Fasit: \(h^{\prime}(x)=\dfrac9{(x+2)^2}\), for \(x\ne-2\).
Vanlig feil: Å bytte rekkefølgen i telleren i kvotientregelen.
Sensorpunkt: Korrekt fortegn og definisjonsbegrensning skal framgå.
Del 1 - Oppgave 2aLogaritmelikning
Oppgave 2a
Oppgave: Løs likningen \[\ln(x^2)+\ln x=12.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Fordi \(\ln x\) forekommer, er bare positive x-verdier tillatt. Da kan \(\ln(x^2)\) skrives som \(2\ln x\).
Steg 1 - Domene
Kravet er \(x>0\).
Steg 2 - Bruk potensregelen for logaritmer
For \(x>0\): \(\ln(x^2)=2\ln x\).
Steg 3 - Samle
\[3\ln x=12.\]
Steg 4 - Divider med 3
\[\ln x=4.\]
Steg 5 - Eksponentier
\[x=e^4.\]
Steg 6 - Kontroller
\(\ln(e^8)+\ln(e^4)=8+4=12\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[ln(x^2)+ln(x)=12,x]
\(x=e^4\)
Tolkning: Med domene x > 0 finner CAS den eneste tillatte løsningen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
equation = sp.Eq(sp.log(x**2)+sp.log(x),12)
solution = sp.exp(4)
left_check = sp.simplify(sp.log(solution**2)+sp.log(solution))
print("Equation =", equation)
print("Domain condition: x > 0")
print("Solution x =", solution)
print("Decimal x =", sp.N(solution,10))
print("Left side at solution =", left_check)
Utskrift fra Python:
Equation = Eq(log(x) + log(x**2), 12)
Domain condition: x > 0
Solution x = exp(4)
Decimal x = 54.59815003
Left side at solution = 12
Fasit: \(x=e^4\approx54.598\).
Vanlig feil: Å tillate en negativ løsning fordi \(x^2\) er positiv; leddet \(\ln x\) krever \(x>0\).
Sensorpunkt: Domene, logaritmeregel og kontroll skal være med.
Del 1 - Oppgave 2bEksponentiallikning med substitusjon
Oppgave 2b
Oppgave: Løs likningen \[e^{2x}-e^x=6.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi setter \(y=e^x\). Da er \(y>0\), og likningen blir en andregradslikning.
Steg 1 - Substituer
La \(y=e^x\), slik at \(e^{2x}=y^2\).
Steg 2 - Ny likning
\[y^2-y=6.\]
Steg 3 - Flytt alt til venstre
\[y^2-y-6=0.\]
Steg 4 - Faktoriser
\[(y-3)(y+2)=0.\]
Steg 5 - Bruk y > 0
\(y=-2\) forkastes, så \(y=3\).
Steg 6 - Gå tilbake
\[e^x=3\Rightarrow x=\ln3.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[exp(2x)-exp(x)=6,x]
\(x=\ln3\)
Tolkning: Den negative roten i den substituerte likningen er ikke mulig for e^x.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, y = sp.symbols("x y", real=True)
quadratic = y**2-y-6
roots = sp.solve(sp.Eq(quadratic,0),y)
valid_y = [r for r in roots if r.is_positive]
solution = sp.log(valid_y[0])
print("Quadratic =", quadratic)
print("y-roots =", roots)
print("Valid positive y =", valid_y)
print("x =", solution)
print("Original-equation check =", sp.simplify(sp.exp(2*solution)-sp.exp(solution)))
Utskrift fra Python:
Quadratic = y**2 - y - 6
y-roots = [-2, 3]
Valid positive y = [3]
x = log(3)
Original-equation check = 6
Fasit: \(x=\ln3\approx1.099\).
Vanlig feil: Å beholde \(e^x=-2\), som er umulig for reell x.
Sensorpunkt: Substitusjon, positivitet og tilbakesubstitusjon skal vises.
Del 1 - Oppgave 3aParallelle vektorer i en basis
Oppgave 3a
Oppgave: Vektorene oppfyller \(\vec u\cdot\vec v=-2\), \(|\vec u|=3\), \(|\vec v|=2\). Videre er \(\vec a=2\vec u+3\vec v\) og \(\vec b=t\vec u+5\vec v\). Bestem t slik at \(\vec a\parallel\vec b\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vektorene u og v er ikke parallelle, siden skalarproduktet ikke er \(\pm|u||v|=\pm6\). De kan derfor brukes som uavhengige retninger.
Steg 1 - Parallellbetingelse
Det finnes et tall \(\lambda\) slik at \(\vec b=\lambda\vec a\).
Steg 2 - Sammenlikn v-koeffisienter
\[5=3\lambda\Rightarrow\lambda=\frac53.\]
Steg 3 - Sammenlikn u-koeffisienter
\[t=2\lambda.\]
Steg 4 - Sett inn lambda
\[t=2\cdot\frac53=\frac{10}{3}.\]
Steg 5 - Kontroller
\(\vec b=(5/3)(2\vec u+3\vec v)\).
Steg 6 - Konkluder
Da har vektorene samme eller motsatt linjeretning; her er faktoren positiv.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[{t=2lambda,5=3lambda},{t,lambda}]
\(t=10/3,\ \lambda=5/3\)
Tolkning: Koordinatene relativt til de uavhengige vektorene u og v er proporsjonale.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t, lam = sp.symbols("t lam", real=True)
solutions = sp.solve([sp.Eq(t,2*lam),sp.Eq(5,3*lam)],[t,lam],dict=True)
sol = solutions[0]
print("Coefficient equations =", [sp.Eq(t,2*lam),sp.Eq(5,3*lam)])
print("Solution =", sol)
print("t =", sol[t])
print("lambda =", sol[lam])
print("Coefficient check for b =", (sol[t],5))
print("Coefficient check for lambda*a =", (2*sol[lam],3*sol[lam]))
Utskrift fra Python:
Coefficient equations = [Eq(t, 2*lam), Eq(5, 3*lam)]
Solution = {lam: 5/3, t: 10/3}
t = 10/3
lambda = 5/3
Coefficient check for b = (10/3, 5)
Coefficient check for lambda*a = (10/3, 5)
Fasit: \(t=\dfrac{10}{3}\).
