Hva spør oppgaven om? Vi deriverer hvert ledd og skriver brøkleddet som en negativ potens.

Steg 1 - Skriv om brøkleddet

\(\frac{3}{x-2}=3(x-2)^{-1}\).

Steg 2 - Deriver polynomleddene

\(\frac{d}{dx}(3x^2)=6x\), mens konstanten \(-5\) har derivert lik 0.

Steg 3 - Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}\left(3(x-2)^{-1}\right)=3\cdot(-1)(x-2)^{-2}\cdot1=-\frac{3}{(x-2)^2}.\]

Steg 4 - Sett sammen

\[h\prime(x)=6x-\frac{3}{(x-2)^2},\qquad x\ne2.\]

Steg 5 - Kontroller definisjonsmengden

Den deriverte er bare definert der den opprinnelige funksjonen er definert, altså for \(x\ne2\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
h = 3*x**2 - 5 + 3/(x-2)
h_prime = sp.simplify(sp.diff(h,x))
print("h(x) =", h)
print("Derivative of 3*x**2 =", sp.diff(3*x**2,x))
print("Derivative of -5 =", sp.diff(-5,x))
print("Derivative of 3/(x-2) =", sp.diff(3/(x-2),x))
print("h'(x) =", h_prime)
print("Domain restriction: x != 2")

Utskrift fra Python:
h(x) = 3*x**2 - 5 + 3/(x - 2)
Derivative of 3*x**2 = 6*x
Derivative of -5 = 0
Derivative of 3/(x-2) = -3/(x - 2)**2
h'(x) = 6*x - 3/(x - 2)**2
Domain restriction: x != 2

Fasit: \(h\prime(x)=6x-\frac{3}{(x-2)^2}\), for \(x\ne2\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker nullproduktregelen og at \(e^x\) alltid er positiv.

Steg 1 - Bruk nullproduktregelen

Et produkt er null dersom minst en faktor er null.

Steg 2 - Undersok eksponentialfaktoren

\(e^x>0\) for alle reelle \(x\). Faktoren kan derfor aldri bli null.

Steg 3 - Løs den andre faktoren

\[6-e^x=0\Rightarrow e^x=6\Rightarrow x=\ln6.\]

Steg 4 - Oppgi punktet

Funksjonsverdien er 0, så nullpunktet er \((\ln6,0)\).

Steg 5 - Rimelighetskontroll

\(\ln6\approx1,792\), og da er \(e^x\approx6\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = sp.exp(x)*(6-sp.exp(x))
solutions = sp.solve(sp.Eq(f,0),x)
print("f(x) =", f)
print("e**x is positive for every real x")
print("Solutions =", solutions)
for value in solutions:
    print("x =", value, "f(x) =", sp.simplify(f.subs(x,value)))
print("Decimal x =", sp.N(solutions[0],12))

Utskrift fra Python:
f(x) = (6 - exp(x))*exp(x)
e**x is positive for every real x
Solutions = [log(6)]
x = log(6) f(x) = 0
Decimal x = 1.79175946923

Fasit: Nullpunktet er \((\ln6,0)\).

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer produktet og faktoriserer resultatet.

Steg 1 - Del opp produktet

La \(u=e^x\) og \(v=6-e^x\). Da er \(u\prime=e^x\) og \(v\prime=-e^x\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[f\prime=u\prime v+uv\prime=e^x(6-e^x)-e^{2x}.\]

Steg 3 - Samle ledd

\[f\prime(x)=6e^x-2e^{2x}.\]

Steg 4 - Faktoriser

Trekk ut \(2e^x\): \[6e^x-2e^{2x}=2e^x(3-e^x).\]

Steg 5 - Konklusjon

Dermed er uttrykket i oppgaven vist.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = sp.exp(x)*(6-sp.exp(x))
raw = sp.diff(f,x)
factored = sp.factor(raw)
target = 2*sp.exp(x)*(3-sp.exp(x))
print("f(x) =", f)
print("Product-rule derivative =", raw)
print("Expanded derivative =", sp.expand(raw))
print("Factored derivative =", factored)
print("Target =", target)
print("Difference =", sp.simplify(raw-target))

Utskrift fra Python:
f(x) = (6 - exp(x))*exp(x)
Product-rule derivative = (6 - exp(x))*exp(x) - exp(2*x)
Expanded derivative = -2*exp(2*x) + 6*exp(x)
Factored derivative = -2*(exp(x) - 3)*exp(x)
Target = 2*(3 - exp(x))*exp(x)
Difference = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2e^x(3-e^x)\).

Hva spør oppgaven om? Vi løser \(f\prime(x)=0\) og undersøker fortegnet til den deriverte.

Steg 1 - Sett den deriverte lik null

\[2e^x(3-e^x)=0.\] Siden \(2e^x>0\), må \(3-e^x=0\).

Steg 2 - Finn kritisk x-verdi

\[e^x=3\Rightarrow x=\ln3.\]

Steg 3 - Finn funksjonsverdien

\[f(\ln3)=3(6-3)=9.\]

Steg 4 - Fortegn for den deriverte

For \(x<\ln3\) er \(e^x<3\), så \(f\prime>0\). For \(x>\ln3\) er \(f\prime<0\).

Steg 5 - Klassifiser punktet

Grafen går fra voksende til avtakende, så \((\ln3,9)\) er et toppunkt. Det finnes ikke noe bunnpunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = sp.exp(x)*(6-sp.exp(x))
f_prime = sp.factor(sp.diff(f,x))
critical = sp.solve(sp.Eq(f_prime,0),x)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Critical x-values =", critical)
for value in critical:
    print("Point =", (value,sp.simplify(f.subs(x,value))))
print("f'(ln(3)-1) =", sp.N(f_prime.subs(x,sp.log(3)-1),10))
print("f'(ln(3)+1) =", sp.N(f_prime.subs(x,sp.log(3)+1),10))
print("Classification: maximum")

Utskrift fra Python:
f'(x) = -2*(exp(x) - 3)*exp(x)
Critical x-values = [log(3)]
Point = (log(3), 9)
f'(ln(3)-1) = 4.185794843
f'(ln(3)+1) = -84.07393687
Classification: maximum

Fasit: Toppunktet er \((\ln3,9)\). Det finnes ikke noe bunnpunkt.

Hva spør oppgaven om? Vi regner ut eller vurderer hvert uttrykk.

Steg 1 - Tiertallslogaritmen

\(\lg7\approx0,8451\).

Steg 2 - Eksponentialuttrykket

\(\ln1=0\), så \(e^{3\ln1}=e^0=1\).

