Tolkning: GeoGebra bruker produktregelen og den deriverte av ln(x).
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",positive=True)g=3*x**2*sp.log(x)g_prime=sp.diff(g,x)factored=sp.factor(g_prime)expected=6*x*sp.log(x)+3*xprint("g(x) =",g)print("g'(x) =",g_prime)print("Factored form =",factored)print("Expected =",expected)print("Difference =",sp.simplify(g_prime-expected))print("Domain: x > 0")
Utskrift fra Python:
g(x) = 3*x**2*log(x)
g'(x) = 6*x*log(x) + 3*x
Factored form = 3*x*(2*log(x) + 1)
Expected = 6*x*log(x) + 3*x
Difference = 0
Domain: x > 0
Fasit: \(g^\prime(x)=6x\ln x+3x=3x(2\ln x+1)\), for \(x>0\).
Vanlig feil: Å derivere bare én av faktorene.
Sensorpunkt: Produktregelen og logaritmens domene må komme tydelig fram.
Hva spør oppgaven om? Vi skriver kvadratroten som en halv potens og bruker kjerneregelen.
Steg 1 - Skriv som potens
\(h(x)=(4x^2-5)^{1/2}\).
Steg 2 - Ytre funksjon
Den deriverte av \(u^{1/2}\) er \(\frac12u^{-1/2}\).
Steg 3 - Indre funksjon
For \(u=4x^2-5\) er \(u^\prime=8x\).
Steg 4 - Kjerneregelen
\[h^\prime(x)=\frac12(4x^2-5)^{-1/2}\cdot8x.\]
Steg 5 - Forenkle
\[h^\prime(x)=\frac{4x}{\sqrt{4x^2-5}}.\]
Steg 6 - Domene for den deriverte
Den deriverte er definert når \(4x^2-5>0\), altså \(|x|>\sqrt5/2\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Derivative[sqrt(4x^2-5)]
\(4x/\sqrt{4x^2-5}\)
Tolkning: CAS viser både kjerneregel-faktoren 8x og rotnevneren.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x",real=True)h=sp.sqrt(4*x**2-5)h_prime=sp.diff(h,x)expected=4*x/sp.sqrt(4*x**2-5)critical=sp.sqrt(5)/2print("h(x) =",h)print("h'(x) =",h_prime)print("Expected =",expected)print("Difference =",sp.simplify(h_prime-expected))print("Boundary value sqrt(5)/2 =",sp.N(critical,10))print("Derivative domain: x < -sqrt(5)/2 or x > sqrt(5)/2")
Utskrift fra Python:
h(x) = sqrt(4*x**2 - 5)
h'(x) = 4*x/sqrt(4*x**2 - 5)
Expected = 4*x/sqrt(4*x**2 - 5)
Difference = 0
Boundary value sqrt(5)/2 = 1.118033989
Derivative domain: x < -sqrt(5)/2 or x > sqrt(5)/2
Fasit: \(h^\prime(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2-5}}\), der \(|x|>\sqrt5/2\).
Vanlig feil: Å glemme å derivere uttrykket \(4x^2-5\) inne i roten.
Sensorpunkt: Kjerneregelen og skillet mellom funksjonens og den derivertes domene bør vises.
Del 1 - Oppgave 2aForenkling av rasjonalt uttrykk
Oppgave 2a
Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\frac{3x}{x^2-x-2}-\frac{2x}{x+1}-\frac{2}{x-2}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer den første nevneren, finner felles nevner og forkorter til slutt.
Tolkning: CAS forkorter faktoren x-2, men den opprinnelige begrensningen x≠2 må beholdes.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspx=sp.symbols("x")expr=3*x/(x**2-x-2)-2*x/(x+1)-2/(x-2)together=sp.together(expr)factored=sp.factor(together)expected=(1-2*x)/(x+1)print("Original expression =",expr)print("Common denominator form =",together)print("Factored form =",factored)print("Expected simplified form =",expected)print("Difference =",sp.simplify(expr-expected))print("Original exclusions: x != -1 and x != 2")
Utskrift fra Python:
Original expression = 3*x/(x**2 - x - 2) - 2*x/(x + 1) - 2/(x - 2)
Common denominator form = (3*x*(x - 2)*(x + 1) - 2*x*(x - 2)*(x**2 - x - 2) - 2*(x + 1)*(x**2 - x - 2))/((x - 2)*(x + 1)*(x**2 - x - 2))
Factored form = -(2*x - 1)/(x + 1)
Expected simplified form = (1 - 2*x)/(x + 1)
Difference = 0
Original exclusions: x != -1 and x != 2
Fasit: \(\dfrac{1-2x}{x+1}\), med \(x\neq-1,2\).
Vanlig feil: Å glemme at \(x=2\) fortsatt er ulovlig etter forkorting.
Sensorpunkt: Felles nevner, faktorisering og opprinnelig definisjonsmengde må være korrekte.
Del 1 - Oppgave 2bLogaritmeregler
Oppgave 2b
Oppgave: Skriv så enkelt som mulig: \[\ln(ab^2)-8\ln b+2\ln a^3-3\ln\!\left(\frac{a^2}{b^2}\right).\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker produkt-, kvotient- og potensreglene for logaritmer. Vi forutsetter \(a>0\) og \(b>0\).
Steg 1 - Utvid første ledd
\(\ln(ab^2)=\ln a+2\ln b\).
Steg 2 - Potensregelen
\(2\ln a^3=2\cdot3\ln a=6\ln a\).
Steg 3 - Kvotientregelen
\[\ln(a^2/b^2)=2\ln a-2\ln b.\]
Steg 4 - Multipliser siste parentes
\[-3(2\ln a-2\ln b)=-6\ln a+6\ln b.\]
Steg 5 - Samle a-ledd
\(\ln a+6\ln a-6\ln a=\ln a\).
Steg 6 - Samle b-ledd
\(2\ln b-8\ln b+6\ln b=0\).
