelen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først ordner vi likningen på formen ax²+bx+c=0. Her er a=1,b=−8 og c=5.
Vi flytter konstantleddet: x2+(−8)x=−5.
Halvparten av x-koeffisienten er -4. Vi legger til og trekker fra (-4)² for å lage et fullstendig kvadrat.
x2+−8x+(−4)2=(−4)2−5.
(x+−4)2=11.
Kontroll med andregradsformelen gir D=44, som gir samme resultat.
Fasit
x+−4=±11, altså x=−−4±11.
Regel / husk
Husk: For x²+bx+c lager vi kvadratet (x+b/2)². Du må legge til og trekke fra samme tall.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme å dele på a først, bruke b i stedet for b/2, eller bare legge til et tall på én side av likningen.
Oppgave 33Krevende
Løs ved fullstendig kvadrat
Tema: Fullstendig kvadrat-metoden Type: Regning
Løs likningen x2+6x−7=0 ved å lage fullstendig kvadrat. Kontroller svaret med andregradsformelen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først ordner vi likningen på formen ax²+bx+c=0. Her er a=1,b=6 og c=−7.
Vi flytter konstantleddet: x2+(6)x=−−7.
Halvparten av x-koeffisienten er 3. Vi legger til og trekker fra (3)² for å lage et fullstendig kvadrat.
x2+6x+(3)2=(3)2−−7.
(x+3)2=16.
Kontroll med andregradsformelen gir D=64, som gir samme resultat.
Fasit
x+3=±16, altså x=−3±16.
Regel / husk
Husk: For x²+bx+c lager vi kvadratet (x+b/2)². Du må legge til og trekke fra samme tall.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme å dele på a først, bruke b i stedet for b/2, eller bare legge til et tall på én side av likningen.
Oppgave 34Krevende
Løs ved fullstendig kvadrat
Tema: Fullstendig kvadrat-metoden Type: Regning
Løs likningen 2x2+12x+10=0 ved å lage fullstendig kvadrat. Kontroller svaret med andregradsformelen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først ordner vi likningen på formen ax²+bx+c=0. Her er a=2,b=12 og c=10.
Vi deler først på 2, slik at koeffisienten foran x² blir 1.
Vi flytter konstantleddet: x2+(6)x=−5.
Halvparten av x-koeffisienten er 3. Vi legger til og trekker fra (3)² for å lage et fullstendig kvadrat.
x2+6x+(3)2=(3)2−5.
(x+3)2=4.
Kontroll med andregradsformelen gir D=64, som gir samme resultat.
Fasit
x+3=±4, altså x=−3±4.
Regel / husk
Husk: For x²+bx+c lager vi kvadratet (x+b/2)². Du må legge til og trekke fra samme tall.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme å dele på a først, bruke b i stedet for b/2, eller bare legge til et tall på én side av likningen.
Oppgave 35Krevende
Løs ved fullstendig kvadrat
Tema: Fullstendig kvadrat-metoden Type: Regning
Løs likningen x2−3x−4=0 ved å lage fullstendig kvadrat. Kontroller svaret med andregradsformelen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først ordner vi likningen på formen ax²+bx+c=0. Her er a=1,b=−3 og c=−4.
Vi flytter konstantleddet: x2+(−3)x=−−4.
Halvparten av x-koeffisienten er 2−3. Vi legger til og trekker fra (2−3)2 for å lage et fullstendig kvadrat.
x2+−3x+(2−3)2=(2−3)2−−4.
(x+2−3)2=425.
Kontroll med andregradsformelen gir D=25, som gir samme resultat.
Fasit
x+2−3=±425, altså x=−2−3±425.
Regel / husk
Husk: For x²+bx+c lager vi kvadratet (x+b/2)². Du må legge til og trekke fra samme tall.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme å dele på a først, bruke b i stedet for b/2, eller bare legge til et tall på én side av likningen.
Oppgave 36Krevende
Løs ved fullstendig kvadrat
Tema: Fullstendig kvadrat-metoden Type: Regning
Løs likningen 3x2−12x+9=0 ved å lage fullstendig kvadrat. Kontroller svaret med andregradsformelen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først ordner vi likningen på formen ax²+bx+c=0. Her er a=3,b=−12 og c=9.
Vi deler først på 3, slik at koeffisienten foran x² blir 1.
Vi flytter konstantleddet: x2+(−4)x=−3.
Halvparten av x-koeffisienten er -2. Vi legger til og trekker fra (-2)² for å lage et fullstendig kvadrat.
x2+−4x+(−2)2=(−2)2−3.
(x+−2)2=1.
