Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt og samtidig bruke at den deriverte av \(\ln(3x)\) er \(1/x\) for \(x>0\).

Steg 1 - Finn definisjonsmengden

Logaritmen krever \(3x>0\), altså \(x>0\).

Steg 2 - Del funksjonen i to faktorer

La \(u(x)=4x^2\) og \(v(x)=\ln(3x)\). Da er \(u^{\prime}(x)=8x\).

Steg 3 - Deriver logaritmen

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=\frac{1}{3x}\cdot3=\frac1x.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x).\]

Steg 5 - Sett inn og forenkle

\[f^{\prime}(x)=8x\ln(3x)+4x^2\frac1x=8x\ln(3x)+4x.\]

Steg 6 - Faktoriser

\[f^{\prime}(x)=4x\bigl(2\ln(3x)+1\bigr),\qquad x>0.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
f = 4*x**2*sp.log(3*x)
f_prime = sp.diff(f, x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Expanded =", sp.expand(f_prime))
print("Factored =", sp.factor(f_prime))
print("Check at x=1:", sp.simplify(f_prime.subs(x, 1)))

Utskrift fra Python:
f(x) = 4*x**2*log(3*x)
f'(x) = 8*x*log(3*x) + 4*x
Expanded = 8*x*log(x) + 4*x + 8*x*log(3)
Factored = 4*x*(2*log(x) + 1 + 2*log(3))
Check at x=1: 4 + log(6561)

Fasit: \(f^{\prime}(x)=8x\ln(3x)+4x=4x(2\ln(3x)+1)\), for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre likningen om til en andregradslikning i variabelen \(y=\ln x\).

Steg 1 - Domene

Fordi \(\ln x\) forekommer, må \(x>0\).

Steg 2 - Innfør en hjelpevariabel

Sett \(y=\ln x\). Da blir likningen \[y^2-y=6.\]

Steg 3 - Samle alt på én side

\[y^2-y-6=0.\]

Steg 4 - Faktoriser

\[(y-3)(y+2)=0.\] Dermed er \(y=3\) eller \(y=-2\).

Steg 5 - Gå tilbake til x

\[\ln x=3\Rightarrow x=e^3,\qquad \ln x=-2\Rightarrow x=e^{-2}.\]

Steg 6 - Kontroller

Begge løsningene er positive og er derfor i definisjonsmengden.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
y = sp.symbols("y", real=True)
poly = y**2-y-6
roots_y = sp.solve(sp.Eq(poly, 0), y)
roots_x = [sp.exp(root) for root in roots_y]
print("Quadratic in y = ln(x):", poly)
print("Solutions for y =", roots_y)
print("Solutions for x =", roots_x)
for value in roots_x:
    check = sp.simplify(sp.log(value)**2-sp.log(value))
    print("Check x =", value, "gives", check)

Utskrift fra Python:
Quadratic in y = ln(x): y**2 - y - 6
Solutions for y = [-2, 3]
Solutions for x = [exp(-2), exp(3)]
Check x = exp(-2) gives 6
Check x = exp(3) gives 6

Fasit: \(x=e^{-2}\) eller \(x=e^3\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke hva eksponenten \(1-x\) gjør i de to retningene.

Steg 1 - Skriv eksponenten tydelig

\[f(x)=e^{1-x}.\]

Steg 2 - Når x går mot pluss uendelig

Da går \(1-x\to-\infty\).

Steg 3 - Bruk eksponentialgrensen

\[e^{1-x}\to0,\] fordi \(e^u\to0\) når \(u\to-\infty\).

Steg 4 - Når x går mot minus uendelig

Da går \(1-x\to\infty\).

Steg 5 - Andre grense

\[e^{1-x}\to\infty.\]

Steg 6 - Tolkning

Grafen har horisontal asymptote \(y=0\) mot høyre, men vokser uten øvre grense mot venstre.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = sp.exp(1-x)
right = sp.limit(f, x, sp.oo)
left = sp.limit(f, x, -sp.oo)
print("f(x) =", f)
print("Limit as x -> +infinity =", right)
print("Limit as x -> -infinity =", left)
for value in [5, 10, -5, -10]:
    print("f(", value, ") =", sp.N(f.subs(x, value), 10))

Utskrift fra Python:
f(x) = exp(1 - x)
Limit as x -> +infinity = 0
Limit as x -> -infinity = oo
f( 5 ) = 0.01831563889
f( 10 ) = 0.0001234098041
f( -5 ) = 403.4287935
f( -10 ) = 59874.14172

Fasit: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0\) og \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at vektorene \(\overrightarrow{AB}\) og \(\overrightarrow{AC}\) er parallelle.

Steg 1 - Finn vektorene

\[\overrightarrow{AB}=(-4,-6),\qquad \overrightarrow{AC}=(t,2t-4).\]

Steg 2 - Bruk determinantkriteriet

Vektorene er parallelle når determinanten er null.

Steg 3 - Sett opp determinanten

\[\det\begin{pmatrix}-4&t\-6&2t-4\end{pmatrix}=(-4)(2t-4)-(-6)t.\]

Steg 4 - Forenkle

\[-8t+16+6t=16-2t.\]

Steg 5 - Løs likningen

\[16-2t=0\Rightarrow t=8.\]

Steg 6 - Kontroll

Når \(t=8\), er \(\overrightarrow{AC}=(8,12)=-2\overrightarrow{AB}\), så punktene er kollineære.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
AB = sp.Matrix([-4, -6])
AC = sp.Matrix([t, 2*t-4])
determinant = sp.det(sp.Matrix.hstack(AB, AC))
solution = sp.solve(sp.Eq(determinant, 0), t)
print("AB =", tuple(AB))
print("AC =", tuple(AC))
print("Determinant =", sp.expand(determinant))
print("t =", solution)
print("AC when t=8 =", tuple(AC.subs(t, 8)))
print("Ratio check AC/AB =", sp.Rational(AC.subs(t,8)[0], AB[0]))

Utskrift fra Python:
AB = (-4, -6)
AC = (t, 2*t - 4)
Determinant = 16 - 2*t
t = [8]
AC when t=8 = (8, 12)
Ratio check AC/AB = -2

Fasit: \(t=8\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal kreve at vektorene fra C til A og fra C til B har skalarprodukt null.