Vanlig feil: Å sammenlikne skalarproduktene i stedet for koeffisientene, eller å anta at u og v er parallelle.
Sensorpunkt: Uavhengighet og proporsjonale koeffisienter skal begrunnes.
Del 1 - Oppgave 3bOrtogonalitet med skalarprodukt
Oppgave 3b
Oppgave: Bestem t slik at \(\vec a\perp\vec b\), med de samme vektoropplysningene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Ortogonalitet betyr at skalarproduktet er null. Vi utvider bilineært og bruker de tre oppgitte skalarproduktene.
Vanlig feil: Å gjøre en fortegnsfeil i polynomdivisjonen eller stoppe ved andregradsfaktoren.
Sensorpunkt: Kvotient, rest og full lineær faktorisering skal vises.
Del 1 - Oppgave 4cRasjonal ulikhet og fortegn
Oppgave 4c
Oppgave: Funksjonen er \[F(x)=\frac{P(x)}{x^2-1}.\] Løs ulikheten \(F(x)\ge0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer teller og nevner. Selv om faktoren \(x-1\) kan forkortes algebraisk, er \(x=1\) fortsatt utelukket fra den opprinnelige funksjonen.
Steg 1 - Faktoriser
\[F(x)=\frac{(x-1)(2x+1)(3x-1)}{(x-1)(x+1)}.\]
Steg 2 - Definisjonsmengde
\(x\ne-1\) og \(x\ne1\).
Steg 3 - Forenkle for fortegn
For tillatte x: \[F(x)=\frac{(2x+1)(3x-1)}{x+1}.\]
Steg 4 - Kritiske punkter
\(-1,-1/2,1/3\), samt hullet \(x=1\).
Steg 5 - Fortegn
Uttrykket er positivt på \((-1,-1/2)\) og \((1/3,\infty)\), og null ved \(-1/2\) og \(1/3\).
Steg 6 - Ta med endepunkter og hull
\[x\in(-1,-1/2]\cup[1/3,1)\cup(1,\infty).\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[(6x^3-5x^2-2x+1)/(x^2-1)>=0,x]
\((-1,-1/2]\cup[1/3,1)\cup(1,\infty)\)
Tolkning: CAS må tolkes sammen med definisjonsmengden; x=1 er et hull.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
P = 6*x**3-5*x**2-2*x+1
F = P/(x**2-1)
reduced = sp.cancel(F)
solution = sp.solve_univariate_inequality(F>=0,x)
print("F(x) =", F)
print("Reduced expression =", reduced)
print("Critical numerator roots =", sp.solve(sp.together(reduced).as_numer_denom()[0],x))
print("Excluded denominator roots =", sp.solve(sp.Eq(x**2-1,0),x))
print("Solution =", solution)
print("Sample signs =", [(v,sp.sign(F.subs(x,sp.Rational(v)))) for v in [-2,0,2]])
Vanlig feil: Å ta med \(x=1\) etter forkorting, eller å glemme at nullpunktene i telleren skal inkluderes.
Sensorpunkt: Fortegnslinje, definisjonsmengde og hull i x=1 skal vises.
Del 1 - Oppgave 4dGrenseverdier ved hull og asymptote
Oppgave 4d
Oppgave: Bestem \(\lim_{x\to1}F(x)\) og \(\lim_{x\to-1}F(x)\), dersom de eksisterer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Ved x=1 har uttrykket en forkortbar faktor. Ved x=-1 blir nevneren null uten at telleren blir null.
Steg 1 - Forkort rundt x=1
For \(x\ne\pm1\): \[F(x)=\frac{(2x+1)(3x-1)}{x+1}.\]
Steg 2 - Sett inn x=1 i det forkortede uttrykket
\[\lim_{x\to1}F(x)=\frac{3\cdot2}{2}=3.\]
Steg 3 - Undersøk x=-1
Telleren i det forkortede uttrykket går mot \((-1)(-4)=4\).
Steg 4 - Venstre grense
Når \(x\to-1^-\), er \(x+1<0\), så \(F(x)\to-\infty\).
Steg 5 - Høyre grense
Når \(x\to-1^+\), er \(x+1>0\), så \(F(x)\to+\infty\).
Steg 6 - Konkluder
Den tosidige grensen ved \(-1\) eksisterer ikke.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Limit[(6x^3-5x^2-2x+1)/(x^2-1),1]
\(3\)
2
LimitBelow[(6x^3-5x^2-2x+1)/(x^2-1),-1]
\(-\infty\)
3
LimitAbove[(6x^3-5x^2-2x+1)/(x^2-1),-1]
\(+\infty\)
Tolkning: En forkortbar diskontinuitet gir endelig grense ved 1, mens -1 er en vertikal asymptote.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
F = (6*x**3-5*x**2-2*x+1)/(x**2-1)
limit_one = sp.limit(F,x,1)
left_minus_one = sp.limit(F,x,-1,dir='-')
right_minus_one = sp.limit(F,x,-1,dir='+')
print("Limit x->1 =", limit_one)
print("Limit x->-1 from left =", left_minus_one)
print("Limit x->-1 from right =", right_minus_one)
print("Two-sided limit at -1 exists?", left_minus_one == right_minus_one)
print("Reduced expression =", sp.cancel(F))
Utskrift fra Python:
Limit x->1 = 3
Limit x->-1 from left = -oo
Limit x->-1 from right = oo
Two-sided limit at -1 exists? False
Reduced expression = (6*x**2 + x - 1)/(x + 1)
Fasit: \(\lim_{x\to1}F(x)=3\). Grensen \(\lim_{x\to-1}F(x)\) eksisterer ikke; sidegrensene er \(-\infty\) og \(+\infty\).
Vanlig feil: Å skrive uendelig som en vanlig funksjonsverdi eller å overse forskjellen mellom sidegrensene.
Sensorpunkt: Begge sidegrenser ved -1 og forkortingen ved 1 skal dokumenteres.
Del 1 - Oppgave 5aKombinasjoner
Oppgave 5a
Oppgave: Per har 8 ulike skolebøker og skal legge 3 i sekken. Hvor mange kombinasjoner er mulige?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Rekkefølgen i sekken spiller ingen rolle, så vi bruker binomialkoeffisienten.
