Integrasjon – antiderivert, integrasjonskonstant og areal

Integrasjon er derivasjon baklengs

Å integrere er å finne funksjonen som ble derivert. Er F'(x) = f(x), kaller vi F en antiderivert til f.

Fordi den deriverte av en konstant er null, finnes det uendelig mange antideriverte som skiller seg med et konstantledd. Derfor skriver vi alltid + C.

Potensregelen for integrasjon

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C for alle n ≠ −1.

Du øker eksponenten med 1 og deler på den nye eksponenten — motsatt av derivasjon, der du gangte ned og trakk fra.

∫x³ dx = x⁴/4 + C. Kontroller alltid ved å derivere svaret: (x⁴/4)' = 4x³/4 = x³. Stemmer.

Unntaket n = −1

Potensregelen gir divisjon med null når n = −1. I stedet gjelder ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

De vanligste integralene

• ∫k dx = kx + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫sin x dx = −cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C

Merk minustegnet foran cos. Det er den feilen som går igjen oftest.

Regneregler

En konstant faktor kan settes utenfor, og en sum integreres ledd for ledd. Men det finnes ingen produktregel for integrasjon slik det gjør for derivasjon — ∫(f · g) er ikke ∫f · ∫g.

Finne C

Oppgir oppgaven et punkt grafen går gjennom, setter du det inn og løser for C. Da får du én bestemt funksjon i stedet for en hel familie.