Steg 1 - Vektorene fra C

\[\overrightarrow{CA}=(-t,4-2t),\qquad \overrightarrow{CB}=(-4-t,-2-2t).\]

Steg 2 - Ortogonalitetskriteriet

\(\angle C=90^{\circ}\) akkurat når \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\).

Steg 3 - Sett opp skalarproduktet

\[(-t)(-4-t)+(4-2t)(-2-2t)=0.\]

Steg 4 - Multipliser ut

Første ledd er \(4t+t^2\), og andre ledd er \(-8-4t+4t^2\). Dermed får vi \[5t^2-8=0.\]

Steg 5 - Løs

\[t^2=\frac85\Rightarrow t=\pm\sqrt{\frac85}=\pm\frac{2\sqrt{10}}5.\]

Steg 6 - Trekantsjekk

Ingen av disse verdiene er \(t=8\), så punktene er ikke kollineære. Begge gir derfor en reell trekant med rett vinkel ved C.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
CA = sp.Matrix([-t, 4-2*t])
CB = sp.Matrix([-4-t, -2-2*t])
dot_product = sp.expand(CA.dot(CB))
solutions = sp.solve(sp.Eq(dot_product, 0), t)
print("CA =", tuple(CA))
print("CB =", tuple(CB))
print("CA dot CB =", dot_product)
print("Solutions =", solutions)
for value in solutions:
    print("t =", value, "dot check =", sp.simplify(dot_product.subs(t,value)))
    print("C =", (sp.simplify(3+value), sp.simplify(2*value)))

Utskrift fra Python:
CA = (-t, 4 - 2*t)
CB = (-t - 4, -2*t - 2)
CA dot CB = 5*t**2 - 8
Solutions = [-2*sqrt(10)/5, 2*sqrt(10)/5]
t = -2*sqrt(10)/5 dot check = 0
C = (3 - 2*sqrt(10)/5, -4*sqrt(10)/5)
t = 2*sqrt(10)/5 dot check = 0
C = (2*sqrt(10)/5 + 3, 4*sqrt(10)/5)

Fasit: \(t=-\frac{2\sqrt{10}}5\) eller \(t=\frac{2\sqrt{10}}5\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere spranget ved \(x=2\), fjerne minst mulig fra domenet og kontrollere verdimengden.

Steg 1 - Opprinnelig verdimengde

Første gren gir \([0,2]\). Andre gren gir \([0,3)\). Samlet er verdimengden \([0,3)\).

Steg 2 - Undersøk x=2

\[f(2)=2,\qquad \lim_{x\to2^+}(5-x)=3.\] Høyregrensen er ikke lik funksjonsverdien.

Steg 3 - Fjern sprangpunktet

Ved å ta bort \(x=2\) blir domenet delt i to komponenter der hver formel er kontinuerlig.

Steg 4 - Nytt domene

\[D_f^{\text{ny}}=[0,2)\cup(2,5].\]

Steg 5 - Kontroller verdimengden

På \([0,2)\) får vi \([0,2)\). På \((2,5]\) får vi \([0,3)\). Samlet er fortsatt \([0,3)\).

Steg 6 - Hvorfor domenet er størst mulig

Vi har bare fjernet selve punktet som skaper bruddet. Legges \(x=2\) tilbake mens punkter fra høyre beholdes vil kontinuiteten svikte igjen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
left_value = sp.Integer(2)
right_limit = sp.limit(5-x, x, 2, dir="+")
print("f(2) from the first branch =", left_value)
print("Right-hand limit at x=2 =", right_limit)
print("Continuous at x=2:", left_value == right_limit)
print("Old range = [0, 3)")
print("New domain = [0,2) union (2,5]")
print("Range on first part = [0,2)")
print("Range on second part = [0,3)")
print("New total range = [0,3)")

Utskrift fra Python:
f(2) from the first branch = 2
Right-hand limit at x=2 = 3
Continuous at x=2: False
Old range = [0, 3)
New domain = [0,2) union (2,5]
Range on first part = [0,2)
Range on second part = [0,3)
New total range = [0,3)

Fasit: En størst mulig definisjonsmengde er \(D_f=[0,2)\cup(2,5]\). Verdimengden er fortsatt \([0,3)\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(S(t)=100\) og tolke tiden i dager.

Steg 1 - Sett modellen lik 100

\[100=\frac{300}{1+28e^{-0,3t}}.\]

Steg 2 - Multipliser med nevneren

\[100(1+28e^{-0,3t})=300.\]

Steg 3 - Isoler eksponentialleddet

\[1+28e^{-0,3t}=3\Rightarrow 28e^{-0,3t}=2.\]

Steg 4 - Del på 28

\[e^{-0,3t}=\frac1{14}.\]

Steg 5 - Ta naturlig logaritme

\[-0,3t=\ln(1/14)=-\ln14.\]

Steg 6 - Løs og rund

\[t=\frac{\ln14}{0,3}\approx8,80.\] Det tar altså omtrent 8,8 dager.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
S = 300/(1+28*sp.exp(-sp.Rational(3,10)*t))
solution = sp.solve(sp.Eq(S, 100), t)[0]
print("S(t) =", S)
print("Exact time =", solution)
print("Time in days =", sp.N(solution, 12))
print("Check S(t) =", sp.simplify(S.subs(t, solution)))
print("Rounded to one decimal =", round(float(solution), 1), "days")

Utskrift fra Python:
S(t) = 300/(1 + 28*exp(-3*t/10))
Exact time = 10*log(14**(1/3))
Time in days = 8.79685776538
Check S(t) = 100
Rounded to one decimal = 8.8 days

Fasit: Det tar \(\frac{\ln14}{0,3}\approx8,8\) dager.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimumspunktet til den deriverte \(S^{\prime}(t)\).

