Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere hvert ledd. Rotleddet skrives som en potens, og vi må samtidig merke oss at den deriverte bare er definert for \(x>0\).

Steg 1 - Skriv roten som potens

\(\sqrt{x}=x^{1/2}\), så \(f(x)=x^3+2x^2-x^{1/2}\).

Steg 2 - Deriver tredjegradsleddet

Potensregelen gir \(\frac{d}{dx}x^3=3x^2\).

Steg 3 - Deriver andregradsleddet

\(\frac{d}{dx}(2x^2)=4x\).

Steg 4 - Deriver rotleddet

\(\frac{d}{dx}(-x^{1/2})=-\frac12x^{-1/2}\).

Steg 5 - Skriv med rottegn

\(-\frac12x^{-1/2}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Steg 6 - Samle resultatet

\[f^{\prime}(x)=3x^2+4x-\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad x>0.\]

Steg 7 - Vurder endepunktet

Funksjonen er definert ved \(x=0\), men differansekvotienten fra høyre går mot \(-\infty\), så den vanlige deriverte finnes ikke der.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
f = x**3 + 2*x**2 - sp.sqrt(x)
terms = [x**3, 2*x**2, -sp.sqrt(x)]
derivatives = [sp.diff(term, x) for term in terms]
f_prime = sp.simplify(sp.diff(f, x))
print("f(x) =", f)
print("Term derivatives =", derivatives)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Expected form =", 3*x**2 + 4*x - 1/(2*sp.sqrt(x)))
print("Difference check =", sp.simplify(f_prime-(3*x**2+4*x-1/(2*sp.sqrt(x)))))

Utskrift fra Python:
f(x) = -sqrt(x) + x**3 + 2*x**2
Term derivatives = [3*x**2, 4*x, -1/(2*sqrt(x))]
f'(x) = 3*x**2 + 4*x - 1/(2*sqrt(x))
Expected form = 3*x**2 + 4*x - 1/(2*sqrt(x))
Difference check = 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=3x^2+4x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) for \(x>0\).

Hva spør oppgaven om? Funksjonen er et produkt. Logaritmeleddet krever også kjerneregelen, og definisjonsmengden er \(x>1/2\).

Steg 1 - Velg faktorene

Sett \(u(x)=x^2\) og \(v(x)=\ln(2x-1)\).

Steg 2 - Deriver u

\(u^{\prime}(x)=2x\).

Steg 3 - Deriver v

Kjerneregelen gir \[v^{\prime}(x)=\frac{2}{2x-1}.\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[g^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.\]

Steg 5 - Sett inn

\[g^{\prime}(x)=2x\ln(2x-1)+x^2\frac{2}{2x-1}.\]

Steg 6 - Forenkle

\[g^{\prime}(x)=2x\ln(2x-1)+\frac{2x^2}{2x-1}.\]

Steg 7 - Oppgi området

Uttrykket gjelder for \(x>1/2\), som er definisjonsmengden til den opprinnelige funksjonen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
u = x**2
v = sp.log(2*x - 1)
u_prime = sp.diff(u, x)
v_prime = sp.diff(v, x)
product_rule = sp.simplify(u_prime*v + u*v_prime)
direct = sp.simplify(sp.diff(u*v, x))
print("u(x) =", u)
print("v(x) =", v)
print("u'(x) =", u_prime)
print("v'(x) =", v_prime)
print("Product-rule result =", product_rule)
print("Direct derivative =", direct)
print("Difference check =", sp.simplify(product_rule-direct))

Utskrift fra Python:
u(x) = x**2
v(x) = log(2*x - 1)
u'(x) = 2*x
v'(x) = 2/(2*x - 1)
Product-rule result = 2*x*(x + (2*x - 1)*log(2*x - 1))/(2*x - 1)
Direct derivative = 2*x*(x + (2*x - 1)*log(2*x - 1))/(2*x - 1)
Difference check = 0

Fasit: \(g^{\prime}(x)=2x\ln(2x-1)+\dfrac{2x^2}{2x-1}\), \(x>1/2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skriver brøken som et produkt med negativ eksponent og bruker produktregelen sammen med kjerneregelen.

Steg 1 - Skriv om

\[h(x)=4x e^{-2x}.\]

Steg 2 - Deriver første faktor

\((4x)^{\prime}=4\).

Steg 3 - Deriver eksponentialfaktoren

\((e^{-2x})^{\prime}=-2e^{-2x}\).

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[h^{\prime}(x)=4e^{-2x}+4x(-2e^{-2x}).\]

Steg 5 - Samle leddene

\[h^{\prime}(x)=4e^{-2x}-8xe^{-2x}.\]

Steg 6 - Faktoriser

\[h^{\prime}(x)=4(1-2x)e^{-2x}.\]

Steg 7 - Skriv som brøk

\[h^{\prime}(x)=\frac{4(1-2x)}{e^{2x}}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
h = 4*x/sp.exp(2*x)
rewritten = 4*x*sp.exp(-2*x)
first_factor = sp.diff(4*x, x)
second_factor = sp.diff(sp.exp(-2*x), x)
product_rule = sp.simplify(first_factor*sp.exp(-2*x) + 4*x*second_factor)
derivative = sp.simplify(sp.diff(h, x))
print("h(x) =", h)
print("Rewritten h(x) =", rewritten)
print("Derivative of 4*x =", first_factor)
print("Derivative of exp(-2*x) =", second_factor)
print("Product-rule result =", product_rule)
print("Direct derivative =", derivative)
print("Difference check =", sp.simplify(derivative-product_rule))

Utskrift fra Python:
h(x) = 4*x*exp(-2*x)
Rewritten h(x) = 4*x*exp(-2*x)
Derivative of 4*x = 4
Derivative of exp(-2*x) = -2*exp(-2*x)
Product-rule result = 4*(1 - 2*x)*exp(-2*x)
Direct derivative = 4*(1 - 2*x)*exp(-2*x)
Difference check = 0

Fasit: \(h^{\prime}(x)=4(1-2x)e^{-2x}=\dfrac{4(1-2x)}{e^{2x}}\).

Hva spør oppgaven om? Vi faktoriserer alle nevnerne, finner fellesnevner og forkorter. Opprinnelige forbudte verdier må beholdes.

Steg 1 - Faktoriser nevnerne

\[x^2-x=x(x-1),\quad x^2+x=x(x+1),\quad x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 2 - Finn fellesnevner

En fellesnevner er \(x(x-1)(x+1)\).

Steg 3 - Utvid første brøk

\[\frac1{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}.\]

Steg 4 - Utvid andre brøk

\[\frac1{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x-1)(x+1)}.\]

Steg 5 - Utvid tredje brøk

\[-\frac1{(x-1)(x+1)}=-\frac{x}{x(x-1)(x+1)}.\]

Steg 6 - Samle telleren

\[(x+1)+(x-1)-x=x.\]

Steg 7 - Forkort

\[\frac{x}{x(x-1)(x+1)}=\frac1{(x-1)(x+1)}=\frac1{x^2-1}.\]

Steg 8 - Behold restriksjonene

Fra originaluttrykket må \(x\neq -1,0,1\). Selv om x forkortes bort, er \(x=0\) fortsatt ikke tillatt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
term1 = 1/(x**2-x)
term2 = 1/(x**2+x)
term3 = -1/(x**2-1)
expression = term1 + term2 + term3
common_numerator = sp.expand((x+1)+(x-1)-x)
simplified = sp.cancel(expression)
print("Term 1 =", term1)
print("Term 2 =", term2)
print("Term 3 =", term3)
print("Combined numerator =", common_numerator)
print("Simplified expression =", simplified)
print("Difference from 1/(x^2-1) =", sp.simplify(simplified-1/(x**2-1)))
print("Excluded original values =", [-1, 0, 1])

Utskrift fra Python:
Term 1 = 1/(x**2 - x)
Term 2 = 1/(x**2 + x)
Term 3 = -1/(x**2 - 1)
Combined numerator = x
Simplified expression = 1/(x**2 - 1)
Difference from 1/(x^2-1) = 0
Excluded original values = [-1, 0, 1]

Fasit: \(\dfrac1{x^2-1}\), med \(x\neq -1,0,1\).

