Matematikk 1T · Algoritmer og programmering (Python)

Algoritmer og programmering (Python) – oppgaver med trinnvis løsning

Oppgaver med trinnvis løsning, vanlige feil, sensorpunkt, grafer, GeoGebra og Python-kontroll.

📘 GeoGebra & Python-guide

Fag

Matematikk 1T

Kapittel

Algoritmer og programmering (Python)

Antall oppgaver

Nivå

VG1 · LK20

Algoritmer og programmering (Python)

Oppgaver, trinnvis løsning, vanlig feil, tolkning, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Grunnopplæring 12 oppgaver

Oppgave 1 · LettGrunnopplæring

Hva summerer løkken?

Oppgave:

Et Python-program legger sammen alle heltall fra $1$ til $27$ . Finn summen både med formel og som løkke.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret, men også vise hvorfor metoden virker. Løsningen bygger derfor opp modellen først, regner kontrollert steg for steg og avslutter med tolkning, GeoGebra-kontroll og Python-kontroll.

Steg 1 — Forstå algoritmen

$1+2+\cdots+27$

Programmet eller oppgaven summerer heltallene fra $1$ til $n$ .

Steg 2 — Velg formel

$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Formelen kommer av at første og siste ledd kan pares.

Steg 3 — Sett inn

$S_27=\dfrac{27(27+1)}{2}$

Vi bruker sluttverdien som $n$ .

Vanlig feil: Å glemme at `range(1, n+1)` må ha

n+1

som stoppverdi for å ta med

n

Steg 4 — Regn produktet

$S_27=\dfrac{756}{2}$

Først regner vi telleren.

Steg 5 — Del på to

$S_27=378$

Dette gir summen.

Steg 6 — Koble til løkke

$sum=378$

En for-løkke som legger til tallene ett for ett, skal gi samme svar.

Tolkning

Summen er resultatet programmet skriver ut etter at løkken er ferdig.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

27(27+1)/2

→

378

Kontroll i Python

Python-kontroll

s = 0
for k in range(1, 27+1):
    s += k
print(s)

Fasit: Summen er

378

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil stoppverdi i `range`.

Dette ser sensor etter

Korrekt kobling mellom formel og programkode.

For høy måloppnåelse

Forklar algoritmen med invariant: summen etter k runder.

Oppgave 2 · LettGrunnopplæring

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen $2x - 1=7$ .

Vis løsning

Steg 1 — Se strukturen

$2x - 1=7$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$2x=7 + 1$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$ . Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$2x=8$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Vanlig feil: Mange flytter bare tallet, men glemmer å bytte fortegn når tallet flyttes til andre siden.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{8}{2}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=4$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$2\cdot 4-1=7$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$ -verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve(2 x + (-1) = 7, x)

→

x=4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(2*x + (-1) - (7), x))

Fasit:

x=4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Flytt ledd først, del til slutt.

Vanlige feil

Å dele før uttrykket med $x$ er isolert.

Dette ser sensor etter

Tydelig likningsbalanse og kontroll i opprinnelig likning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor samme operasjon på begge sider bevarer likheten.

Oppgave 3 · LettGrunnopplæring

Hva summerer løkken?

Oppgave:

Et Python-program legger sammen alle heltall fra $1$ til $13$ . Finn summen både med formel og som løkke.

Vis løsning

Steg 1 — Forstå algoritmen

$1+2+\cdots+13$

Programmet eller oppgaven summerer heltallene fra $1$ til $n$ .

Steg 2 — Velg formel

$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Formelen kommer av at første og siste ledd kan pares.

Steg 3 — Sett inn

$S_13=\dfrac{13(13+1)}{2}$

Vi bruker sluttverdien som $n$ .

Vanlig feil: Å glemme at `range(1, n+1)` må ha

n+1

som stoppverdi for å ta med

n

Steg 4 — Regn produktet

$S_13=\dfrac{182}{2}$

Først regner vi telleren.

Steg 5 — Del på to

$S_13=91$

Dette gir summen.

Steg 6 — Koble til løkke

$sum=91$

En for-løkke som legger til tallene ett for ett, skal gi samme svar.

Tolkning

Summen er resultatet programmet skriver ut etter at løkken er ferdig.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

13(13+1)/2

→

91

Kontroll i Python

Python-kontroll

s = 0
for k in range(1, 13+1):
    s += k
print(s)

Fasit: Summen er

91

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil stoppverdi i `range`.

Dette ser sensor etter

Korrekt kobling mellom formel og programkode.

For høy måloppnåelse

Forklar algoritmen med invariant: summen etter k runder.

Oppgave 4 · LettGrunnopplæring

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen $2x + 2=6$ .