Steg 7 - Konklusjon
Hele uttrykket blir \(\ln a\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Expand[ln(a b^2)-8ln(b)+2ln(a^3)-3ln(a^2/b^2)]
\(\ln(a)\)
Tolkning: Med a>0 og b>0 kanselleres alle b-leddene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa,b=sp.symbols("a b",positive=True)expr=sp.log(a*b**2)-8*sp.log(b)+2*sp.log(a**3)-3*sp.log(a**2/b**2)expanded=sp.expand_log(expr,force=True)simplified=sp.simplify(expanded)print("Original expression =",expr)print("Expanded logarithms =",expanded)print("Simplified =",simplified)print("Expected =",sp.log(a))print("Difference =",sp.simplify(simplified-sp.log(a)))print("Assumptions: a > 0 and b > 0")
Utskrift fra Python:
Original expression = 2*log(a**3) - 8*log(b) + log(a*b**2) - 3*log(a**2/b**2)
Expanded logarithms = log(a)
Simplified = log(a)
Expected = log(a)
Difference = 0
Assumptions: a > 0 and b > 0
Fasit: \(\ln a\).
Vanlig feil: Å fordele minusfortegnet feil i \(-3\ln(a^2/b^2)\).
Sensorpunkt: Alle logaritmeregler og positivt domene skal brukes konsekvent.
Del 1 - Oppgave 3aSkalarprodukt og ortogonalitet
Oppgave 3a
Oppgave: Vi har \(\vec a=[4,1]\) og \(\vec b=[-1,3]\). Undersøk om \(\vec a\perp\vec b\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? To ikke-null vektorer er vinkelrette akkurat når skalarproduktet er null.
Steg 1 - Sett opp skalarproduktet
\[\vec a\cdot\vec b=4\cdot(-1)+1\cdot3.\]
Steg 2 - Regn ut
\[\vec a\cdot\vec b=-4+3=-1.\]
Steg 3 - Sammenlikn med null
Resultatet er \(-1\), ikke \(0\).
Steg 4 - Konklusjon
Vektorene er derfor ikke vinkelrette.
Steg 5 - Ekstra kontroll
Begge vektorene er ikke-null, så ortogonalitetskriteriet kan brukes direkte.
Steg 6 - Svar med symbol
\(\vec a\not\perp\vec b\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Dot[(4,1),(-1,3)]
\(-1\)
Tolkning: Skalarproduktet er ikke null, så vektorene er ikke ortogonale.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa=sp.Matrix([4,1])b=sp.Matrix([-1,3])dot_product=a.dot(b)print("a =",a.T)print("b =",b.T)print("a dot b =",dot_product)print("Is dot product zero?",sp.simplify(dot_product)==0)print("Conclusion: vectors are not perpendicular")
Utskrift fra Python:
a = Matrix([[4, 1]])
b = Matrix([[-1, 3]])
a dot b = -1
Is dot product zero? False
Conclusion: vectors are not perpendicular
Fasit: Nei. \(\vec a\cdot\vec b=-1\neq0\), så \(\vec a\not\perp\vec b\).
Vanlig feil: Å se på komponentene hver for seg i stedet for skalarproduktet.
Sensorpunkt: Kriteriet \(ec a\cdotec b=0\) må brukes og vurderes korrekt.
Del 1 - Oppgave 3bLineærkombinasjon av vektorer
Oppgave 3b
Oppgave: Bestem tallene \(r\) og \(s\) slik at \(\vec c=r\vec a+s\vec b\), når \(\vec c=[4,14]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner første- og andrekomponenten og løser et lineært likningssystem.
Steg 1 - Skriv lineærkombinasjonen
\[r[4,1]+s[-1,3]=[4r-s,\,r+3s].\]
Steg 2 - Sammenlikn komponentene
\[4r-s=4,\qquad r+3s=14.\]
Steg 3 - Isoler s
Fra første likning får vi \(s=4r-4\).
Steg 4 - Sett inn
\[r+3(4r-4)=14.\]
Steg 5 - Løs for r
\(13r-12=14\), altså \(13r=26\) og \(r=2\).
Steg 6 - Finn s
\(s=4\cdot2-4=4\).
Steg 7 - Kontroller
\(2[4,1]+4[-1,3]=[8,2]+[-4,12]=[4,14]\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[{4r-s=4,r+3s=14},{r,s}]
\(r=2,\ s=4\)
Tolkning: CAS løser komponentlikningene samtidig.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspr,s=sp.symbols("r s",real=True)a=sp.Matrix([4,1])b=sp.Matrix([-1,3])c=sp.Matrix([4,14])solution=sp.solve([sp.Eq(4*r-s,4),sp.Eq(r+3*s,14)],[r,s])check=solution[r]*a+solution[s]*bprint("Equation system: 4r-s=4 and r+3s=14")print("Solution =",solution)print("r*a =",(solution[r]*a).T)print("s*b =",(solution[s]*b).T)print("r*a+s*b =",check.T)print("Matches c =",check==c)
Utskrift fra Python:
Equation system: 4r-s=4 and r+3s=14
Solution = {r: 2, s: 4}
r*a = Matrix([[8, 2]])
s*b = Matrix([[-4, 12]])
r*a+s*b = Matrix([[4, 14]])
Matches c = True
Fasit: \(r=2\) og \(s=4\).
Vanlig feil: Å løse bare én av komponentlikningene.
Sensorpunkt: Begge komponenter må oppfylles, og sluttkontrollen bør vises.
Del 1 - Oppgave 4aTotal sannsynlighet
Oppgave 4a
Oppgave: Maskin A lager 40 % av dekslene og har 20 % feil. Maskin B lager 60 % og har 10 % feil. Hva er sannsynligheten for feil på et tilfeldig deksel?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi deler hendelsen «feil» i to gjensidig utelukkende tilfeller: produsert av A eller produsert av B.
Steg 1 - Definer hendelser
La \(F\) være feil, og \(A\), \(B\) være maskinene.
Steg 2 - Bidrag fra A
\[P(A\cap F)=P(A)P(F\mid A)=0.40\cdot0.20=0.08.\]
Steg 3 - Bidrag fra B
\[P(B\cap F)=0.60\cdot0.10=0.06.\]
Steg 4 - Summer
\[P(F)=0.08+0.06=0.14.\]
Steg 5 - Gjør om til prosent
\(0.14=14\,\%\).
Steg 6 - Rimelighetskontroll
Svaret ligger mellom 10 % og 20 %, slik en vektet gjennomsnittsverdi skal.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
0.4*0.2+0.6*0.1
\(0.14\)
Tolkning: Summen av de to produksjonsgrenene gir total feilrate.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
fromfractionsimportFractionp_A=Fraction(40,100)p_B=Fraction(60,100)p_error_given_A=Fraction(20,100)p_error_given_B=Fraction(10,100)from_A=p_A*p_error_given_Afrom_B=p_B*p_error_given_Btotal=from_A+from_Bprint("P(A and error) =",from_A,"=",float(from_A))print("P(B and error) =",from_B,"=",float(from_B))print("P(error) =",total)print("Decimal =",float(total))print("Percent =",100*float(total))
Utskrift fra Python:
P(A and error) = 2/25 = 0.08
P(B and error) = 3/50 = 0.06
P(error) = 7/50
Decimal = 0.14
Percent = 14.000000000000002
Fasit: \(P(F)=0.14=14\,\%\).