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at logaritmen og eksponentialfunksjonen er inverse funksjoner.

Steg 1 - Forenkle logaritmen

\[\ln(e^3)=3.\]

Steg 2 - Beregn telleren

\[(3+1)^2=4^2=16.\]

Steg 3 - Forenkle eksponentialuttrykket

\[e^{\ln 3}=3.\]

Steg 4 - Beregn nevneren

\[(3+1)^3=4^3=64.\]

Steg 5 - Sett sammen

\[\frac{16}{64}.\]

Steg 6 - Forkort

\[\frac{16}{64}=\frac14.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
numerator_inner = sp.log(sp.exp(3)) + 1
denominator_inner = sp.exp(sp.log(3)) + 1
numerator = sp.simplify(numerator_inner**2)
denominator = sp.simplify(denominator_inner**3)
value = sp.simplify(numerator/denominator)
print("ln(e^3) + 1 =", numerator_inner)
print("Numerator =", numerator)
print("e^(ln 3) + 1 =", denominator_inner)
print("Denominator =", denominator)
print("Fraction =", value)
print("Decimal value =", sp.N(value, 12))

Utskrift fra Python:
ln(e^3) + 1 = 4
Numerator = 16
e^(ln 3) + 1 = 4
Denominator = 64
Fraction = 1/4
Decimal value = 0.250000000000

Fasit: \(\dfrac14\).

Hva spør oppgaven om? Divisjonen går opp dersom resten er null. Det kan vises ved polynomdivisjon eller ved å kontrollere nullpunktet \(x=1/2\).

Steg 1 - Finn nullpunktet til divisoren

\(2x-1=0\) gir \(x=1/2\).

Steg 2 - Bruk faktorprøven

Hvis \(f(1/2)=0\), er \(2x-1\) en faktor i f.

Steg 3 - Sett inn

\[f(1/2)=2(1/2)^3-3(1/2)^2-11(1/2)+6.\]

Steg 4 - Regn leddene

\[\frac14-\frac34-\frac{11}{2}+6.\]

Steg 5 - Samle

\[-\frac12-\frac{11}{2}+6=-6+6=0.\]

Steg 6 - Konklusjon

Resten er null, derfor går divisjonen opp.

Steg 7 - Finn kvotienten som kontroll

Polynomdivisjon gir \[f(x)=(2x-1)(x^2-x-6).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
f = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6
divisor = 2*x - 1
root = sp.Rational(1, 2)
value = sp.simplify(f.subs(x, root))
quotient, remainder = sp.div(f, divisor)
print("f(x) =", f)
print("Divisor =", divisor)
print("Root of divisor =", root)
print("f(1/2) =", value)
print("Quotient =", quotient)
print("Remainder =", remainder)
print("Product check =", sp.expand(divisor*quotient))

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6
Divisor = 2*x - 1
Root of divisor = 1/2
f(1/2) = 0
Quotient = x**2 - x - 6
Remainder = 0
Product check = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6

Fasit: Divisjonen går opp fordi \(f(1/2)=0\); kvotienten er \(x^2-x-6\).

Hva spør oppgaven om? Fra del a vet vi at \(2x-1\) er en faktor. Deretter faktoriserer vi andregradsfaktoren.

Steg 1 - Bruk resultatet fra del a

\[f(x)=(2x-1)(x^2-x-6).\]

Steg 2 - Finn to tall

Vi trenger to tall med produkt \(-6\) og sum \(-1\).

Steg 3 - Velg tallene

Tallene er \(-3\) og \(2\).

Steg 4 - Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]

Steg 5 - Sett sammen

\[f(x)=(2x-1)(x-3)(x+2).\]

Steg 6 - Kontroller ledende ledd

Produktets ledende ledd er \(2x\cdot x\cdot x=2x^3\).

Steg 7 - Kontroller konstantleddet

\((-1)(-3)(2)=6\), som stemmer med f.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
f = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6
first_factor = 2*x - 1
quadratic = sp.div(f, first_factor)[0]
quadratic_factored = sp.factor(quadratic)
full_factorization = sp.factor(f)
print("f(x) =", f)
print("First factor =", first_factor)
print("Quadratic quotient =", quadratic)
print("Quadratic factorization =", quadratic_factored)
print("Full factorization =", full_factorization)
print("Expansion check =", sp.expand(full_factorization))

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6
First factor = 2*x - 1
Quadratic quotient = x**2 - x - 6
Quadratic factorization = (x - 3)*(x + 2)
Full factorization = (x - 3)*(x + 2)*(2*x - 1)
Expansion check = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6

Fasit: \(f(x)=(2x-1)(x-3)(x+2)\).

Hva spør oppgaven om? Vi samler alt på én side, faktoriserer og bruker fortegnene til tre lineære faktorer.

Steg 1 - Flytt høyresiden

\[f(x)-(2x-1)(x+2)\ge0.\]

Steg 2 - Bruk faktoriseringen av f

\[(2x-1)(x+2)(x-3)-(2x-1)(x+2)\ge0.\]

Steg 3 - Trekk ut felles faktor

\[(2x-1)(x+2)((x-3)-1)\ge0.\]

Steg 4 - Forenkle

\[(2x-1)(x+2)(x-4)\ge0.\]

Steg 5 - Finn nullpunktene

Nullpunktene er \(x=-2\), \(x=1/2\) og \(x=4\).

Steg 6 - Lag fortegn

Produktet har fortegn \(-,+,-,+\) på intervallene som deles av de tre nullpunktene.

Steg 7 - Velg ikke-negative intervaller

Produktet er positivt på \((-2,1/2)\) og \((4,\infty)\).

Steg 8 - Ta med nullpunktene

Siden ulikheten er \(\ge0\), skal alle tre nullpunktene tas med.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6
right_side = (2*x-1)*(x+2)
difference = sp.factor(f-right_side)
roots = sp.solve(sp.Eq(difference, 0), x)
solution = sp.solve_univariate_inequality(difference >= 0, x)
print("f(x) =", f)
print("Right-hand side =", sp.expand(right_side))
print("Factored difference =", difference)
print("Boundary points =", roots)
print("Solution set =", solution)
for test in [-3, 0, 1, 5]:
    print("Sign at x =", test, ":", sp.sign(difference.subs(x,test)))

Utskrift fra Python:
f(x) = 2*x**3 - 3*x**2 - 11*x + 6
Right-hand side = 2*x**2 + 3*x - 2
Factored difference = (x - 4)*(x + 2)*(2*x - 1)
Boundary points = [-2, 1/2, 4]
Solution set = (4 <= x) | ((-2 <= x) & (x <= 1/2))
Sign at x = -3 : -1
Sign at x = 0 : 1
Sign at x = 1 : -1
Sign at x = 5 : 1

Fasit: \(x\in[-2,1/2]\cup[4,\infty)\).

Hva spør oppgaven om? Vektoren fra A til B finnes ved å trekke koordinatene til A fra koordinatene til B.

Steg 1 - Skriv punktene

\(A=(1,3)\) og \(B=(5,-1)\).

Steg 2 - Beregn x-komponenten

\(5-1=4\).