Vis løsning

Steg 1 — Se strukturen

$2x + 2=6$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$2x=6 - 2$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$ . Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$2x=4$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Vanlig feil: Mange flytter bare tallet, men glemmer å bytte fortegn når tallet flyttes til andre siden.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{4}{2}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=2$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$2\cdot 2+2=6$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$ -verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve(2 x + (2) = 6, x)

→

x=2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(2*x + (2) - (6), x))

Fasit:

x=2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Flytt ledd først, del til slutt.

Vanlige feil

Å dele før uttrykket med $x$ er isolert.

Dette ser sensor etter

Tydelig likningsbalanse og kontroll i opprinnelig likning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor samme operasjon på begge sider bevarer likheten.

Oppgave 5 · LettGrunnopplæring

Hva summerer løkken?

Oppgave:

Et Python-program legger sammen alle heltall fra $1$ til $34$ . Finn summen både med formel og som løkke.

Vis løsning

Steg 1 — Forstå algoritmen

$1+2+\cdots+34$

Programmet eller oppgaven summerer heltallene fra $1$ til $n$ .

Steg 2 — Velg formel

$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Formelen kommer av at første og siste ledd kan pares.

Steg 3 — Sett inn

$S_34=\dfrac{34(34+1)}{2}$

Vi bruker sluttverdien som $n$ .

Vanlig feil: Å glemme at `range(1, n+1)` må ha

n+1

som stoppverdi for å ta med

n

Steg 4 — Regn produktet

$S_34=\dfrac{1190}{2}$

Først regner vi telleren.

Steg 5 — Del på to

$S_34=595$

Dette gir summen.

Steg 6 — Koble til løkke

$sum=595$

En for-løkke som legger til tallene ett for ett, skal gi samme svar.

Tolkning

Summen er resultatet programmet skriver ut etter at løkken er ferdig.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

34(34+1)/2

→

595

Kontroll i Python

Python-kontroll

s = 0
for k in range(1, 34+1):
    s += k
print(s)

Fasit: Summen er

595

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil stoppverdi i `range`.

Dette ser sensor etter

Korrekt kobling mellom formel og programkode.

For høy måloppnåelse

Forklar algoritmen med invariant: summen etter k runder.

Oppgave 6 · LettGrunnopplæring

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen $4x + 7=15$ .

Vis løsning

Steg 1 — Se strukturen

$4x + 7=15$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$4x=15 - 7$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$ . Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$4x=8$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Vanlig feil: Mange flytter bare tallet, men glemmer å bytte fortegn når tallet flyttes til andre siden.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{8}{4}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=2$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$4\cdot 2+7=15$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$ -verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve(4 x + (7) = 15, x)

→

x=2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(4*x + (7) - (15), x))

Fasit:

x=2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Flytt ledd først, del til slutt.

Vanlige feil

Å dele før uttrykket med $x$ er isolert.

Dette ser sensor etter

Tydelig likningsbalanse og kontroll i opprinnelig likning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor samme operasjon på begge sider bevarer likheten.

Oppgave 7 · LettGrunnopplæring

Hva summerer løkken?

Oppgave:

Et Python-program legger sammen alle heltall fra $1$ til $10$ . Finn summen både med formel og som løkke.

Vis løsning

Steg 1 — Forstå algoritmen

$1+2+\cdots+10$

Programmet eller oppgaven summerer heltallene fra $1$ til $n$ .

Steg 2 — Velg formel

$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Formelen kommer av at første og siste ledd kan pares.

Steg 3 — Sett inn

$S_10=\dfrac{10(10+1)}{2}$

Vi bruker sluttverdien som $n$ .

Vanlig feil: Å glemme at `range(1, n+1)` må ha

n+1

som stoppverdi for å ta med

n

Steg 4 — Regn produktet

$S_10=\dfrac{110}{2}$

Først regner vi telleren.

Steg 5 — Del på to

$S_10=55$

Dette gir summen.

Steg 6 — Koble til løkke

$sum=55$

En for-løkke som legger til tallene ett for ett, skal gi samme svar.

Tolkning

Summen er resultatet programmet skriver ut etter at løkken er ferdig.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

10(10+1)/2

→

55

Kontroll i Python

Python-kontroll

s = 0
for k in range(1, 10+1):
    s += k
print(s)

Fasit: Summen er

55

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil stoppverdi i `range`.

Dette ser sensor etter

Korrekt kobling mellom formel og programkode.

For høy måloppnåelse

Forklar algoritmen med invariant: summen etter k runder.

Oppgave 8 · LettGrunnopplæring

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen $5x + 12=17$ .