Steg 3 - Fjerderoten

\[\sqrt[4]{3^3}=3^{3/4}\approx2,2795.\]

Steg 4 - Logaritmen med grunntall 2

\(\log_2 8=3\), fordi \(2^3=8\).

Steg 5 - Sorter

\[\lg7<e^{3\ln1}<\sqrt[4]{3^3}<\log_2 8.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
values = {
    "lg(7)": sp.log(7,10),
    "exp(3*ln(1))": sp.exp(3*sp.log(1)),
    "fourth_root(3**3)": 3**sp.Rational(3,4),
    "log_2(8)": sp.log(8,2)
}
for name,value in values.items():
    print(name,"=",value,"=",sp.N(value,12))
print("Ascending order:")
for item in sorted(values.items(),key=lambda pair: float(sp.N(pair[1]))):
    print(item[0])

Utskrift fra Python:
lg(7) = log(7)/log(10) = 0.845098040014
exp(3*ln(1)) = 1 = 1.00000000000
fourth_root(3**3) = 3**(3/4) = 2.27950705695
log_2(8) = 3 = 3.00000000000
Ascending order:
lg(7)
exp(3*ln(1))
fourth_root(3**3)
log_2(8)

Fasit: \(\lg7<e^{3\ln1}<\sqrt[4]{3^3}<\log_2 8\).

Hva spør oppgaven om? Vi samler logaritmene og bruker at argumentene er positive.

Steg 1 - Bruk differanseregelen

\[\lg(ab)-\lg(a/b)=\lg\left(\frac{ab}{a/b}\right)=\lg(b^2).\]

Steg 2 - Legg sammen logaritmene

\[\lg(b^2)+\lg(100b^3)=\lg(100b^5).\]

Steg 3 - Skill ut 100

\[\lg(100b^5)=\lg100+\lg(b^5).\]

Steg 4 - Bruk potensregelen

\(\lg100=2\) og \(\lg(b^5)=5\lg b\).

Steg 5 - Ferdig uttrykk

\[2+5\lg b.\] Logaritmene forutsetter \(a>0\) og \(b>0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a,b = sp.symbols("a b", positive=True)
combined_argument = sp.simplify((a*b)/(a/b)*(100*b**3))
print("Combined argument =", combined_argument)
print("lg(100*b**5) = lg(100) + lg(b**5)")
print("lg(100) = 2")
print("lg(b**5) = 5*lg(b)")
print("Simplified expression = 2 + 5*lg(b)")
print("Check at a=2, b=3:")
original = sp.log(a*b,10)-sp.log(a/b,10)+sp.log(100*b**3,10)
result = 2+5*sp.log(b,10)
print(sp.N(original.subs({a:2,b:3}),12), sp.N(result.subs(b,3),12))

Utskrift fra Python:
Combined argument = 100*b**5
lg(100*b**5) = lg(100) + lg(b**5)
lg(100) = 2
lg(b**5) = 5*lg(b)
Simplified expression = 2 + 5*lg(b)
Check at a=2, b=3:
4.38560627360 4.38560627360

Fasit: Uttrykket blir \(2+5\lg b\).

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner vekstgraden i teller og nevner.

Steg 1 - Del på høyeste potens

Del teller og nevner på \(x^2\): \[\frac{2/x+2/x^2}{3+3/x^2}.\]

Steg 2 - Ta grensen

Når \(x\to\infty\), går \(2/x\), \(2/x^2\) og \(3/x^2\) mot 0.

Steg 3 - Regn ut

\[\frac{0+0}{3+0}=0.\]

Steg 4 - Tolkning

Nevneren vokser som \(x^2\), raskere enn telleren som vokser som \(x\).

Steg 5 - Konklusjon

Den horisontale asymptoten mot høyre er \(y=0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
expr = (2*x+2)/(3*x**2+3)
normalized = sp.simplify(expr/x**0)
limit_value = sp.limit(expr,x,sp.oo)
print("Expression =", expr)
print("After dividing numerator and denominator by x**2:")
print("(2/x + 2/x**2)/(3 + 3/x**2)")
print("Limit =", limit_value)
for value in [10,100,1000]:
    print("x =",value,"value =",sp.N(expr.subs(x,value),12))

Utskrift fra Python:
Expression = (2*x + 2)/(3*x**2 + 3)
After dividing numerator and denominator by x**2:
(2/x + 2/x**2)/(3 + 3/x**2)
Limit = 0
x = 10 value = 0.0726072607261
x = 100 value = 0.00673266006733
x = 1000 value = 0.000667332666001

Fasit: Grenseverdien er \(0\).

Hva spør oppgaven om? Vi må avgjøre om påstanden gjelder for alle valg av koeffisienter.

Steg 1 - Finn mulig problemsted

Nevneren er 0 ved \(x=d\), men det er ikke nok alene til å gi en vertikal asymptote.

Steg 2 - Lag et moteksempel

Velg telleren lik \(x-d\), for eksempel \(a=0\), \(b=1\), \(c=-d\).

Steg 3 - Forkort

Da blir \[f(x)=\frac{x-d}{x-d}=1,\qquad x\ne d.\]

Steg 4 - Tolk grafen

Grafen er linjen \(y=1\) med et hull ved \(x=d\), ikke en vertikal asymptote.

Steg 5 - Konklusjon

Påstanden er usann. Vertikal asymptote oppstår bare dersom faktoren ikke kanselleres og funksjonen går mot uendelig.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x,d = sp.symbols("x d")
numerator = x-d
denominator = x-d
f = numerator/denominator
print("Counterexample numerator =", numerator)
print("Denominator =", denominator)
print("Simplified f(x) =", sp.cancel(f))
print("Original domain excludes x = d")
print("Limit as x approaches d =", sp.limit(f,x,d))
print("Conclusion: removable hole, not a vertical asymptote")

Utskrift fra Python:
Counterexample numerator = -d + x
Denominator = -d + x
Simplified f(x) = 1
Original domain excludes x = d
Limit as x approaches d = 1
Conclusion: removable hole, not a vertical asymptote

Fasit: Påstanden er usann.

Hva spør oppgaven om? Vi finner den omvendte funksjonen ved å løse likningen for x.