Steg 3 - Beregn y-komponenten

\(-1-3=-4\).

Steg 4 - Skriv vektoren

\[\overrightarrow{AB}=[4,-4].\]

Steg 5 - Bruk lengdeformelen

\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+(-4)^2}.\]

Steg 6 - Forenkle

\[\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt2.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Point(1, 3)
B = sp.Point(5, -1)
AB = sp.Matrix([B.x-A.x, B.y-A.y])
length_squared = sp.expand(AB.dot(AB))
length = sp.sqrt(length_squared)
print("A =", A)
print("B =", B)
print("AB vector =", list(AB))
print("Length squared =", length_squared)
print("Exact length =", length)
print("Decimal length =", sp.N(length, 12))

Utskrift fra Python:
A = Point2D(1, 3)
B = Point2D(5, -1)
AB vector = [4, -4]
Length squared = 32
Exact length = 4*sqrt(2)
Decimal length = 5.65685424949

Fasit: \(\overrightarrow{AB}=[4,-4]\) og \(|\overrightarrow{AB}|=4\sqrt2\).

Hva spør oppgaven om? Sentrum er midtpunktet på AB, og radius er halvparten av lengden AB.

Steg 1 - Finn sentrum

Midtpunktet er \[M=\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+(-1)}2\right)=(3,1).\]

Steg 2 - Finn diameteren

Fra del a er \(|AB|=4\sqrt2\).

Steg 3 - Finn radius

\[r=\frac{|AB|}{2}=2\sqrt2.\]

Steg 4 - Finn radiuskvadratet

\[r^2=(2\sqrt2)^2=8.\]

Steg 5 - Bruk standardformen

En sirkel med sentrum \((a,b)\) har likning \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Steg 6 - Sett inn

\[(x-3)^2+(y-1)^2=8.\]

Steg 7 - Kontroller endepunktene

Både A og B gir venstreside 8, derfor ligger begge på sirkelen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Point(1, 3)
B = sp.Point(5, -1)
M = sp.Segment(A, B).midpoint
radius = sp.simplify(A.distance(B)/2)
radius_squared = sp.expand(radius**2)
check_A = sp.expand((A.x-M.x)**2 + (A.y-M.y)**2)
check_B = sp.expand((B.x-M.x)**2 + (B.y-M.y)**2)
print("Midpoint M =", M)
print("Radius =", radius)
print("Radius squared =", radius_squared)
print("Circle equation: (x-3)^2 + (y-1)^2 =", radius_squared)
print("Left side at A =", check_A)
print("Left side at B =", check_B)

Utskrift fra Python:
Midpoint M = Point2D(3, 1)
Radius = 2*sqrt(2)
Radius squared = 8
Circle equation: (x-3)^2 + (y-1)^2 = 8
Left side at A = 8
Left side at B = 8

Fasit: \((x-3)^2+(y-1)^2=8\).

Hva spør oppgaven om? Et punkt C gir rett vinkel mot diameteren AB akkurat når C ligger på sirkelen med AB som diameter. Vi tester om linjen x=6 skjærer sirkelen.

Steg 1 - Bruk sirkelen fra del b

\[(x-3)^2+(y-1)^2=8.\]

Steg 2 - Sett x=6

\[(6-3)^2+(y-1)^2=8.\]

Steg 3 - Forenkle

\[9+(y-1)^2=8.\]

Steg 4 - Isoler kvadratet

\[(y-1)^2=-1.\]

Steg 5 - Vurder reelle løsninger

Et reelt kvadrat kan ikke være negativt, så likningen har ingen reell løsning.

Steg 6 - Konklusjon

Linjen \(x=6\) skjærer ikke sirkelen. Derfor finnes det ikke et slikt punkt C.

Steg 7 - Alternativ prikkproduktkontroll

Med \(C=(6,y)\) blir \((A-C)\cdot(B-C)=(y-1)^2+1>0\), aldri 0.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
y = sp.symbols("y", real=True)
A = sp.Matrix([1, 3])
B = sp.Matrix([5, -1])
C = sp.Matrix([6, y])
dot_product = sp.expand((A-C).dot(B-C))
circle_equation = sp.expand((6-3)**2 + (y-1)**2 - 8)
solutions = sp.solve(sp.Eq(circle_equation, 0), y, domain=sp.S.Reals)
print("C =", list(C))
print("(A-C) dot (B-C) =", dot_product)
print("Completed-square form =", sp.expand((y-1)**2+1))
print("Circle equation after x=6 =", circle_equation)
print("Real y-solutions =", solutions)
print("Minimum dot product =", 1)

Utskrift fra Python:
C = [6, y]
(A-C) dot (B-C) = y**2 - 2*y + 2
Completed-square form = y**2 - 2*y + 2
Circle equation after x=6 = y**2 - 2*y + 2
Real y-solutions = []
Minimum dot product = 1

Fasit: Nei. Det finnes ingen reell plassering av C på \(x=6\) som gir rett vinkel i C.

Hva spør oppgaven om? Rekkefølgen i finalgruppen spiller ingen rolle, så vi bruker kombinasjoner.

Steg 1 - Identifiser valgtype

Vi velger 3 av 10 uten å ta hensyn til rekkefølge.

Steg 2 - Skriv binomialkoeffisienten

\[\binom{10}{3}.\]

Steg 3 - Bruk formelen

\[\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!7!}.\]

Steg 4 - Forkort fakultetene

\[\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.\]

Steg 5 - Beregn

\[\frac{720}{6}=120.\]

Steg 6 - Tolk

Det finnes 120 forskjellige finalgrupper.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
n = 10
r = 3
ordered_choices = n*(n-1)*(n-2)
orderings_per_group = math.factorial(r)
combinations = math.comb(n, r)
print("Number of participants =", n)
print("Group size =", r)
print("Ordered selections =", ordered_choices)
print("Orderings per group =", orderings_per_group)
print("Unordered groups =", combinations)
print("Division check =", ordered_choices//orderings_per_group)

Utskrift fra Python:
Number of participants = 10
Group size = 3
Ordered selections = 720
Orderings per group = 6
Unordered groups = 120
Division check = 120

Fasit: \(\binom{10}{3}=120\) grupper.

Hva spør oppgaven om? En gruppe på tre har flere kvinner enn menn i to tilfeller: to kvinner og én mann, eller tre kvinner.

Steg 1 - Del i tilfeller

Mulige kjønnsfordelinger er \(2K+1M\) og \(3K+0M\).

Steg 2 - Tell 2K og 1M

\[\binom52\binom51=10\cdot5=50.\]

Steg 3 - Tell 3K

\[\binom53\binom50=10\cdot1=10.\]

Steg 4 - Kontroller at tilfellene er disjunkte

En gruppe kan ikke samtidig ha to og tre kvinner, så antall kan summeres.

Steg 5 - Summer

\[50+10=60.\]

Steg 6 - Tolk

60 av de 120 mulige finalgruppene har kvinneflertall.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
women = 5
men = 5
two_women_one_man = math.comb(women,2)*math.comb(men,1)
three_women = math.comb(women,3)*math.comb(men,0)
total_female_majority = two_women_one_man + three_women
all_groups = math.comb(women+men,3)
print("Two women and one man =", two_women_one_man)
print("Three women =", three_women)
print("Female-majority groups =", total_female_majority)
print("All groups =", all_groups)
print("Share of all groups =", total_female_majority/all_groups)
print("Symmetry check, half of all groups =", all_groups//2)

Utskrift fra Python:
Two women and one man = 50
Three women = 10
Female-majority groups = 60
All groups = 120
Share of all groups = 0.5
Symmetry check, half of all groups = 60

Fasit: \(60\) grupper.