Vanlig feil: Å legge 20 % og 10 % direkte sammen uten å vekte med produksjonsandelene.
Sensorpunkt: De to grenene må vektes og summeres med total sannsynlighet.
Del 1 - Oppgave 4bBayes’ setning
Oppgave 4b
Oppgave: Et deksel har en feil. Hva er sannsynligheten for at det er produsert av maskin A?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Nå kjenner vi at feil har skjedd og skal snu den betingede sannsynligheten med Bayes’ setning.
For \(0<t<2\) er \(A^\prime>0\), og for \(t>2\) er \(A^\prime<0\).
Steg 6 - Maksimum
Arealfunksjonen vokser før 2 og avtar etter 2, derfor er \(t=2\) globalt maksimum.
Steg 7 - Kontroll av arealet
\(A(2)=16/8=2\).
Rektangelet med maksimal bredde t=2 og høyde 1.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
A(t):=8t/(t^2+4)
\(A(t)=8t/(t^2+4)\)
2
Extremum[A,0,10]
\((2,2)\)
Tolkning: Grafverktøyet viser maksimumspunktet (2,2).
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",positive=True)A=8*t/(t**2+4)A_prime=sp.factor(sp.diff(A,t))critical=sp.solve(sp.Eq(sp.factor(sp.together(A_prime).as_numer_denom()[0]),0),t)print("A(t) =",A)print("A'(t) =",A_prime)print("Positive critical values =",critical)forvaluein[sp.Rational(1,1),sp.Rational(2,1),sp.Rational(3,1)]:print("A(",value,") =",sp.simplify(A.subs(t,value)),", A' =",sp.simplify(A_prime.subs(t,value)))print("Maximum area =",sp.simplify(A.subs(t,2)))
Utskrift fra Python:
A(t) = 8*t/(t**2 + 4)
A'(t) = -8*(t - 2)*(t + 2)/(t**2 + 4)**2
Positive critical values = [2]
A( 1 ) = 8/5 , A' = 24/25
A( 2 ) = 2 , A' = 0
A( 3 ) = 24/13 , A' = -40/169
Maximum area = 2
Fasit: \(t=2\), og maksimalarealet er \(2\).
Vanlig feil: Å maksimere bare høyden \(f(t)\) i stedet for produktet \(t\cdot f(t)\).
Sensorpunkt: Arealfunksjon, kritisk punkt og fortegnsskifte må dokumenteres.
Del 1 - Oppgave 7Geometrisk konstruksjon
Oppgave 7
Oppgave: I firkanten \(ABCD\) er \(AB=3\,\text{cm}\), \(AC=10\,\text{cm}\), \(CD=9\,\text{cm}\), \(\angle ADC=90^{\circ}\) og \(\angle BAC=75^{\circ}\). Konstruer firkanten og forklar konstruksjonen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bygger først trekantdelen som bestemmer A, B og C. Deretter bruker vi Thales’ setning for å plassere D.
Steg 1 - Konstruer grunnlinjen
Tegn linjestykket \(AB=3\,\text{cm}\).
Steg 2 - Konstruer vinkelen
Konstruer en stråle fra A som danner \(75^{\circ}\) med AB.
Steg 3 - Plasser C
Slå en sirkel med sentrum A og radius 10 cm. Skjæringen med strålen er C.
Steg 4 - Bruk rettvinkelbetingelsen
Alle punkter D med \(\angle ADC=90^{\circ}\) ligger på sirkelen med AC som diameter.
Steg 5 - Bruk lengden CD
Slå en sirkel med sentrum C og radius 9 cm.
Steg 6 - Plasser D
Et skjæringspunkt mellom de to sirklene er D. Det kan finnes to speilvendte løsninger; velg den som gir ønsket firkantrekkefølge.
Steg 7 - Fullfør firkanten
Tegn BC, CD og DA.
Steg 8 - Kontroll
Thales gir rett vinkel ved D, og radiuskonstruksjonene sikrer alle oppgitte lengder.
importsympyasspangle=sp.pi*75/180A=sp.Point(0,0)B=sp.Point(3,0)C=sp.Point(10*sp.cos(angle),10*sp.sin(angle))AD=sp.sqrt(10**2-9**2)print("A =",A)print("B =",B)print("C =",C)print("AB =",A.distance(B))print("AC =",sp.simplify(A.distance(C)))print("Required CD = 9")print("From Pythagoras, AD =",AD)print("Check: AD^2+CD^2 =",sp.simplify(AD**2+9**2))
Utskrift fra Python:
A = Point2D(0, 0)
B = Point2D(3, 0)
C = Point2D(-5*sqrt(2)/2 + 5*sqrt(6)/2, 5*sqrt(2)/2 + 5*sqrt(6)/2)
AB = 3
AC = 10
Required CD = 9
From Pythagoras, AD = sqrt(19)
Check: AD^2+CD^2 = 100
Fasit: Konstruksjonen utføres med \(AB=3\), en \(75^{\circ}\)-stråle, \(AC=10\), sirkelen med AC som diameter og sirkelen med sentrum C og radius 9.
Vanlig feil: Å konstruere en rett vinkel ved D uten samtidig å sikre at D ligger riktig i forhold til A og C.
Sensorpunkt: Konstruksjonsrekkefølge og begrunnelse med Thales’ setning må være med.
Del 1 - Oppgave 8aInnskrevet vinkel
Oppgave 8a
Oppgave: I sirkelen er sirkelbuen \(BD=108^{\circ}\). Bestem \(\angle BED\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vinkelen BED er en innskrevet vinkel som spenner over buen BD.
Steg 1 - Identifiser buen
Vinkelbeina EB og ED treffer sirkelen i B og D.
Steg 2 - Bruk periferivinkelsetningen
En innskrevet vinkel er halvparten av den tilhørende sirkelbuen.
