Lær bestemt integral i S2 og R2: integrasjonsgrenser, nettoareal, areal mellom grafer og Newton–Leibniz. Gjennomregnede eksempler og oppgaver.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-13
Et bestemt integral har grenser og gir et tall, ikke en funksjon: ∫ₐᵇ f(x) dx.
Tallet er arealet mellom grafen og x-aksen fra x = a til x = b.
Finn en antiderivert F, sett inn øvre grense, og trekk fra nedre:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Konstanten C faller bort, siden den forekommer i begge ledd og opphever seg selv. Derfor trenger du ikke skrive + C i bestemte integraler.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3.
Ligger grafen under x-aksen, blir integralet negativt. Integralet måler et fortegnsbestemt areal.
Spør oppgaven om det faktiske arealet, må du dele opp ved nullpunktene og bruke absoluttverdien av hver del. Regner du hele strekningen i ett, kan positive og negative deler oppheve hverandre og gi svaret null selv om arealet ikke er null.
∫ₐᵇ (øvre − nedre) dx, der a og b er skjæringspunktene.
Finn først skjæringspunktene ved å sette funksjonene lik hverandre. Avgjør deretter hvilken graf som ligger øverst i intervallet — bytter de plass, må du dele opp integralet.
Er f(x) en fart, gir integralet tilbakelagt strekning. Er f(x) en vannstrøm, gir det samlet volum. Enheten på svaret er alltid enheten på y-aksen ganget med enheten på x-aksen.