Steg 1 - Sett y lik funksjonen

\[y=e^x-3.\]

Steg 2 - Isoler eksponentialleddet

\[y+3=e^x.\]

Steg 3 - Ta naturlig logaritme

\[x=\ln(y+3).\]

Steg 4 - Bytt variabelnavn

\[g^{-1}(x)=\ln(x+3).\]

Steg 5 - Bestem domenet

Vi må ha \(x+3>0\), altså \(x>-3\). Påstanden er derfor usann både i formel og domene.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x,y = sp.symbols("x y", real=True)
solution = sp.solve(sp.Eq(y,sp.exp(x)-3),x)[0]
print("Equation: y = exp(x) - 3")
print("Solve for x:", solution)
print("Therefore g_inverse(x) = log(x + 3)")
print("Domain condition: x + 3 > 0, so x > -3")
check = sp.simplify(sp.log((sp.exp(x)-3)+3))
print("Composition g_inverse(g(x)) =", check)

Utskrift fra Python:
Equation: y = exp(x) - 3
Solve for x: log(y + 3)
Therefore g_inverse(x) = log(x + 3)
Domain condition: x + 3 > 0, so x > -3
Composition g_inverse(g(x)) = x

Fasit: Påstanden er usann. Riktig er \(g^{-1}(x)=\ln(x+3)\), med \(x>-3\).

Hva spør oppgaven om? Vi kan finne g direkte eller bruke formelen for den deriverte av en omvendt funksjon.

Steg 1 - Finn den omvendte funksjonen

Sett \(y=\ln(x+2)\). Da er \(e^y=x+2\), altså \(x=e^y-2\).

Steg 2 - Skriv g

\[g(x)=e^x-2.\]

Steg 3 - Deriver

\[g\prime(x)=e^x.\]

Steg 4 - Sett inn x=1

\[g\prime(1)=e.\]

Steg 5 - Alternativ kontroll

\(g(1)=e-2\) og \(f\prime(e-2)=1/e\), så \(g\prime(1)=1/(1/e)=e\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
g = sp.exp(x)-2
g_prime = sp.diff(g,x)
print("f(x) = log(x + 2)")
print("Inverse function g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_prime)
print("g'(1) =", sp.simplify(g_prime.subs(x,1)))
preimage = g.subs(x,1)
f_prime_at_preimage = 1/(preimage+2)
print("g(1) =", preimage)
print("f'(g(1)) =", f_prime_at_preimage)
print("1/f'(g(1)) =", sp.simplify(1/f_prime_at_preimage))

Utskrift fra Python:
f(x) = log(x + 2)
Inverse function g(x) = exp(x) - 2
g'(x) = exp(x)
g'(1) = E
g(1) = -2 + E
f'(g(1)) = exp(-1)
1/f'(g(1)) = E

Fasit: \(g\prime(1)=e\).

Hva spør oppgaven om? Vinkelen ved A er rett når vektorene fra A til B og C har skalarprodukt 0.

Steg 1 - Finn vektorene

\[\overrightarrow{AB}=(4-1,1-(-3))=(3,4),\] \[\overrightarrow{AC}=(-2-1,a-(-3))=(-3,a+3).\]

Steg 2 - Sett skalarproduktet lik null

\[(3,4)\cdot(-3,a+3)=0.\]

Steg 3 - Regn ut

\[-9+4(a+3)=0.\]

Steg 4 - Løs for a

\[-9+4a+12=0\Rightarrow4a+3=0\Rightarrow a=-\frac34.\]

Steg 5 - Kontroll

Da er \(\overrightarrow{AC}=(-3,9/4)\), og \(3(-3)+4(9/4)=0\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a = sp.symbols("a", real=True)
AB = sp.Matrix([3,4])
AC = sp.Matrix([-3,a+3])
dot = sp.expand(AB.dot(AC))
solution = sp.solve(sp.Eq(dot,0),a)[0]
print("AB =", tuple(AB))
print("AC =", tuple(AC))
print("Dot product =", dot)
print("Solution a =", solution)
print("Check =", sp.simplify(dot.subs(a,solution)))

Utskrift fra Python:
AB = (3, 4)
AC = (-3, a + 3)
Dot product = 4*a + 3
Solution a = -3/4
Check = 0

Fasit: \(a=-\frac34\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter kvadratene av lengdene like for å unngå unodvendige rotuttrykk.

Steg 1 - Lengden av AB

\[|\overrightarrow{AB}|^2=3^2+4^2=25.\]

Steg 2 - Lengden av AC

\[|\overrightarrow{AC}|^2=(-3)^2+(a+3)^2=9+(a+3)^2.\]

Steg 3 - Sett like

\[25=9+(a+3)^2.\]

Steg 4 - Løs andregradslikningen

\[(a+3)^2=16\Rightarrow a+3=\pm4.\]

Steg 5 - Oppgi begge løsninger

\[a=1\quad\text{eller}\quad a=-7.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a = sp.symbols("a", real=True)
AB_squared = 3**2 + 4**2
AC_squared = (-3)**2 + (a+3)**2
solutions = sp.solve(sp.Eq(AB_squared,AC_squared),a)
print("|AB|^2 =", AB_squared)
print("|AC|^2 =", AC_squared)
print("Equation =", sp.Eq(AB_squared,AC_squared))
print("Solutions =", solutions)
for value in solutions:
    print("a =",value,"|AC|^2 =",sp.simplify(AC_squared.subs(a,value)))

Utskrift fra Python:
|AB|^2 = 25
|AC|^2 = (a + 3)**2 + 9
Equation = Eq(25, (a + 3)**2 + 9)
Solutions = [-7, 1]
a = -7 |AC|^2 = 25
a = 1 |AC|^2 = 25

Fasit: \(a=1\) eller \(a=-7\).

Hva spør oppgaven om? En vektor mellom to punkter er posisjonsvektoren til sluttpunktet minus posisjonsvektoren til startpunktet.

Steg 1 - Vektoren AB

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec b-\vec a.\]

Steg 2 - Posisjonsvektoren til P

\[\overrightarrow{OP}=\frac23\vec a.\]

Steg 3 - Posisjonsvektoren til R

\[\overrightarrow{OR}=\frac23\vec b.\]

Steg 4 - Vektoren PR

\[\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=\frac23\vec b-\frac23\vec a.\]

Steg 5 - Faktoriser

\[\overrightarrow{PR}=\frac23(\vec b-\vec a).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a1,a2,b1,b2 = sp.symbols("a1 a2 b1 b2")
a = sp.Matrix([a1,a2]); b = sp.Matrix([b1,b2])
AB = b-a
P = sp.Rational(2,3)*a
R = sp.Rational(2,3)*b
PR = sp.simplify(R-P)
print("a =",tuple(a),"b =",tuple(b))
print("AB = b-a =",tuple(AB))
print("P =",tuple(P))
print("R =",tuple(R))
print("PR = R-P =",tuple(PR))
print("PR - (2/3)AB =",tuple(sp.simplify(PR-sp.Rational(2,3)*AB)))

Utskrift fra Python:
a = (a1, a2) b = (b1, b2)
AB = b-a = (-a1 + b1, -a2 + b2)
P = (2*a1/3, 2*a2/3)
R = (2*b1/3, 2*b2/3)
PR = R-P = (-2*a1/3 + 2*b1/3, -2*a2/3 + 2*b2/3)
PR - (2/3)AB = (0, 0)

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\) og \(\overrightarrow{PR}=\frac23(\vec b-\vec a)\).

