Andregradslikninger – faktorisering, abc-formelen og fullføre kvadratet

Andregradslikninger

En andregradslikning har formen ax² + bx + c = 0 der a ≠ 0. Den kan ha to løsninger, én løsning eller ingen reelle løsninger.

abc-formelen

Den generelle løsningen er x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Formelen kalles abc-formelen fordi du setter inn koeffisientene a, b og c direkte.

For x² − 5x + 6 = 0 er a = 1, b = −5 og c = 6. Da blir x = (5 ± √(25 − 24)) / 2 = (5 ± 1) / 2, altså x = 3 eller x = 2.

Pass på fortegnene. Er b negativ, blir −b positiv. Dette er den vanligste regnefeilen med formelen.

Diskriminanten

Uttrykket under rottegnet, D = b² − 4ac, avgjør hvor mange løsninger likningen har:

• D > 0: to ulike løsninger — grafen krysser x-aksen to steder
• D = 0: én løsning — grafen tangerer x-aksen
• D < 0: ingen reelle løsninger — grafen krysser ikke x-aksen

Når du slipper formelen

Mangler likningen konstantleddet, faktoriser: x² − 3x = 0 gir x(x − 3) = 0, altså x = 0 eller x = 3.

Mangler den x-leddet, flytt og ta rota: 2x² − 18 = 0 gir x² = 9, altså x = 3 eller x = −3. Husk begge fortegn.

Sammenhengen med grafen

Løsningene er der parabelen y = ax² + bx + c skjærer x-aksen — kalt nullpunktene. Toppunktet eller bunnpunktet ligger midt mellom dem, på x = −b/2a.