Steg 1 - Bruk logistisk struktur

Modellen har bærekapasitet \(L=300\) og vekstparameter \(k=0,3\). For en logistisk funksjon er veksten størst når \(S=L/2\).

Steg 2 - Sett S lik 150

\[150=\frac{300}{1+28e^{-0,3t}}.\]

Steg 3 - Løs for tiden

Nevneren må være 2, så \(28e^{-0,3t}=1\). Dermed \[t=\frac{\ln28}{0,3}\approx11,11.\]

Steg 4 - Finn den deriverte

En logistisk funksjon oppfyller \[S^{\prime}(t)=0,3S(t)\left(1-\frac{S(t)}{300}\right).\]

Steg 5 - Sett inn S=150

\[S^{\prime}=0,3\cdot150\left(1-\frac12\right)=22,5.\]

Steg 6 - Tolkning

Omtrent dag 11,1 er antallet nye smittede størst, med cirka 22,5 elever per dag.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
S = 300/(1+28*sp.exp(-sp.Rational(3,10)*t))
S_prime = sp.simplify(sp.diff(S, t))
S_second = sp.simplify(sp.diff(S_prime, t))
t_star = sp.log(28)/sp.Rational(3,10)
print("S'(t) =", S_prime)
print("S''(t) =", S_second)
print("Time of maximum growth =", t_star)
print("Decimal time =", sp.N(t_star, 12))
print("S(t*) =", sp.simplify(S.subs(t, t_star)))
print("S'(t*) =", sp.simplify(S_prime.subs(t, t_star)))
print("S''(t*) =", sp.simplify(S_second.subs(t, t_star)))

Utskrift fra Python:
S'(t) = 2520*exp(3*t/10)/(exp(3*t/10) + 28)**2
S''(t) = 756*((exp(3*t/10) + 28)*exp(3*t/10) - 2*exp(3*t/5))/(exp(3*t/10) + 28)**3
Time of maximum growth = 10*log(28)/3
Decimal time = 11.1073483672
S(t*) = 150
S'(t*) = 45/2
S''(t*) = 0

Fasit: Flest nye elever blir smittet etter omtrent \(11,1\) dager. Da er spredningsfarten \(22,5\) elever per dag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne grenser mot begge ender og undersøke om nevneren kan bli null.

Steg 1 - Når t går mot pluss uendelig

\(e^{-0,3t}\to0\), derfor \[S(t)\to\frac{300}{1}=300.\]

Steg 2 - Første asymptote

\(S=300\) er en horisontal asymptote. Modellen sier at antallet smittede nærmer seg 300.

Steg 3 - Når t går mot minus uendelig

\(e^{-0,3t}\to\infty\), så nevneren vokser uten grense og \[S(t)\to0.\]

Steg 4 - Andre asymptote

\(S=0\) er en horisontal asymptote i den matematiske forlengelsen bakover i tid.

Steg 5 - Vertikale asymptoter

Nevneren \(1+28e^{-0,3t}\) er alltid positiv. Den kan aldri være null, så funksjonen har ingen vertikale asymptoter.

Steg 6 - Praktisk domene

I situasjonen brukes normalt \(t\ge0\). Da er asymptoten \(S=300\) den viktigste praktiske tolkningen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
S = 300/(1+28*sp.exp(-sp.Rational(3,10)*t))
print("Limit t -> +infinity =", sp.limit(S, t, sp.oo))
print("Limit t -> -infinity =", sp.limit(S, t, -sp.oo))
denominator = 1+28*sp.exp(-sp.Rational(3,10)*t)
print("Denominator =", denominator)
print("Real zeros of denominator =", sp.solveset(sp.Eq(denominator,0), t, domain=sp.S.Reals))
print("Horizontal asymptotes: S=0 and S=300")
print("Practical future ceiling: 300 students")

Utskrift fra Python:
Limit t -> +infinity = 300
Limit t -> -infinity = 0
Denominator = 1 + 28*exp(-3*t/10)
Real zeros of denominator = EmptySet
Horizontal asymptotes: S=0 and S=300
Practical future ceiling: 300 students

Fasit: Horisontale asymptoter er \(S=0\) og \(S=300\). Det finnes ingen vertikale asymptoter. For \(t\ge0\) betyr \(S=300\) at modellen flater ut mot 300 smittede.

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om identiteten gjelder og begrunne den med inverse funksjoner.

Steg 1 - Domenet er avgjørende

Når \(x>0\), er \(\ln x\) definert, og reelle potenser \(x^k\) kan skrives ved hjelp av eksponentialfunksjonen.

Steg 2 - Definisjonen av en reell potens

For \(x>0\) defineres \[x^k=e^{k\ln x}.\]

Steg 3 - Alternativ omskriving

Fordi \(e^{\ln x}=x\), kan vi formelt skrive \[e^{k\ln x}=\bigl(e^{\ln x}\bigr)^k=x^k.\]

Steg 4 - Kontroller noen k-verdier

Identiteten gjelder for eksempel for heltall, brøker og irrasjonale reelle \(k\), så lenge \(x>0\).