Vis løsning

Steg 1 — Se strukturen

$5x + 12=17$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$5x=17 - 12$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$ . Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$5x=5$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Vanlig feil: Mange flytter bare tallet, men glemmer å bytte fortegn når tallet flyttes til andre siden.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{5}{5}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=1$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$5\cdot 1+12=17$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$ -verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve(5 x + (12) = 17, x)

→

x=1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(5*x + (12) - (17), x))

Fasit:

x=1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Flytt ledd først, del til slutt.

Vanlige feil

Å dele før uttrykket med $x$ er isolert.

Dette ser sensor etter

Tydelig likningsbalanse og kontroll i opprinnelig likning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor samme operasjon på begge sider bevarer likheten.

Oppgave 9 · LettGrunnopplæring

Hva summerer løkken?

Oppgave:

Et Python-program legger sammen alle heltall fra $1$ til $30$ . Finn summen både med formel og som løkke.

Vis løsning

Steg 1 — Forstå algoritmen

$1+2+\cdots+30$

Programmet eller oppgaven summerer heltallene fra $1$ til $n$ .

Steg 2 — Velg formel

$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Formelen kommer av at første og siste ledd kan pares.

Steg 3 — Sett inn

$S_30=\dfrac{30(30+1)}{2}$

Vi bruker sluttverdien som $n$ .

Vanlig feil: Å glemme at `range(1, n+1)` må ha

n+1

som stoppverdi for å ta med

n

Steg 4 — Regn produktet

$S_30=\dfrac{930}{2}$

Først regner vi telleren.

Steg 5 — Del på to

$S_30=465$

Dette gir summen.

Steg 6 — Koble til løkke

$sum=465$

En for-løkke som legger til tallene ett for ett, skal gi samme svar.

Tolkning

Summen er resultatet programmet skriver ut etter at løkken er ferdig.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

30(30+1)/2

→

465

Kontroll i Python

Python-kontroll

s = 0
for k in range(1, 30+1):
    s += k
print(s)

Fasit: Summen er

465

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil stoppverdi i `range`.

Dette ser sensor etter

Korrekt kobling mellom formel og programkode.

For høy måloppnåelse

Forklar algoritmen med invariant: summen etter k runder.

Oppgave 10 · LettGrunnopplæring

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen $6x + 6=-12$ .

Vis løsning

Steg 1 — Se strukturen

$6x + 6=-12$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$6x=-12 - 6$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$ . Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$6x=-18$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Vanlig feil: Mange flytter bare tallet, men glemmer å bytte fortegn når tallet flyttes til andre siden.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-18}{6}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=-3$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$6\cdot -3+6=-12$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$ -verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve(6 x + (6) = -12, x)

→

x=-3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(6*x + (6) - (-12), x))

Fasit:

x=-3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Flytt ledd først, del til slutt.

Vanlige feil

Å dele før uttrykket med $x$ er isolert.

Dette ser sensor etter

Tydelig likningsbalanse og kontroll i opprinnelig likning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor samme operasjon på begge sider bevarer likheten.

Oppgave 11 · LettGrunnopplæring

Hva summerer løkken?

Oppgave:

Et Python-program legger sammen alle heltall fra $1$ til $8$ . Finn summen både med formel og som løkke.

Vis løsning

Steg 1 — Forstå algoritmen

$1+2+\cdots+8$

Programmet eller oppgaven summerer heltallene fra $1$ til $n$ .

Steg 2 — Velg formel

$S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Formelen kommer av at første og siste ledd kan pares.

Steg 3 — Sett inn

$S_8=\dfrac{8(8+1)}{2}$

Vi bruker sluttverdien som $n$ .

Vanlig feil: Å glemme at `range(1, n+1)` må ha

n+1

som stoppverdi for å ta med

n

Steg 4 — Regn produktet

$S_8=\dfrac{72}{2}$

Først regner vi telleren.

Steg 5 — Del på to

$S_8=36$

Dette gir summen.

Steg 6 — Koble til løkke

$sum=36$

En for-løkke som legger til tallene ett for ett, skal gi samme svar.

Tolkning

Summen er resultatet programmet skriver ut etter at løkken er ferdig.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

8(8+1)/2

→

36

Kontroll i Python

Python-kontroll

s = 0
for k in range(1, 8+1):
    s += k
print(s)

Fasit: Summen er

36

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Vanlige feil

Feil stoppverdi i `range`.

Dette ser sensor etter

Korrekt kobling mellom formel og programkode.

For høy måloppnåelse

Forklar algoritmen med invariant: summen etter k runder.

Oppgave 12 · LettGrunnopplæring

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen $8x - 1=-25$ .

Vis løsning

Steg 1 — Se strukturen

$8x - 1=-25$

Dette er en lineær likning fordi den ukjente bare står i første potens.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

$8x=-25 + 1$

Vi isolerer først leddet som inneholder $x$ . Da blir likningen enklere.