Kontroll med andregradsformelen gir D=36, som gir samme resultat.
Fasit
x+−2=±1, altså x=−−2±1.
Regel / husk
Husk: For x²+bx+c lager vi kvadratet (x+b/2)². Du må legge til og trekke fra samme tall.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme å dele på a først, bruke b i stedet for b/2, eller bare legge til et tall på én side av likningen.
Oppgave 37Krevende
Løs ved fullstendig kvadrat
Tema: Fullstendig kvadrat-metoden Type: Regning
Løs likningen x2+5x+1=0 ved å lage fullstendig kvadrat. Kontroller svaret med andregradsformelen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først ordner vi likningen på formen ax²+bx+c=0. Her er a=1,b=5 og c=1.
Vi flytter konstantleddet: x2+(5)x=−1.
Halvparten av x-koeffisienten er 25. Vi legger til og trekker fra (25)2 for å lage et fullstendig kvadrat.
x2+5x+(25)2=(25)2−1.
(x+25)2=421.
Kontroll med andregradsformelen gir D=21, som gir samme resultat.
Fasit
x+25=±421, altså x=−25±421.
Regel / husk
Husk: For x²+bx+c lager vi kvadratet (x+b/2)². Du må legge til og trekke fra samme tall.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme å dele på a først, bruke b i stedet for b/2, eller bare legge til et tall på én side av likningen.
Oppgave 38Middels
Løs en andregradslikning grafisk
Tema: Grafisk løsning av likninger Type: Graf og regning
Løs likningen grafisk og ved regning: x2−6x+8=x−2. Tegn både parabelen og linjen i samme koordinatsystem.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Grafisk er løsningene x-verdiene der parabelen y=x2−6x+8 skjærer linjen y=x−2.
Ved regning samler vi alt på én side:
x2−6x+8−(x−2)=0, altså x2−7x+10=0.
D=9. Da blir x=(7±9)/2.
Fasit
x≈2 og x≈5.
Regel / husk
Husk: Skjæringspunkter mellom to grafer gir x-verdiene som oppfyller begge uttrykkene samtidig.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å lese av y-verdien som svar på likningen. Det er x-verdien som er løsningen.
Tema: Grafisk løsning av likninger Type: Graf og regning
Løs likningen grafisk og ved regning: x2−5x+6=2x−2. Tegn både parabelen og linjen i samme koordinatsystem.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Grafisk er løsningene x-verdiene der parabelen y=x2−5x+6 skjærer linjen y=2x−2.
Ved regning samler vi alt på én side:
x2−5x+6−(2x−2)=0, altså x2−7x+8=0.
D=17. Da blir x=(7±17)/2.
Fasit
x≈1,44 og x≈5,56.
Regel / husk
Husk: Skjæringspunkter mellom to grafer gir x-verdiene som oppfyller begge uttrykkene samtidig.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å lese av y-verdien som svar på likningen. Det er x-verdien som er løsningen.
Tema: Grafisk løsning av likninger Type: Graf og regning
Løs likningen grafisk og ved regning: −x2+6x−5=x+1. Tegn både parabelen og linjen i samme koordinatsystem.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Grafisk er løsningene x-verdiene der parabelen y=−x2+6x−5 skjærer linjen y=x+1.
Ved regning samler vi alt på én side:
−x2+6x−5−(x+1)=0, altså −x2+5x−6=0.
D=1. Da blir x=(−5±1)/−2.
Fasit
x≈3 og x≈2.
Regel / husk
Husk: Skjæringspunkter mellom to grafer gir x-verdiene som oppfyller begge uttrykkene samtidig.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å lese av y-verdien som svar på likningen. Det er x-verdien som er løsningen.
Tema: Grafisk løsning av likninger Type: Graf og regning
Løs likningen grafisk og ved regning: 2x2−8x+7=−x+5. Tegn både parabelen og linjen i samme koordinatsystem.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Grafisk er løsningene x-verdiene der parabelen y=2x2−8x+7 skjærer linjen y=−x+5.
Ved regning samler vi alt på én side:
2x2−8x+7−(−x+5)=0, altså 2x2−7x+2=0.
D=33. Da blir x=(7±33)/4.
Fasit
x≈0,31 og x≈3,19.
Regel / husk
Husk: Skjæringspunkter mellom to grafer gir x-verdiene som oppfyller begge uttrykkene samtidig.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å lese av y-verdien som svar på likningen. Det er x-verdien som er løsningen.
Tema: Grafisk løsning av likninger Type: Graf og regning
Løs likningen grafisk og ved regning: x2+x−3=3x+5. Tegn både parabelen og linjen i samme koordinatsystem.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Grafisk er løsningene x-verdiene der parabelen y=x2+x−3 skjærer linjen y=3x+5.
