Integral som grenseverdi av summer – Riemannsummer

Riemann-summer

Før integralet finnes som formel, er det en idé: del arealet under grafen inn i mange smale rektangler, og legg dem sammen.

Deler du intervallet fra a til b i n like deler, får hvert rektangel bredden Δx = (b − a)/n og høyden f(xᵢ). Summen blir Σ f(xᵢ) · Δx.

Fra tilnærming til eksakt verdi

Med få rektangler blir svaret grovt. Med flere blir det bedre. Lar du antallet gå mot uendelig, blir tilnærmingen eksakt:

∫ₐᵇ f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xᵢ) · Δx

Dette er selve definisjonen av det bestemte integralet.

Hvorfor notasjonen ser ut som den gjør

Integraltegnet ∫ er en langstrakt S — for sum. Og dx er det som blir igjen av Δx når bredden går mot null.

Skrivemåten er altså ikke tilfeldig valgt; den beskriver akkurat det som skjer.

Under- og oversum

Bruker du laveste funksjonsverdi i hver del, får du en undersum som er for liten. Bruker du høyeste, får du en oversum som er for stor.

Det sanne arealet ligger mellom dem, og de nærmer seg hverandre når n vokser. Dette er en klassisk måte å begrunne integralet på i R2.

Hva du bør kunne vise

På eksamen holder det sjelden å regne — du skal kunne forklare hvorfor summen konvergerer mot arealet, og gjerne skissere rektanglene. Det er forståelsen som vurderes.