Steg 3 — Regn høyresiden

$8x=-24$

Etter at konstantleddet er fjernet, står bare koeffisienten foran $x$ igjen.

Vanlig feil: Mange flytter bare tallet, men glemmer å bytte fortegn når tallet flyttes til andre siden.

Steg 4 — Del på koeffisienten

$x=\dfrac{-24}{8}$

Vi deler på tallet foran $x$ for å få $x$ alene.

Steg 5 — Forenkle

$x=-3$

Brøken forenkles til løsningen.

Steg 6 — Kontroller i den opprinnelige likningen

$8\cdot -3-1=-25$

Kontrollen viser at løsningen faktisk passer i startlikningen.

Tolkning

Løsningen er den eneste $x$ -verdien som gjør venstre og høyre side like.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve(8 x + (-1) = -25, x)

→

x=-3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(8*x + (-1) - (-25), x))

Fasit:

x=-3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Flytt ledd først, del til slutt.

Vanlige feil

Å dele før uttrykket med $x$ er isolert.

Dette ser sensor etter

Tydelig likningsbalanse og kontroll i opprinnelig likning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor samme operasjon på begge sider bevarer likheten.

Grafisk framstilling og store datasett 12 oppgaver

Oppgave 13 · LettGrafisk framstilling og store datasett

Gjennomsnitt av datasett

Oppgave:

Et lite datasett er $[13, 18, 5, 11, 4]$ . Finn gjennomsnittet.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv datasettet

$[13, 18, 5, 11, 4]$

Vi trenger alle observasjonene før vi kan finne gjennomsnitt.

Steg 2 — Summer verdiene

$S=13+18+5+11+4=51$

Gjennomsnitt starter med totalen av observasjonene.

Steg 3 — Tell antall verdier

$n=5$

Vi deler på antall observasjoner.

Vanlig feil: Å dele på feil antall verdier.

Steg 4 — Bruk formelen

$\bar x=\dfrac{51}{5}$

Gjennomsnitt er sum delt på antall.

Steg 5 — Regn ut

$\bar x=10{,}2$

Dette er den typiske verdien målt som aritmetisk gjennomsnitt.

Steg 6 — Vurder svaret

$4\le 10{,}2\le 18$

Gjennomsnittet bør ligge mellom minste og største verdi.

Tolkning

Gjennomsnittet er et samlet mål for nivået i datasettet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Mean([13, 18, 5, 11, 4])

→

10{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

data = [13, 18, 5, 11, 4]
print(sum(data)/len(data))

Fasit: Gjennomsnittet er

10{,}2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjennomsnitt = sum / antall.

Vanlige feil

Feil teller i nevneren.

Dette ser sensor etter

Riktig sum, antall og vurdering av rimelighet.

For høy måloppnåelse

Sammenlikn gjennomsnitt med median når dataene er skjeve.

Oppgave 14 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-1,5)$ og $(2,-1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-2x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv punktene

$(-1,5)\text{ og }(2,-1)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-1-5}{2--1}=\dfrac{-6}{3}=-2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$5=-2\cdot(-1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((-1,5),(2,-1))

→

y=-2x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -1, 5
x2, y2 = 2, -1
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $4800$ i starten og øker med $4\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $5$ år.

Vis løsning

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=4800\cdot 1{,}04^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{4}{100}=1{,}04$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(5)=4800\cdot 1{,}04^5$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}04^5\approx 1{,}217$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(5)\approx 5840$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$5840>4800$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

4800*1.04⁵

→

\approx 5840

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 4800
vekstfaktor = 1.04
t = 5
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

5

år er omtrent

5840

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 16 · LettGrafisk framstilling og store datasett

Gjennomsnitt av datasett

Oppgave:

Et lite datasett er $[5, 11, 8, 12, 17]$ . Finn gjennomsnittet.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv datasettet

$[5, 11, 8, 12, 17]$

Vi trenger alle observasjonene før vi kan finne gjennomsnitt.

Steg 2 — Summer verdiene

$S=5+11+8+12+17=53$

Gjennomsnitt starter med totalen av observasjonene.

Steg 3 — Tell antall verdier

$n=5$

Vi deler på antall observasjoner.

Vanlig feil: Å dele på feil antall verdier.

Steg 4 — Bruk formelen

$\bar x=\dfrac{53}{5}$

Gjennomsnitt er sum delt på antall.

Steg 5 — Regn ut

$\bar x=10{,}6$

Dette er den typiske verdien målt som aritmetisk gjennomsnitt.

Steg 6 — Vurder svaret

$5\le 10{,}6\le 17$

Gjennomsnittet bør ligge mellom minste og største verdi.

