Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd og bruke kjerneregelen på eksponentialleddet.
Steg 1 - Del opp funksjonen
Funksjonen består av eksponentialleddet \(e^{-2x}\), potensleddet \(\frac15x^5\) og konstanten \(-2\pi\).
Steg 2 - Deriver eksponentialleddet
Med kjerneregelen får vi \[\frac{d}{dx}e^{-2x}=e^{-2x}\cdot(-2)=-2e^{-2x}.\]
Steg 3 - Deriver potensleddet
Potensregelen gir \[\frac{d}{dx}\left(\frac15x^5\right)=\frac15\cdot5x^4=x^4.\]
Steg 4 - Deriver konstanten
Konstantleddet har derivert lik null: \[\frac{d}{dx}(-2\pi)=0.\]
Steg 5 - Sett sammen
Dermed blir \[f^{\prime}(x)=-2e^{-2x}+x^4.\]
Steg 6 - Rimelighetskontroll
Når \(x\) er stor og positiv, dominerer \(x^4\), mens eksponentialleddet blir svært lite. Dette stemmer med uttrykket.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Derivative[exp(-2x)+(1/5)x^5-2*pi]
\(-2e^{-2x}+x^4\)
Tolkning: CAS bruker kjerneregelen og potensregelen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)f=sp.exp(-2*x)+sp.Rational(1,5)*x**5-2*sp.pif_prime=sp.diff(f,x)print("f(x) =",f)print("Derivative of exp(-2x) =",sp.diff(sp.exp(-2*x),x))print("Derivative of x^5/5 =",sp.diff(sp.Rational(1,5)*x**5,x))print("Derivative of -2*pi =",sp.diff(-2*sp.pi,x))print("f'(x) =",f_prime)print("Check at x=1:",sp.simplify(f_prime.subs(x,1)))
Utskrift fra Python:
f(x) = x**5/5 - 2*pi + exp(-2*x)
Derivative of exp(-2x) = -2*exp(-2*x)
Derivative of x^5/5 = x**4
Derivative of -2*pi = 0
f'(x) = x**4 - 2*exp(-2*x)
Check at x=1: 1 - 2*exp(-2)
Fasit: \(f^{\prime}(x)=x^4-2e^{-2x}\).
Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(-2\) i eksponentialleddet, eller å la konstanten \(-2\pi\) stå igjen.
Sensorpunkt: Sensor forventer korrekt kjerneregel, korrekt potensregel og et ferdig forenklet uttrykk.
Del 1 - Oppgave 2aNullpunkt for produktfunksjon
Oppgave 2a
Oppgave: En funksjon er gitt ved \[g(x)=\frac12e^x(2x-1)^2.\] Bestem eventuelle nullpunkter til \(g\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilke faktorer som kan bli null.
Steg 1 - Se på konstantfaktoren
Faktoren \(\frac12\) er aldri null.
Steg 2 - Se på eksponentialfaktoren
For alle reelle \(x\) er \(e^x>0\). Denne faktoren kan derfor ikke gi nullpunkt.
Steg 3 - Sett polynomfaktoren lik null
Det eneste mulige nullpunktet kommer fra \[(2x-1)^2=0.\]
Steg 4 - Løs likningen
Først får vi \(2x-1=0\), og dermed \[x=\frac12.\]
Steg 5 - Finn koordinatet
Når \(x=\frac12\), er \(g(x)=0\). Nullpunktet er derfor \[\left(\frac12,0\right).\]
Steg 6 - Multiplisitet
Faktoren er kvadrert, så nullpunktet har multiplisitet 2. Grafen tangerer derfor x-aksen i punktet.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[(1/2) exp(x) (2x-1)^2=0,x]
\(x=1/2\)
Tolkning: Eksponentialfaktoren er positiv; den kvadrerte faktoren bestemmer nullpunktet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)g=sp.Rational(1,2)*sp.exp(x)*(2*x-1)**2solutions=sp.solve(sp.Eq(g,0),x)print("g(x) =",g)print("exp(x) is positive for real x")print("Equation from the polynomial factor: 2*x - 1 = 0")print("Solutions =",solutions)forvalueinsolutions:print("g(",value,") =",sp.simplify(g.subs(x,value)))print("Multiplicity of the zero from (2*x-1)^2 = 2")
Utskrift fra Python:
g(x) = (2*x - 1)**2*exp(x)/2
exp(x) is positive for real x
Equation from the polynomial factor: 2*x - 1 = 0
Solutions = [1/2]
g( 1/2 ) = 0
Multiplicity of the zero from (2*x-1)^2 = 2
Fasit: Grafen har ett nullpunkt: \(\left(\frac12,0\right)\).
Vanlig feil: Å sette \(e^x=0\). Eksponentialfunksjonen er alltid positiv for reelle \(x\).
Sensorpunkt: Vis faktorargumentet og oppgi nullpunktet som et koordinat.
Del 1 - Oppgave 2bProduktregel og faktorisering
Oppgave 2b
Oppgave: Vis at \[g^{\prime}(x)=\frac12e^x(2x-1)(2x+3).\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere produktet og faktorisere resultatet slik oppgaven krever.
Steg 1 - Identifiser faktorene
Skriv \(g(x)=\frac12\,u(x)v(x)\), der \(u(x)=e^x\) og \(v(x)=(2x-1)^2\).