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner fortegnet til én graf med hvor den andre grafen vokser og avtar.

Steg 1 - Se på graf B

Graf B ligger under x-aksen fram til omtrent \(x=0,2\), og over x-aksen etter dette.

Steg 2 - Tolk B som en mulig derivert

Hvis B er \(f^{\prime}\), skal f avta der B er negativ og vokse der B er positiv.

Steg 3 - Sammenlikn med graf A

Graf A avtar fram til sitt bunnpunkt ved omtrent samme x-verdi og vokser etterpå.

Steg 4 - Kontroller nullpunktet

Nullpunktet til B svarer til et stasjonært punkt på A.

Steg 5 - Test motsatt antakelse

Hvis A var \(f^{\prime}\), ville nullpunktene til A gi to stasjonære punkter på B, men B viser ikke dette mønsteret.

Steg 6 - Konklusjon

Graf A tilhører f, og graf B tilhører \(f^{\prime}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

# Qualitative sign table read from the exam figure
intervals = ["x before the zero of B", "x after the zero of B"]
B_sign = ["negative", "positive"]
A_motion = ["decreasing", "increasing"]
consistency = [B_sign[i] == ("negative" if A_motion[i] == "decreasing" else "positive") for i in range(2)]
print("Intervals =", intervals)
print("Sign of graph B =", B_sign)
print("Observed motion of graph A =", A_motion)
print("Consistency checks =", consistency)
print("All checks agree =", all(consistency))
print("Conclusion: graph A is f and graph B is f'")

Utskrift fra Python:
Intervals = ['x before the zero of B', 'x after the zero of B']
Sign of graph B = ['negative', 'positive']
Observed motion of graph A = ['decreasing', 'increasing']
Consistency checks = [True, True]
All checks agree = True
Conclusion: graph A is f and graph B is f'

Fasit: Graf A er \(f\), og graf B er \(f^{\prime}\).

Hva spør oppgaven om? Siden graf B er \(f^{\prime}\), er fortegnet til \(f^{\prime\prime}\) bestemt av om B avtar eller vokser.

Steg 1 - Bruk resultatet fra del a

Graf B er grafen til \(f^{\prime}\).

Steg 2 - Finn bunnpunktet på B

B avtar fram til sitt bunnpunkt, som ligger omtrent ved \(x=-0,8\) til \(-1\) i figuren.

Steg 3 - Tolk avtakning

Når \(f^{\prime}\) avtar, er \(f^{\prime\prime}<0\).

Steg 4 - Tolk bunnpunktet

I bunnpunktet til \(f^{\prime}\) er stigningstallet 0, altså \(f^{\prime\prime}=0\).

Steg 5 - Tolk vekst

Etter bunnpunktet vokser \(f^{\prime}\), derfor er \(f^{\prime\prime}>0\).

Steg 6 - Skriv fortegnslinjen

Fortegnslinjen er negativ - null - positiv, med skifte ved x-koordinaten til bunnpunktet på B.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

# The exact coordinate is read approximately from the printed graph.
x0_approx = -0.9
left_behavior = "f' is decreasing"
right_behavior = "f' is increasing"
left_sign = "negative"
point_sign = "zero"
right_sign = "positive"
print("Approximate change point x0 =", x0_approx)
print("Left of x0:", left_behavior)
print("Therefore f'' is", left_sign)
print("At x0: f'' is", point_sign)
print("Right of x0:", right_behavior)
print("Therefore f'' is", right_sign)
print("Sign line: negative | zero | positive")

Utskrift fra Python:
Approximate change point x0 = -0.9
Left of x0: f' is decreasing
Therefore f'' is negative
At x0: f'' is zero
Right of x0: f' is increasing
Therefore f'' is positive
Sign line: negative | zero | positive

Fasit: \(f^{\prime\prime}<0\) før bunnpunktet til graf B, \(f^{\prime\prime}=0\) i bunnpunktet og \(f^{\prime\prime}>0\) etterpå.

Hva spør oppgaven om? Vi finner to par like vinkler: toppvinkler i P og periferivinkler som spenner over samme bue.

Steg 1 - Bruk toppvinkler

\(\angle APC\) og \(\angle BPD\) er toppvinkler, derfor er de like.

Steg 2 - Bruk kollinearitet

P ligger på CD, så \(\angle ACP=\angle ACD\).

Steg 3 - Bruk den andre korden

P ligger på AB, så \(\angle PBD=\angle ABD\).

Steg 4 - Bruk periferivinkelsetningen

\(\angle ACD\) og \(\angle ABD\) spenner over samme bue AD, derfor er de like.

Steg 5 - Samle vinkelparet

Dermed er \(\angle ACP=\angle PBD\).

Steg 6 - Bruk VV-kriteriet

To par samsvarende vinkler er like, så trekantene er formlike.

Steg 7 - Oppgi korrespondansen

Korrespondansen er \(A\leftrightarrow D\), \(P\leftrightarrow P\), \(C\leftrightarrow B\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

# Symbolic angle labels for the AA similarity argument
angle_APC = "vertical angle at P"
angle_BPD = "vertical angle at P"
angle_ACP = "inscribed angle over arc AD"
angle_PBD = "inscribed angle over arc AD"
first_pair_equal = angle_APC == angle_BPD
second_pair_equal = angle_ACP == angle_PBD
print("Angle APC description =", angle_APC)
print("Angle BPD description =", angle_BPD)
print("First angle pair equal =", first_pair_equal)
print("Angle ACP description =", angle_ACP)
print("Angle PBD description =", angle_PBD)
print("Second angle pair equal =", second_pair_equal)
print("AA similarity established =", first_pair_equal and second_pair_equal)

Utskrift fra Python:
Angle APC description = vertical angle at P
Angle BPD description = vertical angle at P
First angle pair equal = True
Angle ACP description = inscribed angle over arc AD
Angle PBD description = inscribed angle over arc AD
Second angle pair equal = True
AA similarity established = True

Fasit: \(\triangle APC\sim\triangle BPD\) ved VV-formlikhet.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker samsvarende sider i de formlike trekantene fra del a og kryssmultipliserer.

Steg 1 - Bruk korrespondansen

Fra form-likheten svarer siden AP til PD, og CP svarer til PB.

Steg 2 - Sett opp et sideforhold

\[\frac{AP}{PD}=\frac{CP}{PB}.\]

Steg 3 - Kontroller at forholdene er samsvarende

Begge tellerne og nevnerne tilhører sider mellom samsvarende hjørner.

Steg 4 - Kryssmultipliser

\[AP\cdot PB=CP\cdot PD.\]

Steg 5 - Tolk resultatet

Produktet av de to delene av den ene korden er lik produktet av delene av den andre.

Steg 6 - Konklusjon

Dette er setningen om skjærende korder, nå utledet fra formlikhet.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
AP, PB, CP, PD = sp.symbols("AP PB CP PD", positive=True)
ratio_equation = sp.Eq(AP/PD, CP/PB)
cross_product_left = AP*PB
cross_product_right = CP*PD
cleared = sp.simplify((AP/PD-CP/PB)*PB*PD)
print("Similarity ratio =", ratio_equation)
print("Left cross product =", cross_product_left)
print("Right cross product =", cross_product_right)
print("Cleared numerator =", cleared)
print("Equality after cross multiplication =", sp.Eq(cross_product_left,cross_product_right))
print("Conclusion: AP*PB = CP*PD")

Utskrift fra Python:
Similarity ratio = Eq(AP/PD, CP/PB)
Left cross product = AP*PB
Right cross product = CP*PD
Cleared numerator = AP*PB - CP*PD
Equality after cross multiplication = Eq(AP*PB, CP*PD)
Conclusion: AP*PB = CP*PD

Fasit: \(AP\cdot PB=CP\cdot PD\).