Steg 3 - Sett inn buevinkelen
\[\angle BED=\frac12\cdot108^{\circ}.\]
Steg 4 - Regn ut
\[\angle BED=54^{\circ}.\]
Steg 5 - Kontroller plasseringen
E ligger på den andre buen enn den buen BD som vinkelen spenner over.
Steg 6 - Konklusjon
Den innskrevne vinkelen er 54 grader.
Vinkelen BED spenner over buen BD.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
108°/2
\(54^{\circ}\)
Tolkning: Periferivinkelen er halvparten av den målte buen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
fromfractionsimportFractionarc_BD=Fraction(108,1)angle_BED=arc_BD/2print("Arc BD =",arc_BD,"degrees")print("Inscribed-angle factor = 1/2")print("Angle BED =",angle_BED,"degrees")print("Double angle BED =",2*angle_BED,"degrees")print("Check equals arc BD =",2*angle_BED==arc_BD)
Utskrift fra Python:
Arc BD = 108 degrees
Inscribed-angle factor = 1/2
Angle BED = 54 degrees
Double angle BED = 108 degrees
Check equals arc BD = True
Fasit: \(\angle BED=54^{\circ}\).
Vanlig feil: Å bruke 108° direkte som innskrevet vinkel.
Sensorpunkt: Periferivinkelsetningen skal kobles til riktig bue.
Del 1 - Oppgave 8bVinkler i trekant og toppvinkler
Oppgave 8b
Oppgave: Trekanten ABC er likesidet. Linjen ED skjærer BC i F. Bestem \(\angle CFD\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker først vinkelsummen i trekanten EBF og deretter toppvinkler i skjæringspunktet F.
Steg 1 - Likesidet trekant
\(\angle ABC=60^{\circ}\).
Steg 2 - Overfør til trekant EBF
Fordi E ligger på AB og F ligger på BC, er \(\angle EBF=60^{\circ}\).
Steg 3 - Bruk del a
F ligger på ED, så \(\angle BEF=\angle BED=54^{\circ}\).
Vanlig feil: Å blande sammen nabovinkler og toppvinkler ved F.
Sensorpunkt: Vinkelsummen i EBF og toppvinkelargumentet må begge være tydelige.
Del 1 - Oppgave 9aParameterframstilling for linje
Oppgave 9a
Oppgave: En linje \(\ell\) går gjennom \(A(-2,1)\) og \(B(4,3)\). Bestem en parameterframstilling for \(\ell\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? En parameterframstilling trenger ett punkt på linjen og en retningsvektor.
Steg 1 - Finn retningsvektor
\[\overrightarrow{AB}=(4-(-2),3-1)=(6,2).\]
Steg 2 - Forkort retningsvektoren
\((6,2)=2(3,1)\), så vi kan bruke \((3,1)\).
Steg 3 - Bruk punkt A
\[(x,y)=(-2,1)+t(3,1).\]
Steg 4 - Skriv komponentvis
\[x=-2+3t,\qquad y=1+t.\]
Steg 5 - Parameterområde
For hele linjen lar vi \(t\in\mathbb R\).
Steg 6 - Kontroller B
Når \(t=2\), får vi \((x,y)=(4,3)=B\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Line[(-2,1),(4,3)]
Linjen gjennom A og B
2
Curve[-2+3t,1+t,t,-10,10]
Parameterkurven ligger på samme linje
Tolkning: Retningsvektoren (3,1) går fra A til B på to parameterenheter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)A=sp.Matrix([-2,1])B=sp.Matrix([4,3])direction=B-Areduced=direction/2param=A+t*reducedprint("A =",A.T)print("B =",B.T)print("AB direction =",direction.T)print("Reduced direction =",reduced.T)print("Parametric point =",param.T)print("At t=2 =",param.subs(t,2).T)print("Check B =",param.subs(t,2)==B)
Utskrift fra Python:
A = Matrix([[-2, 1]])
B = Matrix([[4, 3]])
AB direction = Matrix([[6, 2]])
Reduced direction = Matrix([[3, 1]])
Parametric point = Matrix([[3*t - 2, t + 1]])
At t=2 = Matrix([[4, 3]])
Check B = True
Vanlig feil: Å bruke punktkoordinatene som retningsvektor.
Sensorpunkt: Et korrekt punkt, en parallell retningsvektor og kontroll av B er tilstrekkelig.
Del 1 - Oppgave 9bSkjæring med koordinataksene
Oppgave 9b
Oppgave: Bestem skjæringspunktene mellom \(\ell\) og koordinataksene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker parameterframstillingen og setter én koordinat lik null om gangen.
Steg 1 - Parameterframstilling
\(x=-2+3t\), \(y=1+t\).
Steg 2 - Skjæring med x-aksen
På x-aksen er \(y=0\), så \(1+t=0\) og \(t=-1\).
Steg 3 - Finn x-koordinaten
\(x=-2+3(-1)=-5\), altså \((-5,0)\).
Steg 4 - Skjæring med y-aksen
På y-aksen er \(x=0\), så \(-2+3t=0\) og \(t=2/3\).
Steg 5 - Finn y-koordinaten
\(y=1+2/3=5/3\), altså \((0,5/3)\).
Steg 6 - Kontroll med linjelikning
Begge punktene oppfyller \(x-3y+5=0\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Intersect[Line[(-2,1),(4,3)],xAxis]
\((-5,0)\)
2
Intersect[Line[(-2,1),(4,3)],yAxis]
\((0,5/3)\)
Tolkning: GeoGebra finner begge aksekryssene direkte.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)x_t=-2+3*ty_t=1+tt_xaxis=sp.solve(sp.Eq(y_t,0),t)[0]t_yaxis=sp.solve(sp.Eq(x_t,0),t)[0]point_xaxis=(sp.simplify(x_t.subs(t,t_xaxis)),0)point_yaxis=(0,sp.simplify(y_t.subs(t,t_yaxis)))print("t for x-axis =",t_xaxis)print("Intersection with x-axis =",point_xaxis)print("t for y-axis =",t_yaxis)print("Intersection with y-axis =",point_yaxis)print("Line check x-3y+5 at x-axis point =",point_xaxis[0]-3*point_xaxis[1]+5)print("Line check x-3y+5 at y-axis point =",point_yaxis[0]-3*point_yaxis[1]+5)
Utskrift fra Python:
t for x-axis = -1
Intersection with x-axis = (-5, 0)
t for y-axis = 2/3
Intersection with y-axis = (0, 5/3)
Line check x-3y+5 at x-axis point = 0
Line check x-3y+5 at y-axis point = 0
Fasit: Skjæringspunktene er \((-5,0)\) og \((0,5/3)\).