Steg 5 - Konklusjon

Påstanden er sann.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
k = sp.symbols("k", real=True)
left = sp.exp(k*sp.log(x))
right = x**k
print("Left side =", left)
print("Right side =", right)
print("Rewrite left using powers =", left.rewrite(sp.Pow))
print("Symbolic difference =", sp.simplify(left-right))
for xv, kv in [(2,3),(9,sp.Rational(1,2)),(5,sp.sqrt(2))]:
    print("x =", xv, "k =", kv, "difference =", sp.N((left-right).subs({x:xv,k:kv}),12))

Utskrift fra Python:
Left side = exp(k*log(x))
Right side = x**k
Rewrite left using powers = x**k
Symbolic difference = 0
x = 2 k = 3 difference = 0
x = 9 k = 1/2 difference = 0
x = 5 k = sqrt(2) difference = 0

Fasit: Påstanden er sann for \(x>0\) og reell \(k\).

Hva spør oppgaven om? Før en funksjon kan være deriverbar, må den være kontinuerlig. Vi kontrollerer derfor grensene og funksjonsverdien først.

Steg 1 - Venstre grense

\[\lim_{x\to2^-}(x^3-2)=8-2=6.\]

Steg 2 - Funksjonsverdien

Siden den andre grenen gjelder ved \(x=2\), er \[f(2)=3\cdot2^2-4=8.\]

Steg 3 - Høyre grense

\[\lim_{x\to2^+}(3x^2-4)=8.\]

Steg 4 - Kontinuitetskravet svikter

Venstregrensen er 6, mens høyregrensen og funksjonsverdien er 8. Funksjonen har et sprang.

Steg 5 - Følge for deriverbarhet

Alle deriverbare funksjoner er kontinuerlige. Siden \(f\) ikke er kontinuerlig ved 2, kan den ikke være deriverbar der.

Steg 6 - Konklusjon

Påstanden er usann.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
left = x**3-2
right = 3*x**2-4
left_limit = sp.limit(left, x, 2, dir="-")
right_limit = sp.limit(right, x, 2, dir="+")
value = right.subs(x,2)
print("Left limit =", left_limit)
print("Right limit =", right_limit)
print("f(2) =", value)
print("Continuous at x=2:", left_limit == right_limit == value)
print("Left derivative limit =", sp.diff(left,x).subs(x,2))
print("Right derivative =", sp.diff(right,x).subs(x,2))
print("Differentiable at x=2: False")

Utskrift fra Python:
Left limit = 6
Right limit = 8
f(2) = 8
Continuous at x=2: False
Left derivative limit = 12
Right derivative = 12
Differentiable at x=2: False

Fasit: Påstanden er usann. Funksjonen er ikke engang kontinuerlig i \(x=2\), og derfor ikke deriverbar.

Hva spør oppgaven om? Påstanden er en mulighetspåstand. Det holder å gi ett korrekt eksempel på en funksjon med både minkende og voksende deler som samtidig er én-til-én.

Steg 1 - Kravet for omvendt funksjon

En funksjon har en omvendt funksjon på hele verdimengden når den er injektiv: ulike x-verdier må gi ulike funksjonsverdier.

Steg 2 - Velg et frakoblet domene

La \[D=[-2,-1]\cup[3,4],\qquad f(x)=x^2.\]

Steg 3 - Monotoni på første del

På \([-2,-1]\) er \(f\) strengt minkende, fordi \(f^{\prime}(x)=2x\lt0\). Verdimengden der er \([1,4]\).

Steg 4 - Monotoni på andre del

På \([3,4]\) er \(f\) strengt voksende, fordi \(2x>0\). Verdimengden der er \([9,16]\).

Steg 5 - Kontroller injektivitet globalt

De to verdimengdene overlapper ikke. Derfor kan ingen verdi komme fra både den minkende og den voksende delen.

Steg 6 - Konklusjon

Funksjonen er én-til-én på hele \(D\) og har en omvendt funksjon. Påstanden er derfor sann. Selv ved en strengere tolkning finnes det trivielle ettpunktsdomener som også gjør «kan ha» sann.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**2
print("f'(x) =", sp.diff(f,x))
print("On [-2,-1], f'(x) < 0, so f is decreasing")
print("Range on [-2,-1] = [1,4]")
print("On [3,4], f'(x) > 0, so f is increasing")
print("Range on [3,4] = [9,16]")
print("The ranges are disjoint:", 4 < 9)
points = [-2,-1.5,-1,3,3.5,4]
values = [p**2 for p in points]
print("Sample x-values =", points)
print("Sample f(x)-values =", values)
print("All sample values distinct =", len(values) == len(set(values)))

Utskrift fra Python:
f'(x) = 2*x
On [-2,-1], f'(x) < 0, so f is decreasing
Range on [-2,-1] = [1,4]
On [3,4], f'(x) > 0, so f is increasing
Range on [3,4] = [9,16]
The ranges are disjoint: True
Sample x-values = [-2, -1.5, -1, 3, 3.5, 4]
Sample f(x)-values = [4, 2.25, 1, 9, 12.25, 16]
All sample values distinct = True

Fasit: Påstanden er sann. For eksempel er \(f(x)=x^2\) på \([-2,-1]\cup[3,4]\) minkende på første del, voksende på andre del og likevel injektiv.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne begge posisjonene ved \(t=1\), ta differansevektoren og beregne lengden.