Steg 1 - Identifiser utvalg
Vi velger 3 av 8 ulike bøker.
Steg 2 - Bruk kombinasjonsformelen
\[\binom83=\frac{8!}{3!5!}.\]
Steg 3 - Forkort
\[\binom83=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.\]
Steg 4 - Regn ut teller
\(8\cdot7\cdot6=336\).
Steg 5 - Divider
\(336/6=56\).
Steg 6 - Konkluder
Det finnes 56 ulike kombinasjoner.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
BinomialCoefficient[8,3]
\(56\)
Tolkning: GeoGebra teller uordnede utvalg av tre bøker.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import math
n = 8
r = 3
count = math.comb(n,r)
ordered = n*(n-1)*(n-2)
print("Number of books =", n)
print("Books selected =", r)
print("Ordered selections =", ordered)
print("Divide by 3! =", math.factorial(r))
print("Combinations =", count)
Utskrift fra Python:
Number of books = 8
Books selected = 3
Ordered selections = 336
Divide by 3! = 6
Combinations = 56
Fasit: \(\binom83=56\).
Vanlig feil: Å bruke \(8\cdot7\cdot6=336\), som teller hver kombinasjon 3! ganger.
Sensorpunkt: Det må framgå hvorfor rekkefølgen ikke teller.
Del 1 - Oppgave 5bHypergeometrisk sannsynlighet
Oppgave 5b
Oppgave: Per velger tilfeldig 4 av 8 bøker. Hva er sannsynligheten for at alle de 3 riktige bøkene er med?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Alle firebokutvalg er like sannsynlige. Et gunstig utvalg må inneholde de tre riktige og én av de fem andre.
Steg 1 - Totalt antall utvalg
\[\binom84=70.\]
Steg 2 - Velg de riktige
Alle de tre riktige må med: \(\binom33=1\).
Steg 3 - Velg den ekstra
Den fjerde boken kan være én av fem: \(\binom51=5\).
Utskrift fra Python:
Favorable selections = 5
Total selections = 70
Probability fraction = 5/70
Reduced denominator = 14
Probability decimal = 0.07142857142857142
Probability percent = 7.142857142857142
Fasit: \(P=\dfrac1{14}\approx7.14\%\).
Vanlig feil: Å bruke uavhengige trekninger med tilbakelegging; bøkene velges uten tilbakelegging.
Sensorpunkt: Gunstige og totale kombinasjoner må være korrekt telt.
Del 1 - Oppgave 5cMinst to riktige i hypergeometrisk modell
Oppgave 5c
Oppgave: Hva er sannsynligheten for at minst 2 av de 3 riktige bøkene er blant de 4 valgte?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? «Minst 2» betyr nøyaktig 2 eller nøyaktig 3 riktige bøker.
Steg 1 - Totalt antall utvalg
\(\binom84=70\).
Steg 2 - Nøyaktig to riktige
\[\binom32\binom52=3\cdot10=30.\]
Steg 3 - Nøyaktig tre riktige
\[\binom33\binom51=1\cdot5=5.\]
Steg 4 - Summer gunstige
\[30+5=35.\]
Steg 5 - Sannsynlighet
\[P=\frac{35}{70}.\]
Steg 6 - Forkort
\[P=\frac12.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
HyperGeometric[8,3,4,2]+HyperGeometric[8,3,4,3]
\(0.5\)
Tolkning: Sannsynligheten summeres for de to mulige gunstige verdiene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import math
exactly_two = math.comb(3,2)*math.comb(5,2)
exactly_three = math.comb(3,3)*math.comb(5,1)
total = math.comb(8,4)
favorable = exactly_two + exactly_three
print("Exactly two correct =", exactly_two)
print("Exactly three correct =", exactly_three)
print("Favorable total =", favorable)
print("All selections =", total)
print("Probability =", favorable/total)
print("Reduced result = 1/2")
Utskrift fra Python:
Exactly two correct = 30
Exactly three correct = 5
Favorable total = 35
All selections = 70
Probability = 0.5
Reduced result = 1/2
Fasit: \(P=\dfrac12=50\%\).
Vanlig feil: Å tolke «minst 2» som bare nøyaktig 2.
Sensorpunkt: Begge tilfellene 2 og 3 riktige skal summeres.
Del 1 - Oppgave 6aAreal av trapes som funksjon
Oppgave 6a
Oppgave: Under grafen \(f(x)=9-x^2\) danner A(-3,0), B(3,0), C(x,f(x)) og D(-x,f(-x)) et trapes for \(0<x<3\). Vis at \[F(x)=-x^3-3x^2+9x+27.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? De parallelle sidene er AB og CD. Høyden er y-koordinaten til C og D.
Steg 1 - Nedre grunnlinje
\(|AB|=3-(-3)=6\).
Steg 2 - Øvre grunnlinje
Parabelen er symmetrisk, og \(|CD|=x-(-x)=2x\).
Steg 3 - Høyde
\(h=f(x)=9-x^2\).
Steg 4 - Trapesformelen
\[F=\frac{6+2x}{2}(9-x^2).\]
Steg 5 - Forenkle første faktor
\[F=(3+x)(9-x^2).\]
Steg 6 - Multipliser ut
\[F(x)=-x^3-3x^2+9x+27.\]
Steg 7 - Område
Formelen gjelder for \(0<x<3\).
Trapeset har grunnlinjer 6 og 2x og høyde 9-x^2.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Expand[(6+2x)/2*(9-x^2)]
\(-x^3-3x^2+9x+27\)
Tolkning: CAS bekrefter utvidelsen av trapesformelen.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
lower_base = 6
upper_base = 2*x
height = 9-x**2
area = sp.expand((lower_base+upper_base)*height/2)
expected = -x**3-3*x**2+9*x+27
print("Lower base =", lower_base)
print("Upper base =", upper_base)
print("Height =", height)
print("Area expression =", area)
print("Expected =", expected)
print("Difference =", sp.simplify(area-expected))
Utskrift fra Python:
Lower base = 6
Upper base = 2*x
Height = 9 - x**2
Area expression = -x**3 - 3*x**2 + 9*x + 27
Expected = -x**3 - 3*x**2 + 9*x + 27
Difference = 0
Fasit: \(F(x)=-x^3-3x^2+9x+27\), for \(0<x<3\).