Vanlig feil: Å bytte om betingelsene: x-aksen betyr y=0, y-aksen betyr x=0.
Sensorpunkt: Begge punkter skal gis med eksakte koordinater.
Del 1 - Oppgave 9cAvstand fra punkt til linje
Oppgave 9c
Oppgave: En sirkel har sentrum \(S(1,0)\) og tangerer \(\ell\). Bestem sirkelens radius.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Radiusen er den vinkelrette avstanden fra sentrum S til tangentlinjen.
Steg 1 - Finn linjens likning
Fra stigning \(1/3\) får vi \(y=(x+5)/3\), altså \(x-3y+5=0\).
Steg 2 - Avstandsformelen
For linjen \(Ax+By+C=0\) er avstanden fra \((x_0,y_0)\) \(\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
Vanlig feil: Å bruke avstanden fra S til et vilkårlig punkt på linjen i stedet for den vinkelrette avstanden.
Sensorpunkt: Linjelikning og punkt-linje-avstandsformel må brukes korrekt.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aHypergeometrisk sannsynlighet
Oppgave 1a
Oppgave: Av 20 ministre er 12 fra Høyre. Seks ministre trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at alle seks er fra Høyre?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Trekkingen skjer uten tilbakelegging, så vi bruker kombinasjoner og hypergeometrisk sannsynlighet.
Steg 1 - Antall mulige utvalg
Antall måter å velge 6 av 20 på er \(\binom{20}{6}\).
Steg 2 - Gunstige utvalg
Alle seks skal være blant de 12 fra Høyre, så antallet er \(\binom{12}{6}\).
Steg 3 - Sett opp sannsynligheten
\[P=\frac{\binom{12}{6}}{\binom{20}{6}}.\]
Steg 4 - Regn ut kombinasjonene
\(\binom{12}{6}=924\) og \(\binom{20}{6}=38760\).
Steg 5 - Forkort
\[P=\frac{924}{38760}=\frac{77}{3230}.\]
Steg 6 - Desimal og prosent
\[P\approx0.023839=2.38\,\%.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
nCr(12,6)/nCr(20,6)
\(77/3230\approx0.023839\)
Tolkning: Kombinasjonsbrøken teller alle gunstige utvalg over alle mulige utvalg.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importmathfromfractionsimportFractionfavorable=math.comb(12,6)total=math.comb(20,6)probability=Fraction(favorable,total)print("C(12,6) =",favorable)print("C(20,6) =",total)print("Exact probability =",probability)print("Decimal probability =",float(probability))print("Percent =",100*float(probability))
Utskrift fra Python:
C(12,6) = 924
C(20,6) = 38760
Exact probability = 77/3230
Decimal probability = 0.023839009287925695
Percent = 2.3839009287925697
Tolkning: Vi låser statsministeren inne i utvalget og velger de fem andre.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importmathfromfractionsimportFractionfavorable=math.comb(19,5)total=math.comb(20,6)by_counting=Fraction(favorable,total)by_symmetry=Fraction(6,20)print("Favorable selections C(19,5) =",favorable)print("Total selections C(20,6) =",total)print("Probability by counting =",by_counting)print("Probability by symmetry =",by_symmetry)print("Methods agree =",by_counting==by_symmetry)print("Percent =",100*float(by_counting))
Utskrift fra Python:
Favorable selections C(19,5) = 11628
Total selections C(20,6) = 38760
Probability by counting = 3/10
Probability by symmetry = 3/10
Methods agree = True
Percent = 30.0
Fasit: \(P=\dfrac3{10}=30\,\%\).
Vanlig feil: Å regne sannsynligheten som \(1/20\), som gjelder én bestemt plass, ikke seks plasser.
Sensorpunkt: Enten symmetriargument eller korrekt kombinasjonsbrøk må dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 1cFlerkategori-hypergeometrisk sannsynlighet
Oppgave 1c
Oppgave: Bestem sannsynligheten for at utvalget består av 2 fra Høyre, 2 fra Venstre og 2 fra Kristelig Folkeparti, når gruppestørrelsene er 12, 4 og 4.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger ønsket antall fra hver av de tre partigruppene og dividerer med alle seksmannsutvalg.
Tolkning: Produktet i telleren velger nøyaktig to fra hver kategori.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importmathfromfractionsimportFractionchoose_H=math.comb(12,2)choose_V=math.comb(4,2)choose_K=math.comb(4,2)favorable=choose_H*choose_V*choose_Ktotal=math.comb(20,6)probability=Fraction(favorable,total)print("C(12,2) =",choose_H)print("C(4,2) for Venstre =",choose_V)print("C(4,2) for KrF =",choose_K)print("Favorable selections =",favorable)print("Total selections =",total)print("Exact probability =",probability)print("Decimal probability =",float(probability))print("Percent =",100*float(probability))
Utskrift fra Python:
C(12,2) = 66
C(4,2) for Venstre = 6
C(4,2) for KrF = 6
Favorable selections = 2376
Total selections = 38760
Exact probability = 99/1615
Decimal probability = 0.06130030959752322
Percent = 6.130030959752323
Vanlig feil: Å summere kombinasjonstallene i stedet for å multiplisere dem.
Sensorpunkt: Valgene fra de tre kategoriene skjer samtidig og må derfor multipliseres.
Del 2 - Oppgave 2aParameterkurve
Oppgave 2a
Oppgave: Posisjonen er \(\vec r(t)=[t^2-7t+11,\ t^3-6t^2+8t-1]\), \(0\le t\le5\). Tegn grafen til \(\vec r\) i et koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi tegner en parameterkurve ved å bruke første komponent som x-koordinat og andre komponent som y-koordinat.
Steg 1 - Identifiser komponentene
\(x(t)=t^2-7t+11\) og \(y(t)=t^3-6t^2+8t-1\).
Steg 2 - Bruk riktig parameterintervall
Bare \(0\le t\le5\) skal tegnes.
Steg 3 - Finn startpunktet
\(\vec r(0)=[11,-1]\).
Steg 4 - Finn endepunktet
\(\vec r(5)=[1,14]\).
Steg 5 - Finn noen støttepunkter
For eksempel \(\vec r(1)=[5,2]\), \(\vec r(2)=[1,-1]\), \(\vec r(3)=[-1,-4]\), \(\vec r(4)=[-1,-1]\).