Hva spør oppgaven om? Vektorer er parallelle når den ene er et reelt multiplum av den andre.

Steg 1 - Bruk uttrykkene fra a

\[\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a.\]

Steg 2 - Sammenlikn med PR

\[\overrightarrow{PR}=\frac23(\vec b-\vec a).\]

Steg 3 - Skriv som skalarmultiplum

\[\overrightarrow{PR}=\frac23\overrightarrow{AB}.\]

Steg 4 - Tolk faktoren

Faktoren \(2/3\) er et positivt reelt tall, så vektorene har samme retning.

Steg 5 - Konklusjon

Derfor er linjestykkene parallelle.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
u1,u2 = sp.symbols("u1 u2")
AB = sp.Matrix([u1,u2])
PR = sp.Rational(2,3)*AB
cross_2d = sp.simplify(AB[0]*PR[1]-AB[1]*PR[0])
print("AB =",tuple(AB))
print("PR =",tuple(PR))
print("Scale factor = 2/3")
print("2D cross determinant =",cross_2d)
print("Conclusion: vectors are parallel and point in the same direction")

Utskrift fra Python:
AB = (u1, u2)
PR = (2*u1/3, 2*u2/3)
Scale factor = 2/3
2D cross determinant = 0
Conclusion: vectors are parallel and point in the same direction

Fasit: \(\overrightarrow{PR}=\frac23\overrightarrow{AB}\), altså \(AB\parallel PR\).

Hva spør oppgaven om? Lengder skaleres med absoluttverdien av skalarfaktoren.

Steg 1 - Bruk vektorforholdet

\[\overrightarrow{PR}=\frac23\overrightarrow{AB}.\]

Steg 2 - Ta lengder

\[|\overrightarrow{PR}|=\frac23|\overrightarrow{AB}|.\]

Steg 3 - Sett inn opplysningen

\[\frac{\sqrt2}{3}=\frac23|\overrightarrow{AB}|.\]

Steg 4 - Isoler AB

\[|\overrightarrow{AB}|=\frac32\cdot\frac{\sqrt2}{3}=\frac{\sqrt2}{2}.\]

Steg 5 - Oppgi lengden

Linjestykket AB er \(\sqrt2/2\) langt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
PR_length = sp.sqrt(2)/3
AB_length = sp.simplify(sp.Rational(3,2)*PR_length)
print("|PR| =",PR_length)
print("PR = (2/3)AB, so |AB| = (3/2)|PR|")
print("|AB| =",AB_length)
print("Decimal value =",sp.N(AB_length,12))
print("Check: (2/3)|AB| =",sp.simplify(sp.Rational(2,3)*AB_length))

Utskrift fra Python:
|PR| = sqrt(2)/3
PR = (2/3)AB, so |AB| = (3/2)|PR|
|AB| = sqrt(2)/2
Decimal value = 0.707106781187
Check: (2/3)|AB| = sqrt(2)/3

Fasit: \(|AB|=\frac{\sqrt2}{2}\).

Hva spør oppgaven om? Funksjonen g bruker en liten endring h og en differansekvotient.

Steg 1 - Les uttrykket i koden

\[g(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\qquad h=10^{-6}.\]

Steg 2 - Sammenlikn med definisjonen

Den deriverte er \[f\prime(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]

Steg 3 - Tolk h

Programmet bruker et lite, men ikke null, h. Derfor beregner g en numerisk tilnærming til den deriverte.

Steg 4 - Finn den eksakte deriverte

For \(f(x)=\frac13x^3+\frac53x^2+\frac{25}{9}x\) er \[f\prime(x)=x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\left(x+\frac53\right)^2.\]

Steg 5 - Konklusjon

\(g(x)\approx f\prime(x)\), med en liten numerisk feil som avhenger av h.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x,h = sp.symbols("x h", real=True)
f = sp.Rational(1,3)*x**3+sp.Rational(5,3)*x**2+sp.Rational(25,9)*x
exact = sp.factor(sp.diff(f,x))
forward = sp.simplify((f.subs(x,x+h)-f)/h)
print("f(x) =",f)
print("Exact f'(x) =",exact)
print("Forward difference =",sp.expand(forward))
print("Difference from exact derivative =",sp.factor(forward-exact))
print("With h = 0.000001, g(x) is a numerical approximation to f'(x)")

Utskrift fra Python:
f(x) = x**3/3 + 5*x**2/3 + 25*x/9
Exact f'(x) = (3*x + 5)**2/9
Forward difference = h**2/3 + h*x + 5*h/3 + x**2 + 10*x/3 + 25/9
Difference from exact derivative = h*(h + 3*x + 5)/3
With h = 0.000001, g(x) is a numerical approximation to f'(x)

Fasit: \(g(x)\) er en numerisk tilnærming til \(f\prime(x)\).

Hva spør oppgaven om? Koden undersøker fortegnet til den deriverte på hver side av et punkt der g er nær 0.

Steg 1 - Tilfellet A

Hvis \(g(x-dx)g(x+dx)>0\), har den deriverte samme fortegn på begge sider. Et stasjonært punkt uten fortegnsskifte er et terrassepunkt.

Steg 2 - Tilfellet B

Hvis \(g(x-dx)<g(x+dx)\), er situasjonen rundt en enkel nullpassering fra negativ til positiv. Funksjonen går fra avtakende til voksende: bunnpunkt.

Steg 3 - Tilfellet C

Hvis \(g(x-dx)>g(x+dx)\), går den deriverte fra positiv til negativ: toppunkt.

Steg 4 - Sett inn ordene

\[A=\text{terrassepunkt},\quad B=\text{bunnpunkt},\quad C=\text{toppunkt}.\]

Steg 5 - Knytt til f

Her er \(f\prime(x)=(x+5/3)^2\ge0\), så det aktuelle punktet er et terrassepunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f_prime = (x+sp.Rational(5,3))**2
root = -sp.Rational(5,3)
left = sp.simplify(f_prime.subs(x,root-sp.Rational(1,100)))
right = sp.simplify(f_prime.subs(x,root+sp.Rational(1,100)))
print("f'(x) =",f_prime)
print("Stationary x =",root)
print("Derivative just left =",left)
print("Derivative just right =",right)
print("A = terrassepunkt")
print("B = bunnpunkt")
print("C = toppunkt")

Utskrift fra Python:
f'(x) = (x + 5/3)**2
Stationary x = -5/3
Derivative just left = 1/10000
Derivative just right = 1/10000
A = terrassepunkt
B = bunnpunkt
C = toppunkt

Fasit: A er terrassepunkt, B er bunnpunkt, og C er toppunkt.