Vanlig feil: Å bruke \(2x\) som høyde eller glemme å dele summen av grunnlinjene på 2.
Sensorpunkt: Begge grunnlinjene, høyden og utvidelsen skal vises.
Del 1 - Oppgave 6bMaksimering med derivasjon
Oppgave 6b
Oppgave: Bestem det største arealet trapeset kan ha.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi maksimerer arealfunksjonen på intervallet \(0<x<3\) ved å finne kritiske punkter og sammenlikne med randoppførselen.
Steg 1 - Deriver
\[F^{\prime}(x)=-3x^2-6x+9.\]
Steg 2 - Faktoriser
\[F^{\prime}(x)=-3(x+3)(x-1).\]
Steg 3 - Kritiske punkter
Røttene er \(x=-3\) og \(x=1\). Bare \(x=1\) ligger i området.
Steg 4 - Klassifiser
\(F^{\prime\prime}(x)=-6x-6\), og \(F^{\prime\prime}(1)=-12<0\).
Steg 5 - Finn arealet
\[F(1)=-1-3+9+27=32.\]
Steg 6 - Randkontroll
Når \(x\to0^+\), går arealet mot 27; når \(x\to3^-\), går det mot 0.
Steg 7 - Konkluder
Maksimalarealet er 32 arealenheter.
Maksimum oppstår når de øvre hjørnene har x-koordinater -1 og 1.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Extremum[-x^3-3x^2+9x+27,0,3]
\((1,32)\)
Tolkning: Grafverktøyet finner maksimumspunktet innenfor det tillatte intervallet.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
F = -x**3-3*x**2+9*x+27
F_prime = sp.factor(sp.diff(F,x))
critical = [v for v in sp.solve(sp.Eq(F_prime,0),x) if 0 < v < 3]
values = [(v,sp.simplify(F.subs(x,v)),sp.diff(F,x,2).subs(x,v)) for v in critical]
print("F'(x) =", F_prime)
print("Critical points in (0,3) =", critical)
print("(x, F(x), F''(x)) =", values)
print("Limit at 0+ =", sp.limit(F,x,0,dir='+'))
print("Limit at 3- =", sp.limit(F,x,3,dir='-'))
print("Maximum area =", values[0][1])
Utskrift fra Python:
F'(x) = -3*(x - 1)*(x + 3)
Critical points in (0,3) = [1]
(x, F(x), F''(x)) = [(1, 32, -12)]
Limit at 0+ = 27
Limit at 3- = 0
Maximum area = 32
Fasit: Det største arealet er \(32\), oppnådd når \(x=1\).
Vanlig feil: Å velge x=-3, som ligger utenfor definisjonsområdet, eller å stoppe ved F-prime lik null uten klassifisering.
Sensorpunkt: Gyldig kritisk punkt, maksimumskontroll og arealverdi skal vises.
Del 1 - Oppgave 7Sirkelvinkler og kryssende korder
Oppgave 7
Oppgave: I sirkelfiguren er \(\angle CBD=35^{\circ}\) og \(\angle ADB=65^{\circ}\). Bestem vinklene u, v og w.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker periferivinkelsetningen, sentralvinkelsetningen og formelen for vinkelen mellom to korder som skjærer hverandre inne i sirkelen.
Steg 1 - Vinkelen u
\(u=\angle ACB\) og \(\angle ADB\) spenner over samme bue AB.
Steg 2 - Samme bue
\[u=65^{\circ}.\]
Steg 3 - Sentralvinkelen w
Buen AB har periferivinkel 65 grader, så sentralvinkelen er dobbelt så stor.
Steg 4 - Finn w
\[w=2\cdot65^{\circ}=130^{\circ}.\]
Steg 5 - Finn buen CD
Periferivinkelen \(\angle CBD=35^{\circ}\) gir bue CD på \(70^{\circ}\).
Sirkelkonstruksjonen viser de tre beregnede vinklene.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
u=65deg
\(65^{\circ}\)
2
w=2*65deg
\(130^{\circ}\)
3
v=(130deg+2*35deg)/2
\(100^{\circ}\)
Tolkning: De tre standardsetningene for sirkelvinkler gir resultatene.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
u = 65
arc_AB = 2*65
arc_CD = 2*35
w = arc_AB
v = (arc_AB+arc_CD)/2
print("u from equal intercepted arc =", u)
print("Arc AB in degrees =", arc_AB)
print("Arc CD in degrees =", arc_CD)
print("w as central angle =", w)
print("v from intersecting chords =", v)
print("Results (u,v,w) =", (u,v,w))
Utskrift fra Python:
u from equal intercepted arc = 65
Arc AB in degrees = 130
Arc CD in degrees = 70
w as central angle = 130
v from intersecting chords = 100.0
Results (u,v,w) = (65, 100.0, 130)
Fasit: \(u=65^{\circ}\), \(v=100^{\circ}\) og \(w=130^{\circ}\).
Vanlig feil: Å halvere sentralvinkelen i feil retning eller bruke bare én av buene i formelen for v.
Sensorpunkt: Hvilke buer vinklene spenner over, må forklares.
Del 1 - Oppgave 8aParameterframstilling av vektor
Oppgave 8a
Oppgave: Punktene A(-1,1) og C(7,5) er motsatte hjørner i en firkant med fire like sider. D ligger på \(\ell:y=2x+1\). Forklar at \(\overrightarrow{AD}=[t+1,2t]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Et vilkårlig punkt på linjen kan parameteriseres ved å bruke x-koordinaten som parameter.
Tolkning: Vektoren er sluttpunkt minus startpunkt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
A = sp.Matrix([-1,1])
D = sp.Matrix([t,2*t+1])
AD = D-A
line_check = sp.simplify(D[1]-(2*D[0]+1))
print("A =", list(A))
print("D(t) =", list(D))
print("D lies on y=2x+1 check =", line_check)
print("AD =", list(AD))
print("First component =", AD[0])
print("Second component =", AD[1])
Utskrift fra Python:
A = [-1, 1]
D(t) = [t, 2*t + 1]
D lies on y=2x+1 check = 0
AD = [t + 1, 2*t]
First component = t + 1
Second component = 2*t
Fasit: \(D=(t,2t+1)\) og \(\overrightarrow{AD}=[t+1,2t]\).