Steg 2 - Deriver hver faktor
Vi har \(u^{\prime}(x)=e^x\). Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=2(2x-1)\cdot2=4(2x-1).\]
Tolkning: Fortegnet til den deriverte avgjør typen ekstremalpunkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)g=sp.Rational(1,2)*sp.exp(x)*(2*x-1)**2g_prime=sp.factor(sp.diff(g,x))critical=sp.solve(sp.Eq(g_prime,0),x)print("g'(x) =",g_prime)print("Critical x-values =",critical)forvalueincritical:y_value=sp.simplify(g.subs(x,value))second=sp.simplify(sp.diff(g,x,2).subs(x,value))kind="minimum"ifsecond>0else"maximum"print("x =",value,"g(x) =",y_value,"g''(x) =",second,"=>",kind)print("Numerical top value =",sp.N(8*sp.exp(-sp.Rational(3,2)),12))
Utskrift fra Python:
g'(x) = (2*x - 1)*(2*x + 3)*exp(x)/2
Critical x-values = [-3/2, 1/2]
x = -3/2 g(x) = 8*exp(-3/2) g''(x) = -4*exp(-3/2) => maximum
x = 1/2 g(x) = 0 g''(x) = 4*exp(1/2) => minimum
Numerical top value = 1.78504128119
For \(x\ne4\) får vi \[\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac1{\sqrt{x}+2}.\]
Steg 5 - Ta grensen
Nå kan vi sette inn \(x=4\): \[\frac1{\sqrt4+2}=\frac14.\]
Steg 6 - Tolkning
Grensen er også den deriverte av \(\sqrt{x}\) i \(x=4\), siden uttrykket er en differansekvotient.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Limit[(sqrt(x)-2)/(x-4),x,4]
\(1/4\)
Tolkning: Rasjonalisering fjerner den ubestemte formen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",positive=True)expr=(sp.sqrt(x)-2)/(x-4)rationalized=sp.simplify(expr)limit_value=sp.limit(expr,x,4)print("Original expression =",expr)print("Direct substitution gives 0/0")print("After rationalization =",rationalized)print("Limit =",limit_value)print("Derivative of sqrt(x) at 4 =",sp.diff(sp.sqrt(x),x).subs(x,4))forvaluein[sp.Rational(399,100),sp.Rational(401,100)]:print("x =",value,"value =",sp.N(expr.subs(x,value),10))
Utskrift fra Python:
Original expression = (sqrt(x) - 2)/(x - 4)
Direct substitution gives 0/0
After rationalization = (sqrt(x) - 2)/(x - 4)
Limit = 1/4
Derivative of sqrt(x) at 4 = 1/4
x = 399/100 value = 0.2501564456
x = 401/100 value = 0.2498439450
Fasit: \(\displaystyle\frac14\).
Vanlig feil: Å forkorte \(\sqrt{x}-2\) direkte mot \(x-4\) uten først å bruke konjugatet.
Sensorpunkt: Vis konjugatmultiplikasjonen og den lovlige forkortingen for \(x
e4\).
Del 1 - Oppgave 5aKontinuitet for delt funksjon
Oppgave 5a
Oppgave: \[f(x)=\begin{cases}x^2+2,&x<0,\2e^x,&x\ge0.\end{cases}\] Avgjør om \(f\) er kontinuerlig i \(x=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne venstregrensen, høyregrensen og funksjonsverdien.
Steg 1 - Venstregrensen
For \(x<0\) gjelder \(f(x)=x^2+2\). Derfor er \[\lim_{x\to0^-}f(x)=0^2+2=2.\]
Steg 2 - Høyregrensen
For \(x\ge0\) gjelder \(f(x)=2e^x\). Dermed er \[\lim_{x\to0^+}f(x)=2e^0=2.\]
Steg 3 - Funksjonsverdien
Punktet \(x=0\) tilhører den andre grenen, så \[f(0)=2e^0=2.\]
Steg 4 - Kontinuitetskriteriet
En funksjon er kontinuerlig i 0 når begge ensidige grenser finnes, er like og er lik \(f(0)\).
Steg 5 - Sammenlikn
Her er \[\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=2.\]
Utskrift fra Python:
Left branch = x**2 + 2
Right branch = 2*exp(x)
Left-hand limit = 2
Right-hand limit = 2
f(0) = 2
Continuous at 0 = True
Fasit: Ja. \(f\) er kontinuerlig i \(x=0\), fordi begge ensidige grenser og \(f(0)\) er lik 2.
Vanlig feil: Å kontrollere bare at de to funksjonsuttrykkene gir samme verdi, uten å formulere kontinuitetskriteriet.
Sensorpunkt: Begge ensidige grenser og funksjonsverdien skal oppgis eksplisitt.
Del 1 - Oppgave 5bDeriverbarhet for delt funksjon
Oppgave 5b
Oppgave: Avgjør om den samme funksjonen er deriverbar i \(x=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne venstre- og høyrederivert. Kontinuitet alene er ikke nok.
Steg 1 - Deriver venstre gren
For \(x<0\) er \[f^{\prime}(x)=2x.\] Venstrederivert i 0 er derfor \[f_-^{\prime}(0)=0.\]
Steg 2 - Deriver høyre gren
For \(x>0\) er \[f^{\prime}(x)=2e^x.\] Høyrederivert i 0 er \[f_+^{\prime}(0)=2e^0=2.\]
Steg 3 - Sammenlikn
Vi får \[f_-^{\prime}(0)=0\ne2=f_+^{\prime}(0).\]
Steg 4 - Bruk kriteriet
En funksjon er deriverbar i et skjøtepunkt bare dersom venstre- og høyrederivert er like.
Steg 5 - Geometrisk betydning
Grafen er sammenhengende, men har et knekkpunkt i \((0,2)\). Tangenthelningen skifter brått fra 0 til 2.