Hva spør oppgaven om? Vi må finne det stasjonære punktet og se hvilken if-gren som blir sann i den faktiske løkken.

Steg 1 - Finn den eksakte deriverte

\[f\prime(x)=\left(x+\frac53\right)^2.\] Den er 0 ved \(x=-5/3\).

Steg 2 - Se på fortegnet

Den deriverte er positiv på begge sider av punktet.

Steg 3 - Knytt til testen

Dermed er produktet \(g(x-dx)g(x+dx)>0\) når programmet finner en x-verdi med \(|g(x)|<10^{-6}\).

Steg 4 - Finn linjen

Den første print-setningen i denne grenen står i linje 18.

Steg 5 - Faktisk kjøring

Med skrittstørrelse 0,002 finner programmet omtrent \(x=-1,666\) og skriver ut linje 18.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

def f(x):
    return 1/3*x**3 + 5/3*x**2 + 25/9*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x+h)-f(x))/h

x = -4
slutt = 4
dx = 0.002
maks_avvik = 0.000001
printed_line = None
while x < slutt:
    x = x + dx
    if abs(g(x)) < maks_avvik:
        if g(x-dx)*g(x+dx) > 0:
            printed_line = 18
            print("f har et terrassepunkt for x =",x)
        elif g(x-dx) < g(x+dx):
            printed_line = 21
            print("f har et bunnpunkt for x =",x)
        elif g(x-dx) > g(x+dx):
            printed_line = 24
            print("f har et toppunkt for x =",x)
print("Printed line =",printed_line)
print("g(x) =",g(x))

Utskrift fra Python:
f har et terrassepunkt for x = -1.66600000000022
Printed line = 18
g(x) = 32.1337874567007

Fasit: Setningen står i linje 18.

Hva spør oppgaven om? Vi tilpasser de tre parameterne C, a og k ved ikke-lineær regresjon.

Steg 1 - Registrer data

Tidspunktene er \(1,5,10,20,50,100,150\) sekunder, med tilhørende fart \(7,3,9,2,10,7,25,6,61,3,183,0,218,2\) m/s.

Steg 2 - Velg modelltype

Modellen er logistisk. Parameteren \(C\) er den langsiktige grensen for farten.

Steg 3 - Kjør regresjon

En ikke-lineær minste-kvadraters tilpasning gir omtrent \[C=223,477,\quad a=27,327,\quad k=0,0478003.\]

Steg 4 - Skriv modellen

\[V(t)=\frac{223,477}{1+27,327e^{-0,0478003t}}.\]

Steg 5 - Vurder tilpasningen

Modellen nærmer seg 223,5 m/s og ligger nær målingene. Små avvik er forventet fordi dataene ikke ligger eksakt på en logistisk kurve.

Steg 6 - Dokumentasjon

Ved eksamen skal regresjonsvindu, parameterverdier og gjerne en graf med datapunkter dokumenteres.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

t = np.array([1,5,10,20,50,100,150],dtype=float)
v = np.array([7.3,9.2,10.7,25.6,61.3,183.0,218.2],dtype=float)

def V(t,C,a,k):
    return C/(1+a*np.exp(-k*t))

parameters,covariance = curve_fit(
    V,t,v,p0=(230,30,0.05),bounds=(0,np.inf),maxfev=100000
)
C,a,k = parameters
predicted = V(t,C,a,k)
residuals = v-predicted
print("C =",C)
print("a =",a)
print("k =",k)
print("Model: V(t) = C/(1 + a*exp(-k*t))")
print("Predicted values =",np.round(predicted,6))
print("Residuals =",np.round(residuals,6))
print("Sum of squared residuals =",np.sum(residuals**2))

Utskrift fra Python:
C = 223.47744061662513
a = 27.327224883704183
k = 0.04780026368243623
Model: V(t) = C/(1 + a*exp(-k*t))
Predicted values = [  8.261122   9.924464  12.454547  19.423899  63.778683 181.772724
 218.876091]
Residuals = [-0.961122 -0.724464 -1.754547  6.176101 -2.478683  1.227276 -0.676091]
Sum of squared residuals = 50.77843185802303

Fasit: En egnet modell er \(V(t)=\frac{223,477}{1+27,327e^{-0,0478003t}}\).

Hva spør oppgaven om? Vi setter modellen lik 100 og løser for t.

Steg 1 - Sett opp likningen

\[100=\frac{223,477}{1+27,327e^{-0,0478003t}}.\]

Steg 2 - Isoler nevneren

\[1+27,327e^{-0,0478003t}=\frac{223,477}{100}.\]

Steg 3 - Isoler eksponentialleddet

\[e^{-0,0478003t}=\frac{223,477/100-1}{27,327}.\]

Steg 4 - Ta logaritmen

\[t=-\frac{1}{0,0478003}\ln\left(\frac{223,477/100-1}{27,327}\right).\]

Steg 5 - Beregn

\[t\approx64,79\text{ s}.\]

Steg 6 - Kontroll

Innsetting i modellen gir \(V(64,79)\approx100,0\) m/s.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
C = 223.4774387576481
a = 27.32722297785643
k = 0.04780026364436009
t = math.log(a/(C/100-1))/k
V = C/(1+a*math.exp(-k*t))
print("C =",C,"a =",a,"k =",k)
print("Equation: C/(1+a*exp(-k*t)) = 100")
print("t =",t,"seconds")
print("Check V(t) =",V,"m/s")
print("Rounded answer =",round(t,2),"seconds")

Utskrift fra Python:
C = 223.4774387576481 a = 27.32722297785643 k = 0.04780026364436009
Equation: C/(1+a*exp(-k*t)) = 100
t = 64.79033537951585 seconds
Check V(t) = 100.0 m/s
Rounded answer = 64.79 seconds

Fasit: Raketten oppnår 100 m/s etter omtrent \(64,8\) sekunder.

Hva spør oppgaven om? Fartsøkningen er \(V\prime(t)\). For en logistisk funksjon er den størst i vendepunktet.

Steg 1 - Bruk logistisk struktur

For \(V(t)=\frac{C}{1+ae^{-kt}}\) oppnås vendepunktet når \(ae^{-kt}=1\).