Vanlig feil: Å bruke A-D i stedet for D-A.
Sensorpunkt: Parameterpunktet på linjen og koordinatvis subtraksjon skal vises.
Del 1 - Oppgave 8bRombergeometri med koordinater
Oppgave 8b
Oppgave: Bestem koordinatene til B og D ved regning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? I en firkant med fire like sider er D like langt fra A som fra C. Dette bestemmer t. Deretter bruker vi at diagonalene i en rombe halverer hverandre.
Steg 1 - Skriv D
\(D=(t,2t+1)\).
Steg 2 - Lengden AD
\[|AD|^2=(t+1)^2+(2t)^2=5t^2+2t+1.\]
Steg 3 - Lengden CD
\[|CD|^2=(7-t)^2+(5-(2t+1))^2=5t^2-30t+65.\]
Steg 4 - Sett like
\[5t^2+2t+1=5t^2-30t+65.\]
Steg 5 - Løs
\[32t=64\Rightarrow t=2.\]
Steg 6 - Finn D
\[D=(2,5).\]
Steg 7 - Finn B
Diagonalene halverer hverandre, så \(A+C=B+D\). Dermed \[B=A+C-D=(4,1).\]
Tolkning: Avstandslikningen bestemmer D, og diagonalhalvering bestemmer B.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
A = sp.Matrix([-1,1]); C = sp.Matrix([7,5]); D = sp.Matrix([t,2*t+1])
AD2 = sp.expand((D-A).dot(D-A))
CD2 = sp.expand((D-C).dot(D-C))
t_value = sp.solve(sp.Eq(AD2,CD2),t)[0]
D_value = D.subs(t,t_value)
B = A+C-D_value
points = [A,B,C,D_value]
lengths2 = [sp.simplify((points[(i+1)%4]-points[i]).dot(points[(i+1)%4]-points[i])) for i in range(4)]
print("AD^2 =", AD2)
print("CD^2 =", CD2)
print("t =", t_value)
print("D =", list(D_value))
print("B =", list(B))
print("Four side lengths squared =", lengths2)
Utskrift fra Python:
AD^2 = 5*t**2 + 2*t + 1
CD^2 = 5*t**2 - 30*t + 65
t = 2
D = [2, 5]
B = [4, 1]
Four side lengths squared = [25, 25, 25, 25]
Fasit: \(D=(2,5)\) og \(B=(4,1)\).
Vanlig feil: Å bruke bare helningen til linjen eller å anta et rektangel.
Sensorpunkt: Avstandslikningen, t-verdien og diagonalhalveringen skal dokumenteres.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1aForutsetninger for binomisk modell
Oppgave 1a
Oppgave: Maria registrerer om hver av de 100 første bilene er elbil. Hordaland har en oppgitt elbilandel på 12,5 prosent. Hvilke antakelser kreves for å se dette som et binomisk forsøk?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? En binomisk modell krever et fast antall forsøk, to utfall, samme sannsynlighet og tilnærmet uavhengighet.
Steg 1 - Fast antall
Vi observerer nøyaktig \(n=100\) biler.
Steg 2 - To utfall
Hver bil klassifiseres som elbil eller ikke elbil.
Steg 3 - Konstant sannsynlighet
Vi antar at hver bil har samme sannsynlighet \(p=0.125\) for å være elbil.
Steg 4 - Uavhengighet
Vi antar at biltypen til én bil ikke påvirker biltypen til de andre.
Steg 5 - Representativitet
Bilene ved Danmarks plass antas å være representative for personbilparken i Hordaland.
Steg 6 - Stabil situasjon
Andelen antas ikke å endre seg systematisk i løpet av observasjonen.
Steg 7 - Modell
Da kan \(X\), antall elbiler, modelleres som \(X\sim\operatorname{Bin}(100,0.125)\).
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
n=100
Fast antall
2
p=0.125
Konstant sannsynlighet
3
BinomialDist[100,0.125]
Binomisk modell
Tolkning: Kommandoen er faglig gyldig bare når modellforutsetningene er rimelige.
Fordelingen viser at 15 ligger litt over forventningsverdien 12,5.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
1-BinomialDist[100,0.125,14,true]
\(0.2647897\)
Tolkning: Kumulativ sannsynlighet til og med 14 trekkes fra 1.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
from math import comb
n = 100
p = 0.125
cdf_14 = sum(comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(15))
probability = 1-cdf_14
print("n =", n)
print("p =", p)
print("P(X <= 14) =", cdf_14)
print("P(X >= 15) =", probability)
print("Rounded probability =", round(probability,7))
print("Percent =", round(100*probability,3))
Utskrift fra Python:
n = 100
p = 0.125
P(X <= 14) = 0.7352102771892871
P(X >= 15) = 0.2647897228107129
Rounded probability = 0.2647897
Percent = 26.479
Fasit: \(P(X\ge15)\approx0.26479\), altså omtrent \(26.5\%\).
Vanlig feil: Å beregne \(P(X=15)\) i stedet for hele halen fra 15 og oppover.
Sensorpunkt: Modell, hale/komplement og numerisk verdi skal dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 1cMinste n i binomisk modell
Oppgave 1c
Oppgave: Finn det minste antallet biler n slik at sannsynligheten er større enn 90 prosent for at minst 20 er elbiler.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi søker etter det første heltallet n som oppfyller \(P(X\ge20)>0.90\) for \(X\sim\operatorname{Bin}(n,0.125)\).
Tolkning: Kontrollen ved n=203 dokumenterer at 204 virkelig er minste heltall.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
from math import comb
def tail_at_least_20(n, p=0.125):
return 1-sum(comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(20))
first = next(n for n in range(20,500) if tail_at_least_20(n) > 0.90)
previous_probability = tail_at_least_20(first-1)
first_probability = tail_at_least_20(first)
print("First n =", first)
print("P for n-1 =", previous_probability)
print("P for n =", first_probability)
print("Previous is <= 0.90?", previous_probability <= 0.90)
print("Current is > 0.90?", first_probability > 0.90)
print("Minimum verified =", first)
Utskrift fra Python:
First n = 204
P for n-1 = 0.8969971486591709
P for n = 0.901438643883612
Previous is <= 0.90? True
Current is > 0.90? True
Minimum verified = 204
Fasit: Det minste antallet er \(n=204\).