Steg 1 - Bil A etter ett minutt

\[\vec r_A(1)=\left(\frac12(1-4),1\right)=\left(-\frac32,1\right).\]

Steg 2 - Bil B etter ett minutt

\[\vec r_B(1)=\left(\frac12,\frac32\cdot\frac45\right)=\left(\frac12,\frac65\right).\]

Steg 3 - Differansevektor

\[\vec r_B(1)-\vec r_A(1)=\left(2,\frac15\right).\]

Steg 4 - Avstandsformelen

\[d=\sqrt{2^2+\left(\frac15\right)^2}.\]

Steg 5 - Eksakt verdi

\[d=\sqrt{\frac{101}{25}}=\frac{\sqrt{101}}5.\]

Steg 6 - Desimal og enhet

\[d\approx2,010\text{ km}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
rA = sp.Matrix([sp.Rational(1,2)*(t-4), t])
rB = sp.Matrix([sp.Rational(1,2)*t, sp.Rational(3,2)*(t-sp.Rational(1,5))])
A1 = rA.subs(t,1)
B1 = rB.subs(t,1)
difference = B1-A1
distance = sp.sqrt(difference.dot(difference))
print("rA(1) =", tuple(A1))
print("rB(1) =", tuple(B1))
print("Difference vector =", tuple(difference))
print("Exact distance =", distance)
print("Distance in km =", sp.N(distance, 12))

Utskrift fra Python:
rA(1) = (-3/2, 1)
rB(1) = (1/2, 6/5)
Difference vector = (2, 1/5)
Exact distance = sqrt(101)/5
Distance in km = 2.00997512422

Fasit: Avstanden er \(\frac{\sqrt{101}}5\text{ km}\approx2,010\text{ km}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne lengden av hver konstante hastighetsvektor og omregne fra kilometer per minutt til kilometer per time.

Steg 1 - Hastigheten til A

\[\vec v_A=\vec r_A^{\prime}(t)=\left(\frac12,1\right).\]

Steg 2 - Farten til A

\[|\vec v_A|=\sqrt{\frac14+1}=\frac{\sqrt5}{2}\text{ km/min}.\] Dette er \(30\sqrt5\approx67,1\text{ km/h}\).

Steg 3 - Hastigheten til B

\[\vec v_B=\left(\frac12,\frac32\right).\]

Steg 4 - Farten til B

\[|\vec v_B|=\sqrt{\frac14+\frac94}=\frac{\sqrt{10}}2\text{ km/min}.\] Dette er \(30\sqrt{10}\approx94,9\text{ km/h}\).

Steg 5 - Sammenlikn

Bil B har klart høyere fart enn bil A.

Steg 6 - Praktisk argument

En fart nær 95 km/h passer en motorvei bedre enn en fart nær 67 km/h. Derfor er B på motorveien.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
vA = sp.Matrix([sp.Rational(1,2), 1])
vB = sp.Matrix([sp.Rational(1,2), sp.Rational(3,2)])
speedA_min = sp.sqrt(vA.dot(vA))
speedB_min = sp.sqrt(vB.dot(vB))
speedA_hour = 60*speedA_min
speedB_hour = 60*speedB_min
print("vA =", tuple(vA), "km/min")
print("vB =", tuple(vB), "km/min")
print("Speed A exact =", speedA_hour, "km/h")
print("Speed A decimal =", sp.N(speedA_hour, 10), "km/h")
print("Speed B exact =", speedB_hour, "km/h")
print("Speed B decimal =", sp.N(speedB_hour, 10), "km/h")
print("Motorway car = B")

Utskrift fra Python:
vA = (1/2, 1) km/min
vB = (1/2, 3/2) km/min
Speed A exact = 30*sqrt(5) km/h
Speed A decimal = 67.08203932 km/h
Speed B exact = 30*sqrt(10) km/h
Speed B decimal = 94.86832981 km/h
Motorway car = B

Fasit: Bil B kjører omtrent \(94,9\text{ km/h}\), mens A kjører omtrent \(67,1\text{ km/h}\). Derfor er B på motorveien.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktet mellom veiene og deretter tidspunktet hver bil når akkurat dette punktet.

Steg 1 - Likning for vei A

Fra \(y=t\) og \(x=(t-4)/2\) får vi \[y=2x+4.\]

Steg 2 - Likning for vei B

Fra \(x=t/2\) får vi \(t=2x\). Dermed \[y=\frac32\left(2x-\frac15\right)=3x-\frac3{10}.\]

Steg 3 - Finn veikrysset

\[2x+4=3x-\frac3{10}\Rightarrow x=\frac{43}{10}.\] Da er \[y=2\cdot\frac{43}{10}+4=\frac{63}{5}.\]

Steg 4 - Tid for A

For A er y-koordinaten lik tiden, så \[t_A=\frac{63}{5}=12,6\text{ min}.\]

Steg 5 - Tid for B

For B er \(x=t/2\), så \[t_B=2\cdot\frac{43}{10}=\frac{43}{5}=8,6\text{ min}.\]

Steg 6 - Konklusjon

Bil B kommer \(12,6-8,6=4,0\) minutter før bil A.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x,y = sp.symbols("x y", real=True)
intersection = sp.solve([sp.Eq(y,2*x+4), sp.Eq(y,3*x-sp.Rational(3,10))],[x,y], dict=True)[0]
xI = intersection[x]
yI = intersection[y]
tA = yI
tB = 2*xI
print("Intersection =", (xI,yI))
print("Time for A =", tA, "minutes =", sp.N(tA,8))
print("Time for B =", tB, "minutes =", sp.N(tB,8))
print("B arrives earlier by", sp.simplify(tA-tB), "minutes")
print("A position check =", (sp.Rational(1,2)*(tA-4),tA))
print("B position check =", (sp.Rational(1,2)*tB,sp.Rational(3,2)*(tB-sp.Rational(1,5))))

Utskrift fra Python:
Intersection = (43/10, 63/5)
Time for A = 63/5 minutes = 12.600000
Time for B = 43/5 minutes = 8.6000000
B arrives earlier by 4 minutes
A position check = (43/10, 63/5)
B position check = (43/10, 63/5)

Fasit: Veikrysset er \((4,3,12,6)\). Bil B er der etter \(8,6\) min, bil A etter \(12,6\) min. B kommer først.