Hva spør oppgaven om? Vi avgjør hvilken retning som alltid er sann. Et toppunkt gir null derivert, men null derivert gir ikke nødvendigvis toppunkt.

Steg 1 - Fra toppunkt til derivert

Når f er deriverbar og har et lokalt toppunkt i et indre punkt, er tangenten horisontal.

Steg 2 - Skriv konsekvensen

Toppunkt i \(x=2\) medfører \(f^{\prime}(2)=0\).

Steg 3 - Test motsatt retning

Betingelsen \(f^{\prime}(2)=0\) sier bare at punktet er stasjonært.

Steg 4 - Gi moteksempel

For \(f(x)=(x-2)^3\) er \(f^{\prime}(2)=0\), men punktet er et terrassepunkt, ikke et toppunkt.

Steg 5 - Velg symbol

Påstanden til høyre medfører påstanden til venstre.

Steg 6 - Konklusjon

Vi skal sette inn \(\Leftarrow\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
counterexample = (x-2)**3
first = sp.diff(counterexample, x)
second = sp.diff(counterexample, x, 2)
value_first = first.subs(x,2)
left_value = counterexample.subs(x,sp.Rational(19,10))
right_value = counterexample.subs(x,sp.Rational(21,10))
print("Counterexample f(x) =", counterexample)
print("f'(x) =", first)
print("f''(x) =", second)
print("f'(2) =", value_first)
print("f(1.9) =", left_value)
print("f(2.1) =", right_value)
print("The function passes through, so x=2 is not a maximum")

Utskrift fra Python:
Counterexample f(x) = (x - 2)**3
f'(x) = 3*(x - 2)**2
f''(x) = 6*(x - 2)
f'(2) = 0
f(1.9) = -1/1000
f(2.1) = 1/1000
The function passes through, so x=2 is not a maximum

Fasit: \(f^{\prime}(2)=0\;\Leftarrow\;\) grafen har et toppunkt i \((2,f(2))\).

Hva spør oppgaven om? Andrederiverttesten gir en tilstrekkelig betingelse for bunnpunkt, men betingelsen er ikke nødvendig.

Steg 1 - Bruk andrederiverttesten

Hvis \(f^{\prime}(3)=0\) og \(f^{\prime\prime}(3)>0\), krummer grafen oppover ved det stasjonære punktet.

Steg 2 - Trekk konklusjon

Da har f et lokalt bunnpunkt ved \(x=3\).

Steg 3 - Test motsatt retning

Et bunnpunkt behøver ikke ha positiv andrederivert.

Steg 4 - Gi moteksempel

For \(f(x)=(x-3)^4\) er \(x=3\) et bunnpunkt, men \(f^{\prime\prime}(3)=0\).

Steg 5 - Velg symbol

Venstresiden medfører høyresiden, men ikke omvendt.

Steg 6 - Konklusjon

Riktig symbol er \(\Rightarrow\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
counterexample = (x-3)**4
first = sp.diff(counterexample, x)
second = sp.diff(counterexample, x, 2)
value = counterexample.subs(x,3)
first_at_3 = first.subs(x,3)
second_at_3 = second.subs(x,3)
nearby_values = [counterexample.subs(x,sp.Rational(29,10)), counterexample.subs(x,sp.Rational(31,10))]
print("Counterexample f(x) =", counterexample)
print("f(3) =", value)
print("f'(3) =", first_at_3)
print("f''(3) =", second_at_3)
print("Nearby function values =", nearby_values)
print("Both nearby values exceed f(3), so x=3 is a minimum")
print("Correct implication direction: left implies right")

Utskrift fra Python:
Counterexample f(x) = (x - 3)**4
f(3) = 0
f'(3) = 0
f''(3) = 0
Nearby function values = [1/10000, 1/10000]
Both nearby values exceed f(3), so x=3 is a minimum
Correct implication direction: left implies right

Fasit: \(f^{\prime}(3)=0\) og \(f^{\prime\prime}(3)>0\;\Rightarrow\;\) bunnpunkt i \((3,f(3))\).

Hva spør oppgaven om? Banefarten er lengden av fartsvektoren \(ec v(t)=ec r^{\prime}(t)\), evaluert ved \(t=0\).

Steg 1 - Deriver x-komponenten

\(x(t)=28t-3t^2\) gir \(x^{\prime}(t)=28-6t\).

Steg 2 - Deriver y-komponenten

\(y(t)=10t-5t^2\) gir \(y^{\prime}(t)=10-10t\).

Steg 3 - Skriv fartsvektoren

\[\vec v(t)=[28-6t,\,10-10t].\]

Steg 4 - Sett t=0

\[\vec v(0)=[28,10].\]

Steg 5 - Finn lengden

\[|\vec v(0)|=\sqrt{28^2+10^2}.\]

Steg 6 - Forenkle eksakt

\[\sqrt{884}=2\sqrt{221}.\]

Steg 7 - Beregn desimaltall

\[2\sqrt{221}\approx29,73\text{ m/s}.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
r = sp.Matrix([28*t-3*t**2, 10*t-5*t**2])
v = r.diff(t)
v0 = v.subs(t,0)
speed_squared = sp.expand(v0.dot(v0))
speed = sp.sqrt(speed_squared)
print("r(t) =", list(r))
print("v(t) =", list(v))
print("v(0) =", list(v0))
print("Speed squared =", speed_squared)
print("Exact speed =", speed)
print("Decimal speed =", sp.N(speed, 12))

Utskrift fra Python:
r(t) = [-3*t**2 + 28*t, -5*t**2 + 10*t]
v(t) = [28 - 6*t, 10 - 10*t]
v(0) = [28, 10]
Speed squared = 884
Exact speed = 2*sqrt(221)
Decimal speed = 29.7321374946

Fasit: Banefarten var \(2\sqrt{221}\text{ m/s}\approx29,73\text{ m/s}\).

Hva spør oppgaven om? Ballen er på bakken når høydekomponenten er null. Vi ser bort fra starttidspunktet t=0 og velger det neste nullpunktet.

Steg 1 - Finn høydekomponenten

\[y(t)=10t-5t^2.\]

Steg 2 - Sett høyden lik null

\[10t-5t^2=0.\]

Steg 3 - Faktoriser

\[5t(2-t)=0.\]

Steg 4 - Finn løsningene

\[t=0\quad\text{eller}\quad t=2.\]

Steg 5 - Tolk t=0

Dette er tidspunktet da ballen ble sparket.

Steg 6 - Velg det senere tidspunktet

Ballen treffer bakken igjen ved \(t=2\).

Steg 7 - Oppgi tid

Det tok 2,0 sekunder.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
y = 10*t - 5*t**2
factored = sp.factor(y)
roots = sp.solve(sp.Eq(y,0), t)
positive_after_start = [root for root in roots if root > 0]
print("Height y(t) =", y)
print("Factored height =", factored)
print("All ground times =", roots)
print("Times after launch =", positive_after_start)
print("Impact time =", positive_after_start[0])
print("Height check at impact =", y.subs(t,positive_after_start[0]))

Utskrift fra Python:
Height y(t) = -5*t**2 + 10*t
Factored height = -5*t*(t - 2)
All ground times = [0, 2]
Times after launch = [2]
Impact time = 2
Height check at impact = 0

Fasit: Ballen traff bakken etter \(2\) sekunder.

Hva spør oppgaven om? I høyeste punkt er den vertikale fartskomponenten null. Vi finner tidspunktet og setter det inn i hele fartsvektoren.