Ved regning samler vi alt på én side:
x2+x−3−(3x+5)=0, altså x2−2x−8=0.
D=36. Da blir x=(2±36)/2.
Fasit
x≈−2 og x≈4.
Regel / husk
Husk: Skjæringspunkter mellom to grafer gir x-verdiene som oppfyller begge uttrykkene samtidig.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å lese av y-verdien som svar på likningen. Det er x-verdien som er løsningen.
Løs ulikheten x2−5x+6 < 0 ved hjelp av fortegnslinje. Kontroller løsningen med grafen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først finner vi nullpunktene ved å løse x2−5x+6=0.
D=1, og nullpunktene er omtrent x=2 og x=3.
Siden a=1, er parabelen positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem.
Fasit
Løsningen er intervallene der uttrykket er negativt, uten nullpunktene: [(2.0, 3.0)].
Regel / husk
Husk: For a > 0 er parabelen positiv utenfor nullpunktene. For a < 0 er den positiv mellom nullpunktene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å snu intervallene, glemme åpne/lukkede endepunkter eller løse bare nullpunktene uten å svare på ulikheten.
Løs ulikheten 2x2−4x−6 < 0 ved hjelp av fortegnslinje. Kontroller løsningen med grafen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først finner vi nullpunktene ved å løse 2x2−4x−6=0.
D=64, og nullpunktene er omtrent x=−1 og x=3.
Siden a=2, er parabelen positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem.
Fasit
Løsningen er intervallene der uttrykket er negativt, uten nullpunktene: [(-1.0, 3.0)].
Regel / husk
Husk: For a > 0 er parabelen positiv utenfor nullpunktene. For a < 0 er den positiv mellom nullpunktene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å snu intervallene, glemme åpne/lukkede endepunkter eller løse bare nullpunktene uten å svare på ulikheten.
Løs ulikheten x2+x−12 > 0 ved hjelp av fortegnslinje. Kontroller løsningen med grafen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først finner vi nullpunktene ved å løse x2+x−12=0.
D=49, og nullpunktene er omtrent x=−4 og x=3.
Siden a=1, er parabelen positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem.
Fasit
Løsningen er intervallene der uttrykket er positivt, uten nullpunktene: [(-10, -4.0), (3.0, 10)].
Regel / husk
Husk: For a > 0 er parabelen positiv utenfor nullpunktene. For a < 0 er den positiv mellom nullpunktene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å snu intervallene, glemme åpne/lukkede endepunkter eller løse bare nullpunktene uten å svare på ulikheten.
Løs ulikheten −2x2+6x−4 > 0 ved hjelp av fortegnslinje. Kontroller løsningen med grafen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først finner vi nullpunktene ved å løse −2x2+6x−4=0.
D=4, og nullpunktene er omtrent x=1 og x=2.
Siden a=−2, er parabelen negativ utenfor nullpunktene og positiv mellom dem.
Fasit
Løsningen er intervallene der uttrykket er positivt, uten nullpunktene: [(1.0, 2.0)].
Regel / husk
Husk: For a > 0 er parabelen positiv utenfor nullpunktene. For a < 0 er den positiv mellom nullpunktene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å snu intervallene, glemme åpne/lukkede endepunkter eller løse bare nullpunktene uten å svare på ulikheten.
Løs ulikheten x2−6x+8 >= 0 ved hjelp av fortegnslinje. Kontroller løsningen med grafen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først finner vi nullpunktene ved å løse x2−6x+8=0.
D=4, og nullpunktene er omtrent x=2 og x=4.
Siden a=1, er parabelen positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem.
Fasit
Løsningen er intervallene der uttrykket er positivt, med nullpunktene: [(-10, 2.0), (4.0, 10)].
Regel / husk
Husk: For a > 0 er parabelen positiv utenfor nullpunktene. For a < 0 er den positiv mellom nullpunktene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å snu intervallene, glemme åpne/lukkede endepunkter eller løse bare nullpunktene uten å svare på ulikheten.
Løs ulikheten −x2+4x+5 <= 0 ved hjelp av fortegnslinje. Kontroller løsningen med grafen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Først finner vi nullpunktene ved å løse −x2+4x+5=0.
D=36, og nullpunktene er omtrent x=−1 og x=5.
Siden a=−1, er parabelen negativ utenfor nullpunktene og positiv mellom dem.
Fasit
Løsningen er intervallene der uttrykket er negativt, med nullpunktene: [(-10, -1.0), (5.0, 10)].
