Omdreiningslegemer – volum med integrasjon

Hva et omdreiningslegeme er

Roterer du et flatt område 360° om en akse, sveiper det ut et tredimensjonalt legeme. Volumet finner du med integrasjon.

Rotasjon om x-aksen — skivemetoden

Tenk deg legemet delt i tynne skiver vinkelrett på aksen. Hver skive er en sirkel med radius f(x) og tykkelse dx, altså volum π·f(x)²·dx.

Summerer du dem:

V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

Merk at funksjonen skal kvadreres før du integrerer. Å integrere først og kvadrere etterpå er den vanligste feilen her.

Rotasjon om y-aksen

Løs likningen for x som funksjon av y, og integrer langs y:

V = π ∫ᶜᵈ [g(y)]² dy

Hulrom — ringmetoden

Roterer du området mellom to grafer, får legemet et hull i midten. Da trekker du det indre volumet fra det ytre:

V = π ∫ₐᵇ ([ytre]² − [indre]²) dx

Kvadrer hver funksjon før du trekker fra. (f − g)² er ikke f² − g².

Kontroller svaret

Kjenner du formelen for legemet fra før, bruk den som kontroll. Roterer du linja y = r om x-aksen fra 0 til h, skal du få πr²h — en sylinder. Roterer du en kvartsirkel, skal du få halve kuleformelen.

Slike kontroller avslører fortegns- og grensefeil raskt, og de viser forståelse i besvarelsen.