Steg 6 - Konklusjon
Funksjonen er ikke deriverbar i \(x=0\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Derivative[x^2+2](0), Derivative[2 exp(x)](0)
Venstrederivert 0, høyrederivert 2
Tolkning: Ulike ensidige deriverte betyr at den deriverte ikke finnes.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)left_expr=x**2+2right_expr=2*sp.exp(x)left_derivative=sp.diff(left_expr,x)right_derivative=sp.diff(right_expr,x)left_at_zero=left_derivative.subs(x,0)right_at_zero=right_derivative.subs(x,0)print("Left derivative expression =",left_derivative)print("Right derivative expression =",right_derivative)print("Left derivative at 0 =",left_at_zero)print("Right derivative at 0 =",right_at_zero)print("Derivatives agree =",left_at_zero==right_at_zero)print("Conclusion: f is not differentiable at x=0")
Utskrift fra Python:
Left derivative expression = 2*x
Right derivative expression = 2*exp(x)
Left derivative at 0 = 0
Right derivative at 0 = 2
Derivatives agree = False
Conclusion: f is not differentiable at x=0
Fasit: Nei. \(f_-^{\prime}(0)=0\), mens \(f_+^{\prime}(0)=2\).
Vanlig feil: Å konkludere med deriverbarhet bare fordi funksjonen er kontinuerlig.
Sensorpunkt: Sensor forventer beregning av begge ensidige deriverte og en tydelig konklusjon.
Del 1 - Oppgave 6aAvstand mellom punkter
Oppgave 6a
Oppgave: Jelena er i \(J(0,0)\), Nils i \(N(-1,2)\) og Ahmad i \(A(1,1)\). Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke avstandsformelen, eller lengden av vektoren fra N til A.
Steg 1 - Finn vektoren
\[\overrightarrow{NA}=A-N=(1-(-1),1-2)=(2,-1).\]
Steg 2 - Bruk lengdeformelen
Lengden av \((u,v)\) er \(\sqrt{u^2+v^2}\).
Steg 3 - Sett inn komponentene
\[|\overrightarrow{NA}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}.\]
Steg 4 - Regn ut
\[|\overrightarrow{NA}|=\sqrt{4+1}=\sqrt5.\]
Steg 5 - Enhet
Aksene er målt i meter, så avstanden er \(\sqrt5\) meter.
Steg 6 - Rimelighet
Punktene skiller 2 meter horisontalt og 1 meter vertikalt, så en diagonal på litt over 2 meter er rimelig.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Distance[(-1,2),(1,1)]
\(\sqrt5\)
Tolkning: GeoGebra beregner den euklidske avstanden.
Utskrift fra Python:
N = (-1, 2)
A = (1, 1)
Vector NA = (2, -1)
Squared distance = 5
Exact distance = sqrt(5)
Decimal distance = 2.236067978 meters
Fasit: Avstanden er \(\sqrt5\) meter.
Vanlig feil: Å summere koordinatforskjellene uten å kvadrere dem.
Sensorpunkt: Vektoren, lengdeformelen og enheten må komme fram.
Del 1 - Oppgave 6bParallelle vektorer
Oppgave 6b
Oppgave: En basketball ligger i punktet \((-1,a)\), der \(a\in\mathbb R\). Vektoren fra Jelena til ballen er parallell med vektoren fra Nils til Ahmad. Bestem \(a\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at de to vektorene er skalarmultipler av hverandre.
Steg 1 - Vektor til ballen
Fra \(J(0,0)\) til \((-1,a)\) er vektoren \[\vec p=(-1,a).\]
Steg 2 - Vektor fra Nils til Ahmad
\[\overrightarrow{NA}=(2,-1).\]
Steg 3 - Sett opp parallellitetsvilkåret
Det må finnes et tall \(k\) slik at \[(-1,a)=k(2,-1).\]
Steg 4 - Bruk første komponent
\[-1=2k\Rightarrow k=-\frac12.\]
Steg 5 - Bruk andre komponent
\[a=k(-1)=\left(-\frac12\right)(-1)=\frac12.\]
Steg 6 - Kontroll
\[(-1,\tfrac12)=-\frac12(2,-1),\] så vektorene er faktisk parallelle og motsatt rettet.
importsympyasspa,k=sp.symbols("a k",real=True)vector_ball=sp.Matrix([-1,a])vector_NA=sp.Matrix([2,-1])solutions=sp.solve([sp.Eq(-1,2*k),sp.Eq(a,-k)],[a,k],dict=True)determinant=sp.det(sp.Matrix.hstack(vector_ball,vector_NA))print("Vector from J to ball =",tuple(vector_ball))print("Vector from N to A =",tuple(vector_NA))print("Determinant =",determinant)print("Solution from scalar multiple equations =",solutions)value=solutions[0][a]print("a =",value)print("Vector check =",tuple(vector_ball.subs(a,value)),"= -1/2 *",tuple(vector_NA))
Utskrift fra Python:
Vector from J to ball = (-1, a)
Vector from N to A = (2, -1)
Determinant = 1 - 2*a
Solution from scalar multiple equations = [{a: 1/2, k: -1/2}]
a = 1/2
Vector check = (-1, 1/2) = -1/2 * (2, -1)
Fasit: \(a=\frac12\).
Vanlig feil: Å sette de to vektorene lik hverandre. Parallelle vektorer trenger bare å være skalarmultipler.
Sensorpunkt: Vis enten skalarmultiplikasjon eller determinant lik null, og kontroller begge komponenter.
Del 1 - Oppgave 6cSirkel, ortogonalitet og nærmeste løsning
Oppgave 6c
Oppgave: Nils flytter seg til et punkt \(M\). Avstanden \(JM\) er \(\sqrt{10}\) meter, \(\angle MAJ=90^{\circ}\), og \(M\) skal være det nærmeste mulige punktet til Nils sin opprinnelige posisjon. Bestem koordinatene til \(M\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kombinere en sirkelbetingelse, et skalarprodukt lik null og til slutt velge den nærmeste av to løsninger.