Vanlig feil: Å oppgi 203 uten å kontrollere den strenge ulikheten «større enn 90 prosent».
Sensorpunkt: Både n=204 og n=203 skal kontrolleres.
Del 2 - Oppgave 2aSekant og tangent
Oppgave 2a
Oppgave: For \(p(x)=x^2+3x-1\), vis at linjen gjennom \((-1,p(-1))\) og \((3,p(3))\) er parallell med tangenten i \((1,3)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner stigningstallet til sekanten med den deriverte i x=1.
Steg 1 - Finn p(-1)
\[p(-1)=1-3-1=-3.\]
Steg 2 - Finn p(3)
\[p(3)=9+9-1=17.\]
Steg 3 - Sekantens stigningstall
\[m_s=\frac{17-(-3)}{3-(-1)}=\frac{20}{4}=5.\]
Steg 4 - Deriver
\[p^{\prime}(x)=2x+3.\]
Steg 5 - Tangentens stigningstall
\[m_t=p^{\prime}(1)=2+3=5.\]
Steg 6 - Konkluder
Linjen og tangenten har samme stigningstall og er derfor parallelle.
Fasit: Begge stigningstallene er \(5\), så linjene er parallelle.
Vanlig feil: Å sammenlikne y-koordinater i stedet for stigningstall.
Sensorpunkt: Punktverdier, sekantstigning og derivert i x=1 skal vises.
Del 2 - Oppgave 2bSentral differansekvotient for andregradspolynom
Oppgave 2b
Oppgave: For \(q(x)=ax^2+bx+c\), bruk CAS til å vise at \[q^{\prime}(x)=\frac{q(x+h)-q(x-h)}{2h}\] for alle x når \(h\ne0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi utvider telleren symbolsk. For et andregradspolynom kansellerer de symmetriske leddene slik at uttrykket blir nøyaktig lik den deriverte.
Steg 1 - Deriver direkte
\[q^{\prime}(x)=2ax+b.\]
Steg 2 - Utvid q(x+h)
\[q(x+h)=a(x+h)^2+b(x+h)+c.\]
Steg 3 - Utvid q(x-h)
\[q(x-h)=a(x-h)^2+b(x-h)+c.\]
Steg 4 - Trekk fra
Konstantleddene og leddene i \(x^2\) og \(h^2\) kanselleres.
Steg 5 - Forenkle telleren
\[q(x+h)-q(x-h)=4axh+2bh=2h(2ax+b).\]
Steg 6 - Divider
Når \(h\ne0\): \[\frac{2h(2ax+b)}{2h}=2ax+b=q^{\prime}(x).\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
q(x)=a*x^2+b*x+c
Andregradspolynom
2
Simplify[(q(x+h)-q(x-h))/(2h)]
\(2ax+b\)
3
Derivative[q,x]
\(2ax+b\)
Tolkning: CAS viser identiteten symbolsk under forutsetningen h ikke lik 0.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
x, h, a, b, c = sp.symbols("x h a b c", nonzero=True)
q = a*x**2+b*x+c
q_plus = q.subs(x,x+h)
q_minus = q.subs(x,x-h)
numerator = sp.expand(q_plus-q_minus)
central = sp.simplify(numerator/(2*h))
derivative = sp.diff(q,x)
print("q(x+h) =", sp.expand(q_plus))
print("q(x-h) =", sp.expand(q_minus))
print("Numerator =", numerator)
print("Central quotient =", central)
print("q'(x) =", derivative)
print("Difference =", sp.simplify(central-derivative))
Utskrift fra Python:
q(x+h) = a*h**2 + 2*a*h*x + a*x**2 + b*h + b*x + c
q(x-h) = a*h**2 - 2*a*h*x + a*x**2 - b*h + b*x + c
Numerator = 4*a*h*x + 2*b*h
Central quotient = 2*a*x + b
q'(x) = 2*a*x + b
Difference = 0
Fasit: \(\dfrac{q(x+h)-q(x-h)}{2h}=2ax+b=q^{\prime}(x)\) for \(h\ne0\).
Vanlig feil: Å kansellere h uten å oppgi forutsetningen \(h
e0\).
Sensorpunkt: Symbolsk utvidelse og identisk resultat med den deriverte skal dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 3aParameterkurver
Oppgave 3a
Oppgave: Tegn banene \[\vec r_1(t)=[t^2-2,t^3-2t],\qquad \vec r_2(t)=[2t-1,4t-4t^2],\quad -2\le t\le2\] i samme koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? En parameterkurve tegnes ved å la t variere over intervallet og plotte x- og y-koordinatene samtidig.
Steg 1 - Første kurve
Bruk \(x_1=t^2-2\), \(y_1=t^3-2t\).
Steg 2 - Andre kurve
Bruk \(x_2=2t-1\), \(y_2=4t-4t^2\).
Steg 3 - Parameterintervall
Begge tegnes for \(-2\le t\le2\).
Steg 4 - Retning
Marker gjerne punkter for stigende t for å vise bevegelsesretningen.
Steg 5 - Kontrollpunkter
For eksempel er \(r_1(0)=(-2,0)\) og \(r_2(0)=(-1,0)\).
Steg 6 - Digital dokumentasjon
Ved eksamen skal innstillinger, intervall og begge parameteruttrykk være synlige.
Begge partikkelbanene er tegnet i samme koordinatsystem.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Curve[t^2-2,t^3-2t,t,-2,2]
Bane 1
2
Curve[2t-1,4t-4t^2,t,-2,2]
Bane 2
Tolkning: Begge Curve-kommandoene bruker samme koordinatsystem og parameterintervall.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import numpy as np
t = np.linspace(-2,2,9)
x1 = t**2-2
y1 = t**3-2*t
x2 = 2*t-1
y2 = 4*t-4*t**2
print("t sample =", t)
print("r1 x sample =", x1)
print("r1 y sample =", y1)
print("r2 x sample =", x2)
print("r2 y sample =", y2)
print("r1(0), r2(0) =", (-2,0), (-1,0))
Fasit: Partikkel 1 har fart \(\sqrt5\approx2.236\,\text{m/s}\), og partikkel 2 har fart \(2\sqrt{37}\approx12.166\,\text{m/s}\).