Regel / husk
Husk: For a > 0 er parabelen positiv utenfor nullpunktene. For a < 0 er den positiv mellom nullpunktene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å snu intervallene, glemme åpne/lukkede endepunkter eller løse bare nullpunktene uten å svare på ulikheten.
Tema: Ikke-lineære likningssett Type: Innsetting og graf
Løs likningssettet ved innsettingsmetoden og kontroller grafisk: y=x−4 og y=2x2−x+6.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Begge uttrykkene er lik y, derfor setter vi dem lik hverandre:
x−4=2x2−x+6
Vi samler alt på én side: 2x2−2x+10=0.
D=−76, så grafene skjærer ikke hverandre.
Fasit
Ingen løsning.
Regel / husk
Husk: Når begge likningene er skrevet som y = ..., kan du sette høyresidene lik hverandre.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å finne x-verdiene, men glemme å regne ut tilhørende y-verdier.
Tema: Ikke-lineære likningssett Type: Innsetting og graf
Løs likningssettet ved innsettingsmetoden og kontroller grafisk: y=x−3 og y=x2+x+5.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Begge uttrykkene er lik y, derfor setter vi dem lik hverandre:
x−3=x2+x+5
Vi samler alt på én side: x2+8=0.
D=−32, så grafene skjærer ikke hverandre.
Fasit
Ingen løsning.
Regel / husk
Husk: Når begge likningene er skrevet som y = ..., kan du sette høyresidene lik hverandre.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å finne x-verdiene, men glemme å regne ut tilhørende y-verdier.
Tema: Ikke-lineære likningssett Type: Innsetting og graf
Løs likningssettet ved innsettingsmetoden og kontroller grafisk: y=x og y=3x2+x+3.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Begge uttrykkene er lik y, derfor setter vi dem lik hverandre:
x=3x2+x+3
Vi samler alt på én side: 3x2+3=0.
D=−36, så grafene skjærer ikke hverandre.
Fasit
Ingen løsning.
Regel / husk
Husk: Når begge likningene er skrevet som y = ..., kan du sette høyresidene lik hverandre.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å finne x-verdiene, men glemme å regne ut tilhørende y-verdier.
Tema: Ikke-lineære likningssett Type: Innsetting og graf
Løs likningssettet ved innsettingsmetoden og kontroller grafisk: y=x−4 og y=x2−x+2.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Begge uttrykkene er lik y, derfor setter vi dem lik hverandre:
x−4=x2−x+2
Vi samler alt på én side: x2−2x+6=0.
D=−20, så grafene skjærer ikke hverandre.
Fasit
Ingen løsning.
Regel / husk
Husk: Når begge likningene er skrevet som y = ..., kan du sette høyresidene lik hverandre.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å finne x-verdiene, men glemme å regne ut tilhørende y-verdier.
Tema: Grafisk løsning av likninger Type: Modellering
En bil har utslipp C(v)=0,04v2−5,8v+360 gram per km når farten er v km/h,0≤v≤130.a) Tegn grafen digitalt. b) Finn utslippet ved 60 km/h. c) Finn farten når utslippet er 190 g/km. d) Finn laveste utslipp og farten da. e) Forklar hvorfor modellen ikke nødvendigvis gjelder utenfor intervallet.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
b)C(60)=0,04⋅602−5,8⋅60+360=144−348+360=156.
c) Vi løser 0,04v2−5,8v+360=190, altså 0,04v2−5,8v+170=0. Med andregradsformelen får vi to mulige hastigheter, omtrent 36,6 km/h og 108,4 km/h.
d) Minsteverdi finnes ved v=−b/(2a)=5,8/(0,08)=72,5.C(72,5)=149,75g/km.
e) Modellen er laget for et bestemt intervall. Utenfor intervallet kan den gi verdier som ikke passer virkeligheten.
Fasit
C(60)=156g/km. C=190 ved ca. 36,6 og 108,4 km/h. Lavest utslipp ca. 149,75 g/km ved 72,5 km/h.
Regel / husk
Husk: I modeller må du alltid vurdere definisjonsmengde og enheter.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 54Middels
Stein kastet opp og høyder ved bestemte tider
Tema: Andregradsformelen Type: Praktisk modell
Høyden til en stein er h(t)=−5t2+35t.a) Når er steinen 30 m over bakken? b) Når er den tilbake på bakken? c) Hvor høyt kommer den?