Steg 1 - Sett M=(x,y)
Avstanden fra \(J(0,0)\) skal være \(\sqrt{10}\), så \[x^2+y^2=10.\]
Steg 2 - Skriv vektorene i vinkelen
Vinkelen \(\angle MAJ\) har toppunkt A. Derfor bruker vi \[\overrightarrow{AM}=(x-1,y-1),\qquad \overrightarrow{AJ}=(-1,-1).\]
Steg 3 - Bruk rettvinkelvilkåret
\[\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AJ}=0\] gir \[-(x-1)-(y-1)=0\Rightarrow x+y=2.\]
Steg 4 - Løs systemet
Sett \(y=2-x\) inn i sirkellikningen: \[x^2+(2-x)^2=10\Rightarrow x^2-2x-3=0.\]
Steg 5 - Finn de to punktene
Likningen faktoriseres til \((x-3)(x+1)=0\). Dermed får vi \[M_1=(3,-1),\qquad M_2=(-1,3).\]
Steg 6 - Velg nærmeste punkt
Fra Nils sin opprinnelige posisjon \(N(-1,2)\) er avstanden til \((-1,3)\) lik 1, mens avstanden til \((3,-1)\) er 5. Det nærmeste punktet er derfor \[M=(-1,3).\]
De to mulige punktene på sirkelen og hvorfor M=(-1,3) er nærmest den opprinnelige posisjonen N.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[{x^2+y^2=10,(x-1,y-1)·(-1,-1)=0},{x,y}]
\((3,-1)\) og \((-1,3)\); nærmest N er \((-1,3)\)
Tolkning: Begge geometriske løsninger finnes, men avstandskravet velger én.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx,y=sp.symbols("x y",real=True)J=sp.Matrix([0,0])A=sp.Matrix([1,1])N=sp.Matrix([-1,2])M=sp.Matrix([x,y])circle_eq=sp.Eq(x**2+y**2,10)right_angle_eq=sp.Eq((M-A).dot(J-A),0)solutions=sp.solve([circle_eq,right_angle_eq],[x,y],dict=True)print("Circle equation =",circle_eq)print("Right-angle equation =",right_angle_eq)print("Candidate points =",solutions)forsolinsolutions:point=sp.Matrix([sol[x],sol[y]])distance_from_N=sp.sqrt((point-N).dot(point-N))dot_check=sp.simplify((point-A).dot(J-A))print("Point",tuple(point),"distance from N =",distance_from_N,"dot check =",dot_check)print("Nearest point M = (-1, 3)")
Utskrift fra Python:
Circle equation = Eq(x**2 + y**2, 10)
Right-angle equation = Eq(-x - y + 2, 0)
Candidate points = [{x: -1, y: 3}, {x: 3, y: -1}]
Point (-1, 3) distance from N = 1 dot check = 0
Point (3, -1) distance from N = 5 dot check = 0
Nearest point M = (-1, 3)
Fasit: \(M=(-1,3)\).
Vanlig feil: Å bruke vektorene \(\overrightarrow{MA}\) og \(\overrightarrow{AJ}\) med ulike startpunkter, eller å glemme å velge den nærmeste av de to løsningene.
Sensorpunkt: Sensor forventer både sirkelbetingelsen, skalarproduktet og avstandssammenlikningen.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aLogistisk modell og likningsløsning
Oppgave 1a
Oppgave: PowBat bruker modellen \[S(t)=\frac{2\,500\,000}{1+2500e^{-0,08t}}.\] Hvor lang tid tar det før halvparten av de 3 millioner husstandene i byen har batteriet?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Halvparten av byens husstander er 1,5 millioner. Vi skal løse \(S(t)=1\,500\,000\).
Steg 1 - Sett opp måltallet
Halvparten av 3 millioner er \[0,5\cdot3\,000\,000=1\,500\,000.\]
\[-0,08t=\ln\left(\frac1{3750}\right)=-\ln(3750).\] Dermed \[t=\frac{\ln(3750)}{0,08}.\]
Steg 6 - Beregn og tolk
\[t\approx102,87.\] Ifølge modellen skjer dette etter omtrent 103 uker.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[2500000/(1+2500 exp(-0.08t))=1500000,t]
\(t=\ln(3750)/0,08\approx102,87\)
Tolkning: Likningen gir tidspunktet når S passerer 1,5 millioner.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)S=sp.Integer(2500000)/(1+2500*sp.exp(-sp.Rational(8,100)*t))target=sp.Integer(1500000)solution=sp.solve(sp.Eq(S,target),t)[0]print("S(t) =",S)print("Target households =",target)print("Exact solution t =",sp.simplify(solution))print("t in weeks =",sp.N(solution,12))print("S(t) at the solution =",sp.simplify(S.subs(t,solution)))print("Rounded interpretation: about",round(float(solution)),"weeks")
Utskrift fra Python:
S(t) = 2500000/(1 + 2500*exp(-2*t/25))
Target households = 1500000
Exact solution t = log(193337109521962702274322509765625000000000000*sqrt(6))
t in weeks = 102.868888987
S(t) at the solution = 1500000
Rounded interpretation: about 103 weeks
Fasit: Det tar \(\frac{\ln(3750)}{0,08}\approx102,87\) uker, altså omtrent 103 uker.
Vanlig feil: Å bruke halvparten av modellens bæreevne 2,5 millioner. Oppgaven spør om halvparten av byens 3 millioner husstander.
Sensorpunkt: Sensor forventer riktig måltall, dokumentert likningsløsning og en praktisk avrunding.
Del 2 - Oppgave 1bDerivert av logistisk modell
Oppgave 1b
Oppgave: Bestem \(S^{\prime}(52)\), og gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere modellen og tolke den momentane vekstfarten i uke 52.
Et digitalt verktøy gir \[S^{\prime}(52)\approx4872,76.\]
Steg 5 - Enhet
\(S\) måles i husstander og \(t\) i uker. Derfor måles den deriverte i husstander per uke.