Steg 1 - Bruk fartsvektoren

\[\vec v(t)=[28-6t,\,10-10t].\]

Steg 2 - Sett vertikalfarten lik null

\[10-10t=0.\]

Steg 3 - Finn tidspunktet

\[t=1.\]

Steg 4 - Beregn fartsvektoren

\[\vec v(1)=[28-6,\,10-10]=[22,0].\]

Steg 5 - Finn banefarten

\[|\vec v(1)|=\sqrt{22^2+0^2}=22.\]

Steg 6 - Tolk

I toppunktet er farten rent horisontal.

Steg 7 - Oppgi enhet

Banefarten er \(22\text{ m/s}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
t = sp.symbols("t", real=True)
v = sp.Matrix([28-6*t, 10-10*t])
top_time = sp.solve(sp.Eq(v[1],0), t)[0]
v_top = v.subs(t,top_time)
speed_top = sp.sqrt(sp.expand(v_top.dot(v_top)))
height = 10*t - 5*t**2
print("v(t) =", list(v))
print("Top time =", top_time)
print("Velocity at top =", list(v_top))
print("Speed at top =", speed_top)
print("Height at top =", height.subs(t,top_time))
print("Vertical velocity check =", v_top[1])

Utskrift fra Python:
v(t) = [28 - 6*t, 10 - 10*t]
Top time = 1
Velocity at top = [22, 0]
Speed at top = 22
Height at top = 5
Vertical velocity check = 0

Fasit: Banefarten i høyeste punkt var \(22\text{ m/s}\).

Hva spør oppgaven om? Trekkingen er hypergeometrisk fordi vi velger uten tilbakelegging fra en endelig gruppe.

Steg 1 - Tell gunstige utvalg

Vi velger 2 av 8 menn og 1 av 12 kvinner.

Steg 2 - Skriv gunstige kombinasjoner

\[\binom82\binom{12}1.\]

Steg 3 - Tell alle utvalg

Alle grupper på tre blant 20 personer er \(\binom{20}3\).

Steg 4 - Sett opp sannsynligheten

\[p=\frac{\binom82\binom{12}1}{\binom{20}3}.\]

Steg 5 - Beregn kombinasjonene

\[\binom82=28,\quad\binom{12}1=12,\quad\binom{20}3=1140.\]

Steg 6 - Forenkle brøken

\[p=\frac{336}{1140}=\frac{28}{95}.\]

Steg 7 - Desimal

\[p\approx0,2947368\approx0,2947.\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from fractions import Fraction
men = 8
women = 12
draws = 3
favorable = math.comb(men,2)*math.comb(women,1)
total = math.comb(men+women,draws)
p = Fraction(favorable,total)
print("Favorable groups =", favorable)
print("Total groups =", total)
print("Exact probability =", p)
print("Decimal probability =", float(p))
print("Rounded to four decimals =", round(float(p),4))
print("Expected exact value 28/95 =", Fraction(28,95))

Utskrift fra Python:
Favorable groups = 336
Total groups = 1140
Exact probability = 28/95
Decimal probability = 0.29473684210526313
Rounded to four decimals = 0.2947
Expected exact value 28/95 = 28/95

Fasit: \(p=\dfrac{28}{95}\approx0,2947\).

Hva spør oppgaven om? Hvert månedslotteri har samme sannsynlighet p fra del a. Lotteriene i ulike måneder modelleres som uavhengige, så antallet treff er binomisk.

Steg 1 - Definer hendelsen

Et treff er at et lotteri får nøyaktig to mannlige vinnere.

Steg 2 - Bruk sannsynligheten

\[p=\frac{28}{95}.\]

Steg 3 - Velg modell

\[X\sim\operatorname{Bin}(12,p).\]

Steg 4 - Skriv punktssannsynligheten

\[P(X=6)=\binom{12}{6}p^6(1-p)^6.\]

Steg 5 - Sett inn p

\[P(X=6)=\binom{12}{6}\left(\frac{28}{95}\right)^6\left(\frac{67}{95}\right)^6.\]

Steg 6 - Beregn

\[P(X=6)\approx0,074539.\]

Steg 7 - Oppgi prosent

Dette er omtrent \(7,45\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from fractions import Fraction
n = 12
k = 6
p = Fraction(28,95)
coefficient = math.comb(n,k)
probability = coefficient*float(p)**k*float(1-p)**(n-k)
exact_numerator = coefficient*p.numerator**k*(p.denominator-p.numerator)**(n-k)
exact_denominator = p.denominator**n
print("n =", n)
print("k =", k)
print("p =", p)
print("Binomial coefficient =", coefficient)
print("Exact numerator =", exact_numerator)
print("Exact denominator =", exact_denominator)
print("Probability =", probability)
print("Percentage =", 100*probability)

Utskrift fra Python:
n = 12
k = 6
p = 28/95
Binomial coefficient = 924
Exact numerator = 40278099969277252583424
Exact denominator = 540360087662636962890625
Probability = 0.07453936900392252
Percentage = 7.453936900392252

Fasit: \(P(X=6)\approx0,07454\), altså omtrent \(7,45\%\).

Hva spør oppgaven om? Først finner vi sannsynligheten for samme kjønn i ett lotteri. Deretter bruker vi komplementet: ingen slike lotterier i løpet av året.

Steg 1 - Samme kjønn i ett lotteri

Det betyr enten tre kvinner eller tre menn.

Steg 2 - Finn sannsynligheten q

\[q=\frac{\binom{12}3+\binom83}{\binom{20}3}.\]

Steg 3 - Beregn

\[q=\frac{220+56}{1140}=\frac{276}{1140}=\frac{23}{95}.\]

Steg 4 - Finn komplementet i ett lotteri

\[1-q=\frac{72}{95}.\]

Steg 5 - Ingen ganger i tolv lotterier

\[P(\text{ingen})=\left(\frac{72}{95}\right)^{12}.\]

Steg 6 - Minst én gang

\[P(\text{minst én})=1-\left(\frac{72}{95}\right)^{12}.\]

Steg 7 - Beregn

\[P\approx0,964082.\]

Steg 8 - Oppgi prosent

Sannsynligheten er omtrent \(96,41\%\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import math
from fractions import Fraction
same_women = math.comb(12,3)
same_men = math.comb(8,3)
total = math.comb(20,3)
q = Fraction(same_women+same_men,total)
none_in_twelve = float(1-q)**12
at_least_one = 1-none_in_twelve
print("All-women groups =", same_women)
print("All-men groups =", same_men)
print("Total groups =", total)
print("q for same sex in one lottery =", q)
print("Probability of none in 12 =", none_in_twelve)
print("Probability of at least one =", at_least_one)
print("Percentage =", 100*at_least_one)

Utskrift fra Python:
All-women groups = 220
All-men groups = 56
Total groups = 1140
q for same sex in one lottery = 23/95
Probability of none in 12 = 0.03591754906569377
Probability of at least one = 0.9640824509343062
Percentage = 96.40824509343062

Fasit: \(1-(72/95)^{12}\approx0,9641\), altså omtrent \(96,41\%\).

Hva spør oppgaven om? En god dokumentasjon viser funksjonskommandoen, et passende vindu og viktige grafiske trekk.

Steg 1 - Skriv funksjonen i graftegneren

Legg inn \(f(x)=x^3+4x^2+4x+2\).

Steg 2 - Velg vindu

Et vindu som for eksempel \(-5\le x\le2\) og \(-10\le y\le8\) viser formen tydelig.

Steg 3 - Observer endeadferden

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Steg 4 - Marker stasjonære punkter

Grafen har ett lokalt toppunkt og ett lokalt bunnpunkt.