Steg 2 - Finn tidspunktet

\[t=\frac{\ln a}{k}=\frac{\ln27,327}{0,0478003}\approx69,20\text{ s}.\]

Steg 3 - Deriver modellen

\[V\prime(t)=\frac{Cake^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}.\]

Steg 4 - Sett inn vendepunktvilkåret

Når \(ae^{-kt}=1\), blir \[V\prime_{\max}=\frac{Ck}{4}.\]

Steg 5 - Beregn akselerasjonen

\[\frac{223,477\cdot0,0478003}{4}\approx2,671\text{ m/s}^2.\]

Steg 6 - Tolkning

Raketten har altså størst fartsøkning omtrent 69,2 sekunder etter start.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
C = 223.4774387576481
a = 27.32722297785643
k = 0.04780026364436009
t_inflection = math.log(a)/k
maximum_acceleration = C*k/4
V_at_inflection = C/2
print("Inflection time ln(a)/k =",t_inflection,"seconds")
print("Speed at inflection C/2 =",V_at_inflection,"m/s")
print("Maximum acceleration C*k/4 =",maximum_acceleration,"m/s**2")
print("Rounded time =",round(t_inflection,2))
print("Rounded acceleration =",round(maximum_acceleration,3))

Utskrift fra Python:
Inflection time ln(a)/k = 69.20219956579434 seconds
Speed at inflection C/2 = 111.73871937882404 m/s
Maximum acceleration C*k/4 = 2.6705701227954783 m/s**2
Rounded time = 69.2
Rounded acceleration = 2.671

Fasit: Størst fartsøkning er omtrent \(2,67\text{ m/s}^2\) ved \(t\approx69,2\text{ s}\).

Hva spør oppgaven om? Vi løser ulikheten \(V\prime(t)>2\) ved å finne de to grensetidspunktene.

Steg 1 - Skriv den deriverte

\[V\prime(t)=\frac{Cake^{-kt}}{(1+ae^{-kt})^2}.\]

Steg 2 - Sett lik 2

Grensene for intervallet finnes ved \[V\prime(t)=2.\]

Steg 3 - Løs numerisk

De to løsningene er omtrent \[t_1=46,16\text{ s},\qquad t_2=92,25\text{ s}.\]

Steg 4 - Undersok intervallet

Mellom løsningene ligger den deriverte over 2, fordi maksimum ved 69,2 s er omtrent 2,67.

Steg 5 - Finn varigheten

\[t_2-t_1\approx92,25-46,16=46,09\text{ s}.\]

Steg 6 - Konklusjon

Farten øker med mer enn \(2\text{ m/s}^2\) i omtrent 46,1 sekunder.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from scipy.optimize import brentq
C = 223.4774387576481
a = 27.32722297785643
k = 0.04780026364436009

def acceleration(t):
    return C*a*k*math.exp(-k*t)/(1+a*math.exp(-k*t))**2

t1 = brentq(lambda t: acceleration(t)-2,0,69.2)
t2 = brentq(lambda t: acceleration(t)-2,69.2,200)
print("First boundary t1 =",t1,"seconds")
print("Second boundary t2 =",t2,"seconds")
print("Acceleration at t1 =",acceleration(t1))
print("Acceleration at midpoint =",acceleration((t1+t2)/2))
print("Acceleration at t2 =",acceleration(t2))
print("Duration =",t2-t1,"seconds")
print("Rounded duration =",round(t2-t1,2),"seconds")

Utskrift fra Python:
First boundary t1 = 46.15767103392101 seconds
Second boundary t2 = 92.24672809766767 seconds
Acceleration at t1 = 2.0000000000000004
Acceleration at midpoint = 2.6705701227954783
Acceleration at t2 = 2.000000000000001
Duration = 46.08905706374666 seconds
Rounded duration = 46.09 seconds

Fasit: Fra omtrent \(46,16\) s til \(92,25\) s, altså i omtrent \(46,09\) s.

Hva spør oppgaven om? Vi deriverer posisjonen for å få hastighetsvektoren og setter inn \(t=30\).

Steg 1 - Hastighetsvektoren

\[l\prime(t)=\left(6,\frac53\right)\text{ m/s}.\]

Steg 2 - Banefarten

\[|l\prime(t)|=\sqrt{6^2+(5/3)^2}=\frac{\sqrt{349}}3\text{ m/s}.\]

Steg 3 - Numerisk fart

\[\frac{\sqrt{349}}3\approx6,227\text{ m/s}.\]

Steg 4 - Halvt minutt

Et halvt minutt er 30 sekunder.

Steg 5 - Sett inn t=30

\[l(30)=(6\cdot30+120,\frac53\cdot30+50)=(300,100).\]

Steg 6 - Svar

Banefarten er konstant, og posisjonen etter 30 s er \((300,100)\) meter.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
l = sp.Matrix([6*t+120,sp.Rational(5,3)*t+50])
velocity = l.diff(t)
speed = sp.sqrt(velocity.dot(velocity))
position_30 = l.subs(t,30)
print("l(t) =",tuple(l))
print("Velocity vector =",tuple(velocity),"m/s")
print("Exact speed =",speed,"m/s")
print("Speed decimal =",sp.N(speed,12),"m/s")
print("Position after 30 seconds =",tuple(position_30),"m")

Utskrift fra Python:
l(t) = (6*t + 120, 5*t/3 + 50)
Velocity vector = (6, 5/3) m/s
Exact speed = sqrt(349)/3 m/s
Speed decimal = 6.22718056409 m/s
Position after 30 seconds = (300, 100) m

Fasit: Banefarten er \(\frac{\sqrt{349}}3\approx6,23\text{ m/s}\), og posisjonen er \((300,100)\).

Hva spør oppgaven om? Et treff krever at begge koordinatene er like ved samme t.

Steg 1 - Sammenlikn x-koordinatene

\[6t+120=\frac{13}{2}t+250.\] Dette gir \[t=-260\text{ s}.\]

Steg 2 - Vurder tidsintervallet

Tiden \(-260\) ligger ikke i intervallet \([0,200]\). Allerede dette viser at x-koordinatene aldri er like under bevegelsen.

Steg 3 - Se direkte på forskjellen

Hundens x-koordinat minus skøyteløperens er \[\left(\frac{13}{2}-6\right)t+130=\frac12t+130>0\] for alle \(t\ge0\).

Steg 4 - Kontroll med y-koordinatene

Y-koordinatene ville vært like ved \(t=3525/26\approx135,58\) s, men da er x-koordinatene forskjellige.