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere tierlogaritmen og deretter bruke at \(10^{\lg E}=E\).

Steg 1 - Flytt konstantleddet

\[M+3,2=\frac23\lg E.\]

Steg 2 - Multipliser med 3/2

\[\lg E=\frac32(M+3,2)=1,5M+4,8.\]

Steg 3 - Opphev logaritmen

\[E=10^{1,5M+4,8}.\]

Steg 4 - Sett inn M=4,7

\[E=10^{1,5\cdot4,7+4,8}=10^{11,85}.\]

Steg 5 - Numerisk verdi

\[10^{11,85}\approx7,08\cdot10^{11}.\]

Steg 6 - Enhet

Energien er omtrent \(7,08\cdot10^{11}\text{ J}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
M = sp.symbols("M", real=True)
E_formula = 10**(sp.Rational(3,2)*M + sp.Rational(24,5))
E_47 = sp.simplify(E_formula.subs(M, sp.Rational(47,10)))
print("E(M) =", E_formula)
print("Exponent when M=4.7 =", sp.Rational(3,2)*sp.Rational(47,10)+sp.Rational(24,5))
print("Exact energy form =", E_47)
print("Energy =", sp.N(E_47, 12), "J")
M_check = sp.Rational(2,3)*sp.log(E_47,10)-sp.Rational(16,5)
print("Magnitude check =", sp.simplify(M_check))

Utskrift fra Python:
E(M) = 10**(3*M/2 + 24/5)
Exponent when M=4.7 = 237/20
Exact energy form = 100000000000*10**(17/20)
Energy = 707945784384. J
Magnitude check = 47/10

Fasit: \(E=10^{1,5M+4,8}\). Når \(M=4,7\), er \(E\approx7,08\cdot10^{11}\text{ J}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal ta forholdet mellom energien ved \(M+1\) og energien ved \(M\).

Steg 1 - Energifunksjonen

\[E(M)=10^{1,5M+4,8}.\]

Steg 2 - Energi ved M+1

\[E(M+1)=10^{1,5(M+1)+4,8}.\]

Steg 3 - Lag forholdet

\[\frac{E(M+1)}{E(M)}=\frac{10^{1,5M+1,5+4,8}}{10^{1,5M+4,8}}.\]

Steg 4 - Subtraher eksponentene

\[\frac{E(M+1)}{E(M)}=10^{1,5}.\]

Steg 5 - Eksakt og numerisk

\[10^{1,5}=10\sqrt{10}\approx31,62.\]

Steg 6 - Tolkning

Én enhet høyere momentmagnitude betyr omtrent 31,6 ganger så mye frigitt energi.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
M = sp.symbols("M", real=True)
E = lambda value: 10**(sp.Rational(3,2)*value + sp.Rational(24,5))
ratio = sp.simplify(E(M+1)/E(M))
print("Energy ratio E(M+1)/E(M) =", ratio)
print("Exact radical form =", sp.sqrtdenest(ratio))
print("Decimal factor =", sp.N(ratio, 12))
for magnitude in [3,4.7,7]:
    numeric_ratio = sp.N(E(sp.Float(magnitude)+1)/E(sp.Float(magnitude)),10)
    print("M =", magnitude, "ratio =", numeric_ratio)

Utskrift fra Python:
Energy ratio E(M+1)/E(M) = 10*sqrt(10)
Exact radical form = 10*sqrt(10)
Decimal factor = 31.6227766017
M = 3 ratio = 31.62277660
M = 4.7 ratio = 31.62277660
M = 7 ratio = 31.62277660

Fasit: Energien blir \(10^{1,5}=10\sqrt{10}\approx31,6\) ganger så stor.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke alle 13 datapunktene, velge en enkel lineær modell for den jevne bensinnedgangen og en logistisk modell for elbilveksten som ikke kan fortsette eksponentielt for alltid.

Steg 1 - Registrer data

For bensin er tallene \(14185,13592,\ldots,8705\). For elektrisk er de \(2,14,\ldots,5363\), med \(t=0,1,\ldots,12\).

Steg 2 - Lineær regresjon for bensin

Minstekvadraters regresjon gir omtrent \[B(t)=14243,3-451,8t.\]

Steg 3 - Vurder bensinmodellen

Forklaringsgraden er \(R^2\approx0,9926\). Punktene ligger nær en rett, fallende trend, så en lineær modell er rimelig i dataperioden.

Steg 4 - Logistisk regresjon for elbiler

En logistisk regresjon gir omtrent \[L(t)=\frac{18956,7}{1+275,04e^{-0,39054t}}.\]

Steg 5 - Vurder elbilmodellen

Her er \(R^2\approx0,9982\). Modellen beskriver rask vekst, men har samtidig en øvre grense, som er mer realistisk enn ubegrenset eksponentiell vekst.

Steg 6 - Modellene er ikke unike

Andre godt begrunnede modeller kan også gi uttelling. Det avgjørende er samsvar med data, dokumentasjon av regresjon og kritisk vurdering av ekstrapolasjon.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

t = np.arange(13, dtype=float)
petrol = np.array([14185,13592,13246,12944,12578,12367,11472,11079,10516,10323,9706,9210,8705], dtype=float)
electric = np.array([2,14,35,111,307,557,754,1071,1467,2057,2810,4031,5363], dtype=float)

def r_squared(observed, predicted):
    return 1-((observed-predicted)**2).sum()/((observed-observed.mean())**2).sum()

linear = np.polyfit(t, petrol, 1)
petrol_pred = np.polyval(linear, t)

def logistic(x, L, a, k):
    return L/(1+a*np.exp(-k*x))

params, covariance = curve_fit(logistic, t, electric, p0=(19000,275,0.39), bounds=(0,np.inf), maxfev=100000)
electric_pred = logistic(t, *params)
print("Petrol linear slope =", round(linear[0], 6))
print("Petrol linear intercept =", round(linear[1], 6))
print("Petrol R^2 =", round(r_squared(petrol, petrol_pred), 9))
print("Logistic L, a, k =", tuple(round(value, 6) for value in params))
print("Electric R^2 =", round(r_squared(electric, electric_pred), 9))
print("Petrol model at t=12 =", round(float(np.polyval(linear,12)), 3))
print("Electric model at t=12 =", round(float(logistic(12,*params)), 3))