Steg 6 - Praktisk tolkning
Rundt uke 52 øker antallet husstander med batteriet med omtrent 4 873 per uke, ifølge modellen. Dette er en momentan vekstfart, ikke nødvendigvis den eksakte økningen gjennom hele ukeintervallet.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Derivative[2500000/(1+2500 exp(-0.08t))](52)
\(S^{\prime}(52)\approx4872,76\)
Tolkning: Verdien er modellens momentane salgsfart i uke 52.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)S=sp.Integer(2500000)/(1+2500*sp.exp(-sp.Rational(8,100)*t))S_prime=sp.simplify(sp.diff(S,t))value=sp.simplify(S_prime.subs(t,52))print("S(t) =",S)print("S'(t) =",S_prime)print("Exact S'(52) =",value)print("Numerical S'(52) =",sp.N(value,15))print("S(52) =",sp.N(S.subs(t,52),12),"households")print("Interpretation: households per week near week 52")
Utskrift fra Python:
L = 1500000
A from F(0)=500 = 2999
k = log(2999)/60
k decimal = 0.133433902979150
F(t) = 1500000/(1 + 2999*exp(-t*log(2999)/60))
F(0) = 500
F(60) = 750000
F'(60) = 6250*log(2999)
F'(60) decimal = 50037.7136172
Fasit: \(\displaystyle F(t)=\frac{1\,500\,000}{1+2999e^{-(\ln2999/60)t}}\), eller omtrent \(\displaystyle\frac{1\,500\,000}{1+2999e^{-0,133434t}}\).
Vanlig feil: Å sette vekstfarten størst når funksjonen når sluttverdien. I en logistisk modell er veksten størst ved halvparten av bæreevnen.
Sensorpunkt: Alle tre parameterne må knyttes eksplisitt til hver sin opplysning i teksten.
Del 2 - Oppgave 2aStørste intervall for omvendt funksjon
Oppgave 2a
Oppgave: \[f(x)=\frac13x^3-2x^2-1\] har definisjonsmengde \(I=[a,b]\), der \(2\in I\). Bestem det største intervallet \(I\) slik at \(f\) har en omvendt funksjon \(g\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne det største intervallet som inneholder 2 og der \(f\) er én-til-én.
Steg 1 - Deriver funksjonen
\[f^{\prime}(x)=x^2-4x=x(x-4).\]
Steg 2 - Finn kritiske punkter
\[f^{\prime}(x)=0\] når \(x=0\) eller \(x=4\). Disse punktene deler tallinjen i monotoniintervaller.
Steg 3 - Fortegn
For \(x<0\) er \(f^{\prime}>0\); for \(0<x<4\) er \(f^{\prime}<0\); og for \(x>4\) er \(f^{\prime}>0\).
Steg 4 - Velg intervallet som inneholder 2
Tallet 2 ligger i intervallet \([0,4]\), der funksjonen er strengt avtakende og dermed én-til-én.
Steg 5 - Vis at intervallet er størst
Utvider vi mot venstre forbi 0 eller mot høyre forbi 4, snur monotoni-retningen. Da får funksjonen gjentatte funksjonsverdier og mister en-til-én-egenskapen.
Steg 6 - Konklusjon og verdimengde
Det største intervallet er \[I=[0,4].\] På dette intervallet går \(f\) fra \(f(0)=-1\) til \(f(4)=-35/3\), så \(g\) har definisjonsmengde \([-35/3,-1]\).
Utskrift fra Python:
f(3) = -10
Point on inverse graph = (-10, 3)
f'(x) = x**2 - 4*x
f'(3) = -3
g'(-10) = 1/f'(3) = -1/3
Decimal slope = -0.3333333333
Fasit: Stigningstallet er \(-\frac13\).
Vanlig feil: Å beregne \(f^{\prime}(-10)\). For et punkt \((-10,3)\) på den omvendte grafen er prebildet 3.
Sensorpunkt: Koblingen mellom punktet på \(g\), punktet på \(f\) og inversderivasjonsformelen må vises.
Del 2 - Oppgave 2cParallelle tangenter på omvendt graf
Oppgave 2c
Oppgave: Grafen til \(g\) har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i \((-10,3)\). Bestem koordinatene til det andre tangeringspunktet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et annet prebildet \(x\) der \(1/f^{\prime}(x)=-1/3\), og deretter speile punktet over linjen \(y=x\).
Steg 1 - Sett opp likningen
For et punkt \((f(x),x)\) på \(g\) er \[g^{\prime}(f(x))=\frac1{f^{\prime}(x)}.\] Vi krever \[\frac1{x^2-4x}=-\frac13.\]
Steg 2 - Løs for f-prime
Likningen er ekvivalent med \[x^2-4x=-3.\]
Steg 3 - Faktoriser
\[x^2-4x+3=0\Rightarrow(x-1)(x-3)=0.\] Dermed er \(x=1\) eller \(x=3\).
Steg 4 - Velg den andre løsningen
\(x=3\) gir det kjente punktet. Den andre prebildet er \(x=1\).
Steg 5 - Finn funksjonsverdien
\[f(1)=\frac13-2-1=-\frac83.\]
Steg 6 - Bytt koordinater for den omvendte grafen
Punktet \((1,-8/3)\) på \(f\) svarer til punktet \[\left(-\frac83,1\right)\] på \(g\).
Grafene til f og g=f^{-1}. De markerte punktene på g har begge tangentstigning -1/3.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[1/(x^2-4x)=-1/3,x]
\(x=1\) og \(x=3\); nytt punkt på g er \((-8/3,1)\)
Tolkning: Løsningen x=3 er kjent; x=1 gir det andre tangeringspunktet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)f=sp.Rational(1,3)*x**3-2*x**2-1f_prime=sp.diff(f,x)preimages=sp.solve(sp.Eq(1/f_prime,-sp.Rational(1,3)),x)print("Equation: 1/f'(x) = -1/3")print("f'(x) =",f_prime)print("Preimages =",preimages)forvalueinpreimages:inverse_point=(sp.simplify(f.subs(x,value)),value)inverse_slope=sp.simplify(1/f_prime.subs(x,value))print("x =",value,"point on g =",inverse_point,"slope =",inverse_slope)print("Other tangent point =",(sp.Rational(-8,3),1))
Utskrift fra Python:
Equation: 1/f'(x) = -1/3
f'(x) = x**2 - 4*x
Preimages = [1, 3]
x = 1 point on g = (-8/3, 1) slope = -1/3
x = 3 point on g = (-10, 3) slope = -1/3
Other tangent point = (-8/3, 1)
Fasit: Det andre tangeringspunktet er \(\left(-\frac83,1\right)\).