Steg 5 - Marker vendepunktet

Mellom ekstremalpunktene skifter grafen krumning.

Steg 6 - Dokumenter grafen

Graf og vindusinnstillinger skal være med i besvarelsen.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**3 + 4*x**2 + 4*x + 2
f_prime = sp.factor(sp.diff(f,x))
critical_x = sp.solve(sp.Eq(f_prime,0),x)
critical_points = [(value, sp.simplify(f.subs(x,value))) for value in critical_x]
inflection_x = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(f,x,2),0),x)[0]
inflection_point = (inflection_x, sp.simplify(f.subs(x,inflection_x)))
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_prime)
print("Critical x-values =", critical_x)
print("Critical points =", critical_points)
print("Inflection point =", inflection_point)
print("Suggested x-window =", (-5,2))
print("Suggested y-window =", (-10,8))

Utskrift fra Python:
f(x) = x**3 + 4*x**2 + 4*x + 2
f'(x) = (x + 2)*(3*x + 2)
Critical x-values = [-2, -2/3]
Critical points = [(-2, 2), (-2/3, 22/27)]
Inflection point = (-4/3, 38/27)
Suggested x-window = (-5, 2)
Suggested y-window = (-10, 8)

Fasit: Grafen til \(f(x)=x^3+4x^2+4x+2\) som vist i figuren.

Hva spør oppgaven om? Vi løser \(f^{\prime}(x)=0\) for ekstremalpunktene og \(f^{\prime\prime}(x)=0\) for vendepunktet.

Steg 1 - Deriver

\[f^{\prime}(x)=3x^2+8x+4=(3x+2)(x+2).\]

Steg 2 - Finn kritiske x-verdier

\[x=-2\quad\text{eller}\quad x=-\frac23.\]

Steg 3 - Finn andrederivert

\[f^{\prime\prime}(x)=6x+8.\]

Steg 4 - Klassifiser x=-2

\(f^{\prime\prime}(-2)=-4<0\), så punktet er et toppunkt. \(f(-2)=2\).

Steg 5 - Klassifiser x=-2/3

\(f^{\prime\prime}(-2/3)=4>0\), så punktet er et bunnpunkt. \(f(-2/3)=22/27\).

Steg 6 - Finn vendepunktets x-verdi

\[6x+8=0\iff x=-\frac43.\]

Steg 7 - Finn vendepunktets y-verdi

\[f(-4/3)=\frac{38}{27}.\]

Steg 8 - Oppgi punktene

\[T=(-2,2),\quad B=(-2/3,22/27),\quad V=(-4/3,38/27).\]

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x = sp.symbols("x", real=True)
f = x**3 + 4*x**2 + 4*x + 2
f_prime = sp.factor(sp.diff(f,x))
f_second = sp.diff(f,x,2)
critical = sp.solve(sp.Eq(f_prime,0),x)
points = [(c, sp.simplify(f.subs(x,c)), sp.simplify(f_second.subs(x,c))) for c in critical]
inflection_x = sp.solve(sp.Eq(f_second,0),x)[0]
inflection_y = sp.simplify(f.subs(x,inflection_x))
print("f'(x) =", f_prime)
print("f''(x) =", f_second)
print("Critical point data (x,y,f'') =", points)
print("Inflection x =", inflection_x)
print("Inflection y =", inflection_y)
print("Top point =", (-2, f.subs(x,-2)))
print("Bottom point =", (sp.Rational(-2,3), f.subs(x,sp.Rational(-2,3))))

Utskrift fra Python:
f'(x) = (x + 2)*(3*x + 2)
f''(x) = 2*(3*x + 4)
Critical point data (x,y,f'') = [(-2, 2, -4), (-2/3, 22/27, 4)]
Inflection x = -4/3
Inflection y = 38/27
Top point = (-2, 2)
Bottom point = (-2/3, 22/27)

Fasit: Toppunkt \((-2,2)\), bunnpunkt \((-2/3,22/27)\) og vendepunkt \((-4/3,38/27)\).

Hva spør oppgaven om? Grafen har to ulike ekstremalpunkter akkurat når den deriverte har to ulike reelle nullpunkter.

Steg 1 - Deriver g

\[g^{\prime}(x)=3x^2+2ax+4.\]

Steg 2 - Formuler kravet

Andregradslikningen \(3x^2+2ax+4=0\) må ha to ulike reelle løsninger.

Steg 3 - Bruk diskriminanten

\[\Delta=(2a)^2-4\cdot3\cdot4.\]

Steg 4 - Forenkle

\[\Delta=4a^2-48=4(a^2-12).\]

Steg 5 - Krev positiv diskriminant

\[4(a^2-12)>0\iff a^2>12.\]

Steg 6 - Ta kvadratroten

\[|a|>2\sqrt3.\]

Steg 7 - Skriv intervallene

\[a<-2\sqrt3\quad\text{eller}\quad a>2\sqrt3.\]

Steg 8 - Forklar randverdiene

Når \(|a|=2\sqrt3\), har den deriverte dobbeltrot, og grafen får ikke både topp- og bunnpunkt.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, a = sp.symbols("x a", real=True)
g = x**3 + a*x**2 + 4*x + 2
g_prime = sp.diff(g,x)
A = sp.Poly(g_prime,x).all_coeffs()[0]
B = sp.Poly(g_prime,x).all_coeffs()[1]
C = sp.Poly(g_prime,x).all_coeffs()[2]
discriminant = sp.factor(B**2-4*A*C)
solution = sp.solve_univariate_inequality(discriminant>0,a)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_prime)
print("Quadratic coefficients =", (A,B,C))
print("Discriminant =", discriminant)
print("Condition discriminant > 0 =", solution)
print("Boundary values =", [-2*sp.sqrt(3),2*sp.sqrt(3)])

Utskrift fra Python:
g(x) = a*x**2 + x**3 + 4*x + 2
g'(x) = 2*a*x + 3*x**2 + 4
Quadratic coefficients = (3, 2*a, 4)
Discriminant = 4*(a**2 - 12)
Condition discriminant > 0 = (2*sqrt(3) < a) | (a < -2*sqrt(3))
Boundary values = [-2*sqrt(3), 2*sqrt(3)]

Fasit: \(a\in(-\infty,-2\sqrt3)\cup(2\sqrt3,\infty)\).

Hva spør oppgaven om? Vi finner vendepunktet til g symbolsk og kontrollerer at y-koordinaten er lik h evaluert i samme x-verdi.

Steg 1 - Finn andrederivert

\[g^{\prime\prime}(x)=6x+2a.\]

Steg 2 - Finn vendepunktets x-koordinat

\[6x+2a=0\iff x_V=-\frac a3.\]

Steg 3 - Finn y-koordinaten på g

\[y_V=g(-a/3).\]

Steg 4 - Forenkle y-koordinaten

\[g(-a/3)=\frac{2a^3}{27}-\frac{4a}{3}+2.\]

Steg 5 - Evaluer h i samme x-verdi

\[h(-a/3)=-2(-a/3)^3+4(-a/3)+2.\]

Steg 6 - Forenkle

\[h(-a/3)=\frac{2a^3}{27}-\frac{4a}{3}+2.\]

Steg 7 - Sammenlikn

\[g(-a/3)-h(-a/3)=0.\]

Steg 8 - Konklusjon

Vendepunktet \((-a/3,\,2a^3/27-4a/3+2)\) ligger på h for alle reelle a.