Tolkning

Gjennomsnittet er et samlet mål for nivået i datasettet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Mean([5, 11, 8, 12, 17])

→

10{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

data = [5, 11, 8, 12, 17]
print(sum(data)/len(data))

Fasit: Gjennomsnittet er

10{,}6

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjennomsnitt = sum / antall.

Vanlige feil

Feil teller i nevneren.

Dette ser sensor etter

Riktig sum, antall og vurdering av rimelighet.

For høy måloppnåelse

Sammenlikn gjennomsnitt med median når dataene er skjeve.

Oppgave 17 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(0,1)$ og $(4,-7)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-2x + 1

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,1)\text{ og }(4,-7)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-7-1}{4-0}=\dfrac{-8}{4}=-2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$1=-2\cdot(0)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=1$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x + 1$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,1),(4,-7))

→

y=-2x + 1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 0, 1
x2, y2 = 4, -7
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x + 1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 18 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $1200$ i starten og øker med $12\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $6$ år.

Vis løsning

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=1200\cdot 1{,}12^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{12}{100}=1{,}12$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(6)=1200\cdot 1{,}12^6$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}12^6\approx 1{,}974$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(6)\approx 2369$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$2369>1200$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1200*1.12⁶

→

\approx 2369

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 1200
vekstfaktor = 1.12
t = 6
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

6

år er omtrent

2369

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 19 · LettGrafisk framstilling og store datasett

Gjennomsnitt av datasett

Oppgave:

Et lite datasett er $[6, 8, 16, 15, 12]$ . Finn gjennomsnittet.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv datasettet

$[6, 8, 16, 15, 12]$

Vi trenger alle observasjonene før vi kan finne gjennomsnitt.

Steg 2 — Summer verdiene

$S=6+8+16+15+12=57$

Gjennomsnitt starter med totalen av observasjonene.

Steg 3 — Tell antall verdier

$n=5$

Vi deler på antall observasjoner.

Vanlig feil: Å dele på feil antall verdier.

Steg 4 — Bruk formelen

$\bar x=\dfrac{57}{5}$

Gjennomsnitt er sum delt på antall.

Steg 5 — Regn ut

$\bar x=11{,}4$

Dette er den typiske verdien målt som aritmetisk gjennomsnitt.

Steg 6 — Vurder svaret

$6\le 11{,}4\le 16$

Gjennomsnittet bør ligge mellom minste og største verdi.

Tolkning

Gjennomsnittet er et samlet mål for nivået i datasettet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Mean([6, 8, 16, 15, 12])

→

11{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

data = [6, 8, 16, 15, 12]
print(sum(data)/len(data))

Fasit: Gjennomsnittet er

11{,}4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjennomsnitt = sum / antall.

Vanlige feil

Feil teller i nevneren.

Dette ser sensor etter

Riktig sum, antall og vurdering av rimelighet.

For høy måloppnåelse

Sammenlikn gjennomsnitt med median når dataene er skjeve.

Oppgave 20 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(1,8)$ og $(5,16)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=2x + 6

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv punktene

$(1,8)\text{ og }(5,16)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{16-8}{5-1}=\dfrac{8}{4}=2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$8=2\cdot(1)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=6$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x + 6$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((1,8),(5,16))

→

y=2x + 6

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 8
x2, y2 = 5, 16
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=2x + 6

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 21 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $12500$ i starten og øker med $5\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $7$ år.

Vis løsning

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=12500\cdot 1{,}05^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{5}{100}=1{,}05$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(7)=12500\cdot 1{,}05^7$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}05^7\approx 1{,}407$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(7)\approx 17589$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$17589>12500$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

12500*1.05⁷

→

\approx 17589

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 12500
vekstfaktor = 1.05
t = 7
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

7

år er omtrent

17589

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 22 · LettGrafisk framstilling og store datasett

Gjennomsnitt av datasett

Oppgave:

Et lite datasett er $[12, 18, 11, 17, 15]$ . Finn gjennomsnittet.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv datasettet

$[12, 18, 11, 17, 15]$

Vi trenger alle observasjonene før vi kan finne gjennomsnitt.

Steg 2 — Summer verdiene

$S=12+18+11+17+15=73$

Gjennomsnitt starter med totalen av observasjonene.

Steg 3 — Tell antall verdier

$n=5$

Vi deler på antall observasjoner.

Vanlig feil: Å dele på feil antall verdier.

Steg 4 — Bruk formelen

$\bar x=\dfrac{73}{5}$

Gjennomsnitt er sum delt på antall.

Steg 5 — Regn ut

$\bar x=14{,}6$

Dette er den typiske verdien målt som aritmetisk gjennomsnitt.

Steg 6 — Vurder svaret

$11\le 14{,}6\le 18$

Gjennomsnittet bør ligge mellom minste og største verdi.