Steg 6 - Tegn i riktig retning
Kurven går fra \((11,-1)\) ved \(t=0\) til \((1,14)\) ved \(t=5\).
Steg 7 - Dokumenter verktøyet
En graftegner skal vise selve parameterkommandoen og intervallet.
Parameterkurven med startpunkt, endepunkt og punktet med lavest fart.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Curve[t^2-7t+11,t^3-6t^2+8t-1,t,0,5]
Parameterkurven fra \((11,-1)\) til \((1,14)\)
Tolkning: Curve-kommandoen bruker begge koordinatfunksjonene og riktig tidsintervall.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspt=sp.symbols("t",real=True)x_t=t**2-7*t+11y_t=t**3-6*t**2+8*t-1r=sp.Matrix([x_t,y_t])print("r(t) =",r.T)forvalueinrange(0,6):point=r.subs(t,value)print("t =",value,"-> point =",tuple(point))print("Start point =",tuple(r.subs(t,0)))print("End point =",tuple(r.subs(t,5)))
Utskrift fra Python:
r(t) = Matrix([[t**2 - 7*t + 11, t**3 - 6*t**2 + 8*t - 1]])
t = 0 -> point = (11, -1)
t = 1 -> point = (5, 2)
t = 2 -> point = (1, -1)
t = 3 -> point = (-1, -4)
t = 4 -> point = (-1, -1)
t = 5 -> point = (1, 14)
Start point = (11, -1)
End point = (1, 14)
Fasit: Grafen er parameterkurven \((x,y)=(t^2-7t+11,\ t^3-6t^2+8t-1)\) for \(0\le t\le5\).
Vanlig feil: Å tegne de to komponentfunksjonene hver for seg mot t i stedet for en bane i xy-planet.
Sensorpunkt: Kurven, parameterintervallet og retningen må dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 2bBanefart fra fartsvektor
Oppgave 2b
Oppgave: Bestem banefarten til partikkelen etter 1 sekund.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Banefarten er lengden av fartsvektoren \(ec v(t)=ec r\,^\prime(t)\).
Steg 1 - Deriver x-komponenten
\(x^\prime(t)=2t-7\).
Steg 2 - Deriver y-komponenten
\(y^\prime(t)=3t^2-12t+8\).
Steg 3 - Fartsvektor
\[\vec v(t)=[2t-7,\ 3t^2-12t+8].\]
Steg 4 - Sett inn t=1
\[\vec v(1)=[-5,-1].\]
Steg 5 - Finn lengden
\[|\vec v(1)|=\sqrt{(-5)^2+(-1)^2}=\sqrt{26}.\]
Steg 6 - Desimal
\(\sqrt{26}\approx5.10\) enheter per sekund.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
r(t)=(t^2-7t+11,t^3-6t^2+8t-1)
Posisjonsvektor
2
Length[Derivative[r](1)]
\(\sqrt{26}\)
Tolkning: Den deriverte gir fartsvektoren, og Length gir banefarten.
Fasit: Banefarten er lavest ved \(t=\dfrac{13+\sqrt{37}}6\approx3.180\,\text{s}\).
Vanlig feil: Å finne bare ett nullpunkt for den deriverte eller å glemme endepunktene.
Sensorpunkt: Alle kandidater på det lukkede intervallet må sammenliknes.
Del 2 - Oppgave 3aEksponentiallikning med logaritmemodell
Oppgave 3a
Oppgave: Modellen er \(h=16\ln(a)+31\). Dennis har hundealder 65. Hvor mange år har Dennis levd?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi setter \(h=65\), isolerer logaritmen og eksponentierer.
Steg 1 - Sett inn h
\[65=16\ln(a)+31.\]
Steg 2 - Trekk fra 31
\[34=16\ln(a).\]
Steg 3 - Del på 16
\[\ln(a)=\frac{34}{16}=\frac{17}{8}.\]
Steg 4 - Eksponentier
\[a=e^{17/8}.\]
Steg 5 - Regn ut
\[a\approx8.3729.\]
Steg 6 - Tolkning
Dennis har levd omtrent 8.37 år, altså litt over 8 år og 4 måneder.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[65=16ln(a)+31,a]
\(a=e^{17/8}\approx8.37290\)
Tolkning: CAS isolerer a ved å bruke eksponentialfunksjonen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa=sp.symbols("a",positive=True)h=16*sp.log(a)+31solution=sp.solve(sp.Eq(h,65),a)[0]check=sp.simplify(h.subs(a,solution))print("Model h(a) =",h)print("Equation: h(a) = 65")print("Exact age a =",solution)print("Decimal age a =",sp.N(solution,12))print("Substitution check h(a) =",check)print("Approximate months beyond 8 years =",sp.N((solution-8)*12,6))
Utskrift fra Python:
Model h(a) = 16*log(a) + 31
Equation: h(a) = 65
Exact age a = exp(17/8)
Decimal age a = 8.37289748813
Substitution check h(a) = 65
Approximate months beyond 8 years = 4.47477
Fasit: Dennis har levd \(a=e^{17/8}\approx8.37\) år.
Vanlig feil: Å bruke 10-logaritme eller å glemme å trekke fra 31 før divisjon.
Sensorpunkt: Eksakt eksponentialform og en rimelig desimalverdi bør oppgis.
Del 2 - Oppgave 3bGrafisk framstilling av logaritmemodell
Oppgave 3b
Oppgave: Lag en grafisk framstilling med faktisk alder \(a\) langs førsteaksen og hundealder \(h\) langs andreaksen for modellen \(h=16\ln(a)+31\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi tegner logaritmefunksjonen på et meningsfullt positivt aldersintervall og merker aksene tydelig.
Steg 1 - Definisjonsmengde
Logaritmen krever \(a>0\).
Steg 2 - Velg vindu
Et praktisk vindu kan være \(0.1\le a\le15\).
Steg 3 - Legg inn funksjonen
\[h(a)=16\ln(a)+31.\]
Steg 4 - Merk aksene
Førsteaksen viser faktisk hundealder a i år, andreaksen viser modellens hundealder h.
Steg 5 - Beskriv formen
Grafen er voksende, men stigningstallet avtar fordi \(h^\prime(a)=16/a\).
Steg 6 - Kontrollpunkt
For \(a=1\) får vi \(h=31\), så grafen går gjennom \((1,31)\).