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
a) Vi løser −5t2+35t=30. Flytt alt til én side: −5t2+35t−30=0. Del på -5: t2−7t+6=0. Faktoriser: (t−1)(t−6)=0. Derfor er t=1 eller t=6.
b) Tilbake på bakken når h(t)=0: −5t2+35t=−5t(t−7)=0. Det gir t=0 eller t=7. Etter kastet lander steinen ved t=7.
c) Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: t=3,5.h(3,5)=−5⋅3,52+35⋅3,5=61,25.
Fasit
30 m ved t=1s og t=6s. Landet etter 7 s. Maks høyde 61,25 m.
Regel / husk
Husk: I en kastmodell kan samme høyde oppstå to ganger.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Oppgave 55Middels
Rektangulært område med fast omkrets
Tema: Andregradsformelen Type: Modellering
Et rektangulært område har omkrets 420 m og areal 10 400 m². Finn lengden og bredden.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
La den ene siden være x. Siden omkretsen er 420, er summen av to nabosider 210. Den andre siden er derfor 210-x.
Arealet blir x(210−x)=10400.
210x−x2=10400
x2−210x+10400=0.
Vi bruker andregradsformelen eller faktorisering. Tallene 80 og 130 har sum 210 og produkt 10400.
Fasit
Sidene er 80 m og 130 m.
Regel / husk
Husk: Ved rektangel med kjent omkrets er nabosidene knyttet sammen av 2x+2y=omkrets.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å bruke 420-x som den andre siden i stedet for 210-x.
Oppgave 56Middels
Programmering med andregradsformelen
Tema: Andregradsformelen Type: Python og algoritme
Forklar hvordan et Python-program kan løse ax²+bx+c=0. Programmet skal skrive 'ikke andregradslikning' hvis a=0, 'ingen løsning' hvis diskriminanten er negativ, én løsning hvis diskriminanten er 0 og to løsninger hvis diskriminanten er positiv.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Programmet må først lese a, b og c. Deretter må det teste om a=0. Hvis a=0, er det ikke en andregradslikning.
Hvis a ikke er 0, regner programmet ut d=b2−4ac. Hvis d<0, finnes ingen reelle løsninger. Hvis d=0, brukes x=−b/(2a). Hvis d>0, brukes x=(−b±d)/(2a).
from math import sqrt
a = float(input('a='))
b = float(input('b='))
c = float(input('c='))
if a==0:
print('ikke andregradslikning')
else:
d=b⋅b−4⋅a⋅c
if d < 0:
print('ingen løsning')
elif d == 0:
print(-b/(2*a))
else:
print((-b-sqrt(d))/(2*a), (-b+sqrt(d))/(2*a))
Fasit
Algoritmen bruker diskriminanten til å velge riktig tilfelle.
Regel / husk
Husk: Et program må håndtere spesialtilfeller før det bruker formelen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å bruke kvadratrot av et negativt tall eller å glemme parentes rundt 2*a.
Oppgave 57Middels
Rabattprogram med intervaller
Tema: Python og modellering Type: Programmering
En nettbutikk gir 8 % rabatt når beløpet er over 800 kr og 14 % rabatt når beløpet er over 1600 kr. Lag et flytskjema med tekst og skriv en enkel Python-kode som regner ut prisen kunden skal betale.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Programmet må lese inn beløpet. Deretter må det teste det største intervallet først: Hvis beløpet er over 1600, brukes 14 % rabatt. Hvis ikke, men beløpet er over 800, brukes 8 %. Ellers er rabatten 0.
Test over 1600 først, deretter over 800, ellers ingen rabatt.
Regel / husk
Husk: I if/elif må betingelsene stå i en rekkefølge som ikke ødelegger intervallene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å teste over 800 først og dermed aldri komme til regelen for over 1600.
Oppgave 58Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Finn nullpunktene til x2−7x+10 og bruk dem til å faktorisere uttrykket. Kontroller ved å multiplisere ut igjen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi løser x2−7x+10=0. Nullpunktene er x=2 og x=5. Når et andregradsuttrykk med koeffisient a har nullpunktene x₁ og x₂, kan det faktoriseres som a(x-x₁)(x-x₂).
Dermed blir uttrykket 1(x-2)(x-5).
Kontroll: Når vi multipliserer faktorene, får vi tilbake x2−7x+10.
Fasit
x2−7x+10=1(x−2)(x−5).
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 59Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Finn nullpunktene til 2x2−6x−8 og bruk dem til å faktorisere uttrykket. Kontroller ved å multiplisere ut igjen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi løser 2x2−6x−8=0. Nullpunktene er x=−1 og x=4. Når et andregradsuttrykk med koeffisient a har nullpunktene x₁ og x₂, kan det faktoriseres som a(x-x₁)(x-x₂).