Vanlig feil: Å oppgi punktet \((1,-8/3)\), som ligger på \(f\), uten å bytte koordinater for den omvendte funksjonen.
Sensorpunkt: Sensor forventer likningen for samme stigningstall og korrekt koordinatbytte.
Del 2 - Oppgave 3Kontinuitet og deriverbarhet bestemmer polynom
Oppgave 3
Oppgave: Funksjonen er \[f(x)=\begin{cases}-9x-15,&x\le-2,\p(x),&-2<x<1,\\frac{x^2}{2}-x-\frac72,&x\ge1,\end{cases}\] der \(p\) er et tredjegradspolynom. Bestem hele funksjonsuttrykket når \(f\) er kontinuerlig og deriverbar for alle \(x\in\mathbb R\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Et tredjegradspolynom har fire ukjente koeffisienter. Kontinuitet og lik derivert i de to skjøtepunktene gir fire likninger.
Steg 1 - Sett opp det ukjente polynomet
La \[p(x)=ax^3+bx^2+cx+d.\] Da er \[p^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c.\]
Steg 2 - Kontinuitet ved x=-2
Venstre gren gir \(-9(-2)-15=3\). Derfor må \[p(-2)=3.\]
Steg 3 - Deriverbarhet ved x=-2
Venstre gren har derivert \(-9\), så \[p^{\prime}(-2)=-9.\]
Steg 4 - Kontinuitet ved x=1
Høyre gren gir \(\frac12-1-\frac72=-4\). Derfor må \[p(1)=-4.\]
Steg 5 - Deriverbarhet ved x=1
Høyre gren har derivert \(x-1\), som er 0 ved \(x=1\). Derfor må \[p^{\prime}(1)=0.\]
Steg 6 - Løs likningssystemet
Løsning av de fire lineære likningene gir \[a=-\frac{13}{27},\quad b=\frac79,\quad c=-\frac19,\quad d=-\frac{113}{27}.\] Dermed \[p(x)=-\frac{13}{27}x^3+\frac79x^2-\frac19x-\frac{113}{27}.\]
Den ferdige delte funksjonen har både sammenhengende verdi og sammenhengende tangent i x=-2 og x=1.
Vanlig feil: Å bruke bare kontinuitet. Det gir to likninger, men et tredjegradspolynom har fire ukjente koeffisienter.
Sensorpunkt: Alle fire randbetingelsene og det ferdige, kontrollerte polynomet må vises.
Del 2 - Oppgave 4aFart fra hastighetsvektor og knop
Oppgave 4a
Oppgave: Fiskebåtens posisjon er \(\vec r(t)=[1+5t,4+8t]\) kilometer. Bestem farten i knop når 1 knop er 1852 meter per time.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere posisjonsvektoren, finne lengden av hastighetsvektoren og konvertere km/h til knop.
Steg 1 - Deriver posisjonsvektoren
\[\vec r^{\prime}(t)=[5,8]\text{ km/h}.\] Hastigheten er konstant.
Steg 2 - Finn farten i km/h
Farten er lengden av hastighetsvektoren: \[v=\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{89}\text{ km/h}.\]
Steg 3 - Gjør om enheten
1 knop er 1,852 km/h. Derfor er antall knop \[\frac{\sqrt{89}}{1,852}.\]
Steg 4 - Beregn
\[\frac{\sqrt{89}}{1,852}\approx5,09394.\]
Steg 5 - Avrund
Farten er omtrent \(5,09\) knop.
Steg 6 - Kontroll
\(5,09\cdot1,852\approx9,43\) km/h, som stemmer med \(\sqrt{89}\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Length[(5,8)]/1.852
\(\sqrt{89}/1,852\approx5,09\) knop
Tolkning: Lengden av den konstante hastighetsvektoren konverteres til knop.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspvelocity=sp.Matrix([5,8])speed_kmh=sp.sqrt(velocity.dot(velocity))kmh_per_knot=sp.Rational(1852,1000)speed_knots=sp.simplify(speed_kmh/kmh_per_knot)print("Velocity vector =",tuple(velocity),"km/h")print("Exact speed =",speed_kmh,"km/h")print("Speed decimal =",sp.N(speed_kmh,12),"km/h")print("1 knot =",kmh_per_knot,"km/h")print("Exact speed in knots =",speed_knots)print("Speed in knots =",sp.N(speed_knots,12))
Utskrift fra Python:
Velocity vector = (5, 8) km/h
Exact speed = sqrt(89) km/h
Speed decimal = 9.43398113206 km/h
1 knot = 463/250 km/h
Exact speed in knots = 250*sqrt(89)/463
Speed in knots = 5.09394229593
Fasit: Farten er \(\frac{\sqrt{89}}{1,852}\approx5,09\) knop.
Vanlig feil: Å bruke summen \(5+8\) som fart. Fart er lengden av hastighetsvektoren.
Sensorpunkt: Hastighetsvektor, norm og korrekt enhetsomregning skal dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 4bMinste avstand fra punkt til bevegelseslinje
Oppgave 4b
Oppgave: Et fyr står i posisjonen \((4,7)\). Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal minimere kvadratet av avstanden som funksjon av tiden. Det gir samme minimumpunkt som selve avstanden.