Grafisk framstilling av hundealdermodellen for positive aldre.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
h(a):=16ln(a)+31
Logaritmisk modell
2
Function[h,0.1,15]
Graf for positive aldre
Tolkning: Grafen skal bare tegnes for a>0, og aksene må ha korrekt betydning.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa=sp.symbols("a",positive=True)h=16*sp.log(a)+31h_prime=sp.diff(h,a)print("h(a) =",h)print("Domain: a > 0")print("h'(a) =",h_prime)forvaluein[sp.Rational(1,2),1,2,5,10,15]:print("a =",value,"-> h =",sp.N(h.subs(a,value),10))print("Reference point h(1) =",h.subs(a,1))print("Derivative is positive for every a > 0")
Utskrift fra Python:
h(a) = 16*log(a) + 31
Domain: a > 0
h'(a) = 16/a
a = 1/2 -> h = 19.90964511
a = 1 -> h = 31.00000000
a = 2 -> h = 42.09035489
a = 5 -> h = 56.75100660
a = 10 -> h = 67.84136149
a = 15 -> h = 74.32880322
Reference point h(1) = 31
Derivative is positive for every a > 0
Fasit: Grafen er \(h=16\ln(a)+31\) for \(a>0\), med a på førsteaksen og h på andreaksen.
Vanlig feil: Å tegne grafen for negative a-verdier eller å bytte om aksene.
Sensorpunkt: Domene, aksemerking og dokumentert grafkommando må være tydelige.
Del 2 - Oppgave 3cLikningssystem med logaritmer
Oppgave 3c
Oppgave: For ett år siden var Laikas hundealder 20 mer enn Fidos. I dag er Laikas hundealder 10 mer enn Fidos. Hva er Laikas hundealder i dag?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi lar x og y være de faktiske alderne til Laika og Fido i dag og oversetter begge opplysningene til logaritmelikninger.
Steg 1 - Definer faktiske aldre
La Laika være \(x\) år og Fido \(y\) år i dag, med \(x>1\), \(y>1\).
I dag blir forskjellen 10, og for ett år siden blir den 20.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
k:=exp(5/8)
\(k=e^{5/8}\)
2
x:=k+1
Laikas faktiske alder
3
16ln(x)+31
\(47.85921085\)
Tolkning: CAS-løsningen gir Laikas faktiske alder først og deretter modellens hundealder.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspk=sp.exp(sp.Rational(5,8))x=1+ky=1+1/kh=lambdaage:16*sp.log(age)+31laika_today=sp.simplify(h(x))fido_today=sp.simplify(h(y))laika_last=sp.simplify(h(x-1))fido_last=sp.simplify(h(y-1))print("k = exp(5/8) =",sp.N(k,12))print("Laika actual age x =",x,"=",sp.N(x,12))print("Fido actual age y =",y,"=",sp.N(y,12))print("Laika dog age today =",laika_today,"=",sp.N(laika_today,12))print("Fido dog age today =",sp.N(fido_today,12))print("Difference today =",sp.simplify(laika_today-fido_today))print("Laika dog age one year ago =",sp.N(laika_last,12))print("Fido dog age one year ago =",sp.N(fido_last,12))print("Difference one year ago =",sp.simplify(laika_last-fido_last))
Utskrift fra Python:
k = exp(5/8) = 1.86824595743
Laika actual age x = 1 + exp(5/8) = 2.86824595743
Fido actual age y = exp(-5/8) + 1 = 1.53526142852
Laika dog age today = 16*log(1 + exp(5/8)) + 31 = 47.8592108524
Fido dog age today = 37.8592108524
Difference today = 10
Laika dog age one year ago = 41.0000000000
Fido dog age one year ago = 21.0000000000
Difference one year ago = 20
Fasit: Laikas hundealder i dag er \(16\ln(1+e^{5/8})+31\approx47.86\).
Vanlig feil: Å svare med Laikas faktiske alder \(2.87\) år i stedet for modellens hundealder.
Sensorpunkt: Begge tidsbetingelser må brukes, og sluttverdien skal være h, ikke a.
Del 2 - Oppgave 4aHerons formel
Oppgave 4a
Oppgave: Bruk Herons formel til å bestemme arealet av en trekant med sidelengder 5, 7 og 8.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner først halvperimeteren og setter alle fire faktorene inn i Herons formel.
Steg 1 - Halvperimeter
\[s=\frac{5+7+8}{2}=10.\]
Steg 2 - Differansene
\(s-5=5\), \(s-7=3\) og \(s-8=2\).
Steg 3 - Sett inn
\[F=\sqrt{10\cdot5\cdot3\cdot2}.\]
Steg 4 - Multipliser
\[F=\sqrt{300}.\]
Steg 5 - Forenkle roten
\[F=\sqrt{100\cdot3}=10\sqrt3.\]
Steg 6 - Desimal og enhet
\[F\approx17.32\ \text{kvadratenheter}.\]
Trekant med sidelengdene 5, 7 og 8 og høyden ned på grunnlinjen.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
s:=(5+7+8)/2
\(s=10\)
2
sqrt(s(s-5)(s-7)(s-8))
\(10\sqrt3\)
Tolkning: Herons formel gir eksakt areal direkte fra de tre sidene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa,b,c=5,7,8s=sp.Rational(a+b+c,2)area_squared=s*(s-a)*(s-b)*(s-c)area=sp.sqrt(area_squared)print("Side lengths =",(a,b,c))print("Semiperimeter s =",s)print("Factors =",(s,s-a,s-b,s-c))print("Area squared =",area_squared)print("Exact area =",sp.simplify(area))print("Decimal area =",sp.N(area,12))
Utskrift fra Python:
Side lengths = (5, 7, 8)
Semiperimeter s = 10
Factors = (10, 5, 3, 2)
Area squared = 300
Exact area = 10*sqrt(3)
Decimal area = 17.3205080757
Fasit: \(F=10\sqrt3\approx17.32\).
Vanlig feil: Å bruke hele omkretsen i stedet for halvperimeteren s.
Sensorpunkt: Alle Heron-faktorene og korrekt kvadratrot må vises.
Del 2 - Oppgave 4bPytagoras og algebra
Oppgave 4b
Oppgave: Vi har \(q=c-p\). Vis at \(b^2\) kan skrives som \(b^2=h^2+c^2-2cp+p^2\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Trekanten ACD er rettvinklet, så vi kombinerer Pytagoras med det oppgitte uttrykket for q.