Dermed blir uttrykket 2(x--1)(x-4).
Kontroll: Når vi multipliserer faktorene, får vi tilbake 2x2−6x−8.
Fasit
2x2−6x−8=2(x−−1)(x−4).
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 60Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Finn nullpunktene til 3x2−3x−18 og bruk dem til å faktorisere uttrykket. Kontroller ved å multiplisere ut igjen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi løser 3x2−3x−18=0. Nullpunktene er x=−2 og x=3. Når et andregradsuttrykk med koeffisient a har nullpunktene x₁ og x₂, kan det faktoriseres som a(x-x₁)(x-x₂).
Dermed blir uttrykket 3(x--2)(x-3).
Kontroll: Når vi multipliserer faktorene, får vi tilbake 3x2−3x−18.
Fasit
3x2−3x−18=3(x−−2)(x−3).
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 61Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Finn nullpunktene til −x2+7x−6 og bruk dem til å faktorisere uttrykket. Kontroller ved å multiplisere ut igjen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi løser −x2+7x−6=0. Nullpunktene er x=1 og x=6. Når et andregradsuttrykk med koeffisient a har nullpunktene x₁ og x₂, kan det faktoriseres som a(x-x₁)(x-x₂).
Dermed blir uttrykket -1(x-1)(x-6).
Kontroll: Når vi multipliserer faktorene, får vi tilbake −x2+7x−6.
Fasit
−x2+7x−6=−1(x−1)(x−6).
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 62Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Finn nullpunktene til 2x2−12x+18 og bruk dem til å faktorisere uttrykket. Kontroller ved å multiplisere ut igjen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi løser 2x2−12x+18=0. Nullpunktene er x=3 og x=3. Når et andregradsuttrykk med koeffisient a har nullpunktene x₁ og x₂, kan det faktoriseres som a(x-x₁)(x-x₂).
Dermed blir uttrykket 2(x-3)(x-3).
Kontroll: Når vi multipliserer faktorene, får vi tilbake 2x2−12x+18.
Fasit
2x2−12x+18=2(x−3)(x−3).
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 63Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Finn nullpunktene til x2+8x+16 og bruk dem til å faktorisere uttrykket. Kontroller ved å multiplisere ut igjen.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi løser x2+8x+16=0. Nullpunktene er x=−4 og x=−4. Når et andregradsuttrykk med koeffisient a har nullpunktene x₁ og x₂, kan det faktoriseres som a(x-x₁)(x-x₂).
Dermed blir uttrykket 1(x--4)(x--4).
Kontroll: Når vi multipliserer faktorene, får vi tilbake x2+8x+16.
Fasit
x2+8x+16=1(x−−4)(x−−4).
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 64Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Vis at x2−4x+4 har ett dobbelt nullpunkt, og faktoriser uttrykket.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Et dobbelt nullpunkt betyr at parabelen tangerer x-aksen. Vi kan skrive uttrykket som a(x−r)2. Her er r=2 og a=1.
x2−4x+4=1(x−2)2.
Setter vi x=2, får vi verdien 0. Siden faktoren er kvadrert, er nullpunktet dobbelt.
Fasit
x2−4x+4=1(x−2)2.
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 65Middels
Faktoriser ved hjelp av nullpunkter
Tema: Faktorisering ved hjelp av nullpunktene Type: Faktorisering
Vis at 3x2+6x+3 har ett dobbelt nullpunkt, og faktoriser uttrykket.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Et dobbelt nullpunkt betyr at parabelen tangerer x-aksen. Vi kan skrive uttrykket som a(x−r)2. Her er r=−1 og a=3.
3x2+6x+3=3(x−−1)2.
Setter vi x=−1, får vi verdien 0. Siden faktoren er kvadrert, er nullpunktet dobbelt.
Fasit
3x2+6x+3=3(x−−1)2.
Regel / husk
Husk: ax²+bx+c=a(x−x1)(x−x2) når nullpunktene er x₁ og x₂.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme faktoren a foran parentesene eller bruke feil fortegn i faktorene.
Oppgave 66Krevende
Forenkle et rasjonalt uttrykk med andregrad
Tema: Repetisjon Type: Algebra
Forkort brøken (x²-9)/(x²+6x+9) så langt det lar seg gjøre. Oppgi hvilke x-verdier som ikke er lovlige.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi faktoriserer teller og nevner.
x2−9=(x−3)(x+3)
x2+6x+9=(x+3)2
Da får vi ((x−3)(x+3))/(x+3)2=(x−3)/(x+3), men bare når x=−3.
Fasit
(x−3)/(x+3),x=−3.