Vanlig feil: Å oppgi fartsvektorene som banefart uten å beregne lengdene.
Sensorpunkt: Derivasjon, innsetting og norm med enhet skal vises.
Del 2 - Oppgave 3cLik fartsretning
Oppgave 3c
Oppgave: Ved hvilke tidspunkt har partiklene samme fartsretning?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vektorene må være parallelle og peke samme vei. Vi setter determinanten lik null og kontrollerer deretter at skalarproduktet er positivt.
Steg 1 - Fartsvektorer
\(\vec v_1=[2t,3t^2-2]\), \(\vec v_2=[2,4-8t]\).
Steg 2 - Parallellbetingelse
\[2t(4-8t)-2(3t^2-2)=0.\]
Steg 3 - Forenkle
\[-22t^2+8t+4=0.\]
Steg 4 - Løs
\[t=\frac{2\pm\sqrt{26}}{11}.\]
Steg 5 - Kontroller retning
For \(t=(2-\sqrt{26})/11\) er skalarproduktet negativt, så retningene er motsatte.
Steg 6 - Gyldig tidspunkt
For \(t=(2+\sqrt{26})/11\) er skalarproduktet positivt.
Steg 7 - Numerisk verdi
\[t\approx0.6454\text{ s}.\]
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Solve[Determinant[{{2t,3t^2-2},{2,4-8t}}]=0,t]
\((2\pm\sqrt{26})/11\)
2
Dot[(2t,3t^2-2),(2,4-8t)] at t=(2+sqrt(26))/11
Positiv
Tolkning: Determinanten gir parallellitet; skalarproduktet skiller samme fra motsatt retning.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
v1 = sp.Matrix([2*t,3*t**2-2]); v2 = sp.Matrix([2,4-8*t])
determinant = sp.expand(v1[0]*v2[1]-v1[1]*v2[0])
roots = sp.solve(sp.Eq(determinant,0),t)
dot_products = [sp.simplify(v1.dot(v2).subs(t,r)) for r in roots]
valid = [r for r,d in zip(roots,dot_products) if d.evalf() > 0]
print("Determinant =", determinant)
print("Parallel times =", roots)
print("Dot products at roots =", dot_products)
print("Same-direction time =", valid)
print("Decimal time =", [sp.N(r,10) for r in valid])
print("Within interval [-2,2] =", all(-2 <= float(r) <= 2 for r in valid))
Utskrift fra Python:
Determinant = -22*t**2 + 8*t + 4
Parallel times = [2/11 - sqrt(26)/11, 2/11 + sqrt(26)/11]
Dot products at roots = [-2036*sqrt(26)/1331 - 5784/1331, -5784/1331 + 2036*sqrt(26)/1331]
Same-direction time = [2/11 + sqrt(26)/11]
Decimal time = [0.6453654103]
Within interval [-2,2] = True
Fasit: Partiklene har samme fartsretning ved \(t=\dfrac{2+\sqrt{26}}{11}\approx0.6454\,\text{s}\).
Vanlig feil: Å ta med begge parallelle tidspunkter uten å kontrollere om vektorene peker samme vei.
Sensorpunkt: Både determinant og positivt skalarprodukt skal dokumenteres.
Del 2 - Oppgave 3dMinste avstand mellom bevegelige punkter
Oppgave 3d
Oppgave: Finn den minste avstanden mellom partiklene i tidsintervallet \([-2,2]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi minimerer kvadratet av avstanden. Det har samme minimum som avstanden, men er enklere å derivere.
Fasit: Minste avstand er omtrent \(0.949\,\text{m}\), ved \(t\approx-0.0479\,\text{s}\).
Vanlig feil: Å minimere bare x- eller y-forskjellen, eller å glemme endepunktene.
Sensorpunkt: Avstandskvadrat, alle kandidater og kvadratroten av minimumsverdien skal vises.
Del 2 - Oppgave 4aFormlikhet i speilingskonstruksjon
Oppgave 4a
Oppgave: I Pytagoras-konstruksjonen speiles trekant ABC om AB, BCD om BC og CAD om AC. Begrunn at trekantene AEB, CBF og ACG er formlike.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Speiling bevarer vinkler og lengder. Høyden fra C til hypotenusen deler den opprinnelige rettvinklede trekanten i to mindre trekanter som begge er formlike med originalen.
Steg 1 - AEB
\(\triangle AEB\) er speilbildet av \(\triangle ACB\) og er derfor kongruent med den.
Steg 2 - CBF
\(\triangle CBF\) er speilbildet av \(\triangle CBD\).
Steg 3 - ACG
\(\triangle ACG\) er speilbildet av \(\triangle ACD\).
Steg 4 - Rettvinkler
Alle tre speilbildetrekantene er rettvinklede i henholdsvis E, F og G.
Steg 5 - En lik spiss vinkel
På grunn av høyden til hypotenusen har hver av de små trekantene en spiss vinkel lik en spiss vinkel i ABC.
Steg 6 - AA-kriteriet
Rett vinkel og én lik spiss vinkel gir formlikhet.
Speilingene gir tre rettvinklede trekanter med samme vinkelsett.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
Reflect[C,Line[A,B]]
Punkt E
2
Reflect[D,Line[B,C]]
Punkt F
3
Reflect[D,Line[A,C]]
Punkt G
Tolkning: Speilingskommandoene bevarer vinklene; vinkelmåling kan bekrefte AA-formlikheten.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
# Use a 3-4-5 right triangle to verify the angle pattern numerically.
a, b, c = 3, 4, 5
angle_A = sp.acos(sp.Rational(b,c))
angle_B = sp.acos(sp.Rational(a,c))
right = sp.pi/2
triangle_AEB = [angle_A, angle_B, right]
triangle_CBF = [angle_A, angle_B, right]
triangle_ACG = [angle_A, angle_B, right]
print("Angles AEB =", triangle_AEB)
print("Angles CBF =", triangle_CBF)
print("Angles ACG =", triangle_ACG)
print("All angle sets equal =", triangle_AEB == triangle_CBF == triangle_ACG)
print("Angle sum =", sp.simplify(sum(triangle_AEB)))
print("Similarity criterion = AA")
Utskrift fra Python:
Angles AEB = [acos(4/5), acos(3/5), pi/2]
Angles CBF = [acos(4/5), acos(3/5), pi/2]
Angles ACG = [acos(4/5), acos(3/5), pi/2]
All angle sets equal = True
Angle sum = acos(4/5) + acos(3/5) + pi/2
Similarity criterion = AA
Fasit: Alle tre trekantene er rettvinklede og har de samme to spisse vinklene; derfor er de formlike ved AA.