Steg 1 - Bruk Pytagoras i ACD
\[b^2=h^2+q^2.\]
Steg 2 - Sett inn q
\[q=c-p.\]
Steg 3 - Kvadrer
\[(c-p)^2=c^2-2cp+p^2.\]
Steg 4 - Sett inn i Pytagoras
\[b^2=h^2+(c-p)^2.\]
Steg 5 - Utvid
\[b^2=h^2+c^2-2cp+p^2.\]
Steg 6 - Konklusjon
Dette er akkurat uttrykket som skulle vises.
I figuren er q=AD, p=DB og h=CD.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Expand[h^2+(c-p)^2]
\(h^2+c^2-2cp+p^2\)
Tolkning: CAS-utvidelsen av kvadratet gir ønsket identitet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyassph,c,p=sp.symbols("h c p",real=True)q=c-ppythagoras=h**2+q**2expanded=sp.expand(pythagoras)expected=h**2+c**2-2*c*p+p**2print("q =",q)print("b^2 from Pythagoras = h^2+q^2")print("After substitution =",pythagoras)print("Expanded expression =",expanded)print("Expected expression =",expected)print("Difference =",sp.simplify(expanded-expected))
Utskrift fra Python:
q = c - p
b^2 from Pythagoras = h^2+q^2
After substitution = h**2 + (c - p)**2
Expanded expression = c**2 - 2*c*p + h**2 + p**2
Expected expression = c**2 - 2*c*p + h**2 + p**2
Difference = 0
Fasit: \(b^2=h^2+c^2-2cp+p^2\).
Vanlig feil: Å skrive \((c-p)^2=c^2-p^2\) og miste kryssleddet.
Sensorpunkt: Pytagoras og full kvadratsetning skal brukes eksplisitt.
Del 2 - Oppgave 4cUtledning av projeksjonslengde
Oppgave 4c
Oppgave: Bruk blant annet resultatet fra b til å vise at \[p=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker h²+p² ved hjelp av den andre rettvinklede trekanten og eliminerer h og p².
Steg 1 - Pytagoras i BCD
\[a^2=h^2+p^2.\]
Steg 2 - Bruk resultatet fra b
\[b^2=h^2+c^2-2cp+p^2.\]
Steg 3 - Erstatt h²+p²
Siden \(h^2+p^2=a^2\), får vi \[b^2=a^2+c^2-2cp.\]
Steg 4 - Isoler 2cp
\[2cp=a^2+c^2-b^2.\]
Steg 5 - Del på 2c
\[p=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}.\]
Steg 6 - Betingelse
Vi har \(c>0\) fordi c er en sidelengde, så divisjonen er lovlig.
p er den horisontale delen DB i trekanten.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[b^2=a^2+c^2-2c p,p]
\(p=(a^2+c^2-b^2)/(2c)\)
Tolkning: CAS isolerer p i den lineære likningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa,b,c,p=sp.symbols("a b c p",positive=True)equation=sp.Eq(b**2,a**2+c**2-2*c*p)solution=sp.solve(equation,p)[0]expected=(a**2+c**2-b**2)/(2*c)print("Equation after eliminating h =",equation)print("Solution for p =",solution)print("Expected =",expected)print("Difference =",sp.simplify(solution-expected))print("Reinserted left-right difference =",sp.simplify((a**2+c**2-2*c*solution)-b**2))print("Assumption: c > 0")
Utskrift fra Python:
Equation after eliminating h = Eq(b**2, a**2 + c**2 - 2*c*p)
Solution for p = (a**2 - b**2 + c**2)/(2*c)
Expected = (a**2 - b**2 + c**2)/(2*c)
Difference = 0
Reinserted left-right difference = 0
Assumption: c > 0
Fasit: \(p=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2c}\).
Vanlig feil: Å flytte \(-2cp\) over likhetstegnet med feil fortegn.
Sensorpunkt: Eliminasjonen av \(h^2+p^2\) og isoleringen av p må være logisk sammenhengende.
Del 2 - Oppgave 4dCAS-bevis av Herons formel
Oppgave 4d
Oppgave: Bruk CAS til å vise at \[\frac14c^2\left(a^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}\right)^2\right)=s(s-a)(s-b)(s-c),\qquad s=\frac{a+b+c}{2},\] og forklar hvorfor dette beviser Herons formel.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi kobler venstresiden til arealet i andre potens og lar CAS faktorisere differansen mellom de to uttrykkene.
Tolkning: Når differansen faktoriseres til 0, er uttrykkene identiske for positive sidelengder som danner en trekant.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - faktisk kjøring
importsympyasspa,b,c=sp.symbols("a b c",positive=True)s=(a+b+c)/2p=(a**2+c**2-b**2)/(2*c)left=sp.Rational(1,4)*c**2*(a**2-p**2)right=s*(s-a)*(s-b)*(s-c)difference=sp.factor(sp.together(left-right))print("s =",s)print("p =",p)print("Left side F^2 expression =",sp.factor(left))print("Heron product =",sp.factor(right))print("Factorized difference =",difference)print("Identity verified =",difference==0)example={a:5,b:7,c:8}print("Example left side =",sp.simplify(left.subs(example)))print("Example right side =",sp.simplify(right.subs(example)))print("Positive square root =",sp.sqrt(sp.simplify(right.subs(example))))
Utskrift fra Python:
s = a/2 + b/2 + c/2
p = (a**2 - b**2 + c**2)/(2*c)
Left side F^2 expression = -(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c)*(a + b + c)/16
Heron product = -(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c)*(a + b + c)/16
Factorized difference = 0
Identity verified = True
Example left side = 300
Example right side = 300
Positive square root = 10*sqrt(3)
Fasit: CAS gir differansen 0, altså \(F^2=s(s-a)(s-b)(s-c)\). Positiv kvadratrot gir Herons formel.
Vanlig feil: Å stoppe ved likhet mellom kvadratene uten å forklare hvorfor den positive kvadratroten velges.
Sensorpunkt: CAS-dokumentasjon, koblingen til \(F^2\) og argumentet om positiv kvadratrot må være med.
Kilde og metode: Oppgavetekstene er transkribert fra Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3022 Matematikk R1, våren 2021. Sidebildene fra original-PDF-en er brukt som autoritativ kilde ved symboler og figurer. Løsningene, figurene og kontrollkodene er originale ifingo-utarbeidelser. Python-utskriftene er generert ved faktisk kjøring av hver kodeblokk under produksjonen.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