Steg 5 - Konklusjon

De er aldri i samme punkt ved samme tidspunkt, så skøyteløperen treffer ikke hunden.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
l = sp.Matrix([6*t+120,sp.Rational(5,3)*t+50])
m = sp.Matrix([sp.Rational(13,2)*t+250,-sp.Rational(9,5)*t+520])
x_solution = sp.solve(sp.Eq(l[0],m[0]),t)
y_solution = sp.solve(sp.Eq(l[1],m[1]),t)
print("Skater position =",tuple(l))
print("Dog position =",tuple(m))
print("Times with equal x-coordinate =",x_solution)
print("Times with equal y-coordinate =",y_solution)
print("Dog x minus skater x =",sp.simplify(m[0]-l[0]))
print("At the y-equality time, x-difference =",sp.simplify((m[0]-l[0]).subs(t,y_solution[0])))
print("Conclusion: no common position at the same time")

Utskrift fra Python:
Skater position = (6*t + 120, 5*t/3 + 50)
Dog position = (13*t/2 + 250, 520 - 9*t/5)
Times with equal x-coordinate = [-260]
Times with equal y-coordinate = [3525/26]
Dog x minus skater x = t/2 + 130
At the y-equality time, x-difference = 10285/52
Conclusion: no common position at the same time

Fasit: Skøyteløperen og hunden kolliderer ikke.

Hva spør oppgaven om? Vi finner skjaringen mellom hundens videre bane og strålen fra skøyteløperens posisjon i den opprinnelige retningen.

Steg 1 - Posisjoner ved t=60

\[l(60)=(480,150),\qquad m(60)=(640,412).\]

Steg 2 - Behold retningen

Den opprinnelige retningsvektoren er \((6,5/3)\), som er parallell med \((18,5)\). La skøyteløperens nye posisjon etter \(\tau\) sekunder være \[(480,150)+\lambda(18,5).\]

Steg 3 - Hundens videre posisjon

\[(640,412)+\tau\left(\frac{13}{2},-\frac95\right).\]

Steg 4 - Løs likningssystemet

Koordinatlikningene gir \[\lambda=\frac{1810}{59},\qquad \tau=\frac{3560}{59}\text{ s}.\]

Steg 5 - Finn tilbakelagt lengde

Skøyteløperens forflytning har lengde \[\lambda\sqrt{18^2+5^2}=\lambda\sqrt{349}.\]

Steg 6 - Beregn banefarten

\[v=\frac{\lambda\sqrt{349}}{\tau}=\frac{181\sqrt{349}}{356}\approx9,498\text{ m/s}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
lam,tau = sp.symbols("lam tau", real=True)
L60 = sp.Matrix([480,150])
M60 = sp.Matrix([640,412])
direction = sp.Matrix([18,5])
dog_velocity = sp.Matrix([sp.Rational(13,2),-sp.Rational(9,5)])
solution = sp.solve(L60+lam*direction-(M60+tau*dog_velocity),(lam,tau),dict=True)[0]
lam_value = solution[lam]
tau_value = solution[tau]
speed = sp.simplify(lam_value*sp.sqrt(direction.dot(direction))/tau_value)
meeting = sp.simplify(L60+lam_value*direction)
print("L(60) =",tuple(L60))
print("M(60) =",tuple(M60))
print("lambda =",lam_value)
print("tau =",tau_value,"seconds")
print("Meeting point =",tuple(meeting))
print("Exact new speed =",speed,"m/s")
print("New speed decimal =",sp.N(speed,12),"m/s")

Utskrift fra Python:
L(60) = (480, 150)
M(60) = (640, 412)
lambda = 1810/59
tau = 3560/59 seconds
Meeting point = (60900/59, 17900/59)
Exact new speed = 181*sqrt(349)/356 m/s
New speed decimal = 9.49819956826 m/s

Fasit: Den nye konstante banefarten må være omtrent \(9,50\text{ m/s}\).

Hva spør oppgaven om? Vi leser av horisontal og vertikal avstand mellom punktene.

Steg 1 - Skriv koordinatene

\[A=(a,f(a)),\quad B=(5,f(a)),\quad C=(5,200),\quad D=(a,200).\]

Steg 2 - Horisontal side

AB er forskjellen mellom x-koordinatene: \[AB=5-a.\]

Steg 3 - Vertikal side

AD er forskjellen mellom y-koordinatene: \[AD=200-f(a).\]

Steg 4 - Sett inn funksjonsuttrykket

\[AD=200-100\cdot0,8^a.\]

Steg 5 - Fortegn

For \(0\le a\le5\) er begge lengdene ikke-negative.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a = sp.symbols("a", real=True)
f_a = 100*sp.Rational(4,5)**a
A = sp.Matrix([a,f_a])
B = sp.Matrix([5,f_a])
D = sp.Matrix([a,200])
AB = sp.simplify(B[0]-A[0])
AD = sp.simplify(D[1]-A[1])
print("A =",tuple(A))
print("B =",tuple(B))
print("D =",tuple(D))
print("AB =",AB)
print("AD =",AD)
print("Area expression =",sp.expand(AB*AD))

Utskrift fra Python:
A = (a, 100*(4/5)**a)
B = (5, 100*(4/5)**a)
D = (a, 200)
AB = 5 - a
AD = -100*4**a/5**a + 200
Area expression = 100*4**a*a/5**a - 500*4**a/5**a - 200*a + 1000

Fasit: \(AB=5-a\) og \(AD=200-100\cdot0,8^a\).

Hva spør oppgaven om? Vi lager arealfunksjonen, deriverer og sammenlikner kritisk punkt med endepunktene.

Steg 1 - Arealfunksjonen

\[A(a)=(5-a)\left(200-100\cdot0,8^a\right),\qquad 0\le a\le5.\]

Steg 2 - Deriver produktet

\[A\prime(a)=-\left(200-100\cdot0,8^a\right)+(5-a)\left(-100\cdot0,8^a\ln0,8\right).\]

Steg 3 - Løs A-prime lik null

Likningen har den relevante numeriske løsningen \[a\approx0,170666.\]

Steg 4 - Beregn arealet

\[A(0,170666)\approx500,979.\]

Steg 5 - Kontroller endepunktene

\[A(0)=500,\qquad A(5)=0.\] Det indre kritiske punktet gir størst verdi.