Tolkning

Gjennomsnittet er et samlet mål for nivået i datasettet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Mean([12, 18, 11, 17, 15])

→

14{,}6

Kontroll i Python

Python-kontroll

data = [12, 18, 11, 17, 15]
print(sum(data)/len(data))

Fasit: Gjennomsnittet er

14{,}6

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjennomsnitt = sum / antall.

Vanlige feil

Feil teller i nevneren.

Dette ser sensor etter

Riktig sum, antall og vurdering av rimelighet.

For høy måloppnåelse

Sammenlikn gjennomsnitt med median når dataene er skjeve.

Oppgave 23 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(0,-5)$ og $(6,1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=x - 5

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,-5)\text{ og }(6,1)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{1--5}{6-0}=\dfrac{6}{6}=1$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$-5=1\cdot(0)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=-5$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=x - 5$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,-5),(6,1))

→

y=x - 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 0, -5
x2, y2 = 6, 1
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=x - 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24 · MiddelsGrafisk framstilling og store datasett

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $2500$ i starten og øker med $12\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $5$ år.

Vis løsning

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=2500\cdot 1{,}12^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{12}{100}=1{,}12$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(5)=2500\cdot 1{,}12^5$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}12^5\approx 1{,}762$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(5)\approx 4406$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$4406>2500$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

2500*1.12⁵

→

\approx 4406

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 2500
vekstfaktor = 1.12
t = 5
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

5

år er omtrent

4406

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Matematikk 1T

Utforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Oppgaver, trinnvis løsning, vanlig feil, tolkning, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Modellering av praktiske situasjoner 12 oppgaver

Oppgave 25 · MiddelsModellering av praktiske situasjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $12500$ i starten og øker med $8\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $6$ år.

Vis løsning

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=12500\cdot 1{,}08^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{8}{100}=1{,}08$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(6)=12500\cdot 1{,}08^6$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}08^6\approx 1{,}587$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(6)\approx 19836$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$19836>12500$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

12500*1.08⁶

→

\approx 19836

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 12500
vekstfaktor = 1.08
t = 6
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

6

år er omtrent

19836

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 26 · LettModellering av praktiske situasjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 720 kr. Prisen settes ned med $20\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$20\,\% = \dfrac{20}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=0{,}80$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=720\cdot 0{,}80$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=576$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$576\text{ kr} \approx 576\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$576 < 720$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

720*0.8

→

576

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 720
prosent = 20
vekstfaktor = 0.8
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

576

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 27 · LettModellering av praktiske situasjoner

Gjennomsnitt av datasett

Oppgave:

Et lite datasett er $[12, 14, 8, 15, 12]$ . Finn gjennomsnittet.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv datasettet

$[12, 14, 8, 15, 12]$

Vi trenger alle observasjonene før vi kan finne gjennomsnitt.

Steg 2 — Summer verdiene

$S=12+14+8+15+12=61$

Gjennomsnitt starter med totalen av observasjonene.

Steg 3 — Tell antall verdier

$n=5$

Vi deler på antall observasjoner.

Vanlig feil: Å dele på feil antall verdier.

Steg 4 — Bruk formelen

$\bar x=\dfrac{61}{5}$

Gjennomsnitt er sum delt på antall.

Steg 5 — Regn ut

$\bar x=12{,}2$

Dette er den typiske verdien målt som aritmetisk gjennomsnitt.

Steg 6 — Vurder svaret

$8\le 12{,}2\le 15$

Gjennomsnittet bør ligge mellom minste og største verdi.

Tolkning

Gjennomsnittet er et samlet mål for nivået i datasettet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Mean([12, 14, 8, 15, 12])

→

12{,}2

Kontroll i Python

Python-kontroll

data = [12, 14, 8, 15, 12]
print(sum(data)/len(data))

Fasit: Gjennomsnittet er

12{,}2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjennomsnitt = sum / antall.

Vanlige feil

Feil teller i nevneren.

Dette ser sensor etter

Riktig sum, antall og vurdering av rimelighet.

For høy måloppnåelse

Sammenlikn gjennomsnitt med median når dataene er skjeve.

Oppgave 28 · MiddelsModellering av praktiske situasjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-2,9)$ og $(2,-3)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-3x + 3

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv punktene

$(-2,9)\text{ og }(2,-3)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-3-9}{2--2}=\dfrac{-12}{4}=-3$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$9=-3\cdot(-2)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=3$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-3x + 3$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((-2,9),(2,-3))

→

y=-3x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -2, 9
x2, y2 = 2, -3
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-3x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29 · MiddelsModellering av praktiske situasjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $2500$ i starten og øker med $7\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $4$ år.