Steg 1 - Vektor fra fyret til båten
\[\vec r(t)-(4,7)=[1+5t-4,4+8t-7]=[5t-3,8t-3].\]
Steg 2 - Avstandskvadratet
\[D^2(t)=(5t-3)^2+(8t-3)^2.\]
Steg 3 - Utvid uttrykket
\[D^2(t)=25t^2-30t+9+64t^2-48t+9=89t^2-78t+18.\]
Steg 4 - Finn minimumstidspunktet
Deriver: \[(D^2)^{\prime}(t)=178t-78.\] Nullpunktet er \[t=\frac{78}{178}=\frac{39}{89}.\]
Steg 5 - Beregn minste avstand
\[D^2\left(\frac{39}{89}\right)=\frac{81}{89}.\] Derfor er \[D_{\min}=\frac9{\sqrt{89}}\text{ km}.\]
Steg 6 - Numerisk svar
\[\frac9{\sqrt{89}}\approx0,954\text{ km}.\] Dette er omtrent 954 meter.
Fiskebåten, fiskestimen, den andre båten og den korteste linjen til fyret.
Da er båtens x-koordinat \(1+35/3\), mens stimens er \(1+28/3\). De er forskjellige.
Steg 6 - Konklusjon
Det finnes ikke ett tidspunkt som oppfyller begge koordinatlikningene. Fiskebåten treffer derfor ikke fiskestimen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[{1+5t=1+4t,4+8t=-3+11t},t]
Ingen løsning
Tolkning: Koordinatlikningene krever ulike tider.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True,nonnegative=True)boat=sp.Matrix([1+5*t,4+8*t])school=sp.Matrix([1+4*t,-3+11*t])x_time=sp.solve(sp.Eq(boat[0],school[0]),t)y_time=sp.solve(sp.Eq(boat[1],school[1]),t)simultaneous=sp.solve([sp.Eq(boat[0],school[0]),sp.Eq(boat[1],school[1])],[t],dict=True)print("Boat position =",tuple(boat))print("School position =",tuple(school))print("Time from x-coordinate =",x_time)print("Time from y-coordinate =",y_time)print("Simultaneous solution =",simultaneous)print("At t=0: boat =",tuple(boat.subs(t,0)),"school =",tuple(school.subs(t,0)))print("Conclusion: no collision")
Utskrift fra Python:
Boat position = (5*t + 1, 8*t + 4)
School position = (4*t + 1, 11*t - 3)
Time from x-coordinate = [0]
Time from y-coordinate = [7/3]
Simultaneous solution = []
At t=0: boat = (1, 4) school = (1, -3)
Conclusion: no collision
Fasit: Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen.
Vanlig feil: Å finne at de geometriske banene krysser hverandre og anta at objektene derfor møtes. Tidspunktet må være det samme.
Sensorpunkt: Begge koordinatlikninger skal settes opp og sammenliknes.
Del 2 - Oppgave 4dBestemme fart for å treffe et bevegelig mål
Oppgave 4d
Oppgave: En annen fiskebåt starter i \((-2,0)\) og holder konstant fart i retning langs \(\vec u=[6,4]\). Bestem farten den må holde for å treffe fiskestimen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal la hastigheten være en positiv skalar ganger retningsvektoren og løse for både skalaren og trefftidspunktet.
Steg 1 - Parameteriser hastigheten
La båtens hastighetsvektor være \[\vec v_b=k[6,4]=[6k,4k],\qquad k>0.\]
Steg 2 - Skriv båtens posisjon
\[\vec b(t)=[-2,0]+t[6k,4k]=[-2+6kt,4kt].\]
Steg 3 - Sett lik fiskestimposisjonen
Fiskestimen er i \([1+4t,-3+11t]\). Treff krever \[-2+6kt=1+4t,\qquad4kt=-3+11t.\]
Steg 4 - Løs systemet
Systemet gir \[t=\frac35\text{ time},\qquad k=\frac32.\]
Steg 5 - Finn hastighetsvektor og fart
\[\vec v_b=\frac32[6,4]=[9,6]\text{ km/h}.\] Farten er \[|\vec v_b|=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}\text{ km/h}.\]
Steg 6 - Konverter og kontroller
\[\frac{3\sqrt{13}}{1,852}\approx5,84\text{ knop}.\] Treffpunktet er \(\left(\frac{17}{5},\frac{18}{5}\right)\), og begge er der etter \(3/5\) time.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[{-2+6kt=1+4t,4kt=-3+11t},{k,t}]
\(k=3/2\), \(v=3\sqrt{13}\) km/h \(\approx5,84\) knop
Tolkning: Systemet bestemmer både trefftid og nødvendig fart.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspk,t=sp.symbols("k t",positive=True)boat=sp.Matrix([-2+6*k*t,4*k*t])school=sp.Matrix([1+4*t,-3+11*t])solution=sp.solve([sp.Eq(boat[0],school[0]),sp.Eq(boat[1],school[1])],[k,t],dict=True)[0]k_value=solution[k]t_value=solution[t]velocity=sp.Matrix([6*k_value,4*k_value])speed_kmh=sp.sqrt(velocity.dot(velocity))speed_knots=speed_kmh/sp.Rational(1852,1000)meeting=sp.simplify(boat.subs(solution))print("Solution k, t =",solution)print("Velocity vector =",tuple(velocity),"km/h")print("Exact speed =",speed_kmh,"km/h")print("Speed in knots =",sp.N(speed_knots,12))print("Meeting point =",tuple(meeting))print("School position check =",tuple(sp.simplify(school.subs(t,t_value))))
Utskrift fra Python:
Solution k, t = {k: 3/2, t: 3/5}
Velocity vector = (9, 6) km/h
Exact speed = 3*sqrt(13) km/h
Speed in knots = 5.84052582419
Meeting point = (17/5, 18/5)
School position check = (17/5, 18/5)
Fasit: Båten må holde farten \(3\sqrt{13}\text{ km/h}\approx10,82\text{ km/h}\), som er omtrent \(5,84\) knop.