Steg 6 - Konklusjon

Det maksimale arealet er omtrent \(501\) kvadratenheter.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from scipy.optimize import brentq

def area(a):
    return (5-a)*(200-100*0.8**a)

def area_prime(a):
    return -(200-100*0.8**a)+(5-a)*(-100*0.8**a*math.log(0.8))

a_star = brentq(area_prime,0,1)
print("A(a) = (5-a)*(200-100*0.8**a)")
print("Critical a =",a_star)
print("A'(a*) =",area_prime(a_star))
print("A(a*) =",area(a_star))
print("A(0) =",area(0))
print("A(5) =",area(5))
print("Maximum area rounded =",round(area(a_star),3))

Utskrift fra Python:
A(a) = (5-a)*(200-100*0.8**a)
Critical a = 0.17066571014717044
A'(a*) = 1.4210854715202004e-14
A(a*) = 500.97916156327324
A(0) = 500.0
A(5) = 0.0
Maximum area rounded = 500.979

Fasit: Største areal er omtrent \(500,98\), oppnådd ved \(a\approx0,171\).

Hva spør oppgaven om? Støtteordningen gjelder bare når spotprisen overstiger 75 øre/kWh.

Steg 1 - To prisområder

For \(x\le75\) gis ingen støtte, så husholdningen betaler hele spotprisen.

Steg 2 - Over terskelen

For \(x>75\) dekker staten 90 prosent av den delen av prisen som ligger over 75 øre/kWh.

Steg 3 - Derfor delt forskrift

Regelen for hva husholdningen betaler endres ved \(x=75\), så ett enkelt lineært uttrykk gjelder ikke på begge sider.

Steg 4 - Kontinuitet ved terskelen

Idet spotprisen passerer 75, er den støtteberettigede overskytende delen 0. Det skal derfor ikke oppstå et plutselig hopp i kundens pris.

Steg 5 - Matematisk vilkår

Venstre og høyre funksjonsverdi ved 75 må være like. Begge blir 75.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
left = x
right = x-sp.Rational(9,10)*(x-75)
left_at_75 = left.subs(x,75)
right_at_75 = sp.simplify(right.subs(x,75))
print("No-support branch =",left)
print("Support branch before simplification =",right)
print("Support branch simplified =",sp.expand(right))
print("Left value at 75 =",left_at_75)
print("Right value at 75 =",right_at_75)
print("Difference at threshold =",sp.simplify(left_at_75-right_at_75))
print("Conclusion: continuous at x = 75")

Utskrift fra Python:
No-support branch = x
Support branch before simplification = x/10 + 135/2
Support branch simplified = x/10 + 135/2
Left value at 75 = 75
Right value at 75 = 75
Difference at threshold = 0
Conclusion: continuous at x = 75

Fasit: Funksjonen er delt fordi støtteregelen endres ved 75 øre/kWh, og den er kontinuerlig fordi støtten starter uten prissteg.

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker betalingen under og over terskelen 75 øre/kWh.

Steg 1 - Ingen støtte

For \(0\le x\le75\) betaler husholdningen \[f(x)=x.\]

Steg 2 - Finn støttebeløpet

For \(x>75\) er støtten \[0,9(x-75).\]

Steg 3 - Trekk fra støtten

\[f(x)=x-0,9(x-75).\]

Steg 4 - Forenkle

\[x-0,9x+67,5=0,1x+67,5.\]

Steg 5 - Skriv delt forskrift

\[f(x)=\begin{cases}x,&0\le x\le75,\\0,1x+67,5,&x>75.\end{cases}\]

Steg 6 - Kontroller terskelen

Begge uttrykk gir 75 når \(x=75\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", nonnegative=True)
support = sp.Rational(9,10)*(x-75)
price_above = sp.expand(x-support)
print("Support above threshold =",support)
print("Household price above threshold =",price_above)
print("Piecewise function:")
print("f(x) = x, for 0 <= x <= 75")
print("f(x) =",price_above,", for x > 75")
for value in [50,75,100,200]:
    result = value if value <= 75 else sp.Rational(1,10)*value+sp.Rational(135,2)
    print("x =",value,"f(x) =",result)
print("Continuity check at 75:",75,price_above.subs(x,75))

Utskrift fra Python:
Support above threshold = 9*x/10 - 135/2
Household price above threshold = x/10 + 135/2
Piecewise function:
f(x) = x, for 0 <= x <= 75
f(x) = x/10 + 135/2 , for x > 75
x = 50 f(x) = 50
x = 75 f(x) = 75
x = 100 f(x) = 155/2
x = 200 f(x) = 175/2
Continuity check at 75: 75 75

Fasit: \[f(x)=\begin{cases}x,&0\le x\le75,\\0,1x+67,5,&x>75.\end{cases}\]

Hva spør oppgaven om? Vi lar tangeringspunktet ha x-koordinat a og krever at tangentlikningen passerer \((0,0)\).

Steg 1 - Punkt og stigningstall

Tangeringspunktet er \(T=(a,e^{2a})\). Den deriverte er \[f\prime(x)=2e^{2x},\] så stigningstallet i T er \(2e^{2a}\).

Steg 2 - Skriv tangentlikningen

\[y-e^{2a}=2e^{2a}(x-a).\]

Steg 3 - Sett inn origo

\[0-e^{2a}=2e^{2a}(0-a).\]

Steg 4 - Del på den positive faktoren

Siden \(e^{2a}>0\), kan vi dele på den: \[-1=-2a.\]

Steg 5 - Finn a

\[a=\frac12.\]

Steg 6 - Finn y-koordinaten

\[f(1/2)=e^{1}=e.\] Tangeringspunktet er derfor \((1/2,e)\). Tangenten blir \(y=2ex\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
a,x = sp.symbols("a x", real=True)
f_a = sp.exp(2*a)
slope = 2*sp.exp(2*a)
tangent = sp.expand(f_a+slope*(x-a))
condition = sp.simplify(tangent.subs(x,0))
solution = sp.solve(sp.Eq(condition,0),a)[0]
point = (solution,sp.simplify(sp.exp(2*solution)))
final_tangent = sp.simplify(tangent.subs(a,solution))
print("Generic tangent =",tangent)
print("Tangent value at x=0 =",condition)
print("Equation through origin:",sp.Eq(condition,0))
print("a =",solution)
print("Tangency point =",point)
print("Final tangent line y =",final_tangent)
print("Check at origin =",final_tangent.subs(x,0))

Utskrift fra Python:
Generic tangent = -2*a*exp(2*a) + 2*x*exp(2*a) + exp(2*a)
Tangent value at x=0 = (1 - 2*a)*exp(2*a)
Equation through origin: Eq((1 - 2*a)*exp(2*a), 0)
a = 1/2
Tangency point = (1/2, E)
Final tangent line y = 2*E*x
Check at origin = 0

Fasit: Tangeringspunktet er \(\left(\frac12,e\right)\).