Vanlig feil: Å hevde formlikhet bare fordi trekantene ser like ut, uten vinkelargument.
Sensorpunkt: Speiling, høyden til hypotenusen og AA-kriteriet skal kobles sammen.
Del 2 - Oppgave 4bSkalering av tilsvarende høyder
Oppgave 4b
Oppgave: La h1, h2 og h3 være høydene i trekantene AEB, CBF og ACG, og sett \(k=h_1/c\). Begrunn at \(h_2=ka\) og \(h_3=kb\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? I formlike trekanter er alle tilsvarende lengder proporsjonale. Hypotenusene i de tre trekantene er henholdsvis c, a og b.
Steg 1 - Første forhold
Fra definisjonen \(k=h_1/c\) får vi \(h_1=kc\).
Steg 2 - Sammenlikn AEB og CBF
Formlikheten gir \[\frac{h_2}{h_1}=\frac{a}{c}.\]
Steg 3 - Løs for h2
\[h_2=h_1\frac ac=kc\frac ac=ka.\]
Steg 4 - Sammenlikn AEB og ACG
Formlikheten gir \[\frac{h_3}{h_1}=\frac bc.\]
Steg 5 - Løs for h3
\[h_3=h_1\frac bc=kc\frac bc=kb.\]
Steg 6 - Tolkning
Den samme skaleringsfaktoren k knytter hver høyde til trekantens hypotenuse.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
h1=k*c
Definisjon
2
h2=h1*a/c
\(ka\)
3
h3=h1*b/c
\(kb\)
Tolkning: Proporsjonene følger direkte av samsvarende lengder i formlike trekanter.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, b, c, k = sp.symbols("a b c k", positive=True)
h1 = k*c
h2 = sp.simplify(h1*a/c)
h3 = sp.simplify(h1*b/c)
print("h1 =", h1)
print("Similarity ratio for triangle 2 =", a/c)
print("h2 =", h2)
print("Similarity ratio for triangle 3 =", b/c)
print("h3 =", h3)
print("Checks =", (sp.simplify(h2-k*a),sp.simplify(h3-k*b)))
Utskrift fra Python:
h1 = c*k
Similarity ratio for triangle 2 = a/c
h2 = a*k
Similarity ratio for triangle 3 = b/c
h3 = b*k
Checks = (0, 0)
Fasit: \(h_2=ka\) og \(h_3=kb\).
Vanlig feil: Å bruke arealforhold direkte som lengdeforhold; arealer skalerer med kvadratet av lengdefaktoren.
Sensorpunkt: Tilsvarende hypotenuser og høyder må identifiseres korrekt.
Del 2 - Oppgave 4cArealbevis for Pytagoras
Oppgave 4c
Oppgave: Bruk arealbetraktninger og resultatet fra b til å bevise Pytagoras’ setning.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Speilingene viser at arealet av AEB er lik arealet av ABC, mens arealene av CBF og ACG til sammen også er lik arealet av ABC. Dermed kan arealene uttrykkes med k og sammenliknes.
Steg 1 - Kongruente arealer
\([AEB]=[ABC]\), \([CBF]=[CBD]\) og \([ACG]=[ACD]\).
Arealene av de tre formlike speilbildetrekantene gir direkte kvadratidentiteten.
GeoGebra/CAS-kontroll
GeoGebra - CAS
1
k*c^2/2=k*a^2/2+k*b^2/2
Areallikning
2
Simplify[(k*c^2/2=k*a^2/2+k*b^2/2)/(k/2)]
\(c^2=a^2+b^2\)
Tolkning: CAS kan forenkle areallikningen, men den geometriske areallikheten må begrunnes manuelt.
Python-kontroll med SymPy
Python 3 - SymPy
import sympy as sp
a, b, c, k = sp.symbols("a b c k", positive=True)
area_large = k*c**2/2
area_small_1 = k*a**2/2
area_small_2 = k*b**2/2
equation = sp.Eq(area_large,area_small_1+area_small_2)
cleared = sp.simplify((area_large-area_small_1-area_small_2)/(k/2))
print("Area AEB =", area_large)
print("Area CBF =", area_small_1)
print("Area ACG =", area_small_2)
print("Area equation =", equation)
print("After division by k/2 =", cleared)
print("Equivalent Pythagoras identity =", sp.Eq(c**2,a**2+b**2))
Utskrift fra Python:
Area AEB = c**2*k/2
Area CBF = a**2*k/2
Area ACG = b**2*k/2
Area equation = Eq(c**2*k/2, a**2*k/2 + b**2*k/2)
After division by k/2 = -a**2 - b**2 + c**2
Equivalent Pythagoras identity = Eq(c**2, a**2 + b**2)
Fasit: Fra areallikheten følger \(c^2=a^2+b^2\), altså Pytagoras’ setning.
Vanlig feil: Å skrive areallikheten uten å begrunne hvorfor den store trekantens areal er summen av de to andre.
Sensorpunkt: Kongruens, oppdeling av ABC, høydeuttrykkene og forkorting med k/2 skal vises.
Kilde og metode: Oppgavetekstene er transkribert fra Utdanningsdirektoratets eksamenssett REA3022 Matematikk R1, våren 2020. Sidebildene fra original-PDF-en er brukt som autoritativ kilde ved symboler og figurer. Løsningene, figurene og kontrollkodene er originale ifingo-utarbeidelser. Python-utskriftene er generert ved faktisk kjøring av hver kodeblokk under produksjonen.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