Vis løsning

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=2500\cdot 1{,}07^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{7}{100}=1{,}07$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(4)=2500\cdot 1{,}07^4$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}07^4\approx 1{,}311$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(4)\approx 3277$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$3277>2500$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

2500*1.07⁴

→

\approx 3277

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 2500
vekstfaktor = 1.07
t = 4
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

4

år er omtrent

3277

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 30 · LettModellering av praktiske situasjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 840 kr. Prisen øker med $25\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$25\,\% = \dfrac{25}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}25$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=840\cdot 1{,}25$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=1050$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$1050\text{ kr} \approx 1050\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$1050 > 840$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

840*1.25

→

1050

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 840
prosent = 25
vekstfaktor = 1.25
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

1050

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 31 · LettModellering av praktiske situasjoner

Gjennomsnitt av datasett

Oppgave:

Et lite datasett er $[14, 10, 14, 12, 12]$ . Finn gjennomsnittet.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv datasettet

$[14, 10, 14, 12, 12]$

Vi trenger alle observasjonene før vi kan finne gjennomsnitt.

Steg 2 — Summer verdiene

$S=14+10+14+12+12=62$

Gjennomsnitt starter med totalen av observasjonene.

Steg 3 — Tell antall verdier

$n=5$

Vi deler på antall observasjoner.

Vanlig feil: Å dele på feil antall verdier.

Steg 4 — Bruk formelen

$\bar x=\dfrac{62}{5}$

Gjennomsnitt er sum delt på antall.

Steg 5 — Regn ut

$\bar x=12{,}4$

Dette er den typiske verdien målt som aritmetisk gjennomsnitt.

Steg 6 — Vurder svaret

$10\le 12{,}4\le 14$

Gjennomsnittet bør ligge mellom minste og største verdi.

Tolkning

Gjennomsnittet er et samlet mål for nivået i datasettet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Mean([14, 10, 14, 12, 12])

→

12{,}4

Kontroll i Python

Python-kontroll

data = [14, 10, 14, 12, 12]
print(sum(data)/len(data))

Fasit: Gjennomsnittet er

12{,}4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjennomsnitt = sum / antall.

Vanlige feil

Feil teller i nevneren.

Dette ser sensor etter

Riktig sum, antall og vurdering av rimelighet.

For høy måloppnåelse

Sammenlikn gjennomsnitt med median når dataene er skjeve.

Oppgave 32 · MiddelsModellering av praktiske situasjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(-4,17)$ og $(6,-13)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-3x + 5

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv punktene

$(-4,17)\text{ og }(6,-13)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-13-17}{6--4}=\dfrac{-30}{10}=-3$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$17=-3\cdot(-4)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=5$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-3x + 5$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((-4,17),(6,-13))

→

y=-3x + 5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = -4, 17
x2, y2 = 6, -13
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-3x + 5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33 · MiddelsModellering av praktiske situasjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse er $4800$ i starten og øker med $8\,\%$ per år. Bruk modellen til å finne verdien etter $6$ år.

Vis løsning

Steg 1 — Velg modell

$P(t)=4800\cdot 1{,}08^t$

Når en størrelse vokser med samme prosent hvert år, bruker vi eksponentiell modell.

Steg 2 — Finn vekstfaktor

$1+\dfrac{8}{100}=1{,}08$

Vekstfaktoren beskriver én årsvekst.

Steg 3 — Sett inn tid

$P(6)=4800\cdot 1{,}08^6$

Vi bruker antall år som eksponent.

Vanlig feil: Å gange med

{rate}

hvert år i stedet for å bruke vekstfaktoren

{vf_l}

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}08^6\approx 1{,}587$

Potensen samler flere like prosentøkninger.

Steg 5 — Finn verdien

$P(6)\approx 7617$

Dette er modellens verdi etter perioden.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$7617>4800$

Ved positiv vekst skal verdien bli større enn startverdien.

Tolkning

Modellen beskriver vekst der prosentendringen skjer på nytt for hvert år.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

4800*1.08⁶

→

\approx 7617

Kontroll i Python

Python-kontroll

P = 4800
vekstfaktor = 1.08
t = 6
print(round(P*vekstfaktor**t))

Fasit: Verdien etter

6

år er omtrent

7617

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell modell: startverdi $\cdot$ vekstfaktor $^t$ .

Vanlige feil

Å bruke prosenttallet som faktor.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og riktig eksponent.

For høy måloppnåelse

Drøft at modellen kan bli mindre realistisk langt fram i tid.

Oppgave 34 · LettModellering av praktiske situasjoner

Prosentvis prisendring

Oppgave:

En vare koster 340 kr. Prisen øker med $8\,\%$ . Finn den nye prisen.

Vis løsning

Steg 1 — Finn hva prosent betyr

$8\,\% = \dfrac{8}{100}$

Prosent betyr hundredeler, så vi skriver prosenten som brøk eller desimaltall.