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
x, a = sp.symbols("x a", real=True)
g = x**3 + a*x**2 + 4*x + 2
h = -2*x**3 + 4*x + 2
g_second = sp.diff(g,x,2)
x_v = sp.solve(sp.Eq(g_second,0),x)[0]
y_on_g = sp.factor(g.subs(x,x_v))
y_on_h = sp.factor(h.subs(x,x_v))
difference = sp.simplify(y_on_g-y_on_h)
print("g''(x) =", g_second)
print("Inflection x-coordinate =", x_v)
print("g(x_V) =", y_on_g)
print("h(x_V) =", y_on_h)
print("Difference =", difference)
print("Inflection point =", (x_v,y_on_g))

Utskrift fra Python:
g''(x) = 2*(a + 3*x)
Inflection x-coordinate = -a/3
g(x_V) = 2*(a - 3)*(a**2 + 3*a - 9)/27
h(x_V) = 2*(a - 3)*(a**2 + 3*a - 9)/27
Difference = 0
Inflection point = (-a/3, 2*(a - 3)*(a**2 + 3*a - 9)/27)

Fasit: Vendepunktet er \(\left(-a/3,\,2a^3/27-4a/3+2\right)\), og det ligger på h for alle \(a\in\mathbb R\).

Hva spør oppgaven om? Kvadratene gir to par like sidelengder og rette vinkler. Dermed kan vi bruke side-vinkel-side.

Steg 1 - Bruk kvadratet ACDE

I et kvadrat er alle sider like, så \(AC=CD\).

Steg 2 - Bruk kvadratet CBFG

På samme måte er \(CB=CG\).

Steg 3 - Bruk rett vinkel i ABC

\(\angle ACB=90^{\circ}\).

Steg 4 - Finn vinkelen DCG

DC står vinkelrett på AC, og CG står vinkelrett på CB. Når begge strålene roteres 90 grader, bevares vinkelen mellom dem, så \(\angle DCG=90^{\circ}\).

Steg 5 - Sammenlikn inkludert vinkel

\(\angle ACB=\angle DCG\).

Steg 6 - Bruk SVS

To sider og den mellomliggende vinkelen er like.

Steg 7 - Oppgi kongruensen

\[\triangle ABC\cong\triangle GDC.\]

Steg 8 - Oppgi korrespondansen

\(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow G\), \(C\leftrightarrow C\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
AC, BC = sp.symbols("AC BC", positive=True)
DC = AC
GC = BC
angle_ACB = 90
angle_DCG = 90
side_pair_one = sp.Eq(AC,DC)
side_pair_two = sp.Eq(BC,GC)
angle_pair = angle_ACB == angle_DCG
print("AC = DC:", side_pair_one)
print("BC = GC:", side_pair_two)
print("Angle ACB =", angle_ACB)
print("Angle DCG =", angle_DCG)
print("Included angles equal =", angle_pair)
print("SAS congruence established =", bool(angle_pair))
print("Correspondence: A<->D, B<->G, C<->C")

Utskrift fra Python:
AC = DC: True
BC = GC: True
Angle ACB = 90
Angle DCG = 90
Included angles equal = True
SAS congruence established = True
Correspondence: A<->D, B<->G, C<->C

Fasit: \(\triangle ABC\cong\triangle GDC\) ved side-vinkel-side.

Hva spør oppgaven om? I en rettvinklet trekant er midtpunktet på hypotenusen like langt fra alle tre hjørnene.

Steg 1 - Bruk at H er midtpunkt

\[HA=HB=\frac{AB}{2}.\]

Steg 2 - Se AB som diameter

Sirkelen med sentrum H og radius HA går gjennom A og B.

Steg 3 - Bruk den rette vinkelen

Etter Thales-setningen ligger C på denne sirkelen fordi \(\angle ACB=90^{\circ}\).

Steg 4 - Finn HC

Dermed er \(HC\) også en radius i samme sirkel.

Steg 5 - Sammenlikn

\[HA=HC.\]

Steg 6 - Konklusjon

Trekanten AHC har to like sider og er derfor likebeint.

Steg 7 - Vinkelkonsekvens

Dermed er også \(\angle HAC=\angle ACH\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
# Coordinate example preserving a right triangle
A = sp.Point(-4,0)
B = sp.Point(0,-3)
C = sp.Point(0,0)
H = sp.Segment(A,B).midpoint
HA = sp.simplify(H.distance(A))
HB = sp.simplify(H.distance(B))
HC = sp.simplify(H.distance(C))
print("A =", A)
print("B =", B)
print("C =", C)
print("H =", H)
print("HA =", HA)
print("HB =", HB)
print("HC =", HC)
print("HA-HC =", sp.simplify(HA-HC))

Utskrift fra Python:
A = Point2D(-4, 0)
B = Point2D(0, -3)
C = Point2D(0, 0)
H = Point2D(-2, -3/2)
HA = 5/2
HB = 5/2
HC = 5/2
HA-HC = 0

Fasit: \(HA=HC\), derfor er \(\triangle AHC\) likebeint.

Hva spør oppgaven om? Vi kombinerer vinkelresultater fra kongruensen og den likebeinte trekanten og ser på trekant CDI.

Steg 1 - Bruk kongruensen

Fra \(\triangle ABC\cong\triangle GDC\) får vi \[\angle CDG=\angle CAB.\]

Steg 2 - Bruk den likebeinte trekanten

Fra \(HA=HC\) får vi \[\angle HAC=\angle ACH.\]

Steg 3 - Bruk at H ligger på AB

\(\angle HAC=\angle BAC\). Derfor er \(\angle ACH=\angle BAC\).

Steg 4 - Bruk kvadratet

\(CD\perp CA\). Dermed er vinkelen mellom CD og CH \[\angle DCH=90^{\circ}-\angle ACH.\]

Steg 5 - Sett inn vinkel-likheten

\[\angle DCH=90^{\circ}-\angle BAC.\]

Steg 6 - Gå til trekant CDI

Siden I ligger på HC og DG, er \(\angle DCI=\angle DCH\) og \(\angle CDI=\angle CDG=\angle BAC\).

Steg 7 - Summer de to vinklene

\[\angle DCI+\angle CDI=(90^{\circ}-\angle BAC)+\angle BAC=90^{\circ}.\]

Steg 8 - Finn vinkelen ved I

Vinkelsummen i trekant CDI gir \(\angle CID=90^{\circ}\).

Steg 9 - Bruk at D,I,G er kollineære

Rays ID og IG ligger på samme rette linje. En vinkelrett linje mot ID er også vinkelrett mot IG, så \(\angle CIG=90^{\circ}\).

GeoGebra/CAS-kontroll

Python-kontroll med SymPy

import sympy as sp
A = sp.Point(-4,0)
B = sp.Point(0,-3)
C = sp.Point(0,0)
D = sp.Point(0,4)
G = sp.Point(3,0)
H = sp.Segment(A,B).midpoint
I = sp.Line(H,C).intersection(sp.Line(D,G))[0]
CI = sp.Matrix([C.x-I.x, C.y-I.y])
GI = sp.Matrix([G.x-I.x, G.y-I.y])
dot_product = sp.simplify(CI.dot(GI))
print("H =", H)
print("I =", I)
print("Vector I->C =", list(CI))
print("Vector I->G =", list(GI))
print("Dot product =", dot_product)
print("Lengths =", (sp.sqrt(CI.dot(CI)), sp.sqrt(GI.dot(GI))))
print("Perpendicular check =", dot_product == 0)

Utskrift fra Python:
H = Point2D(-2, -3/2)
I = Point2D(48/25, 36/25)
Vector I->C = [-48/25, -36/25]
Vector I->G = [27/25, -36/25]
Dot product = 0
Lengths = (12/5, 9/5)
Perpendicular check = True

Fasit: \(\angle CIG=90^{\circ}\).