Utskrift fra Python:
Petrol linear slope = -451.785714
Petrol linear intercept = 14243.252747
Petrol R^2 = 0.992586853
Logistic L, a, k = (np.float64(18956.483737), np.float64(275.039656), np.float64(0.390541))
Electric R^2 = 0.998210726
Petrol model at t=12 = 8821.824
Electric model at t=12 = 5361.612

Fasit: Et godt modellvalg er \(B(t)\approx14243,3-451,8t\) og \(L(t)\approx\frac{18956,7}{1+275,04e^{-0,39054t}}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese hva modellene predikerer, men skille mellom matematisk ekstrapolasjon og realistiske langtidsprognoser.

Steg 1 - Bensinmodellens endring

Den lineære modellen faller med omtrent \(452\) biler per år.

Steg 2 - Eksempelprognoser for bensin

For 2025, \(t=15\), gir modellen omtrent \(7466\) bensinbiler. For 2030, \(t=20\), gir den omtrent \(5208\).

Steg 3 - Begrensning for bensin

En lineær modell blir til slutt negativ. Den treffer null rundt \(t=31,5\), altså cirka 2041-2042, og kan derfor ikke være gyldig ubegrenset.

Steg 4 - Elbilmodellens utvikling

Den logistiske modellen gir omtrent \(10616\) elbiler i 2025 og \(17055\) i 2030.

Steg 5 - Logistisk langtidsatferd

Når \(t\to\infty\), nærmer modellen seg \(18957\) elbiler. Veksten avtar når markedet nærmer seg dette nivået.

Steg 6 - Kritisk konklusjon

Begge modeller kan være nyttige noen år etter 2022, men de bygger bare på historiske data. Bilbestand, politikk, avgifter, ladeinfrastruktur, flytting og teknologisk endring kan endre utviklingen. Særlig den estimerte logistiske grensen er ikke en naturkonstant.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math

def petrol(t):
    return 14243.25274725-451.78571429*t

def electric(t):
    return 18956.7076/(1+275.040876*math.exp(-0.390539617*t))

for year in [2022,2025,2030,2040]:
    t = year-2010
    print(year, "petrol =", round(petrol(t),1), "electric =", round(electric(t),1))
zero_time = 14243.25274725/451.78571429
print("Linear petrol model reaches zero at t =", round(zero_time,3))
print("Corresponding year =", round(2010+zero_time,3))
print("Logistic electric ceiling =", 18956.7076)
print("Electric growth from 2025 to 2030 =", round(electric(20)-electric(15),1))

Utskrift fra Python:
2022 petrol = 8821.8 electric = 5361.6
2025 petrol = 7466.5 electric = 10615.8
2030 petrol = 5207.5 electric = 17055.3
2040 petrol = 689.7 electric = 18914.3
Linear petrol model reaches zero at t = 31.527
Corresponding year = 2041.527
Logistic electric ceiling = 18956.7076
Electric growth from 2025 to 2030 = 6439.5

Fasit: Modellene antyder fortsatt fall i bensinbiler og fortsatt, men etter hvert avtakende, vekst i elbiler. De bør bare ekstrapoleres forsiktig utenfor 2010-2022.

Hva spør oppgaven om? Vi skal knytte arealfunksjonen til rektangelet, følge løkken nøyaktig og sammenlikne med det eksakte maksimumet.

Steg 1 - Geometrisk areal

Rektangelet har bredde \(x\) og høyde \(f(x)=4-x^2\). Derfor er \[A(x)=x(4-x^2)=4x-x^3.\]

Steg 2 - Hva der_areal gjør

Programmet bruker \((A(x+h)-A(x))/h\) som en numerisk tilnærming til \(A^{\prime}(x)\).

Steg 3 - Løkkestrategien

Så lenge den estimerte deriverte ved neste prøvepunkt \(x+dx\) er positiv, økes \(x\) med \(0,01\).

Steg 4 - Stoppunktet

Løkken ender ved flyttallsverdien \(x\approx1,1500000000000008\), fordi den deriverte ved neste trinn ikke lenger er positiv.

Steg 5 - Faktisk utskrift

Programmet skriver \[A(1,15)=3,0791250000000003.\]

Steg 6 - Eksakt kontroll

\(A^{\prime}(x)=4-3x^2\), så eksakt maksimum er ved \(x=2/\sqrt3\approx1,1547\), med \(A_{\max}=16/(3\sqrt3)\approx3,07920\). Programmet gir en svært nær tilnærming.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

def f(x):
    return -x**2 + 4

def areal(x):
    return x*f(x)

h = 0.0001

def der_areal(x):
    return (areal(x+h)-areal(x))/h

x = 0
dx = 0.01
iterations = 0
while der_areal(x+dx) > 0:
    x = x+dx
    iterations += 1

print(areal(x))
print("x =", x)
print("iterations =", iterations)
print("der_areal(x) =", der_areal(x))
print("der_areal(x+dx) =", der_areal(x+dx))

import sympy as sp
xs = sp.symbols("x", real=True)
A = xs*(4-xs**2)
x_exact = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(A,xs),0),xs)[1]
print("Exact maximizing x =", x_exact)
print("Exact maximum area =", sp.simplify(A.subs(xs,x_exact)))
print("Exact maximum decimal =", sp.N(A.subs(xs,x_exact),12))

Utskrift fra Python:
3.0791250000000003
x = 1.1500000000000008
iterations = 115
der_areal(x) = 0.03215498999953326
der_areal(x+dx) = -0.037148010001430976
Exact maximizing x = 2*sqrt(3)/3
Exact maximum area = 16*sqrt(3)/9
Exact maximum decimal = 3.07920143568

Fasit: Lars tilnærmer det største rektangelarealet. Programmet skriver \(3,0791250000000003\), ved \(x\approx1,15\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive algoritmen som et lokalt trinnsøk og identifisere forutsetningene den trenger.