Regel / husk
Husk: Verdier som gjør opprinnelig nevner lik 0, er ikke lovlige selv om faktoren forkortes bort.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å forkorte ledd i stedet for faktorer, eller glemme definisjonsmengden.
Oppgave 67Krevende
Bestem parameter for ett nullpunkt
Tema: Repetisjon Type: Parameter
Bestem k slik at f(x)=x2+10x+k har nøyaktig ett nullpunkt. Faktoriser uttrykket for denne k-verdien.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
En andregradsfunksjon har nøyaktig ett nullpunkt når diskriminanten er 0.
D=b2−4ac=102−4⋅1⋅k=100−4k.
100−4k=0 gir k=25.
Da er x2+10x+25=(x+5)2.
Fasit
k=25, og f(x)=(x+5)2.
Regel / husk
Husk: Ett nullpunkt betyr at grafen tangerer x-aksen, altså D=0.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å sette funksjonsverdien lik 0 for én tilfeldig x-verdi i stedet for å bruke diskriminanten.
Oppgave 68Krevende
To kvadrater med kjent omkrets og areal
Tema: Repetisjon Type: Geometri og likninger
To kvadrater har sidelengder x og y. Hele figuren har samlet omkrets 60 og samlet areal 136. Bestem x og y.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Samlet areal gir x2+y2=136.
Hvis kvadratene ligger inntil hverandre med én felles side lik y, blir samlet omkrets 4x+4y−2y=4x+2y. Vi setter 4x+2y=60, altså y=30−2x.
Sett inn i areallikningen: x2+(30−2x)2=136.
x2+900−120x+4x2=136
5x2−120x+764=0.
Løs med formelen. Dette gir x≈10,34 eller x≈13,66. Da blir y≈9,32 eller y≈2,68. Bare løsninger som passer figuren beholdes.
Fasit
Mulige sidelengder er omtrent x=10,34 og y=9,32, eller x=13,66 og y=2,68, avhengig av plassering.
Regel / husk
Husk: I geometrioppgaver må likningene stemme med hvordan figuren er satt sammen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å legge sammen omkretsene uten å trekke fra felles kant.
Oppgave 69Krevende
Snødybde på to steder
Tema: Repetisjon Type: Modellering og CAS
Snødybden på Stølebu x dager etter 1. mars er f(x)=0,35x2−10x+135. På Revefaret er g(x)=−0,12x2+1,8x+35. Finn grafisk og ved regning når snødybdene er like, for 0≤x≤20.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi setter f(x)=g(x):
0,35x2−10x+135=−0,12x2+1,8x+35
0,47x2−11,8x+100=0.
Diskriminanten er D=(−11,8)2−4⋅0,47⋅100=139,24−188=−48,76.
Siden diskriminanten er negativ, har likningen ingen reell løsning. Grafisk betyr det at grafene ikke skjærer hverandre i intervallet.
Fasit
Snødybdene blir ikke like i modellen.
Regel / husk
Husk: Skjæring mellom to grafer finnes ved å sette funksjonsuttrykkene lik hverandre.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å trekke fra funksjonene feil eller ignorere at svaret må ligge i intervallet 0≤x≤20.
Oppgave 70Middels
Full analyse av en parabel
Tema: Andregradsfunksjoner Type: Analyse
Gjør en full analyse av f(x)=x2−10x+21: finn y-akseskjæring, symmetrilinje, ekstremalpunkt, nullpunkter og om grafen vender opp eller ned.
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Gjør en full analyse av f(x)=2x2−14x+24: finn y-akseskjæring, symmetrilinje, ekstremalpunkt, nullpunkter og om grafen vender opp eller ned.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Y-akseskjæringen er f(0)=c=24.
Symmetrilinjen er x=−b/(2a)=−(−14)/(2⋅2)=27.
Ekstremalpunktet er (27,f(27))=(27,2−1).
Siden a=2, vender grafen oppover.
D=4. Nullpunktene er x≈3 og x≈4.
Fasit
Y-akseskjæring: 24. Symmetrilinje: x=27. Ekstremalpunkt: (27,2−1). Nullpunkter: x≈3 og x≈4.
Regel / husk
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Gjør en full analyse av f(x)=−2x2+10x−8: finn y-akseskjæring, symmetrilinje, ekstremalpunkt, nullpunkter og om grafen vender opp eller ned.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Y-akseskjæringen er f(0)=c=−8.
Symmetrilinjen er x=−b/(2a)=−(10)/(2⋅−2)=25.
Ekstremalpunktet er (25,f(25))=(25,29).
Siden a=−2, vender grafen nedover.