Steg 2 — Velg vekstfaktor

$V=1{,}08$

Ved prisøkning bruker vi $1+\dfrac{p}{100}$ . Ved prisnedgang bruker vi $1-\dfrac{p}{100}$ .

Steg 3 — Lag regnestykket

$\text{ny pris}=340\cdot 1{,}08$

Gammel pris multipliseres med vekstfaktoren.

Vanlig feil: Å regne bare prosentdelen og glemme å legge til eller trekke fra den opprinnelige prisen.

Steg 4 — Regn ut

$\text{ny pris}=367{,}20$

Produktet gir prisen etter endringen.

Steg 5 — Rund praktisk

$367{,}20\text{ kr} \approx 367\text{ kr}$

I butikk kan vi ofte runde til nærmeste krone.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$367{,}20 > 340$

Ved økning skal svaret bli større. Ved nedgang skal svaret bli mindre.

Tolkning

Svaret viser hvor mye varen koster etter endringen, ikke bare selve endringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

340*1.08

→

367{,}20

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 340
prosent = 8
vekstfaktor = 1.08
print(pris*vekstfaktor)

Fasit: Ny pris er

367{,}20

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ny verdi = gammel verdi $\cdot$ vekstfaktor.

Vanlige feil

Feil vekstfaktor ved nedgang.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor og rimelighetskontroll.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til praktisk tolkning, ikke bare tallet.

Oppgave 35 · LettModellering av praktiske situasjoner

Gjennomsnitt av datasett

Oppgave:

Et lite datasett er $[13, 14, 10, 14, 4]$ . Finn gjennomsnittet.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv datasettet

$[13, 14, 10, 14, 4]$

Vi trenger alle observasjonene før vi kan finne gjennomsnitt.

Steg 2 — Summer verdiene

$S=13+14+10+14+4=55$

Gjennomsnitt starter med totalen av observasjonene.

Steg 3 — Tell antall verdier

$n=5$

Vi deler på antall observasjoner.

Vanlig feil: Å dele på feil antall verdier.

Steg 4 — Bruk formelen

$\bar x=\dfrac{55}{5}$

Gjennomsnitt er sum delt på antall.

Steg 5 — Regn ut

$\bar x=11$

Dette er den typiske verdien målt som aritmetisk gjennomsnitt.

Steg 6 — Vurder svaret

$4\le 11\le 14$

Gjennomsnittet bør ligge mellom minste og største verdi.

Tolkning

Gjennomsnittet er et samlet mål for nivået i datasettet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Mean([13, 14, 10, 14, 4])

→

11

Kontroll i Python

Python-kontroll

data = [13, 14, 10, 14, 4]
print(sum(data)/len(data))

Fasit: Gjennomsnittet er

11

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjennomsnitt = sum / antall.

Vanlige feil

Feil teller i nevneren.

Dette ser sensor etter

Riktig sum, antall og vurdering av rimelighet.

For høy måloppnåelse

Sammenlikn gjennomsnitt med median når dataene er skjeve.

Oppgave 36 · MiddelsModellering av praktiske situasjoner

Finn likningen til en rett linje

Oppgave:

En rett linje går gjennom punktene $(0,2)$ og $(2,-2)$ . Finn funksjonsuttrykket.

y=-2x + 2

Statisk skisse av grafen som hører til oppgaven.

Vis løsning

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,2)\text{ og }(2,-2)$

Vi trenger to punkter for å finne én bestemt rett linje.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{-2-2}{2-0}=\dfrac{-4}{2}=-2$

Stigningstallet forteller hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1.

Steg 3 — Bruk linjeformen

$y=ax+b$

Alle lineære funksjoner kan skrives på denne formen.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Steg 4 — Sett inn ett punkt

$2=-2\cdot(0)+b$

Vi bruker ett av punktene til å finne konstantleddet.

Steg 5 — Løs for konstantleddet

$b=2$

Konstantleddet er skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x + 2$

Nå har vi både stigningstall og konstantledd.

Tolkning

Funksjonen beskriver alle punktene på den rette linjen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,2),(2,-2))

→

y=-2x + 2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x')
x1, y1 = 0, 2
x2, y2 = 2, -2
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x + 2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $y=ax+b$ .

Vanlige feil

Feil rekkefølge i stigningstallbrøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og tydelig funksjonsuttrykk.

For høy måloppnåelse

Forklar hva $a$ og $b$ betyr grafisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Original ifingo-produksjon

Oppgavene i denne filen er skrevet som selvstendige ifingo-oppgaver, egne kontekster og utvidede forklaringer. Filen er laget for å kunne brukes direkte som en oppgavebank uten kildeblokk nederst.