Steg 1 - Navngi strategien

Programmet bruker et framoverrettet «hill-climbing»-søk: det går mot høyre så lenge arealet fortsatt øker.

Steg 2 - Stoppkriteriet

Fortegnet til en numerisk derivert brukes som indikator. Når fortegnet blir ikke-positivt, stoppes søket.

Steg 3 - Oppløsning

Nøyaktigheten styres særlig av \(dx=0,01\). Et mindre trinn kan gi et mer presist x, men krever flere iterasjoner.

Steg 4 - Når metoden fungerer

Den fungerer rimelig når arealfunksjonen er glatt, starter i et stigende område og har ett tydelig maksimum før domenets slutt.

Steg 5 - Når metoden kan feile

Den kan stoppe ved et lokalt maksimum, ved et flatt parti eller på grunn av numerisk støy. Den kan også gå utenfor gyldig domene eller aldri stoppe dersom funksjonen fortsetter å øke.

Steg 6 - Konklusjon

Strategien er ikke universell. En robust algoritme må kjenne domenet, ha maksimal iterasjonsgrense og gjerne sammenlikne flere kandidater eller bruke en etablert optimeringsmetode.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

def hill_climb(area, derivative_estimate, start=0.0, dx=0.01, right_limit=2.0, max_steps=100000):
    x = start
    steps = 0
    while x+dx <= right_limit and derivative_estimate(x+dx) > 0 and steps < max_steps:
        x += dx
        steps += 1
    return x, area(x), steps

h = 0.0001
area1 = lambda x: x*(4-x**2)
der1 = lambda x: (area1(x+h)-area1(x))/h
print("Original case =", hill_climb(area1, der1))

area2 = lambda x: (x-0.5)**2
der2 = lambda x: (area2(x+h)-area2(x))/h
print("Convex function case =", hill_climb(area2, der2))

area3 = lambda x: -(x-0.4)**2+2 + 0.2*(-(x-1.5)**2+2)
der3 = lambda x: (area3(x+h)-area3(x))/h
print("Multiple-shape case =", hill_climb(area3, der3))
print("Conclusion: the method needs domain and shape assumptions")

Utskrift fra Python:
Original case = (1.1500000000000008, 3.0791250000000003, 115)
Convex function case = (0.0, 0.25, 0)
Multiple-shape case = (0.5800000000000003, 2.1983200000000003, 58)
Conclusion: the method needs domain and shape assumptions

Fasit: Lars bruker et trinnvis lokalt søk basert på fortegnet til en numerisk derivert. Metoden fungerer ikke uavhengig av funksjonen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal maksimere grunnflatearealet i sirkelskiven og høyden i halvkulen, og vise at begge maksimum kan oppnås samtidig.

Steg 1 - Volumformelen

For en pyramide er \[V=\frac{hG}{3},\] der \(G\) er rektangelets areal og \(h\) er høyden.

Steg 2 - Størst mulig høyde

Fra snittflaten til toppen av halvkulen er maksimal høyde \(h=r\). Dette oppnås når toppunktet er kulens øverste punkt.

Steg 3 - Rektangel i en sirkel

La rektangelets sider være \(a\) og \(b\). Når hjørnene ligger på sirkelen med radius \(r\), er diagonalen \(2r\), så \[a^2+b^2=4r^2.\]

Steg 4 - Maksimer grunnflaten

Fra \((a-b)^2\ge0\) følger \(a^2+b^2\ge2ab\). Dermed \[G=ab\le\frac{a^2+b^2}{2}=2r^2.\] Likhet gjelder når \(a=b\), altså for et kvadrat.

Steg 5 - Kombiner maksimumene

Et kvadrat med side \(\sqrt2r\) kan ligge i snittflaten samtidig som toppunktet ligger rett over sentrum i høyde \(r\). Hele pyramiden ligger i halvkulen fordi halvkulen er konveks.

Steg 6 - Største volum

\[V_{\max}=\frac13\cdot r\cdot2r^2=\frac23r^3.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
r,a,b,h = sp.symbols("r a b h", positive=True)
# For an inscribed rectangle: a^2+b^2=4r^2.
# AM-GM gives 2ab <= a^2+b^2.
G_max = sp.simplify((4*r**2)/2)
h_max = r
V_max = sp.simplify(h_max*G_max/3)
side_square = sp.sqrt(2)*r
print("Maximum rectangular base area =", G_max)
print("Square side length =", side_square)
print("Maximum height =", h_max)
print("Maximum pyramid volume =", V_max)
print("Diagonal check =", sp.simplify(sp.sqrt(side_square**2+side_square**2)))
print("For r=1, volume =", V_max.subs(r,1))

Utskrift fra Python:
Maximum rectangular base area = 2*r**2
Square side length = sqrt(2)*r
Maximum height = r
Maximum pyramid volume = 2*r**3/3
Diagonal check = 2*r
For r=1, volume = 2/3

Fasit: \(\displaystyle V_{\max}=\frac{2}{3}r^3\). Maksimum oppnås med kvadratisk grunnflate og toppunkt i halvkulens topp.