D=36. Nullpunktene er x≈4 og x≈1.
Fasit
Y-akseskjæring: -8. Symmetrilinje: x=25. Ekstremalpunkt: (25,29). Nullpunkter: x≈4 og x≈1.
Regel / husk
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Gjør en full analyse av f(x)=4x2−4x−8: finn y-akseskjæring, symmetrilinje, ekstremalpunkt, nullpunkter og om grafen vender opp eller ned.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Y-akseskjæringen er f(0)=c=−8.
Symmetrilinjen er x=−b/(2a)=−(−4)/(2⋅4)=21.
Ekstremalpunktet er (21,f(21))=(21,−9).
Siden a=4, vender grafen oppover.
D=144. Nullpunktene er x≈−1 og x≈2.
Fasit
Y-akseskjæring: -8. Symmetrilinje: x=21. Ekstremalpunkt: (21,−9). Nullpunkter: x≈−1 og x≈2.
Regel / husk
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Gjør en full analyse av f(x)=x2+2x+5: finn y-akseskjæring, symmetrilinje, ekstremalpunkt, nullpunkter og om grafen vender opp eller ned.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Y-akseskjæringen er f(0)=c=5.
Symmetrilinjen er x=−b/(2a)=−(2)/(2⋅1)=−1.
Ekstremalpunktet er (−1,f(−1))=(−1,4).
Siden a=1, vender grafen oppover.
D=−16, så grafen har ingen nullpunkter.
Fasit
Y-akseskjæring: 5. Symmetrilinje: x=−1. Ekstremalpunkt: (-1, 4). Nullpunkter: ingen nullpunkter.
Regel / husk
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Gjør en full analyse av f(x)=2x2+x−3: finn y-akseskjæring, symmetrilinje, ekstremalpunkt, nullpunkter og om grafen vender opp eller ned.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Y-akseskjæringen er f(0)=c=−3.
Symmetrilinjen er x=−b/(2a)=−(1)/(2⋅2)=4−1.
Ekstremalpunktet er (4−1,f(4−1))=(4−1,8−25).
Siden a=2, vender grafen oppover.
D=25. Nullpunktene er x≈−1,5 og x≈1.
Fasit
Y-akseskjæring: -3. Symmetrilinje: x=4−1. Ekstremalpunkt: (4−1,8−25). Nullpunkter: x≈−1,5 og x≈1.
Regel / husk
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Gjør en full analyse av f(x)=x2−x−20: finn y-akseskjæring, symmetrilinje, ekstremalpunkt, nullpunkter og om grafen vender opp eller ned.
▸ Vis løsning
Trinnvis løsning
Y-akseskjæringen er f(0)=c=−20.
Symmetrilinjen er x=−b/(2a)=−(−1)/(2⋅1)=21.
Ekstremalpunktet er (21,f(21))=(21,4−81).
Siden a=1, vender grafen oppover.
D=81. Nullpunktene er x≈−4 og x≈5.
Fasit
Y-akseskjæring: -20. Symmetrilinje: x=21. Ekstremalpunkt: (21,4−81). Nullpunkter: x≈−4 og x≈5.
Regel / husk
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Husk: En analyse bør kombinere regning og grafisk tolkning.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at du viser metode, ikke bare svar: du må definere variablene, bruke riktig regel, skrive mellomregninger, kontrollere svaret og forklare hva svaret betyr i konteksten. For høy måloppnåelse bør du også kommentere grafisk betydning, definisjonsmengde eller fortegn der det er relevant.
For høy måloppnåelse
Vis hvorfor metoden fungerer, bruk korrekt matematisk notasjon, kontroller svaret og knytt resultatet til graf, tabell eller praktisk situasjon når oppgaven legger opp til det.
Vanlige feil
Vanlige feil er å glemme parenteser, regne feil med negative tall, blande x-verdier og y-verdier, hoppe over mellomregninger eller skrive et svar uten enhet og forklaring.
Hvordan finner jeg nullpunktene til en andregradsfunksjon?
Sett funksjonen lik 0 og løs andregradslikningen ved faktorisering, fullstendig kvadrat, grafisk metode eller andregradsformelen.
Hva er forskjellen på bunnpunkt og toppunkt?
Et bunnpunkt er den minste funksjonsverdien i nærheten av punktet, mens et toppunkt er den største. For f(x)=ax2+bx+c får vi bunnpunkt når a er positiv og toppunkt når a er negativ.
Hvordan løser jeg andregradsulikheter?
Finn nullpunktene først, lag fortegnslinje, og velg intervallene der uttrykket har riktig fortegn i forhold til ulikhetstegnet.