Vanlig feil: Å bruke \([6,4]\) direkte som hastighet. Vektoren oppgir bare retningen; størrelsen må bestemmes.
Sensorpunkt: Parameteriseringen, det simultane systemet og fartens norm med enhet må være med.
Del 2 - Oppgave 5aTangent til ln x gjennom origo
Oppgave 5a
Oppgave: Punktet \(B\) ligger på grafen til \(f(x)=\ln x\), og tangenten i \(B\) går gjennom \(A(0,0)\). Bestem eksakte koordinater til \(B\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal la \(B=(b,\ln b)\), skrive tangentlikningen og bruke at den går gjennom origo.
Steg 1 - Beskriv punktet
La \[B=(b,\ln b),\qquad b>0.\]
Steg 2 - Finn tangentstigningen
\[f^{\prime}(x)=\frac1x,\] så stigningstallet i \(x=b\) er \(1/b\).
Steg 3 - Skriv tangentlikningen
\[y-\ln b=\frac1b(x-b).\]
Steg 4 - Bruk at A ligger på tangenten
Sett inn \((x,y)=(0,0)\): \[-\ln b=\frac1b(0-b)=-1.\]
Steg 5 - Løs logaritmelikningen
\[\ln b=1\Rightarrow b=e.\]
Steg 6 - Finn y-koordinaten
\[\ln e=1.\] Derfor er \[B=(e,1).\] Tangenten er \(y=x/e\), som går gjennom origo.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[ln(b)-1=0,b]
\(b=e\), derfor \(B=(e,1)\)
Tolkning: Tangentbetingelsen gjennom origo gir ln(b)=1.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspb,x=sp.symbols("b x",positive=True)f=sp.log(x)slope=1/btangent_at_zero=sp.log(b)+slope*(0-b)solution=sp.solve(sp.Eq(tangent_at_zero,0),b)[0]B=(solution,sp.log(solution))print("Generic point B = (b, log(b))")print("Tangent slope at B =",slope)print("Tangent value at x=0 =",tangent_at_zero)print("Equation from passing through origin: log(b)-1 = 0")print("b =",solution)print("B =",B)print("Tangent line = y = x/e")
Utskrift fra Python:
Generic point B = (b, log(b))
Tangent slope at B = 1/b
Tangent value at x=0 = log(b) - 1
Equation from passing through origin: log(b)-1 = 0
b = E
B = (E, 1)
Tangent line = y = x/e
Fasit: \(B=(e,1)\).
Vanlig feil: Å bruke stigningstallet \(\ln b/b\). Den deriverte av \(\ln x\) er \(1/x\).
Sensorpunkt: Tangentlikningen og innsettingen av origo må dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 5bAreal ved ortogonal projeksjon
Oppgave 5b
Oppgave: Punktet \(C\) ligger på linjen \(y=x\) slik at \(\angle ACB=90^{\circ}\). Bestem det eksakte arealet av trekant \(ABC\), der \(A=(0,0)\) og \(B=(e,1)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fotpunktet C på linjen y=x og deretter bruke rettvinklet trekant eller determinant.
Steg 1 - Parameteriser C
Siden \(C\) ligger på \(y=x\), kan vi skrive \[C=(c,c).\]
Fordi vinkelen ved C er rett, er \[A_{\triangle ABC}=\frac12|AC||BC|=\frac12\cdot\frac{e+1}{\sqrt2}\cdot\frac{e-1}{\sqrt2}=\frac{e^2-1}{4}.\]
B=(e,1), C er den ortogonale projeksjonen av B på y=x, og trekanten er rettvinklet i C.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS/grafikk
1
Solve[Dot[(-c,-c),(e-c,1-c)]=0,c]
\(C=((e+1)/2,(e+1)/2)\), areal \((e^2-1)/4\)
Tolkning: Skalarproduktet finner fotpunktet, og rettvinklet arealformel gir resultatet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspc=sp.symbols("c",real=True)A=sp.Matrix([0,0])B=sp.Matrix([sp.E,1])C=sp.Matrix([c,c])dot_product=sp.expand((A-C).dot(B-C))solutions=sp.solve(sp.Eq(dot_product,0),c)relevant=(sp.E+1)/2C_exact=sp.Matrix([relevant,relevant])AC=sp.sqrt((A-C_exact).dot(A-C_exact))BC=sp.sqrt((B-C_exact).dot(B-C_exact))area=sp.simplify(sp.Rational(1,2)*AC*BC)print("Orthogonality expression =",dot_product)print("Solutions for c =",solutions)print("Relevant C =",tuple(C_exact))print("AC =",sp.simplify(AC))print("BC =",sp.simplify(BC))print("Exact area =",area)print("Numerical area =",sp.N(area,12))
Utskrift fra Python:
Orthogonality expression = 2*c**2 - E*c - c
Solutions for c = [0, 1/2 + E/2]
Relevant C = (1/2 + E/2, 1/2 + E/2)
AC = sqrt(2)*(1 + E)/2
BC = sqrt(2)*(-1 + E)/2
Exact area = -1/4 + exp(2)/4
Numerical area = 1.59726402473
Vanlig feil: Å velge løsningen \(C=A\), som gir en degenerert trekant og ikke samsvarer med figuren.
Sensorpunkt: Punktet C, ortogonalitetsvilkåret og det eksakte arealuttrykket skal være tydelig.
Kilde og metode: Oppgavetekstene er transkribert fra Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3056 Matematikk R1, våren 2025 (LK20). Løsningene er originale. Alle Python-blokker er kjørt ved generering, og lagret utskrift er hentet direkte fra kjøringen. Matematiske symboler, den tilsølte delte funksjonen og alle figurer er kontrollert mot de renderte PDF-sidene.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
